The use of the generalized Pauli's theorem for odd elements of Clifford algebrato analyze relations between spin and orthogonal groups of arbitrary dimensions

Abstract


In the present paper we consider the use of generalized Pauli's theorem to prove the theorem about double cover of orthogonal groups by spin groups. We prove theorems about double cover of orthochronous, othochorous, special and special orthochronous groups by corresponding spin groups. We show the difference between the approaches using adjoint action and twisted adjoint action.

Full Text

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. 1 (30). С. 279-287 УДК 514.744 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОБОБЩEННОЙ ТЕОРЕМЫ ПАУЛИ ДЛЯ НЕЧEТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ АЛГЕБРЫ КЛИФФОРДА ДЛЯ АНАЛИЗА СВЯЗЕЙ МЕЖДУ СПИНОРНЫМИ И ОРТОГОНАЛЬНЫМИ ГРУППАМИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ РАЗМЕРНОСТЕЙ Д. С. Широков Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, Россия, 119991, Москва, ул. Губкина, 8. E-mail: shirokov@mi.ras.ru С помощью обобщённой теоремы Паули доказывается теорема о двулистном накрытии ортогональных групп спинорными. Доказаны теоремы о двулистных накрытиях ортохронной, ортохорной, специальной и специальной ортохронной групп соответствующими спинорными группами. Показано различие подходов с использованием присоединённого действия и изменённого присоединенного дей- ствия. Ключевые слова: алгебры Клиффорда, теорема Паули, спинорные группы, ор- тогональные группы, теорема о двулистном накрытии, ортохронная группа, ортохорная группа. 1. Вещественные и комплексные алгебры Клиффорда. Рассмотрим веще- ственную (F = R) или комплексную (F = C) алгебру Клиффорда C F(p, q) (см. подробнее в предыдущей работе автора [2]), задаваемую набором гене- раторов ea, a = 1, 2, . . . , n. Генераторы удовлетворяют определяющим анти- коммутационным соотношениям алгебры Клиффорда eaeb + ebea = 2abe, где = ||ab|| = diag(1, . . . , 1, -1, . . . , -1) есть диагональная матрица, у которой p штук 1 и q штук -1 на диагонали. Базисные элементы eA занумерованы упо- рядоченными мультииндексами A длины от 0 до n. Произвольный элемент алгебры Клиффорда будем записывать как U = ue + uaea + a1<a2 ua1a2 ea1a2 + . . . + u1...ne1...n = uAeA , uA F A. Векторные подпространства, натянутые на элементы ea1...ak , занумерован- ные упорядоченными мультииндексами длины k, обозначаются через C F k(p, q) и называются подпространствами элементов ранга k. Алгебра Клиффорда C F(p, q) является супералгеброй, а именно представляется в виде прямой сум- мы чётного и нечётного подпространств C F (p, q) = C F Even(p, q) C F Odd(p, q) = k-even C F k(p, q) k-odd C F k(p, q). Рассмотрим две линейные операции сопряжения на алгебре Клиффорда C F(p, q). Операция чётностного сопряжения переводит чётные элементы ал- гебры Клиффорда в себя, а у нечётных элементов меняет знак: U = (Ueven + + Uodd) = Ueven - Uodd. Операция реверс меняет порядок генераторов в про- изведении: (ea1...ak ) = eak . . . ea1 , F. Дмитрий Сергеевич Широков, аспирант, отд. математической физики. 279 Д. С. Ш и р о к о в 2. Обобщённая теорема Паули для нечётных элементов алгебры Клиф- форда. В [1] автором были предложены обобщения теоремы Паули на случай вещественных и комплексных алгебр Клиффорда. В настоящем изложении рассмотрим случай, когда в качестве двух наборов элементов a и a, удовле- творяющих антикоммутационным соотношениям алгебры Клиффорда, вы- ступают нечётные элементы алгебры Клиффорда. Заметим, что в отличие от общего случая [1] мы имеем 2 (а не 6) различных варианта связи двух наборов элементов алгебры Клиффорда нечётной размерности n. Теорема. Пусть C F(p, q) вещественная (или комплексная) алгебра Клиффорда размерности n = p + q. Пусть два набора нечётных элемен- тов алгебры Клиффорда a, a C F Odd(p, q), a = 1, 2, . . . , n удовлетворяют соотношениям ab + ba = 2abe, ab + ba = 2abe. Тогда оба набора генерируют базисы алгебры Клиффорда и выражения 1...n, 1...n принимают значения e1...n. Кроме того: 1) В случае чётного n существует единственный, с точностью до умно- жения на ненулевое вещественное (соответственно комплексное) чис- ло, обратимый элемент алгебры Клиффорда T (причём T C F Even(p, q), если 1...n = 1...n, и T C F Odd(p, q), если 1...n = -1...n) такой, что a = T-1 a T, a = 1, . . . , n. Кроме того, такой элемент T имеет вид T = AFA, где F та- кой элемент из множества {A, A IEven}, если 1...n = 1...n, и из {A, A IOdd}, если 1...n = -1...n, что AFA = 0. 2) В случае нечётного n существует единственный, с точностью до умножения на обратимый элемент центра, обратимый элемент ал- гебры Клиффорда T C F Even(p, q) (а значит, и другой T C F Odd(p, q), полученный из первого умножением на e1...n) такой, что a = T-1 a T, a = 1, . . . , n 1...n = 1...n , a = -T-1 a T, a = 1, . . . , n 1...n = -1...n . При этом в обоих случаях элемент T имеет вид T = AIEven A FA, где F такой элемент из множества {A, A IEven} (или из мно- жества {A, A IOdd}), что AIEven A FA = 0. Также нас будет интересовать связь двух наборов элементов вида a = = (T )-1aT, где чётностное сопряжение. Теорема. При предположениях предыдущей теоремы верно следующее. В случае алгебры Клиффорда C F(p, q) произвольной (чётной и нечётной) 280 Использование обобщённой теоремы Паули для нечётных элементов алгебры Клиффорда. . . размерности n существует единственный, с точностью до умножения на ненулевое вещественное (соответственно комплексное) число, обратимый элемент алгебры Клиффорда T (причём T C F Even(p, q), если 1...n = 1...n и T C F Odd(p, q), если 1...n = -1...n) такой, что a = T -1 a T, a = 1, . . . , n. Кроме того: 1) В случае чётного n такой элемент T имеет вид T = AFA, ес- ли 1...n = 1...n, и среди элементов T = (-1)|A|AFA, если 1...n = = -1...n, где F такой элемент из множества {A, A IEven}, если 1...n = 1...n, и из {A, A IOdd}, если 1...n = -1...n, что построен- ный по нему T отличен от нуля. 2) В случае нечётного n такой элемент T имеет вид T = AIEven A FeA, где F такой элемент из множества {A, A IEven}, если 1...n = = 1...n, и из {A, A IOdd}, если 1...n = -1...n, что AIEven A FeA = 0. Заметим, что в последней теореме элемент T, о существовании которого идёт речь, единственен с точностью до умножения на произвольную ненуле- вую константу (а не на произвольный обратимый элемент центра, который в случае нечётной размерности представляет собой элемент из подпростран- ства C F 0(p, q) C F n(p, q)). 3. Связь группы Липшица и ортогональных групп. Рассмотрим присоеди- нённое действие ad : C R (p, q) End C R (p, q), действующее на группе обратимых элементов вещественной алгебры Клиф- форда C R(p, q) как T adT , где adT U = TUT-1 для любого U C R(p, q). Рассмотрим измененное (twisted) присоединенное действие ad : C R (p, q) End C R (p, q), которое задаётся как T adT , где adT U = T UT-1 для любого U C R(p, q). Рассмотрим группу Липшица1 (p, q) = T C R Even(p, q) C R Odd(p, q) | x C R 1 (p, q), TxT-1 C R 1 (p, q) и её специальную подгруппу + = {T (p, q) | T C R Even(p, q)}. 1 Здесь и далее символом обозначается взятие подмножества обратимых элементов соответствующего множества. 281 Д. С. Ш и р о к о в В случае алгебры Клиффорда чётной размерности n гомоморфизмы ad и ad cюръективно отображают группу Липшица в псевдоортогональную группу O(p, q) = {A Mat(n, R) | A A = }. В случае алгебры Клиффорда нечётной размерности n утверждение будет верно только для гомоморфиз- ма ad. Эти факты в литературе доказываются с применением теоремы Кар- тана Дьедонне [3]. Далее мы докажем эти факты другим путём, с использо- ванием обобщённой теоремы Паули (и без использования теоремы Картана Дьедонне). Мы будем также рассматривать специальную подгруппу псевдо- ортогональной группы SO(p, q) = {A O(p, q) | detA = 1}. Теорема. Рассмотрим алгебру Клиффорда C R(p, q) размерности n = p+q. Тогда следующие отображения сюръективны с ядром C R 0 (p, q): ad( ) = O(p, q) при чётном n; ad ( ) = O(p, q), ad (+ ) = ad(+ ) = SO(p, q). Следующее отображение сюръективно с ядром {C R 0 (p, q), C R n (p, q)}: ad( ) = SO(p, q) при нечётном n. Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмём произвольную псевдоортогональную мат- рицу P = ||pa b || O(p, q), и построим набор элементов a = pa b eb. Легко проверить, что набор {a} удовлетворяет определяющим соотношениям ал- гебры Клиффорда ab + ba = pa c pb deced + pb dpa c edec = pa c pb d2cde = 2abe, т. к. P P = . Тогда для наборов {ea} и {a} применима обобщённая теорема Паули (см. предыдущий параграф), а именно существует элемент T C R Even(p, q) C R Odd(p, q) такой, что TeaT-1 = a = pa b eb. Из этой формулы следует, что x C R 1 (p, q), TxT-1 C R 1 (p, q). Итак, T и мы получили со- ответствие, при котором для каждой матрицы P O(p, q) найдется элемент из группы . Имеем 1...n = p1 a1 ea1 p2 a2 ea2 . . . pn an ean = (detP)e1...n. В последнем выра- жении коэффициенты при всех элементах базиса, отличных от e1...n, равны нулю. Чтобы показать это, надо воспользоваться тем, что 1...n = e1...n. Заключаем, что если 1...n = e1...n (т. е. detP = 1), то T C R Even(p, q). В противном случае имеем T C R Odd(p, q). В случае отображения ad пользу- емся другой теоремой из предыдущего параграфа. 4. Связь ортогональных и спинорных групп. Заметим, что ядром присо- единенного действия ker(ad) является множество C R 0 (p, q) в случае чётного n и подпространство (C R 0 (p, q) C R n(p, q)) в случае нечётного n. Ядром из- менённого присоединенного действия ker(ad) является множество C R 0 (p, q) в случае произвольного n. Рассмотрим на алгебре Клиффорда C R(p, q) гомоморфизм N : C R(p, q) C R(p, q), задаваемый следующим образом: U N(U) = UU. Говорят, что этот гомоморфизм задает норму элементов алгебры Клиффорда C R(p, q). Можно также ввести другую норму N: C R(p, q) C R(p, q), которая зада- ётся как U N (U) = U U. 282 Использование обобщённой теоремы Паули для нечётных элементов алгебры Клиффорда. . . Лемма. Нормы N(T) = TT и N (T) = T T отображают группу Лип- шица в множество C R 0 (p, q). Д о к а з а т е л ь с т в о. Для любого x C R 1 (p, q) имеем (TxT-1) = TxT-1, (TxT-1) = (T-1)xT и (T)-1 = (T-1). Тогда TTx = xTT, т. е. TT лежит в центре алгебры Клиффорда. Так как T либо чётный, либо нечётный, то TT чётный элемент и, следовательно, он является элемен- том вида e. Так как T = 0, то = 0. Заметим, что N (T) = N(T) для T и знак зависит от чётности элемента T. Нормируя группу Липшица, получаем следующие 5 спинорных групп: Pin(p, q) = {T |T T = e} = {T |T T = e}, Pin(p, q) = {T |T T = +e}, Pin(p, q) = {T |T T = +e}, Spin(p, q) = {T + |T T = e} = {T + |T T = e}, Spin(p, q) = {T + |T T = +e} = {T + |T T = +e}. Из определения спинорных групп следует, что группа Pin(p, q) при p = 0 и q = 0 состоит из четырёх (не обязательно связных) компонент (в вырож- денных случаях p = 0 и q = 0 из двух компонент): Pin(p, q) = Spin(p, q) Spin (p, q) Pin(p, q) Pin(p, q), где Pin(p, q) = Pin(p, q) \ Spin(p, q), Pin(p, q) = Pin(p, q) \ Spin(p, q), Spin (p, q) = Spin(p, q) \ Spin(p, q). Теорема. Следующие отображения сюръективны с ядром {1}: ad(Pin(p, q)) = O(p, q) при чётном n; ad (Pin(p, q)) = O(p, q), ad (Spin(p, q)) = ad(Spin(p, q)) = SO(p, q). Следующее отображение сюръективно с ядром {1, e1...n}: ad : Pin(p, q) SO(p, q) при нечётном n. Д о к а з а т е л ь с т в о. Теорема следует из теоремы предыдущего пара- графа и леммы. 5. Случай остальных ортогональных групп. Будем рассматривать псевдо- евклидово пространство Rp,q сигнатуры (p, q) и называть первые p коорди- нат временными, а последние q пространственными. Будем рассматривать следующие подгруппы псевдоортогональной группы: ортохронную O(p, q) = = {A O(p, q) | A1...p 1...p > 0}, ортохорную O(p, q) = {A O(p, q) | Ap+1...n p+1...n > 0} и специальную ортохронную SO(p, q) = {A O(p, q) | A1...p 1...p > 0, detA = 1}, где A1...p 1...p и Ap+1...n p+1...n соответствующие миноры матрицы A (см. также [2]). От- метим, что ортохронная группа состоит из преобразований псевдоевклидова 283 Д. С. Ш и р о к о в пространства, сохраняющих ориентацию во времени. Ортохорную группу об- разуют преобразования, сохраняющие пространственную ориентацию. Груп- па O(p, q) при p = 0 и q = 0 состоит из четырёх связных компонент O(p, q) = = SO(p, q) SO (p, q) O(p, q) O(p, q), где O(p, q) = O(p, q) \ SO(p, q), O(p, q) = O(p, q) \ SO(p, q), SO (p, q) = Spin(p, q) \ SO(p, q). Далее будут сформулированы утверждения о сюръективных отображени- ях других спинорных групп (Pin(p, q), Pin(p, q) и Spin(p, q)) на подгруппы псевдоортогональной группы (O(p, q), O(p, q) и SO(p, q)). Для их доказа- тельства нам понадобятся утверждение о норме элементов спинорных групп, которое было сформулировано в [2]. На алгебре Клиффорда C R(p, q) можно задать структуру евклидова пространства, т. е. задать операцию скалярно- го произведения (U, V ) = Tr(UV ). Скалярное произведение естественным образом порождает норму ||U|| = Tr(UU). Здесь операция эрмитова сопряжения элементов алгебры Клиффорда (см. [4,2]). Теорема [2]. Пусть элемент алгебры Клиффорда T принадлежит груп- пе Pin(p, q) и пусть при гомоморфизме ad элемент T переходит в ортого- нальную матрицу A O(p, q). Тогда норма элемента T связана с главными минорами этой матрицы A1...p 1...p, Ap+1...n p+1...n следующим образом: ||T||2 = Tr(T T) = A1...p 1...p = Ap+1...n p+1...n T Spin(p, q), A1...p 1...p = -Ap+1...n p+1...n T Pin(p, q), -A1...p 1...p = Ap+1...n p+1...n T Pin(p, q), -A1...p 1...p = -Ap+1...n p+1...n T Spin (p, q). Теорема. Следующие гомоморфизмы сюръективны с ядром {1}: ad: Pin(p, q) O(p, q), ad: Pin(p, q) O(p, q), ad: Spin(p, q) SO(p, q). Д о к а з а т е л ь с т в о. Теорема следует из двух предыдущих в силу ||T||2 0. Связь спинорных и ортогональных групп явно выражается формулой T ea T-1 = pa b eb , которая ставит в соответствие каждой матрице P = ||pa b || из соответствую- щей ортогональной группы O(p, q), SO(p, q), O(p, q), O(p, q), SO(p, q) па- ру элементов T из соответствующей спинорной группы Pin(p, q), Spin(p, q), Pin(p, q), Pin(p, q), Spin(p, q). Теперь сформулируем аналогичное утверждение о норме элементов спи- норных групп в случае действия гомоморфизма ad. Теорема. Пусть элемент алгебры Клиффорда T принадлежит группе Pin(p, q) и пусть при гомоморфизме ad элемент T переходит в ортогональ- ную матрицу A O(p, q). Тогда норма элемента T связана с главными ми- норами этой матрицы A1...p 1...p, Ap+1...n p+1...n следующим образом: 284 Использование обобщённой теоремы Паули для нечётных элементов алгебры Клиффорда. . . - в случае p чётное, q чётное ||T||2 = Tr(T T) = A1...p 1...p = Ap+1...n p+1...n T Spin(p, q), A1...p 1...p = -Ap+1...n p+1...n T Pin(p, q), -A1...p 1...p = Ap+1...n p+1...n T Pin(p, q), -A1...p 1...p = -Ap+1...n p+1...n T Spin (p, q); - в случае p нечётное, q нечётное ||T||2 = A1...p 1...p = Ap+1...n p+1...n T Spin(p, q), -A1...p 1...p = Ap+1...n p+1...n T Pin(p, q), A1...p 1...p = -Ap+1...n p+1...n T Pin(p, q), -A1...p 1...p = -Ap+1...n p+1...n T Spin (p, q); - в случае p чётное, q нечётное ||T||2 = A1...p 1...p = Ap+1...n p+1...n T Spin(p, q) Pin(p, q), -A1...p 1...p = -Ap+1...n p+1...n T Pin(p, q) Spin (p, q); - в случае p нечётное, q чётное ||T||2 = A1...p 1...p = Ap+1...n p+1...n T Spin(p, q) Pin(p, q), -A1...p 1...p = -Ap+1...n p+1...n T Pin(p, q) Spin (p, q). Теорема. 1) Если p, q чётные, то следующие гомоморфизмы сюръективны с яд- ром {1}: ad : Pin(p, q) O(p, q), ad : Pin(p, q) O(p, q), ad : Spin(p, q) SO(p, q); 2) если p, q нечётные, то следующие гомоморфизмы сюръективны с яд- ром {1}: ad : Pin(p, q) O(p, q), ad : Pin(p, q) O(p, q), ad : Spin(p, q) SO(p, q); 3) если p чётное, q нечётное, то следующие гомоморфизмы сюръек- тивны с соответствующим ядром: ad : Pin(p, q) SO(p, q), {1, e1...n }, ad : Pin(p, q) SO(p, q), ad : Spin(p, q) SO(p, q), {1}; 285 Д. С. Ш и р о к о в 4) если p нечётное, q чётное, то следующие гомоморфизмы сюръек- тивны с соответствующим ядром: ad : Pin(p, q) SO(p, q), {1, e1...n }, ad : Pin(p, q) SO(p, q), ad : Spin(p, q) SO(p, q), {1}. Д о к а з а т е л ь с т в о. Теорема следует из предыдущей теоремы о норме элементов спинорных групп. Отметим, что в предыдущих утверждениях мы говорили о сюръективных отображениях с ядром {1}, однако, более того, можно утверждать о дву- листных накрытиях ортогональных групп спинорными (требуется проверить топологические свойства рассматриваемых групп). Как мы видим, в случае нечётного n гомоморфизм ad уже не описывает двулистное накрытие ортогональных групп спинорными. Ядро отображения в некоторых случаях состоит из 4 элементов. Например, возьмём произволь- ный элемент t Pin(p, q). Тогда ему очевидно ставится в соответствие та же ортогональная матрица, что и элементам -t, e1...nt, -e1...nt в силу формулы TeaT-1 = pa b eb. Следующая таблица отображает образ группы Pin(p, q) и ее компонент при действии гомоморфизмов ad и ad в случае различных сигнатур (p, q): ad ad (p, q) любые p чётн. p нечёт. p нечётн. p чётн. q чётн. q нечётн. q чётн. q нечётн. Pin O O O SO SO Pin O O O SO SO Spin SO SO SO SO SO Spin SO SO SO SO SO Pin O O O SO SO Заметим, что для построения общей картины связи спинорных и орто- гональных групп удобно пользоваться измененным присоединенным пред- ставлением ad, которое ставит в соответствие спинорным группам одни и те же соответствующие ортогональные группы для случая всех сигнатур (p, q). Вместе с тем, в частных случаях часто пользуются отображением ad, т. к. оно устроено проще. Например, в случае сигнатуры (1, 3) можно пользовать- ся обоими отображениями, но помнить, что при смене одного отображения на другое меняются местами накрытия ортохронной и ортохорной групп. Автор выражает благодарность Н. Г. Марчуку за постановку задачи и полезные заме- чания. Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ (НШ-2928.2012.1). БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Д. С. Широков, Обобщение теоремы Паули на случай алгебр Клиффорда // Докл. Акад. наук, 2011. Т. 440, 5. С. 607-610; англ. пер.: D. S. Shirokov, Extension of Pauli's theorem to Clifford algebras // Dokl. Math., 2011. Vol. 84, no. 2. Pp. 699-701. 2. Д. С. Широков, Теорема о норме элементов спинорных групп // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2011. 1(22). С. 165-171. [D. S. Shirokov, Theorem 286 Использование обобщённой теоремы Паули для нечётных элементов алгебры Клиффорда. . . on the norm of elements of spinor groups // Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2011. no. 1(22). Pp. 165-171]. 3. I. M. Benn, R. W. Tucker, An introduction to spinors and geometry with applications in physics. Bristol: Adam Hilger, Ltd., 1987. x+358 pp. 4. N. G. Marchuk, D. S. Shirokov, Unitary spaces on Clifford algebras // Adv. Appl. Clifford Algebr., 2008. Vol. 18, no. 2. Pp. 237-254. Поступила в редакцию 16/XI/2012; в окончательном варианте 27/I/2013. MSC: 15A66 THE USE OF THE GENERALIZED PAULI'S THEOREM FOR ODD ELEMENTS OF CLIFFORD ALGEBRA TO ANALYZE RELATIONS BETWEEN SPIN AND ORTHOGONAL GROUPS OF ARBITRARY DIMENSIONS D. S. Shirokov Steklov Mathematical Institute, Russian Academy of Sciences, 8, Gubkina st., Moscow, 119991, Russia. E-mail: shirokov@mi.ras.ru In the present paper we consider the use of generalized Pauli's theorem to prove the theorem about double cover of orthogonal groups by spin groups. We prove theorems about double cover of orthochronous, othochorous, special and special orthochronous groups by corresponding spin groups. We show the difference between the approaches using adjoint action and twisted adjoint action. Key words: Clifford algebra, Pauli's theorem, spin groups, orthogonal groups, double cover, orthochronous group, orthochorous group. Original article submitted 16/XI/2012; revision submitted 27/I/2013. Dmitry S. Shirokov, Postgraduate Student, Dept. of Mathematical Physics.

About the authors

Dmitry Sergeevich Shirokov

Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences

Email: dm.shirokov@gmail.com, dshirokov@hse.ru, shirokov@iitp.ru, shirokov@mi-ras.ru

Candidate of physico-mathematical sciences, no status

References

  1. Д. С. Широков, "Обобщение теоремы Паули на случай алгебр Клиффорда", Докл. Акад. наук, 440:5 (2011), 607–610
  2. Д. С. Широков, "Теорема о норме элементов спинорных групп", Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2011, № 1(22), 165-171
  3. I. M. Benn, R. W. Tucker, An introduction to spinors and geometry with applications in physics, Adam Hilger, Ltd., Bristol, 1987, x+358 pp.
  4. N. G. Marchuk, D. S. Shirokov, "Unitary spaces on Clifford algebras", Adv. Appl. Clifford Algebr., 18:2 (2008), 237–254

Statistics

Views

Abstract - 17

PDF (Russian) - 6

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2013 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies