Coupled thermodynamic orhogonality in non-linear models of type-III thermoelasticity

Full Text

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. 1 (30). С. 207-214 УДК 539.3 СВЯЗАННАЯ ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКАЯ ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ В НЕЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЯХ ТЕРМОУПРУГОСТИ ТРЕТЬЕГО ТИПА В. А. Ковалев1 , Ю. Н. Радаев2 1 Московский городской университет управления Правительства Москвы, Россия, 107045, Москва, ул. Сретенка, 28. 2 Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН, Россия, 119526, Москва, просп. Вернадского, 101, корп. 1. E-mails: vlad_koval@mail.ru; radayev@ipmnet.ru, y.radayev@gmail.com Дано развитие теории термоупругого континуума Грина Нахди (GN) третье- го типа (GNIII, type-III thermoelasticity) в плане дальнейшей спецификации опре- деляющих уравнений термоупругости на основе принципа термодинамической (термомеханической) ортогональности. Получены важные с прикладной точки зрения нелинейные определяющие уравнения термодинамической ортогонально- сти в пространстве термодинамических сил: в связанных процессах термо- упругого деформирования и теплопроводности твердых тел необратимый тер- модинамический поток (необратимая составляющая референциального потока энтропии) геометрически ортогонален поверхности уровня потенциала рассе- яния. Устанавливается нелинейный определяющий закон теплопроводности в теории GNIII, удовлетворяющий принципу ортогональности термодинамиче- ских потоков и сил. Ключевые слова: термоупругость, принцип максимума, необратимый процесс, термодинамическая ортогональность, термодинамическая сила, термодинами- ческий поток, определяющий закон. 1. Термодинамика необратимых процессов позволяет исследовать необра- тимую эволюцию термодинамических систем, не вскрывая ее молекулярного механизма. Термодинамика необратимых процессов пережила период бурно- го развития в 50-е и 60-е годы; тогда же предпринимались попытки стати- стического обоснования ее принципов и расширялась сфера ее приложений. Наиболее полно она изложена в классических монографиях [1, 2]. В последнее время в целом ряде областей механики и теоретической фи- зики были предприняты успешные попытки выйти за пределы классической линейной термодинамики необратимых процессов. Новые подходы в термоди- намике необратимых процессов основываются на расширении спектра пере- менных, представляющих состояние термодинамической системы, т.е. в моди- фикации термодинамического базиса. При этом к стандартным переменным состояния присоединяются дополнительные переменные; это, в большинстве случаев, обобщенные термодинамические потоки или в двойственных форму- лировках обобщенные термодинамические силы. Термодинамическая сила, как правило, определяется в форме пространственного (или референциально- го) градиента стандартной термодинамической переменной состояния. Таким образом, расширение списка стандартных термодинамических переменных Владимир Александрович Ковалев (д.ф.-м.н., проф.), заведующий кафедрой, каф. при- кладной математики и аналитической поддержки принятия решений. Юрий Николаевич Радаев (д.ф.-м.н., проф.), ведущий научный сотрудник, лаб. моделиро- вания в механике деформируемого твердого тела. 207 В. А. К о в а л е в, Ю. Н. Р а д а е в состояния происходит за счет добавления их градиентов. В каждом данном состоянии значения термодинамической переменной и ее градиента считают- ся независимыми и, в известном диапазоне, произвольными. Выбор термо- динамического базиса чрезвычайно важен и решающим образом сказывается на построении математической модели тех процессов, для исследования ко- торых он собственно и используется. Стандартные термодинамические переменные состояния относятся к чис- лу медленных переменных. Их использование при построении теорий транс- порта тепла в твердых деформируемых телах в качестве переменных состо- яния вместе с законами сохранения приводит к ряду противоречий, таких как бесконечная скорость распространения тепла, и ненулевому внутренне- му производству энтропии в процессах, связанных с передачей тепла. Учет дополнительных переменных состояния ( быстрых переменных) позволяет дать формулировку теории в форме дифференциальных уравнений гипер- болического аналитического типа. В частности, следуя по этому пути, мож- но получить гиперболические теории теплопроводности и гиперболические уравнения транспорта тепла, обладающие решениями в форме распространя- ющихся с конечной скоростью тепловых волн второго звука незатухающей амплитуды. Теория связанной термоупругости Грина Нахди (A. E. Green, P. M. Naghdi) [3, 4] в полной мере отвечает принципам новой термодина- мики необратимых процессов. В этой теории в качестве основной терми- ческой медленной переменной выступает температурное смещение, а его референциальный градиент в качестве быстрой переменной. Однако в нелинейной теории Грина Нахди по-прежнему остаётся достаточно широкий спектр теоретически допустимых определяющих уравнений, сузить который до практически приемлемого диапазона нельзя без дальнейшего развития теории. Одним из важных инструментов, пригодных для этой цели, является принцип термодинамической ортогональности, появление которого в совре- менном естествознании исторически связано с построением математической теории пластичности. Принцип термодинамической ортогональности и его двойственная форму- лировка были предложены Циглером (H. Ziegler) в ряде публикаций начиная с 1958 г. как обобщение линейной теории Онсагера (L. Onsager), восходящей к 1931 г. (см. [5-7]). Основные сведения, касающиеся нелинейной теории тер- моупругости третьего типа, приводятся в [8-10]. 2. Принцип, аналогичный принципу ортогональности термодинамических потоков и сил, первоначально возник в математической теории пластичности (там он известен как принцип максимума Мизеса (R. von Mises)) и выступал в качестве ее основополагающего принципа, из которого следовали геомет- рическая выпуклость в пространстве напряжений поверхности текучести f() = 0 ( тензор напряжений Коши) и в действительном процессе пла- стического течения ортогональность приращения пластической деформа- ции dP поверхности текучести в гладких её точках. Условие, выражающее геометрическую ортогональность в пространстве напряжений свободного вектора, представляющего тензор dP , поверхности текучести является ос- новным определяющим законом математической теории пластичности ас- социированным с условием пластичности f() = 0 законом пластического течения: 208 Связанная термомеханическая ортогональность в нелинейных моделях термоупругости. . . dP = (d) f (f() = 0, df() = 0), (1) где d 0 неопределённый множитель, выступающий в качестве множи- теля Лагранжа при решении экстремальной задачи, соответствующей прин- ципу максимума. Уравнения в (1), заключенные в круглые скобки, представ- ляют собой признаки активного нагружения идеально пластического тела, выполнение которых указывает на наличие необратимого термодинамическо- го потока dP только тогда, когда действительные напряжения находятся на пределе текучести и, кроме того, при малом догружении d напряжения + d также будут находиться на пределе текучести, т.е. f( + d) = 0. Таким образом, ассоциированный закон пластического течения (1) уста- навливает геометрическую ортогональность в пространстве напряжений термодинамического потока, в роли которого в данном случае выступает приращение пластической деформации dP , поверхности текучести в геомет- рическом месте, определяемом действительным напряжением . Сдвиговая природа пластического течения металлов и горных пород прекрасно отобра- жается решениями гиперболических уравнений математической теории пла- стичности с определяющим уравнением в форме ассоциированного закона течения и критерием текучести в форме Кулона Треска. Принцип максимума Мизеса, по всей видимости, является одним из фун- даментальных принципов механики деформируемого твердого тела, а в широ- ком смысле всеобъемлющим принципом современного естествознания. В со- четании с критерием текучести Кулона Треска он даёт возможность сфор- мулировать математическую теорию пластичности с помощью дифференци- альных уравнений гиперболического аналитического типа. Принцип макси- мума Мизеса как исходный принцип математической теории пластичности и ассоциированный закон пластического течения обсуждаются практически во всех монографиях, посвященных математическим теориям идеальной пла- стичности (см., например, [11-13]). Принцип максимума может быть распро- странен на необратимые процессы транспорта тепла в твердых деформируе- мых телах с целью построения таких определяющих уравнений термоупруго- сти, которые исключали бы присущие классической теории теплопроводности Фурье (CTE) недостатки: уравнения CTE предсказывают конечную скорость распространения упругой волны и бесконечную для теплового импульса. Далее в работе мы рассмотрим внутреннее производство энтропии для про- цессов транспорта тепла, а затем с помощью концепции потенциала рассеяния сформулируем определяющие уравнения термодинамической ортогонально- сти в обобщенной термоупругости третьего типа GNIII. 3. Для представления деформации термоупругого тела воспользуемся клас- сическим лагранжевым отсчётным описанием: конечная деформация опи- сывается конечным преобразованием отсчётной конфигурации в актуаль- ную: x = x(X, t), (2) где x пространственное положение точки, которая занимала место X в от- счётном положении. В дальнейшем изложении систематически будет использоваться отсчёт- ный оператор Гамильтона R, ассоциированный с лагранжевой перемен- 209 В. А. К о в а л е в, Ю. Н. Р а д а е в ной X. Конечные тензоры деформации конструируются исходя из (2) с по- мощью градиента деформации F = R x. Система основных соотношений нелинейной связанной термоупругости третьего типа (GNIII) состоит из следующих уравнений: - уравнения баланса массы R t X = 0; (3) - уравнения баланса импульса Rx = R · S, (4) где S = JF-T · T первый тензор напряжений Пиола Кирхгофа, T тензор напряжений Коши, J = detF якобиан деформации; - уравнения баланса внутренней энергии e = - R · hR + tr (S · F ) + , (5) где e плотность (в расчёте на единицу объёма в отсчётном состоя- нии R) внутренней энергии, hR референциальный вектор потока теп- ла (в единицу времени через единицу площади в отсчётном состоянии), плотность объёмных источников тепла (radiant heat, лучистое теп- ло); - уравнения баланса энтропии s = - R · jR + + , (6) где s плотность энтропии (в расчёте на единицу объёма в отсчётном состоянии), jR референциальный вектор потока энтропии (в единицу времени через единицу площади в отсчётном состоянии), внешнее производство энтропии, 0 внутреннее производство энтропии. Внутреннее производство энтропии должно удовлетворять неравенству необратимости 0. (7) В качестве основной термической переменной в теории Грина Нахди GN используется температурное смещение . В теории третьего типа GNIII пол- ный термодинамический базис состоит из следующих термодинамических пе- ременных состояния: , , R, R , F. Далее полагается, что допустимы лишь такие процессы, когда выполня- ется уравнение баланса энтропии (6) с неотрицательным внутренним произ- водством энтропии (7) при дифференциальных ограничениях (3)-(5). Воз- можная двойственная формулировка: выполняется уравнение баланса энер- гии (5) при ограничениях (3), (4), (6). Исходная и двойственная формули- ровки выступают как проявление принципа непротиворечивости уравнений термомеханики: баланс энтропии (энергии) не должен нарушать баланса мас- сы, импульса, энергии (энтропии), т.е. уравнение баланса энтропии (энергии) 210 Связанная термомеханическая ортогональность в нелинейных моделях термоупругости. . . должно удовлетворяться тождественно для всех термодинамически допусти- мых процессов в силу выполнения всех оставшихся уравнений баланса. Ограничения в форме дифференциальных уравнений (3)-(5) учитывают- ся с помощью множителей Лагранжа. В результате можно получить соот- ношения ( абсолютная температура, обратное значение которой ( холод- ность ) выступает в качестве множителя Лагранжа) jR = hR, = . (8) На основании уравнений (3)-(6) и соотношений (8) выводится приведённое уравнение баланса энергии -( + s ) + tr (S · F ) - jR · R = , (9) где = e - s плотность (в расчёте на единицу объёма в отсчётном состо- янии) свободной энергии Гельмгольца. Дифференциальные уравнения термоупругости должны быть дополнены определяющими уравнениями: = (, , R, R , F), hR = hR(, , R, R , F), S = S(, , R, R , F), s = s(, , R, R , F), = (, , R, R , F), = ( ). (10) В такой общей форме определяющие уравнения термоупругости мало пригодны в прикладных вопросах. Дальнейшие ограничения на форму опре- деляющих уравнений (10) могут быть получены следующим образом. Приве- дённое уравнение баланса энергии (9) с неотрицательным внутренним произ- водством энтропии (7) должно удовлетворяться для всех термодинамически допустимых процессов в силу выполнения всех оставшихся уравнений балан- са. Выполнив подстановку определяющих зависимостей (10) в уравнение (9) и замечая, что коэффициенты при , R , F должны обращаться в нуль, заключаем, что свободная энергия в действительности не может зависеть от переменной состояния R , т.е. = (, , R, F); кроме того, должны выполняться следующие равенства: s = - 1 , S = F . Для внутреннего производства энтропии, следовательно, остаётся выра- жение = - jR + R · R - . Предполагая, что определяющие уравнения не содержат явных вхожде- ний температурного смещения , находим = - jR + R · R . 211 В. А. К о в а л е в, Ю. Н. Р а д а е в 4. Следуя принципу термодинамической ортогональности, введём потен- циал рассеяния (точнее говоря, сопряжённый потенциал рассеяния) согласно = D = D( , R, F; R ) и будем рассматривать его как функцию от термодинамической силы - R , приходим к определяющему уравнению в форме соотношения термодинами- ческой ортогональности в пространстве термодинамических сил необра- тимой составляющей термодинамического потока jR + R поверхности уровня потенциала рассеяния D( , R, F; R ) = const. В гладких точках поверхности уровня имеем следующее уравнение градиентальности: jR + R = - D R , (11) или jR = - R - D R . (12) Множитель в уравнении (11) вычисляется на основании определяюще- го потенциал рассеяния D равенства = D = ( R ) · D R , откуда сразу же следует, что = 1 ( R ) · D R D. (13) Поэтому, подставляя (13) в уравнение (12), можно констатировать, что за- кон теплопроводности в теории термоупругости типа GNIII, согласующийся с принципом термодинамической ортогональности, будет иметь следующий вид: jR = - R - D ( R ) · D R D R . (14) Выполнение неравенства 0 обеспечивается выпуклостью поверхностей уровня D( , R, F; R ) = const в пространстве термодинамических сил. Полученное выше уравнение (14) устанавливает определяющий закон теп- лопроводности в GNIII теории, основанный на принципе ортогональности термодинамических потоков и сил. Очевидно, что термодинамически кор- ректен и такой вариант, когда процесс термоупругого деформирования не сопровождается внутренним производством энтропии. В этом случае D = 0 и закон теплопроводности приобретает форму jR = - R , (15) 212 Связанная термомеханическая ортогональность в нелинейных моделях термоупругости. . . характерную для теории GNII. Это определяющее уравнение для вектора потока энтропии одно из самых замечательных в термомеханике континуу- ма, поскольку поток энтропии, а следовательно, и поток тепла определяются согласно (15) заданием свободной энергии. Теория связанной термоупругости GNI/CTE основывается на допущении о независимости свободной энергии от температурного смещения и гра- диента температурного смещения . Поэтому следует полагать, что = ( , F). В результате внутреннее производство энтропии вычисляется как = -jR · R . Таким образом, уравнение термодинамической ортогональности, обобща- ющее закон теплопроводности Фурье, имеет форму jR = - D ( R ) · D R D R . Представляемая работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 10-01-00184-a Волновые задачи связан- ной гиперболической термоупругости ). БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. S. R. de Groot, Thermodynamics of Irreversible Processes. Amsterdam: North-Holland Publishing Co., 1951. xvi+242 pp.; русск. пер.: С. Р. де Гроот, Термодинамика необра- тимых процессов. М.: Гостехтеоретиздат, 1956. 280 с. 2. S. R. de Groot, P. Mazur, Non-equilibrium Thermodynamics. Amsterdam: North-Holland, 1962. x+510 pp.; русск. пер.: С. Р. де Гроот, П. Мазур, Неравновесная термодинамика. М.: Мир, 1964. 456 с. 3. A. E. Green, P. M. Naghdi, On undamped heat waves in an elastic solid // J. Thermal Stresses, 1992. Vol. 15, no. 2. Pp. 253-264. 4. A. E. Green, P. M. Naghdi, Thermoelasticity without energy dissipation // J. Elasticity, 1993. Vol. 31, no. 3. Pp. 189-208. 5. H. Ziegler, Some extreme principles in irreversible thermodynamics with application to continuum mechanics / In: Progress in Solid Mechanics IV ; eds. I. N. Sneddon, R. Hill. Amsterdam: North-Holland, 1963. Pp. 93-193; русск. пер.: Г. Циглер, Экстремальные принципы термодинамики необратимых процессов и механика сплошной среды. М.: Мир, 1966. 134 с. 6. H. Ziegler, Proof of an orthogonality principle in irreversible thermodynamics // Z. Angew. Math. Phys., 1970. Vol. 21, no. 6. Pp. 853-863. 7. H. Ziegler, Discussion of some objections to thermomechanical orthogonality // Ingenieur- Archiv, 1981. Vol. 50, no. 3. Pp. 149-164. 8. В. А. Ковалев, Ю. Н. Радаев, Элементы теории поля: вариационные симметрии и гео- метрические инварианты. М.: Физматлит, 2009. 156 с. [V. A. Kovalev, YU. N. Radayev, Elements of the classical field theory: variational symmetries and geometric invariants. Moscow: Fizmatlit, 2009. 156 pp.] 9. В. А. Ковалев, Ю. Н. Радаев, Волновые задачи теории поля и термомеханика / В сб.: Вторая международная конференция Математическая физика и ее приложе- ния : Материалы Межд. конф.; ред. чл.-корр. РАН И. В. Волович и д.ф.-м.н., проф. 213 В. А. К о в а л е в, Ю. Н. Р а д а е в Ю. Н. Радаев. Самара: Книга, 2010. С. 165-166. [V. A. Kovalev, Yu. N. Radayev, Wave problems of field theory and thermomechanics / In: The 2nd International Conference Mathematical Physics and its Applications: Book of Abstracts and Conference Materials; eds. I. V. Volovich and Yu. N. Radayev. Samara: Kniga, 2010. Pp. 165-166]. 10. В. А. Ковалев, Ю. Н. Радаев, Волновые задачи теории поля и термомеханика. Саратов: Сарат. ун-т, 2010. 328 с. [V. A. Kovalev, Yu. N. Radayev, Wave problems of field theory and thermomechanics. Saratov: Saratov Univ., 2010. 328 pp.] 11. R. Hill, The mathematical theory of plasticity. Oxford: Clarendon Press, 1950. x+356 pp.; русск. пер.: Р. Хилл, Математическая теория пластичности. М.: Гостехтеоретиздат, 1956. 408 с. 12. Д. Д. Ивлев, Теория идеальной пластичности. М.: Наука, 1966. 232 с. [D. D. Ivlev, Theory of ideal plasticity. Moscow: Nauka, 1966. 232 pp.] 13. Ю. Н. Радаев, Пространственная задача математической теории пластичности / 2-е изд., перераб. и доп.. Самара: Самар. гос. унив., 2006. 340 с. [Yu. N. Radayev, A Three- Dimensional Problem of the Mathematical Theory of Plasticity. Samara: Samar. Gos. Univ., 2006. 340 pp.] Поступила в редакцию 14/XI/2012; в окончательном варианте 02/I/2013. MSC: 74F05 COUPLED THERMODYNAMIC ORHOGONALITY IN NON-LINEAR MODELS OF TYPE-III THERMOELASTICITY V. A. Kovalev, Y. N. Radayev 1 Moscow City Government University of Management, 28, Sretenka st., Moscow, 107045, Russia. 2 A. Ishlinsky Institite for Problems in Mechanics, Russian Academy of Sciences, 101, pr. Vernadskogo, Moscow, 119526, Russia. E-mails: vlad_koval@mail.ru; radayev@ipmnet.ru, y.radayev@gmail.com The present study is devoted to a derivation of non-linear constitutive equations for the non-linear Green-Naghdi type-III thermoelastic model on the basis of the principle of thermodynamic (or thermomechanical) orthogonality. The latter was proposed by Ziegler as an extention to the Onsager linear irreversible thermodynamics. It states that the irreversible constituent parts of thermodynamic currents (velocities) are orthogonal to the convex dissipation potential level surface in the space of thermodynamic forces for any process of heat propagation in a solid. Non-linear constitutive laws of the heat propagation complying with the principle of thermomechanical orthogonality are obtained and discussed. Key words: thermoelasticity, maximum principle, irreversible process, thermodynamic orthogonality, thermodynamic force, thermodynamic flux, constitutive law. Original article submitted 14/XI/2012; revision submitted 02/I/2013. Vladimir A. Kovalev (Dr. Sci. (Phys. & Math.), Professor), Head of Dept., Dept. of Applied Mathematics and Analytical Support of Making Decisions. Yuriy N. Radayev (Dr. Sci. (Phys. & Math.), Professor), Leading Researcher, Lab. of Modeling in Solid Mechanics. 214

About the authors

Vladimir Aleksandrovich Kovalev

Moscow City Government University of Management Moscow

Email: vlad_koval@mail.ru, kovalev.kam@gmail.com
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Yuri Nikolaevich Radayev

Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics of the Russian Academy of Sciences

Email: y.radayev@gmail.com, radayev@ipmnet.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

Supplementary files