On a class of fractional differential equations for mathematical models of dynamic system with memory

Abstract


Some differential equation with Riemann–Liouville fractional derivatives is considered. The class of these equations are proposed as a model fractional oscillating equation for the description, analysis and investigation of oscillatory processes in dynamic systems with memory. The obtainment such a kind of equations is based on the hypothesis supposed the existence of the non-ideal viscoelastic connection in the one-dimensional dynamic system, which is associated with the fractional analogy of Zener rheologic model of the viscoelastic body. It's shown, that the initial values problems with Cauchy type conditions is reduced equivalently to the Volterra type integral equations with the differentiable kernels. This circumstance allow to use the method of successive approximation to resolve that integral equations. It's indicated, that such a kind of differential equations may be interesting as mathematical models of nonlinear dynamic systems behavior.

Full Text

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. 1 (30). С. 245-252 УДК 517.925.42 ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ДРОБНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПАМЯТЬЮ Е. Н. Огородников Самарский государственный технический университет, Россия, 443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244. E-mail: eugen.ogo@gmail.com Рассмотрено дифференциальное уравнение с дробными производными Римана Лиувилля, которое предлагается в качестве модельного дробно-осцилляционно- го уравнения для описания колебательных процессов в динамических системах с памятью. В основе его вывода лежит гипотеза о неидеальной вязкоупругой связи, которая ассоциируется с дробным аналогом реологической модели Зенера, представляющей собой в классическом случае параллельное соединение элемента Максвелла и идеальной пружины. Показано, что начальные задачи типа Коши эквивалентным образом редуцируются к интегральным уравнениям вольтер- ровского типа с достаточно гладкими ядрами,что позволяет воспользоваться методом последовательных приближений. Отмечено, что подобные дифферен- циальные уравнения могут представлять интерес в качестве математических моделей поведения нелинейных динамических систем. Ключевые слова: дифференциальные и интегральные уравнения с дробными операторами Римана Лиувилля, дробные осцилляторы, дробно-осциляционные уравнения, реологические модели вязкоупругого тела с памятью, специальные функции типа Миттаг Леффлера, интегральные уравнения Вольтерры со спе- циальными функциями в ядрах. Дифференциальное уравнение u + n k=0 akDk 0t u + m s=0 bsDs 0t u = f(t), (1) где u(t) искомая, а f(t) заданная функции, t [0, T], u = du/dt, D 0tu = = (D 0+u)(t) левосторонняя дробная производная Римана Лиувилля [1,2] порядка , k (0, 1), s [0, 2), а коэффициенты ak, bs R, представляет собой обобщение дифференциального уравнения классического осциллятора с вязким трением [3]. Некоторые простейшие математические модели дроб- ных осцилляторов приведены в [2, 4, 5]. Уравнению (1), различным его частным случаям, вопросам обоснования существования и единственности и структуре решения начальных задач был посвящён ряд работ с участием автора данного сообщения [3, 6, 7 и др.]. В основе вывода уравнения (1) лежит гипотеза о неидеальной вязкоупру- гой связи, которая ассоциируется с дробным аналогом обобщённой реологи- ческой модели Фойхта (t) = n k=0 akDk 0t + m s=0 bsDs 0t , (2) Евгений Николаевич Огородников (к.ф.-м.н.), доцент, каф. прикладной математики и ин- форматики. 245 Е. Н. О г о р о д н и к о в где = (t) и = (t) напряжение и деформация связи в момент времени t. Частные случаи определяющего соотношения (2) изучались в работе [8] и бы- ли использованы авторами работы [7] в простейших модельных уравнениях дробных осцилляторов. Однако соотношение (2) ещё нуждается в экспери- ментальном подтверждении. В то время как экспериментально установле- но [9], что для моделирования вязкоупругого поведения многих материалов достаточно адекватным оказывается дробный аналог реологической модели Кельвина (t) + a1D 0t = E0(t) + b1D 0t, (3) где a1, b1, E0 заданные постоянные величины, (0, 1). Отметим, что определяющее соотношение вида (3) предлагалось и дру- гими авторами [10]. Однако большинство авторов используют в реологиче- ских соотношениях подходящую дробную производную , в качестве которой обычно выбирается производная по Капуто [5]. Другим подтверждённым экспериментально реологическим соотношени- ем является дробный аналог модели Максвелла (t) + a1D 0t = b1D 0t, (0, 1). (4) Известно [2], что к соотношению (4) редуцируется определяющее уравнение Ю. Н. Работнова [11]. В настоящей работе в качестве определяющего соотношения, моделирую- щего вязкоупругую связь, предложен дробный аналог модели Зенера, пред- ставляющей собой в классическом случае параллельное соединение максвел- ловского элемента и идеальной пружины. Заменяя в структурной модели Зенера элемент Максвелла (последовательное соединение пружины и демп- фера) его дробным аналогом (4), приходим к соотношению (t) + a1D 0t = E(t) + (a1E + b1)D 0t, (5) содержащему четыре параметра: a1, b1, E, , подлежащих идентификации по результатам экспериментов (испытаний образца). Предполагается, что при = 1 соотношение (5) совпадает с классическим для модели Зенера соотно- шением (t) + a1 (t) = E2((t) + a1 (t)) + (t), где a1 = /E1; E1, E2 модули упругости, коэффициент вязкости соот- ветствующих конструкционных элементов модели Зенера. Дифференциальное уравнение динамики частицы (материальной точки) в рамках классической механики Ньютона при наличии неидеальной вязко- упругой связи (5) и внешнего воздействия (активной силы) f(t) будет иметь вид (D 0t - I)(mx + c2x - f) + c1D 0tx = 0, (6) где m масса, а x = x(t) координата частицы; , c1, c2 некоторые кон- станты, связанные с коэффициентами в равенстве (5); I тождественный оператор, D 0t левосторонняя производная Римана Лиувилля порядка (0, 1). 246 Об одном классе дробных дифференциальных уравнений . . . Введём функции u(t) = mx + c2x - f и v(t) = -c1D 0tx. Если считать v(t) известной функцией, то уравнение (6) является неоднородным дифференци- альным уравнением Барретта относительно искомой функции u(t) [12]: D 0tu - u(t) = v(t), (7) для которого корректно поставлена задача типа Коши с начальным условием lim t0+ I1- 0t u = u0. (8) Будем искать решение x(t) дифференциального уравнения (6) в клас- се функций AC2[0, T], допускающем существование почти всюду на отрез- ке [0, T] суммируемой второй производной x(t) [1], требуя кроме того, чтобы D 0t x была суммируемой по Лебегу функцией. Но это значит, что искомое решение x(t) дифференциального уравнения (6) должно быть таким, что x(t) L(0, T), где класс функций L(0, T) при (0, 1) мы определяем как множество функций (t) таких, что (t) L(0, T), а I1- 0t AC1[0, T] [13], где AC1[0, T] = AC[0, T] класс абсолютно непрерывных функций. На- помним, что класс функций ACn[a, b] (n N) определяется как множество функций (x) (x [a, b]) таких, что (x) Cn-1[a, b], a f(n-1)(x) AC[a, b], что гарантирует существование почти всюду на [a, b] суммируемой производ- ной f(n)(x). Таким образом, в указанном классе функций начальное условие (8) для внешнего возмущения f(t) C[0, T] фактически сводится к равенству lim t0+ I1- 0t x = u0. (9) Применяя к левой и правой частям равенства (7) оператор I 0t и используя известное тождество [1] I 0tD 0tu = u(t) - t-1 () lim t0+ I1- 0t u, справедливое для функций u(t) L(0, T), где () гамма-функция Эйле- ра, получим интегральное уравнение u(t) - I 0tu = I 0tv. Его решение с учётом того, что I 0tv = -c1I 0tD 0tx = -c1x(t), для функций x(t) AC[0, T] и, тем более, для функций x(t) AC2[0, T], легко записыва- ется с помощью оператора (I - I 0t)-1 = I + E, 0t;: u(t) = (I + E, 0t;) u0 () t-1 - c1x(t) , где действие оператора E, at на любую суммируемую функцию определяется равенством E, at;f = t a (t - )-1 E[(t - ) ; ]f()d, (10) 247 Е. Н. О г о р о д н и к о в где E(z; ) функция типа Миттаг Леффлера. Некоторые свойства операторов E, at; и I+E, at; приведены в [7,8]. В част- ности, (I + E, 0t;)t-1 = () Exp(, ; ; t), где E(, ; ; t) = t-1E(t; ) обобщённая дробная экспоненциальная функция [6]. Таким образом, решение дифференциального уравнения (6) с начальным условием (8) или (9) редуцировано к интегро-дифференциальному уравнению следующего вида: mx + (c1 + c2)x + c1E, 0t;x = f(t) + u0 Exp(, ; ; t). (11) Обозначим 2 1 = c1/m, 2 2 = c2/m, 2 0 = 2 1 + 2 2 и f1(t) = m-1f(t). Дальнейшая редукция уравнения (11) к интегральному уравнению второго рода может быть осуществлена двумя способами. Запишем уравнение (11) в виде x + 2 0x + 2 1E, 0t;x = f1(t) + u0 m Exp(, ; ; t). (12) Интегрируя левую и правую части равенства (12) по t дважды с начальными условиями x(0) = x0, x(0) = x0 (13) и используя известные свойства функции Exp(, ; ; t) и оператора E, 0t;, приводим уравнение (12) к интегральному уравнению Вольтерры второго ро- да x(t) + (2 1E2, 0t; + 2 2I2 0t)x(t) = x0 + x0t + u0 m Exp(, + 2; ; t) + I2 0tf1. (14) Нетрудно показать, что ядро интегрального оператора (2 1E2, 0t; + 2 2I2 0t)x(t) = t 0 [2 1 Exp(,2; ; (t - )) + 2 2(t - )]x()d принадлежит классу функций C1[0, T] C2(0, T), а правая часть интеграль- ного уравнения (14) классу функций C2[0, T]. Более того, обозначая ядро K(t) = 2 1 Exp(2, ; ; t) + 2 2t, можно показать, что d dt 2 K(t) = Exp(, ; ; t) = t-1 E(t ; ) и имеет при (0, 1) суммируемую особенность в нуле, причём I1- 0t Exp(, ; ; t) = Exp(, 1; ; t) AC[0, T] и lim t0+ Exp(, 1; ; t) = 1. 248 Об одном классе дробных дифференциальных уравнений . . . Из вышеизложенного следует, что решение интегрального уравнения (14) существует, единственно и может быть найдено методом последовательных приближений в требуемом для корректности задачи типа Коши (6), (9), (13) классе функций. Для применения метода последовательных приближений удобно приве- сти уравнение (12) к интегральному уравнению с ядром в другой записи. Для этого рассмотрим уравнение (12) как обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с правой частью F(t) = f1(t) + u0 m Exp(, ; ; t) - 2 1E, 0t;x. Его решение с начальными условиями (13) будет иметь вид x(t) = x0 cos 0t + x0 0 sin 0t + 1 0 t 0 sin 0(t - )F()d. (15) Вычислим интеграл I(t) = t 0 sin 0(t - ) Exp(, ; ; )d = sin 0(t - ) Exp(, ; ; t) = = t 0 Exp(, ; ; t - ) sin 0d. Используем запись оператора E, 0t; (10) и представление sin 0t в терминах обобщённой дробной экспоненциальной функции: E, 0t;f = t 0 Exp(, ; ; t - )f()d; (16) sin 0t = 0tE2(-2 0t2 ; 2) = Exp(2, 2; -2 0; t). (17) Затем воспользуемся формулой [8] E, 0t;1 Exp(, ; 2; t) = Exp(, , + ; 1, 2; t), (18) где возникает обобщённая дробная экспоненциальная функция Exp(, , ; 1, 2; t) = t-1 E,(1t , 2t ; ), (19) порожденная трехпараметрической функцией типа Миттаг Леффлера двух аргументов: E,(x, y; ) = k,n=0 xkyn (k + n + ) . Тогда с учётом формул (16)-(18) имеем I(t) = E, 0t; sin 0t = 0E, 0t; Exp(2, 2; -2 0; t) = 0 Exp(, 2; + 2; , -2 0; t). Известно, что xE,(x, y; + ) = E,(x, y; ) - E(y; ). (20) 249 Е. Н. О г о р о д н и к о в Окончательно, используя (19) и (20), найдём I(t) = 0 Exp(,2; + 2; , -2 0t) = 0t+1 E,2(t2 , -2 0t2 ; + 2) = = 0 t(t )E,2(t , -2 0t2 ; + 2) = = 0 t[E,2(t , -2 0t2 ; 2) - E2(-2 0t2 ; 2)] = = 1 [0 Exp(,2, ; , -2 0; t) - sin 0t]. (21) Используя результат вычислений в (21), запишем уравнение (15) в виде интегрального уравнения x(t) + 2 1 0 t 0 sin 0(t - )(E, 0;x)()d = (t), (22) где (t) = x0 cos 0t + 1 0 x0 - u0 m sin 0t + u0 m Exp(,2, ; , -2 0; t). Обозначим (A 0tx)(t) = 1 0 t 0 sin 0(t - )(E, 0;x)()d (23) интегральный оператор, возникший в уравнении (22), и найдём его ядро в явном виде. Запишем в (23) оператор E, 0;x по определению (16), изменим порядок интегрирования и выполним замену переменной интегрирования во внутрен- нем интеграле по формуле - s = (t - s)z. Получим A 0tx = 1 0 t 0 sin 0(t - ) 0 Exp(, ; ; - s)x(s)ds = = 1 0 t 0 x(s)ds t s Exp(, ; ; - s) sin 0(t - )d = = 1 0 t 0 (t - s)x(s)ds 1 0 Exp[, ; ; ( - s) z ] sin 0[(t - s)(1 - z)]dz = = 1 0 t 0 (t - s) x(s)ds 1 0 z-1 E[(t - s) z ; ] sin 0[(t - s)(1 - z)]dz. (24) Записывая подынтегральные функции во внутреннем интеграле (24) по опре- делению в форме рядов и выполняя почленное интегрирование их произве- дения, в конечном итоге можем показать, что 1 0 z-1 E[(t - s) z ; ] sin 0[(t - s)(1 - z)]dz = = E[(t - s) ; + 2] sin 0(t - s). 250 Об одном классе дробных дифференциальных уравнений . . . Таким образом, интегральное уравнение (22), к которому редуцируется начальная задача типа Коши с условиями (8) и (13) для дифференциального уравнения (6), может быть записано в виде x(t) + 2 1(A 0tx)(t) = (t), (25) где оператор A 0tx = t 0 (t - s) E[(t - s) ; + 2] sin 0(t - s)x(s)ds имеет непрерывное ядро и, следовательно, интегральное уравнение (25) без- условно разрешимо. Как и в первом случае, его решение можно найти мето- дом последовательных приближений. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев, Интегралы и производные дробного по- рядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с. [S. G. Samko, A. A. Kilbas, O. I. Marichev, Integrals and derivatives of fractional order and some of their applications. Minsk: Nauka i Tekhnika, 1987. 688 pp.] 2. А. М. Нахушев, Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 271 с. [A. M. Nakhushev, Fractional calculus and its applications. Moscow: Fizmatlit, 2003. 271 pp.] 3. Е. Н. Огородников, Математические модели дробных осцилляторов, постановка и структура решения задачи Коши / В сб.: Труды шестой Всероссийской научной кон- ференции с международным участием (1-4 июня 2009 г.). Часть 1: Математические модели механики, прочности и надёжности элементов конструкций / Матем. моде- лирование и краев. задачи. Самара: СамГТУ, 2009. С. 177-181. [E. N. Ogorodnikov, Mathematical models of the fractional oscillator, setting and structure of the Cauchy problem / In: Proceedings of the Sixth All-Russian Scientific Conference with international participation (1-4 June 2009). Part 1 / Matem. Mod. Kraev. Zadachi. Samara: SamGTU, 2009. Pp. 177-181]. 4. F. Mainardi, Fractional relaxation-oscillation and fractional diffusion-wave phenomena // Chaos, Solitons and Fractals, 1996. Vol. 7, no. 9. Pp. 1461-1477. 5. A. A. Kilbas, H. M. Srivastava, J. J. Trujillo, Theory and Applications of Fractional Differential Equations / North-Holland Mathematics Studies. Vol. 204 / ed. J. van Mill. Amsterdam: Elsevier, 2006. 523 pp. 6. Е. Н. Огородников, Н. С. Яшагин, Некоторые специальные функции в решении за- дачи Коши для одного дробного осцилляционного уравнения // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2009. 1(18). С. 276-279. [E. N. Ogorodnikov, N. S. Yashagin, Some special functions in the solution to Cauchy problem for a fractional oscillating equation // Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2009. no. 1(18). Pp. 276-279]. 7. Е. Н. Огородников, Н. С. Яшагин, Постановка и решение задач типа Коши для диффе- ренциальных уравнений второго порядка с дробными производными Римана Лиувил- ля // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2010. 1(20). С. 24-36. [E. N. Ogorodnikov, N. S. Yashagin, Setting and solving of the Cauchy type problems for the second order differential equations with Riemann-Liouville fractional derivatives // Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2010. no. 1(20). Pp. 24-36]. 8. Е. Н. Огородников, Н. С. Яшагин, В. П Радченко, Реологические модели вязко- упругого тела с памятью и дифференциальные уравнения дробных осцилляторов // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2011. 1(22). С. 255-268. 251 Е. Н. О г о р о д н и к о в [E. N. Ogorodnikov, N. S. Yashagin, V. P. Radchenko, Rheological model of viscoelastic body with memory and differential equations of fractional oscillator // Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2011. no. 1(22). Pp. 255-268]. 9. M. Caputo, F. Mainardi, A new dissipation model based on memory mechanism // Pure Appl. Geophys., 1971. Vol. 91, no. 1. Pp. 134-147. 10. R. L. Bagley, P. J. Torvik, On the Fractional Calculus Model of Viscoelastic Behavior // J. Rheol., 1986. Vol. 30, no. 1. Pp. 133-155. 11. Ю. Н. Работнов, Элементы наследственной механики твёрдых тел. М.: Наука, 1977. 383 с. [Yu. N. Rabotnov, Elements of continuum mechanics of materials with memory. Moscow: Nauka, 1977. 383 pp.] 12. I. H. Barrett, Differential equations of non-integer orde // Canad. J. Math., 1954. Vol. 6, no. 4. Pp. 529-541. 13. Е. Н. Огородников, Некоторые аспекты теории начальных задач для дифференци- альных уравнений с производными Римана-Лиувилля // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2010. 5(21). С. 10-23. [E. N. Ogorodnikov, Some aspects of initial value problems theory for differential equations with Riemann-Liouville derivatives // Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2010. no. 5(21). Pp. 10-23]. Поступила в редакцию 27/I/2013; в окончательном варианте 17/III/2013. MSC: 34A08; 26A33, 45K05 ON A CLASS OF FRACTIONAL DIFFERENTIAL EQUATIONS FOR MATHEMATICAL MODELS OF DYNAMIC SYSTEMS WITH MEMORY E. N. Ogorodnikov Samara State Technical University, 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russia. E-mail: eugen.ogo@gmail.com The differential equation with Riemann-Liouville fractional derivatives is considered. The equations of this class are proposed as a model fractional oscillating equations for the description, analysis and investigation of oscillatory processes in dynamic sys- tems with memory. Such a kind of equations obtainment is based on the hypothesis supposed the existence of the non-ideal viscoelastic connection in the one-dimensional dynamic system, which is associated with the fractional analogy of Zener rheologic model of the viscoelastic body. It's shown, that the initial values problems with Cauchy type conditions can be reduced equivalently to the Volterra type integral equations with the differentiable kernels. This circumstance allow to use the method of successive approximation to resolve these integral equations. It's indicated, that such a kind of differential equations can be interesting as mathematical models of nonlinear dynamic systems behavior. Key words: differential and integral equations with fractional Riemann-Liouville oper- ators, fractional oscillators, fractional oscillating equations, rheological model of vis- coelastic body with memory, Mittag-Leffler type special functions, Volterra type integral equations with special functions in kernel. Original article submitted 27/I/2013; revision submitted 17/III/2013. Eugeniy N. Ogorodnikov (Ph. D. (Phys. & Math.)), Associate Professor, Dept. of Applied Math- ematics & Computer Science. 252

About the authors

Eugeniy Nikolaevitch Ogorodnikov

Samara State Technical University

Email: eugen.ogo@gmail.com

Candidate of physico-mathematical sciences, no status

References

  1. С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев, Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения, Наука и техника, Минск, 1987, 688 с.
  2. А. М. Нахушев, Дробное исчисление и его применение, Физматлит, М., 2003, 271 с.
  3. Е. Н. Огородников, "Математические модели дробных осцилляторов, постановка и структура решения задачи Коши", Труды шестой Всероссийской научной конференции с международным участием (1-4 июня 2009 г.). Часть 1, Математические модели механики, прочности и надëжности элементов конструкций, Матем. моделирование и краев. задачи, СамГТУ, Самара, 2009, 177-181
  4. F. Mainardi, "Fractional relaxation-oscillation and fractional diffusion-wave phenomena", Chaos, Solitons and Fractals, 7:9 (1996), 1461-1477
  5. A. A. Kilbas, H. M. Srivastava, J. J. Trujillo, Theory and Applications of Fractional Differential Equations, North-Holland Mathematics Studies, 204, ed. J. van Mill, Elsevier, Amsterdam, 2006, 523 pp.
  6. Е. Н. Огородников, Н. С. Яшагин, "Некоторые специальные функции в решении задачи Коши для одного дробного осцилляционного уравнения", Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2009, № 1(18), 276-279
  7. Е. Н. Огородников, Н. С. Яшагин, "Постановка и решение задач типа Коши для дифференциальных уравнений второго порядка с дробными производными Римана"- Лиувилля", Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2010, № 1(20), 24-36
  8. Е. Н. Огородников, Н. С. Яшагин, В. П Радченко, "Реологические модели вязкоупругого тела с памятью и дифференциальные уравнения дробных осцилляторов", Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2011, № 1(22), 255-268
  9. M. Caputo, F. Mainardi, "A new dissipation model based on memory mechanism", Pure Appl. Geophys., 91:1 (1971), 134-147
  10. R. L. Bagley, P. J. Torvik, "On the Fractional Calculus Model of Viscoelastic Behavior", J. Rheol., 30:1 (1986), 133-155
  11. Ю. Н. Работнов, Элементы наследственной механики твëрдых тел, Наука, М., 1977, 383 с.
  12. I. H. Barrett, "Differential equations of non-integer orde", Canad. J. Math., 6:4 (1954), 529-541
  13. Е. Н. Огородников, "Некоторые аспекты теории начальных задач для дифференциальных уравнений с производными Римана-Лиувилля", Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2010, № 5(21), 10-23

Statistics

Views

Abstract - 9

PDF (Russian) - 5

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2013 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies