Effect of the influence of rheological beam longitudinal strains on the disc motion state

Abstract


The paper analyzes the effect that the material of a simple rheological beam has on thedynamics of a moving disc. The hybrid system of the differential equations describing the motion of the systemdisc–rheological beam consisting of the integro-differential equation of beam longitudinal vibrationsand the Lagrange equations of the first kind, defining the motion of the disc, and the equationsof nonholonomic constraints following from the difference between the Lagrange coordinates of thedisc mass center and the beam point contacting with the disc is composed. The paper considersthe mode of the disc steady motion, allowing to integrate the equation of beam vibrations regardlessthe system of equations describing the motion of the disc. It is identified that when the disc movesat a low speed, and in the mode corresponding to the limit value of the relaxation time it causes physically inadequate strain in the beam. When relaxation time is null there is a steady mode of forced beamvibrations at moderate amplitudes.

Full Text

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. 1 (30). С. 253-259 УДК 517.958+539.3(1) ЭФФЕКТ ВЛИЯНИЯ ПРОДОЛЬНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ РЕОЛОГИЧЕСКОЙ БАЛКИ НА ХАРАКТЕР ДВИЖЕНИЯ ДИСКА Г. В. Павлов, М. А. Кальмова, Е. С. Вронская Самарский государственный архитектурно-строительный университет, 443001, Россия, Самара, ул. Молодогвардейская, 194. E-mails: senitskiy@mail.ru, kalmova@inbox.ru Работа посвящена анализу влияния материала двухопорной реологической балки на динамику движущегося диска. Составлена гибридная система дифференци- альных уравнений, описывающих движение системы диск - реологическая бал- ка , состоящая из интегро-дифференциального уравнения продольных колебаний балки и уравнений в форме Лагранжа первого рода, которые определяют движе- ние диска, а также уравнений неголономных связей, вытекающих из разности лагранжевых координат центра масс диска и точки балки, касающейся диска. Рассмотрен режим равномерного движения диска, что позволило проинтегри- ровать уравнение колебаний балки независимо от системы уравнений, описыва- ющих движение диска. Показано, что при движении диска с малой скоростью, а также в режиме, соответствующем предельному значению времени релак- сации, в балке возникают физически неприемлемые деформации. При нулевом времени релаксации наблюдается стационарный режим вынужденных колеба- ний балки при умеренных значениях амплитуд. Ключевые слова: связь неголономная, функция Дирака, ядро релаксации, преоб- разование Лапласа. Как известно [1,2], при движении тела вращения по стержню, связанно- му с абсолютно жестким основанием, исключающим поперечные колебания, в стержне возникают продольные деформации, величина которых зависит от податливости материала стержня. В работе [1] была, в частности, поставлена задача о плоском движении диска по стержню на жестком основании с уче- том продольных деформаций стержня. Представляет интерес оценка влияния продольных деформаций невесомого стержня длиной L, материал которого моделируется релаксационным телом Кельвина, на динамику диска (рис. 1). Рис. 1 Положение диска определим Лагранжевыми координатами (t) и (t), u(x, t) абсолютная деформация определенной части стержня. Лагранжеву координату точки касания диска обозначим через l(t), определенную геомет- Георгий Васильевич Павлов (к.ф.-м.н., доц.), доцент, каф. сопротивления материалов и строительной механики. Мария Александровна Кальмова, ассистент, каф. сопротивления материалов и строительной механики. Елена Сергеевна Вронская (к.ф.-м.н., доц.), доцент, каф. сопротивления материалов и строительной механики. 253 Г. В. П а в л о в, М. А. К а л ь м о в а, Е. С. В р о н с к а я рическим соотношением (t) = l(t) + u(l(t), t). (1) Из (1) и равенства l(t) = R вытекает соотношение R = l(t) 1 + u(x, t) x x=l(t) , (2) представляющее неголономную связь. Для построения уравнения продольных колебаний реологического стерж- ня запишем равенство, определяющее напряженно-деформированное состоя- ние стержня в интегральной (релаксационной) форме [2]. Принимая во внимание известные равенства N = (x, t) · F, N x = F 2u(x, t) t2 , (x, t) = E x(x, t) - t 0 R(t - )x(x, )d , R(t - ) = E - E nE exp - t - n , где N, F и продольная сила, площадь поперечного сечения стержня и плотность материала стержня, (x, t) нормальное напряжение в попереч- ном сечении стержня на удалении x от левого края стержня, x(x, t) от- носительное удлинение стержня, R(t - ) ядро релаксации материала, n время релаксации, E и E соответственно длительный и мгновенный модули упругости стержня на растяжение, построим уравнение движения реологи- ческого стержня постоянного сечения в проекции на ось x: 2u(x, t) x2 - t 0 R(t - ) 2u(x, t) x2 d - 1 c2 2u(x, t) t2 = 1 EF (x - l(t)) · (t). Здесь (x - l) дельта-функция Дирака, (t) реологическая сила реакции в точке касания, c2 = E/. Уравнения движения диска представим в форме уравнений Лагранжа первого рода: m(t) = H(t) - (t), I (t) = (t) · R, (3) где H(t) активная движущая сил, R радиус диска, I аксиальный мо- мент инерции диска. Без уравнений связи (1) и (2) постановка задачи будет неполной. Упрощая задачу, рассмотрим режим равномерного движения дис- ка, принимая = vt, = 0, = H = const. (4) Здесь v скорость центра масс диска. Равенство (4) имеет место при нулевых значениях главного вектора и главного момента системы сил, действующих на диск. Принимая во внимание равенства (1), (3), (4), запишем уравнение 254 Эффект влияния продольных деформаций реологической балки . . . 2u(x, t) x2 - t 0 R(t - ) 2u(x, t) x2 d - 1 c2 2u(x, t) t2 = = H EF x - vt + u(x, t) x=vt . (5) Решение уравнения, описывающего свободные колебания реологического стержня 2u0(x, t) x2 - t 0 R(t - ) 2u0(x, ) x2 d - 1 c2 2u0(x, t) t2 = 0 (6) при граничных u0(x, t) x=0 = 0, u0(x, t) x x=L = 0 и начальных условиях u0(x, t) t=0 = f1(x), u0(x, t) t t=0 = f2(x), (7) разыскиваем в виде ряда u0(x, t) = m=1 Xm(x)Tm(t). (8) Подставляя (8) в уравнение (6) и разделяя переменные, приходим к уравне- ниям d2Xm(x) dx2 + 2 mXm(x) = 0, (9) d2Tm(t) dt2 + p2 mTm(t) = p2 m t 0 R(t - )Tm()d (m = 0, 1, 2, . . .) (10) с краевыми Xm(x) x=0 = 0, dXm dx x=L = 0 (m = 0, 1, 2, . . .) и начальными условиями Tm(t) t=0 = f1(x), dTm(t) dt t=0 = f2(x). Из (9) находим собственные числа m = (2m + 1) 2L (m = 0, 1, 2, . . .). Решение уравнения (10) найдём, применяя преобразование Лапласа. В ра- боте [2] при анализе свободных колебаний балки эта задача была решена, но, к сожалению, решение проведено при предельных значениях времени ре- лаксации (n = 0, n = ), что практически исключает возможность учёта 255 Г. В. П а в л о в, М. А. К а л ь м о в а, Е. С. В р о н с к а я реологических свойств наследственного материала стержня, а именно в реше- ние не вошли сомножители, придающие колебаниям затухающий характер. Обозначим оператор Лапласа L{T(t)} = t(s). После применения Лапласовых преобразований к уравнению (10) запишем Лапласову трансформанту в виде t(s) = [sT(0) + T(0)](ns + 1) s3 + 1 n s2 + p2 ms - (E- ~E)p2 En , где T(0) = f1(0), T(0) = f2(0). Найдём корни знаменателя: s1 = 1, s2,3 = -2 ipm. В этом случае оригинал Tm(t) решения уравнения (8) имеет вид Tm(t) = Bme-1t + Cme-2t (cos pmt + sin pmt). В результате решение начально-краевой задачи (6)-(7) представим в виде u0(x, t) = m=1 bme-1t + cme-2t (cos pmt + sin pmt) sin (2m + 1) 2L x, где bm = AmBm, cm = AmCm (m = 0, 1, 2, . . .). Значения коэффициентов bm, cm определим из начальных условий (7), используя свойство ортогональности собственных функций. Исследуя вынужденные колебания, будем искать решение в виде ряда по собственным функциям однородной задачи: uн(x, t) = k=0 k(t) sin (2k + 1) 2L x (11) и подчиним его нулевым начальным и граничным условиям uн(x, t) t=0 = 0, uн(x, t) t t=0 = 0, uн(x, t) x=0 = 0, uн(x, t) x x=L = 0. После подстановки ряда (11) в уравнение (5) и разложения правой части уравнения в ряд по синусам по аргументу x в интервале (0, L) приходим к интегро-дифференциальному уравнению с нулевыми начальными условия- ми d2k(t) dt2 - 2 k t 0 R(t - )k()d + 2 kk(t) = qk(t), (12) где qk(t) = U L 0 [(x - vt) + k(t) sin vkt] sin (2k + 1)x 2L = = U (vt - k(t) sin vkt) (L - vt + k(t) sin vkt) sin (2k + 1)(vt - k(t) sin vkt) 2L . 256 Эффект влияния продольных деформаций реологической балки . . . Здесь U = (2c2H)/(EFL), vk = [(2k + 1)v]/(2L), k = pk = [(2k + 1)c]/(2L), обобщённая функция Хевисайда. Удовлетворяя условиям функции Хеви- сайда и разлагая правую часть уравнения (12) в ряд Тейлора по малой огра- ниченной в окрестности нуля временной функции k(t), запишем уравнение (12) в виде d2k(t) dt2 - 2 k t 0 R(t - )k()d + 2 kk(t) = = U sin (2k + 1)v 2L - (2k + 1) 4L k(t) sin (2k + 1)vt L . (13) Изображающее уравнение, соответствующее дифференциальной задаче (13) с правой частью при нулевых начальных условиях k(s) s3 + s2 n + ks + 2 k n ~E E - (2k + 1)Uv 4n 8L 4L2s2 + (2k + 1)22v2 - (2k + 1)k(s) L2s2 + (2k + 1)22v2 (1 + ns) = 0, имеет частное решение Лапласову трансформанту вида k(s) = (2(1 + 2k)L(1 + ns)Uv) · (n(4L2 s2 + (1 + 2k)2 2 v2 )) s3 + (1 + 2k)22(1 + ns)Uv 4n (L2s2 + (1 + 2k)22v2) + ~E2 En + s2 n + s -1 . (14) Оригиналы функции k(s) найдены для двух частных случаев. 1. Скорость центра масс диска мала и трансформанту Лапласа можно представить равенством k(s) = (1 + 2k)(1 + ns)Uv 2Lns2 s3 + ~E2 En + s2 n + s -1 , знаменатель которого имеет два кратных нулевых корня, а оригинал имеет вид k(t) = d1t + d2 + 6 k=3 dkeskt . Значения dk и sk в общем виде не выписаны ввиду их громоздкости. Проведём численный анализ при следующих данных: n = 50 c, E = 1 H/cм2, ~E = = 0,7 · E H/cм2, L = 100 см, = 0,05 г/cм3, v = 100 см/с, R = 10 см, c = E/ см/с, 1 = (3c)/(2L) с-1, p1 = /(2L) E/ с-1, H(t) = 2H, F = 1 cм2, 1 = 0,014 c-1, 2 = 0,003 c-1, b1 = 809 cм, c1 = -803 cм, k = 1, x = 10 см. График изменения деформаций балки u(x, t) для этого случая представ- лен на рис. 2. 257 Г. В. П а в л о в, М. А. К а л ь м о в а, Е. С. В р о н с к а я Рис. 2 Видим, что наличие физически неприемлемых амплитуд балки указывает, что режим плоского движения диска по реологической балке модели Кель- вина не может быть реализован. Подобную картину можно наблюдать и при движении диска с малой скоростью, когда n = . 2. При нулевом значении времени релаксации трансформанта (14) упро- щается: k(s) = 2(1 + 2k)LUv 4L2 s2 + (1 + 2k)2 2 v2 2(1 + 2k)2Uv 4L2s2 + (1 + 2k)22v2 + ~E2 E -1 . Оригинал временной функции выражается через тригонометрические функ- ции, не содержащие секулярных множителей. В этом случае движение диска протекает в стационарном режиме вынуж- денных колебаний балки при умеренных значениях амплитуд. Достоверность полученных результатов наличие физически неприемле- мых деформаций подтверждается совпадением их с результатами численного интегрирования интегро-дифференциальных уравнений (10), (12) как с яд- ром релаксации стандартного наследственного тела, так и с ядром слабосин- гулярной модели, предложенным А. Р. Ржаницыным [3]. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. О. А. Горошко, Неголономные системы с телами, что деформируются // Вестн. Киев. ун-та, 1983. 25. С. 51-55. [O. A. Goroshko, Nonholonomic systems with bodies that are deformed // Vestn. Kiyev. Un-ta, 1983. no. 25. Pp. 51-55]. 2. O. A. Gorosko, K. Hedrih (Stevanovic), Analiticka dinamika (mehanika) diskretnih naslednih sistema (in Serbian). Nis: University of Nis, 2001. 426 pp. 3. А. Р. Ржаницын, Некоторые вопросы механики систем деформирующихся во времени. М.: Гостехиздат, 1949. 248 с. [A. R. Rzhanitsyn, Some Problems in the Mechanics of Time- Deformable Systems. Moscow: Gostekhizdat, 1949. 248 pp.] 4. R. M. Dreizler, C. S. Ludde, Theoretical Mechanics: Theoretical Physics 1 / Graduate Texts in Physics. Berlin: Springer, 2011. 402 pp. Поступила в редакцию 12/XI/2012; в окончательном варианте 25/I/2013. 258 Effect of the influence of rheological beam longitudinal strains on the disc motion state MSC: 70F25; 70E50 EFFECT OF THE INFLUENCE OF RHEOLOGICAL BEAM LONGITUDINAL STRAINS ON THE DISC MOTION STATE G. V. Pavlov, M. A. Kalmova, E. S. Vronskaya Samara State University of Architecture and Civil Engineering, 194, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443001, Russia. E-mails: senitskiy@mail.ru, kalmova@inbox.ru The paper analyzes the effect that the material of a simple rheological beam has on the dynamics of a moving disc. The hybrid system of the differential equations describing the motion of the system disc-rheological beam consisting of the integro-differential equation of beam longitudinal vibrations and the Lagrange equations of the first kind, defining the motion of the disc, and the equations of nonholonomic constraints follow- ing from the difference between the Lagrange coordinates of the disc mass center and the beam point contacting with the disc is composed. The paper considers the mode of the disc steady motion, allowing to integrate the equation of beam vibrations regardless the system of equations describing the motion of the disc. It is identified that when the disc moves at a low speed, and in the mode corresponding to the limit value of the relaxation time it causes physically inadequate strain in the beam. When relaxation time is null there is a steady mode of forced beam vibrations at moderate amplitudes. Key words: nonholonomic connection, Dirac delta function, relaxation kernel, Laplace transformation. Original article submitted 12/XI/2012; revision submitted 25/I/2013. Georgiy V. Pavlov (Ph. D. (Phys. & Math.)), Associate Professor, Dept. of Strength of Materials and Structural Mechanics. Mariya A. Kalmova, Assistant, Dept. of Strength of Materials and Structural Mechanics. Elena S. Vronskaya (Ph. D. (Techn.)), Associate Professor, Dept. of Strength of Materials and Structural Mechanics.

About the authors

Georgiy Vasil'evich Pavlov

Samara State University of Architecture and Construction

Email: mishart@samaradom.ru, yumishi@yandex.ru, senitskiy@mail.ru

Candidate of physico-mathematical sciences, Associate professor

Mariya Alexandrovna Kal'mova

Samara State University of Architecture and Construction

Email: kalmova@inbox.ru

without scientific degree, no status

Elena Sergeevna Vronskaya

Samara State University of Architecture and Construction


Candidate of technical sciences, Associate professor

References

  1. О. А. Горошко, "Неголономные системы с телами, что деформируются", Вестн. Киев. ун-та, 1983, № 25, 51-55
  2. O. A. Goroško, K. Hedrih (Stevanovic), Analitička dinamika (mehanika) diskretnih naslednih sistema (in Serbian), University of Niš, Niš, 2001, 426 pp.
  3. А. Р. Ржаницын, Некоторые вопросы механики систем деформирующихся во времени, Гостехиздат, М., 1949, 248 с.
  4. R. M. Dreizler, C. S. Lüdde, Theoretical Mechanics: Theoretical Physics 1, Graduate Texts in Physics, Springer, Berlin, 2011, 402 pp.

Statistics

Views

Abstract - 3

PDF (Russian) - 2

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2013 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies