Том 17, № 1 (2013)

Рассмотрена задача граничного управления для системы гиперболических уравнений, содержащей смешанную производную. Управление осуществляется смещением, то есть в условиях первой краевой задачи. Рассмотрены различные варианты структуры матриц, входящих в систему уравнений. Существенным условием является их коммутативность. В случае, когда матрицы нельзя одновременно привести к диагональному виду, решения необходимых задач для уравнений системы представлены с помощью специальных дифференциальных операторов.

Для нагруженного дифференциального уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа второго порядка в прямоугольной области рассмотрена первая граничная задача. Ранее были изучены локальные и нелокальные задачи для нагруженных дифференциальных уравнений в частных производных отдельных и смешанных типов в области, у которых гиперболическая часть представляет собой характеристический треугольник. В данной работе в отличие от известных работ методом спектрального анализа найдены необходимые и достаточные условия единственности решения поставленной задачи.

Работа содержит обзор результатов, относящихся к изучению поведения вблизи границы решения задачи Дирихле с граничной функцией из $L_p,$ $p>1$, для эллиптического уравнения второго порядка, включающий новые утверждения и некоторые нерешённые задачи в этом направлении.

Работа посвящена некоторому классу анизотропных параболических уравнений высокого порядка с двойной нелинейностью, представителем которого является модельное уравнение вида \begin{gather*} \frac{\partial}{\partial t}(|u|^{k-2}u )= \sum_{\alpha=1}^n(-1)^{m_\alpha-1}\frac{\partial^{m_\alpha}}{\partial x_\alpha^{m_\alpha}} [|\frac{\partial^{m_\alpha} u}{\partial x_\alpha^{m_\alpha}}|^{p_\alpha-2} \frac{\partial^{m_\alpha} u}{\partial x_\alpha^{m_\alpha}}],m_1,\ldots, m_n\in \mathbb{N},\quad p_n\geq \ldots \geq p_1>k,\quad k>1. \end{gather*} Для решений первой смешанной задачи в цилиндрической области $D=(0,\infty)\times\Omega$ с неограниченной областью $\Omega\subset \mathbb{R}_n$, $n\geq 2$, с однородным краевым условием Дирихле и финитной начальной функцией установлена максимальная скорость убывания при $t \to \infty$. Ранее авторами были получены оценки сверху для анизотропных уравнений второго порядка и доказана их точность.

Приведён некоторый обзор результатов, связанных с существованием граничных значений у решений эллиптических уравнений.

Рассмотрена краевая задача в характеристическом квадрате с данными на параллельных характеристиках для системы гиперболических уравнений с волновым оператором и сингулярным матричным коэффициентом при младшей производной. В характеристических координатах указанная система дифференциальных уравнений редуцируется к системе уравнений Эйлера–Пуассона–Дарбу. С использованием известного решения задачи Коши с данными на линии сингулярности матричного коэффициента задача редуцируется к системе интегральных уравнений Карлемана. На основе проведённых ранее автором данной статьи исследований по разрешимости систем обобщённых интегральных уравнений Абеля в работе найдено в явном виде решение указанной краевой задачи.

Настоящая работа посвящена изучению эффекта конечности времени существования решения задачи Коши для нелинейного уравнения Шрёдингера. Вместе с некорректной задачей Коши рассматривается её окрестность в пространстве операторов, представляющих задачу Коши. Исследована сходимость последовательности решений задач Коши с операторами, аппроксимирующими исходный гамильтониан.

Работа посвящена исследованию некоторых классов нелинейных интегральных уравнений с некомпактными операторами типа Гаммерштейна–Немыцкого. Указанный класс уравнений не только представляет теоретический интерес, но и имеет непосредственное применение в кинетической теории газов. Доказываются теоремы существования положительных решений в различных функциональных пространствах.

Рассматривается особенность построения решения краевых задач в теории плоской деформации идеального жёсткопластического тела при условии пластичности, связанном с линиями уровня поверхности деформационных состояний упрочняющегося несжимаемого жёсткопластического тела.

Разработана методика получения приближённых аналитических решений квазистатических задач термоупругости (плоское напряжённое состояние, плоская деформация) для многослойных конструкций с переменными в пределах каждого слоя физическими свойствами среды. Использован рекуррентный метод построения систем координатных функций, точно удовлетворяющих граничным условиям сопряжения, заданным в виде равенства радиальных (нормальных) напряжений и перемещений в точках контакта слоёв.

На основе структурной модели решена задача рационального армирования криволинейными волокнами осесимметричной кольцевой пластины в полярной системе координат. Изучено влияние структурных параметров на предельное нагружение конструкции.

Работа посвящена анализу влияния материала двухопорной реологической балки на динамику движущегося диска. Составлена гибридная система дифференциальных уравнений, описывающих движение системы «диск – реологическая балка», состоящая из интегро-дифференциального уравнения продольных колебаний балки и уравнений в форме Лагранжа первого рода, которые определяют движение диска, а также уравнений неголономных связей, вытекающих из разности лагранжевых координат центра масс диска и точки балки, касающейся диска. Рассмотрен режим равномерного движения диска, что позволило проинтегрировать уравнение колебаний балки независимо от системы уравнений, описывающих движение диска. Показано, что при движении диска с малой скоростью, а также в режиме, соответствующем предельному значению времени релаксации, в балке возникают физически неприемлемые деформации. При нулевом времени релаксации наблюдается стационарный режим вынужденных колебаний балки при умеренных значениях амплитуд.

Н. Н. Боголюбовым были открыты микроскопические решения уравнения Больцмана–Энскога в кинетической теории упругих шаров. Они имеют вид сумм дельта-функций и соответствуют точной микроскопической динамике. Однако это было сделано на «физическом» уровне строгости. В частности, не обсуждались произведения обобщённых функций в интеграле столкновений. В данной работе микроскопическим решениям придаётся строгий смысл при помощи введения регуляризации. Также из уравнения Власова выведены новые кинетические уравнения для газа из упругих шаров.

Рассматривается осесимметричная нестационарная задача электроупругости для сплошного пьезокерамического аксиально поляризованного цилиндра при действии кинематической нагрузки в виде известных механических перемещений его торцевых поверхностей, а также электрического потенциала. Новое замкнутое решение построено методом разложения по собственным вектор-функциям в форме структурного алгоритма конечных преобразований. Полученные расчётные соотношения позволяют проанализировать влияние характеристик внешней цепи на форму и величину индуцируемого электрического импульса в нестационарных задачах прямого пьезоэффекта.

In 1989, Ohya propose a new concept, so-called Information Dynamics (ID), to investigate complex systems according to two kinds of view points. One is the dynamics of state change and another is measure of complexity. In ID, two complexities $ C^{S} $ and $ T^{S} $ are introduced. $ C^{S} $ is a measure for complexity of system itself, and $ T^{S} $ is a measure for dynamical change of states, which is called a transmitted complexity. An example of these complexities of ID is entropy for information transmission processes. The study of complexity is strongly related to the study of entropy theory for classical and quantum systems. The quantum entropy was introduced by von Neumann around 1932, which describes the amount of information of the quantum state itself. It was extended by Ohya for C*-systems before CNT entropy. The quantum relative entropy was first defined by Umegaki for $ \sigma $-finite von Neumann algebras, which was extended by Araki and Uhlmann for general von Neumann algebras and *-algebras, respectively. By introducing a new notion, the so-called compound state, in 1983 Ohya succeeded to formulate the mutual entropy in a complete quantum mechanical system (i.e., input state, output state and channel are all quantum mechanical) describing the amount of information correctly transmitted through the quantum channel. In this paper, we briefly review the entropic complexities for classical and quantum systems. We introduce some complexities by means of entropy functionals in order to treat the transmission processes consistently. We apply the general frames of quantum communication to the Gaussian communication processes. Finally, we discuss about a construction of compound states including quantum correlations.

Предложен вид потенциала, создаваемого квантовым кольцом, для которого можно получить аналитическое решение стационарного уравнения Шрёдингера. Найдено решение соответствующей задачи на собственные значения в терминах функций Хойна. Получено выражение для энергетических уровней невзаимодействующих электронов в квантовом кольце в присутствии магнитного поля. Рассмотрены возможные сферы применения данной модели.

Предложен сценарий эволюции распределения ресурсов в фрактально-кластерных ресурсораспределённых системах типа «организм». В предложенной модели динамика перераспределения ресурсов в замкнутой системе определяется ультраметрической структурой пространства системы. При этом для каждого кластера существует своё характерное время перехода в равновесное состояние, определяемое ультраметрическим размером данного кластера. Записано общее уравнение, описывающее данную динамику, численно исследовано решение данного уравнения для определённого типа переходов ресурсов между кластерами, обсуждена проблема идентификации параметров модели применительно к реальным системам.

Показывается, что электромагнитное поле в классической и квантовой механике естественным образом описывается через геометрию расширенного фазового пространства, в число координат которого входят время и сопряжённый ему импульс $p_0=-E$.

Приводится алгоритм построения квантовых интегралов движения по известным классическим. Для построения квантовых интегралов используется звёздное произведение символов операторов, применяемое в теории квантования. Рассмотрен нетривиальный пример уравнения Клейна–Фока на четырёхмерной группе Ли.