Analytical solutions of problems of thermoelasticity for multilayered bodies with variable properties

Full Text

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. 1 (30). С. 215-221 УДК 517.958:539.3(4) АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕРМОУПРУГОСТИ ДЛЯ МНОГОСЛОЙНЫХ КОНСТРУКЦИЙ С ПЕРЕМЕННЫМИ СВОЙСТВАМИ В. А. Кудинов, А. Э. Кузнецова, А. В. Ерёмин, Е. В. Котова Самарский государственный технический университет, Россия, 443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244. E-mails: kud-samgtu@yandex.ru, a.v.eremin@list.ru Разработана методика получения приближённых аналитических решений ква- зистатических задач термоупругости (плоское напряжённое состояние, плос- кая деформация) для многослойных конструкций с переменными в пределах каж- дого слоя физическими свойствами среды. Использован рекуррентный метод по- строения систем координатных функций, точно удовлетворяющих граничным условиям сопряжения, заданным в виде равенства радиальных (нормальных) на- пряжений и перемещений в точках контакта слоёв. Ключевые слова: многослойные конструкции, аналитическое решение, задача термоупругости, переменные физические свойства среды, система координат- ных функций, ортогональный метод Бубнова Галёркина. Точные аналитические решения задач термоупругости с переменными в пределах каждого слоя физическими свойствами среды (применительно к задачам в квазистатической постановке, то есть без учёта изменения на- пряжений во времени) в настоящее время не получены. Основная причина заключается в нелинейности исходной системы обыкновенных дифференци- альных уравнений, а также в необходимости выполнения не только гранич- ных условий, но и условий сопряжения между слоями, заданных в виде ра- венства напряжений и перемещений в точках контакта слоёв. В настоящей работе применительно к решению указанных задач разрабо- тан рекуррентный метод построения систем координатных функций, точно удовлетворяющих граничным условиям и условиям сопряжения. Его основ- ная идея состоит в последовательном построении координатных функций для каждого тела при использовании метода неопределенных коэффициентов. Выполнение системы исходных дифференциальных уравнений осуществ- лялось путём составления их невязки и требования ортогональности невязки ко всем координатным функциям (ортогональный метод Бубнова Галёрки- на). При этом решение системы обыкновенных дифференциальных уравне- ний сводится к решению системы алгебраических линейных уравнений отно- сительно неизвестных коэффициентов, число которых равно числу прибли- жений. Реализация такого метода решения оказывается возможной благодаря использованию глобальной (одинаковой для всех слоев) системы неизвестных коэффициентов, содержащихся в решениях для каждого отдельного слоя. Василий Александрович Кудинов (д.ф.-м.н., проф.), заведующий кафедрой, каф. теорети- ческих основ теплотехники и гидромеханики. Анастасия Эдуардовна Кузнецова, ассистент, каф. теоретических основ теплотехники и гидромеханики. Антон Владимирович Ерёмин, ассистент, каф. теоретических основ теп- лотехники и гидромеханики. Евгения Валериевна Котова, ассистент, каф. теоретических основ теплотехники и гидромеханики. 215 В. А. К у д и н о в, А. Э. К у з н е ц о в а, А. В. Е р ё м и н, Е. В. К о т о в а Система дифференциальных уравнений относительно радиального пере- мещения для случая, когда модуль упругости и коэффициент линейного рас- ширения в пределах каждого слоя являются произвольными функциями ра- диуса (рассматривается длинный полый цилиндр плоская деформация), имеет вид [1, 2] d dr Eir dUi dr + i 1 - i dEi dr - Ei r Ui = (1 + i)r 1 - vi d dr (iEiTi) , (1) ri < r < ri+1, i = 1, 2, . . . , m, где Ui(r) радиальное перемещение i-того слоя; Ei(r), i(r), Ti(r) соответ- ствующие i-тому слою модуль упругости, коэффициент линейного расшире- ния и температура; i коэффициент Пуассона i-того слоя; r радиальная координата; m число слоёв. Для случая, когда Ei = const и i = const, система уравнений (1) приво- дится к виду d2Ui dr2 + 1 r dUi dr - Ui r2 - 1 + i 1 - i i dTi dr = 0, ri < r < ri+1, i = 1, 2, . . . , m. (2) Напряжения в каждом слое по известному перемещению определяются по формулам ri = Ei (1 + i) (1 - 2i) (1 - i) dUi dr + i Ui r - (1 + i) iTi ; (3) i = Ei (1 + i) (1 - 2i) i dUi dr + (1 - i) Ui r - (1 + i) iTi , (4) где ri, i радиальное и окружное напряжения в i-том слое. С целью упрощения математических преобразований основную идею ме- тода рассмотрим на примере решения задачи термоупругости для двухслой- ного длинного полого цилиндра (m = 2) с постоянными в пределах каждого слоя физическими свойствами среды. При этом отметим, что без каких-либо изменений этот метод может быть применён и к решению задач термоупру- гости для многослойных конструкций с переменными свойствами. Граничные условия применительно к двухслойному полому цилиндру име- ют вид a1 dU1 dr + 1 U1 r r=r1 = c11T1 r=r1 , (5) a2 dU2 dr + 2 U2 r r=r3 = c22T2 r=r3 ; (6) 1E1 a1 dU1 dr + 1 U1 r - c11T1 r=r2 =2E2 a2 dU2 dr + 2 U2 r - c22T2 r=r2 ; (7) U1(r2) = U2(r2), (8) где a1 = 1 - 1; a2 = 1 - 2; c1 = 1 + 1; c2 = 1 + 2; 1 = [(1 + 1)(1 - 21)]-1; 2 = [(1 + 2)(1 - 22)]-1. 216 Аналитические решения задач термоупругости для многослойных конструкций. . . Из соотношений (5), (6) следует, что радиальные напряжения на внут- ренней (r = r1) и внешней (r = r3) поверхностях цилиндра равны нулю. Соотношения (7), (8) представляют собой условия сопряжения между слоя- ми, записанные в виде равенства радиальных напряжений (соотношение (7)) и перемещений (соотношение (8)) в точке контакта слоёв r = r2. С целью упрощения процесса получения решения приведем задачу (2)-(8) к безразмерному виду. Для этого введём следующие безразмерные перемен- ные и параметры: i = Ui/Uм, = r/r3, 1 = r1/r3, 2 = r2/r3, 3 = r3/r3 = 1, 1 = E1/E1 = 1, 2 = E2/E1, 1 = 1/1 = 1, 2 = 2/1; i = Ti/Tм, ri = = ri/м, i = i/м; i = 1, 2, где Uм, Tм, м масштабные перемещение и температура. С учётом принятых обозначений задача (2), (5)-(8) принимает вид d2i d2 + 1 di d - i 2 - ii1r3 Tм Uм di d = 0; (9) a1 d1 d + 1 1 =1 = c111r3Tм Uм 1 =1 , (10) a2 d2 d + 2 2 =1 = c221r3Tм Uм 2 =1 ; (11) 11 a1 d1 d + 1 1 - c111r3Tм Uм 1 =2 = = 22 a2 d2 d + 2 2 - c221r3Tм Uм 2 =2 ; (12) 1(2) = 2(2), (13) где i = (1 + i)/(1 - i); i = 1, 2. Формулы (3), (4) в безразмерном случае примут вид ri = ii м ai di() d + i i() - cii1r3Tм Uм i() ; i = ii м i di() d + ai i() - cii1r3Tм Uм i() . В качестве модельного примера предположим, что температура в каждом слое описывается функцией Ti(r) = Di + Rir (i = 1, 2), (14) где D1 = 140,32; R1 = -2880; D2 = 53,375; R2 = -625. Соотношение (14) в безразмерном виде для каждого слоя запишется так: 1() = 1,4032 - 1,584, 2() = 0,53375 - 0,34375. Решение задачи (9)-(13) принимается в виде [3] 1() = 1() + n k=2 qk1k(), (15) 217 В. А. К у д и н о в, А. Э. К у з н е ц о в а, А. В. Е р ё м и н, Е. В. К о т о в а 2() = 2() + n k=2 qk2k(), (16) где 1() = F1 + F2 + F32, 2() = F4 функции, неизвестные коэф- фициенты Fi которых определяются так, чтобы выполнялись неоднородные граничные условия (10), (11) и условия сопряжения (12), (13); 1k = B1k + + B2k + B3kk, 2k = 1 + B4kk координатные функции, неизвестные ко- эффициенты Bik которых находятся из однородных граничных условий (10) и условий сопряжения (12), (13), то есть при равенстве нулю всех членов, находящихся в произведении с 1() и 2(); qk неизвестные коэффициенты (одинаковые для каждого слоя), определяемые из выполнения дифференци- альных уравнений (9). Рассмотрим последовательность определения функций 1() и 2(). Сна- чала находится функция 2(), неизвестный коэффициент F4 которой опре- деляется так, чтобы выполнялось неоднородное граничное условие (11). Под- ставляя 2() в (11), находим F4 = c221r3Tм Uм(a2 + 2) 2(1). Неизвестные коэффициенты F1, F2, F3 функции 1() находятся так, что- бы выполнялось неоднородное граничное условие (10) и условия сопряжения (12), (13). Подставляя 1() и 2() в (10), (12), (13), относительно коэффици- ентов F1, F2, F3 получаем следующую систему трёх алгебраических линейных уравнений: a1 d1() d + 1 1() - c111r3Tм Uм 1() =1 = 0; 11 a1 d1() d + 1 1() - c111r3Tм Uм 1() =2 = = 22 a2 d2() d + 2 2() - c221r3Tм Uм 2() =2 ; 1(2) - 2(2) = 0. Неизвестный коэффициент B4k координатных функций 2k() находится из однородного граничного условия (11). Подставляя 2k() в (11), положив правую часть равной нулю, получаем a2 d2k() d + 2 2k() =1 = 0, k = 2, 3, . . . , n. (17) Из решения алгебраического уравнения (17) находим B4k = -2/(2 + ka2). Неизвестные коэффициенты B1k, B2k, B3k координатных функций 1k() находятся из однородного граничного условия (10) и однородных условий со- пряжения (12), (13). Подставляя 1k() и 2k() в (10), (12), (13), положив 218 Аналитические решения задач термоупругости для многослойных конструкций. . . члены, находящиеся в произведении с 1() и 2(), равными нулю, отно- сительно неизвестных коэффициентов B1k, B2k, B3k получаем следующую систему трёх алгебраических линейных уравнений: a1 d1k() d + 1 1k() - c111r3Tм Uм 1() =1 = 0; 11 a1 d1k() d + 1 1k() - c111r3Tм Uм 1() =2 = = 22 a2 d2k() d + 2 2k() - c221r3Tм Uм 2() =2 ; 1k(2) - 2k(2) = 0. После нахождения коэффициентов Fi и Bik соотношения (15), (16) при любых значениях неизвестных коэффициентов qk будут точно удовлетворять граничным условиям (10), (11) и условиям сопряжения (12), (13). Для опре- деления неизвестных коэффициентов qk составим невязки уравнений (9) и потребуем ортогональности невязок ко всем координатным функциям 1k() и 2k(): 2 1 d21 d2 + 1 d1 d - 1 2 - 111r3 Tм Uм d1 d 1j()d+ + 1 2 d22 d2 + 1 d2 d - 2 2 - 221r3 Tм Uм d2 d 2j()d = 0, (18) j = 2, 3, . . . , n. Подставляя (15), (16) в (18), после определения интегралов относительно неизвестных коэффициентов qk будем иметь систему n - 2 алгебраических линейных уравнений. Исходные данные для решения задачи следующие [3-5]: r1 = 0,014 м; r2 = = 0,039 м; r3 = 0,055 м; v1 = v2 = 0,2; E1 = 19,5 · 109 кг/м2; м = 0,1107; E2 = 13·109 кг/м2; 1 = 15·10-6/K; 2 = 11·10-6/K; Tм = 100 ; Uм = 10-3 м. Результаты расчётов безразмерных радиальных и окружных напряжений по формулам (15), (16) во втором приближении даны на рис. 1. Отметим, что соотношения (15), (16) в данном случае точно удовлетворяют граничным Рис. 1. Изменение радиальных напряжений (второе приближение) 219 В. А. К у д и н о в, А. Э. К у з н е ц о в а, А. В. Е р ё м и н, Е. В. К о т о в а условиям и условиям сопряжения (10)-(13), точность выполнения уравнений (9) зависит от числа приближений (от числа членов рядов (15), (16)). Результаты расчётов напряжений ri и i даны на рис. 1, 2. Их ана- лиз позволяет сделать вывод о том, что радиальные напряжения r имеют отрицательный знак (сжатие). Радиальные напряжения на внешних поверх- ностях стенок ( = 1 и = 1), как это следует из граничных условий (10), (11), равны нулю. Окружные напряжения в пределах первого слоя имеют отрицательный знак, а в пределах второго положительный (растяжение). В точке контакта слоёв ( = 2) ввиду различия числовых значений моду- лей упругости и коэффициентов линейного расширения, а также вследствие непрерывности перемещений наблюдается скачок первого рода для функции окружных напряжений. Рис. 2. Изменение окружных напряжений (второе приближение) Заключение. На основе использования систем координатных функций, точно удовлетворяющих граничным условиям и условиям сопряжения, раз- работана методика получения приближённых аналитических решений квази- статических задач термоупругости для многослойных конструкций на при- мере цилиндра с переменными в пределах каждого слоя физическими свой- ствами среды. Отличительной особенностью метода является использование глобальной (одинаковой для каждого слоя) системы неизвестных коэффици- ентов, позволяющей с помощью ортогонального метода Бубнова Галёркина свести решение исходной системы обыкновенных дифференциальных урав- нений к решению системы алгебраических линейных уравнений, число неиз- вестных которой (принятых коэффициентов qk) равно числу приближений. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. А. Д. Коваленко, Введение в термоупругость. Киев: Наук. думка, 1965. 202 с. [A. D. Kovalenko, Introduction to Thermoelasticity. Kiev: Nauk. Dumka, 1965. 202 pp.] 2. S. Timoshenko, J. N. Goodier, Theory of Elasticity. New York, Toronto, London: McGraw- Hill Book Company, Inc., 1951. xviii+506 pp.; русск. пер.: С. П. Тимошенко, Дж. Гудьер, Теория упругости. М.: Наука, 1979. 560 с. 3. Кудинов В. А., Карташов Э. М., Калашников В. В., Аналитические решения задач теп- ломассопереноса и термоупругости для многослойных конструкций. М.: Высш. шк., 2005. 430 с. [V. A. Kudinov, E. M. Kartashov, V. V. Kalashnikov, Analytical solutions of problem of heat and mass transfer and thermoelasticity for multilayered structures. Moscow: Vyssh. shk., 2005. 430 pp.] 220 Аналитические решения задач термоупругости для многослойных конструкций. . . 4. В. А. Кудинов, А. В. Еремин, Е. В. Котова, Получение аналитических решений за- дач термоупругости для многослойных тел с переменными свойствами / В сб.: Третья международная конференция Математическая физика и её приложения : Материа- лы конф. (Самара, 27 августа - 1 сентября, 2012 г.); ред. чл.-корр. РАН И. В. Волович, д.ф.-м.н., проф. В. П. Радченко. Самара: СамГТУ, 2012. С. 184-185. [V. A. Kudinov, A. V. Eremin, E. V. Kotova, Analytical solutions of problems of thermoelasticity for multilayered bodies with variable properties / In: The Third International Conference Mathematical Physics and Its Applications: Book of Abstracts (August 27 - September 01, 2012 Samara, Russia); eds. I. V. Volovich, V. P. Radchenko. Samara: Samara State Technical Univ., 2012. Pp. 184-185]. 5. В. А. Кудинов, А. В. Еремин, Е. В. Котова, Получение точных аналитических реше- ний задач термоупругости для многослойных конструкций // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2012. 2(27). С. 188-191. [V. A. Kudinov, A. V. Eremin, E. V. Kotova, Obtaining exact analytical solutions of the thermoelasticity problem for multilayer cylindrical structures // Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2012. no. 2(27). Pp. 188-191]. Поступила в редакцию 29/X/2012; в окончательном варианте 01/II/2013. MSC: 74F05; 74C05, 80A20 ANALYTICAL SOLUTIONS OF PROBLEMS OF THERMOELASTICITY FOR MULTILAYERED BODIES WITH VARIABLE PROPERTIES V. A. Kudinov, A. E. Kuznetsova, A. V. Eremin, E. V. Kotova Samara State Technical University, 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russia. E-mails: kud-samgtu@yandex.ru, a.v.eremin@list.ru The technics for the construction of approximate analytical solutions for the quasistatic problems of thermoelasticity (plane-stressed state, plane deformation) for the multi- layered bodies with variable within limits of each layer physical properties of medium. The recursive method is used for the construction of systems of coordinate functions, satisfying the boundary matching conditions, given as the equality of radial (normal) stresses and displacements in the layer-contact points. Key words: multilayer constructions, analytical solution, thermoelasticity problem, environmental variable physical properties, system of coordinate functions, Bubnov- Galyorkin orthogonal method. Original article submitted 29/X/2012; revision submitted 01/II/2013. Vasiliy A. Kudinov (Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Head of Dept., Dept. of Theoretical Basis of Heat Engineering & Flow Mechanics. Anastasiya E. Kuznetsova, Assistent, Dept. of Theoretical Basis of Heat Engineering & Flow Mechanics. Anton V. Eremin, Assistent, Dept. of Theoretical Basis of Heat Engineering & Flow Mechanics. Evgeniya V. Kotova, Assistent, Dept. of Theoretical Basis of Heat Engineering & Flow Mechanics. 221

About the authors

Vasilii Aleksandrovich Kudinov

Samara State Technical University

Email: totig@yandex.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Anastasiya Eduardovna Kuznetsova

Samara State Technical University

Email: kuznetsovaae@rambler.ru
without scientific degree, no status

Anton Vladimirovich Eremin

Samara State Technical University

Email: a.v.eremin@list.ru
Candidate of technical sciences, no status

Eugeniya Valerievna Kotova

Samara State Technical University

Candidate of technical sciences, no status

References

Supplementary files