The influence of the characteristics of the external circuit on the form of the electric pulse in the tasks of direct piezoeffect

Abstract


The axisymmetric non-stationary problem of electroelasticity for a solid piezoceramic axially polarised cylinder is considered under the kinematic load in the form of well-known mechanical displacements of its face surfaces, as well as the electric potential. The new closed solution is constructed by vector eigenfunction decomposition method in the form of structural algorithm of finite transformations. The obtained calculation relationships allow analyzing the influence of the external circuit characteristics on the form and sizes of the induced electric pulse in nonstationary problems of direct piezoeffect.

Full Text

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. 1 (30). С. 288-296 УДК 539.3 ВЛИЯНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ВНЕШНЕЙ ЦЕПИ НА ФОРМУ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ИМПУЛЬСА В ЗАДАЧАХ ПРЯМОГО ПЬЕЗОЭФФЕКТА Д. А. Шляхин Самарский государственный архитектурно-строительный университет, 443001, Россия, Самара, ул. Молодогвардейская, 194. E-mail: d-612-mit2009@yandex.ru Рассматривается осесимметричная нестационарная задача электроупругости для сплошного пьезокерамического аксиально поляризованного цилиндра при дей- ствии кинематической нагрузки в виде известных механических перемеще- ний его торцевых поверхностей, а также электрического потенциала. Новое замкнутое решение построено методом разложения по собственным вектор- функциям в форме структурного алгоритма конечных преобразований. Полу- ченные расчётные соотношения позволяют проанализировать влияние харак- теристик внешней цепи на форму и величину индуцируемого электрического импульса в нестационарных задачах прямого пьезоэффекта. Ключевые слова: нестационарная задача прямого пьезоэффекта, пьезокерамиче- ский цилиндр, электрические граничные условия. Введение. В задачах прямого пьезоэффекта процесс деформирования пье- зокерамического тела осуществляется механическим путем с помощью задан- ных напряжений или перемещений. В результате на его электродированных поверхностях появляются свободные заряды, которые, в свою очередь, ока- зывают влияние на исследуемый элемент за счет появления дополнительной электрической индукции. Таким образом, электроупругое состояние внутри образца и на его границе представляет собой суперпозицию волн, возника- ющих за счет механического напряжения (перемещений) и свободных заря- дов [1]. Для упрощения при математическом моделировании данного процес- са, в котором наблюдается многократное проявление прямого и обратного пьезоэффектов, как правило, при формулировке электрических граничных условий используется несколько предельных случаев. В частности, подключение образца к измерительному устройству с боль- шим входным электрическим сопротивлением (режим холостого хода) приво- дит к уменьшению количества свободных зарядов на электродированных по- верхностях, и их влиянием на пьезокерамический элемент в дальнейшем пре- небрегают [2]. В результате появляется возможность заменить точное инте- гральное условие, сформулированное для эквипотенциальных поверхностей, приближенным, означающим отсутствие нормальной составляющей вектора диэлектрической индукции электрического поля во всех точках электродного покрытия. Подтверждение достоверности данного допущения, а также анализ влия- ния характеристик внешней цепи на форму и величину индуцируемого элек- трического импульса в нестационарных задачах прямого пьезоэффекта осу- Дмитрий Аверкиевич Шляхин (к.т.н., доц.), доцент, каф. сопротивления материалов и строительной механики. 288 Влияние характеристик внешней цепи на форму электрического импульса . . . ществляется на основании построенного в настоящей работе замкнутого ре- шения для сплошного пьезокерамического цилиндра. 1. Постановка задачи. Пусть сплошной цилиндр, занимающий в цилин- дрической системе координат (r, , z) область : {0 r b, 0 2, 0 z h}, представляет пьезокерамическое аксиально-поляризованное те- ло. Рассматривается случай, когда торцевые электродированные плоскости исследуемого элемента подключены к измерительному прибору с электриче- ской проводимостью Y , а цилиндрические неэлектродированные поверхно- сти свободны от механических напряжений. В результате кинематического воздействия в виде известных механиче- ских перемещений торцевых поверхностей W 1 (t) на электродах (z = 0, h) цилиндра появляются свободные заряды, влияние которых на пьезокерамиче- ский элемент учитывается с помощью электрического потенциала 1(r, t). Математическая формулировка рассматриваемой нестационарной осесим- метричной задачи электроупругости в безразмерной форме включает систему дифференциальных уравнений, граничные и начальные условия [1]: 2 1U + C55 C11 2U z2 + C13 + C55 C11 2W rz + e31 + e15 e33 2 rz - 2U t2 = 0, C55 C11 2 2W + C33 C11 2W z2 + C13 + C55 C11 U z + e15 e33 2 2 + 2 z2 - 2W t2 = 0, e15 e33 2 2W + 2W z2 + e31 + e15 e33 U z - C1111 e2 33 2 2 - C1133 e2 33 2 z2 = 0; (1) z = 0, L : W(r,0, t) = W1(t), W(r, L, t) = -W1(t), rz = C55 C11 W r + U z + e15 e33 r = 0, (r,0, t) = 1(r, t), (r, L, t) = -1(r, t); (2) r = 1, 0 : rr r=1 = U r + C12 C11 U + C13 C11 W z + e31 e33 z = 0, rz r=1 = Dr r=1 = 0 W r + U z r=1 = 0, r r=1 = 0, U(0, z, t) = 0, W(0, z, t) < , (0, z, t) < ; (3) t = 0 : U(r, z,0) = U0(r, z), U(r, z,0) = U0(r, z), W(r, z,0) = W0(r, z), W(r, z,0) = W0(r, z), (4) где {U(r, z, t), W(r, z, t)} = {U(r, z, t), W(r, z, t)}/b; U, W компоненты вектора перемещений; (r, z, t) = (r, z, t) · e33/(bC11); потенциал элек- трического поля; rr, rz, Dr компоненты тензора механических напряже- ний и вектора индукции электрического поля; {r, z, L} = {r, z, h}/b; t = = tb-1 C11/; t время; {U0, U0, W0, W0} = {U 0 , U 0 , W 0 , W 0 }/b; U 0 , U 0 , W 0 , W 0 известные в начальный момент времени перемещения, скорости перемещений; 2 1 = 2 r2 + 1 r r - 1 r2 , 2 2 = 2 1 + 1 r2 , = r + 1 r . 289 Д. А. Ш л я х и н 2. Построение общего решения. Решение осуществляется методом инте- гральных преобразований, с последовательным использованием косинус- и синус-преобразований Фурье [3] с конечными пределами по переменной z и обобщенного конечного преобразование (КИП) [4] по радиальной координате r. При этом каждый раз предварительно необходимо выполнять процеду- ру стандартизации. На первом этапе для этой цели вводим новые функции w(r, z, t), (r, z, t), связанные с W(r, z, t), (r, z, t) следующими соотношения- ми: W(r, z, t) = H1(r, z, t) + w(r, z, t), (r, z, t) = H2(r, z, t) + (r, z, t), (5) где H1(r, z, t) = (1 - 2z/L)W1(t), H2(r, z, t) = (1 - 2z/L)1(r, t). В результате подстановки (5) в (1)-(4) получаем новую начально-крае- вую задачу относительно функций U(r, z, t), w(r, z, t, (r, z, t) с однородными граничными условиями по координате z. При этом дифференциальные урав- нения (1) и граничные условия (3) становятся неоднородными с правыми частями Bi, Ni, i = 1, 2, 3, а в начальных условиях (4) вместо W0, W0 следует использовать w0, w0: B1 = - e31 + e15 e33 2H2 rz , B2 = - e15 e33 2 2H2 + 2H1 t2 , B3 = C1111 e2 33 2 2H2, N1 = - C13 C11 H1 z - e31 e33 H2 z , N2 = 0, N3 = H2 r , w0 = W0 - H1|t=0, w0 = W0 - H1|t=0. Применяем к краевой задаче в стандартной форме относительно функций U(r, z, t), w(r, z, t), (r, z, t) косинус- и синус-преобразования Фурье с конеч- ными пределами по переменной z. В пространстве изображений получаем следующую задачу: 2 1uc - C55 C11 j2 nuc + C13 + C55 C11 jn ws r + e31 + e15 e33 jn s r - 2uc t2 = B1c, C55 C11 2 2ws- C33 C11 j2 nws- C13 + C55 C11 jn uc+ e15 e33 2 2s-j2 ns- 2ws t2 =B2s, e15 e33 2 2ws - j2 nws - e31 + e15 e33 jn uc - C1111 e2 33 2 2s + C1133 e2 33 j2 ns = B3s; (6) r = 1, 0 : uc r + C12 C11 uc + C13 C11 jnws + e31 e33 jns r=1 = N1c, ws r - jnuc r=1 = 0, s r r=1 = N3s, uc(0, n, t) = 0, ws(0, n, t) < , s(0, n, t) < ; (7) t = 0 : uc(r, n, 0) = u0c(r, n), uc(r, n, 0) = u0c(r, n), ws(r, n, 0) = w0s(r, n), ws(r, n, 0) = w0s(r, n), (8) где 290 Влияние характеристик внешней цепи на форму электрического импульса . . . {uc(r, n, t), u0c(r, n), u0c(r, n), B1c(r, n, t), N1c(r, n, t)} = = L 0 {u(r, z, t), u0(r, z), u0(r, z), B1(r, z, t), N1(r, z, t)} cos jnzdz, {ws(r, n, t), s(r, n, t), w0s(r, n), w0s(r, n), Bks(r, n, t), N3s(r, n, t)} = = L 0 {w(r, z, t), (r, z, t), w0(r, z), w0(r, z), Bk(r, z, t), N3(r, z, t)} sin jnzdz, jn = n/L, n = 0, 1, 2, . . . ; k = 2, 3. Повторяем процедуру стандартизации по переменной r, используя следу- ющие выражения: ws(r, n, t) = C11 C13jn N1s(1, n, t) + Ws(r, n, t), s(r, n, t) = (r - 1)N3s(1, n, t) + s(r, n, t). (9) Получаем начально-краевую задачу относительно функций uc(r, n, t), Ws(r, n, t), s(r, n, t) с однородными граничными условиями вида (7). При этом правые части дифференциальных уравнений (6) следует заменить на B 1, B 2, B 3, а в начальных условиях (8) вместо w0s, w0s использовать W0s, W0s: B 1c = B- 1c e31 + e15 e33 jnN3s, B 2s = B2s + C33jn C13 N1s - e15 e33 r-1 - j2 n(r - 1) N3s, B 3s = B3s + C11jn C13 H1s + C1111 e2 33 r-1 - C1133 e2 33 j2 n(r - 1) H3s, W0s(r, n) = w0s(r, n) - C11 C13jn N1s(1, n, 0), W0s(r, n) = w0s(r, n) - C11 C13jn N1s(1, n, 0). Начально-краевую задачу относительно функций uc(r, n, t), Ws(r, n, t), s(r, n, t) решаем методом КИП. Введём на сегменте [0, 1] вырожденное КИП с неизвестными компонентами K1(in, r), K2(in, r), K3(in, r) вектор-функ- ции ядра преобразования: G(in, n, t) = 1 0 [uc(r, n, t)K1(in, r) + Ws(r, n, t)K2(in, r)] rdr, uc(r, n, t) = i=1 G(in, n, t)K1(in, r) Kin -2 , Ws(r, n, t) = i=1 G(in, n, t)K2(in, r) Kin -2 , s(r, n, t) = i=1 G(in, n, t)K3(in, r) Kin -2 , (10) Kin 2 = 1 0 K2 1 (in, r) + K2 2 (in, r) rdr, 291 Д. А. Ш л я х и н где in положительные параметры, образующие счётное множество, i = 1, 2, . . . . В результате использования структурного алгоритма метода КИП [4] по- лучаем расчётные соотношения для трансформанты нагрузки G(in, n, t), вектор-функции ядра преобразования K1(in, r), K2(in, r), K3(in, r) и транс- цендентное уравнение для определения in. Данные равенства приведены в работе [5]. Применяя к трансформанте G(in, n, t) последовательно формулы обра- щения (10), а затем формулы конечных преобразований Фурье, получаем с учётом (5), (9) следующие разложения для U(r, z, t), W(r, z, t), (r, z, t): U(r, z, t) = n=1 -1 n cos jnz i=1 G(in, n, t)K1(in, r) Kin -2 , W(r, z, t) = (1 - 2z/L)W1(t)+ + 2 L n=1 sin jnz C11 C13jn N1s + i=1 G(in, n, t)K2(in, r) Kin -2 , (11) (r, z, t) = (1 - 2z/L) 1(r, t)+ + 2 L n=1 sin jnz (r - 1)N3s + i=1 G(in, n, t)K3(in, r) Kin -2 , где n = L, n = 0; L/2, n = 0. 3. Определение разности потенциалов между электродированными по- верхностями. Первоначально рассмотрим вариант подключения пьезокера- мического образца к измерительному прибору с большим входным сопротив- лением. Докажем, что при определении разности потенциалов между элек- тродированными торцевыми поверхностями цилиндра V (t) вместо точного краевого условия [2] t 1 0 Dz z=L rdr = 0 (12) можно пользоваться приближёнными соотношениями Dz z=L = - C1133 e2 33 z + e31 e33 U + W z = 0, (13) V (t) = 42 2 0 1 0 1(r, t)r drd. (14) Подстановка (r, z, t) из (11) в (12) при использовании соотношения 1(r, t) = V (t)/2 и нулевых начальных условий, а также в равенства (13), (14) позволяет получить в обоих случаях одно и то же уравнение: V (t) = 2 1 0 z - e2 33L C1133 e31 e33 U + W z z=L r dr, 292 Влияние характеристик внешней цепи на форму электрического импульса . . . что и является необходимым доказательством. Здесь z z=L = 2 n=1 jn cos jnL (r - 1)N3s + i=1 G(in, n, t)K3(in, r) Kin -2 . В случае подключения образца к измерительному прибору с электриче- ской проводимостью Y потенциал на электродированной поверхности V (t)/2 определяется по формуле [1] t 1 0 Dz z=L r dr = Y V (t) 2 , (15) где Y = Y

About the authors

Dmitriy Averkievich Shlyakhin

Samara State University of Architecture and Construction

Email: sgasu@sgasu.smr.ru

Doctor of technical sciences, Associate professor

References

  1. В. Т. Гринченко, А. Ф. Улитко, Н. А. Шульга, Механика связанных полей в элементах конструкций, Электроупругость, 5, Наукова Думка, Киев, 1989, 279 с.
  2. Н. А. Шульга, А. М. Болкисев, Колебания пьезоэлектрических тел, Наукова Думка, Киев, 1990, 228 с.
  3. I. N. Sneddon, Fourier transforms, McGraw-Hill, 1951, xii+542 pp.
  4. Ю. Э. Сеницкий, "Многокомпонентное обобщенное конечное интегральное преобразование и его приложение к нестационарным задачам механики", Изв. вузов. Матем., 1991, № 4, 57-63
  5. Ю. Э. Сеницкий, Д. А. Шляхин, "Нестационарная осесимметричная задача электроупругости для толстой круглой анизотропной пьезокерамической пластины", Изв. Акад. наук. МТТ, 1999, № 1, 78-87

Statistics

Views

Abstract - 10

PDF (Russian) - 2

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2013 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies