On the problem with generalized operators of fractional differentiation for mixed type equation with two degeneracy lines

Abstract


The nonlocal problem for mixed-type equation with perpendicular lines of degeneracy is investigated for the case when the Dirichlet condition is given on the elliptic boundary, and the generalized derivatives of the solution values on the characteristics are pointwise related to the solution and its normal derivatives values on the lines of a parabolic degeneracy in its hyperbolic parts.

Full Text

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. 1 (30). С. 150-158 УДК 517.956.6 О ЗАДАЧЕ С ОБОБЩEННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ ДРОБНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА С ДВУМЯ ЛИНИЯМИ ВЫРОЖДЕНИЯ О. А. Репин1,2 , С. К. Кумыкова3 1 Самарский государственный экономический университет, 443090, Россия, Самара, ул. Советской Армии, 141. 2 Самарский государственный технический университет, Россия, 443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244. 3 Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х. М. Бербекова Россия, 360004, Нальчик, ул. Чернышевского, 173. E-mails: matstat@mail.ru, bsk@rect.kbsu.ru Для уравнения смешанного типа с перпендикулярными линиями вырождения ис- следована нелокальная задача, когда на эллиптической части границы области задано условие Дирихле, а в гиперболических частях обобщённые производные от значений решения на характеристиках поточечно связаны со значениями решения и нормальных производных от неё на линиях параболического вырож- дения. Ключевые слова: нелокальная задача, регулярное решение, операторы дробного интегро-дифференцирования, задача Коши, уравнение Фредгольма, сингулярное интегральное уравнение с ядром Коши, регуляризатор, уравнение Абеля. 1. Постановка задачи. Рассмотрим уравнение смешанного типа |y|k uxx + sign(xy)|x|k uyy = 0, k > 0 (1) в конечной односвязной области , ограниченной кривой Жордана с конца- ми в точках A(1; 0), B(0; 1), расположенной в первом квадрате x > 0, y > 0, и характеристиками BC : (-x)p + yp = 1, CD : x + y = 0, AD : xp + (-y)p = 1, 2p = k + 2 уравнения (1). Обозначим через 1 и 2 гиперболические части смешанной области , где x > 0 и x < 0 соответственно, а через 3 эллиптическую часть области ; I1 (I2) интервал 0 < x < 1 (0 < y < 1) прямой y = 0 (x = 0). Пусть (I,, 0+ f)(x) и (I,, 1- f)(x) операторы обобщённого дробного инте- гро-дифференцирования с гипергеометрической функцией Гаусса F(a, b; c; z), введённые в работе [1] (см. также [2, с. 326-327]) и имеющие при действитель- ных , , и x > 0 вид (I,, 0+ f)(x) = x-- () x 0 (x - t)-1 F + , -; ; 1 - t x f(t)dt ( > 0), (2) (I,, 0+ f)(x) = d dx n (I+n,-n,-n 0+ f)(x) ( 0, n = [-] + 1); (3) Олег Александрович Репин (д.ф.-м.н., проф.), зав. кафедрой, каф. математической стати- стики и эконометрики1 ; профессор, каф. прикладной математики и информатики2 . Светлана Каншубиевна Кумыкова (к.ф.-м.н., доц.), доцент, каф. теории функций и функ- ционального анализа. 150 О задаче с обобщёнными операторами дробного дифференцирования. . . (I,, 1- f)(x) = (1 - x)-- () 1 x (t - x)-1 F + , -; ; t - x 1 - x f(t)dt ( > 0), (4) (I,, 1- f)(x) = - d dx n (I+n,-n,-n 1- f)(x) ( 0, n = [-] + 1). (5) Определение. Под регулярным в области решением уравнения (1) по- нимается функция u(x, y) C()C1()C2(123), удовлетворяющая уравнению (1) и такая, что uy(x, 0), ux(0, y) на концах интервалов I1, I2 могут обращаться в бесконечность порядка не выше 1 - 2. Задача A. Найти регулярное в области решение u(x, y) уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям u(x, y) = (x, y) (x, y) , a1(x)I-1,1-2,0 0+ u[1 0(t)] + b1(x)I-1,1-2,0 1- u[1 1(t)]+ +c1(x)uy(x, 0) + d1(x)u(x, 0) = f1(x) x I1, (6) a2(y)I-1,1-2,0 0+ u[2 0(t)] + b2(y)I-1,1-2,0 1- u[2 1(t)]+ +c2(y)ux(0, y) + d2(y)u(0, y) = f2(y) y I2, где = k 2k + 4 , 0 < < 1 2 , 1 2p = 1 2 - , i 0(x) и i 1(x) точки пересечения характеристик уравнения (1), выходя- щих из точек (x, 0) I1 и (0, y) I2 с характеристиками OD, AD и OC, BC соответственно; (x, y), ai(t), bi(t), ci(t), di(t), fi(t) заданные непре- рывные функции такие, что a2 i (t) + b2 i (t) + c2 i (t) + di(t)2 = 0, t Ii, i = 1, 2, (x, y) C1 (), ai(t), bi(t), ci(t), di(t), fi(t) C(2,h) (Ii), h > 0. (7) Отметим, что задача А относится к классу краевых задач со смещением (по терминологии А. М. Нахушева [3]). Нелокальные задачи для уравнений с двумя линиями вырождения были объектом исследования в публикациях [4-7]. 2. Единственность решения задачи А. Решение задачи Коши для уравне- ния (1) с данными на линии вырождения y = 0 в области 1 даётся форму- лой [4,8] u(x, y) = -23-4 p (2) 2() xy b 1 p a 1 p t2p-1 (t2p - a2 )-1 (b2 - t2p )-1 1(t)dt- - 24-1 p (2 - 2) 2(1 - ) b 1 p a 1 p t2p-2 (t2p - a2 )- (b2 - t2p )- 1(t)dt, (8) 151 О. А. Р е п и н, С. К. К у м ы к о в а где a = xp - (-y)p, b = xp + (-y)p, 1(x) = u(x, 0), 1(x) = uy(x, 0), а в области 2 даётся формулой u(x, y) = -23-4 p (2) 2() xy d 1 p c 1 p t2p-1 (t2p - c2 )-1+ (d2 - t2p )-1+ 2(t)dt- - 24-1 p (2 - 2) 2(1 - ) d 1 p c 1 p t2p-2 (t2p - c2 )- (d2 - t2p )- 2(t)dt, (9) где 2(t) = u(t, 0), 2(x) = ut(0, t), c = yp - (-x)p, d = yp + (-x)p. Из (8) в силу (2)-(5) после некоторых преобразований находим u[1 0(x)] = (2) () I,0,-1 0+ 1(t) (x) - 24-2 (2 - 2) (1 - ) I1-,2-1,-1 0+ t- 1 2p 1(t) (x), u[1 1(x)] = (2) () I,0,-1 1- 1(t) (x) - 24-2 (2 - 2) (1 - ) I1-,2-1,-1 1- t- 1 2p 1(t) (x), где 1(x) = 1(x2p), 1(x) = 1(x2p). Подставляя u[1 0(x)] и u[1 1(x)] в краевое условие (6), учитывая компози- ционные свойства обобщённых операторов [2, с. 327] I,, 0+ (I,,+ 0+ f)(t) (x) = (I+,+, 0+ f)(x) ( > 0), I,, 1- (I,,+ 1- f)(t) (x) = (I+,+, 1- f)(x) ( > 0) и легко проверяемые равенства (I0,0, 0+ f)(x) = (I0,0, 1- f)(x) = f(x), (I-,, 0+ f)(x) = (D 0+f)(x), (I-,, 1- f)(x) = (D 1-f)(x), > 0, где (D 0+f)(x) и (D 1-f)(x) дробные производные Римана Лиувилля [2, с. 44], получим 24-2 (2 - 2) (1 - ) (a1(x) + b1(x)) x - 1 2p - c1(x) 1(x) = = (2) () a1(x)D1-2 0+ 1(t) + b1(x)D1-2 1- 1(t) + d1(x)1(x) + f1(x). (10) Аналогично устанавливается функциональное соотношение между 2(y) и 2(y), принесенное на I2 из области 2, которое имеет вид 152 О задаче с обобщёнными операторами дробного дифференцирования. . . 24-2 (2 - 2) (1 - ) (a2(y) + b2(y)) y- 1 2p - c2(y) 2(y) = = (2) () a2(y)D1-2 0+ 2(t) + b2(y)D1-2 1- 2(t) + d2(y)2(t) + f2(y), (11) где 2(y) = 2(y2p), 2(y) = 2(y2p). Докажем справедливость следующей теоремы. Теорема. В области не может существовать более одного регулярно- го решения поставленной задачи, если выполнены условия E1(x) = 24-2 (2 - 2) (1 - ) x- 1 2p [a1(x) + b1(x)] - c1(x) = 0 x I1, xka1(x) E1(x) 0, xkb1(x) E1(x) 0, xkd1(x) E1(x) 0, x I1, (12) E2(y) = 24-2 (2 - 2) (1 - ) y - 1 2p [a2(y) + b2(y)] - c2(y) = 0 y I2, yka2(y) E2(y) 0, ykb2(y) E2(y) 0, ykd2(y) E2(y) 0, y I2, ai(1) = 0, bi(0) = 0, i = 1, 2. (13) Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть u(x, y) решение однородной задачи. Тогда в области эллиптичности 3 уравнения (1) имеет место равенство [4, с. 135] 3 (yk u2 x + xk u2 y)dxdy + 1 0 xk 1(x)1(x)dx + 1 0 yk 2(y)2(y)dy 0. (14) Полагая f1(x) 0, f2(y) 0, установим справедливость неравенств 1 0 tk i(t)i(t) dt 0, i = 1, 2, t = x, y. (15) При i = 1, t = x, f1(x) 0 соотношение (10) примет вид 1(x) = m1(x)(D1-2 0+ 1)(x) + m2(x)(D1-2 1- 1)(x) + m3(x)1(x), где m1(x) = (2)a1(x) ()E1(x) , m2(x) = (2)b1(x) ()E1(x) , m3(x) = d1(x) E1(x) . (16) Рассмотрим интеграл (2) 1 0 xk 1(x)1(x)dx = 1 0 xk m1(x)1(x) d dx x 0 1(t) dt (x - t)1-2 dx- 153 О. А. Р е п и н, С. К. К у м ы к о в а - 1 0 xk m2(x)1(x) d dx 1 x 1(t)dt (t - x)1-2 dx + (2) 1 0 xk m3(x)(1(x))2 dx. Введём следующие обозначения: sin(2) d dx x 0 1(t) dt (x - t)1-2 = 1 (x), - sin(2) d dx 1 x 1(t) dt (t - x)1-2 = 1 (x). С учётом формулы обращения интегрального уравнения Абеля [9, с. 47] найдём 1(x) = x 0 1 (t)dt (x - t)2 , 1(x) = 1 x 1 (t) dt (t - x)2 . (17) Воспользуемся известной формулой для функции () [10, с. 385] 0 t-1 cos(kt)dt = () k cos 2 (k > 0, 0 < < 1). Полагая k = |x - |, = 2, получим 1 |x - |2 = 1 (2) cos() 0 t2-1 cos(t|x - |)dt. (18) На основании формулы (18) после смены порядка интегрирования, а затем интегрирования по частям c учётом (13), (16) и (17) будем иметь 1 2 (2) sin(2) cos() 1 0 xk 1(x)1(x)dx = - 1 2 0 t2-1 dt 1 0 m1(x) x 0 1 () cos(t)d 2 + x 0 1 () sin(t)d 2 dx+ + 1 2 0 t2-1 dt 1 0 m2(x) 1 x 1 () cos(t)d 2 + 1 x 1 () sin(t)d 2 dx+ + 1 2 (2) sin(2) cos() 1 0 m3(x) (1(x))2 dx, где mi(x) = xkmi(x), i = 1, 2, 3. Отсюда в силу условий (12) и выполнения sin(2) cos() > 0 получаем неравенство (15). Опираясь на соотношение (11), нетрудно доказать неравенство (15) и в случае i = 2, t = y, f2(y) 0. Из соотношений (14) и (15) сразу следует справедливость теоремы един- ственности решения задачи А. 3. Существование решения задачи А. Переходя к доказательству суще- ствования решения задачи А, будем полагать, что кривая совпадает с нор- мальным контуром 0: x2p + y2p = 1. В работе [11, с. 789] приведено решение задачи Хольмгрена (задача Н) для уравнения (1) в области 3, которое определяется формулой 154 О задаче с обобщёнными операторами дробного дифференцирования. . . u(x, y) = 1 0 (t) G(t, (1 - t)2p ) 1 2p ; x, y dt+ + 1 0 tk 1(t)G(t, 0; x, y)dt + 1 0 tk 2(t)G(0, t; x, y)dt, (19) где G(, ; x, y) функция Грина задачи Н, [G] = k G d ds - k G d ds , (x) C[0, 1], (0) = (1) = 0; x1(x), y2(y) C(0, 1) L1[0, 1]. Справедливость формулы (19) установлена в монографии [12, с. 67-73]. Для упрощения вычислений положим (x, y) = 0, a1(t) = a2(t) = a(t), b1(t) = b2(t) = b(t), t = x, y, d1(x) = d2(y) = 0. Функциональные соотношения между i(x) и i(x), принесённые на Ii (i = 1, 2) из эллиптической части 3, имеют вид [4, с. 137] i(x) = - 2p 1 0 - 1 2 1 | - x|2 - 1 |1 - x|2 i()d- - 2p 1 0 - 1 2 1 ( + x)2 - 1 (1 + x)2 j()d, (20) где = 2() 22-4(2) , j = 1, 2, i = j. Функциональные соотношения между i(x) и i(x), принесённые на Ii (i = 1, 2) из гиперболических 1(2) частей смешанной области , записы- ваются в виде Ei(x)i(x) = (2) () a(x)D1-2 0+ i(x) + b(x)D1-2 1- i(x) + fi(x), (21) где i, j = 1, 2, i = j. Исключив из (20) и (21) i(x), а затем используя известные соотноше- ния [13]: D1-2 0+ 1 0 - 1 2 1() d | - x|2 = = 1 (2) tg()x- 1 2 1(x) + 1 0 t x 1-2 t- 1 2 1(t) dt t - x , D1-2 0+ 1 0 - 1 2 1()d |1 - x|2 = 1 (2) 1 0 t- 1 2 1 x 1-2 1(t)dt 1 - xt , D1-2 0+ 1 0 - 1 2 1() d ( + x)2 = 1 (2) 1 0 t 1 2 - x t 2-1 1(t)dt x + t , 155 О. А. Р е п и н, С. К. К у м ы к о в а D1-2 0+ 1 0 - 1 2 1()d (1 + x)2 = 1 (2) 1 0 t 1 2 - x2-1 1(t)dt 1 + xt и аналогичные равенства при действии оператора D1-2 1- , получим систе- му сингулярных интегральных уравнений относительно неизвестных функ- ций i(x) (i, j = 1, 2, i = j): Ei(x) + x- 1 2 tg() (a(x) + b(x)) 2p() i(x)+ + a(x) 1 0 x 1-2 1 - x - 1 x 1-2 1 1 - x - 1 2 i()d+ + a(x) 1 0 x 1-2 1 + x - 1 x 1-2 1 1 + x - 1 2 j()d- - b(x) 1 0 1 - 1 - x 1-2 1 - x + 1 1 - x - 1 2 i()d+ + b(x) 1 0 1 + 1 - x 1-2 1 + x - 1 1 + x - 1 2 j()d = 2p() fi(x). (22) Полагая 1(x) = x- 1 2 (1(x) + 2(x)) , 2(x) = x- 1 2 (1(x) - 2(x)) , F1(x) = 2p() (f1(x) + f2(x)) , F2(x) = 2p() (f1(x) - f2(x)) , перепишем систему (22) в виде A(x)i(x) + 1 0 K(x, )i() d - x = Fi(x), (23) где A(x) = 2p() x 1 2 - Ei(x) + tg() (a(x) + b(x)) , K(x, ) = 2a(x) x 1-2 + x - 1 x 1-2 - x 1 - 2x2 - - b(x) 1 - 1 - x 1-2 (1 - x)(1 + ) 1 - x - 1 + 1 + x 1-2 (1 - )(1 - x)( - x) ( + x)(1 + x) , Fi(x) = 2p() (f1(x) f2(x)), i, j = 1,2, i = j. Ядро K(x, ) уравнения (23) при x = непрерывно. При x = и x = 0, 1 K(x, ) на концах отрезка [0, 1] допускает особенность порядка 1 - 2 и, сле- довательно, при = x ядро K(x, )/( - x) может допускать особенность [x(1 - x)]2-1, т.е. слабую особенность. Из вида функций Fi(x) в силу усло- вий (7) можно заключить, что правая часть Fi(x) C(2,h)(Ii), h > 0, i = 1, 2. 156 О задаче с обобщёнными операторами дробного дифференцирования. . . Условие A2(x)+[K(x, x)]2 = 0 гарантирует существование регуляризато- ра [14], приводящего уравнение (23) к интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Отсюда и из единственности искомого решения следует суще- ствование решения задачи А. По найденным i(t), i(t) решение задачи (1)-(3) определяется по форму- лам (8) и (9) в областях 1 и 2 как решение задачи Коши, а в области 3 как решение задачи Хольмгрена по формуле (19). В случае, когда ci(t), di(t) = 0, i = 1, 2, существование решения задачи А доказывается так же, как в работе [4]. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. M. Saigo, A remark on integral operators involving the Gauss hypergeometric functions // Math. Rep. Kyushu Univ., 1977/78. Vol. 11, no. 2. Pp. 135-143. 2. С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев, Интегралы и производные дробного по- рядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с. [S. G. Samko, A. A. Kilbas, O. I. Marichev, Integrals and derivatives of fractional order and some of their applications. Minsk: Nauka i Tekhnika, 1987. 688 pp.] 3. А. М. Нахушев, Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М.: Наука, 2006. 287 с. [A. M. Nakhushev, Problems with shifts for partial differential equations. Moscow: Nauka, 2006. 287 pp.] 4. М. С. Салахитдинов, Б. Менгзияев, Об одной краевой задаче со смещением для урав- нения смешанного типа с двумя линиями вырождения // Диффер. уравн., 1977. Т. 13, 1. С. 133-139. [M. S. Salakhitdinov, B. Mengziyayev, On a boundary value problem with shift for an equation of mixed type with two lines of degeneracy // Differ. Uravn., 1977. Vol. 13, no. 1. Pp. 133-139]. 5. М. М. Смирнов, Об одной задаче со смещением для уравнения смешанного типа 2-го рода с двумя линиями вырождения // Изв. вузов. Матем., 1982. 3. С. 68-75; англ. пер.: M. M. Smirnov, On a problem with shift for a second order mixed equation with two linear degeneracies // Soviet Math. (Iz. VUZ), 1982. Vol. 26, no. 3. Pp. 85-93. 6. О. А. Репин, Т. В. Шувалова, Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения // Диффер. уравн., 2008. Т. 44, 6. С. 848-851; англ. пер.: O. A. Repin, T. V. Shuvalova, Nonlocal boundary value problem for an equation of the mixed type with two degeneration lines // Differ. Equ., 2008. Vol. 44, no. 6. Pp. 876- 880. 7. А. А. Килбас, О. А. Репин, О разрешимости краевой задачи для уравнения сме- шанного типа с частной дробной производной Римана Лиувилля // Диффер. уравн., 2010. Т. 46, 10. С. 1453-1460; англ. пер.: A. A. Kilbas, O. A. Repin, Solvability of a boundary value problem for a mixed-type equation with a partial Riemann-Liouville fractional derivative // Differ. Equ., 2010. Vol. 46, no. 10. Pp. 1457-1464. 8. R. Konti, Sul problema di Cauchy per le equazioni di tipo misto yk zxx - xk zyy = 0. II. (Italian) // Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, Sci. Fis. Mat., III. Ser., 1950. Vol. 2, no. 1-4. Pp. 105-130. 9. С. Г. Михлин, Лекции по линейным интегральным уравнениям. М.: Физматгиз, 1959. 232 с. [S. G. Mikhlin, Lectures on Linear Integral Equations. Moscow: Fizmatgiz, 1959. 232 pp.] 10. Ф. Трикоми, Лекции по уравнениям в частных производных. М.: Иностр. лит., 1957. 443 с. [F. Tricomi, Lectures on partial differential equations. Moscow: Inostr. Lit., 1957. 443 pp.] 11. К. Б. Сабитов, Г. Г. Шарафутдинова, Задача Трикоми для уравнения смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения // Диффер. уравн., 2003. Т. 39, 6. С. 788-800; англ. пер.: K. B. Sabitov, G. G. Sharafutdinova, The Tricomi problem for a mixed type equation with two orthogonal degeneration lines // Differ. Equ., 2003. Vol. 39, no. 6. Pp. 830-843. 157 О. А. Р е п и н, С. К. К у м ы к о в а 12. К. Б. Сабитов, Г. Г. Биккулова, А. А. Гималтдинова, К теории уравнений смешан- ного типа с двумя линиями изменения типа. Уфа: Гилем, 2006. 150 с. [K. B. Sabitov, G. G. Bikkulova, A. A. Gimaltdinova, On the theory of equations of mixed type with two lines of degeneration. Ufa: Gilem, 2006. 150 pp.] 13. С. К. Кумыкова, Об одной задаче с нелокальными краевыми условиями на характе- ристиках для уравнения смешанного типа // Диффер. уравн., 1974. Т. 10, 1. С. 78-88. [S. K. Kumykova, On a problem with nonlocal boundary conditions on the characteristics of the mixed type equation // Differ. Uravn., 1974. Vol. 10, no. 1. Pp. 78-88]. 14. Н. И. Мусхелишвили, Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1946; англ. пер.: N. I. Muskhelishvili, Singular Integral Equations. Groningen: Noordhoff, 1953. Поступила в редакцию 22/X/2012; в окончательном варианте 16/XI/2012. MSC: 35M10; 26A33, 35A05 ON THE PROBLEM WITH GENERALIZED OPERATORS OF FRACTIONAL DIFFERENTIATION FOR MIXED TYPE EQUATION WITH TWO DEGENERACY LINES O. A. Repin1,2 , S. K. Kumykova3 1 Samara State Economic University, 141, Sovetskoy Armii st., Samara, 443090, Russia. 2 Samara State Technical University, 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russia. 3 Kabardino-Balkarian State University, 173, Chernyshevskogo st., Nalchik, 360004, Russia. E-mails: matstat@mail.ru, bsk@rect.kbsu.ru The nonlocal problem for mixed-type equation with perpendicular lines of degeneracy is investigated for the case when the Dirichlet condition is given on the elliptic bound- ary, and the generalized derivatives of the solution values on the characteristics are pointwise related to the solution and its normal derivatives values on the lines of a parabolic degeneracy in its hyperbolic parts. Key words: nonlocal problem, regular solution, operators of fractional integro- differentiation, Cauchy problem, Fredholm equation, singular integral equation with Cauchy kernel, regularizer, Abel equation. Original article submitted 22/X/2012; revision submitted 16/XI/2012. Oleg A. Repin (Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Head of Dept., Dept. of Mathematical Statistics & Econometrics1 ; Professor, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science2 . Svetlana K. Kumykova (Ph. D.(Phys. & Math.)), Associate Professor, Dept. of Function Theory.

About the authors

Oleg Aleksandrovich Repin

Samara State Technical University; Samara State University of Economics


Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Svetlana Kanshubievna Kumykova

Kabardino-Balkar State University

Email: bsk@rect.kbsu.ru, alimka_87@mail.ru

Candidate of physico-mathematical sciences, Associate professor

References

  1. M. Saigo, "A remark on integral operators involving the Gauss hypergeometric functions", Math. Rep. Kyushu Univ., 11:2 (1977/78), 135–143
  2. С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев, Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения, Наука и техника, Минск, 1987, 688 с.
  3. А. М. Нахушев, Задачи со смещением для уравнений в частных производных, Наука, М., 2006, 287 с.
  4. М. С. Салахитдинов, Б. Менгзияев, "Об одной краевой задаче со смещением для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения", Диффер. уравн., 13:1 (1977), 133-139
  5. М. М. Смирнов, "Об одной задаче со смещением для уравнения смешанного типа 2-го рода с двумя линиями вырождения", Изв. вузов. Матем., 1982, № 3, 68-75
  6. О. А. Репин, Т. В. Шувалова, "Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения", Диффер. уравн., 44:6 (2008), 848-851
  7. А. А. Килбас, О. А. Репин, "О разрешимости краевой задачи для уравнения смешанного типа с частной дробной производной Римана-Лиувилля", Диффер. уравн., 46:10 (2010), 1453-1460
  8. R. Konti, "Sul problema di Cauchy per le equazioni di tipo misto . II. (Italian)", Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, Sci. Fis. Mat., III. Ser., 2:1-4 (1950), 105-130
  9. С. Г. Михлин, Лекции по линейным интегральным уравнениям, Физматгиз, М., 1959, 232 с.
  10. Ф. Трикоми, Лекции по уравнениям в частных производных, Иностр. лит., М., 1957, 443 с.
  11. К. Б. Сабитов, Г. Г. Шарафутдинова, "Задача Трикоми для уравнения смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения", Диффер. уравн., 39:6 (2003), 788-800
  12. К. Б. Сабитов, Г. Г. Биккулова, А. А. Гималтдинова, К теории уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа, Гилем, Уфа, 2006, 150 с.
  13. С. К. Кумыкова, "Об одной задаче с нелокальными краевыми условиями на характеристиках для уравнения смешанного типа", Диффер. уравн., 10:1 (1974), 78-88
  14. Н. И. Мусхелишвили, Сингулярные интегральные уравнения, Наука, М., 1946

Statistics

Views

Abstract - 36

PDF (Russian) - 17

Cited-By


Article Metrics

Metrics Loading ...

PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2013 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies