Study of curvilinear reinforcement rational structures in polar coordinate system

Abstract


The problem of curvilinear fibers rationalreinforcement for axially symmetric ring-shaped lamel in polarcoordinate system is solved by reference to the structural model.The effect of structural parameters for a construction limitstressing is studied.

Full Text

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. 1 (30). С. 233-244 УДК 519.876:620.22-419.8 ИССЛЕДОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ СТРУКТУР КРИВОЛИНЕЙНОГО АРМИРОВАНИЯ В ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ Ю. В. Немировский1 , Н. А. Фёдорова2 1 Институт теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича СО РАН, Россия, 630090, Новосибирск, ул. Институтская, 4/1. 2 Институт космических и информационных технологий Сибирского федерального университета, Россия, 660074, Красноярск, ул. Киренского 26. E-mails: nemirov@itam.nsc.ru, feodorova.natalia@mail.ru На основе структурной модели решена задача рационального армирования кри- волинейными волокнами осесимметричной кольцевой пластины в полярной си- стеме координат. Изучено влияние структурных параметров на предельное на- гружение конструкции. Ключевые слова: структурная модель, криволинейное армирование. 1. Постановка задачи. Напряжённо-деформированное состояние армиро- ванной пластины в полярной системе координат (, ) относительно компо- нент тензоров деформаций , , и напряжений , , в осесиммет- рическом случае (искомые функции не зависят от полярного угла ) описы- вается приводимыми ниже соотношениями. Уравнения равновесия имеют вид + - = 0, + 2 = 0. (1) Пусть армирование выполнено m семействами волокон (m = 1, 2, 3), m углы армирования, m деформация в волокне, m напряжение в волокне, m интенсивность армирования m-тым семейством волокон. Деформации в волокне в полярной системе определим по структурной модели [1] cos2 m + sin2 m + cos m sin m = m. Соотношения Коши, связывающие компоненты тензора деформаций и компоненты вектора смещений u, u, в условиях осесимметричной дефор- мации имеют вид = u , = u , = u - u . (2) Пусть m некоторое фиксированное число семейств армирующих воло- кон. Закон Гука для неоднородного армированного материала с числом се- Юрий Владимирович Немировский (д.ф.-м.н., проф.), главный научный сотрудник, лаб. физики быстропротекающих процессов. Наталья Александровна Федорова (к.ф.-м.н., доц.), доцент, каф. прикладной математики и компьютерной безопасности. 233 Ю. В. Н е м и р о в с к и й, Н. А. Ф e д о р о в а мейств армирующих волокон m запишем в виде = E 1 - 2 ( + ) + m m=1 mm cos2 m, = E 1 - 2 ( + ) + m m=1 mm sin2 m, = E 1 + + m m=1 mm cos m sin m, = 1 - m m=1 m, (3) где E, соответственно модуль Юнга и коэффициент Пуассона связующего материала. При наложении дополнительных условий постоянства сечений волокон [2] интенсивность армирования m m-тым семейством волокон удовлетворяет следующим условиям в полярной системе координат [3]: (m cos m) + (m sin m) = 0. (4) В рассматриваемой задаче интенсивность m найдём из (4) после задания уравнений конкретных траекторий армирования = (), введения углов армирования m и начальных условий выхода арматуры. 2. Разрешающая система уравнений. Сформулируем задачу об осесим- метричной деформации армированной пластины в перемещениях u, u. Для этого соотношения (3) подставим в уравнения равновесия (1), предваритель- но напряжения m в волокнах найдём по формулам m = Em( cos2 m + sin2 m + cos m sin m), где Em модуль Юнга материала m-того семейства волокон. Напряжения , , с учётом структурных характеристик примут вид = m1( + ) + m m=1 Emm( cos2 m + sin2 m+ + sin m cos m) cos2 m, = m1( + ) + m m=1 Emm( cos2 m + sin2 m+ + sin m cos m) sin2 m, = m2 + m m=1 Emm( cos2 m + sin2 m+ + sin m cos m) sin m cos m. 234 Исследование рациональных структур криволинейного армирования . . . Соотношения для напряжений , , запишем в виде = a11 + a12 + a13, = a12 + a22 + a23, = a13 + a23 + a33 m1 = E 1 - 2 , m2 = E 1 + , (5) где введены коэффициенты a11 = m1 + m m=1 Emm cos4 m, a12 = m1 + m m=1 Emm cos2 m sin2 m, a13 = m m=1 Emm cos3 m sin m, a22 = m1 + m m=1 Emm sin4 m, a23 = m m=1 Emm cos m sin3 m, a33 = m2 + m m=1 Emm cos2 m sin2 m. После подстановки (5) в уравнения равновесия (1) с учётом (2) получим от- носительно компонент перемещений следующую систему дифференциальных уравнений: a11 d2u d2 + a13 d2u d2 + da11 d + a11 du d + - a23 + da13 d du d + + 1 da12 d - a22 2 u + - 1 da13 d + a23 2 u = 0, a13 d2u d2 + a33 2 d2u d2 + da13 d + a23 + 2a13 du d + + - a33 + da33 d + 2a33 du d + 1 da23 d + a23 2 u+ + - 1 da33 d - a33 2 u = 0. (6) К системе (6) присоединим четыре граничных условия на внешнем и внутрен- нем контурах кольцевой пластины. Пусть на внутреннем контуре при = 1 заданы перемещения: u = C 1 , u = C 2 (7) (при C 1 = 0, C 2 = 0 имеем жёстко закрепленный вал, при C 1 = 0, C 2 = 0 возможно скручивание вала). На внешнем контуре = 2 заданы радиальное и касательное усилия pn, p . С учётом соотношений (5) и (2) условия на внешнем контуре примут вид a11 du d + a12 u + a13 du d - u =2 = pn, a13 du d + a23 u + a33 du d - u =2 = p . (8) Возможны следующие комбинации в граничных условиях: на внутрен- нем контуре задано одно из усилий и одно из перемещений, на внешнем 235 Ю. В. Н е м и р о в с к и й, Н. А. Ф e д о р о в а оставшееся усилие и перемещение. Система (6) и граничные условия (7), (8) представляют собой обобщённую двухточечную краевую задачу для систе- мы обыкновенных дифференциальных уравнений. В граничные условия (7), (8) для общего случая армирования входят как обе неизвестные функции u, u, так и их производные. Коэффициенты системы содержат полный на- бор структурных характеристик материала: число m семейств армирующих волокон, механические характеристики материалов связующего и волокна, интенсивность m и тригонометрические функции углов армирования m. 3. Армирование по спиралям. Выполним в рамках поставленной задачи армирование кольцевой пластины по криволинейным траекториям, которые являются семействами логарифмических и алгебраических спиралей [4]. Для построения разрешающей системы необходимо определить коэффициенты aij системы (6). В каждом конкретном случае заданных семейств спиралей вы- числим интенсивность m и углы армирования m. 1. Армирование по семействам логарифмических спиралей. Пусть дано семейство логарифмических спиралей вида = Cb, C параметр семейства, b параметр спирали, при b > 1 спираль развертывается вокруг полюса про- тив хода часовой стрелки (рис. 1), если b < 1, то спираль закручивается по часовой стрелке (рис. 2). Вычислим угол армирования tg = = 1 ln b , то есть для логарифмической спирали угол армирования некоторая кон- станта. Определим интенсивность армирования 1() из уравнения (4) при заданных углах армирования, в нем производную по вычисляем по формуле = с учётом уравнения траектории = Cb. В результате имеем (1) + (1) = 0. (9) Рис. 1 Рис. 2 236 Исследование рациональных структур криволинейного армирования . . . В (9) частную производную заменяем обычной производной по , так как исключили зависимость от окружной координаты. Интегрируя (9) с учётом заданной интенсивности армирования 0 на внутреннем контуре = 1, по- лучим следующее выражение для интенсивности армирования по логариф- мической спирали 1 = 0 1/. 2. Армирование по семействам спиралей Архимеда. Зададим спираль Ар- химеда = a, a коэффициент пропорциональности [4]. Иллюстрация кри- вой приведена на рис. 3. Угол армирования находим из соотношения tg = = = /a, вычисляем sin , cos через tg, после подстановки в (4) получаем следующее уравнение для интенсивности армирования 1(): 1 1 1 + tg 2 = 0, оператор дифференцирования по окружной координате вдоль траектории ар- мирования равен = a . Тогда интенсивность армирования в произвольной точке кольцевой пластины найдем по формуле 1 = C 1 + tg /. Пусть на внутреннем контуре = 1 задан угол вхождения арматуры 0 и задана интенсивность армирования 0, что соответствует условиям техноло- гического процесса. После вычисления константы интегрирования из условий на внутреннем контуре пластины интенсивность армирования имеет вид 1 = 0 2 1 + 2 tg2 0 1 + tg 2 . Для тангенса угла армирования получим выражение tg = (/1) tg 0. 3. Спираль Ферма. Спираль Ферма задается уравнением 2 = a2, a коэффициент пропорциональности. Для тангенса угла армирования получим выражение tg = 22/a2. С учётом условий на внутреннем контуре опреде- ляем параметр a2: a2 = 21/tg 0, ограничение на условия на внутреннем контуре tg 0 > 0. Оператор дифференцирования по окружной координате вдоль траекто- рии армирования определим по формуле = a2 2 . Тогда уравнение для интенсивности армирования () в произвольной точке кольцевой пластины примет вид a4 + 44 + 1 2 a4 + 44 = 0. (10) 237 Ю. В. Н е м и р о в с к и й, Н. А. Ф e д о р о в а Найдём решение уравнения (10): = C1 a2 + 2a + 22 a2 - 2a + 22 3 . Сформулированные выше условия на внутреннем контуре дают соотношения для определения константы интегрирования, и окончательно для интенсив- ности армирования по спирали Ферма имеем = 0 3 1 a2 + 2a1 + 22 1 a2 - 2a1 + 22 1 a2 + 2a + 22 a2 - 2a + 22 3 , где a2 = 21/tg 0. Вид траектории армирования по спирали Ферма приведен на рис. 4. Рис. 3 Рис. 4 4. Велоколесо . Спицы велоколеса в полярной системе координат пред- ставляют семейство прямых, заданных уравнением = a/sin , где a кон- станта, параметр велоколеса, - < < 0, = /2. Вычислим , найдём через из уравнения траектории: = arcsin a/, получим выражение танген- са угла армирования tg = - tg через полярный радиус tg = a 2 - a2 . Оператор дифференцирования по окружной координате вдоль траектории армирования равен = - a cos sin2 . В результате условие постоянства сечений волокон примет вид 1 2 - a2 + 2 - a2 1 = 0. 238 Исследование рациональных структур криволинейного армирования . . . Пусть 1 внутренний радиус кольцевой пластины, 0 заданный угол выхо- да, тогда a = 1 sin 0. C учетом условий на внутреннем контуре 1 =1 = 0 получим интенсивность армирования 1 = 0

About the authors

Yurii Vladimirovich Nemirovskii

Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences

Email: nemirov@itam.nsc.ru, shulgin@itam.nsc.ru

Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Natal'ya Alexandrovna Fedorova

Institute of Space and Information Technologies, Siberian Federal University

Email: ran@akadem.ru

Candidate of physico-mathematical sciences, Associate professor

References

  1. Yu. V. Nemirovsky, "On the elastic-plastic behaviour of a reinforced layer", Int. J. Mech. Sci., 12:10 (1970), 898-903
  2. С. Б. Бушманов, Ю. В. Немировский, "Проектирование пластин, армированных равнонапряженными волокнами постоянного поперечного сечения", Мех. композ. матер., 1983, № 2, 278-284
  3. Ю. В. Немировский, Н. А. Фeдорова, "Армирование плоских конструкций по криволинейным ортогональным траекториям", Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2010, № 5(21), 96-104
  4. А. А. Гусак, Г. М. Гусак, Линии и поверхности, Выш. школа, Минск, 1985, 220 с.
  5. Н. А. Федорова, "Моделирование изогонально армированных кольцевых пластин в полярной системе координат", Журн. СФУ. Сер. Матем. и физ., 4:3 (2011), 400-405
  6. Ю. В. Немировский, Н. А. Фeдорова, Математическое моделирование плоских конструкций из армированных волокнистых материалов, СФУ, Красноярск, 2010, 136 с.
  7. Ю. В. Немировский, Б. С. Резников, Прочность элементов конструкций из композитных материалов, Наука, Новосибирск, 1986, 165 с.
  8. Ю. В. Немировский, "Об упруго-пластическом поведении армированного слоя", ПМТФ, 10:6 (1969), 81-89
  9. J. M. Ortega, V. G. Pool, An introduction to Numerical Methods of Solving Differential Equations, Pitman Publishing Inc., New York, 1981
  10. В. В. Васильев, В. Д. Протасов, В. В. Болотин и др., Композиционные материалы: Справочник, Машиностроение, Москва, 1990, 510 с.

Statistics

Views

Abstract - 8

PDF (Russian) - 2

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2013 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies