Infinite motion in the classical functional mechanics

Abstract


In the paper the description of infinite movement in the functional formulation of classical mechanics is investigated. On the example of simple exactly solvable problems (passing through the barrier and falling in the center) the two classes of problems of scattering and singularity are considered. The functional mechanics corrections, arising from scattering, to the mean values and variance of canonical variables are calculated. In particular in the simplest case of transmission through the barrier the shift of the mean value coordinate by a constant arises , this constant depends on the parameters of the barrier, and logarithmic correction to the variance of the free motion coordinate. Also it is shown, that functional mechanics approach leads to the elimination of singularities in the kinetic energy of the falling in the center, which is equivalent to the solution of the Friedman equation in cosmology.

Full Text

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. 1 (30). С. 222-232 УДК 517.958 ИНФИНИТНОЕ ДВИЖЕНИЕ В КЛАССИЧЕСКОЙ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ А. И. Михайлов1,2 1 Всероссийский научно-исследовательский институт рыбного хозяйства и океанографии, 107140, Россия, Москва, ул. Верхняя Красносельская, 17. 2 Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, Россия, 119991, Москва, ул. Губкина, 8. E-mail: mikhailov1984@gmail.com В работе исследуется описание инфинитного движения в функциональной фор- мулировке классической механики. На примере простых точно решаемых задач (прохождения через барьер и падения на центр) рассматривается два класса проблем: рассеяние и сингулярность. Вычисляются функционально механиче- ские поправки к средним значениям и дисперсиям канонических переменных, обу- словленные рассеянием, в частности в простейшем случае прохождения через барьер возникает сдвиг среднего значения координаты на константу, зависящую от параметров барьера, и логарифмическая по времени поправка к дисперсии ко- ординаты свободного движения. Также показано, что функционально механиче- ский подход приводит к устранению сингулярности в кинетической энергии при падении на центр, эквивалентном решению уравнения Фридмана в космологии. Ключевые слова: классическая механика, проблема необратимости, уравнение Лиувилля, задачи рассеяния, проблема сингулярности, вселенная Фридмана. Введение. В 2008 году И. В. Воловичем [1] была предложена переформу- лировка гамильтоновой динамики классическая функциональная механи- ка. Основной мотивацией пересмотра основ механики была проблема необ- ратимости макроскопической динамики, возникающая при обосновании тер- модинамики [2]. Классический подход к решению этой проблемы, основан- ный на методе Боголюбова [3], предполагал вывод необратимых кинетических уравнений из обратимых уравнений механики; здесь же предлагалось обна- ружить необратимость в самих микроскопических уравнениях, естественно, таким образом, чтобы в новых уравнениях микроскопической динамики так или иначе содержалась классическая механика. В новом подходе фундамен- тальное описание динамики задается уравнениями Лиувилля или Фоккера Планка, где состоянием системы полагается плотность вероятности, т. е., как и в квантовой механике, состояние и наблюдаемые (например координаты в фазовом пространстве) более не совпадают. Использование плотности веро- ятности в качестве состояния системы обусловлено конечной точностью из- мерений [4], а также, в случае уравнения Фоккера Планка, наличием малых неучтенных взаимодействий. Иными словами, исследуется реакция классиче- ской гамильтоновой системы на малые флуктуации начальных данных или движения. Сами классические траектории движения возникают как характе- ристики уравнения Лиувилля или как частный случай траектории стохасти- ческого процесса при отсутствии шума. Как было показано в последующих работах по функциональной механике [5-7], платой за необратимость мик- Андрей Игоревич Михайлов, младший научный сотрудник, лаб. системного анализа1 ; младший научный сотрудник, научно-образовательный центр2 . 222 Инфинитное движение в классической функциональной механике роскопических уравнений являются поправки к ньютоновским траекториям движения средние от наблюдаемых не совпадают с наблюдаемыми, вычис- лительными на средних значениях начальных данных, в частности, траекто- рии средних значений координат в фазовом пространстве будут отклонятся от траектории характеристики. Вид этих отклонений был исследован на ко- нечных временах, пусть и сравнимых в ряде случаев со временем возвраще- ния системы. В этой работе ставится задача исследования поправок на асимп- тотике инфинитного движения. Траектория может уйти на бесконечность как за бесконечное, так и за конечное время. Первому случаю соответствует задача рассеяния, второму проблема сингулярности. Способ решения этих задач в рамках функциональной механики будет проиллюстрирован на двух простейших точно решаемых примерах рассеянии на барьере и падении на центр соответственно. Общая постановка задачи рассеяния в функциональной механике тако- ва. Рассматривается уравнение Лиувилля, описывающее эволюцию функции распределения частицы, движущейся в потенциальном поле. Потенциал за- дается функцией с компактным носителем или же функцией, убывающей на бесконечности хотя бы степенным образом так, чтобы движение можно было считать свободным на бесконечно большом расстоянии от центра рас- сеяния. Далее ставится задача Коши с некоторыми начальными данными in(p, q) L1(R2n); p, q Rn; in L1 = 1: t + [H, ] = 0, H = p2 2m + U(q); (0, p, q) = in(p, q). Пусть y(t, p, q) и x(t, p, q) есть характеристики уравнения Лиувилля, т. е. ре- шения уравнений Гамильтона для импульса и координаты соответственно: y = - H(y, x) x , x = H(y, x) y ; y(0) = p, x(0) = q. Тогда решение уравнение Лиувилля задаётся следующим выражением: (t, p, q) = in y(-t, p, q), x(-t, p, q) , в чём нетрудно убедиться прямой подстановкой. Решением задачи рассеяния будем называть такую плотность вероятности out(p, q) L1(R2n); p, q Rn; out L1 = 1, что lim t+ in(y(-t, p, q), x(-t, p, q)) - out(p, q - pt) L 1 = 0. Заметим, что мы потребовали только слабой сходимости функций плотно- сти, поскольку дальнейшие рассуждения будут опираться на поведение мо- ментов распределения, т. е. вполне определенных линейных функционалов, что вполне согласуется с теоремами о существовании слабого предела вероят- ностной меры [16]. Линейный оператор, задающий преобразование in(p, q) out(p, q), естественно называть оператором рассеяния по аналогии с матри- цей рассеяния в квантовой механике. Далее мы рассмотрим простейшую за- дачу рассеяния, классическое решение которой прекрасно известно и не пред- ставляет трудности, однако функционально механическая постановка задачи 223 А. И. М и х а й л о в приведёт к ряду нетривиальных эффектов возникнут асимптотические по- правки к траекториям средних значений координат и импульсов, а также старших моментов. 1. Прохождение через барьер. Рассмотрим задачу прохождения через ба- рьер: t + [H, ] = 0, H = p2 2m + U0((q) - (q - q0)); (0, p, q) = 0(p, q), где U0 = p2 0/2m высота барьера , а q0 ширина. Задача решается методом характеристик (t, y, x) = 0 y(-t, p, q), x(-t, p, q) , где (y(t, p, q), x(t, p, q)) траектория характеристики в фазовом пространстве ((y, x) и (p, q) текущие и начальные импульс и координата соответственно), представляющая в данном случае кусочно-линейную ломаную: y(t, p, q) = p, t < -q p; (p - p0)(p + p0), -q p < t < -q p + q0

About the authors

Andrey Igorevich Mikhailov

Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences; Russian Federal Research Institute of Fisheries and Oceanography

Email: mihailov@realmail.ru, mikhailov1984@gmail.ru

without scientific degree, no status

References

  1. И. В. Волович, "Проблема необратимости и функциональная формулировка классической механики", Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер., 2008, № 8/1(67), 35–55
  2. И. В. Волович, "Уравнения Боголюбова и функциональная механика", ТМФ, 164:3 (2010), 354-362
  3. Н. Н. Боголюбов, Проблемы динамической теории в статистической физике, Гостехиздат, М.-Л., 1946, 119 с.
  4. А. С. Трушечкин, "Необратимость и роль измерительного прибора в функциональной формулировке классической механики", ТМФ, 164:3 (2010), 435-440
  5. I. V. Volovich, A. S. Trushechkin, "Functional Classical Mechanics and Rational Numbers", p-Adic Numb. Ultr. Anal. Appl, 1:4 (2009), 361-367
  6. E. V. Piscovskiy, I. V. Volovich,, "On the Correspondence Between Newtonian and Functional Mechanics", Quantum Bio-Informatic IV, Quantum Probability and White Noise Analisis, 28, eds. L. Accardy, W. Freudenberg, M. Ohya, World Sci, Singapure, 2011, 363-372
  7. А. И. Михайлов, "Функциональная механика: эволюция моментов функции распределения и теорема о возвращении", Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2011, № 1(22), 124-133
  8. О. В. Грошев, "Оператор Лиувилля и функциональная механика", Третья международная конференция «Математическая физика и еë приложения», Материалы конф. (Самара, 27 августа – 1 сентября, 2012 г.), ред. чл.-корр. РАН И. В. Волович, д.ф.-м.н., проф. В. П. Радченко, СамГТУ, Самара, 2012, 105
  9. И. В. Волович, "Функциональная механика и черные дыры", Третья международная конференция «Математическая физика и еë приложения», Материалы конф. (Самара, 27 августа – 1 сентября, 2012 г.), ред. чл.-корр. РАН И. В. Волович, д.ф.-м.н., проф. В. П. Радченко, СамГТУ, Самара, 2012, 92
  10. C. W. Misner, K. S. Thorne, J. A. Wheeler, Gravitation, W. H. Freeman, San Francisco, 1973, 1215 pp.
  11. В. В. Козлов, Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре, Институт компьютерных исследований, М., Ижевск, 2002, 320 с.

Statistics

Views

Abstract - 3

PDF (Russian) - 1

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2013 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies