Stability and convergence of the locally one-dimensional scheme A. A. Samarskii, approximating the multidimensional integro-differential equation of convection-diffusion with inhomogeneous boundary conditions of the first kind

Full Text

Введение

При исследовании прикладных задач механики сплошной среды, тепло- и массопереноса широко используются методы математического моделирования и вычислительной математики. В качестве основных при исследовании многих процессов в движущихся средах можно выделить диффузионный перенос той или иной субстанции и перенос, обусловленный движением среды, т. е. конвективный перенос. В газо- и гидродинамике одним из базовых моделей многих процессов выступают краевые задачи для нестационарных уравнений конвекции-диффузии (т. е. параболическое уравнение второго порядка с младшими членами) [1].

Математические модели, детально описывающие реальные процессы и явления природы, представляют собой сложные системы. Сложность задач математической физики в основном обусловлена их многомерностью и нелинейностью. Получить точные аналитические решения таких задач очень трудно. В этой связи используются приближенные методы решения. Одним из самых распространенных методов приближенного решения краевых задач является метод конечных разностей.

С точки зрения численной реализации в отличие от одномерных задач при изучении многомерных задач возникает сложность, заключающаяся в значительном увеличении объема вычислений. В этой связи актуальное значение приобретает задача построения экономичных разностных схем для численного решения многомерных задач, обладающих возможностью достаточно эффективной стабилизации решений (устойчивостью) и требующих при переходе со слоя на слой проведения числа арифметических операций $Q$, пропорционального числу узлов сетки, так что $Q = O(h^{-p})$, где $h=\min\limits_{1\leqslant i \leqslant p}h_i$, $p$ — размерность пространства, $h_i$ — шаг сетки по направлению $x_i$.

К эффективным методам приближенного решения сложных многомерных задач математической физики на основе их конечно-разностных аппроксимаций относятся методы расщепления, они были развиты в работах J. Douglas, D. W. Peaceman, H. H. Rасhfоrd [2, 3], Н. Н. Яненко [4], А. А. Самарского [5, 6], Г. И. Марчука [7], Е. Г. Дьяконова [8], И. В. Фрязинова [9–11] и др. Их отказ от классического понятия аппроксимации и замена его более слабым условием суммарной аппроксимации существенно расширяют класс решаемых задач.

Целью и новизной настоящей работы является разработка и обоснование численного метода решения интегро-дифференциального уравнения конвекции-диффузии с неоднородными краевыми условиями первого рода в многомерной области. Для приближенного решения поставленной задачи предложена локально-одномерная разностная схема А. А. Самарского с порядком аппроксимации $O(h^2+\tau)$. Ввиду того, что уравнение содержит первую производную от неизвестной функции по пространственной переменной $x_\alpha$ для повышения порядка точности локально-одномерной схемы используется известный метод, предложенный А. А. Самарским при построении монотонной схемы второго порядка точности по $h_\alpha$ для уравнения параболического типа общего вида, содержащего односторонние производные, учитывающие знак $r_\alpha(x,t)$. Исследование единственности и устойчивости решения проводится с помощью метода энергетических неравенств. Получены априорные оценки решения локально-одномерной разностной схемы, откуда следуют единственность решения, непрерывная и равномерная зависимость решения от входных данных, а также сходимость решения схемы к решению исходной дифференциальной задачи со скоростью, равной порядку аппроксимации разностной схемы. Для двумерной задачи построен алгоритм численного решения, проведены численные расчеты тестовых примеров, иллюстрирующие полученные в работе теоретические результаты.

Следует отметить, что применение принципа максимума [5, 6] для исследования единственности, устойчивости и сходимости решения локально-одномерной схемы, аппроксимирующей многомерное интегро-дифференциальное уравнение конвекции-диффузии, не представляется возможным, а исследование методом энергетических неравенств решения многомерного интегро-дифференциального уравнения параболического типа с однородными краевыми условиями первого рода возможно, но при этом сходимость схемы доказывается лишь со скоростью $O(h+\sqrt\tau)$. В этой связи в данной работе предлагается подход к получению априорной оценки решения локально-одномерной схемы, с помощью которой доказывается сходимость схемы со скоростью $O(h^2+\tau)$.

Численным методам решения локальных и нелокальных краевых задач для многомерных дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа на основе построения локально-одномерных разностных схем посвящены работы [12–15].

1. Постановка задачи

В замкнутой области $\overline Q_T=\overline G \times [0, T]$, основанием которой является $p$-мерный куб $\overline G=\{x=(x_1, x_2, \dots, x_p): 0 \leqslant x_\alpha \leqslant l, \alpha = 1, 2,\dots ,p\}$ с границей $\Gamma$, $\overline G=G \cup \Gamma$, рассматривается следующая задача [16, стр. 442]:
\[ \begin{equation}
\frac {\partial u}{\partial t}=Lu+f(x,t), \quad (x,t) \in Q_T,
\end{equation} \tag{1} \]
\[ \begin{equation}
u\big|_{\Gamma}=\mu(x,t),\quad 0\leqslant t\leqslant T,
\end{equation} \tag{2} \]
\[ \begin{equation}
u(x,0)=u_0(x),\quad x\in \overline G, 
\end{equation} \tag{3} \]
где $Lu=\sum\limits ^{p}_{\alpha=1} L_\alpha u$, $L_\alpha u=k_\alpha(t)\dfrac {\partial^2 u}{\partial x^2_\alpha}+ r_\alpha(t)\dfrac {\partial u}{\partial x_\alpha} -q_\alpha(x,t)u- \displaystyle \int^{l}_0H_\alpha(x,t)u dx_\alpha$;
\[ \begin{equation*}
0<c_0\leqslant k_\alpha(t)\leqslant c_1, \quad |r_\alpha(t)|, \ |H_\alpha(x,t)|, \ |q_\alpha(x,t)|\leqslant c_2, 
\quad c_0, c_1, c_2 =\rm const>0;
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
u(x,t) \in C^{4,2} (Q_T ),\quad k_\alpha(t), r_\alpha(t) \in C^{1}[0,T],
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation}
H_\alpha(x,t), q_\alpha(x,t), f(x,t) \in C^{2,1} (Q_T ), 
\end{equation} \tag{4} \]
\[ \begin{equation*}
\mu_{\pm\alpha}(x,t), u_0(x) \text{ — непрерывные функции, } \alpha=1, 2, \dots, p,
\end{equation*} \]
$C^{m,n}$ — класс функций, непрерывных вместе со своими частными производными порядка $m$ по $x$ и $n$ по $t$; $c_{0}$, $c_{1}$, $c_{2} $ — положительные постоянные; $Q_T = G \times (0,T]$.

Далее через $M_i$, $i = 1, 2, \dots $, обозначаются положительные постоянные, зависящие только от входных данных рассматриваемой задачи.

2. Локально-одномерная схема

Пространственную сетку выберем равномерной по каждому направлению $O x_\alpha $ с шагом $h= {l}/{N}$ (кубическая сетка с шагом $h$) [16, стр. 475]:
\[ \begin{equation*}
\bar\omega_{h}=\bar\omega^p_{h, \alpha}, 
\quad 
\bar\omega_{h, \alpha}= 
\bigl\{x_\alpha^{(i_\alpha)}=i_\alpha h : 
i_\alpha=1, \dots, N-1, \; x_\alpha^{(0)}=0, \; x_\alpha^{(N)}=N {h}/{2}\bigr\},
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
\omega_{h}=\omega^p_{h, \alpha}, 
\quad\omega_{h, \alpha}=\bigl\{ x_\alpha^{(i_\alpha)}=i_\alpha h : i_\alpha=1, \dots, N-1\bigr\},
\quad \alpha=1, 2,\dots, p.
\end{equation*} \]

На отрезке $[0, T]$ также введем равномерную сетку $\overline \omega_\tau=\{t_j=j\tau$, ${j=0, 1}$, $\dots ,j_0\}$ с шагом $\tau=T/j_0$. Каждый из отрезков $[t_j,t_{j+1}]$ разобьем на $p$ частей, введя точки $t_{j+ {\alpha}/{p}}=t_j+\tau {\alpha}/{p}$, $\alpha=1, 2, \dots, p-1$, и обозначим через $\Delta_\alpha =\bigl(t_{j+ {(\alpha-1)}/{p}}, t_{j+ {\alpha}/{p}}\bigr]$ полуинтервал, где $\alpha=1, 2, \dots, p$.

Уравнение (1) перепишем в виде
\[ \begin{equation*}
\mathfrak{R} u=\frac{\partial u}{\partial t}-Lu-f=0,
\end{equation*} \]
или
\[ \begin{equation*}
\sum _{\alpha=1} ^ p \mathfrak{R} _\alpha u=0, \quad \mathfrak{R} _\alpha u=\frac {1}{p} \frac {\partial u}{\partial t}- L_\alpha u -f_\alpha, \quad 
\sum_{\alpha=1}^{p} f_\alpha=f,
\end{equation*} \]
где $f_\alpha(x,t)$, $\alpha=1, 2, \dots, p$, — произвольные функции, обладающие той же гладкостью, что и $f(x,t)$, удовлетворяющие условию нормировки $\sum\limits_{\alpha=1}^p f_\alpha=f$.

На каждом полуинтервале $\Delta_\alpha$, $\alpha=1, 2,\dots, p$, будем последовательно решать задачи
\[ \begin{equation}
\mathfrak{R} _\alpha \vartheta _\alpha= 
\frac {1}{p} \frac {\partial \vartheta_{(\alpha)}}{\partial t}- 
L_\alpha \vartheta_{(\alpha)}-
f_\alpha=0, \quad x \in G, \; t \in \Delta_\alpha, \; \alpha
=1, 2,\dots, p, 
\end{equation} \tag{5} \]
\[ \begin{equation*}
\begin{cases}
\vartheta_{(\alpha)}=\mu_{-\alpha}, \quad x_\alpha=0,
\\
\vartheta_{(\alpha)}=\mu_{+\alpha}, \quad x_\alpha=l,
\end{cases}
\end{equation*} \]
полагая при этом [16, стр. 522]
\[ \begin{equation*}
\vartheta_{(1)}(x,0)=u_0(x), \quad \vartheta^{j}_{(1)}(x,t_j)=\vartheta^{j-1} _{(p)}(x,t_j), \quad j=1, 2, \dots, j_0,
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
\vartheta^{j}_{(\alpha)}(x,t_{j+ ({\alpha-1})/{p}})=
\vartheta^{j}_{(\alpha-1)}(x,t_{j+ ({\alpha-1})/{p}}),
\quad \alpha=2,\dots, p,\; j= 0, 1, 2,\dots, j_0-1,
\end{equation*} \]
$\mu_{-\alpha}=\mu(x',0,t)$, $\mu_{+\alpha}=\mu(x',l,t)$ — непрерывные функции.

Аналогично [16, cтр. 401] получим для уравнения (5) номера $\alpha$ монотонную схему второго порядка аппроксимации по $h$. Для этого рассмотрим уравнение (5) номера $\alpha$ с возмущенным оператором $\widetilde{L}_\alpha$:
\[ \begin{equation}
\frac {1}{p} \frac {\partial \vartheta_{(\alpha)}}{\partial t}
=\widetilde{L}_\alpha\vartheta_{(\alpha)} + f_{\alpha},\quad t \in
\Delta_\alpha,
\end{equation} \tag{6} \]
где
\[ \begin{equation*}
\widetilde{L}_\alpha\vartheta_{(\alpha)}=\varkappa_\alpha\frac{\partial }{\partial x_{\alpha}}
\Bigl(k_\alpha(x,t)\frac{\partial \vartheta_{(\alpha)}}{\partial x_{\alpha}}\Bigr)+
r_\alpha(x,t)\frac{\partial \vartheta_{(\alpha)}}{\partial x_{\alpha}}- 
q_{\alpha}\vartheta_{(\alpha)}-\int^{l}_0H_\alpha(x,t)    \vartheta_{(\alpha)} dx_\alpha;
\end{equation*} \]
$\varkappa_\alpha=\dfrac{1}{1+R_\alpha }$, $R_\alpha=\dfrac{ h|r_\alpha|}{2 k_\alpha}$ — разностное число Рейнольдса; $r_\alpha=r_\alpha^{+}+r_\alpha^{-}$, $r_\alpha^{+}= (r_\alpha+|r_\alpha|)/2\geqslant 0$, $r_\alpha^{-}= (r_\alpha-|r_\alpha|)/2\leqslant 0$; $b_\alpha^{+}= {r_\alpha^+}/{k_\alpha}$, $b_\alpha^{-}= {r_\alpha^-}/{k_\alpha}$.

Аппроксимируем каждое уравнение (6) номера $\alpha$ неявной схемой на полуинтервале $\Delta_\alpha$, тогда получим цепочку из $p$ одномерных разностных уравнений:
\[ \begin{equation}
\frac {y^{j+ {\alpha}/{p}}-y^{j+ ({\alpha-1})/{p}}}{\tau}=
\tilde \Lambda _\alpha y^{j+ {\alpha}/{p}} +\varphi _\alpha ^{j+ {\alpha}/{p}}, 
\quad 
x_\alpha \in\omega_{h}, \; \alpha=1, 2,\dots, p, 
\end{equation} \tag{7} \]
где
\[ \begin{equation*}
\tilde \Lambda _\alpha y^{j+ {\alpha}/{p}}=
\varkappa_\alpha a_\alpha y_{\bar x_\alpha x_\alpha}^{j+\frac{\alpha}{p}}+b_\alpha^+
a_\alpha y_{x_\alpha}^{j+ {\alpha}/{p}}+b_\alpha^{-} a_\alpha y_{\bar x_\alpha}^{j+ {\alpha}/{p}}-
d_\alpha y^{j+ {\alpha}/{p}}- \sum^{N}_{i_\alpha=0}\delta_{\alpha, i_\alpha} y_{i_\alpha}^{j+ {\alpha}/{p}}\hbar;
\end{equation*} \]
$a_{\alpha}=k_{\alpha} (\bar t )$, $r_\alpha=r_\alpha(\bar t)$, $d_{\alpha}=q_{\alpha}(x,\bar t)$, $\delta_\alpha=H_\alpha(x_{\alpha},\bar t)$, $\varphi_\alpha=f_\alpha(x,\bar t)$,
$\bar t=t_{j+ {1}/{2}}$,
\[ \begin{equation*}
\hbar= \begin {cases} 
h, & i_\alpha=1, 2,\dots, N-1,
\\ 
 {h}/ {2}, & i_\alpha=0, N;
\end{cases} 
\end{equation*} \]
$x= (x_1, x_2, \dots, x_p)$, $x'=(x_1,x_2,\dots,x_{\alpha-1},x_{\alpha+1},\dots,x_{p})$; $\gamma_{h,\alpha}$ — множество граничных по направлению $x_\alpha$ узлов.

К уравнению (7) присоединим граничные и начальное условия
\[ \begin{equation}
\begin{cases}
y^{j+ {\alpha}/{p}}=\mu_{-\alpha}, & x_\alpha=0, \\
y^{j+ {\alpha}/{p}}=\mu_{+\alpha}, & x_\alpha=l,
\end{cases}
\end{equation} \tag{8} \]
\[ \begin{equation}
y(x,0)=u_0(x). 
\end{equation} \tag{9} \]

3. Погрешность аппроксимации локально-одномерной схемы

Характеристикой точности решения локально-одномерной схемы является разность $z^{j+ {\alpha}/{p}}=y^{j+ {\alpha}/{p}}-u^{j+ {\alpha}/{p}}$, где $u^{j+ {\alpha}/{p}}$ — решение исходной задачи (1)–(3). Подставляя $y^{j+ {\alpha}/{p}}=z^{j+ {\alpha}/{p}}+u^{j+ {\alpha}/{p}}$ в схему (7)–(9), получим задачу для погрешности $z^{j+ {\alpha}/{p}}$:
\[ \begin{equation}
\frac{z^{j+ {\alpha}/{p}}-z^{j+ ({\alpha-1})/{p}}}{\tau}=
\tilde\Lambda_\alpha z^{j+ {\alpha}/{p}}+\psi_\alpha^{j+ {\alpha}/{p}},
\end{equation} \tag{10} \]
\[ \begin{equation*}
z^{j+ {\alpha}/{p}}=0 \text{ при } x\in \gamma_{h,\alpha}, \quad z(x,0)=0, 
\end{equation*} \]
где $\psi_\alpha^ {j+ {\alpha}/{p}}=\tilde\Lambda_\alpha u^{j+ {\alpha}/{p}}+\varphi_\alpha^{j+ {\alpha}/{p}}-\dfrac{u^{j+ {\alpha}/{p}}-u^{j+ {\alpha-1}/{p}}}{\tau}$.

Обозначив через $\mathring \psi_\alpha=\Bigl(L_\alpha u+f_\alpha-\dfrac{1}{p}\dfrac {\partial u}{\partial t}\Bigr)^{j+1/2}$ и замечая, что $\sum \limits_{\alpha=1}^p \mathring \psi_\alpha=0$, если $\sum\limits_{\alpha=1}^p f_\alpha=f$, представим погрешность в виде суммы $\psi_\alpha^{j+ {\alpha}/{p}}=\mathring \psi_\alpha+\psi_\alpha^*$:
\[ \begin{multline*}
\psi_\alpha^{j+ {\alpha}/{p}}= 
\tilde\Lambda_\alpha u^{j+ {\alpha}/{p}} +\varphi_\alpha^{j+ {\alpha}/{p}}-\frac{u^{j+{\alpha}/{p}}-
u^{j+ ({\alpha-1})/{p}}}{\tau}+ \mathring \psi _\alpha-\mathring \psi _\alpha= \bigl(\tilde\Lambda_\alpha u^{j+ {\alpha}/{p}}-L_\alpha u^{j+ {1}/{2}}\bigr)+ 
\bigl( \varphi_\alpha^{j+ {\alpha}/{p}}-f_\alpha ^{j+ {1}/{2}}\bigr)- {} \\
{}-\Bigl( \frac{u^{j+ {\alpha}/{p}}-u^{j+ ({\alpha-1})/{p}}}{\tau} -\frac{1}{p}\Bigl(\frac{\partial u}{\partial t}\Bigr)^{j+1/2}\Bigr)+
\mathring \psi _\alpha=\mathring \psi _\alpha + \psi_\alpha^*.
\end{multline*} \]
Очевидно, что $\psi_\alpha^{*}=O(h^2+\tau)$, $\mathring \psi_\alpha=O(1)$, $\sum\limits_{\alpha=1}^p \psi_\alpha^{j+ {\alpha}/{p}}=
\sum \limits_{\alpha=1}^p \mathring \psi_\alpha+\sum\limits_{\alpha=1}^p \psi^*_\alpha =O(h^2+\tau)$.

4. Устойчивость локально-одномерной схемы

Априорную оценку решения схемы (7)–(9) найдем методом энергетических неравенств, для этого введем скалярные произведения и нормы в следующем виде:
\[ \begin{equation*}
\frac{1}{p}y^{(\alpha)}_{\bar t}=\frac{y^{j+{\alpha}/{p}}-y^{j+ ({\alpha-1})/{p}}}{\tau}, 
\quad
( u, v )_{\alpha}=\sum _{i_\alpha=1} ^{N-1} u_{i_\alpha} v_{i_\alpha} h, 
\quad
\| y^{(\alpha)}\|^2_{L_{2}(\alpha)}=\sum\limits^{N-1}_{i_{\alpha}=1}y_{i_\alpha}^{2}h,
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
(u, v ) = \sum _{x \in \omega _h} u v H, 
\quad
H=h^p, 
\quad
\|y^{(\alpha)}\|^2_{L_{2}(\omega_{h})} = \sum\limits_{i_{\beta}\neq i_{\alpha}}\|y^{(\alpha)}\|^2_{L_{2}(\alpha)} H/h,
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
[ u, v ]_{\alpha}=\sum _{i_\alpha=0} ^{N} u_{i_\alpha} v_{i_\alpha} \hbar, 
\quad
|[ y^{(\alpha)}]|^2_{L_{2}(\alpha)}=\sum\limits^{N}_{i_{\alpha}=0} y_{i_\alpha}^{2}\hbar, 
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
[u, v ] = \sum _{x \in \bar\omega _h} u v \overline H, 
\quad
\overline H=\hbar^p, 
\quad
|[y^{(\alpha)}]|^2_{L_{2}(\bar\omega_{h})} = \sum\limits_{i_{\beta}\neq i_{\alpha}} |[y^{(\alpha)}]|^2_{L_{2}(\alpha)} \overline H/\hbar.
\end{equation*} \]

Умножим теперь уравнение (7) на $y^{(\alpha)}h$, где $y^{(\alpha)}=y^{j+ {\alpha}/{p}}$, и просуммируем по $s_\alpha$ от $\eta_\alpha$ до $\xi_\alpha$:
\[ \begin{equation}
\frac{1}{p}\sum_{s_\alpha=\eta_\alpha}^{\xi_\alpha}y_{\bar t,s_\alpha }^{(\alpha)}y^{(\alpha)}_{s_\alpha}h = \sum_{s_\alpha=\eta_\alpha}^{\xi_\alpha}\tilde \Lambda_{\alpha}y^{(\alpha)}_{s_\alpha}y^{(\alpha)}_{s_\alpha}h
+\sum_{s_\alpha=\eta_\alpha}^{\xi_\alpha}\varphi_{(\alpha),s_\alpha}y^{(\alpha)}_{s_\alpha}h, \quad 
0\leqslant \eta_\alpha\leqslant \xi_\alpha\leqslant N.
\end{equation} \tag{11} \]
Преобразуем каждое слагаемое тождества (11):
\[ \begin{equation}
\frac{1}{p}\sum_{s_\alpha=\eta_\alpha}^{\xi_\alpha}y_{\bar t,s_\alpha }^{(\alpha)}y^{(\alpha)}_{s_\alpha}h
=\frac{1}{2p}
\biggl(\sum_{s_\alpha=\eta_\alpha}^{\xi_\alpha} (y^{(\alpha)}_{s_\alpha} )^2h\biggr)_{\bar t}
+\frac{\tau}{2p} \biggl(\sum_{s_\alpha=\eta_\alpha}^{\xi_\alpha} (y_{\bar t,s_\alpha }^{(\alpha)} )^2h\biggr),
\end{equation} \tag{12} \]
\[ \begin{multline}
\sum_{s_\alpha=\eta_\alpha}^{\xi_\alpha}\tilde \Lambda_{\alpha}y^{(\alpha)}_{s_\alpha}y^{(\alpha)}_{s_\alpha}h
= \varkappa_\alpha a_\alpha\sum_{s_\alpha=\eta_\alpha}^{\xi_\alpha} y_{\bar x_\alpha x_\alpha, s_\alpha}
y^{(\alpha)}_{s_\alpha}h +b_\alpha^+a_\alpha\sum_{s_\alpha=\eta_\alpha}^{\xi_\alpha}
y_{x_\alpha, s_\alpha}^{(\alpha)}y^{(\alpha)}_{s_\alpha}h+b_\alpha^-a_\alpha\sum_{s_\alpha=\eta_\alpha}^{\xi_\alpha} y_{\bar x_\alpha, s_\alpha}^{(\alpha)}y^{(\alpha)}_{s_\alpha}h-
\sum_{s_\alpha=\eta_\alpha}^{\xi_\alpha}d_\alpha (y^{(\alpha)}_{s_\alpha} )^2h- {}
\\
{}
-\sum_{s_\alpha= \eta_\alpha}^{\xi_\alpha} 
\biggl( y^{(\alpha)}_{s_\alpha}\sum^{N}_{i_\alpha=0}\delta_{\alpha, i_\alpha}y_{i_\alpha}^{j+ {\alpha}/{p}}\hbar\biggr)h=-\varkappa_\alpha a_\alpha \sum_{s_\alpha=\eta_\alpha}^{\xi_\alpha+1}
(y_{\bar x_\alpha, s_\alpha} )^2 h+
\varkappa_\alpha a_\alpha 
\bigl( y_{\bar x_\alpha, \xi_\alpha+1}^{(\alpha)}y^{(\alpha)}_{\xi_\alpha+1}-
y_{\bar x_\alpha, \eta_\alpha}^{(\alpha)}y^{(\alpha)}_{\eta_\alpha-1}\bigr)+b_\alpha^+a_\alpha\sum_{s_\alpha=\eta_\alpha}^{\xi_\alpha} y_{x_\alpha, s_\alpha}^{(\alpha)}y^{(\alpha)}_{s_\alpha}h+{}
\\
{}
+b_\alpha^-a_\alpha\sum_{s_\alpha=\eta_\alpha}^{\xi_\alpha} y_{\bar    x_\alpha, s_\alpha}^{(\alpha)}y^{(\alpha)}_{s_\alpha}h -\sum_{s_\alpha=\eta_\alpha}^{\xi_\alpha}d_{\alpha,s_\alpha}
(y^{(\alpha)}_{s_\alpha} )^2h-\sum_{s_\alpha=\eta_\alpha}^{\xi_\alpha}\biggl( y^{(\alpha)}_{s_\alpha}\sum^{N}_{i_\alpha=0}\delta_{\alpha, i_\alpha}y_{i_\alpha}^{j+ {\alpha}/{p}}\hbar\biggr)h, 
\end{multline} \tag{13} \]
\[ \begin{equation}
\sum_{s_\alpha=\eta_\alpha}^{\xi_\alpha}\varphi_{(\alpha),s_\alpha}y^{(\alpha)}_{s_\alpha}h
\leqslant \frac{1}{2} \sum_{s_\alpha=\eta_\alpha}^{\xi_\alpha}\varphi^2_{(\alpha),s_\alpha}h+
\frac{1}{2} \sum_{s_\alpha=\eta_\alpha}^{\xi_\alpha} (y^{(\alpha)}_{s_\alpha} )^2h.
\end{equation} \tag{14} \]
Преобразуем отдельно выражение $y_{\bar x_\alpha, \xi_\alpha+1}^{(\alpha)}y^{(\alpha)}_{\xi_\alpha+1}-
y_{\bar x_\alpha, \eta_\alpha}^{(\alpha)}y^{(\alpha)}_{\eta_\alpha-1}$, тогда с учетом $(y^2)_{\bar x_\alpha}=2y_{\bar x_\alpha}y^{(\alpha)} - h y_{\bar x_\alpha}^{2}$ получим
\[ \begin{equation}
y_{\bar x_\alpha, \xi_\alpha+1}^{(\alpha)}y^{(\alpha)}_{\xi_\alpha+1}-
y_{\bar x_\alpha, \eta_\alpha}^{(\alpha)}y^{(\alpha)}_{\eta_\alpha-1}=\frac{1}{2}\bigl( 
(y^{2})_{\bar x_\alpha, \xi_\alpha+1}+ y^{2}_{\bar x_\alpha, \xi_\alpha+1}h-
(y^{2})_{\bar x_\alpha, \eta_\alpha}+ y^{2}_{\bar x_\alpha, \eta_\alpha}h\bigr).
\end{equation} \tag{15} \]
Учитывая преобразования (12)–(15), из (11) находим
\[ \begin{multline}
\frac{1}{2p}
\biggl(\sum_{s_\alpha=\eta_\alpha}^{\xi_\alpha} (y^{(\alpha)}_{s_\alpha} )^2h \biggr)_{\bar t}
+
\frac{\tau}{2p} \biggl(\sum_{s_\alpha=\eta_\alpha}^{\xi_\alpha} (y_{\bar t,s_\alpha }^{(\alpha)} )^2h\biggr) +
\frac{\varkappa_\alpha a_\alpha}{2}\sum_{s_\alpha=\eta_\alpha+1}^{\xi_\alpha} 
(y_{\bar x_\alpha, s_\alpha} )^2 h \leqslant {} \\ {}\leqslant
\frac{\varkappa_\alpha a_\alpha}{2} (y^{2} )_{\bar x_\alpha, \xi_\alpha+1}-\frac{\varkappa_\alpha a_\alpha}{2} (y^{2} )_{\bar x_\alpha, \eta_\alpha}+
b_\alpha^+a_\alpha \sum_{s_\alpha=\eta_\alpha}^{\xi_\alpha} y_{x_\alpha, s_\alpha}^{(\alpha)}y^{(\alpha)}_{s_\alpha}h+ {}
\\
{}
+b_\alpha^-a_\alpha\sum_{s_\alpha=\eta_\alpha}^{\xi_\alpha}y_{\bar x_\alpha, s_\alpha}^{(\alpha)}
y^{(\alpha)}_{s_\alpha}h-\sum_{s_\alpha=\eta_\alpha}^{\xi_\alpha}d_{\alpha,s_\alpha}(y^{(\alpha)}_{s_\alpha} )^2h - \sum_{s_\alpha=\eta_\alpha}^{\xi_\alpha}
\biggl( y^{(\alpha)}_{s_\alpha}\sum^{N}_{i_\alpha=0}\delta_{\alpha, i_\alpha}y_{i_\alpha}^{j+ {\alpha}/{p}}\hbar\biggr)h+
\frac{1}{2} \sum_{s_\alpha=\eta_\alpha}^{\xi_\alpha}\varphi^2_{(\alpha),s_\alpha}h+
\frac{1}{2} \sum_{s_\alpha=\eta_\alpha}^{\xi_\alpha} (y^{(\alpha)}_{s_\alpha} )^2h. 
\end{multline} \tag{16} \]

Умножим теперь (16) на $h$ и просуммируем по $\xi_\alpha$ от $\eta_\alpha$ до $N$, затем полученное неравенство умножим на $h$ и просуммируем по $\eta_\alpha$ от 0 до $N$. Тогда получим
\[ \begin{multline}
\frac{1}{2p}
\biggl(\sum_{\eta_\alpha=0}^{N} \! h \! \sum_{\xi_\alpha=\eta_\alpha}^{N} \! h\! \sum_{s_\alpha=\eta_\alpha}^{\xi_\alpha}(y^{(\alpha)}_{s_\alpha})^2h\biggr)_{\bar t} + 
\frac{\varkappa_\alpha a_{\alpha} }{2}
\sum_{\eta_\alpha=0}^{N}\!h\!\sum_{\xi_\alpha=\eta_\alpha}^{N}\!h\!\sum_{s_\alpha=\eta_\alpha+1}^{\xi_\alpha}(y_{\bar x_\alpha, s_\alpha} )^2 h \leqslant
\frac{\varkappa_\alpha a_\alpha }{2} \sum_{\eta_\alpha=0}^{N}\!h\!\sum_{\xi_\alpha=\eta_\alpha}^{N}
(y^{2})_{\bar x_\alpha, \xi_\alpha+1}h- {}
\\
{}
-\frac{\varkappa_\alpha a_\alpha }{2} 
\sum_{\eta_\alpha=0}^{N}\!h\!\sum_{\xi_\alpha=\eta_\alpha}^{N} ( y^{2})_{\bar x_\alpha, \eta_\alpha}h
+ b_\alpha^+a_\alpha\sum_{\eta_\alpha=0}^{N}\!h\!\sum_{\xi_\alpha=\eta_\alpha}^{N}\!h\!\sum_{s_\alpha=\eta_\alpha}^{\xi_\alpha} y_{x_\alpha, s_\alpha}^{(\alpha)}y^{(\alpha)}_{s_\alpha}h
+
b_\alpha^-a_\alpha\sum_{\eta_\alpha=1}^{N}\!h\!\sum_{\xi_\alpha=\eta_\alpha}^{N}\!h\!\sum_{s_\alpha=\eta_\alpha}^{\xi_\alpha} y_{\bar x_\alpha, s_\alpha}^{(\alpha)}y^{(\alpha)}_{s_\alpha}h-
{}
\\
{}
-\sum_{\eta_\alpha=0}^{N}\!h\!\sum_{\xi_\alpha=\eta_\alpha}^{N}\!h\!\sum_{s_\alpha=\eta_\alpha}^{\xi_\alpha}
\biggl( y^{(\alpha)}_{s_\alpha}\sum^{N}_{i_\alpha=0}\delta_{\alpha, i_\alpha}y_{i_\alpha}^{j+ {\alpha}/{p}}\hbar\biggr)h+
\frac{1}{2} \sum_{\eta_\alpha=0}^{N}\!h\!\sum_{\xi_\alpha=\eta_\alpha}^{N}\!h\!\sum_{s_\alpha=\eta_\alpha}^{\xi_\alpha}\varphi^2_{(\alpha),s_\alpha}h+
M_1\sum_{\eta_\alpha=0}^{N}\!h\!\sum_{\xi_\alpha=\eta_\alpha}^{N}\!h\!\sum_{s_\alpha=\eta_\alpha}^{\xi_\alpha} (y^{(\alpha)}_{s_\alpha} )^2h. 
\end{multline} \tag{17} \]
Преобразуем сумму $\sum\limits_{\eta_\alpha=0}^{N}\!h\!\sum\limits_{\xi_\alpha=\eta_\alpha}^{N}\!h\!\sum\limits_{s_\alpha=\eta_\alpha}^{\xi_\alpha}\varphi^2_{(\alpha),s_\alpha}h$ следующим образом:
\[ \begin{multline*}
\sum_{\eta_\alpha=0}^{N}\!h\!\sum_{\xi_\alpha=\eta_\alpha}^{N}\!h\!\sum_{s_\alpha=\eta_\alpha}^{\xi_\alpha}\varphi^2_{(\alpha),s_\alpha}h = 
\sum_{\eta_\alpha=0}^{N}\!h\!\sum_{s_\alpha=\eta_\alpha}^{N}\varphi^2_{(\alpha),s_\alpha}h\sum_{\xi_\alpha=s_\alpha}^{N}h=\sum_{\eta_\alpha=0}^{N}\!h\!\sum_{s_\alpha=\eta_\alpha}^{N}(l-x_\alpha)\varphi^2_{(\alpha),s_\alpha}h= {}
\\
{}=\sum_{s_\alpha=0}^{N}(l-x_\alpha)\varphi^2_{(\alpha),s_\alpha}h\sum_{\eta_\alpha=0}^{s_\alpha}h
=\sum_{s_\alpha=0}^{N}x_\alpha(l-x_\alpha)\varphi^2_{(\alpha),s_\alpha}h = \sum_{s_\alpha=1}^{N-1}x_\alpha(l-x_\alpha)\varphi^2_{(\alpha),s_\alpha}h.
\end{multline*} \]

Учитывая последнее, из (17) находим
\[ \begin{multline}
\frac{1}{2p}
\biggl(\sum_{s_\alpha=1}^{N-1}x_\alpha(l-x_\alpha) (y^{(\alpha)}_{s_\alpha} )^2h\biggr)_{\bar t} + 
\frac{\varkappa_\alpha a_{\alpha}}{2}\sum_{s_\alpha=1}^{N-1}x_\alpha(l-x_\alpha) 
(y_{\bar x_\alpha, s_\alpha})^2 h \leqslant
\frac{\varkappa_\alpha a_\alpha}{2}\sum_{s_\alpha=0}^{N-1}x_\alpha ( y^{2} )_{\bar x_\alpha, s_\alpha+1}h-{}
\\
{}
-\frac{\varkappa_\alpha a_\alpha }{2}\sum_{s_\alpha=1}^{N}(l-x_\alpha) (y^{2})_{\bar x_\alpha, s_\alpha}h
+b_\alpha^+a_\alpha\sum_{s_\alpha=1}^{N-1}x_\alpha(l-x_\alpha) y_{x_\alpha, s_\alpha}^{(\alpha)}y^{(\alpha)}_{s_\alpha}h+ b_\alpha^-a_\alpha\sum_{s_\alpha=1}^{N-1}x_\alpha(l-x_\alpha) y_{\bar x_\alpha, s_\alpha}^{(\alpha)}y^{(\alpha)}_{s_\alpha}h-{}
\\
{}
-\sum_{s_\alpha=1}^{N-1}x_\alpha(l-x_\alpha)
\biggl( y^{(\alpha)}_{s_\alpha}\sum^{N}_{i_\alpha=0}\delta_{\alpha, i_\alpha}y_{i_\alpha}^{j+ {\alpha}/{p}}\hbar\biggr)h+
\frac{1}{2} \sum_{s_\alpha=1}^{N-1}x_\alpha(l-x_\alpha)\varphi^2_{(\alpha),s_\alpha}h+M_1\sum_{s_\alpha=1}^{N-1}x_\alpha(l-x_\alpha) (y^{(\alpha)}_{s_\alpha} )^2h. 
\end{multline} \tag{18} \]
Преобразуем первое и второе слагаемые правой части (18):
\[ \begin{multline}
\frac{\varkappa_\alpha a_\alpha}{2}\sum_{s_\alpha=0}^{N-1}x_\alpha ( y^{2} )_{\bar x_\alpha, s_\alpha+1}h-
\frac{\varkappa_\alpha a_\alpha }{2} \sum_{s_\alpha=1}^{N}(l-x_\alpha) (y^{2} )_{\bar x_\alpha, s_\alpha}h= \frac{\varkappa_\alpha a_\alpha}{2}\sum_{s_\alpha=0}^{N-1}x_\alpha (y^{2})_{\bar x_\alpha, s_\alpha+1}h+
\frac{\varkappa_\alpha a_\alpha}{2}\sum_{s_\alpha=1}^{N}x_\alpha (y^{2} )_{\bar x_\alpha, s_\alpha}h-{}
\\
{}-
\frac{\varkappa_\alpha a_\alpha l}{2}\sum_{s_\alpha=1}^{N} (y^{2} )_{\bar x_\alpha, s_\alpha}h= \frac{\varkappa_\alpha a_\alpha}{2}\sum_{s_\alpha=1}^{N}(2x_\alpha-h) (y^{2})_{\bar x_\alpha, s_\alpha}h-
\frac{\varkappa_\alpha a_\alpha l}{2}\sum_{s_\alpha=1}^{N} (y^{2} )_{\bar x_\alpha, s_\alpha}h={}
\\
{}= -\frac{\varkappa_\alpha a_\alpha}{2}\sum_{s_\alpha=0}^{N-1}(2x_\alpha+h)_{\bar x_\alpha, s_\alpha}
(y_{s_\alpha}^{2})h+\frac{\varkappa_\alpha a_\alpha}{2}\sum_{s_\alpha=1}^{N} \bigl((2x_\alpha+h)y^{2}\bigr)_{\bar x_\alpha, s_\alpha}h-
\frac{\varkappa_\alpha a_\alpha l}{2}\sum_{s_\alpha=1}^{N} (y^{2} )_{\bar x_\alpha, s_\alpha}h
\leqslant {}
\\
{} \leqslant 
\frac{\varkappa_\alpha a_\alpha}{2}\sum_{s_\alpha=1}^{N}\bigl((2x_\alpha+h-l)y^{2}\bigr)_{\bar x_\alpha, s_\alpha}h -
\varkappa_\alpha a_\alpha\sum_{s_\alpha=0}^{N} (y_{s_\alpha}^{2} )h  \leqslant 
-\varkappa_\alpha a_\alpha\sum_{s_\alpha=0}^{N} (y_{s_\alpha}^{2} )h+ \varkappa_\alpha a_\alpha l
 (y^{2}_{N}+ y^{2}_{0}).
\end{multline} \tag{19} \]

С учетом граничных условий (2) и (19) из (18) получим
\[ \begin{multline}
\frac{1}{2p} \biggl(\sum_{s_\alpha=1}^{N-1}x_\alpha(l-x_\alpha) (y^{(\alpha)}_{s_\alpha} )^2h\biggr)_{\bar t} 
+ \frac{\varkappa_\alpha a_\alpha}{2}\sum_{s_\alpha=1}^{N-1}x_\alpha(l-x_\alpha) (y_{\bar x_\alpha, s_\alpha})^2 h+
\varkappa_\alpha a_\alpha\sum_{s_\alpha=0}^{N} (y_{s_\alpha}^{2} )h \leqslant{}
\\
{}
\leqslant
b_\alpha^+a_\alpha\sum_{s_\alpha=1}^{N-1}x_\alpha(l-x_\alpha) y_{x_\alpha, s_\alpha}^{(\alpha)}y^{(\alpha)}_{s_\alpha}h+
b_\alpha^-a_\alpha\sum_{s_\alpha=1}^{N-1}x_\alpha(l-x_\alpha) y_{\bar x_\alpha, s_\alpha}^{(\alpha)}y^{(\alpha)}_{s_\alpha}h-{}
\\
{}
-\sum_{s_\alpha=1}^{N-1}x_\alpha(l-x_\alpha)
\biggl( y^{(\alpha)}_{s_\alpha}\sum^{N}_{i_\alpha=0}\delta_{\alpha, i_\alpha}y_{i_\alpha}^{j+ {\alpha}/{p}}\hbar\biggr)h+
M_2 \biggl( \sum_{s_\alpha=1}^{N-1}\varphi^2_{(\alpha),s_\alpha}h +\mu^2_{-\alpha}+ \mu^2_{+\alpha}\biggr). 
\end{multline} \tag{20} \]

Оценим слагаемые правой части (20) с помощью неравенства Коши с $\varepsilon$, тогда получим
\[ \begin{equation}
b_\alpha^+a_\alpha\sum_{s_\alpha=1}^{N-1}x_\alpha(l-x_\alpha) 
y_{x_\alpha, s_\alpha}^{(\alpha)}y^{(\alpha)}_{s_\alpha}h+
b_\alpha^-a_\alpha\sum_{s_\alpha=1}^{N-1}x_\alpha(l-x_\alpha) 
y_{\bar x_\alpha, s_\alpha}^{(\alpha)}y^{(\alpha)}_{s_\alpha}h \leqslant
M_3 \Bigl(\varepsilon \|\rho_\alpha y_{\bar x_\alpha, s_\alpha}]|^2_{L_2(\alpha)}+
\frac{1}{4\varepsilon}\|\rho_\alpha y^{(\alpha)}\|^2_{L_2(\alpha)}\Bigr),
\end{equation} \tag{21} \]
\[ \begin{multline}
-\sum_{s_\alpha=1}^{N-1}x_\alpha(l-x_\alpha)
\biggl( y^{(\alpha)}_{s_\alpha}\sum^{N}_{i_\alpha=0}\delta_{\alpha, i_\alpha}y_{i_\alpha}^{(\alpha)}\hbar\biggr)h
\leqslant \frac{1}{4\varepsilon_1}\sum_{s_\alpha=1}^{N-1}x_\alpha(l-x_\alpha) (y^{(\alpha)}_{s_\alpha})^2h 
+ \varepsilon_1\sum_{s_\alpha=1}^{N-1}x_\alpha(l-x_\alpha)
\biggl( \sum^{N}_{i_\alpha=0}\delta_{\alpha, i_\alpha}y_{i_\alpha}^{(\alpha)}\hbar\biggr)^2h
\leqslant{}
\\
{}\leqslant \frac{1}{4\varepsilon_1}\sum_{s_\alpha=1}^{N-1}x_\alpha(l-x_\alpha)
(y^{(\alpha)}_{s_\alpha})^2h 
+ \varepsilon_1 M_3 \sum_{s_\alpha=1}^{N-1} \biggl(x_\alpha(l-x_\alpha) \sum^{N}_{i_\alpha=0}
( y_{i_\alpha}^{(\alpha)})^2\hbar \biggr) h\leqslant{}
\\
{}
\leqslant \frac{1}{4\varepsilon_1}\sum_{s_\alpha=1}^{N-1}x_\alpha(l-x_\alpha) (y^{(\alpha)}_{s_\alpha})^2h 
+ \varepsilon_1 M_4\sum_{s_\alpha=0}^{N}y_{s_\alpha}^2h
\leqslant \frac{1}{4\varepsilon_1}\|\rho y^{(\alpha)}\|^2_{L_2(\alpha)}+
\varepsilon_1 M_4|[ y^{(\alpha)}]|^2_{L_2(\alpha)},
\end{multline} \tag{22} \]
где $\rho_\alpha=\sqrt{x_\alpha(l-x_\alpha)}$, $\rho_1 = \rho_2 = \dots = \rho_p$.

Учитывая (21), (22), из (20) находим
\[ \begin{multline*}
\frac{1}{2p}
\bigl(\|\rho_\alpha y^{(\alpha)}\|^2_{L_2(\alpha)}\bigr)_{\bar t} + 
M_5\|\rho_\alpha y_{\bar x_\alpha}]|^2_{L_2(\alpha)}+
|[ y^{(\alpha)}]|^2_{L_2(\alpha)} \leqslant \\ \leqslant  \varepsilon M_6\|\rho_\alpha y_{\bar x_\alpha}]|^2_{L_2(\alpha)} +\varepsilon_1 M_4|[ y^{(\alpha)}]|^2_{L_2(\alpha)}+M_7(\varepsilon)\|\rho_\alpha y^{(\alpha)}\|^2_{L_2(\alpha)}
+M_2 \bigl( |[\varphi_{(\alpha)}]|^2_{L_2(\alpha)} +\mu^2_{-\alpha}+ \mu^2_{+\alpha}\bigr),
\end{multline*} \]
где $\|{}\cdot{}\|_{L_2(\alpha)}$ означает, что норма берется по переменной $x_\alpha$ при фиксированных значениях остальных переменных.

Выбирая $\varepsilon = {M_5}/({2M_6})$, $\varepsilon_1 = {1}/({2M_4})$, из последнего получим
\[ \begin{equation}
\frac{1}{p}\bigl(\|\rho_\alpha y^{(\alpha)}\|^2_{L_2(\alpha)}\bigr)_{\bar t} + 
\|\rho_\alpha y_{\bar x_\alpha}]|^2_{L_2(\alpha)}+|[ y^{(\alpha)}]|^2_{L_2(\alpha)} 
\leqslant{}
\\
{}
\leqslant M_8 \|\rho_\alpha y^{(\alpha)}\|^2_{L_2(\alpha)}
+M_9 \bigl( |[\varphi_{(\alpha)}]|^2_{L_2(\alpha)}+\mu^2_{-\alpha}+ \mu^2_{+\alpha}\bigr). 
\end{equation} \tag{23} \]

Подставляя после суммирования по $i_\beta \neq i_\alpha$, $\beta=1, 2,\dots, p$ полученные оценки в тождество (23), получим неравенство
\[ \begin{equation}
\frac{1}{p}\bigl(\|\rho_\alpha y^{(\alpha)}\|^2_{L_2(\omega_h)}\bigr)_{\bar t} + 
\|\rho_\alpha y_{\bar x_\alpha}]|^2_{L_2(\omega_h)}+|[ y^{(\alpha)}]|^2_{L_2(\bar \omega_h)} 
\leqslant
 M_8 \|\rho_\alpha y^{(\alpha)}\|^2_{L_2(\omega_h)} +M_9 \biggl(|[\varphi^{j+{\alpha}/{p}}]|_{L_2(\bar \omega_h)}^2+
\sum_{i_\beta\ne i_\alpha}\bigl(\mu_{-\alpha}^2(t_j)+\mu_{+\alpha}^2(t_j)\bigr)\overline H/\hbar\biggr).
\end{equation} \tag{24} \]
Просуммируем (24) сначала по $\alpha=1, 2, \dots, p$:
\[ \begin{multline*}
\frac{1}{p}\biggl(\sum_{\alpha=1}^{p}\|\rho_\alpha y^{(\alpha)}\|^2_{L_2(\omega_h)} \biggr)_{\bar t} + 
\sum_{\alpha=1}^{p}
\bigl( \|\rho_\alpha y^{j+ {\alpha}/{p}}_{\bar x _\alpha}]|_{L_2(\omega_h)}^2+|[y^{j+ {\alpha}/{p}}]|_{L_2(\bar \omega_h)}^2\bigr) \leqslant  \\ \leqslant M_8 \sum_{\alpha=1}^p\|\rho_\alpha y^{j+ {\alpha}/{p}}\|_{L_2(\omega_h)}^2 +M_9 \sum_{\alpha=1}^p
\biggl(
|[\varphi^{j+{\alpha}/{p}}]|_{L_2(\bar \omega_h)}^2+\sum_{i_\beta\ne i_\alpha}
\bigl(\mu_{-\alpha}^2(t_j)+\mu_{+\alpha}^2(t_j)\bigr)\overline H/\hbar
\biggr),
\end{multline*} \]
а затем, умножая обе части на $\tau$ и суммируя по ${j '}$ от $0$ до $j$, получаем
\[ \begin{multline}
\|\rho_p y^{j+1}\|_{L_2(\omega_h)}^2 + 
\sum_{{j'}=0}^j\tau
\sum_{\alpha=1}^{p} \bigl( \|\rho_\alpha y^{j'+{\alpha}/{p}}_{\bar x _\alpha}]|_{L_2(\omega_h)}^2+
|[y^{j'+{\alpha}/{p}}]|_{L_2(\bar \omega_h)}^2\bigr) 
\leqslant 
M_{10}\sum_{{j'}=0}^j\tau \sum_{\alpha=1}^{p}
\|\rho_\alpha y^{{j'}+ {\alpha}/{p}}\|_{L_2(\omega_h)}^2+ {}
\\
{}+M_{11}\biggl(
|[y^0]|_{L_2(\bar \omega_h)}^2+ \sum_{{j'}=0}^j\tau
\sum_{\alpha=1}^p
\biggl(
|[\varphi^{j'+{\alpha}/{p}}]|_{L_2(\bar \omega_h)}^2+
\sum_{i_\beta\ne i_\alpha}
\bigl(\mu_{-\alpha}^2(t_{j'})+\mu_{+\alpha}^2(t_{j'})\bigr)\overline H/\hbar
\biggr)
\biggr). 
\end{multline} \tag{25} \]

Из (25) имеем
\[ \begin{equation}
\|\rho_p y^{j+1}\|_{L_2(\omega_h)}^2 \leqslant
M_{10}\sum_{{j'}=0}^j\tau 
\sum_{\alpha=1}^{p}\|\rho_\alpha y^{{j'}+ {\alpha}/{p}}\|^2_{L_2(\omega_h)}+
M_{11}F^j,
\end{equation} \tag{26} \]
где 
\[ \begin{equation*}
F^j=\sum\limits_{{j'}=0}^j\tau
\sum\limits_{\alpha=1}^p
\biggl(
|[\varphi^{j'+{\alpha}/{p}}]|_{L_2(\bar \omega_h)}^2+
\sum\limits_{i_\beta\ne i_\alpha}
(\mu_{-\alpha}^2+\mu_{+\alpha}^2)\overline H/\hbar
\biggr)+ |[y^0]|_{L_2(\bar \omega_h)}^2. 
\end{equation*} \]

Покажем, что имеет место неравенство
\[ \begin{equation*}
\max_{1\leqslant\alpha\leqslant p}
\|\rho_\alpha y^{j+ {\alpha}/{p}}\|_{L_2(\omega_h)}^2\leqslant
\nu_1\sum_{{j'}=0}^{j-1}\tau \max_{1\leqslant\alpha\leqslant p}\|\rho_\alpha y^{{j'}+ {\alpha}/{p}}\|_{L_2(\omega_h)}^2+\nu_2F^j,
\end{equation*} \]
где $\nu_1$, $\nu_2 $ — известные положительные постоянные.

Перепишем неравенство (24) в следующем виде:
\[ \begin{equation}
\|\rho_\alpha y^{j+{\alpha}/{p}}\|^2_{L_2(\omega_h)}\leqslant
\|\rho_\alpha y^{j+({\alpha-1})/{p}}\|^2_{L_2(\omega_h)}
+\tau M_{8}\|\rho_\alpha y^{j+{\alpha}/{p}}\|_{L_2(\omega_h)}^2+\tau M_9 \biggl(
|[\varphi^{j+{\alpha}/{p}}]|_{L_2(\bar \omega_h)}^2+
\sum\limits_{i_\beta\ne i_\alpha}
(\mu_{-\alpha}^2+\mu_{+\alpha}^2 )\overline H/\hbar
\biggr).
\end{equation} \tag{27} \]
Просуммируем (27) по $\alpha'$ от 1 до $\alpha$, тогда получим
\[ \begin{equation*}
\sum^{\alpha}_{\alpha'=1}\|\rho_{\alpha'} y^{j+{\alpha'}/{p}}
\|^2_{L_2(\omega_h)}\leqslant \sum^{\alpha}_{\alpha'=1}\|\rho_{\alpha'} y^{j+ ({\alpha'-1})/{p}}\|^2_{L_2(\omega_h)}
+\tau M_8\sum^{\alpha}_{\alpha'=1}\|\rho_{\alpha'} y^{j+{\alpha'}/{p}}\|_{L_2(\omega_h)}^2+{}
\tau M_9 \sum^{\alpha}_{\alpha'=1}
\biggl(|[\varphi^{j+ {\alpha'}/{p}}]|_{L_2(\bar \omega_h)}^2+
\sum\limits_{i_\beta\ne i_{\alpha'}} (\mu_{-\alpha'}^2+\mu_{+\alpha'}^2 )\overline H/\hbar
\biggr).
\end{equation*} \]
Из последнего получаем
\[ \begin{equation}
\|\rho_\alpha y^{j+{\alpha}/{p}}\|^2_{L_2(\omega_h)}\leqslant 
\|\rho_1 y^{j}\|^2_{L_2(\omega_h)}+
\tau M_8\sum^{p}_{\alpha=1}\|\rho_\alpha y^{j+{\alpha}/{p}}\|_{L_2(\omega_h)}^2+
\tau M_9 \sum^{p}_{\alpha=1}
\biggl(|[\varphi^{j+{\alpha}/{p}}]|_{L_2(\bar \omega_h)}^2+
\sum\limits_{i_\beta\ne i_\alpha} (\mu_{-\alpha}^2+\mu_{+\alpha}^2 )\overline H/\hbar\biggr). 
\end{equation} \tag{28} \]

Не нарушая общности, можно считать, что
\[ \begin{equation*}
\max\limits_{1\leqslant\alpha'\leqslant p}\|\rho_{\alpha'} y^{j+ {\alpha'}/{p}}\|^2_{L_2(\omega_h)}=
\|\rho_\alpha y^{j+ {\alpha}/{p}}\|^2_{L_2(\omega_h)},
\end{equation*} \]
в противном случае (27) будем суммировать до такого $\alpha$, при котором $\|\rho_\alpha y^{j+ {\alpha}/{p}}\|^2_{L_2(\omega_h)}$ достигает максимального значения при фиксированном $j$. Тогда (28) перепишем в виде
\[ \begin{equation}
\max\limits_{1\leqslant\alpha\leqslant p}
\|\rho_\alpha y^{j+ {\alpha}/{p}}\|^2_{L_2(\omega_h)}\leqslant 
\|\rho_1 y^{j}\|^2_{L_2(\omega_h)}+ 
p\tau M_8\max\limits_{1\leqslant\alpha\leqslant p}
\|\rho_\alpha y^{j+ {\alpha}/{p}}\|_{L_2(\omega_h)}^2+\tau M_9 \sum^{p}_{\alpha=1}
\biggl(
|[\varphi^{j+{\alpha}/{p}}]|_{L_2(\bar \omega_h)}^2+
\sum\limits_{i_\beta\ne i_\alpha} (\mu_{-\alpha}^2+\mu_{+\alpha}^2 )\overline H/\hbar
\biggr).
\end{equation} \tag{29} \]
Так как из (26) следует, что 
\[ \begin{equation*}
\|\rho_1 y^{j}\|^2_{L_2(\omega_h)}=
\|\rho_p y^{j}\|^2_{L_2(\omega_h)} \leqslant
M_{10}\sum_{{j'}=0}^{j-1}\tau\max\limits_{1\leqslant\alpha\leqslant p}
\|\rho_\alpha y^{{j'}+ {\alpha}/{p}}\|_{L_2( \omega_h)}^2+M_{11}F^j, 
\end{equation*} \]
из (29) имеем 
\[ \begin{equation} 
(1-p\tau M_8)\max\limits_{1\leqslant\alpha\leqslant p}\|\rho_\alpha y^{j+ {\alpha}/{p}}\|^2_{L_2(\omega_h)}\leqslant 
 M_{10}\sum_{{j'}=0}^{j-1}\tau\max\limits_{1\leqslant\alpha\leqslant p}
\|\rho_\alpha y^{{j'}+ {\alpha}/{p}}\|_{L_2( \omega_h)}^2+M_{12}F^j.
\end{equation} \tag{30} \]
Выбирая $\tau\leqslant\tau_0= 1/({2pM_8}) $, из (30) находим 
\[ \begin{equation}
\max\limits_{1\leqslant\alpha\leqslant p}\|\rho_\alpha y^{j+ {\alpha}/{p}}\|^2_{L_2(\omega_h)}\leqslant 
\nu_1\sum_{{j'}=0}^{j-1}\tau\max\limits_{1\leqslant\alpha\leqslant p}
\|\rho_\alpha y^{{j'}+{\alpha}/{p}}\|_{L_2(\omega_h)}^2+\nu_2F^j. 
\end{equation} \tag{31} \]
Введя обозначение $g_{j+1}=\max\limits_{1\leqslant\alpha\leqslant p}\|\rho_\alpha y^{{j}+ {\alpha}/{p}}\|_{L_2(\omega_h)}^2$, соотношение (31) можно переписать в виде
\[ \begin{equation}
g_{j+1}\leqslant \nu_1 \sum_{k=0}^j \tau g_k+\nu_2F^j,
\end{equation} \tag{32} \]
где $\nu_1$, $\nu_2$ — известные положительные постоянные.

Применяя к (32) Лемму 4 [17, стр. 171], из (25) получаем априорную оценку:
\[ \begin{multline}
\|\rho_p y^{j+1}\|_{L_2(\omega_h)}^2 + \sum_{{j '}=0}^j\tau
\sum_{\alpha=1}^{p}\bigl(
\|\rho_\alpha y^{j'+ {\alpha}/{p}}_{\bar x _\alpha}]|_{L_2(\omega_h)}^2
+
|[y^{j'+{\alpha}/{p}}]|_{L_2(\bar \omega_h)}^2
\bigr) \leqslant
 M\biggl(
 \sum_{{j'}=0}^j\tau \sum_{\alpha=1}^p
 |[\varphi^{j'+{\alpha}/{p}}]|_{L_2(\bar \omega_h)}^2+
{}
\\
{}
+\sum_{{j'}=0}^j\tau \sum_{\alpha=1}^p
\sum\limits_{i_\beta\ne i_\alpha} 
\bigl(\mu_{-\alpha}^2(0,x',t_{{j'}})+\mu_{+\alpha}^2(l,x',t_{{j'}})\bigr)
\overline H/\hbar+ |[y^0]|_{L_2(\bar \omega_h)}^2\biggr),
\end{multline} \tag{33} \]
где $M=\rm const>0$ не зависит от $h$ и $\tau$.

Итак, справедлива следующая

Теорема 1. Пусть выполнены условия (4), тогда локально-одномерная схема (7)–(9) устойчива по правой части и начальным данным, так что для решения схемы (7)–(9) при $\tau\leqslant\tau_0$ справедлива оценка (33).

5. Сходимость локально-одномерной схемы

По аналогии с [16, стр. 528] представим решение задачи (10) в виде суммы $z_{(\alpha)}=\upsilon_{(\alpha)}+\eta_{(\alpha)}$, $z_{(\alpha)} =z^{j+{\alpha}/{p}}$; функция $\eta_{(\alpha)}$ определяется условиями
\[ \begin{equation}
\frac{\eta_{(\alpha)}-\eta_{(\alpha-1)}}{\tau}=
\mathring \psi_\alpha,\quad x\in\omega_{h}+\gamma_{h},\; \alpha=1, 2, \dots, p,
\end{equation} \tag{34} \]
\[ \begin{equation*}
\eta(x,0)=0,
\end{equation*} \]
где
\[ \begin{equation*}
\mathring \psi_\alpha=
\begin{cases} 
\mathring \psi_\alpha, & x_\alpha\in \omega_{h},\\
\mathring \psi_{-\alpha}, & x_\alpha=0,\\
\mathring \psi_{+\alpha}, & x_\alpha=l.
\end{cases}
\end{equation*} \]

Из (34) следует, что $\eta^{j+1}=\eta_{(p)}=\eta^j+\tau\bigl(\mathring \psi_1+\mathring \psi_2+ \cdots +\mathring \psi_p\bigr)=\eta^j=\cdots =\eta^0=0$, $j=0, 1,\dots, j_0$, так как $\eta^0=0$.

Тогда для $\eta^{\alpha}$ имеем 
\[ \begin{equation*}
\eta^{\alpha}=\tau \bigl(
\mathring \psi_1+\mathring \psi_2+ \cdots +\mathring \psi_\alpha
\bigr)=-\tau \bigl(
\mathring \psi_{\alpha+1}+ \cdots +\mathring \psi_p\bigr)=O(\tau).
\end{equation*} \]

Функция $\upsilon_{(\alpha)}$ определяется условиями
\[ \begin{equation}
\frac{\upsilon_{(\alpha)}-\upsilon_{(\alpha-1)}}{\tau}=
\tilde\Lambda_\alpha \upsilon_{(\alpha)}+\tilde{\psi}_\alpha,\quad 
x\in\omega _h, \; \alpha=1, 2, \dots, p,
\end{equation} \tag{35} \]
\[ \begin{equation*}
\upsilon_{(\alpha)}=-\eta_\alpha, \quad 
x_\alpha \in \gamma_{h,\alpha}, \; \upsilon(x,0)=0,
\end{equation*} \]
где $\tilde{\psi}_\alpha= \psi^*_\alpha+ \tilde{\Lambda}_\alpha \eta_{(\alpha)}$.

Если существуют непрерывные в замкнутой области $\overline Q_T$ производные $\frac{\partial^4u}{\partial x_\alpha ^2 \partial x_\beta^2}$, $\alpha\neq \beta$, то $\tilde{\Lambda}_\alpha\eta_{(\alpha)}=-\tau \tilde\Lambda_\alpha \bigl( \mathring \psi_{\alpha+1}+ \cdots +\mathring \psi_p\bigr)=O(\tau)$.

Решение задачи (35) оценим с помощью теоремы 1:
\[ \begin{multline}
\|\rho_p \upsilon^{j+1}\|_{L_2(\omega_h)}^2 + \sum_{{j'}=0}^j \tau
\sum_{\alpha=1}^{p}
\bigl( \|\rho_\alpha \upsilon^{j '+ {\alpha}/{p}}_{\bar x _\alpha}]|_{L_2(\omega_h)}^2+
|[\upsilon^{j'+ {\alpha}/{p}}]|_{L_2(\bar \omega_h)}^2\bigr) \leqslant 
\\
\leqslant M \! \sum_{{j'}=0}^j \! \tau \!
\sum_{\alpha=1}^p 
\biggl(
|[\tilde{\psi}^{j'+ {\alpha}/{p}}]|_{L_2(\bar \omega_h)}^2 \!+\!\!
\sum\limits_{i_\beta\ne i_\alpha} \bigl(
\eta_{-\alpha}^2(0,x',t_{{j'}})+\eta_{+\alpha}^2(l,x',t_{{j'}})\bigr) {\overline H}/{\hbar}\bigg).
\end{multline} \tag{36} \]
Так как $\eta^{j+1}=0$, $\eta_{(\alpha)}$, $\eta^{j+ {\alpha}/{p}}_{\bar x _\alpha}=O(\tau)$ и
\[ \begin{multline*}
|[z^{j+1}]|^2_{1}=\|\rho_p z^{j+1}\|_{L_2(\omega_h)}^2 + \sum_{{j'}=0}^j\tau
\sum_{\alpha=1}^{p}\bigl( \|\rho_\alpha z^{j'+ {\alpha}/{p}}_{\bar x _\alpha}]|_{L_2(\omega_h)}^2+
|[z^{j'+{\alpha}/{p}}]|_{L_2(\bar \omega_h)}^2\bigr)= \|\rho_p v^{j+1}+\rho_p \eta^{j+1}\|^2_{L_2(\omega_h)}+ {}
\\
+\sum\limits_{{j'}=0}^j \tau
\sum\limits_{\alpha=1}^p 
\bigl( \|\rho_\alpha v^{j'+{\alpha}/{p}}_{\bar x_{\alpha} }+
\rho_\alpha \eta^{j'+{\alpha}/{p}}_{\bar x_{\alpha} }]|^2_{L_2(\omega_h)}+
|[ v^{j'+{\alpha}/{p}}+ \eta^{j'+{\alpha}/{p}}]|_{L_2(\bar \omega_h)}^2\bigr) 
\leqslant \|\rho_p v^{j+1}\|^2_{L_2(\omega_h)}+ 
2\sum\limits_{{j'}=0}^j \tau \sum\limits_{\alpha=1}^p
\bigl( \|\rho_\alpha v^{j'+{\alpha}/{p}}_{\bar x_{\alpha} }]|^2_{L_2(\omega_h)}+ {}
\\
{}+\|\rho_\alpha \eta^{j'+{\alpha}/{p}}_{\bar x_{\alpha} }]|^2_{L_2(\omega_h)}+
|[ v^{j'+{\alpha}/{p}}]|_{L_2(\bar \omega_h)}^2+
|[ \eta^{j'+\frac{\alpha}{p}}]|_{L_2(\bar \omega_h)}^2\bigl)\leqslant
2\biggl(
|[\upsilon^{j+1}]|^2_1+ \sum\limits_{{j'}=0}^j
\tau
\sum\limits_{\alpha=1}^{p} 
\bigl( \|\eta^{{j'}+{\alpha}/{p}}_{\bar x _\alpha}]|_{L_2(\omega_h)}^2+
|[\eta^{j'+{\alpha}/{p}}]|_{L_2(\bar \omega_h)}^2\bigr) 
\biggr).
\end{multline*} \]

Тогда из оценки (36) следует теорема

Теорема 2. Пусть задача (1)–(3) имеет единственное непрерывное в $\overline Q_T$ решение $u(x,t)$ и существуют непрерывные в $\overline Q_{T}$ производные
\[ \begin{equation*}
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}, \; 
\frac{\partial^4 u}{\partial x^2_\alpha \partial x_\beta^2}, \; 
\frac{\partial^3 u}{\partial x^2_\alpha \partial t}, \; 
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2_\alpha},\quad
\alpha=1, 2, \dots, p,\; \alpha\ne \beta,
\end{equation*} \]
и выполнены условия гладкости и ограниченности (4), тогда локально-одномерная схема (7)–(9) сходится к решению дифференциальной задачи (1)–(3) со скоростью $O(h^2+\tau)$, так что при достаточно малом $\tau$ имеет место оценка
\[ \begin{equation*}
|[y^{j+1}-u^{j+1}]|_1 \leqslant M ( h^2+\tau ), \quad 0<\tau\leqslant\tau_0,
\end{equation*} \]
где 
\[ \begin{equation*}
|[z^{j+1}]|_1=
\biggl(
\|\rho_p z^{j+1}\|_{L_2(\omega_h)}^2 + 
\sum\limits_{{j'}=0}^j \!\tau\! \sum\limits_{\alpha=1}^{p}
\bigl( 
\|\rho_\alpha z^{j'+{\alpha}/{p}}_{\bar x _\alpha}]|_{L_2(\omega_h)}^2+
|[z^{j'+{\alpha}/{p}}]|_{L_2(\bar \omega_h)}^2
\bigr)
\biggr)^{1/2}.
\end{equation*} \]

6. Алгоритм численного решения задачи (1)–(3)

Перепишем задачу (1)–(3) при $0\leqslant x_\alpha \leqslant l$, $\alpha=2$, $p=2$; тогда получим
\[ \begin{multline}
\frac{\partial u}{\partial t}= 
\frac{\partial }{\partial x_1} 
\Bigl(k_1(t)\frac{\partial u}{\partial x_1}\Bigr)+
\frac{\partial }{\partial x_2} 
\Bigl(k_2(t)\frac{\partial u}{\partial x_2}\Bigr)+
r_1(t)\frac{\partial u }{\partial x_1} +
r_2(t)\frac{\partial u }{\partial x_2}- {}
\\
{}
-q_1(x_1,x_2,t)u-
q_2(x_1,x_2,t)u 
- \int^l_0H_1(x_1,x_2,t)udx_1 - \int^l_0H_2(x_1,x_2,t)udx_2 + f(x_1,x_2,t),
\end{multline} \tag{37} \]
\[ \begin{equation}
\begin{cases}
u(0,x_2,t)=\mu_{11}(x_2,t), & u(l,x_2,t)=\mu_{12}(x_2,t),\\
u(x_1,0,t)=\mu_{21}(x_1,t), & u(x_1,l,t)=\mu_{22}(x_1,t),
\end{cases}
\end{equation} \tag{38} \]
\[ \begin{equation}
    u(x_1,x_2,0)=u_0(x_1,x_2).
\end{equation} \tag{39} \]

Для решения задачи (37)–(39) рассмотрим сетку $x_\alpha^{(i_\alpha)}=i_\alpha h$, $\alpha=1, 2$, $t_j=j\tau$, где $i_\alpha=0, 1,\dots ,N$, $h=l/N$, $j=0, 1,\dots, j_0$, $\tau=T/j_0$. Введем дробный шаг $t_{j+ {1}/{2}}=t_j+ \tau/2$ и обозначим сеточную функцию
\[ \begin{equation*}
y_{i_1,i_2}^{j+ {s}/{2}}=y^{j+ {s}/{2}}=y(i_1 h, i_2h, (j+ s/2)\tau),
\quad 
s=0, 1, \; j=0, 1, 2, \dots, j_0.
\end{equation*} \]

Запишем локально-одномерную схему
\[ \begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{y^{j+ {1}/{2}}-y^j}{\tau}=\tilde\Lambda_1y^{j+ {1}/{2}}+\varphi_1,\\
\dfrac{y^{j+1}-y^{j+ {1}/{2}}}{\tau}=\tilde\Lambda_2y^{j+1}+\varphi_2,
\end{cases}
\end{equation} \tag{40} \]
\[ \begin{equation}
\begin{cases}
y_{0,i_2}^{j+ {1}/{2}}=\mu_{11}(i_2h,t_{j+ {1}/{2}}), & 
y_{N,i_2}^{j+ {1}/{2}}=\mu_{12}(i_2h,t_{j+ {1}/{2}}),\\
y_{i_1,0}^{j+1}=\mu_{21}(i_1h,t_{j+1}), &
y_{i_1,N}^{j+1}=\mu_{22}(i_1h,t_{j+1}),
\end{cases}
\end{equation} \tag{41} \]
\[ \begin{equation}
y^0_{i_1,i_2}=u_0(i_1h,i_2,h),
\end{equation} \tag{42} \]
\[ \begin{equation*}
\tilde\Lambda_\alpha y^{j+ {\alpha}/{2}}=
\varkappa_\alpha a_\alpha y_{\bar x_\alpha x_\alpha}^{j+ {\alpha}/{2}}+ b_\alpha^{+}a_\alpha y_{x_\alpha}^{j+ {\alpha}/{2}}+b_\alpha^{-}a_\alpha y_{\bar x_\alpha}^{j+ {\alpha}/{2}}
-d_\alpha y^{j+ {\alpha}/{2}}-\sum^{N}_{i_\alpha=0}\delta_{\alpha, i_\alpha}y_{i_\alpha}^{j+ ({\alpha-1})/{2}}\hbar,
\end{equation*} \]
$\varphi_\alpha=\frac{1}{2}f(x_1,x_2,t_{j+ \alpha/2})$ или $\varphi_1=0$, $\varphi_2=f(x_1,x_2,t_{j+1})$, $\alpha=1, 2$.

Приведем расчетные формулы для решения задачи (40)–(42).

На первом этапе находим решение $y_{i_1,i_2}^{j+ {1}/{2}}$. Для этого при каждом значении $i_2=\overline{1,N-1}$ решается следующая задача:
\[ \begin{equation}
A_{1{(i_1,i_2)}}y_{i_1-1,i_2}^{j+ {1}/{2}}-C_{1{(i_1,i_2)}}y_{i_1,i_2}^{j+ {1}/{2}}+B_{1{(i_1,i_2)}}y_{i_1+1,i_2}^{j+ {1}/{2}}=-F_{1{(i_1,i_2)}}^{j+ {1}/{2}},\quad 
0<i_1<N;
\end{equation} \tag{43} \]
\[ \begin{equation*}
y_{0,i_2}^{j+ {1}/{2}}=\mu_{11}(i_2h,t_{j+ {1}/{2}}),\quad
y_{N,i_2}^{j+ {1}/{2}}=\mu_{12}(i_2h,t_{j+ {1}/{2}}),
\end{equation*} \]
где
\[ \begin{equation*}
A_{1(i_1,i_2)}=\frac{\varkappa_1 a_1 }{h^2}- \frac{b_{1}^- a_1}{h},
\quad 
B_{1(i_1,i_2)}=\frac{\varkappa_1 a_1}{h^2}+\frac{b_{1}^+ a_1 }{h},
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
C_{1(i_1,i_2)}=A_{1(i_1,i_2)}+B_{1(i_1,i_2)}+\frac{1}{\tau}+\frac{1}{p}(d_1)_{i_1,i_2},
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
F_{1(i_1,i_2)}^{j+{1}/{2}}=\frac{1}{\tau}y_{i_1,i_2}^j+{\varphi_1}_{(i_1,i_2)}- \sum^{N}_{i_1=0}\delta_{1, i_1}y_{i_1}^{j}\hbar.
\end{equation*} \]

На втором этапе находим решение $y_{i_1,i_2}^{j+1}$. Для этого, как и в первом случае, при каждом значении $i_1=\overline{1,N-1}$ решается задача
\[ \begin{equation}
A_{2{(i_1,i_2)}}y_{i_1,i_2-1}^{j+1}-C_{2{(i_1,i_2)}}y_{i_1,i_2}^{j+1}+B_{2{(i_1,i_2)}}y_{i_1,i_2+1}^{j+1}=-F_{2{(i_1,i_2)}}^{j+1},\quad 0<i_2<N;
\end{equation} \tag{44} \]
\[ \begin{equation*}
y_{i_1,0}^{j+1}=\mu_{21}(i_1h,t_{j+1}),\quad 
y_{i_1,N}^{j+1}=\mu_{22}(i_1h,t_{j+1}),
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
A_{2{(i_1,i_2)}}=\frac{\varkappa_2 a_2 }{h^2}- \frac{b_{2}^- a_2}{h},
\quad
B_{2{(i_1,i_2)}}=\frac{\varkappa_2 a_2}{h^2}+\frac{b_{2}^+ a_2}{h},
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
C_{2(i_1,i_2)}=A_{2(i_1,i_2)}+B_{2(i_1,i_2)}+\frac{1}{\tau}+\frac{1}{p}(d_2)_{i_1,i_2},
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
F_{2(i_1,i_2)}^{j+1}=\frac{1}{\tau}y_{i_1,i_2}^{j+ {1}/{2}}+{\varphi_2}_{(i_1,i_2)}-\sum^{N}_{i_2=0}\delta_{2, i_2}y_{i_2}^{j+ {1}/{2}}\hbar.
\end{equation*} \]

Каждая из задач (43), (44) решается методом прогонки [17].

7. Тестовая задача и численные результаты

Коэффициенты уравнения и граничных условий исходной дифференциальной задачи (1)–(3) подбираются таким образом, чтобы точным решением при $p=2$ была функция $u(x,t)=t^3(x_1^4+x_2^4)$.

Ниже в табл. 1, 2 при уменьшении размера сетки приведены максимальное значение погрешности ($z=y-u$) и вычислительный порядок
сходимости (ВПС) в нормах $\|{}\cdot{}\|_{L_2(w_{h\tau})}$ и $\|{}\cdot{}\|_{C(w_{h\tau})}$, где $\|y\|_{C(w_{h\tau})}=\max\limits_{(x_i,t_j)\in w_{h\tau}}|y|$, когда $\bar h=h_1=h_2=\sqrt{\tau}$. Погрешность уменьшается в соответствии с порядком аппроксимации $O(h^2+(\sqrt{\tau})^2)$.

Вычислительный порядок сходимости определяется по следующей формуле: 
\[ \begin{equation*}
\text{ВПС}=\log_{{\bar h_1}/{\bar h_2}}\frac{\|z_1\|}{\|z_2\|}=\log_{2}\frac{\|z_1\|}{\|z_2\|},
\end{equation*} \]
где $z_i$ — это погрешность, соответствующая $\bar h_i$, $i =1, 2$.

Таблица 1. Изменение погрешности в норме $\|{}\cdot{}\|_{L_2(\bar w_{h\tau})}$ при уменьшении размера сетки на $t=1$, когда} $\bar h=h_1=h_2=\sqrt{\tau}$
[The maximum error value $(z=y-u)$ and the computational order of convergence (CO) in the norm $\|{}\cdot{}\|_{L_2(\bar w_{h\tau})}$ when the grid size is reduced by $t=1$, if $\bar h=h_1=h_2=\sqrt{\tau}$]

$\bar h$	$\max\limits_{0<j<m}\|z^j\|_{L_2(\bar w_{h\tau})}$	CO in $\|\cdot\|_{L_2(\bar w_{h\tau})}$
1/20	0.054709570
1/40	0.016029049	1.7711
1/80	0.004208141	1.9294
1/160	0.001067429	1.9790
1/320	0.000267991	1.9939

Таблица 2. Изменение погрешности в норме $\|\cdot\|_{C(\bar w_{h\tau})}$ при уменьшении размера сетки на $t=1$, когда $\bar h=h_1=h_2=\sqrt{\tau}$
[The maximum error value $(z=y-u)$ and the computational order of convergence (CO) in the norm $\|{}\cdot{}\|_{C(\bar w_{h\tau})}$ when the grid size is reduced by $t=1$, if 
$\bar h=h_1=h_2=\sqrt{\tau}$]

$\bar h$	$\|z\|_{C(\bar w_{h\tau})}$	CO in $\|\cdot\|_{C(\bar w_{h\tau})}$
1/20	0.160732965
1/40	0.046564855	1.7874
1/80	0.011943380	1.9630
1/160	0.003001901	1.9923
1/320	0.000751465	1.9981

Заключение

В работе рассматривается краевая задача для многомерного интегро-дифференциального уравнения конвекции-диффузии с неоднородными граничными условиями первого рода. Для приближенного решения поставленной задачи предложена локально-одномерная схема А. А. Самарского с порядком аппроксимации $O(h^2+\tau)$. Исследование единственности и устойчивости решения проводится с помощью метода энергетических неравенств. Получены априорные оценки решения локально-одномерной разностной схемы, откуда следуют единственность решения, непрерывная и равномерная зависимость решения от входных данных, а также сходимость решения схемы к решению исходной дифференциальной задачи со скоростью, равной порядку аппроксимации разностной схемы. Для двумерной задачи построен алгоритм численного решения, проведены численные расчеты тестовых примеров, иллюстрирующие полученные в работе теоретические результаты.

Конкурирующие интересы. Конкурирующих интересов не имею.
Авторская ответственность. Я несу полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною одобрена.
Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.

About the authors

Zaryana V. Beshtokova

Institute of Applied Mathematics and Automation, Kabardino-Balkarian Scientific Center of RAS

Author for correspondence.
Email: zarabaeva@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0001-8020-4406
https://orcid.org/0000-0001-8020-4406

Junior Researcher, Dept. of Computational Methods

Russian Federation, 360000, Nalchik, Shortanov str., 89a

References

Supplementary files