Modified boundary element method for the solution of connected problems of mathematical physics

Abstract


The modified boundary element method for physico-mathematical modeling of the multifactorial processes is offered for discussion. Physical modeling based on the Onsager's theorem about the relationship between generalized forces and fluxes where we assume the coefficients of reciprocity are nonlinear. The approach is illustrated by the example of the strain diagram. Mathematical modeling is based on a modification of the BEM where all incorrect procedures of the numerical differentiation and integration were replaced by preliminary analytical calculations.

Full Text

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. 1 (30). С. 172-180 УДК 519.634 МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ СВЯЗНЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ В. П. Федотов Институт машиноведения УрО РАН, Россия, 620049, Екатеринбург, ул. Комсомольская, 34. E-mail: fedotov@imach.uran.ru Предложен модифицированный метод граничных элементов для физико-мате- матического моделирования связных процессов. Физическое моделирование осно- вано на теореме Онзагера связи обобщённых сил и потоков, где предполагается нелинейность коэффициентов взаимности. Подход иллюстрируется на примере диаграммы деформирования. Математическое моделирование основано на моди- фикации метода граничных элементов, основанной на исключении некоррект- ных операций численного дифференцирования и интегрирования. Ключевые слова: фазовый переход, открытые системы, напряжения, деформа- ции, деформационный ресурс, интегральные уравнения, функции влияния, задачи эллиптического и гиперболического типов. Введение. Развитие методов решения задач математической физики и вы- сокопроизводительных компьютерных комплексов позволяет помимо предва- рительных расчётов ставить задачу мониторинга сложных систем в условиях реальной эксплуатации. Поведение элементов сложных систем определяется их физико-механиче- ским откликом на силовые, температурные, диффузионные, магнитные, ди- намические и другие воздействия. Это приводит к постановке связных, в ос- новном нелинейных задач. Перекрестные эффекты определяются феномено- логическими составляющими соответствующих систем уравнений, в которых необходимо учитывать характерные времена и представительные объемы для моделирования связных процессов. Они могут содержать не только искомые величины, но и их производные первого и второго порядков. Это требует больших вычислительных затрат и точности вычислений не только искомых величин, но и их производных минимум до второго порядка, что приводит при численном счете к некорректной задаче. Для повышения скорости счета и точности вычислений предлагается мо- дифицированный метод граничных элементов (МГЭ) для решения задач эл- липтического, параболического и гиперболического типов как базовой основы для решения нелинейных и связных задач математической физики. Модифи- кация базируется на аналитическом вычислении интегралов и производных от функций влияния задач указанных трёх типов и распараллеливании на всех этапах решения задач на уровне алгоритма. Для получения аналитиче- ских формул для точного вычисления интегралов от функций влияния и их производных вводится фиксированный базовый элемент. Интегрирование компонент функций влияния по произвольному участку границы сводится Владимир Петрович Федотов (д.т.н., проф.), главный научный сотрудник, лаб. приклад- ной механики. 172 Модифицированный метод граничных элементов для решения связных задач . . . к интегрированию по фиксированному базовому элементу с последующим линейным преобразованием сдвига и поворота. Интегрирование для всех ти- пов задач производится один раз, в результате чего получены компактные формулы, удобные для программирования. 1. Физическое моделирование. Для мониторинга сложных систем в ре- альных условиях необходимо знание текущих физико-механических характе- ристик. Например, для анализа прочности необходимы феноменологические уравнения связи напряжений деформаций, температуры, концентрации ле- гирующих элементов и т.п. Но получение их экспериментальными метода- ми в действующей конструкции трудоемко, а зачастую невозможно. Даль- нейшее изложение основано на предположении о невозможности получения физико-механических характеристик и введения понятий устойчивости, раз- рушения, ресурса и т.п. в рамках замкнутой системы, поскольку они напря- мую связаны с характером обмена с внешней средой. Феноменологические соотношения взаимности связных задач могут быть сформулированы в рам- ках открытых неравновесных систем на основе подхода Онзагера для связ- ных физико-механических задач, согласно которому устанавливается связь между обобщёнными потоками Jk и обобщёнными силами Xk: Jk = LkmXm. Как гипотезу, имеющую подтверждение на практике, примем, что коэффици- енты взаимности Lkm, линейные по Онзагеру, могут зависеть от обобщённых сил Lkm = Lkm(Xm). Произведение обобщённых сил Xk и обобщённых по- токов Ik представляет собой скорость роста энтропии S в изолированной си- стеме [1]. Если система открытая, то полную скорость роста энтропии можно представить в виде двух слагаемых S = Se + Si = XeIe + XiIi, (1) где Se = XeIe изменение энтропии за счет обмена энергией с внешними системами, Si = XiIi > 0 изменение энтропии за счет внутренних неравно- весных процессов. С учётом (1) запишем уравнение сохранения энергии: - d dt = T0 S = T0XeIe + T0XiIi = 0, где параметр T0 имеет смысл температуры. Здесь (yk) называется функцией Ляпунова, или энергетической функцией. В замкнутой системе положительно определенная функция (yk) обладает таким свойством, что функция d(yk) dt = yk dyk dt = -T0 S = (T0Xi)(-Ji) является знакоотрицательной, а движение системы, соответствующей (yk), устойчиво, тогда как фазовый переход от упругости к пластичности и разру- шение связаны с потерей устойчивости. Поэтому для их описания необходимо рассматривать открытую систему. 173 В. П. Ф е д о т о в Рассмотрим физическое моделирование на примере процесса деформиро- вания. Будем рассматривать деформированный образец как открытую систе- му. В качестве внутренней обобщённой силы Xi будет выступать деформация образца /T0, в качестве внутреннего обобщённого потока Ji внутреннее напряжение . В качестве обобщённого внешнего потока Je возьмем внешнее напряжение p. Отметим, что отождествления внешнего p и внутреннего напряжений нет. В этом случае можно сразу записать условие сохранения энергии - d dt = = -p + = -p + L() = 0. Следуя Коши, будем считать, что в упругой области коэффициент Онзагера зависит от обобщенной силы следующим образом: L() = E(1 - k + m2 ). (2) Поведение рассматриваемой системы (деформирование образца) полностью определяется потенциалом = 0 E(1 - k + m2 )d - p = E2 2 - Ek3 3 + Em4 4 - p (3) и описывается вариационным уравнением = E - Ek2 + Em3 - p = 0. Исследования этой системы методами синергетики [3] окончательно приводят к уравнению в упругой области: = E 1 - 1 3 E c + 1 27 E2 2 c 2 = 0, k = 1 3 E p , m = 1 27 E2 2 p . Рис. 1. Упругий участок при различных значениях k и m Схематично отклик системы на внешнее воз- действие представлен на рис. 1. Здесь Q кри- тическая точка. Если внешнее напряжение вы- ше напряжения в этой точке хрупкое разруше- ние. AB метастабильное состояние, где возмо- жен фазовый переход второго рода с образовани- ем диссипативных структур [3], BC неустойчи- вый участок, на котором возможен перескок на другую устойчивую ветвь, CD площадка те- кучести , ABC зуб текучести . Для построения модели диссипативного про- цесса будем постулировать аддитивность процес- са дислокационного упрочнения и разупрочне- ния от образования пространственных дефектов несплошностей [4], т.е. диаграмму представим в виде = T + 1 - T

About the authors

Vladimir Petrovich Fedotov

Institute of Engineering Science, Urals Branch, Russian Academy of Sciences

Email: fedotov_vp@mail.ru, fedotov@imach.uran.ru

Doctor of technical sciences, Main Scientist Researcher

References

  1. I. Gyarmati, Non-equilibrium Thermodynamics. Field Theory and Variational Principles, Springer, Berlin, 1970, xi+184 pp.
  2. J. M. T. Tompson, Instabilities and catastrophes in science and engineering, Wiley, Chichester, 1981, xvi+242 pp.
  3. I. Prigogine, Introduction to thermodynamics of irreversible processes, 3d ed, Interscience Publishers, New York, 1967, xv+147 pp.
  4. В. П. Федотов, А. А. Контеев, "Модифицированный метод граничных элементов для задач о колебаниях плоских мембран", Тр. ИММ УрО РАН, 15:2 (2009), 211-221
  5. В. П. Федотов, Л. Ф. Спевак, Решение связных диффузионно-деформационных задач на основе алгоритмов параллельного действия, УрО РАН, Екатеринбург, 2007, 172 с.

Statistics

Views

Abstract - 4

PDF (Russian) - 5

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2013 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies