Study of curvilinear reinforcement rational structures in polar coordinate system

Abstract

The problem of curvilinear fibers rationalreinforcement for axially symmetric ring-shaped lamel in polarcoordinate system is solved by reference to the structural model.The effect of structural parameters for a construction limitstressing is studied.

Full Text

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. 1 (30). С. 233-244 УДК 519.876:620.22-419.8 ИССЛЕДОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ СТРУКТУР КРИВОЛИНЕЙНОГО АРМИРОВАНИЯ В ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ Ю. В. Немировский1 , Н. А. Фёдорова2 1 Институт теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича СО РАН, Россия, 630090, Новосибирск, ул. Институтская, 4/1. 2 Институт космических и информационных технологий Сибирского федерального университета, Россия, 660074, Красноярск, ул. Киренского 26. E-mails: nemirov@itam.nsc.ru, feodorova.natalia@mail.ru На основе структурной модели решена задача рационального армирования кри- волинейными волокнами осесимметричной кольцевой пластины в полярной си- стеме координат. Изучено влияние структурных параметров на предельное на- гружение конструкции. Ключевые слова: структурная модель, криволинейное армирование. 1. Постановка задачи. Напряжённо-деформированное состояние армиро- ванной пластины в полярной системе координат (, ) относительно компо- нент тензоров деформаций , , и напряжений , , в осесиммет- рическом случае (искомые функции не зависят от полярного угла ) описы- вается приводимыми ниже соотношениями. Уравнения равновесия имеют вид + - = 0, + 2 = 0. (1) Пусть армирование выполнено m семействами волокон (m = 1, 2, 3), m углы армирования, m деформация в волокне, m напряжение в волокне, m интенсивность армирования m-тым семейством волокон. Деформации в волокне в полярной системе определим по структурной модели [1] cos2 m + sin2 m + cos m sin m = m. Соотношения Коши, связывающие компоненты тензора деформаций и компоненты вектора смещений u, u, в условиях осесимметричной дефор- мации имеют вид = u , = u , = u - u . (2) Пусть m некоторое фиксированное число семейств армирующих воло- кон. Закон Гука для неоднородного армированного материала с числом се- Юрий Владимирович Немировский (д.ф.-м.н., проф.), главный научный сотрудник, лаб. физики быстропротекающих процессов. Наталья Александровна Федорова (к.ф.-м.н., доц.), доцент, каф. прикладной математики и компьютерной безопасности. 233 Ю. В. Н е м и р о в с к и й, Н. А. Ф e д о р о в а мейств армирующих волокон m запишем в виде = E 1 - 2 ( + ) + m m=1 mm cos2 m, = E 1 - 2 ( + ) + m m=1 mm sin2 m, = E 1 + + m m=1 mm cos m sin m, = 1 - m m=1 m, (3) где E, соответственно модуль Юнга и коэффициент Пуассона связующего материала. При наложении дополнительных условий постоянства сечений волокон [2] интенсивность армирования m m-тым семейством волокон удовлетворяет следующим условиям в полярной системе координат [3]: (m cos m) + (m sin m) = 0. (4) В рассматриваемой задаче интенсивность m найдём из (4) после задания уравнений конкретных траекторий армирования = (), введения углов армирования m и начальных условий выхода арматуры. 2. Разрешающая система уравнений. Сформулируем задачу об осесим- метричной деформации армированной пластины в перемещениях u, u. Для этого соотношения (3) подставим в уравнения равновесия (1), предваритель- но напряжения m в волокнах найдём по формулам m = Em( cos2 m + sin2 m + cos m sin m), где Em модуль Юнга материала m-того семейства волокон. Напряжения , , с учётом структурных характеристик примут вид = m1( + ) + m m=1 Emm( cos2 m + sin2 m+ + sin m cos m) cos2 m, = m1( + ) + m m=1 Emm( cos2 m + sin2 m+ + sin m cos m) sin2 m, = m2 + m m=1 Emm( cos2 m + sin2 m+ + sin m cos m) sin m cos m. 234 Исследование рациональных структур криволинейного армирования . . . Соотношения для напряжений , , запишем в виде = a11 + a12 + a13, = a12 + a22 + a23, = a13 + a23 + a33 m1 = E 1 - 2 , m2 = E 1 + , (5) где введены коэффициенты a11 = m1 + m m=1 Emm cos4 m, a12 = m1 + m m=1 Emm cos2 m sin2 m, a13 = m m=1 Emm cos3 m sin m, a22 = m1 + m m=1 Emm sin4 m, a23 = m m=1 Emm cos m sin3 m, a33 = m2 + m m=1 Emm cos2 m sin2 m. После подстановки (5) в уравнения равновесия (1) с учётом (2) получим от- носительно компонент перемещений следующую систему дифференциальных уравнений: a11 d2u d2 + a13 d2u d2 + da11 d + a11 du d + - a23 + da13 d du d + + 1 da12 d - a22 2 u + - 1 da13 d + a23 2 u = 0, a13 d2u d2 + a33 2 d2u d2 + da13 d + a23 + 2a13 du d + + - a33 + da33 d + 2a33 du d + 1 da23 d + a23 2 u+ + - 1 da33 d - a33 2 u = 0. (6) К системе (6) присоединим четыре граничных условия на внешнем и внутрен- нем контурах кольцевой пластины. Пусть на внутреннем контуре при = 1 заданы перемещения: u = C 1 , u = C 2 (7) (при C 1 = 0, C 2 = 0 имеем жёстко закрепленный вал, при C 1 = 0, C 2 = 0 возможно скручивание вала). На внешнем контуре = 2 заданы радиальное и касательное усилия pn, p . С учётом соотношений (5) и (2) условия на внешнем контуре примут вид a11 du d + a12 u + a13 du d - u =2 = pn, a13 du d + a23 u + a33 du d - u =2 = p . (8) Возможны следующие комбинации в граничных условиях: на внутрен- нем контуре задано одно из усилий и одно из перемещений, на внешнем 235 Ю. В. Н е м и р о в с к и й, Н. А. Ф e д о р о в а оставшееся усилие и перемещение. Система (6) и граничные условия (7), (8) представляют собой обобщённую двухточечную краевую задачу для систе- мы обыкновенных дифференциальных уравнений. В граничные условия (7), (8) для общего случая армирования входят как обе неизвестные функции u, u, так и их производные. Коэффициенты системы содержат полный на- бор структурных характеристик материала: число m семейств армирующих волокон, механические характеристики материалов связующего и волокна, интенсивность m и тригонометрические функции углов армирования m. 3. Армирование по спиралям. Выполним в рамках поставленной задачи армирование кольцевой пластины по криволинейным траекториям, которые являются семействами логарифмических и алгебраических спиралей [4]. Для построения разрешающей системы необходимо определить коэффициенты aij системы (6). В каждом конкретном случае заданных семейств спиралей вы- числим интенсивность m и углы армирования m. 1. Армирование по семействам логарифмических спиралей. Пусть дано семейство логарифмических спиралей вида = Cb, C параметр семейства, b параметр спирали, при b > 1 спираль развертывается вокруг полюса про- тив хода часовой стрелки (рис. 1), если b < 1, то спираль закручивается по часовой стрелке (рис. 2). Вычислим угол армирования tg = = 1 ln b , то есть для логарифмической спирали угол армирования некоторая кон- станта. Определим интенсивность армирования 1() из уравнения (4) при заданных углах армирования, в нем производную по вычисляем по формуле = с учётом уравнения траектории = Cb. В результате имеем (1) + (1) = 0. (9) Рис. 1 Рис. 2 236 Исследование рациональных структур криволинейного армирования . . . В (9) частную производную заменяем обычной производной по , так как исключили зависимость от окружной координаты. Интегрируя (9) с учётом заданной интенсивности армирования 0 на внутреннем контуре = 1, по- лучим следующее выражение для интенсивности армирования по логариф- мической спирали 1 = 0 1/. 2. Армирование по семействам спиралей Архимеда. Зададим спираль Ар- химеда = a, a коэффициент пропорциональности [4]. Иллюстрация кри- вой приведена на рис. 3. Угол армирования находим из соотношения tg = = = /a, вычисляем sin , cos через tg, после подстановки в (4) получаем следующее уравнение для интенсивности армирования 1(): 1 1 1 + tg 2 = 0, оператор дифференцирования по окружной координате вдоль траектории ар- мирования равен = a . Тогда интенсивность армирования в произвольной точке кольцевой пластины найдем по формуле 1 = C 1 + tg /. Пусть на внутреннем контуре = 1 задан угол вхождения арматуры 0 и задана интенсивность армирования 0, что соответствует условиям техноло- гического процесса. После вычисления константы интегрирования из условий на внутреннем контуре пластины интенсивность армирования имеет вид 1 = 0 2 1 + 2 tg2 0 1 + tg 2 . Для тангенса угла армирования получим выражение tg = (/1) tg 0. 3. Спираль Ферма. Спираль Ферма задается уравнением 2 = a2, a коэффициент пропорциональности. Для тангенса угла армирования получим выражение tg = 22/a2. С учётом условий на внутреннем контуре опреде- ляем параметр a2: a2 = 21/tg 0, ограничение на условия на внутреннем контуре tg 0 > 0. Оператор дифференцирования по окружной координате вдоль траекто- рии армирования определим по формуле = a2 2 . Тогда уравнение для интенсивности армирования () в произвольной точке кольцевой пластины примет вид a4 + 44 + 1 2 a4 + 44 = 0. (10) 237 Ю. В. Н е м и р о в с к и й, Н. А. Ф e д о р о в а Найдём решение уравнения (10): = C1 a2 + 2a + 22 a2 - 2a + 22 3 . Сформулированные выше условия на внутреннем контуре дают соотношения для определения константы интегрирования, и окончательно для интенсив- ности армирования по спирали Ферма имеем = 0 3 1 a2 + 2a1 + 22 1 a2 - 2a1 + 22 1 a2 + 2a + 22 a2 - 2a + 22 3 , где a2 = 21/tg 0. Вид траектории армирования по спирали Ферма приведен на рис. 4. Рис. 3 Рис. 4 4. Велоколесо . Спицы велоколеса в полярной системе координат пред- ставляют семейство прямых, заданных уравнением = a/sin , где a кон- станта, параметр велоколеса, - < < 0, = /2. Вычислим , найдём через из уравнения траектории: = arcsin a/, получим выражение танген- са угла армирования tg = - tg через полярный радиус tg = a 2 - a2 . Оператор дифференцирования по окружной координате вдоль траектории армирования равен = - a cos sin2 . В результате условие постоянства сечений волокон примет вид 1 2 - a2 + 2 - a2 1 = 0. 238 Исследование рациональных структур криволинейного армирования . . . Пусть 1 внутренний радиус кольцевой пластины, 0 заданный угол выхо- да, тогда a = 1 sin 0. C учетом условий на внутреннем контуре 1 =1 = 0 получим интенсивность армирования 1 = 0