Blow-up of solutions of Cauchy problem for nonlinear Schrödinger equation

Abstract


In this work we study the effect of time finiteness of the existence of Cauchy problem for nonlinear Schrödinger equation solution. Together with the ill-posed Cauchy problem we consider its neighborhood in the space of operators, representing Cauchy problem. We explore the convergence of sequence of solutions of Cauchy problems with the operators, approximating the initial Hamiltonian.

Full Text

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. 1 (30). С. 159-171 УДК 517.958:530.145.6 РАЗРУШЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЙ ШРEДИНГЕРА В. Ж. Сакбаев Московский физико-технический институт (государственный университет), Россия, 141700, Долгопрудный, Институтский пер., 9. E-mail: fumi2003@mail.ru Настоящая работа посвящена изучению эффекта конечности времени суще- ствования решения задачи Коши для нелинейного уравнения Шрёдингера. Вме- сте с некорректной задачей Коши рассматривается её окрестность в простран- стве операторов, представляющих задачу Коши. Исследована сходимость после- довательности решений задач Коши с операторами, аппроксимирующими исход- ный гамильтониан. Ключевые слова: нелинейное уравнение Шрёдингера, регуляризация, режим с обострением, разрушение решения, вязкостное решение. Введение. Моментом разрушения решения начально-краевой задачи бу- дем называть точную верхнюю грань правых границ промежутков существо- вания её решения. Под явлением режима с обострением в задаче Коши по- нимается (см. [1-3]) существование такого решения на ограниченном времен- ном промежутке, для которого имеет место стремление нормы решения в некотором пространстве к бесконечности на правом конце промежутка. Тем не менее разрушение решения задачи Коши может, как показывают приме- ры задач Коши для уравнений с частными производными первого порядка (см. [4,5]) и задач Коши с вырожденными гамильтонианами [6], не сопровож- даться стремлением его нормы к бесконечности. Кроме того, уход решения на бесконечность в ряде случаев происходит в достаточно сильной норме W1 2 (Rd), L(Rd), но при этом норма решения в более широком банаховом про- странстве с более слабой нормой остается ограниченной равномерно на всем промежутке существования решения. Так, в случае нелинейного уравнения Шрёдингера (см. [7-9]) в момент градиентной катастрофы T выполняется условие lim tT-0 u(t) W 1 2 (Rd) = +, а в случае линейного (см. [10, 11]) для последовательности {un(t)} решений аппроксимирующих задач выполняется равенство lim n un(t) W 1 2 (Rd) = + при всех t > T. Тем не менее u(t) L2(Rd) = u0 L2(Rd) при всех t [0, T). В работе [12] моментом разрушения решения считается величина T = sup t > 0 : {x Rd : {xn} x, {tn} t-0 : lim n u(tn, xn) = } = . 1 Всеволод Жанович Сакбаев (к.ф.-м.н., доц.), доцент, каф. высшей математики. 159 В. Ж. С а к б а е в Поэтому возникает предположение, что задача Коши описывает эволюцию системы и на интервале времени t > T в, быть может, расширенном про- странстве: для уравнений Шрёдингера с градиентным обострением в про- странстве L2 или в пространстве квантовых состояний (см. [6,13]), для урав- нений с обращением решения в бесконечность на области координатного про- странства в дополнении этой области (см. [11,12,14]). Причины возникнове- ния моментов разрушения решения дифференциальных уравнений и некото- рые подходы к определению процедуры продолжения решения исследованы в работе [15]. В настоящей работе мы исследуем явление градиентного взрыва решения задачи Коши для нелинейного уравнения Шрёдингера i d dt u = Lu u + f(|u|2 )u, t > 0, x ; (1) u(+0) = u0, u0 H = L2(B1(Rd )). (2) Кроме того, исследуется поведение последовательности решений задач Ко- ши, аппроксимирующих задачу (1), (2), решения которой допускают явле- ние градиентного взрыва. Здесь область является либо пространством Rd (в этом случае оператор Лапласа в Rd), либо ограниченной областью пространства Rd, звездной относительно начала координат, с гладкой (зада- ваемой локально графиками бесконечно дифференцируемых функций) гра- ницей (в этом случае оператор Лапласа Дирихле в ). То есть в случае отличия области от пространства Rd в формулировку задачи Коши (1), (2) включается граничное условие Дирихле u| = 0. В качестве модельного примера нелинейности в уравнении Шрёдингера будем рассматривать функцию f(|u|2) = c|u|p с некоторой постоянной c > 0. Помимо того будем изучать некоторый класс F функций f, определяемых нижеследующими условиями. Условие F1. Функция f(s), s [0, +), является K раз непрерывно диф- ференцируемой на промежутке [0, +) при некотором K N (производная в точке s = 0 понимается как одностороняя), причём f(0) = 0. Рассматривая комплексную плоскость C как двумерное вещественное ли- нейное пространство R2, заключаем, что согласно F1 функция f(|u|2)u явля- ется K раз непрерывно дифференцируемой как отображение из R2 в R2. Условие F2 Существуют такие постоянные C > 0 и p > 0 такие, что || (u1)1 (u2)2 [f(|u1+iu2|2 )(u1+iu2)] C(1+|u1+iu2|p ), u = u1+iu2 C, при всех = (1, 2) таких, что j {0, 1, 2, . . . } и || = 1 + 2 K. В работах [9, 7, 16] получены условия на параметр нелинейности p, раз- мерность координатного пространства d и начальные данные задачи Коши (1), (2), достаточные для возникновения у решения задачи Коши градиентой катастрофы за конечное время, допускающее оценку сверху и, наоборот, до- статочные для глобальной корректной разрешимости задачи Коши (1), (2). Близкие исследования задачи Коши с ограниченной пространственной обла- стью проведены в работе [17]. 160 Разрушение решений задачи Коши . . . Рассмотрим модельный пример нелинейной функции f(|u|2) = |u|p. При- чиной явления градиентной катастрофы при достаточно больших p является неограниченность функционала энергии E(u) = Rd c p + 2 |u|p+2 - 1 2 | u|2 dx, ни сверху, ни снизу. Это свойство приводит к тому, что неограниченный рост L2-нормы градиента решения при t T - 0 компенсируется неограничен- ным ростом при t T - 0 потенциальной энергии c u Lp+2 при условии постоянства энергии E. Поэтому в качестве регуляризующих аппроксимаций уравнения (1) рассмотрим регуляризацию нелинейного уравнения Шрёдин- гера четвёртого порядка, то есть последовательность нелинейных уравнений Шрёдингера i d dt u = Lu u + f(|u|2 )u + 2 u, t > 0, (0, 1), (3) где (0, 1) параметр регуляризации. Тогда при f(|u|2) = |u|p регуляризо- ванный функционал энергии E(u) = Rd c p + 2 |u|p+2 - 1 2 | u|2 + 2 |u|2 dx, (0, 1), при каждом (0,1) полуограничен снизу, что приводит к ограниченности поверхностей уровня энергии E в пространстве W1 2 (). 1. Определение решения. Для изучения разрешимости задачи Коши вве- дём следующие банаховы пространства. При каждом l N через Hl обозначим замкнутое подпространство ба- нахова пространства Wl 2(), элементы которого удовлетворяют l условиям ju| = 0 при j Z : 0 2j < l на границе области . Таким образом, H2l = D(l), где оператор Лапласа Дирихле в об- ласти . Если область совпадает с пространством Rd, то Hl = Wl 2(). Далее через C(I, X) будем обозначать банахово пространство непрерывных отображений промежутка I в банахово пространство X. Следуя подходу, изложенному в [9,16], дадим следующее определение. Определение. При каждом l N функцию u(t, · ) C([0, T), Wl 2()) C1 ((0, T), Wl-2 2 ()) будем называть Hl-решением задачи (1), (2), если u(t, · ) C([0, T), Hl) и выполнено равенство lim t+0 u(t, ·) - u0 W l 2() = 0, а равенство (1) при подстановке в него функции u обращается в тождество при каждом t (0, T) в пространстве Wl-2 2 (). 161 В. Ж. С а к б а е в Согласно [9] функция u : [0, T) H является Hl-решением задачи (1), (2) (l {1, 2, . . . , K}) тогда и только тогда, когда u C([0, T), Hl) и справедливо равенство u(t) = e-it u0 - i t 0 e-i(t-s) [f(|u(s)|2 )u(s)]ds, t [0, T], (4) оператор Лапласа Дирихле в области . Согласно результатам работ [16] (см. предложения 2.1-2.4) и [9] (см. теоре- му 1.2.4 и замечание 1.2.6 цитируемой монографии) справедливы следующие утверждения. Теорема 1. Пусть функция f удовлетворяет условиям F1 и F2 при K 1. Тогда для любго u0 Hl() существует такое T1 (0, +], что задача Коши (1), (2) имеет единственное решение u(t), t [0, T1), причём если T1 < +, то lim tTl-0 u(t) H1 = +. Теорема 2. Пусть функция f удовлетворяет условиям F1 и F2 при некотором K > 1 + d/2. Тогда для любых l N : d/2 < l K - 1 из условия u0 Hl() следует существование такого числа Tl (0, +], что Hl-решение u(t, u0) задачи Коши (1), (2) существует на промежутке [0, Tl), причём если Tl < +, то lim tTl-0 u(t, u0) Hl = +. Доказательство локального существования решения проводится на осно- вании принципа сжимающих отображений для отображения G, преобразу- ющего банахово пространство C([0, T], Hl) при некоторых T > 0 и l 1. А именно, при каждом l N и для каждого u0 Hl определим оператор G на выпуклом замкнутом в пространстве C([0, T], Hl) множестве MT = u C([0, T], Hl ), u(0) = u0; u C([0,T],Hl) 2 u0 Hl согласно равенству (Gu)(t) = e-it u0 - i t 0 e-i(t-s) [f(|u(s)|2 )u(s)]ds, t [0, T]. Доказательство существования и единственности неподвижной точки у отоб- ражения G почти дословно повторяет доказательство теоремы 1.2.4 рабо- ты [9]. Как и в работе [7] (см. также [18]), доказывается следующее утверждение. Лемма 1. Если u Hl-решение задачи Коши (1), (2), l 1, то при зна- чениях функционалов N(u) = u 2 L2() и энергии E(u) = 1 2 F(|u|2 ) - 1 2 | u|2 dx, 162 Разрушение решений задачи Коши . . . где F(s) = s 0 f()d, s 0, на функциях u(t), t [0, T], не зависят от t: N(u(t)) = N(u0), E(u(t)) = E(u0) t [0, T]. Лемма 2. Если функция F удовлетворяет неравенству F(s) 2C0 p + 2 s p+2 2 при некотором C0 > 0 и некотором p [0, 4/d), то H1-решение задачи Коши (1), (2) существует глобально на промежутке [0, +) и на указанном про- межутке единственно, причём функция u(t) H1 , t [0, +), ограничена на промежутке [0, +). Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно неравенству Гёльдера u p+2 u 1- 2 u r, (5) где (0, 1), r > 2 и 1 p + 2 = 1 - 2 + r , и, следовательно = (r) = rp 2(p + 2)(r - 2) . При d 3 положим r = 2 = 2d d - 2 , тогда = d p 2(p + 2) и согласно неравенству Соболева u 2 C u 2 (см. [19]). Поэтому u p+2 C u 1- 2 u 2, а поскольку u 2 = u0 2, то u p+2 p+2 C1 u dp 2 2 . Поэтому из условия сохранения энергии 1 2 u 2 2 = -E(u0) + 1 2 F(|u|2 )dx. Тогда согласно предположению леммы 1 2 u 2 2 -E(u0) + C0 p + 2 u p+2 p+2 -E(u0) + C1 u 2 . (6) 163 В. Ж. С а к б а е в При d {1, 2} 2 = +, поэтому выберем r > 2 в (5) таким образом, чтобы выполнилось неравенство (r)(p + 2) < 2, что всегда можно сделать при p < 4 (согласно предположению леммы p < 4/d 4). Тогда u p+2 p+2 u (p+2)(1-(r)) 2 u (p+2)(r) r в силу (5), а поскольку в силу теоремы Соболева Гальярдо Ниренберга при любом r < 2 справедлива оценка u r Cr u 2, из условия сохранения энергии также получаем (6). Следовательно, при всех d N справедливо неравенство u 2 2 = c2 + c3 u 2 , где < 2. Поэтому существует такая постоянная M > 0, что u(t) H1 = u(t) 2 M для любого t [0, T1). Следовательно, согласно теореме 1 выполняется равенство T1 = +. Предположим для функции f(s), s 0, выполнение следующего условия. Условие F3. Функция F(s) = s 0 f()d удовлетворяет условию sf(s) CdF(s) s 0, где Cd > 1 + 2/d. Например, если f(s) = sp/2, то условие F3 означает, что p > 4/d. Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 1 и условие F3. Пусть u0 H1 и выполняются неравенства E(u0) > 0 и J(u0) > 0. Тогда время T1 существования H1-решения конечно и lim tT1-0 u(t, · ) W 1 2 () = +. Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 3 повторяет рассуждения работ [7, 9] об эволюции значений на H1-решении u(t), t (0, T1) задачи (1), (2) следующих функционалов: Y (u) = |x|2 |u(x)|2 dx, J(u) = Im (x, u)udx = Im rur udx, где r = |x|, с помощью которых на основании предположений теоремы уста- навливаются соотношения d dt Y (u(t)) = -4J(u(t)), d dt J(u(t)) u 2 2, где = (Cd, d) > 0. При получении последнего неравенства в случае огра- ниченной области используется предположение её звёздности относительно начала координат. Заметим, что функции u0 C 0 (), удовлетворяющие условиям теоре- мы 3, существуют. Например, если w C 0 , w = 0, то точки луча {aw, a (0, +)} удовле- творяют указанным условиям при всех достаточно больших a. 164 Разрушение решений задачи Коши . . . 2. О решении регуляризованных задач. При каждом > 0 и каждом l = = 0, 1, 2, . . . будем называть Hl-решением регуляризованной задачи Коши (2), (3) на промежутке [0, T) функцию u(t, x), (t, x) [0, T) , такую, что u C([0, T), Hl()), удовлетворяющую равенству u(t) = e-i(+2)t u0 + t 0 e-i(+2)(t-s) f(|u(s)|2 )u(s)ds (7) в пространстве C([0, T), Hl()). Установим условия, при которых нелинейный оператор u f(|u|2)u дей- ствует с области определения в соответствующее постановке задачи функци- ональное пространство. Заметим, что согласно теореме вложения С. Л. Собо- лева имеет место непрерывное вложение пространства Wl 2() в пространство C() при условии, что l > d/2. В связи с этим нелинейный потенциал V (u) = = |u|p является непрерывной ограниченной функцией на при условии, что u Wl 2(), где l > d/2. А тогда и слагаемое V (u)u = |u|pu принадлежит про- странству L2(). Те же выводы можно сделать и для нелинейной функции f, удовлетворяющей условиям F1 и F2, поскольку композиция f u является непрерывной ограниченной функцией на . Утверждения следующей леммы, подобное утверждениям леммы 1.2 об уравнении Шрёдингера [18, стр. 231], доказываются с помощью применения теоремы вложения Соболева и неравенства Гёдьдера. Лемма 3. Пусть 2(l - 1) d < 2l и функция f удовлетворяет условиям F1 и F2 при K = l + 1. Тогда справедливы следующие утверждения: 1) для любой функции u Hl справедливы включение f(|u|2)u Hl и оценка f(|u|2)u Hl l( u Hl ); 2) для любых двух функций u, v Hl справедлива оценка f(|u|2 )u - f(|v|2 )v Hl l u Hl + v Hl u - v Hl , где l функция вещественной переменной вида l(s) = c1 + c2sl. Замечание 1. Если область ограничена, то условие f(|u|2)u Hl вклю- чает, в частности, обращение в нуль следов kf(|u|2)u при 2k < l. Это условие следует из того обстоятельства, что функция kf(|u|2)u разлагается в сумму слагаемых, каждое из которых содержит в качестве сомножителя выражение ju, j 0, 1, . . . , k; поэтому след kf(|u|2)u| = 0, если только 2k < l. Теорема 4. Пусть > 0, K > 2 и d < 4; пусть F(s) 0 при любом s 0. Тогда для любого u0 W2 2 () задача Коши (2), (3) на промежутке [0, +) имеет единственное H2-решение u(t, u0), причём функционалы N(u) и E(u) = 1 2 (F(|u|2 - | u|2 + |u|2 )dx принимают на значениях решения u(t, u0), t 0, постоянные значения. Д о к а з а т е л ь с т в о локального существования H2-решения задачи Ко- ши (2), (3) проводится тем же методом, что и доказательство существова- ния локального решения задачи (1), (2) на основании принципа сжимающих 165 В. Ж. С а к б а е в отображений, коммутативности оператора дифференцирования и операторов полугруппы e-i(+2)(t), t > 0, и на основании оценки u C() по неравен- ству Соболева (см. [9]). Следовательно, для всякого числа M > 0 существует такое число T = T(M) > 0, что для любого u0 H2(), удовлетворяющего условию u0 H2 M, задача Коши имеет решение на отрезке [0, T(M)]. Так же, как и в доказательстве леммы 1, устанавливается, что на проме- жутке существования H2-решения задачи Коши (2), (3) величины N(u(t; u0)) и E(u(t; u0)) сохраняют постоянные значения. При каждом (0,1) справедливо равенство E(u) = 4 |u|2 dx + 1 2 F(|u|2 ) - 1 4 -2 |u|2 + 1 4 |-1 u + u|2 dx, согласно которому E(u) 4 |u|2 dx - 1 4 -2 u 2 H . Поэтому для H2-решения u(t; u0) справедлива оценка |u|2 dx M = 4 E(u0) + 1 4 -2 u 2 H и, следовательно, H2-норма решения ограничена на всём промежутке суще- ствования. Поэтому величина промежутка, на который может быть продол- жено H2-решение, ограничена снизу и, следовательно, H2-решение существу- ет на промежутке [0, +). Единственность H2-решения может быть установлена на основании лип- шицевости оператора u f(|u|2)u (см. лемму 3) оценки, условий F1 и F2 о нелинейной функции f, теоремы Соболева и леммы Гронуолла. 3. Замечание о пространствах большей размерости. Для исследования за- дачи (2), (3) в больших размерностях (d 4) требуется ограниченность L2- нормы производных решения порядка d/2 или (d + 1)/2 для непрерывного вложения пространства Hl() в пространство C(), которое, в свою оче- редь, необходимо для исследования задаваемого уравнением (7) отображения G. Для поставленной цели следует рассмотреть регуляризации функционала энергии E(u) аппроксимирующими функционалами E,m(u) более высокого порядка E,m(u) = Rd c p + 2 |u|p+2 - 1 2 | u|2 + 2 2 |m u|2 dx, (0, 1), m N. Тогда сохранение энергии E,m обеспечивает равномерную ограниченность соболевской нормы H2m(), что обеспечивает равномерную ограниченность на всем промежутке существования C()-нормы решения в силу непрерыв- ности вложения пространства W2m 2 () в пространство C() при d < 4m. Схема доказательства глобального существования H2m-решения повторяет схему доказательства теоремы 4. 166 Разрушение решений задачи Коши . . . 4. О сходимости последовательности решений регуляризованных задач. Далее будет исследована задача Коши с начальным условием u0 C 0 (), для которого время T 1 существования H1-решение задачи Коши (1), (2) ко- нечно в силу теоремы 3, H4-решение u задачи Коши (1), (2) существует на промежутке [0, T 4 ) в силу теоремы 2, а H4-решение u любой из задач Ко- ши (2), (3) определено и равномерно ограничено на полуоси [0, +) в силу теоремы 4. Замечание 2. Очевидно, что T 4 T 1 . Согласно работе [9], теорема 1.2.4, в случае 1-мерной координатной области d = 1 справедливы равенства T 1 = = T 2 = T 3 = . . . . Действительно, в силу равенства (4), в силу неравенства Соболева, которое при d = 1 принимает вид u L C u H1 u H1 , и в силу условий F1 и F2 для Hk+1-решения задачи Коши (1), (2) и для любого t [0, T k+1) [0, T k ) справедлива оценка u(t) Hk+1 C1 u C([0,t],Hk) + C2 u C([0,t],Hk) t 0 u(s) Hk+1 ds, из которой следует ограниченность Hk+1-нормы решения на любом отрезке из промежутка [0, T k ). Таким образом, если u0 C 0 () и d = 1, то T k = = T 1 k K, но при d > 1 имеют место неравенства T 1 T 2 . . . T K. Теорема 5. Пусть выполнены условия F1-F3, d < 4 и K > 1+d/2. Пусть u0 C 0() и T l (0, +) точная верхняя грань длин промежутков, на которых существует Hl-решение задачи Коши (1), (2), l N. Тогда для любого T (0, T 4 ) справедливо равенство lim 0 u(t) - u(t) L2() = 0. Если T > T 1 , то не существует бесконечно малой последовательно- сти {ek} такой, чтобы последовательность {uk } сходилась в пространстве L2() равномерно на отрезке [0, T]. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть u0 C 0 (), u(t, ·), t (0, T), H4-решение задачи Коши (1), (2) с начальным условием u0 и градиентной катастрофой при t T - 0, пусть T (0, T) и u(t) решение задачи Коши (2), (3) при некотором > 0 с начальным условием u0. Докажем, что lim 0 sup t[0,T] u(t) - u(t) L2() = 0. Функция v(t) = u(t) - u(t), t [0, T], удовлетворяет начальному условию v(+0) = 0 и принимает значения в пространстве H4. Следовательно, функ- ция v удовлетворяет дифференциальному уравнению 167 В. Ж. С а к б а е в i t v(t, x) = + 2 + f(|u(t, x)|2 ) v(t, x)+ + f(|u(t, x)|2 ) - f(|u(t, x)|)2 u(t, x)+ + 2 u(t, x), (t, x) (0, T) . (8) Поскольку K > 1, в силу теоремы Лагранжа для любых s1, s2 R+ суще- ствует такое число (s1, s2) (0, 1), что f(s1) - f(s2) = f (s1 + (s1 - s2))(s1 - s2), следовательно, f(|u(t, x)|2 ) - f(|u(t, x)|2 ) = = f |u(t, x)|2 + (t, x)(|u(t, x)|2 - |u(t, x)|2 ) (|u(t, x)|2 - |u(t, x)|2 ). При этом f(|u|2)-f(|u|2), v C([0, T]), поскольку u, u C([0, T] ). Поэтому функция Q(t, x) f (|u(t, x)|2 + (t, x)(|u(t, x)|2 - |u(t, x)|2 )) = = f(|u(t, x)|2 ) - f(|u(t, x)|2 ) (|u(t, x)|2 - |u(t, x)|2 )-1 , (t, x) [0, T] является непрерывной, ибо на открытом множестве D+ = {(t, x) (0, T) : |v(t, x)| > 0} является композицией непрерывных функций, а на его границе имеет пре- дельное значение f (|u(t, x)|2). Следовательно, функция Q(t, x), (t, x) D+, доопределённая на множестве [0, T] \D+ равенством Q(t, x) = f (|u(t, x)|2 ), непрерывна на множестве [0, T] . Следовательно, Q C([0, T] ) при каждом значении параметра , так как f (s) C([0, +)). Далее, для любых (t, x) [0, T] справедливо равенство |u(t, x)|2 - |u(t, x)|2 = v(t, x)u(t, x) + u(t, x)v(t, x). Поэтому для каждого (t, x) [0, T] выполняется равенство [f(|u(t, x)|2 ) - f(|u(t, x)|2 )]u(t, x) = K(t, x)v(t, x) + J(t, x)v(t, x), где функции K(t, x) = Q(t, x)|u(t, x)|2 , J(t, x) = Q(t, x)u(t, x)u(t, x), (t, x) [0, T] при каждом значении параметра (0,1) лежат в пространстве C([0, T] ). Определим функцию w(t) = (v(t), v(t)) , t [0, T], со значениями в пространстве H = H H. Тогда согласно (8) вектор-функция w(t), t 168 Разрушение решений задачи Коши . . . [0, T], является слабым (в смысле интегрального тождества) решением задачи Коши для линейного уравнения Шрёдингера i d dt w(t) - L(t)w(t) = F(t) с нулевым начальным условием w(0) = (0, 0) . Здесь F(t) = 2 u(t), t [0, T], L(t)w(t) = (t) 0 0 (t) w(t)+ + K(t) 0 0 K(t) w(t) + 0 J(t) J(t) 0 w(t), оператор (t) действует на функцию v(t) согласно правилу (t)v(t) = [ + 2 + f(|u(t)|2 )]v(t), а оператор-функции K(t) 0 0 K(t) и 0 J(t) J(t) 0 действуют на w(t) согласно правилам K(t) 0 0 K(t) v(t) v(t) = K(t, x)v(t) K(t, x)v(t) , 0 J(t) J(t) 0 v(t) v(t) = J(t, x)v(t) J(t, x)v(t) . Как установлено выше, при каждом (0, 1) функции K, J непрерыв- ны на множестве [0, T] , поэтому при каждом (0, 1) операторы L(t), t [0, T], имеют не зависящую от параметров (t, ) [0, T] (0, 1) область определения D(L(t)) = H4 H4, являются самосопряжёнными оператора- ми в пространстве H при всех (t, ) [0, T] (0,1), а при фиксированном (0,1) нестационарная часть оператора L зависит от параметра t [0, T] непрерывно в сильной операторной топологии. Следовательно, задача Коши с оператором L(t) является равномерно корректной (см. [20, п. 2.3]). Одно- родная задача Коши для уравнения Шрёдингера с зависящим от времени гамильтонианом L(t) порождает унитарное двухпараметрическое эволюци- онное семейство W(t, s), 0 s t < +, которое позволит определить решение неоднородной задачи по формуле v(t) = t 0 W(t, s)u(s)ds, t [0, T]. Поскольку операторы W(t, s) унитарны, в силу оценки u C([0, T], W2 2 ()) заключаем, что lim 0 sup t[0,T] u(t) - u(t) H = 0, 169 В. Ж. С а к б а е в что и доказывает утверждение теоремы о сходимости. Отсутствие предела решения u(t), t [0, T), в пространстве H по произ- вольной последовательности {tk} такой, что tk T - 0 при k , уста- новленное в работе [8], противоречит сходимости последовательности {u(t), t [0, T]} при 0 в пространстве C([0, T], H) и установленной выше сходимости последовательности {u(t), t [0, ]} при 0 в пространстве C([0, ], H) при произвольном > 0. Замечание 3. Установленное в теореме 5 отсутствие сходящихся в про- странстве C([0, T], H) последовательностей регуляризованных решений ха- рактерно для аппроксимаций глобально вырождающихся операторов Шрё- дингера (см. [6]). В работах [13, 15] предложены методы исследования пре- дельного поведения равномерно ограниченной расходящейся в пространстве C([0, T], H) последовательности u при 0. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. А. А. Самарский, В. А. Галактионов, С. П. Курдюмов, А. Г. Михайлов, Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987. 478 с. [A. A. Samarskiy, V. A. Galaktionov, S. P. Kurdyumov, A. P. Mikhaylov, Peaking modes in problems for quasilinear parabolic equations. Moscow: Nauka, 1987. 478 pp.] 2. Э. Митидиери, С. И. Похожаев, Априорные оценки и отсутствие решений нелиней- ных уравнений и неравенств в частных производных / Тр. МИАН, Т. 234. М.: Наука, 2001. С. 3-383; англ. пер.: E. Mitidieri, S. I. Pohozaev A priori estimates and blow-up of solutions to nonlinear partial differential equations and inequalities // Proc. Steklov Inst. Math., 2001. Vol. 234. Pp. 1-362. 3. H. Fujita, On the blowing up of solutions of the Cauchy problem for ut = u + u1+ // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. I, 1966. Vol. 13. Pp. 109-124. 4. С. Н. Кружков, Лекции по уравнениям с частными производными. М.: МГУ, 1970. [S. N. Kruzhkov, Lectures on partial differential equations. Moscow: Moscow State Univ., 1970]. 5. О. А. Олейник, Е. В. Радкевич, Уравнения с неотрицательной характеристической формой. М.: Московск. ун-т, 2010. 360 с. [O. A. Oleynik, E. V. Radkevich, Equations with nonnegative characteristic form. Moscow: Moscow Univ., 2010. 360 pp.] 6. В. Ж. Сакбаев, Задача Коши для линейного дифференциального уравнения с вы- рождением и усреднение аппроксимирующих ее регуляризаций / В сб.: Уравнения в частных производных / СМФН, Т. 43. М.: РУДН, 2012. С. 3-172. [V. Zh. Sakbaev, The Cauchy problem for a linear differential equation with degeneration and averaging of its approximating regularizations / In: Partial differential equations / CMFD, 43. Moscow: PFUR, 2012. Pp. 3-172]. 7. R. T. Glassey, On the blowing up of solution to the Cauchy Problem for nonlinear Schrodinger equations // J. Math. Phys, 1977. Vol. 18, no. 9. Pp. 1794-1797. 8. F. Merle, Y. Tsutsumi, L2 convergence of blow-up solutions for nonlinear Shrodinger equation with critical power nonlinearity // J. Differ. Equations, 1990. Vol. 84, no. 2. Pp. 205-214. 9. P. E. Zhidkov, Korteweg-de Vries and nonlitear Schrodinger equations: qualitative theory. Lecture Notes in Math / Lecture Notes in Mathematics, 1756. Berlin: Springer-Verlag, 2001. vi+147 pp. 10. P. Baras, J. Goldstein, The heat equation with a singular potential // Trans. Amer. Math. Soc., 1984. Vol. 284, no. 1. Pp. 121-139. 11. V. A. Galaktionov, I. V. Kamotski, On nonexistance of Baras-Goldstein type for higher- order parabolic eqations with singular potential // Trans. Amer. Math. Soc., 2010. Vol. 362, no. 8. Pp. 4117-4136. 170 Разрушение решений задачи Коши . . . 12. N. Mizoguchi, F. Quiros, J. L. Vazquez, Multiple blow-up for a porous medium equation with reaction // Math. Ann., 2011. Vol. 350, no. 4. Pp. 801-827. 13. В. Ж. Сакбаев, Об усреднении квантовых динамических полугрупп // ТМФ, 2010. Т. 164, 3. С. 455-463; англ. пер.: V. Zh. Sakbaev, Averaging of quantum dynamical semigroups // Theoret. and Math. Phys., 2010. Vol. 164, no. 3. Pp. 1215-1221. 14. V. A. Galaktionov, J. L. Vazquez, Necessary and sufficient conditions for complete blow- up and extinction for one-dimensional quasilinear heat equations // Arch. Rational Mech. Anal., 1995. Vol. 129, no. 3. Pp. 225-244. 15. V. Zh. Sakbaev, On the properties of ambiguity and irreversibility of dynamical maps of initial data space of Cauchy problems // p-Adic Numbers Ultrametric Anal. Appl., 2012. Vol. 4, no. 4. Pp. 306-318. 16. J. Ginibre, G. Velo, On a class of nonlinear Schrodinger equations. I. The Cauchy problem, general case // J. Funct. Anal., 1979. Vol. 32, no. 1. Pp. 1-32. 17. O. Kavian, A remark on the blowing-up solutions to the Cauchy problem for nonlinear Schrodinger equation // Trans. Amer. Math. Soc., 1987. Vol. 299, no. 1. Pp. 192-203. 18. A. Pazy, Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations / Applied Mathematical Sciences, 44. New York: Springer-Verlag, 1983. viii+279 pp. 19. С. М. Никольский, Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1969. 480 с. [S. M. Nikol'skiy, Approximation of functions of several variables and imbedding theorems. Moscow: Nauka, 1969. 480 pp.] 20. С. Г. Крейн, Линейные дифференциальные уравнения в банаховых пространствах. М.: Наука, 1967. 464 с. [S. G. Kreyn, Linear differential equations in a Banach space. Moscow: Nauka, 1967. 464 pp.] Поступила в редакцию 12/XI/2012; в окончательном варианте 01/II/2013. MSC: 46N50; 81S15, 81P15 BLOW-UP OF SOLUTIONS OF CAUCHY PROBLEM FOR NONLINEAR SCHRODINGER EQUATION V. Zh. Sakbaev Moscow Institute of Physics and Technology (State University), 9, Inststitutskii per., Dolgoprudny, 141700, Russia. E-mail: fumi2003@mail.ru In this work we study the effect of time finiteness of the existence of Cauchy prob- lem for nonlinear Schrodinger equation solution. Together with the ill-posed Cauchy problem we consider its neighborhood in the space of operators, representing Cauchy problem. We explore the convergence of sequence of solutions of Cauchy problems with the operators, approximating the initial Hamiltonian. Key words: nonlinear Schrodinger equation, regularization, blow-up regime, blow-up of solution, viscosity solution. Original article submitted 12/XI/2012; revision submitted 01/II/2013. Vsevolod Zh. Sakbaev (Ph. D. (Phys. & Math.)), Associate Professor, Dept. of Higher Mathe- matics. 171

About the authors

Vsevolod Zhanovich Sakbaev

Moscow Institute of Physics and Technology (State University)

Email: fumi2003@mail.ru

Doctor of physico-mathematical sciences, Associate professor

References

  1. А. А. Самарский, В. А. Галактионов, С. П. Курдюмов, А. Г. Михайлов, Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений, Наука, М., 1987, 478 с.
  2. Э. Митидиери, С. И. Похожаев, "Априорные оценки и отсутствие решений нелинейных уравнений и неравенств в частных производных", Тр. МИАН, 234, Наука, М., 2001, 3-383
  3. H. Fujita, "On the blowing up of solutions of the Cauchy problem for ", J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. I, 13 (1966), 109-124
  4. С. Н. Кружков, Лекции по уравнениям с частными производными, МГУ, М., 1970
  5. О. А. Олейник, Е. В. Радкевич, Уравнения с неотрицательной характеристической формой, Московск. ун-т, М., 2010, 360 с.
  6. В. Ж. Сакбаев, "Задача Коши для линейного дифференциального уравнения с вырождением и усреднение аппроксимирующих ее регуляризаций", Уравнения в частных производных, СМФН, 43, РУДН, М., 2012, 3-172
  7. R. T. Glassey, "On the blowing up of solution to the Cauchy Problem for nonlinear Schrödinger equations", J. Math. Phys, 18:9 (1977), 1794-1797
  8. F. Merle, Y. Tsutsumi, " convergence of blow-up solutions for nonlinear Shrodinger equation with critical power nonlinearity", J. Differ. Equations, 84:2 (1990), 205-214
  9. P. E. Zhidkov, "Korteweg-de Vries and nonlitear Schrödinger equations: qualitative theory. Lecture Notes in Math", Lecture Notes in Mathematics, 1756, Springer-Verlag, Berlin, 2001, vi+147 pp.
  10. P. Baras, J. Goldstein, "The heat equation with a singular potential", Trans. Amer. Math. Soc., 284:1 (1984), 121-139
  11. V. A. Galaktionov, I. V. Kamotski, "On nonexistance of Baras-Goldstein type for higher-order parabolic eqations with singular potential", Trans. Amer. Math. Soc., 362:8 (2010), 4117-4136
  12. N. Mizoguchi, F. Quiros, J. L. Vazquez, "Multiple blow-up for a porous medium equation with reaction", Math. Ann., 350:4 (2011), 801-827
  13. В. Ж. Сакбаев, "Об усреднении квантовых динамических полугрупп", ТМФ, 164:3 (2010), 455-463
  14. V. A. Galaktionov, J. L. Vazquez, "Necessary and sufficient conditions for complete blow-up and extinction for one-dimensional quasilinear heat equations", Arch. Rational Mech. Anal., 129:3 (1995), 225-244
  15. V. Zh. Sakbaev, "On the properties of ambiguity and irreversibility of dynamical maps of initial data space of Cauchy problems", p-Adic Numbers Ultrametric Anal. Appl., 4:4 (2012), 306-318
  16. J. Ginibre, G. Velo, "On a class of nonlinear Schrödinger equations. I. The Cauchy problem, general case", J. Funct. Anal., 32:1 (1979), 1-32
  17. O. Kavian, "A remark on the blowing-up solutions to the Cauchy problem for nonlinear Schrödinger equation", Trans. Amer. Math. Soc., 299:1 (1987), 192-203
  18. A. Pazy, "Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations", Applied Mathematical Sciences, 44, Springer-Verlag, New York, 1983, viii+279 pp.
  19. С. М. Никольский, Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, Наука, М., 1969, 480 с.
  20. С. Г. Крейн, Линейные дифференциальные уравнения в банаховых пространствах, Наука, М., 1967, 464 с.

Statistics

Views

Abstract - 9

PDF (Russian) - 4

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2013 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies