The Goursat-type problem for a hyperbolic equation and system of third order hyperbolic equations

Abstract


In the first part of this study, the well-posed Goursat-type problem is considered for the hyperbolic differential equation of the third order with non-multiple characteristics. The example illustrating the non-well-posed Goursat-type problem for the hyperbolic differential equation of the third order is discussed. The regular solution of the Goursat-type problem for the hyperbolic differential equation of the third order with the non-multiple characteristics is obtained in an explicit form.
In the second part, the well-posed Goursat-type problem is considered for a system of the hyperbolic differential equations of the third order. The regular solution of the Goursat-type problem for this system is also obtained in an explicit form.
The theorems for the Hadamard's well-posedness of Goursat-type problem for the hyperbolic differential equation and for a system of the hyperbolic differential equations is formulated as the result of the research.

Full Text

Введение. Известно, что в некоторых случаях решение начально-краевых задач для дифференциальных гиперболических уравнений от двух независимых переменных с некратными характеристиками может быть построено без вспомогательных функций (функций Римана, Римана—Адамара). Так, решение краевых задач для гиперболических уравнений третьего порядка с некратными характеристиками может быть получено методом общих решений [1]. В этом случае естественным образом возникает вопрос о корректности постановки по Адамару [2] краевой задачи для гиперболических уравнений и систем уравнений гиперболического типа от двух независимых переменных с некратными характеристиками. Корректность постановки начально-краевых задач для гиперболических уравнений и систем уравнений гиперболического типа с двумя независимыми переменными порядка выше второго является темой исследования многих отечественных и зарубежных ученых [3–9]. В настоящей работе приведен пример, иллюстрирующий некорректность классической постановки задачи Гурса в плоскости независимых переменных {(, ) : R, R} (1) для гиперболического уравнения третьего порядка [10]. Кроме того, сформулированы и исследованы на корректность по Адамару задачи типа Гурса для гиперболического уравнения третьего порядка и системы дифференциальных уравнений гиперболического типа третьего порядка, не содержащих производных порядка ниже третьего, в плоскости независимых переменных (1). Предварительные сведения. Рассмотрим в плоскости независимых переменных (1) гиперболическое уравнение третьего порядка, не содержащее производных порядка ниже третьего: + = 0. (2) Прямые = 1 , = 2 , = + 3 , где 1 , 2 , 3 — произвольные константы из R, являются характеристиками уравнения (2)[11]. Общее решение уравнения (2) из класса трижды непрерывно дифференцируемых функций 3 (R * R) представляется в виде суммы любых трех функций 1 , 2 , 3 3 (R): (, ) = 1 () + 2 () + 3 ( ). Однородное уравнение (2), удовлетворяющее однородным условиям на характеристиках: (, 0) = 0, (0, ) = 0, (, ) = 0, , R, (3) имеет нетривиальное решение (, ) = 3 ( ) 3 () 3 (), (4) где 3 3 (R) — любая нечетная функция. Следовательно, нетривиальное решение (4) уравнения (2) удовлетворяет однородным граничным условиям (3) на трех характеристиках из различных семейств. В приведенной постановке задача Гурса является некорректной по Адамару. Таким образом, приведен пример, иллюстрирующий некорректность классической постановки задачи Гурса в плоскости независимых переменных (1) для гиперболического уравнения третьего порядка. Введем следующие обозначения. Пусть = [1 , 2 ], = 1 + 2 . 2 Отрезок имеет центральную симметрию: , 2 . Если , то для любой функции () справедливо () (2 ) , 2 , od () = , ev () = () + (2 ) , 2 () = , od () + , ev (). Здесь и далее при = 0 через od () и ev () будем обозначать нечетную и четную части функции () соответственно. Задача типа Гурса для строго гиперболического уравнения третьего порядка. В плоскости независимых переменных (1) рассмотрим дифференциальное уравнение третьего порядка + = 0, = const, = 0. (5) Уравнение (5) является строго гиперболическим по Петровскому [12] и имеет три различные характеристики = 1 , = 2 , = 3 , где 1 , 2 , 3 — произвольные константы из R. Общее решение уравнения (5) имеет следующий вид: (, ) = 1 () + 2 () + 3 ( ). Характеристическая задача типа Гурса. Найти регулярное решение (, ) 3 (R * R) уравнения (5) в плоскости независимых переменных (1), удовлетворяющее условиям (, 0) = (), (0, ) = (), (, ) = (), , R, (6) где , , 3 (R). Регулярным в плоскости (1) решением [10,13] задачи (5), (6) будем называть функцию (, ) 3 (R*R), имеющую в плоскости (1) все непрерывные частные производные, входящие в уравнение (5), и удовлетворяющую уравнению (5) и условиям задачи (6) в обычном смысле. Теорема 1. Если od () = od () + od (), где od (), od (), od () — нечетные части функций (), (), (), R соответственно, то задача (5), (6) корректна по Адамару. Докажем существование корректного по Адамару решения задачи (5), (6) в плоскости (1) конструктивным путем. Определим функции 1 , 2 и 3 так, чтобы они удовлетворяли условиям задачи типа Гурса (5): 1 () = () 3 () 2 (0), 2 () = () 3 () 1 (0), 3 () + 3 () = () + () () + 23 (0). (7) Справедливо следующее равенство: 3 () + 3 () = () + () () + 23 (0). (8) Из равенств (7), (8) следует, что 3 () = ] 1 [ ev () + ev () ev () + 23 (0) . 2 Таким образом, 3 () = ( ) ] 1 [ ev ( ) + ev () ev + 23 (0) . 2 При этом функции (), (), () удовлетворяют соотношению od () = od () + od (). (9) Регулярным решением задачи (5), (6) в плоскости (1) является функция ( )] 1 [ ( ) (, ) = () + () (0) + ev ev () ev + 2 ] 1 [ + ev ( ) ev () ev () 2 ( )] 1 [ ( ) ev ev () ev . 2 Регулярное решение (, ) задачи (5), (6) получено в явном виде с учетом условия согласования (0) = 1 (0) + 2 (0) + 3 (0). Отметим, что в задаче типа Гурса с условиями (6) для уравнения (5) выбор характеристики, на которой задается видоизмененное условие (9), не является существенным. Задача типа Гурса для одной системы гиперболических уравнений третьего порядка. Определенный интерес представляет исследование корректности постановки характеристической задачи для систем уравнений гиперболического типа порядка выше второго. Рассмотрим систему гиперболических уравнений третьего порядка, имеющую две кратные характеристики и две некратные: + = 0, (10) где R, R, (, ) = (1 (, ), 2 (, )) — двумерная вектор-функция, — постоянная матрица второго порядка с различными действительными собственными значениями 1 , 2 = 0. Так как матрица имеет различные ненулевые собственные значения, существует такая квадратная матрица второго порядка, которая приводит исходную матрицу к ее диагональной форме: 1 = , где ( = 1 0 0 2 ) . Таким образом, система (10) эквивалентна системе + = 0, (11) которая распадается на уравнения: { 1 + 1 1 = 0, 2 + 2 2 = 0. Система (11) имеет кратные характеристики = 0, = 0 и некратные — 1 = 0, 2 = 0. Характеристическая задача типа Гурса для системы (10). Найти регулярное решение (, ) 3 (R * R) системы уравнений (10), удовлетворяющее условиям (, 0) = (), (0, ) = (), (, )|= = (), = 1, 2, (12) где () = (1 (), 2 ()) , () = (1 (), 2 ()) , () = (1 (), 2 ()) ; (), (), () 3 (R); — собственные векторы матрицы , соответствующие собственным значениям , = 1, 2. Справедлива следующая Теорема 2. Если функции (), (), () таковы, что удовлетворяют условиям od () = od () + od ( ), где od (), od (), od () — нечетные части функций (), (), (), R, = 1, 2, то задача (10), (12) корректна по Адамару. Каждое уравнение системы (11) имеет некратные характеристики. Учитывая приведенные выше исследования, получим, что вектор-функция (, ) = (1 (, ), 2 (, )) , являющаяся регулярным решением рассматриваемой задачи с условиями (12), имеет вид 1 (, ) = 1 () + 1 () 1 (0)+ ( )] 1 [ ( ) + 1ev 1ev () 1ev + 2 + ] 1 [ 1 ( ) 1 () 1 () 2 ( )] ) 1 [ ( 1ev () 1ev , (13) 1ev 2 2 (, ) = 2 () + 2 () 2 (0)+ ( )] 1 [ ( ) + 2ev 2ev () 2ev + 2 ] 1 [ + 2ev ( ) 2ev () 2ev () 2 ( )] ) 1 [ ( 2ev () 2ev . (14) 2ev 2 Таким образом, существование регулярного решения задачи (10), (12) доказано конструктивно. При этом решение задачи типа Гурса с условиями (12) получено в явном виде (13), (14).

About the authors

Aleksandr Anatol'evich Andreev

Samara State Technical University

Email: andre@ssu.samara.ru; andre01071948@yandex.ru

Candidate of physico-mathematical sciences, Associate professor

Juliya Olegovna Yakovleva

Samara State Technical University

Email: julia.yakovleva@mail.ru

Candidate of physico-mathematical sciences, Associate professor

References

  1. Мусхелишвили Н. И., Некоторые основные задачи математической теории упругости. Основные уравнения, плоская теория упругости, кручение и изгиб, Наука, М., 1966, 707 с.
  2. Hadamard J., Lectures on Cauchy's problem in linear partial differential equations, Dover Publications, New York, 1952, v+316 pp.
  3. Бицадзе А. В., "К вопросу о постановке характеристической задачи для гиперболических систем второго порядка", Докл. АН СССР, 223:6 (1975), 1289-1292
  4. Джохадзе О. М., "Влияние младших членов на корректность постановки характеристических задач для гиперболических уравнений третьего порядка", Матем. заметки, 74:4 (2003), 517-528
  5. Харибегашвили С. С., "О разрешимости одной характеристической задачи для вырождающихся гиперболических систем второго порядка", Дифференц. уравнения, 25:1 (1989), 154-162
  6. Зикиров О. С., "О разрешимости нелокальной задачи для гиперболического уравнения третьего порядка", Сиб. журн. чист. и прикл. матем., 16:2 (2016), 16-25
  7. Kinoshita T., "Gevrey wellposedness of the Cauchy problem for the hyperbolic equations of third order with coefficients depending only on time", Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences, 34:3, 249-270
  8. Nikolov A., Popivanov N., "Singular solutions to Protter`s problem for (3+1)-D degenerate wave equation", AIP Conf. Proc., 1497 (2012), 233-238
  9. Colton D., "Pseudoparabolic equations in one space variable", J. Differ. Equ., 12:3 (1972), 559-565
  10. Андреев А. А., Яковлева Ю. О., "Характеристическая задача для одного гиперболического дифференциального уравнения третьего порядка с некратными характеристиками", Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика, 13:1(2) (2013), 3-6
  11. Корзюк В. И., Чеб Е. С., Тху Л. Т., "Решение смешанной задачи для биволнового уравнения методом характеристик", Тр. Ин-та матем., 18:2 (2010), 36-54
  12. Петровский И. Г., Избранные труды. Системы уравнений с частными производными. Алгебраическая геометрия, Наука, М., 1986, 504 с.
  13. Яковлева Ю. О., "Одна характеристическая задача для дифференциального гиперболического уравнения третьего порядка общего вида с некратными характеристиками", Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2012, № 3(28), 180-183

Statistics

Views

Abstract - 19

PDF (Russian) - 2

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2019 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies