The ultrametrical dynamics for the closed fractal-cluster resource models

Full Text

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. 1 (30). С. 343-351 УДК 519.866:303.72 УЛЬТРАМЕТРИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА ДЛЯ ЗАМКНУТЫХ ФРАКТАЛЬНО-КЛАСТЕРНЫХ РЕСУРСНЫХ МОДЕЛЕЙ В. Т. Волов, А. П. Зубарев Самарский государственный университет путей сообщения, Россия, 443066, Самара, 1-й Безымянный пер., 18. E-mails: vtvolov@mail.ru, apzubarev@mail.ru Предложен сценарий эволюции распределения ресурсов в фрактально-кластер- ных ресурсораспределённых системах типа организм . В предложенной модели динамика перераспределения ресурсов в замкнутой системе определяется уль- траметрической структурой пространства системы. При этом для каждого кластера существует своё характерное время перехода в равновесное состояние, определяемое ультраметрическим размером данного кластера. Записано общее уравнение, описывающее данную динамику, численно исследовано решение дан- ного уравнения для определённого типа переходов ресурсов между кластерами, обсуждена проблема идентификации параметров модели применительно к ре- альным системам. Ключевые слова: иерархические структуры, ультраметрика, фрактально-кла- стерные модели, математическое моделирование, социально-экономические си- стемы, распределение ресурсов. Введение. Развитие математического аппарата для моделирования си- стем, обладающих явной или скрытой иерархическиой структурой, является важным для изучения большого класса систем и процессов в различных об- ластях физики, биологии, экономики и социологии: спиновые стекла, биопо- лимеры, фрактальные структуры, теория оптимизации, таксономия, эволю- ционная биология, кластерный и факторный анализ и другие [1, 2]. Практически любая биологическая либо социально-экономическая систе- ма имеет явный иерархический характер взаимодействия (влияния) между ее подсистемами и тем самым несет в себе элементы иерархической структуры. Если пространство исходных объектов либо состояний системы имеет иерар- хическую структуру, то такая структура является явной. Однако гораздо больший интерес для изучения представляют системы, в которых иерархи- ческая структура является скрытой, т.е не прослеживается в исходных пере- менных, а проявляется только при переходе к некоторым эффективным пе- ременным (число которых, как правило, значительно меньше числа степеней свободы всей системы), через которые выражаются отдельные наблюдаемые характеристики системы. Хорошо известным представителем таких систем являются спиновые стекла [3], белки [4-6]. Имеются основания для иденти- фикации подобных иерархических структур среди социально-экономических систем [7-9]. Адекватным математическим аппаратом моделирования систем как с явными, так и со скрытыми иерархическими структурами является ультраметрический анализ [2, 10-13]. Одним из интересных фактов, установленных по результатам эмпириче- Вячеслав Теодорович Волов (д.ф.-м.н., проф.), заведующий кафедрой, каф. физики и эко- логической теплофизики. Александр Петрович Зубарев (к.ф.-м.н., доц.), доцент, каф. физики и экологической теплофизики. 343 В. Т. В о л о в, А. П. З у б а р е в ских исследований достаточно широкого класса сложных систем как есте- ственного, так и искусственного происхождения является выявление опреде- ленного типа систем, в которых имеется выраженная иерархия в распреде- лении ее ресурсов по функциональному признаку (см. [14, 15] и ссылки там же). В данном контексте термин ресурс имеет обобщенное содержание и под ним понимается некоторый экстенсивный параметр сложной системы, ре- левантный для описания ее существенных характеристик и необходимый для ее существования в рассматриваемом качестве. Установлено, что в ряде си- стем (биологических, технологических, социальных), прошедших достаточно долгий процесс эволюции и находящихся в состоянии устойчивого функци- онирования, имеется пять основных подсистем (кластеров), которые можно проклассифицировать в соответствии с их целевыми функциями: энергети- ческий, транспортный, технологический, экологический и информационный кластеры, каждый из которых обладает определенной долей ресурса . Для подобных систем в был введен специальный термин организмы . Для со- циально-экономических систем, относящихся к классу организмов , кото- рые, в первую очередь, представляют интерес для рассмотрения в данной статье, кластеры могут идентифицироваться по целевому распределению та- ких экстенсивных параметров, как кадры, производственные фонды, финан- совые активы и т.п. Для ряда систем, относящихся к классу организмов , каждый кластер может представлять собой функционирующую подсистему, также являющу- юся организмом . Следовательно, его можно разбить на пять подсистем (подкластеров), опять же в соответствии с целевыми функциями каждой подподсистемы внутри каждой подсистемы. Например, в самом энергетиче- ском кластере ресурсы могут быть разделены на ресурсы для энергетиче- ской поддержки самой энергетической системы, энергетической поддержки транспортной, экологической, технологической и информационной составля- ющих. Подобные системы получили название фрактально-кластерных систем (см. [14, 15]). Каждый из подкластеров фрактально-кластерной системы так- же может быть разбит на пять подподкластеров высшего уровня и так далее. Таким образом, пространство распределения ресурсов подобных систем имеет иерархическую структуру, которая может быть описана иерархическим де- ревом с фиксированным числом ветвлений p = 5. Следует иметь в виду, что идентификация подкластеров в конкретной фрактально-кластерной системе зависит от типа ресурса , который не всегда имеет явное отношение к на- блюдаемым характеристикам системы. При фрактально-кластерном модели- ровании реальных социально-экономических, а также биологических, техно- логических и антропогенных систем подобного типа оказывается возможным явно идентифицировать лишь два либо три иерархических уровня класте- ризации. Но даже такая классификация распределения ресурсов позволяет производить оценку функционирования любой реальной сложной системы на предмет эффективности ресурсозатрат и устойчивости. Чисто математи- чески возможно рассмотрение динамики ресурсов в абстрактной системе с бесконечным числом вложенных кластеров. Статистический анализ эмпирических данных по ресурсораспределению сложных социально-экономических, технологических и биологических систем рассматриваемого типа позволил определить [14, 15] идеальные значения рас- 344 Ультраметрическая динамика для замкнутых фрактально-кластерных . . . пределения ресурсов в кластерах первого уровня, при которых развитие си- стемы (как правило, с неограниченными источниками ресурсов) является устойчивым и наиболее энергетически выгодным. Усредненные оценки дан- ного идеального распределения, установленные в результате статистического анализа данных для систем, прежде всего, антропологический и техноло- гической природы позволили установить усредненные значения идеального распределения, выраженные в долях экстенсивного параметра, которые для энергетического, транспортного, экологического, технологического и инфор- мационного соответственно составляют 0,38; 0,27; 0,16; 0,13; 0,06. Для систем другой природы (биологической, социально-экономической) данные идеаль- ные значения могут незначительно отличаться. Возможность использования фрактально-кластерных моделей для анали- за распределенных экономических систем базируется на исследованиях ря- да работ (см. ссылки в [14, 15]), в которых предложены методы оптималь- ного управления ресурсораспределенными системами, находящимися вблизи точки идеального распределения, которые базируются на формализованных аналогиях, привлеченных из термодинамического подхода. Тем не менее от- крытым остается вопрос, каким образом подобная система, будучи выведен- ной из состояния равновесия (идеального состояния), вновь его достигает. В данной работе мы предлагаем сценарий эволюции замкнутых фрактально- кластерных систем (в которых полный ресурс данного типа постоянен) из произвольного состояния в идеальное равновесное состояние. Мы постули- руем, что динамика перераспределения ресурсов в замкнутой системе в от- сутствие внешних управляющих факторов определяется полностью ультра- метрической структурой фрактально-кластерного пространства, по которому распределен данный ресурс. А именно, для каждого кластера существует свое характерное время перехода в идеальное подсостояние (характеризующееся идеальным относительным распределением ресурсов в подкластерах), и это характерное время определяется ультраметрическим размером данного кла- стера. При этом сначала в идеальные подсостояния переходят подкластеры наивысших уровней, затем подкластеры уровнем ниже (которые образованы подкластерами высшего уровня) и так далее. Данная иерархия характерных времен переходов всех подкластеров в идеальные подсостояния определяет динамику всей системы. Мы записываем общее уравнение, описывающее по- добную динамику, численно исследуем решение данного уравнения для опре- деленного типа переходов ресурсов между кластерами и обсуждаем проблему идентификации параметров модели применительно к реальным системам. Модель динамики распределения ресурсов в замкнутой фрактально-кла- стерной системе. Мы рассматриваем граф, являющийся n-уровневым иерар- хическим деревом с одной корневой вершиной центром. Пусть p индекс ветвления дерева, n число иерархических уровней дерева. Пример такого дерева изображен на рис. 1 (здесь p = 5, n = 2). Множество точек грани- цы дерева обозначим через Un. Пусть x некоторая точка границы. Тогда задание x эквивалентно заданию x = (a1, a2, . . . , an) , где ai = 1, 2, . . ., p, i = 1, 2, . . . , n. На пространстве Un между точками x = (a1, a2, . . . , an) и y = (b1, b2, . . . , bn) 345 В. Т. В о л о в, А. П. З у б а р е в Рис. 1. Иерархическое дерево, описывающее двухуровневую фрактально-кластерную си- стему: (a1, a2), a1, a2 = 1, . . ., p, p = 5 параметризация концевых точек дерева (кластеров второго уровня) естественным образом вводится ультраметрическое расстояние: d(x, y) = d (a1, a2, . . . , an|b1, b2, . . . , bn) = pn-+1 . Здесь определяется из сравнения наборов (a1, a2, . . . , an) и (b1, b2, . . . , bn): если a1 = b1, a2 = a2, . . ., aj-1 = bj-1, aj = bj, то полагается = j. Между одинаковыми элементами данное расстояние полагается равным нулю. Как известно [10, 11], любой элемент x поля p-адических чисел Qp пред- ставим в виде x = p- b0 + b1p + b2p2 + · · · + bnpn + · · · , где Z, b0 = 1, 2, . . . , p - 1, и для i = 0 bi = 0, 1, . . . , p - 1. p-Адическая норма элемента x задаётся как |x|p = p. Для двух элементов x, y Qp рас- стояние (метрика) между ними является ультраметрикой и определяется как d(x, y) = |x - y|p. Множество Bn = {x Qp : |x|p pn} называется шаром радиуса pn на поле p-адических чисел Qp. Множество Bn/B0 состоит из эле- ментов вида p-n b0 + b1p + b2p2 + · · · + bn-1pn-1 . Имеется взаимооднознач- ное соотвествие между множеством Bn/B0 множества p-дических чисел Qp и множеством точек нижней границы дерева Un: Un (a1, a2, . . . , an) p-n b0 + b1p + b3p2 + · · · + bn-1pn-1 Bn/B0, b0 = a1 - 1, b1 = a2 - 1, · · · bn-1 = an. Кластерами уровня i будем называть подмножества множества Ui, i = 0, 1, . . . , n-1, такие, что x, y Un d(x, y) pi. Любая точка x (a1, a2, . . . , an) Un является кластером U0 = U0 (a1, a2, . . . , an), такие кластеры (концевые точки ультраметрического дерева) мы будем называть кластерами высшего уровня или просто точками. Пусть F некоторый экстенсивный параметр фрактально-кластерной си- стемы. Функцией распределения f(x) по фрактально-кластерному простран- ству Un будем называть функцию f(x) f(a1, a2, . . . , an), удовлетворяющую условию xUn f(x) = 1, 346 Ультраметрическая динамика для замкнутых фрактально-кластерных . . . таким образом величина Fi = xUi f(x) есть доля параметра F, приходя- щаяся на кластер Ui. Пусть имеется набор неотрицательных чисел q1, q2, . . ., qp, причём p a=1 qa = 1. Будем называть распределение fss(a1, a2, . . . , an) самоподобным, если fss (a1, a2, . . . , an) = qa1 qa2 . . . qan . (1) Для случая p = 5 будем называть самоподобное распределение fid (a1, a2, . . . , an) = qid a1 qid a2 . . . qid an идеальным, если qid 1 = 0,38, qid 2 = 0,27, qid 3 = 0,16, qid 4 = 0,13, qid 5 = 0,06. Далее мы рассмотрим модель эволюции распределенной фрактально-кла- стерной модели, описываемой распределением f(x, t) = f(a1, a2, . . . , an, t), за- висящим от времени t. Мы примем нижеследующие предположения. 1. Для любого момента времени t полный ресурс системы постоянен xUn f(x, t) = 1. (2) Если предположение (2) выполнено в течение некоторого интервала вре- мени, данная система называется замкнутой относительно данного ре- сурса в течение данного временного интервала. 2. Для любого начального распределения система с течением времени пе- реходит в идеальное состояние fid(x): lim t f(x, t) = fid (x). (3) 3. Количество ресурсов, переходящих в единицу времени ресурсов из кла- стера высшего уровня (точки) y в любой другой кластер высшего уров- ня (точку) x системы, убывает с увеличением ультраметрического рас- стояния d(x, y) между этими точками: df(x, t) dt yx K(d(x, y))f(y), где K() некоторая положительно определённая убывающая функ- ция от аргумента . Эти три предположения позволяют записать уравнение динамики для f(x, t): t f(x, t) = yUn,y=x K(d(x, y)) fid (x)f(y, t) - fid (y)f(x, t) . (4) 347 В. Т. В о л о в, А. П. З у б а р е в Суммирование правой и левой частей уравнения (4) по x Un даёт t xUn f(x, t) = 0, что означает сохранение полного ресурса системы. Очевидно также, что fid(x) является стационарным решением (4), что гарантирует для любого решения f(x, t) условия (3). Из уравнения (4) следует, что величина i = 1 K(pi) (5) есть характерное время перехода в идеальное состояние кластера уровня i, т. е. функции f(a1, . . . , ai, t) ai+1,...,an f(a1, . . . , ai, ai+1, . . . , an, t). Отметим, что при fid(x) = const уравнение (4) по форме совпадает с уравнением ультаметрического случайного блуждания на ультраметрическом дереве, которое является уравнением Колмогорова Феллера [16] для функ- ции распределения однородного Марковского процесса и которое в преде- ле n переходит в уравнение ультраметрической диффузии на поле p- адических чисел (уравнение Владимирова) [5, 11]. Тем не менее уравнение (4) не описывает какой-либо стохастический процесс, поскольку функция f(x) определяет точку в пространстве конфигураций нашей системы, а не функ- цию распределения по состояниям. Само пространство конфигураций являет- ся пространством функций f(x), удовлетворяющих условию xUn f(x) = 1. При этом f(x, t) определяет траекторию в конфигурационном пространстве и, таким образом, определяет детерминистическую идеальную динамику рас- пределенной фрактально-кластерной системы. Обсудим решение уравнений (4) для 3-уровневой системы (n = 3) с са- моподобным (1) и однородным (qa = 1/5, a = 1, . . . 5) начальным распреде- лением по кластерам. Мы выбираем функцию K(), определяющую количе- ство ресурсов, переходящих в единицу времени ресурсов из кластера высше- го уровня y в любой другой кластер высшего уровня x, системы в степенной форме: K(d(x, y)) = 1 Tb , (6) где b параметр модели, характеризующий активность перераспределения ресурса, T параметр, задающий масштаб времени. Пусть начальное распре- деление является равномерным f(a1, a2, . . . , an, 0) = 5-n . (7) Мы будем интересоваться динамикой распределения ресурсов в кластерах первого уровня, то есть функциями f(a, t) = a2,a3,...,an f(a, a2, a3, . . . , an, t). 348 Ультраметрическая динамика для замкнутых фрактально-кластерных . . . Рис. 2. График зависимости f(1, 1, 1, t) при p = 5, n = 3, b = 4, T = 1. Отчётливо прослеживаются характерные времена переходов по кластерам: 3 103 , 2 106 , 1 109 Решение уравнения (4) с начальным условием (7) найдено численно. На рис. 2 представлен график зависимости количе- ства ресурсов от времени f(1, 1, 1, t) в подкластере высшего уровня (1, 1, 1) для 3-уровневой системы при определенных фиксированных значениях параметров мо- дели. Можно видеть, что переход данно- го подкластера в идеальное состояние про- исходит на характерных временах порядка 3 103. Далее на характерных временах порядка 2 106 происходят переходы в идеальное состояние подкластеров второго уровня и, наконец, на характерных време- нах порядка 1 109 происходят переходы в идеальное состояние подкластеров перво- го уровня, т. е. переход всей системы. Практическое применение данной модели для возможного прогнозирова- ния динамики изменения ресурса в системе, выведенной из состояния рав- новесия, требует идентификации ее параметров. При этом выбор функции K() зависит от типа системы и должен определяться эмпирически. Напри- мер, кроме степенной формы возможен выбор функции (6) в показательной T exp (b) -1 или логарифмической T log (1 + b) -1 формах. Для адекват- ного выбора этой функции необходимо для каждой исследуемой системы эм- пирически определить значения характерных времен i, i = 1, 2, . . . , n, пере- ходов кластеров всех уровней в состояние равновесия. Например, для трёх- уровневой системы по известным трём эмпирическим значениям 1, 2 и 3 с помощью (5) можно осуществить оптимальный выбор типа функции K() и идентифицировать ее два параметра T и b. Заключение. В данной работе предложен сценарий динамики распределе- ния ресурсов в замкнутых фрактально-кластерных системах, относящихся к классу организмов . На основе естественных предположений записано урав- нение для функции распределения в такой системе, решение которого при больших временах переходит в стационарное состояние, отвечающее идеаль- ному распределению ресурсов. Руководящим принципом построения динами- ки в замкнутой фрактально-кластерной системе является тот факт, что про- странство кластеров наивысших уровней обладает индексированной иерархи- ческой структурой, которая порождает ульраметрическую структуру. Основ- ное предположение состоит в том, что динамика перераспределения ресурсов в замкнутой системе определяется полностью ультраметрической структурой пространства кластеров наивысших уровней для каждого кластера суще- ствует свое характерное время перехода в идеальное состояние, определяемое ультраметрическим размером данного кластера (максимальным расстоянием d(x, y) между кластерами высших уровней x и y, входящих в данный кластер) через функцию K(d(x, y)), определяющую количество ресурсов, переходящих в единицу времени ресурсов из кластера высшего уровня y в любой другой кластер высшего уровня x. Имеется достаточной большой произвол в вы- боре самой K(d(x, y)). При численном анализе мы ограничились степенной 349 В. Т. В о л о в, А. П. З у б а р е в формой данной функции, но возможен также ее выбор в показательной, лога- рифмической и иных формах. По нашему мнению, этот выбор должен быть специфичен для каждой конкретной системы. Наше предположение опре- деляет лишь сам механизм динамики перехода распределения ресурсов в замкнутой системе: сначала в идеальное состояние переходят подкластеры наивысших уровней, затем подкластеры уровнем ниже (которые образованы подкластерами высшего уровня) и так далее. Таким образом, независимо от формы функции K(d(x, y)) всегда существует иерархия характерных времен переходов всех подкластеров в идеальное состояние, и эта иерархия опре- деляет динамику всей системы. Это демонстрируется численным решением нашего уравнения динамики распределения ресурсов в системе. Конкретный вид функции K(d(x, y)) зависит от типа моделируемой системы и должен определяться по наилучшей аппроксимации характерных времен переходов в состояние равновесия кластеров всех уровней. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ в рамках научных проектов 11-01-12114-офи-м, 13-01-00790-а. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. R. Rammal, G. Toulouse, M. A. Virasoro, Ultrametricity for physicists // Rev. Modern Phys., 1986. Vol. 58, no. 3. Pp. 765-788. 2. B. Dragovich, A. Yu. Khrennikov, S. V. Kozyrev, I. V. Volovich, On p-adic mathematical physics // p-Adic Numb. Ultr. Anal. Appl., 2009. Vol. 1, no. 1. Pp. 1-17, arXiv: 0904.4205 [math-ph]. 3. V. Dotsenko, An Introduction to the Spin Glasses and Neural Networks / World Scientific Lecture Notes in Physics. Vol. 54. Singapure: World Scientific, 1994. 156 pp. 4. A. T. Ogielski, D. L. Stein, Dynamics on Ultrametric Spaces // Phys. Rev. Lett., 1985. Vol. 55, no. 15. Pp. 1634-1637. 5. V. A. Avetisov, A. H. Bikulov, S. V. Kozyrev, V. A. Osipov, p-Adic models of ultrametric diffusion constrained by hierarchical energy landscapes // J. Phys. A, Math. Gen., 2002. Vol. 35, no. 2. Pp. 177-189, arXiv: cond-mat/0106506 [cond-mat.dis-nn]. 6. V. A. Avetisov, A. Kh. Bikulov, V. A. Osipov, p-Adic description of characteristic relaxation in complex systems // J. Phys. A, Math. Gen., 2003. Vol. 36, no. 15. Pp. 4239- 4246, arXiv: cond-mat/0210447 [cond-mat.dis-nn]. 7. D. Sornette, A. Johansen, A hierarchical model of financial crashes // Phys. A, 1998. Vol. 261, no. 3-4. Pp. 581-598. 8. R. N. Mantenga, H. E. Stanley, An introduction to econophysics. Correlations and complexity in finance. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2000. x+148 pp. 9. А. Х. Бикулов, А. П. Зубарев, Л. В. Кайдалова, Иерархическая динамическая мо- дель финансового рынка вблизи точки обвала и p-адический математический ана- лиз // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2006. 42. С. 135-140. [A. Kh. Bikulov, A. P. Zubarev, L. V. Kaidalova, Hierarchical dynamical model of financial market near the crash point and p-adic mathematical analysis // Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2006. no. 42. Pp. 135-140]. 10. W. H. Schikhof, Ultrametric calculus. An introduction to p-adic analysis / Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 4. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1984. viii+306 pp. 11. B. C. Владимиров, И. В. Волович, Е. И. Зеленов, p-Aдический анализ и математиче- ская физика. М.: Физматлит, 1994. 352 с.; англ. пер.: V. S. Vladimirov, I. V. Volovich, E. I. Zelenov, p-Adic analysis and mathematical physics / Series on Soviet and East European Mathematics. Vol. 1. River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co., Inc., 1994. xx+319 pp. 350 Ультраметрическая динамика для замкнутых фрактально-кластерных . . . 12. В. М. Шелкович, А. Ю. Хренников, Современный p-адический анализ и математиче- ская физика. Теория и приложения. М.: Физматлит, 2012. 452 с. [V. M. Shelkovich, A. Yu. Khrennikov, Modern p-adic analysis and mathematical physics: Theory and Applications. Moscow: Fizmatlit, 2012. 452 pp.] 13. M. V. Dolgopolov, A. P. Zubarev, Some Aspects of m-Adic Analysis and Its Applications to m-Adic Stochastic Processes // p-Adic Numb. Ultr. Anal. Appl., 2011. Vol. 1, no. 3. Pp. 39-51, arXiv: 1012.1248 [math-ph]. 14. В. Т. Волов, Экономика, флуктуации и термодинамика. Самара: СНЦ РАН, 2001. 222 с. [V. T. Volov, Economics, Fluctuations and Thermodynamics. Samara: Samara Research Center of RAS, 2001. 222 pp.] 15. В. Т. Волов, Фрактально-кластерная теория управления образовательными структу- рами. Казань: Казанск. гос. ун-т, 2000. 387 с. [V. T. Volov. Kazan: Kazan State Univ., 2000. 387 pp.] 16. C. W. Gardiner, Handbook of stochastic methods. For physics, chemistry and the natural sciences. Second edition / Springer Series in Synergetics. Vol. 13. Berlin: Springer Verlag, 1985. xx+442 pp. Поступила в редакцию 05/XI/2012; в окончательном варианте 07/I/2013. MSC: 82C44; 93A30, 11Z05, 82D30 THE ULTRAMETRICAL DYNAMICS FOR THE CLOSED FRACTAL-CLUSTER RESOURCE MODELS V. T. Volov, A. P. Zubarev Samara State Transport University, 18, First Bezimyanniy per., Samara, 443066, Russia. E-mails: vtvolov@mail.ru, apzubarev@mail.ru The evolution scenario of the resource distribution in the fractal-cluster systems which are identified as organism on Burdakov's classification is suggested. In this model the resource distribution dynamics is determined by the ultrametric structure of the fractal- cluster space. Thus for each cluster there is the characteristic time of its transition to an equilibrium state defined by ultrametric size of the cluster. The general equation that describes that dynamics is presented. The numeric solution for that equation for the certain types of resource transformation between clusters is received. The problem of identification of parameters of model with reference to real systems is discussed. Key words: hierarchical structures, ultrametric, fractal-cluster models, mathematical modeling, socio-economic systems, resource allocation. Original article submitted 05/XI/2012; revision submitted 07/I/2013. Vyacheslav T. Volov (Dr. Sci. (Phys. & Math.), Professor), Head of Dept., Dept. of Physics and Ecological Thermophysics. Alexander P. Zubarev (Ph. D. (Phys. & Math.)), Associate Professor, Dept. of Physics and Ecological Thermophysics.

About the authors

Vyacheslav Teodorovich Volov

Samara State Transport University

Email: volovvt@mail.ru
Candidate of physico-mathematical sciences, Professor

Alexander Petrovich Zubarev

Samara State Transport University

Email: apzubarev@mail.ru
Candidate of physico-mathematical sciences, Associate professor

References

Supplementary files