On problem of nonexistence of dissipative estimate for discrete kinetic equations

Abstract


The existence of a global solution to the discrete kinetic equations in Sobolev spaces is proved, its decomposition by summability is obtained, the influence of its oscillations generated by the interaction operator is explored. The existence of a submanifold ${\mathcal M}_{diss}$ of initial data $(u^0, v^0, w^0)$ for which the dissipative solution exists is proved. It’s shown that the interaction operator generates the solitons (progressive waves) as the nondissipative part of the solution when the initial data $(u^0, v^0, w^0)$ deviate from the submanifold ${\mathcal M}_{diss}$. The amplitude of solitons is proportional to the distance from $(u^0, v^0, w^0)$ to the submanifold ${\mathcal M}_{diss}$. It follows that the solution can stabilize as $t\to\infty$ only on compact sets of spatial variables.

Full Text

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. 1 (30). С. 106-143 УДК 517.958:533.723 К ПРОБЛЕМЕ НЕСУЩЕСТВОВАНИЯ ДИССИПАТИВНОЙ ОЦЕНКИ ДЛЯ ДИСКРЕТНЫХ КИНЕТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Е. В. Радкевич Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, механико-математический факультет, Россия, 119899, Москва, Воробьёвы горы. E-mail: evrad07@gmail.com Для дискретных уравнений кинетики доказано существование глобального реше- ния в пространствах Соболева, получено разложение его по суммируемости, ис- следовано влияние осцилляций, порождаемых оператором взаимодействия. До- казано существование подмногообразия Mdiss начальных данных (u0 , v0 , w0 ), для которых существует диссипативное решение. Показано, что при отклонении начальных данных (u0 , v0 , w0 ) от подмногообразия Mdiss оператор взаимодей- ствия порождает недиссипативную часть решения солитоны (бегущие вол- ны). Амплитуда солитонов пропорциональна расстоянию от (u0 , v0 , w0 ) до под- многообразия Mdiss. Отсюда следует стабилизация решений при t только на любом компакте пространственных переменных. Ключевые слова: диссипативные оценки, дискретные кинетические уравнения. 1. Введение. В этой статье мы продолжим исследование [1] проблемы несуществования диссипативной оценки Коши для дискретных кинетических уравнений (модели типа Бродуэлла [2] газовой динамики с конечным числом различных скоростей частиц и конечным числом разных парных взаимодей- ствий): tni + (ixx + iyy + izz)ni = = k,l,j;k=i,l=i,j=i ij kl(nknl - ninj), i = 1, 2, . . . , N, (1) поставленной в 1974 г. в [3]. Общим для таких систем с кинетическим урав- нением Больцмана является выполнение уравнения неразрывности t N j=1 nj + x N j=1 (jxx + jyy + jzz)nj = 0, сохранение импульса и справедливость H-теоремы Больцмана [4-6] t(ni ln ni) + (ixx + iyy + izz)(ni ln ni) = = k,l,j;k=i,l=i,j=i ij kl ln ninj nlnk (nknl - ninj). Евгений Владимирович Радкевич (д.ф.-м.н., проф.), профессор, отделение математики, каф. дифференциальных уравнений. 106 К проблеме несуществования диссипативной оценки . . . Отличие состоит в том, что не сохраняется энергия и нет диссипативной оценки. В этой статье мы постараемся выяснить причину отсутствия дисси- пативной оценки для одномерной модели типа Бродуэлла (см. [3]). Доказа- тельство переносится на двумерную и трёхмерную модели в [3]. Рассмотрим задачу Коши: tu + xu = 1 (v2 - uw), tv = - 2 (v2 - uw), tw - xw = 1 (v2 - uw); (2) v(0) = v0 , u(0) = u0 , w(0) = w0 , на прямой x R для t > 0. Система (2) является кинетическим уравнением Больцмана модельного одномерного газа [4], состоящего из частиц со скоро- стями c = 1, 0, -1 (их плотности соответственно u = n1(x, t), v = n2(x, t), w = n3(x, t)). 2. Малые возмущения. В окрестности состояния равновесия v2 e = uewe решение будем искать в виде u = ue + 2 u1/2 e u, v = ve + 2 v1/2 e v, w = we + 2 w1/2 e w. Тогда система запишется следующим образом: tU + AxU + 1 BU = 1/2 (U, U), (3) U(0) = U0 где A = 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 , B = we -2

About the authors

Evgenii Vladimirovich Radkevich

Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics

Email: evrad07@gmail.com

Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. Е. В. Радкевич, "О существовании глобальных решений задачи Коши для дискретных кинетических уравнений (непериодический случай)", Пробл. мат. анал., 62 (2012)
  2. T. E. Broadwell, "Study of rarified shear flow by the discrete velocity method", J. Fluid Mech., 19:3 (1964), 401-414
  3. С. К. Годунов, У. М. Султангазин, "О дискретных моделях кинетического уравнения Больцмана", УМН, 26:3(159) (1971), 3-51
  4. L. Boltzmann, "On the Maxwell method to the reduction of hydrodynamic equations from the kinetic gas theory", Rep. Brit. Assoc. , London, 1894, 579
  5. В. В. Веденяпин, Кинетические уравнения Больцмана и Власова, Физматлит, М., 2001, 112 с.
  6. S. Chapman, T. G. Cowling, The mathematical theory of non-uniform gases. An account of the kinetic theory of viscosity, thermal conduction and diffusion in gases, Cambridge University Press, Cambridge, 1970, xxiv+423 pp.
  7. R. Peierls, "Zur kinetischen Theorie der Wärmeleitung in Kristallen", Ann. Phys., 395:8 (1929), 1055–1101

Statistics

Views

Abstract - 6

PDF (Russian) - 0

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2013 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies