Solutions of anisotropic elliptic equations in unbounded domains

Abstract


In the paper the Dirichlet problem for an anisotropic quasilinear elliptic equations of the second order is considered. The upper estimates for the generalized solution of this Dirichlet problem are received, the closeness is proved for the isotropic case.

Full Text

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. 1 (30). С. 90-96 УДК 517.956.25 РЕШЕНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ Л. М. Кожевникова, А. А. Хаджи Башкирский государственный университет, Стерлитамакский филиал, Россия, 453103, Стерлитамак, ул. Ленина, 47 a. E-mails: kosul@mail.ru, anna_5955@mail.ru В неограниченной области рассматривается некоторый класс анизотропных эл- липтических уравнений второго порядка. Для решений задачи Дирихле получены оценки сверху и доказана их точность в изотропном случае. Ключевые слова: задача Дирихле, анизотропное уравнение, квазилинейное эл- липтическое уравнение, обобщённое решение, неограниченная область, убывание решения, существование и единственность решения, неравенство Харнака, об- ласть вращения. Введение. Пусть произвольная неограниченная область пространства Rn = {x = (x1, x2, . . . , xn)}, Rn, n 2. Для анизотропного квазили- нейного эллиптического уравнения второго порядка рассматривается задача Дирихле n =1 (a(x, u))x = n =1 ((x))x , x , (1) u = 0. (2) Предполагается, что функции a(x, ), = 1, n, измеримы по x для Rn и непрерывны по Rn для почти всех x . Пусть p = = (p1, p2, . . . , pn), будем считать, что 1 < p1 p2 . . . pn и существуют положительные числа a, a такие, что для любых , Rn при почти всех x выполняются условия n =1 (a(x, ) - a(x, )) ( - ) a n =1 | - |p ; (3) |a(x, ) - a(x, )| a| - | (|| + ||)p-2 , = 1, n; (4) a(x, 0) = 0, = 1, n. (5) В работе получена оценка, характеризующая скорость убывания решения задачи Дирихле для уравнения (1) с финитной правой частью, и доказана её точность для p1 = p2 = . . . = pn. Изучением поведения на бесконечности решений линейных эллиптиче- ских уравнений занимались О. А. Олейник, Г. А. Иосифьян, Е. М. Ландис, Г. П. Панасенко, В. А. Кондратьев, И. Копачек, Д. М. Леквеишвили и другие (подробный обзор результатов приведён в [1]). В работе [2] Л. М. Кожевнико- вой, Р. Х. Каримовым для некоторого класса квазилинейных эллиптических Лариса Михайловна Кожевникова (д.ф.-м.н., проф.), профессор, каф. математического анализа. Анна Александровна Хаджи, аспирант, каф. математического анализа. 90 Решения анизотропных эллиптических уравнений в неограниченных областях уравнений второго порядка установлены оценки сверху решения задачи Ди- рихле. Анизотропный случай до настоящего времени оставался неизученным. Будем рассматривать области, расположенные вдоль выделенной оси Oxs, s 2, n (область лежит в полупространстве xs > 0 и сечение r = {x | xs = r} не пусто при любом r > 0). Введём обозначения: b a = {x | a < xs < b}, значение b = опускает- ся, · p,Q норма в пространстве Lp(Q), значение Q = не пишется. Определим геометрическую характеристику неограниченной области : (r) = inf { gx1 p1,r | g(x) C 0 (), g p1,r = 1} , r > 0. (6) Пусть область удовлетворяет условию 1 p1/ps ()d = . (7) Будем полагать, что носители функций , = 1, n, ограничены, а именно supp(x) R0 , R0 > 0, = 1, n. (8) Теорема 1. Если выполнены условия (7), (8), то существуют положи- тельные числа , M такие, что для ограниченного обобщённого решения u(x) задачи (1), (2) при r > 2R0 справедлива оценка n =1 ux p p,r M exp - r 1 p1/ps ()d . (9) Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы проводится аналогично доказательству тео- ремы 1 в работе [3]. Рассмотрим область вращения (f)[s] = x Rn | xs > 0, |x s| < f(xs) , s 2, n, xs = (x1, . . . , xs-1, xs+1, . . . , xn), с положительной функцией f(xs) < . От функции f требуется только, чтобы множество (f)[s] было областью. Для таких областей справедливо соотношение (r) = c f(r) , r > 0, (10) поэтому условие (7) принимает вид 1 d fp1/ps () = . Пусть выполнено условие lim r fp1/ps (r) r = 0, (11) 91 Л. М. К о ж е в н и к о в а, А. А. Х а д ж и тогда следствием оценки (9) для ограниченного решения u(x) задачи (1), (2) в области вращения является следующая оценка: u p1,r+1 r (f) M exp - r 1 d fp1/ps () , r > R (12) (см. следствие 1). В области (f1)[s] с функцией f1(x) = xa, 0 a < ps/p1, x > 0, для решения задачи (1), (2) оценка (12) принимает вид u p1,r+1 r (f1) M1 exp -1r1-ap1/ps , r > R1. В области (f2)[s] с функцией f2(x) = xps/p1 (ln x)-1, x > e, для решения задачи (1), (2) оценка (12) принимает вид u p1,r+1 r (f2) M2 exp -2(ln r)p1/ps+1 , r > R2. Полагаем, что существует постоянная 1 такая, что для функции f(x) справедливо неравенство sup{f(z)|z [x - f(x), x + f(x)]} f(x), x 1. (13) Теорема 2. Пусть положительная функция f(x), x > 0 удовлетворяет условию (13). Тогда существуют положительные числа K, такие, что для неотрицательного решения u(x) задачи (1), (2) с p1 = p2 = . . . = pn = p в области вращения (f) справедлива оценка u p,r+1 r (f) exp -K r 1 dx f(x) , r r. (14) Таким образом, доказана точность оценки (12). В частности, для неот- рицательных решений задачи (1), (2) в областях (f1), (f2) справедливы неравенства u p,r+1 r (f1) 1 exp -K1r1-a , r r1, u p,r+1 r (f2) 2 exp -K2 ln2 r , r r2. 1. Вспомогательные сведения. Определим пространство H 1 p() как по- полнение пространства C 0 () по норме v H1 p () = n =1 vx p . Определение. Обобщённым решением задачи (1), (2), в которой (x) Lp/(p-1)(), = 1, n, назовём функцию u(x) H 1 p(), удовлетворяющую интегральному тождеству n =1 (a(x, u) - ) vx dx = 0 (15) 92 Решения анизотропных эллиптических уравнений в неограниченных областях для любой функции v(x) H 1 p(). Определение обобщённого решения корректно, поскольку входящие в (15) интегралы конечны. Действительно, используя неравенство Юнга и инте- гральное неравенство Гёльдера, применяя условия (4), (5), для функций u(x), v(x) H 1 p() выводим |a(x, u)||vx |dx a |ux |p-1 |vx |dx a ux p-1 p vx p . Теорема 3. Пусть выполнены условия (3)-(5), тогда существует един- ственное обобщенное решение u(x) задачи (1), (2) с функциями (x) Lp/(p-1)(), = 1, n, и справедлива оценка n =1 ux p C1 n =1 p/(p-1) p/(p-1). Д о к а з а т е л ь с т в о существования проводится методом галёркинских приближений аналогично доказательству соответствующего утверждения для изотропного уравнения в случае ограниченной области (см. [4, гл.4, 9]). Следствие 1. Если выполнено условие (11), то для ограниченного реше- ния u(x) задачи (1), (2) в области вращения справедлива оценка (12). Д о к а з а т е л ь с т в о. Из условия (11) следует неравенство fp1 () ps , R1. (16) Пользуясь (6), (10), (16), получаем cp1 (r + 1)ps u p1 p1,r+1 r (f) cp1 r+1 r 1 ps u p1 p1, d r+1 r p1 () u p1 p1, d r+1 r ux1 p1 p1, d = ux1 p1 p1,r+1 r . (17) Из условия (11) для любого > 0 имеем r exp r 1 d fp1/ps () d , r R2. (18) Соединяя (17), (9), (10), (18), для r max(R1, R2,1) = R получаем u p1 p1,r+1 r (f) (2r)ps c-p1 M exp -cp1/ps r 1 d fp1/ps () M exp (ps - cp1/ps ) r 1 d fp1/ps () . Выбирая < cp1/ps 2ps , выводим (12) с = cp1/ps 2p1 . 93 Л. М. К о ж е в н и к о в а, А. А. Х а д ж и 2. Оценка снизу. Пусть {zJ } J=0 неограниченная возрастающая последо- вательность положительных чисел, для которой справедливы равенства z0 = R0, zJ = sup r| inf [zJ-1,r) f(x) r - zJ-1 , J = 1, 2, . . . . Утверждение 1. Если выполнено условие (13), то для последовательно- сти {zN } N=0 верны соотношения N w2 zN 1 dx f(x) , N = 1, 2, . . . , (19) w-1 zN+1 - zN zN - zN-1 w, w = w3 , N = 1, 2, . . . . (20) (см. [1], формулы (0.31), (0.32)). Получение оценки снизу основано на неравенстве Гарнака [5] для квази- линейных эллиптических уравнений. Следующая лемма является следствием этого неравенства. Лемма 1. Пусть 1/2, = b - a, тогда существует число H 1 такое, что неотрицательное решение u(x) уравнения (1) c (x) = 0, = = 1, n, в Qa,b,, где Qa,b, = Qa,b, B(2, (a, 0 )) B(2, (b, 0 )), = b - a, Qa,b, = {(x1, x ) Rn | a < x < b, | x |< }, удовлетворяет неравенству u(a, 0 ) H inf Qa,b, u(x) (см. [1], лемма 5). Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 2. Условие (13) для функции f(x) до- статочно для выполнения неравенств (19), (20) (см. утверждение 1). Положим = (2)-1 , тогда ввиду неравенств (20) и определения последовательности {zN } N=0 имеем включения QzJ-1,zJ , (f), J = 2, 3, . . . . По лемме 1 для пар (zJ-1, 0 ), (zJ , 0 ), J = 2, 3, . . . справедливы неравенства u(zJ-1, 0 ) H inf QzJ-1,zJ ,J u(x) Hu(zJ , 0 ), J = zJ - zJ-1. (21) Применяя неравенство (21) N раз, получаем соотношения u(z1, 0 ) HN inf QzN ,zN+1,N+1 u(x) HN u(zN+1, 0 ), N 1. (22) 94 Решения анизотропных эллиптических уравнений в неограниченных областях Применяя (20), находим -N 1 N+1 N 1, N 0. (23) Выберем произвольное r z1 и зафиксируем N 1 такое, что r [zN , zN+1). Пусть сначала r + 1 < zN+2. Положим N+1 = min(N+1, N+2). Пользуясь (22), выводим соотношения r+1 r (f) up (x)dx Qr,r+1,N+1 up (x)dx C1 inf Qr,r+1,N+1 up (x)n-1 N+1n-1 C1 inf QzN ,zN+1,N+1QzN+1,zN+2,N+2 up (x)n-1 N+1n-1 C1H-p(N+1) up (z1, 0 )n-1 n-1 N+1. Пусть теперь r + 1 zN+2. Применяя неравенства (22), (23), несложно установить r+1 r (f) up (x)dx QzN+1,zN+2,N+2 up (x)dx C1 inf QzN+1,zN+2,N+2 up (x)n-1 n N+2 C2H-p(N+1) -(N+1) up (z1, 0 )n-1 n-1 N+2. Для обоих случаев, пользуясь (23), получаем неравенства r+1 r (f) up (x)dx C3H-(N+1)p -(N+1) up (z1, 0 ) min{N+2, N+1}n-1 C4 exp(-N ln(n Hp )). Применяя (19), из последнего находим оценку (14). БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Л. М. Кожевникова, Поведение на бесконечности решений псевдодифференциаль- ных эллиптических уравнений в неограниченных областях // Матем. сб., 2008. Т. 199, 8. С. 61-94; англ. пер.: L. M. Kozhevnikova, Behaviour at infinity of solutions of pseudodifferential elliptic equations in unbounded domains // Sb. Math., 2008. Vol. 199, no. 8. Pp. 1169-1200. 2. Р. Х. Каримов, Л. М. Кожевникова, Поведение на бесконечности решений квазилиней- ных эллиптических уравнений второго порядка в неограниченных областях // Уфимск. матем. журн., 2010. Т. 2, 2. С. 53-66. [R. Kh. Karimov, L. M. Kozhevnikova, Behavior on infinity of decision quasilinear elliptical equations in unbounded domain // Ufimsk. Mat. Zh., 2010. Vol. 2, no. 2. Pp. 53-66]. 3. Л. М. Кожевникова, А. А. Хаджи, Оценка решения задачи Дирихле для анизотроп- ного квазилинейного эллиптического уравнения второго порядка // Сб. трудов меж- дунар. школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых, 2011. Т. 1. С. 55-63. [L. M. Kozhevnikova, A. A. Khadzhi, Estimate of Dirichlet problem solution for anisotropic quasilinear second-order elliptic equations // Sb. trudov mezhdunar. shkoly- konferentsii dlya studentov, aspirantov i molodykh uchenykh, 2011. Vol. 1. Pp. 55-63]. 95 Л. М. К о ж е в н и к о в а, А. А. Х а д ж и 4. О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцева, Линейные и квазилинейные уравнения эллипти- ческого типа. М.: Наука, 1973. 576 с. [O. A. Ladyzhenskaya, N. N. Uraltseva, Linear and quasilinear equations of elliptic type. Moscow: Nauka, 1973. 576 pp.] 5. J. Serrin, Local behaviour of solutions of quasilinear equations // Acta Math., 1964. Vol. 111. Pp. 247-302. Поступила в редакцию 14/XI/2012; в окончательном варианте 17/I/2013. MSC: 35J62; 35J25, 35J15 SOLUTIONS OF ANISOTROPIC ELLIPTIC EQUATIONS IN UNBOUNDED DOMAINS L. M. Kozhevnikova, A. A. Khadzhi Sterlitamak Branch of Bashkir State University, 47 a, Lenin st., Sterlitamak, 453103, Russia. E-mails: kosul@mail.ru, anna_5955@mail.ru In the paper the Dirichlet problem for an anisotropic quasilinear elliptic equations of the second order is considered. The upper estimates for the generalized solution of this Dirichlet problem are received, the closeness is proved for the isotropic case. Key words: Dirichlet problem, anisotropic equation, quasilinear elliptic equation, gen- eralized solution, unbounded domain, decrease of the solution, existence of solution, uniqueness of the solution, Harnack inequality, domain of rotation. Original article submitted 14/XI/2012; revision submitted 17/I/2013. Larisa M. Kozhevnikova (Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Professor, Dept. of Mathematical Ana- lysis. Anna A. Khadzhi, Postgraduate Student, Dept. of Mathematical Analysis.

About the authors

Larisa Mikhailovna Kozhevnikova

Sterlitamak Branch of Bashkir State University

Email: kosul@mail.ru

Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Anna Alexandrovna Khadzhi

Sterlitamak Branch of Bashkir State University

Email: anna_5955@mail.ru

References

  1. Л. М. Кожевникова, "Поведение на бесконечности решений псевдодифференциальных эллиптических уравнений в неограниченных областях", Матем. сб., 199:8 (2008), 61-94
  2. Р. Х. Каримов, Л. М. Кожевникова, "Поведение на бесконечности решений квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка в неограниченных областях", Уфимск. матем. журн., 2:2 (2010), 53-66
  3. Л. М. Кожевникова, А. А. Хаджи, "Оценка решения задачи Дирихле для анизотропного квазилинейного эллиптического уравнения второго порядка", Сб. трудов междунар. школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых, 1 (2011), 55-63
  4. О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцева, Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа, Наука, М., 1973, 576 с.
  5. J. Serrin, "Local behaviour of solutions of quasilinear equations", Acta Math., 111 (1964), 247-302

Statistics

Views

Abstract - 6

PDF (Russian) - 3

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2013 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies