Inverse problem for an equation of mixed parabolic-hyperbolic type with a characteristic line of change

Full Text

Постановка задачи

Пусть $\Omega_{lT} $ — область на плоскости $(x, y)$, состоящая из объедения двух подобластей, т.е. $\Omega_{lT}=\Omega_{1lT}\cup \Omega_{2l}$, где $\Omega_{1lT} =\bigl\{(x, y): 0<x< l,  0<y\leqslant T \bigr\}$, $\Omega_{2l}=\bigl\{(x, y): -y<x\leqslant y+l, { - {l}/{2}< y<0} \bigr\}$; $l$, $T$ — фиксированные положительные числа. В этой области  рассмотрим уравнение смешанного параболо-гиперболического типа:
\[ \begin{equation}
\frac{\partial^2u}{\partial x^2}-\frac{1-\operatorname{sign} y}{2}\frac{\partial^2u}{\partial y^2}-
\frac{1+\operatorname{sign} y}{2}\frac{\partial u}{\partial y}-
\frac{1+\operatorname{sign} y}{2}q(x)u(x, y)=0.
\end{equation} \tag{1} \]
Для уравнения (1) линия изменения типа $y=0$ является характеристикой (линией параболического вырождения второго рода [1, стр. 258]).

Прямая задача. В области $\Omega_{lT}$ найти решение уравнения (1), удовлетворяющее следующим граничным условиям:
\[ \begin{equation}
u\bigr|_{x=0}=\varphi_1(y), \quad u\bigr|_{x=l}=\varphi_2(y), \quad y\in [0{,} T], 
\end{equation} \tag{2} \]
\[ \begin{equation}
u\bigr|_{y=-x}=\psi(x), \quad x\in [0{,} {l}/{2}], 
\end{equation} \tag{3} \]
где $\varphi_1(y)$, $\varphi_2(y)$, $\psi(x)$ — заданные функции.

Под классическим решением прямой задачи (1)–(3) понимается функция $u(x, y)$ из класса $C(\overline{\Omega_{lT}})\cap C^1(\Omega_{lT})\cap C^{1,2}_{x,y} (\Omega_{1lT})\cap C^2(\Omega_{2l})$, которая удовлетворяет уравнению (1) и условиям (2), (3).

В обратной задаче требуется определить переменный коэффициент $q(x)\in C[0{,} l]$ уравнения (1), если относительно решения прямой задачи (1)–(3) задано следующее дополнительное условие:
\[ \begin{equation}
\int_{0}^T h(y)u(x,y)dy=f(x), \quad x\in [0{,} l], 
\end{equation} \tag{4} \]
где $h(y)$, $f(x)$ — заданные достаточно гладкие функции.

Уравнения смешанного параболо-гиперболического типа возникают при математическом моделировании различных процессов из области естествознания, например, при изучении движения газа или малосжимаемой жидкости в канале, окруженном пористой средой — в канале газодинамическое давление жидкости или газа удовлетворяет волновому уравнению, а в пористой среде описывается уравнением диффузии. Математическое исследование напряженности электромагнитного поля в неоднородной среде, состоящей из диэлектрика и проводящей среды, приводит к системе, состоящей из волнового уравнения и уравнения теплопроводности. Многие задачи теплообмена в средах с различным временем релаксации и массообмена в капиллярно-пористых средах также сводятся к задачам для смешанных параболо-гиперболических уравнений. C математическими моделями таких процессов можно ознакомиться в работах [2–5].

Впервые аналог задачи Трикоми для параболо-гиперболического уравнения был исследован в работе [6]. Методы исследования прямых и обратных задач, связанных с поиском решения начально-краевой задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа и неизвестной правой части этого уравнения в прямоугольной области, были предложены в монографии [7] (см. также работы [8–13]). Широкий класс прямых начально-краевых и обратных задач для вырождающихся уравнений смешанного параболо-гиперболического типа исследован в работах [14–17]. В работе [18] такие задачи изучены для уравнений смешанного типа с дробными производными по времени в параболической части уравнения.

Отметим, что обратные задачи для уравнений смешанного типа не так хорошо изучены, как аналогичные задачи для классических уравнений. Обратные задачи определения переменных коэффициентов и правых частей отдельных параболических уравнений второго порядка исследовались в работах [19–21] (см. также монографии [22, 23]). В работах [24–27] рассматривались задачи восстановления сверточного ядра в параболических уравнениях, описывающих явления запаздывания. В монографиях [28–31] (см. также обширную библиографию в них) можно ознакомиться с различными обратными задачами для уравнений гиперболического типа второго порядка.

Настоящая статья продолжает исследования работы [32], в которой изучена однозначная разрешимость обратной задачи определения переменного коэффициента при младшем члене гиперболического уравнения для смешанного параболо-гиперболического уравнения с нехарактеристической линией изменения типа.

Всюду в данной работе относительно заданных функций будем предполагать выполненными следующие условия:
(B1) $\varphi_1(y)$, $\varphi_2(y)\in C^1[0{,} T]$; $\psi(x)\in C^2 [0{,} {l}/{2}]$;
(B2) $\varphi_1(0)=\varphi_2(0)=\psi(0)=0$;
(B3) $h(y)\in C^1[0{,} T]$; $h(0)=h(T)=0$; $f(x)\in C^2[0{,} l]$; $\displaystyle \int_{0}^Th(y)\varphi_1(y)dy=f(0)$, $\displaystyle \int_{0}^Th(y)\varphi_2(y)dy=f(l)$, $f(x)\neq0$ для всех $x\in [0{,} l]$.

Исследование прямой задачи

Предположим, что функция $q(x)$ известна.

Теорема 1. Пусть выполнены условия (B1), (B2), $q(x)\in C\left[0{,} l\right]$ и
\[ \begin{equation}
l \|q\|_{C[0{,} l]}<1. 
\end{equation} \tag{5} \]
Тогда в области $\Omega_{lT}$ существует единственное решение прямой задачи (1)–(3).

Доказательство. Введем обозначения $\tau(x):=u(x,0)$, $ \nu(x)=\frac{\partial}{\partial y} u(x,0)$. Тогда в силу однозначной разрешимости задачи Коши для волнового уравнения решение уравнения (1) в области $\Omega_{2l}$ может быть выписано по формуле Даламбера:
\[ \begin{equation}
u(x,y)=\frac{1}{2}[\tau(x+y)+\tau(x-y)]-\frac{1}{2}\int_{x+y}^{x-y} \nu (s)ds. 
\end{equation} \tag{6} \]

С учетом равенства (3) и условий (B2) из последнего соотношения следует, что
\[ \begin{equation}
\tau(x)=2\psi\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)+\int _0^x \nu(s)ds, \quad x\in[0{,} l]. 
\end{equation} \tag{7} \]
Дифференцируя это равенство, имеем
\[ \begin{equation}
\tau'(x)=\psi'\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)+ \nu(x), \quad x\in[0{,}l]. 
\end{equation} \tag{8} \]

Равенства (6) и (7) можно условно назвать основными соотношениями для $\tau(x)$ и $\nu(x)$, полученными из гиперболической части области.

Известно [1, стр. 197], что функция Грина первой начально-краевой задачи для уравнения $u_{xx}-u_y=0$, $x\in(0{,} l)$, $y>0$ имеет вид
\[ \begin{equation*}
G(x, \xi,y)
=\frac{1}{2\sqrt{\pi y}}\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}
\Biggl[ \exp\Bigl(-\frac{(x-\xi+2n)^2}{4y}\Bigr)-\exp\Bigl(-\frac{(x+\xi+2n)^2}{4y}\Bigr)\Biggr].
\end{equation*} \]
Используя это представление, решение (1) в области $\Omega_{1lT}$ с условиями (2) запишем в виде интегрального уравнения
\[ \begin{equation}
u(x, y)=\int _{0}^lG(x, \xi, y)\tau(\xi)d\xi+\int _{0}^yG_{\xi}(x, 0, y-\eta)\varphi_1(\eta)d\eta
- \int_{0}^yG_{\xi}(x, l, y-\eta)\varphi_2(\eta)d\eta 
- \int_{0}^y\int_{0}^lG(x, \xi, y-\eta)q(\xi)u(\xi, \eta)d\xi d\eta. 
\end{equation} \tag{9} \]
Продифференцируем (9) по $y$, учитывая формулу $\lim\limits_{\eta\to y}G(x,\xi, y-\eta)=\delta({x-\xi})$, где $\delta({}\cdot{})$ — дельта-функция Дирака. Полагая в получающемся уравнении ${y=0}$, учитывая, что $u_y(x, 0)=\nu(x)$, и используя соотношение
\[ \begin{equation*}
\int_{0}^lG_y(x, \xi, y)\tau(\xi)d\xi=\int _{0}^lG(x, \xi, y)\tau''(\xi)d\xi,
\end{equation*} \]
которое может быть получено на основе равенств $G_y(x, \xi, y)=G_{\xi\xi}(x, \xi, y)$, $\tau(0)=\tau(l)$ (следствие соотношений (B1)), интегрированием по частям с использованием свойств функции $G(x, \xi, y)$ [33, стр. 32–52] получим
\[ \begin{equation}
\nu(x)=\tau''(x)-q(x)\tau(x). 
\end{equation} \tag{10} \]

Сопоставляя (8) и (10), находим обыкновенное дифференциальное уравнение для определения неизвестной $\tau(x)$
\[ \begin{equation}
\tau''(x)-\tau'(x)-q(x)\tau(x)=-\psi'\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr),\quad x\in(0, l) 
\end{equation} \tag{11} \]
с краевыми условиями
\[ \begin{equation}
\tau(0)=0, \quad \tau(l)=0. 
\end{equation} \tag{12} \]

Задача (11), (12) эквивалентна интегральному уравнению
\[ \begin{equation}
\tau(x)=\tau_0(x)+\int_{0}^lK(x, t)q(t)\tau(t)dt, 
\end{equation} \tag{13} \]
где
\[ \begin{equation*}
\tau_0(x)=-\int_{0}^lK(x, t)\psi'\Bigl(\frac{t}{2}\Bigr)dt, 
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
K(x, t) = \frac{1}{e^l-1}
 \begin{cases}
(e^x-1 ) (1-e^{l-x} ), & 0\leqslant x\leqslant t,
\\
(e^x-e^l) (1-e^{-t}), & t\leqslant x\leqslant l.
 \end{cases}
\end{equation*} \]
Задача (11), (12) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда однородное уравнение, соответствующее (11) с однородными граничными условиями (12), имеет только нулевое решение [34, стр. 225–240]. Это эквивалентно тому, что однородное интегральное уравнение, соответствующее (13), имеет только нулевое решение.

Лемма. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда уравнение (13) с ${\tau_0(x)=0}$ имеет только тривиальное решение.

Доказательство. Введем обозначение
\[ \begin{equation*}
\Lambda \bigl(\tau(x)\bigr):=\int_{0}^lK(x, t)q(t)\tau(t)dt. 
\end{equation*} \]
Тогда уравнение (13) с $\tau_0(x)=0$ может быть переписано в виде операторного уравнения
\[ \begin{equation}
\tau(x)=\Lambda\bigl(\tau(x)\bigr). 
\end{equation} \tag{14} \]

Очевидно, что оператор $\Lambda$ непрерывен в классе функций $C[0{,} l]$.

Покажем, что $\Lambda$ является оператором сжатия в $C[0{,} l]$. Поскольку 
\[ \begin{equation*}
\max\limits_{0\leqslant x, t\leqslant l} |K(x, t) |\leqslant 1,
\end{equation*} \]
легко видеть, что неравенство
\[ \begin{equation*}
\|\Lambda (\tau_1 )-\Lambda (\tau_2 ) \|_{C[0{,} l]}\leqslant l\|q\|_{C[0{,} l]}\|\tau_1-\tau_2\|_{C[0{,} l]}
\end{equation*} \]
выполняется для любых функций $\tau_1(x)$, $\tau_2(x)\in C[0{,} l]$. Отсюда с учетом (5) следует, что оператор $\Lambda$ является сжимающим в $C[0{,} l]$. Следовательно, оператор $\Lambda$ имеет единственную неподвижную точку в пространстве $C[0{,} l]$. Так как $\tau(x)=0$ является решением уравнение (14), оно единственно. Лемма доказана. $\square$

После того как найдем функцию $\tau(x)$, запишем (6) с учетом (8) в виде
\[ \begin{equation*}
u(x,y)=\frac{1}{2}[\tau(x+y)+\tau(x-y)]-
\frac{1}{2}\int_{x+y}^{x-y} \Bigl[\tau'(s)-\psi'\Bigl(\frac{s}{2}\Bigr)\Bigr]ds
=\tau(x+y)+\psi\Bigl(\frac{x-t}{2}\Bigr)-\psi\Bigl(\frac{x+t}{2}\Bigr). 
\end{equation*} \]

Отсюда ясно, что при выполнении условий (B1) (касательно $\psi$) имеем $u(x, y)\in C^2 (\Omega_{2l} )$.

Заметим также, что уравнение (9) на основе условий, наложенных на $\varphi_1$, $\varphi_2$ в (B1), определяет функцию $u(x, y)\in C^{1,2}_{x,y} (\Omega_{1lT})$, т.е. решение задачи (1), (2) в области $\Omega_{1lT}$.

Таким образом, построенные функции в $\Omega_{1lT}$ и $\Omega_{2l}$ в совокупности являются классическим решением прямой задачи (1)–(3) в области $\Omega_{lT}$. Теорема 1 доказана. $\square$

Замечание 1. На самом деле, используя принцип максимума, можно доказать единственность решения прямой задачи. При этом условие (5) можно ослабить, заменив его на $q(x)\geqslant 0$ (см. [7, стр. 15–17]). 

Исследование обратной задачи

Пусть выполнены условия (B3). Умножая уравнение (1) в области  $\Omega_{1lT}$ на функцию $h(y)$, интегрируя полученное по отрезку $[0{,} T]$ и учитывая (4), находим
\[ \begin{equation}
q(x)=\frac{f''(x)}{f(x)}+\frac{1}{f(x)} \int_0^Th'(y) u(x,y)dy, \quad x\in[0{,} l]. 
\end{equation} \tag{15} \]
Теперь с помощью этой формулы исключим функцию $q(x)$ из (9), (13) и запишем эти уравнения в операторно-векторном виде:
\[ \begin{equation}
v(x, y)=U[v](x, y), \quad (x, y)\in \overline{\Omega}_{1lT}, 
\end{equation} \tag{16} \]
где
\[ \begin{equation*}
v(x,y)=[v_1(x,y), \, v_2(x)]^*:=\biggl[
u(x,y)-\int_0^lG(x, \xi, y)\tau(\xi)d\xi, \; \; \tau(x)\biggr]^*,
\end{equation*} \]
$*$ — знак транспонирования, а компоненты оператора $U=[U_1, \, U_2]^*$ определяются равенствами
\[ \begin{equation}
U_1v(x,y)=v_{01}(x,y)- \int _0^y \int_0^lG(x, \xi, y) \biggl[
\frac{f''(\xi)}{f(\xi)}+\frac{1}{f(\xi)}\int _0^Th'(s)v_1(\xi,s)ds\biggr] \cdot
\biggl[v_1(\xi,\eta)+ \int _0^l G(\xi, s,\eta)v_2(s)ds\biggr] d\xi d\eta, 
\end{equation} \tag{17} \]
\[ \begin{equation}
U_2v(x)=v_{02}(x)+\int_{0}^lK(x, \xi)\biggl[
\frac{f''(\xi)}{f(\xi)}+\frac{1}{f(\xi)}\int _0^Th'(s)v_1(\xi,s)ds\biggr]v_2(\xi)d\xi, 
\end{equation} \tag{18} \]
где в (17) и (18) через $v_{01}$ и $v_{02}$ обозначены свободные от неизвестных члены интегральных уравнений:
\[ \begin{equation*}
v_{01}(x,y):=\int_{0}^yG_{\xi}(x, 0, y-\eta)\varphi_1(\eta)d\eta-\int_{0}^yG_{\xi}(x, l, y-\eta)\varphi_2(\eta)d\eta,
\;\;
v_{02}(x):=\tau_0(x).
\end{equation*} \]

Основным результатом настоящего раздела является следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть выполнены условия (B1), (B2) и (B3). Тогда существуют числа $l^*\in (0, l)$, $T^*\in (0, T)$ такие, что в области $\bar{\Omega}_{1l^*T^*}$ уравнение (16) имеет единственное решение $u(x,y)\in C(\bar{\Omega}_{1l^*T^*})$, $\tau(x)\in C[0{,} l^*]$.

Доказательство. Обратимся к уравнению (16). Очевидно, что оператор $U$ переводит функции $v(x, y)\in C (\overline{\Omega}_{1lT} )$ в функции, также принадлежащие пространству $C(\overline{\Omega}_{1lT})$. Определим в $C(\overline{\Omega}_{1lT})$ следующую норму:
\[ \begin{equation*}
\|v \|_{lT}=\max\Bigl\{\max\limits_{ (x, y)\in\overline{\Omega}_{1lT}} |v_1(x, y) |, \, 
\max\limits_{x\in[0{,} l]} |v_2(x) |\Bigr\}.
\end{equation*} \]

Для сокращения записей введем обозначения
\[ \begin{equation*}
f_0:=\min\limits_{x\in [0{,} l]} |f(x) |, \quad 
f_1:=\max\limits_{x\in [0{,} l]} |f''(x) |, \quad 
h_0:= \max\limits_{x\in [0{,} T]} |h'(y) |.
\end{equation*} \]

Покажем теперь, что при достаточно малых $l$ и $T$ оператор $U$ осуществляет сжатое отображение шара
\[ \begin{equation*}
S (v_0, r):=\bigl\{v: \|v-v_0 \|_{lT}\leqslant r\bigr\}\subset C (\overline{\Omega}_{1lT})
\end{equation*} \]
радиуса $r$ ($r$ — известное число) с центром в точке $v_0(x, y)= \bigl(v_{01}(x,y), v_{02}(x)\bigr)$ на себя и является сжатием. Тем самым мы покажем, что уравнение (16) имеет в области $\overline{\Omega}_{1T}$ единственное непрерывное решение, удовлетворяющее неравенству $\|v-v_0\|_{lT}\leqslant r$.

Очевидно, что для элементов $v\in S(v_0, r)$ имеет место оценка
\[ \begin{equation*}
\|v \|_{lT}\leqslant \|v_0 \|_{lT}+r=:R,
\end{equation*} \]
где
\[ \begin{equation*}
\|v_0 \|_{lT}=\max\Bigl\{\max\limits_{(x, y)\in\overline{\Omega}_{1lT}} |v_{01}(x, y) |, \ 
\max\limits_{x\in[0{,} l]} |v_{02}(x) |\Bigr\}.
\end{equation*} \]
Пусть
\[ \begin{equation*}
T_1:=\frac{1}{Rh_0}\Bigl(\frac{f_0}{l}-f_1\Bigr), \quad
T_2:=\frac{1}{2Rh_0}\bigl[(f_1^2+2Rf_0h_0)^{1/2}-f_1\bigr], \quad 
l^*=\frac{f_0}{f_1}.
\end{equation*} \]

Оценим $\left\|v_0\right\|_{lT}$. Для этого получим оценки интегралов, в которых присутствуют функции $G$, $G_{\xi}$ в определениях компонент вектор-функции $v_0(x, y)$. Будем использовать равенство
\[ \begin{equation*}
\int_0^lG_(x,\xi,y)d\xi=1,
\end{equation*} \]
вытекающее из определения функции $G$. Заметим, что $G$ имеет эквивалентное выражение [33, стр. 200–204]:
\[ \begin{equation*}
G(x, \xi,y)=\frac{2}{l}\sum\limits_{n=1}^{\infty}
\exp\Bigl[-\Bigl(\frac{n\pi}{l}\Bigr)^2y\Bigr]
\sin \frac{n\pi x}{2} \sin \frac{n\pi \xi}{2}.
\end{equation*} \]
С учетом этого выражения имеем равенство
\[ \begin{equation*}
G_{\xi}(x, 0,y-\eta)=\frac{2}{l}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\exp\Bigl[-\Bigl(\frac{n\pi}{l}\Bigr)^2(y-\eta)\Bigr]\frac{n\pi}{l}\sin \frac{n\pi x}{l}
=\frac{1}{l}\int_0^lG_{\eta}(x, \xi, y-\eta) (l-\xi)d\xi,
\end{equation*} \]
которое проверяется непосредственно. Воспользовавшись последним равенством, преобразуем следующий интеграл:
\[ \begin{multline*}
\int_0^y G_{\xi}(x,0,y-\eta)\varphi_1(\eta) d\eta  =
\frac{1}{l}\int _0^l (l-\xi ) \int_0^y G_{\eta}(x, \xi, y-\eta)\varphi_1(\eta)d\eta d \xi
=\frac{1}{l}\int_0^l (l-\xi ) \biggl\{\Bigl[G(x, \xi, y-\eta)\varphi_1(\eta)\Bigr]_0^y-
\int_0^yG(x, \xi, y-\eta)\varphi_1'(\eta)d \eta\biggr\}d\xi = {}
\\
{}=\frac{l-x}{l}\varphi_1(y)+\frac{1}{l}\int _0^l (l-\xi )\int _0^yG(x, \xi, y-\eta)\varphi_1'(\eta)d \eta d\xi.
\end{multline*} \]
Из этих соотношений для $(x, y)\in C (\overline{\Omega}_{1lT} )$ легко вытекает  оценка
\[ \begin{equation}
\biggl|(1+l)\int _0^y G_{\xi}(x,0,y-\eta)\varphi_1(\eta) d\eta\biggr| \leqslant \|\varphi_1 \|_{C^1[0{,} T]}. 
\end{equation} \tag{19} \]
Подобным образом для $ (x, y)\in C(\overline{\Omega}_{1lT})$ может быть получена оценка
\[ \begin{equation}
\biggl|\int_0^y G_{\xi}(x,l,y-\eta)\varphi_2(\eta) d\eta\biggr| \leqslant (1+l)\|\varphi_2 \|_{C^1[0{,} T]}. 
\end{equation} \tag{20} \]

Тогда из неравенств (19), (20) следует оценка
\[ \begin{equation}
\|v_0 \|_l\leqslant \max \Bigl\{2(1+l)\max\bigl(\|\varphi_1 \|_{C^1[0{,} T]}, \|\varphi_2 \|_{C^1[0{,} T]}\bigr), 
 \|\psi'(x) \|_{C[0{,} l/2]}\Bigr\}. 
\end{equation} \tag{21} \]

Определим условия, при которых возможно применение теоремы о неподвижной точке к оператору $U$. Пусть $v\in S (v_0, r )$. Тогда из (17), (18) нетрудно заметить, что $Uv\in S (v_0, r )$. Кроме того, для всех $(x, y)\in\overline{\Omega}_{1lT}$ с учетом оценок (19)–(21) получим неравенства
\[ \begin{equation}
|U_1v-v_{01} |\leqslant \int _0^y\int _0^lG(x, \xi,y) 
\biggl[\frac{|f''(\xi) |}{|f(\xi)|}+\frac{1} {|f(\xi) |}
\int_0^T |h'(s) | |v_1(\xi,s) |ds\biggr] \cdot
\biggl[ |v_1(\xi,\eta) |+ \int_0^l G(\xi,s,\eta) |v_2(s) |ds\biggr]d\xi d\eta
\leqslant \frac{2RT}{f_0} (f_1+R Th_0 ); 
\end{equation} \tag{22} \]
\[ \begin{equation}
|U_2v-v_{02} |\leqslant\int _0^lK(x,\xi)
\biggl[\frac{ |f''(\xi) |}{ |f(\xi) |}+\frac{1}{ |f(\xi)|}\int _0^T |h'(s) | |v_1(\xi,s) |ds\biggr] 
|v_2(\xi)|
d\xi \leqslant \frac{1}{f_0} (f_1+R Th_0 )R l, 
\end{equation} \tag{23} \]
из которых следует, что для $T\leqslant T^*$ и $l\leqslant l^*$ имеет место $\|v-v_0\|_{lT}\leqslant r$, т.е. $Uv\in S(v_0, r)$. 

Осталось показать, что оператор $U$ сжимает расстояние между элементами шара $ S(v_0, r)$. Для доказательства этого факта возьмем любые два элемента $v^1$, $v^2 \in S(v_0, r)$ и оценим норму разности между их образами $Uv^1$, $Uv^2$. Обозначим компоненты элементов $v^1$, $ v^2 $ через $v^1_i$, $v^2_i$, $i=1, 2$. При оценке $\|Uv^1-Uv^2\|_{lT}$ воспользуемся неравенством
\[ \begin{equation*}
|(v_i^1)^2- (v_i^2 )^2 |= |v^1_i+v_i^2 | |v^1_i-v_i^2 |\leqslant 2R \|v^1-v^2 \|_{lT}, \quad i=1, 2,
\end{equation*} \]
которое имеет место для произвольных $v^1$, $v^2 \in S (v_0, r)$. Используя формулы (17), (18) и оценки (19)–(21), подобно неравенствам (22), (23) найдем
\[ \begin{equation*}
\max\Bigl\{
\max\limits_{(x,y)\in\Omega_{1lT}} |U_1v^1-U_1v^2 |, \, 
\max\limits_{{x}\in[0{,} l]} |U_2v^1-U_2v^2 |\Bigr\}
\leqslant
\frac{1}{f_0} (f_1+2R Th_0 )\max\{l, 2T\} \|v^1-v^2 \|_{lT}.
\end{equation*} \]
Отсюда следует, что
\[ \begin{equation*}
\|Uv^1-Uv^2 \|_{lT}\leqslant \frac{T}{T^*} \|v^1-v^2 \|_{lT},
\end{equation*} \]
и оператор $U$ при $T\in (0, T^* )$ и $l\in (0, l^* )$ осуществляет сжатое отображение шара $ S(v_0, r)$ на себя. Тогда, согласно принципу сжимающих отображений, уравнение (16) определяет единственное решение, принадлежащее этому шару. Теорема 2 доказана. $\square$

Введем обозначение $l_1:=f_0 \bigl[f_1+2h_0 (\|v_0\|_{l^*T^*}+r )T^*\bigr]^{-1}$.

Теорема 3. При выполнении условий теоремы 2 на отрезке $[0, l_0]$, где $l_0=\min \{l^*, l_1 \}$, существует единственное непрерывное решение обратной задачи (1)–(4).

Для доказательства заметим, что из $v(x, y)\in S(v_0, r)$ с учетом 
\[ \begin{equation*}
u(x, y)=v_1(x, y)+\int _0^{l^*}G(x, \xi, y)v_2(\xi)d\xi
\end{equation*} \]
следует оценка $ |u(x, y) |\leqslant 2R=2 (\|v_0\|_{l^*T^*}+r)$. Используя эту оценку, из (15) получим неравенство $\|q\|_{C[0{,} l]}\leqslant (l/f_0) \bigl[f_1+2h_0 (\|v_0\|_{l^*T^*}+r ) T^*\bigr]$. Ввиду (5) из последнего неравенства следует доказательство теоремы 3.

Конкурирующие интересы. Конкурирующих интересов не имею.
Авторская ответственность. Я несу полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною одобрена.
Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.
Благодарность. Автор благодарен рецензентам за тщательное прочтение статьи, ценные замечания и предложения.

About the authors

Durdimurod K. Durdiev

Bukhara Branch of the Institute of Mathematics named after V. I. Romanovskiy at the Academy of Sciences of the Republic of Uzbekistan; Bukhara State University

Author for correspondence.
Email: d.durdiev@mathinst.uz
ORCID iD: 0000-0002-6054-2827
http://www.mathnet.ru/person29112

Dr. Phys. & Math. Sci., Professor; Head of Branch; Professor, Dept. of Differential Equations

Uzbekistan, 11, Muhammad Igbol st., Bukhara, 705018, Uzbekistan; 11, Muhammad Igbol st., Bukhara, 705018, Uzbekistan

References

Supplementary files