Solutions of anisotropic parabolic equations with double non-linearity in unbounded domains

Abstract


This work is devoted to some class of parabolic equations of high order with double nonlinearity which can be represented by a model equation \begin{gather*} \frac{\partial}{\partial t}(|u|^{k-2}u)= \sum_{\alpha=1}^n(-1)^{m_\alpha-1}\frac{\partial^{m_\alpha}}{\partial x_\alpha^{m_\alpha}} [|\frac{\partial^{m_\alpha} u}{\partial x_\alpha^{m_\alpha}}|^{p_\alpha-2} \frac{\partial^{m_\alpha} u}{\partial x_\alpha^{m_\alpha}}],m_1,\ldots, m_n\in \mathbb{N},\quad p_n\geq \ldots \geq p_1>k,\quad k>1. \end{gather*} For the solution of the first mixed problem in a cylindrical domain $ D=(0,\infty)$ $\times\Omega, \;\Omega\subset \mathbb{R}_n,$ $n\geq 2,$ with homogeneous Dirichlet boundary condition and finite initial function the highest rate of decay established as $t \to \infty$. Earlier upper estimates were obtained by the authors for anisotropic equation of the second order and prove their accuracy.

Full Text

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. 1 (30). С. 82-89 УДК 517.957 РЕШЕНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ДВОЙНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ Л. М. Кожевникова, А. А. Леонтьев Башкирский государственный университет, Стерлитамакский филиал, Россия, 453103, Стерлитамак, ул. Ленина, 47 a. E-mails: kosul@mail.ru, alexey_leontiev@inbox.ru Работа посвящена некоторому классу анизотропных параболических уравнений высокого порядка с двойной нелинейностью, представителем которого является модельное уравнение вида t |u|k-2 u = n =1 (-1)m-1 m xm m u xm p-2 m u xm , m1, . . . , mn N, pn . . . p1 > k, k > 1. Для решений первой смешанной задачи в цилиндрической области D = (0, ) с неограниченной областью Rn, n 2, с однородным краевым условием Дирихле и финитной начальной функцией установлена максимальная скорость убывания при t . Ранее авторами были получены оценки сверху для анизо- тропных уравнений второго порядка и доказана их точность. Ключевые слова: анизотропное уравнение, параболическое уравнение с двойной нелинейностью, существование решения, скорость убывания решения. Введение. Пусть неограниченная область пространства Rn = {x = = (x1, x2, . . . , xn)}, n 2. В цилиндрической области D = {t > 0} для анизотропного квазилинейного параболического уравнения высокого порядка рассматривается первая смешанная задача |u|k-2 u t = n =1 (-1)m-1 m xm a m u xm 2 m u xm , (t, x) D, (1) где k > 1, m N; Dj x u(t, x) S = 0; j = 1, 2, . . . , m - 1, S = {t > 0} ; (2) u(0, x) = (x), (x) Lk(), x (x) Lp (). (3) Предполагается, что неотрицательные функции a(s), s 0, = 1, 2, . . . , n, подчиняются следующим условиям: a(0) = 0, a(s) C1(0, ), as(p-2)/2 a(s) as(p-2)/2 , (4) p1 2 a(s) a(s) + a(s)s ba(s), Лариса Михайловна Кожевникова (д.ф.-м.н., проф.), профессор, каф. математического анализа. Алексей Александрович Леонтьев, аспирант, каф. математического анализа. 82 Решения анизотропных параболических уравнений . . . с положительными константами a a, 2b p1 > k (p1 p2 . . . pn). Например, a(s) = s(p-2)/2, b = pn/2. Исследованию поведения решений смешанных задач для линейных и ква- зилинейных параболических уравнений второго и высокого порядков при t посвящены работы А. К. Гущина, В. И. Ушакова, Ф. Х. Мукмино- ва, А. Ф. Тедеева, Л. М. Кожевниковой, Р. X. Каримова, В. Ф. Гилимшиной и др. Обзоры соответствующих результатов можно найти в [1-3]. В настоящей работе исследуется допустимая скорость стабилизации ре- шения задачи (1)-(3). Будем рассматривать области, расположенные вдоль выделенной оси Oxs, s {1, 2, . . . , n} (область лежит в полупространстве R+ n[s] = {x Rn | xs > 0}, сечение r[s] = {x | xs = r} не пусто и огра- ничено при любом r > 0). Ниже будет использовано следующее обозначение: b a[s] = {x | a < xs < b}, при этом значения a = 0, b = опускаются. Предполагается, что начальная функция имеет ограниченный носитель, так что supp R0 , R0 > 0. (5) Теорема 1. Пусть выполнено условие (5), тогда найдутся положитель- ные числа , M(ps, ms, k, a, a) такие, что ограниченное решение u(t, x) зада- чи (1)-(3) при всех t 0, r 2R0 удовлетворяет оценке u(t) Lk(r) M exp - rpsms t 1/(psms-1) Lk(). (6) На основе неравенства (6) устанавливается оценка снизу скорости убыва- ния решения задачи (1)-(3) при t . Теорема 2. Пусть выполнено условие (5), тогда существует положи- тельное число C(, k, p1, a, b) такое, что ограниченное решение u(t, x) задачи (1)-(3) при всех t 0 подчиняется оценке u(t) Lk() Lk() (C()t + 1)-1/(p1-k) . Показано, что наилучшая скорость убывания решений достигается в сужа- ющихся неограниченных областях, именно (см. замечание) для решений за- дачи (1)-(3) в области , удовлетворяющей условию 1 = inf m1 g xm1 1 Lp1 () | g(x) C 0 (), g Lk () = 1 > 0, (7) справедлива оценка u(t) Lk() Mt-1/(p1-k) , t > 0. (8) 1. Вспомогательные утверждения. Пусть · p,Q норма в Lp(Q), p 1, причём значение Q = опускается. Через Db a = (a, b) обозначим цилиндр, значения a = 0 и b = могут отсутствовать. 83 Л. М. К о ж е в н и к о в а, А. А. Л е о н т ь е в Банахово пространство W m k,p() определим как пополнение пространства C 0 () по норме u W m k,p () = n =1 m u xm p + u k. Банаховы пространства W 0,m k,p (DT ), W 1,m k,p (DT ) определим как пополнения пространства C 0 (DT+1 -1 ), соответственно, по нормам u W 0,m k,p (DT ) = u k,DT + n =1 m u xm p,DT , u W 1,m k,p (DT ) = u W 0,m k,p (DT ) + ut k,DT . Определение. Обобщённым решением задачи (1)-(3) назовём функцию u(t, x) такую, что при всех T > 0 u(t, x) W 0,m k,p (DT ), при k (1, 2) ut(t, x) Lk(DT ), а при k 2 |u|k-2ut Lk (DT ), k = k/(k - 1), и удовлетворяет интегральному тождеству DT -|u|k-2 uvt + n =1 a m u xm 2 m u xm m v xm dxdt+ + |u(T, x)|k-2 u(T, x)v(T, x)dx = |(x)|k-2 (x)v(0, x)dx (9) для любой функции v(t, x) W 1,m k,p (DT ). Теорема 3. Пусть (x) W m k,p (), p1 k, k > 1, тогда существует обобщённое решение u(t, x) задачи (1)-(3). При этом справедливы неравен- ства (k - 1) u(t) k k + ka n =1 t 0 m u() xm p p d (k - 1) k k, t 0, (10) (k - 1) d dt u(t) k k + ka n =1 m u(t) xm p p 0, t > 0. (11) Решение задачи (1)-(3) строится методом галёркинских приближений, ко- торый ранее был предложен Ф. Х. Мукминовым, Э. Р. Андрияновой (см. [4]) для модельного изотропного параболического уравнения с двойной нелиней- ностью и обобщён авторами статьи на некоторый класс анизотропных урав- нений (см. [5,6] ). Предложение 1. Для любой функции g(x) Lp(R+ 1 ), Dmg(x) Lp(R+ 1 ) справедливо неравенство Dj g p,R+ 1 C Dm g j m p,R+ 1 g 1- j m p,R+ 1 , j = 0, 1, . . . , m, (12) 84 Решения анизотропных параболических уравнений . . . где постоянная C зависит от p, m, j. Д о к а з а т е л ь с т в о. Для произвольной функций h(x) Lp(R1), Dmh Lp(R1) справедливо одномерное неравенство Ниренберга Гальярдо [7], кото- рое запишем в частном случае: Dj h p,R1 c1 Dm h j m p,R1 h 1- j m p,R1 , j = 0, 1, . . . , m. Пусть функция h(x) продолжение функции g(x) такое, что Dj h p,R1 c2 Dj g p,R+ 1 , j = 0, m. Соединяя эти неравенства, получаем неравенство (12). 2. Доказательство теорем. Будем предполагать, что решение задачи (1)- (3) ограничено, а именно, справедливо неравенство vrai sup D | u(t, x) | B < . (13) Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 1. Пусть (x), x > 0 гладкая неот- рицательная функция, равная единице при x 1, нулю при x 0. Тогда для функции (xs) = ((xs - r)/) справедливы соотношения dj dxj s C1/j , x (r, r + ), dj dxj s = 0, x (r, r + ), j N. (14) Для k (1, 2) в (9) можно взять v = u, тогда, пользуясь равенством |u|k-2 uu dx = 1 k d d |u|k dx , получим тождество k - 1 k |u|k =t =0 dx + n =1 Dt a m u xm 2 m u xm m (u) xm dxd = 0. (15) Для k 2 можно выполнить интегрирование по частям в первом интеграле тождества (9), в результате получим равенство D (|u|k-2 u) v + n =1 a m u xm 2 m u xm m v xm dxd = 0. Положим v = u, тогда, ввиду справедливости равенства (|u|k-2 u) udx = k - 1 k d d |u|k dx , выводим соотношение (15). 85 Л. М. К о ж е в н и к о в а, А. А. Л е о н т ь е в Далее, применяя (4), из (15) получаем (с учётом того, что = 0) k - 1 k |u(t, x)|k (xs)dx + a n =1 Dt m u xm p dxd a Dt ms j=1 ms u xms s ps-1 Cj ms ms-ju xms-j s dj dxj s dxd It . (16) Используя (14), оценим интеграл It ms j=1 C2 j t 0 r+ r ms u xms s ps-1 ms-ju xms-j s dxd. Пусть > 0 произвольное число такое, что 1. Тогда, последова- тельно применяя неравенства Гёльдера, неравенство (12) и Юнга, получаем соотношения It ms j=1 C2 j t 0 Rn-1 ms u xms s ps-1 ps,(r,r+) ms-ju xms-j s ps,(r,r+) dxsd ms j=1 C3 jj t 0 Rn-1 ms u xms s ps-j/ms ps,(r,) u j/ms ps,(r,)j dxsd ms j=1 C3 jj t 0 Rn-1 msps - j msps ms u xms s ps ps,(r,) + msps j msps u ps ps,(r,) dxsd C4 t 0 r ms u xms s ps + msps |u|ps dxd, из которых с учётом (13) имеем It C4 t 0 r ms u xms s ps dxd + msps Bps-k t 0 r |u|k dxd . (17) Соединяя (16), (17), выводим неравенство k - 1 k u(t) k k,r+ + a n =1 t 0 m u xm p p,r+ d C5 t 0 ms u xms s ps ps,r d + msps t 0 u k k,r d . (18) Введём обозначение Fr(t) = u(t) k k,r + n =1 t 0 m u xm p p,r d, 86 Решения анизотропных параболических уравнений . . . тогда (18) можно переписать в виде Fr+(t) C6 Fr(t) + psms t 0 Fr()d . (19) Отметим, что если < 1, то неравенство (19) также выполняется, так как в этом случае Fr+(t) Fr(t) 1 Fr C6 Fr(t) + psms t 0 Fr()d . Таким образом, (19) доказано для произвольного > 0. Далее индукцией по l = 0, 1, . . . установим неравенство FR0+l(t) C7 2C6 l tl/(psms) l-1 i=0 (1 + i/(psms)) -1/(psms) k k. (20) В качестве нулевого шага индукции из неравенства (10) для любого t > 0 имеем неравенство FR0 (t) C7 k k. Предположим, что (20) справедливо для некоторого целого l 0. Подставляя в (19) = 1 + l/(psms) t 1/(psms) , r = R0 + l, с учётом (20) получаем FR0+(l+1)(t) C72l C6 l+1 t1/(psms) l i=0 (1 + i/(psms)) -1/(psms) k k tl/(psms) + 1 + l/(psms) t t 0 l/(psms) d = = C7 2C6 l+1 t(l+1)/(psms) l i=0 (1 + i/(psms)) -1/(psms) k k. Неравенство (20) доказано. Положим = (r-R0)/l. Используя неравенство Стирлинга, из (20) нетруд- но получить Fr(t) C9 exp - l psms ln (r - R0)psms C8tlpsms-1 k k. (21) Полагая l равным целой части выражения (r - R0)psms eC8t 1/(psms-1) , из неравенства (21) получим Fr(t) C11 exp -C10 (r - R0)psms t 1/(psms-1) k k. (22) 87 Л. М. К о ж е в н и к о в а, А. А. Л е о н т ь е в В итоге при r 2R0 из (22) следует оценка (6). Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 2 осуществляется аналогично доказа- тельству для случая уравнения второго порядка (подробнее см. [5,6]). Замечание. Если выполнено условие (7), то для решения u(t, x) задачи (1)-(3) справедлива оценка (8). Д о к а з а т е л ь с т в о. Из (11) следует, что d dt u(t) k k - ak k - 1 n =1 m u(t) xm p p - ak k - 1 m1 u(t) xm1 1 p1 p1 - ak k - 1 p1 1 u p1 k . Решая это дифференциальное неравенство, получим оценку u(t) k t-1/(p1-k) (p1 - k)a k - 1 p1 1 -1/(p1-k) , t > 0, из которой следует неравенство (8). Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 13-01-0081-а). БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Л. М. Кожевникова, Ф. Х. Мукминов, Оценки скорости стабилизации при t решения первой смешанной задачи для квазилинейной системы параболических уравнений второго порядка // Матем. сб., 2000. Т. 191, 2. С. 91-131; англ. пер.: L. M. Kozhevnikova, F. Kh. Mukminov, Estimates of the stabilization rate as t of solutions of the first mixed problem for a quasilinear system of second-order parabolic equations // Sb. Math., 2000. Vol. 191, no. 2. Pp. 235-273. 2. Л. М. Кожевникова, Стабилизация решения первой смешанной задачи для эволюцион- ного квазиэллиптического уравнения // Матем. сб., 2005. Т. 196, 7. С. 67-100; англ. пер.: L. M. Kozhevnikova, Stabilization of a solution of the first mixed problem for a quasi- elliptic evolution equation // Sb. Math., 2005. Vol. 196, no. 7. Pp. 999-1032. 3. Р. Х. Каримов, Л. М. Кожевникова, Стабилизация решений квазилинейных парабо- лических уравнений второго порядка в областях с некомпактными границами // Ма- тем. сб., 2010. Т. 201, 9. С. 3-26; англ. пер.: R. Kh. Karimov, L. M. Kozhevnikova, Stabilization of solutions of quasilinear second order parabolic equations in domains with non-compact boundaries // Sb. Math., 2010. Vol. 201, no. 9. Pp. 1249-1271. 4. Э. Р. Андриянова, Ф. Х. Мукминов, Оценка снизу скорости убывания решения парабо- лического уравнения с двойной нелинейностью // Уфимск. матем. журн., 2011. Т. 3, 3. С. 3-14. [E. R. Andriyanova, F. Kh. Mukminov, The lower estimate of decay rate of solutions for doubly nonlinear parabolic equations // Ufimsk. Mat. Zh., 2011. Vol. 3, no. 3. Pp. 3-14]. 5. Л. М. Кожевникова, А. А. Леонтьев, Оценки решения анизотропного параболического уравнения с двойной нелинейностью // Уфимск. матем. журн., 2011. Т. 3, 4. С. 64- 85. [L. M. Kozhevnikova, A. A. Leontiev, Estimates of solutions of an anisotropic doubly nonlinear parabolic equation // Ufimsk. Mat. Zh., 2011. Vol. 3, no. 4. Pp. 64-85]. 6. Л. М. Кожевникова, А. А. Леонтьев, Убывание решения анизотропного параболи- ческого уравнения с двойной нелинейностью в неограниченных областях // Уфимск. матем. журн., 2013. Т. 5, 1. С. 65-83. [L. M. Kozhevnikova, A. A. Leontiev, Decay of solution of anisotropic doubly nonlinear parabolic equation in unbounded domains // Ufimsk. Mat. Zh., 2013. Vol. 5, no. 1. Pp. 65-83]. 7. L. Nirenberg, On elliptic partial differential equations // Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, Sci. Fis. Mat., III. Ser, 1959. Vol. 13. Pp. 115-162. Поступила в редакцию 15/XI/2012; в окончательном варианте 10/III/2013. 88 Solutions of anisotropic parabolic equations with double non-linearity . . . MSC: 35K35, 35K61 SOLUTIONS OF ANISOTROPIC PARABOLIC EQUATIONS WITH DOUBLE NON-LINEARITY IN UNBOUNDED DOMAINS L. M. Kozhevnikova, A. A. Leontiev Sterlitamak Branch of Bashkir State University, 47 a, Lenin st., Sterlitamak, 453103, Russia. E-mails: kosul@mail.ru, alexey_leontiev@inbox.ru This work is devoted to some class of parabolic equations of high order with double nonlinearity which can be represented by a model equation t (|u|k-2 u) = n =1 (-1)m-1 m xm m u xm p-2 m u xm , m1, . . . , mn N, pn . . . p1 > k, k > 1. For the solution of the first mixed problem in a cylindrical domain D = (0, ) , Rn, n 2, with homogeneous Dirichlet boundary condition and finite initial function the highest rate of decay established as t . Earlier upper estimates were obtained by the authors for anisotropic equation of the second order and prove their accuracy. Key words: anisotropic equation, doubly nonlinear parabolic equations, existence of strong solution, decay rate of solution. Original article submitted 15/XI/2012; revision submitted 10/III/2013. Larisa M. Kozhevnikova (Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Dept. of Mathematical Analysis. Alexey A. Leontiev, Postgraduate Student, Dept. of Mathematical Analysis.

About the authors

Larisa Mikhailovna Kozhevnikova

Sterlitamak Branch of Bashkir State University

Email: kosul@mail.ru

Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Aleksei Aleksandrovich Leont'ev

Sterlitamak Branch of Bashkir State University

Email: axe1erat@mail.ru, alexey_leontiev@inbox.ru

References

  1. Л. М. Кожевникова, Ф. Х. Мукминов, "Оценки скорости стабилизации при решения первой смешанной задачи для квазилинейной системы параболических уравнений второго порядка", Матем. сб., 191:2 (2000), 91-131
  2. Л. М. Кожевникова, "Стабилизация решения первой смешанной задачи для эволюционного квазиэллиптического уравнения", Матем. сб., 196:7 (2005), 67-100
  3. Р. Х. Каримов, Л. М. Кожевникова, "Стабилизация решений квазилинейных параболических уравнений второго порядка в областях с некомпактными границами", Матем. сб., 201:9 (2010), 3-26
  4. Э. Р. Андриянова, Ф. Х. Мукминов, "Оценка снизу скорости убывания решения параболического уравнения с двойной нелинейностью", Уфимск. матем. журн., 3:3 (2011), 3-14
  5. Л. М. Кожевникова, А. А. Леонтьев, "Оценки решения анизотропного параболического уравнения с двойной нелинейностью", Уфимск. матем. журн., 3:4 (2011), 64-85
  6. Л. М. Кожевникова, А. А. Леонтьев, "Убывание решения анизотропного параболического уравнения с двойной нелинейностью в неограниченных областях", Уфимск. матем. журн., 5:1 (2013), 65-83
  7. L. Nirenberg, "On elliptic partial differential equations", Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, Sci. Fis. Mat., III. Ser, 13 (1959), 115-162

Statistics

Views

Abstract - 4

PDF (Russian) - 2

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2013 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies