On the solvability of an initial boundary problem for a high even order degenerate equation

Full Text

Введение

Рассматривается вырождающееся уравнение высокого четного порядка вида
\[ \begin{equation}
\frac{\partial ^{2n} }{\partial x^{2n} }
\Bigl( x^{\alpha } \frac{\partial ^{2n} u}{\partial x^{2n} } \Bigr)
+ u_{tt}+\frac{2\gamma }{t} u_{t}+bu=f ( x, t )
\end{equation} \tag{1} \]
в прямоугольнике \(\Omega =\bigl\{ ( x, t ): 0<x<1; 0<t<T \bigr\}\). Здесь \(u( x, t )\) — неизвестная функция; \(f(x, t )\) — заданная функция, а \(\alpha\), \(\gamma\), \(b\), \({n\in \mathbb R}\) — заданные числа, причем \(0<\alpha <1\), \(0\leqslant\gamma <1/2\), \(b\geqslant 0\), \(n\in \mathbb N\).

Из уравнения (1) при \(\gamma =b=\alpha =0\), \(n=1\), \(f( x, t )\equiv 0\) следует уравнение, описывающее свободное колебание балки, которое имеет многочисленные приложения в строительной механике, авиастроении, машиностроении, судостроении и т.д. [1–5]. В работе [6] для данного частного случая уравнения (1) изучена начальная задача, а в работах [7–13] — различные начально-граничные и обратные задачи. Для уравнений четвертого порядка, описывающих колебания прямоугольной пластинки, в работах [14–15] изучены различные начально-граничные задачи; уравнения колебаний балки в многомерном случае рассматривались в работе [16].

Обратим также внимание на работы [17–22], в которых ставятся и изучаются различные начально-граничные задачи для уравнений в частных производных высокого четного порядка с различными локальными и нелокальными граничными условиями.

Отметим, что в работах, посвященных изучению начально-граничных задач, в качестве объекта исследования в основном взяты невырождающиеся уравнения. Начально-граничные задачи для вырождающихся уравнений в частных производных высокого четного порядка изучены сравнительно мало. В частности, в работах [23–25] для уравнений четвертого порядка с тремя линиями вырождения изучены локальные и нелокальные начально-граничные задачи. В работах [26–27] рассматриваются вырождающиеся дифференциальные уравнения \(2k\) порядка и исследованы задачи с граничными условиями вида
\[ \begin{equation*}
\frac{\partial ^j u}{\partial x^ j }\Bigr |_{x=0}=0,\quad
\frac{\partial ^j u}{\partial x^ j }\Bigr|_{x=1}=0,\quad j=\overline{0,k-1},
\end{equation*} \]
а в работах [28, 29] — с условиями вида
\[ \begin{equation*}
\frac{\partial ^j u}{\partial x^ j }\Bigr|_{x=0}=0, \quad
\frac{\partial ^{k+j}u}{\partial x^{k+j} }\Bigr |_{x=1}=0,\quad
j=\overline{0,k-1}.
\end{equation*} \]

В настоящей работе в области \(\Omega\) для уравнения (1) формулируется и исследуется начально-граничная задача с условиями на \(x=0\) и \(x=1\), связанными со значениями частных производных искомой функции четного порядка по \(x\).

1. Постановка задачи

Задача \(A_1\). Найти функцию \(u ( x, t )\), обладающую следующими свойствами:

1. \( (\partial ^ j /\partial x^ j )u\), \( (\partial ^ j /\partial x^ j) [ x^{\alpha} ( \partial ^{2n}/\partial x^{2n} )u ]\in C ( \overline{\Omega })\), \(j=\overline{0,2n-1}\); \( t^{2\gamma } u_t \in C ( \overline{\Omega } ) \); \(( \partial ^{2n} /\partial x ^{2n} ) [ x^{\alpha }( \partial ^{2n}/\partial x^{2n} )u ]\in C ( \Omega )\); \(\bigl( u_{tt} +\frac{2\gamma }{t} u_t \bigr)\in C ( \Omega )\);
2. в области \(\Omega \) удовлетворяет уравнению (1);
3. на границе области \(\Omega \) выполняются следующие начальные и граничные условия:
   \[ \begin{equation}
   u ( x, 0 )=\varphi ( x ), \quad x\in [ 0{,} 1 ];\qquad
   \lim_{t\to 0} t^{2\gamma } u_t =\psi ( x ),\quad x\in ( 0, 1 );
   \end{equation} \tag{2} \]
   \[ \begin{equation*}
   \frac{\partial ^{2j} }{\partial x^{2j} } u ( x, t ) \Bigr|_{x=0}=0,
   \quad
   \frac{\partial ^{2j} }{\partial x^{2j} }\Bigl( x^{\alpha } \frac{\partial ^{2n}}{\partial x^{2n} } u ( x, t ) \Bigr) \Bigr|_{x=0}=0,
   \end{equation*} \]
   \[ \begin{equation}
   \frac{ \partial ^{2j} }{\partial x ^{2j} }u ( x, t ) \Bigr|_{x=1}=0,
   \quad
   \frac{ \partial ^{2j} }{\partial x ^{2j} } \Bigl( x^{\alpha } \frac{\partial ^{2n} }{\partial x^{2n} }
   u ( x, t ) \Bigr) \Bigr|_{x=1} =0,
   \end{equation} \tag{3} \]
   \[ \begin{equation*}
   j=\overline{0,n-1},\quad t\in [ 0{,} T ],
   \end{equation*} \]
   где \(\varphi ( x )\) и \(\psi ( x)\) — заданные функции.

Отметим, что эта задача при \(\alpha =\gamma =b=0\), \(n=1\) была ранее изучена в работах [8, 10] для уравнения балки, а в работе [9] — для нелинейного уравнения балки. В работе [10] изучены обратные задачи с граничными условиями вида (3) при \(\alpha =0\), \(n=1\) для уравнения балки, а в работах [14, 15] — начально-граничные задачи с такими же граничными условиями для уравнения колебания пластины. Задача \(A_1\) при \(\alpha =0\) и другие задачи типа \(A_1\) для уравнения
\[ \begin{equation*}
u_{tt} +\frac{2\gamma }{t} u_t + (-1)^{m}\frac{\partial ^{2m} }{\partial x^{2m} }u=f ( x, t )
\end{equation*} \]
изучены в работах [20, 22].

Исследуем существование, единственность и устойчивость решения поставленной задачи \(A_1\).

2. Единственность решения задачи \(A_1\)

Теорема 1. Задача \(A_1\) не может иметь более одного решения.

Доказательство. Предположим, что существуют два решения \(u_1 ( x, t )\) и \(u_2 ( x, t)\) задачи \(A_1\). Их разность обозначим через \(u( x, t)\). Тогда функция \(u( x, t)\) удовлетворяет уравнению (1) при \(f(x,t)\equiv 0\), а условиям (2) и (3) — при \(\varphi (x)\equiv \psi ( x )\equiv 0\).

Пусть \(\forall T_0 \in ( 0, T]\), а \(\Omega _0 =\bigl\{ ( x, t): 0<x<1, 0<t<T_0\bigr\}\). Очевидно, что \(\overline{\Omega} _0 \subset \overline{\Omega }\). Введем следующую функцию:
\[ \begin{equation*}
\omega (x,t)=-\int_t^{T_0} \xi ^{-2\gamma } u(x, \xi )d\xi, \quad (x,t)\in \overline{\Omega}_0.
\end{equation*} \]

Эта функция обладает следующими свойствами:

1. \( (\partial ^ j /\partial x^ j )\omega\), \( (\partial ^ j /\partial x^ j) [ x^{\alpha} ( \partial ^{2n}/\partial x^{2n} )\omega ]\in C ( \overline{\Omega }_0)\), \(j=\overline{0,2n-1}\); \( t^{2\gamma } \omega_t\), \(t^{2\gamma }\frac\partial {\partial t}(t^{2\gamma } \omega _{t}) \in C ( \overline{\Omega }_0 )\);
2. удовлетворяет условиям (3) при \(t\in [{0}, T_0 ]\).

Рассмотрим уравнение (1) при \(f(x,t)\equiv 0\), умножим его на функцию \(t^{2\gamma }\omega (x,t)\) и проинтегрируем полученное равенство по области \(\Omega _0\):
\[ \begin{equation*}
\int _0 ^1 \int _0 ^{T_0 }
t^{2\gamma } \omega (x,t)
\Bigl( \frac{\partial ^{2n} }{\partial x^{2n} }
\Bigl[ x^{\alpha } \frac{\partial ^{2n} u(x,t)}{\partial x^{2n}} \Bigr]+
t^{-2\gamma } \frac\partial {\partial t} \Bigl[ t^{2\gamma } \frac{\partial u(x,t)}{\partial t} \Bigr]+
bu ( x, t ) \Bigr)dtdx=0.
\end{equation*} \]
Перепишем полученное в виде
\[ \begin{equation*}
\int _0 ^{T_0} t^{2\gamma} dt\int _0 ^1 \omega (x,t) \frac{\partial ^{2n}}{\partial x^{2n}}
\Bigl[ {x^\alpha}\frac{\partial ^{2n} u(x,t)}{\partial x^{2n}} \Bigr]dx
+\int _0 ^1 dx \int _0 ^{T_0} \omega (x,t) \frac\partial {\partial t}
\Bigl[ {t^{2\gamma }}\frac{\partial u(x,t)}{\partial t} \Bigr]dt+
\int _0 ^1 dx \int _0 ^{T_0} b t^{2\gamma }\omega (x,t)u(x,t)dt=0.
\end{equation*} \]
Теперь, применяя правило интегрирования по частям к первым двум внутренним интегралам, получим выражение
\[ \begin{multline*}
\int _0 ^{T_0} t^{2\gamma }
\Bigl[
\omega (x,t) \frac{\partial ^{2n-1} }{\partial x^{2n-1} }
\Bigl( x^\alpha \frac{\partial ^{2n} u (x, t)}{\partial x^{2n}} \Bigr) -
\frac{\partial \omega (x,t)}{\partial x} \frac{\partial ^{2n-2} }{\partial x^{2n-2} }
\Bigl( x^\alpha \frac{\partial ^{2n}u(x, t)}{\partial x^{2n}} \Bigr)
+\dots - \frac{\partial ^{2n-1} \omega (x,t)}{\partial x^{2n-1}}
\Bigl( x^\alpha\frac{\partial ^{2n} u(x, t)}{\partial x^{2n}} \Bigr) \Bigr]_{x=0}^{x=1}dt+{}
\\
{}
+\int _ 0^{T_0} t^{2\gamma } dt \int _0^1 x^\alpha
\frac{\partial ^{2n} \omega (x, t)}{\partial x^{2n}}
\frac{\partial ^{2n} u(x, t)}{\partial x^{2n}} dx
+\int _0 ^1
\Bigl[
\omega (x,t) t^{2\gamma } \frac{\partial u(x, t)}{\partial t} \Bigr|_{t=0}^{t=T_0}-
\int _0 ^{T_0} \omega _{t}(x,t) t^{2\gamma } \frac{\partial u(x, t)}{\partial t}dt
\Bigr]dx
+\int _0 ^1 {dx}\int _0 ^{T_0} b t^{2\gamma } \omega (x,t)u(x,t)dt=0,
\end{multline*} \]
из которого в силу свойств функций \(\omega (x,t)\) и \(u(x,t)\) следует равенство
\[ \begin{equation*}
\int _0 ^{T_0}
t^{2\gamma } dt\int _0 ^1
x^\alpha \frac{\partial ^{2n}\omega (x, t)}{\partial x^{2n}}
\frac{\partial ^{2n} u(x, t)}{\partial x^{2n}} dx-
\int _0 ^1 dx \int _0 ^{T_0} t^{2\gamma } \frac{\partial \omega (x, t)}{\partial t}\frac{\partial u(x, t)}{\partial t}dt
+\int _0 ^1 dx \int _0 ^{T_0} b t^{2\gamma } \omega (x, t)u(x, t)dt=0.
\end{equation*} \]
Отсюда, учитывая равенства
\[ \begin{equation*}
u=t^{2\gamma } \frac{\partial \omega }{\partial t},
\quad
\frac{\partial ^{2n} u}{\partial x^{2n}}= t^{2\gamma }
\frac{\partial ^{2n+1} \omega }{\partial x ^{2n} \partial t},
\end{equation*} \]
имеем
\[ \begin{equation*}
\int _0 ^1 x^\alpha dx
\int _0 ^{T_0} t^{4\gamma }
\frac{\partial ^{2n} \omega (x, t)}{\partial x^{2n}}
\frac{\partial ^{2n+1} \omega (x, t)}{\partial x^{2n} \partial t}dt-
\int _0 ^1 dx
\int _0 ^{T_0} u(x, t)\frac{\partial u(x, t)}{\partial t}dt
+ \int _0 ^1 dx
\int _0 ^{T_0} b t^{4\gamma } \omega (x, t)\frac\partial {\partial t}\omega (x, t)dt=0.
\end{equation*} \]

Далее, принимая во внимание равенства
\[ \begin{equation*}
u(x, t)\frac{\partial u(x, t)}{\partial t}=
\frac{1}{2}\frac\partial {\partial t} \bigl[ u(x, t) \bigr]^2,
\quad
\frac{\partial ^{2n}\omega (x, t)}{\partial x^{2n}}
\frac{\partial ^{2n+1}\omega (x, t)}{\partial x^{2n}\partial t}=
\frac{1}{2}\frac\partial {\partial t}
\Bigl[ \frac{\partial ^{2n} \omega (x, t)}{\partial x^{2n}} \Bigr]^2,
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
\frac{\partial ^{2n}}{\partial x^{2n}}\omega (x, T_0 )=0, \quad u ( x, 0 )=0
\end{equation*} \]
и применяя правило интегрирования по частям к интегралам по \(t\) при \(0 <\gamma <1/2 \), получим
\[ \begin{equation*}
\int _0 ^1
u^2 (x, T_0 ) dx+ 4\gamma \int _0 ^1 dx
\int _0 ^{T_0} t^{4\gamma -1}
\Bigl( x^\alpha \Bigl[ \frac{\partial ^{2n} \omega (x, t)}{\partial x^{2n}} \Bigr]^2 +
b \omega ^2 (x, t) \Bigr)dt=0,
\end{equation*} \]
а при \(\gamma =0\) имеем
\[ \begin{equation*}
\int _0 ^1 u^2 (x, T_0 ) dx+
\int _0 ^1 x^\alpha \Bigl[ \frac{\partial ^{2n} \omega (x, t)}{\partial x^{2n}} \Bigr]_{t=0}^2dx +
b\int _0 ^1 \omega ^2 ( x, 0 ) dx =0.
\end{equation*} \]

В силу свойств функций \(u(x, t)\), \(\omega (x, t)\) и условий \(b\geqslant 0\), \(0<\gamma <1/2\), \(0<\alpha <1\) все интегралы в левой части последних равенств существуют и неотрицательны. Тогда из них следует, что \(u ( x, T_0 )\equiv 0\), \(x\in [{0}, {1}]\). Так как \(\forall T_0 \in [ {0}, T ]\), функция \(u(x, t)\equiv 0\), \((x, t)\in \overline{\Omega }\). Тогда \(u_1(x, t)\equiv u_2(x, t)\), \((x, t)\in \overline{\Omega }\). Теорема 1 доказана. $\square$

3. Исследование спектральной задачи

При формальном применении метода Фурье к задаче \(A_1\) возникает следующая спектральная задача: найти значения параметра \(\lambda \), при которых существуют нетривиальные решения уравнения
\[ \begin{equation}
Mv\equiv \bigl( x^\alpha v ^{ ( 2n )} ( x ) \bigr)^{ ( 2n )} =
\lambda v ( x ), \quad 0<x<1,
\end{equation} \tag{4} \]
удовлетворяющие условиям
\[ \begin{equation}
\begin{array}{lll}
v^{(j)} (x) , & \bigl( x^\alpha v ^{ ( 2n )} (x) \bigr)^{(j)} \in C [ {0}, {1}], &
j=\overline{0,2n-1};
\\
v^{(2j)} (0) =0, & \bigl( x^\alpha v^{ (2n) } (x) \bigr)^{ (2j) } \bigr|_{x=0}=0, &
j=\overline{0,n-1};
\\
v^{ (2j) } (1) =0, & \bigl(x^\alpha v^{ (2n) } (x) \bigr)^{ (2j) } \bigr|_{x=1}=0, &
j=\overline{0,n-1}.
\end{array}
\end{equation} \tag{5} \]

Пусть \(v (x) \) и \(h (x) \) — функции, удовлетворяющие условиям (5), и \( Mv (x) \), \(Mh (x) \in L _2 ( 0, 1)\). Тогда, применяя правило интегрирования по частям, имеем
\[ \begin{multline*}
\int _0 ^1 h(x)Mv(x) dx=
\Bigl[ h(x) \bigl(x^\alpha v ^{(2n)} (x)\bigr)^{(2n-1)} -
h'(x) \bigl(x^\alpha v^{(2n)} (x) \bigr)^{(2n-2)} + {}
\\
+h''(x) \bigl(x^\alpha v^{(2n)} (x)\bigr) ^{(2n-3)}- \dots -
h^{(2n-1)}(x) \bigl(x^\alpha {v}^{(2n)}(x)\bigr)+
\bigl(x^\alpha h^{(2n)} (x)\bigr) v^{(2n-1)} (x)-{}
\\
{}
-\bigl(x^\alpha h^{(2n)} (x)\bigr)' v^{(2n-2)} (x)+
\bigl(x^\alpha h^{(2n)}(x)\bigr)'' v^{(2n-3)} (x)-
\dots - \bigl(x^\alpha h^{(2n)}(x)\bigr)^{(2n-1)} v(x) \Bigr]_{x=0}^{x=1}+\int _0 ^1 v(x)Mh(x) dx.
\end{multline*}
Отсюда в силу свойств функций \(v(x)\) и \(h(x)\) следует равенство
\[ \begin{equation*}
\int _0 ^1 h(x)Mv(x) dx=\int _0 ^1 v(x)Mh(x)dx.
\end{equation*} \]
Следовательно, задача с условиями \(Mv=0\) и (5) самосопряжена.

Пусть \(v (x) \not\equiv0\), \(x\in [{0}, {1}]\) и удовлетворяет условиям задачи (4), (5). Тогда
\[ \begin{multline*}
\lambda \int _0 ^1 v^2(x)dx =
\int _0 ^1 v(x) \bigl( x^\alpha v^{(2n)}(x) \bigr)^{(2n)} dx=
\Bigl[ v(x) \bigl( x^\alpha v^{(2n)} (x) \bigr)^{(2n-1)}- {}
\\
{} - v'(x) \bigl( x^\alpha v^{(2n)} (x) \bigr)^{(2n-2)}+ \dots
- v^{(2n-1)} (x) \bigl( x^\alpha v^{(2n)} (x) \bigr) \Bigr] _{x=0}^{x=1}
+\int _0 ^1 x^\alpha \bigl[ v^{(2n)}(x) \bigr]^2dx=
\int _0 ^1 x^\alpha \bigl[ v^{(2n)}(x) \bigr]^2dx,
\end{multline*} \]
т.е.
\[ \begin{equation*}
\lambda \int _0 ^1 v^2 (x) dx =
\int _0 ^1 x^\alpha \bigl[ v^{ (2n) } (x) \bigr]^2 dx.
\end{equation*} \]

Отсюда в силу \(v(x)\not\equiv0\) следует, что \(\lambda \geqslant 0\). Если \(\lambda =0\), то из последнего равенства следует, что \(v^{ (2n) } (x) =0\), \(0<x<1\). Тогда
\[ \begin{equation*}
v (x) =c_1 \frac{x^{2n-1}} {( 2n-1 )!}+ c_2 \frac{x^{2n-2}}{ ( 2n-2 )!}+\dots+
c_{2n-1}\frac x {1!}+ c_{2n}, \quad x\in ( 0, 1 ),
\end{equation*} \]
где \(c_j \) — произвольные действительные числа. Подчиняя эту функцию условиям \(v^{ (2j) } (x) \bigr|_{x=0}=0\), \(v^{ (2j) } (x) \bigr|_{x=1}=0\), \(j=\overline{0, n-1}\),
получим \( c_ j =0\), \(j=\overline{1,2n}\). Тогда \(v (x) \equiv 0\), \(0\leqslant x\leqslant 1\). Следовательно, задача (4), (5) может иметь нетривиальные решения только при \(\lambda >0\).

Для доказательства существования собственных значений задачи (4), (5) применим метод функции Грина. Так как \(\lambda =0\) не является собственным значением, существует единственная функция Грина \(G( x, s )\). Построим ее. Она должна обладать следующими свойствами:

1. функции \( ( \partial ^j /\partial x^j ) G ( x, s )\), \(j=\overline{0,2n-1}\), \( ( \partial ^j /\partial x^j ) \bigl[ x^\alpha ( \partial ^{2n}/\partial x^{2n} \bigr)G ( x, s ) \bigr]\), \(j=\overline{0,2n-2}\) непрерывны для всех \(x\), \(s\in [{0}, {1}]\);
2. в каждом из интервалов \( [{0}, s)\) и \( (s, {1} ]\) существует непрерывная производная \( ( \partial ^{2n-1}/\partial x^{2n-1} )\bigl[ x^\alpha ( \partial ^{2n}/\partial x^{2n})G ( x, s ) \bigr]\), а при \(x=s\) имеет место скачок \(1\):
   \[ \begin{equation*}
   ( \partial ^{2n-1}/\partial x^{2n-1} )\bigl[ x^\alpha ( \partial ^{2n}/\partial x^{2n} ) G ( x, s )
   \bigr] _{x=s-0}^{x=s+0}=1;
   \end{equation*} \]
3. в интервалах \( ( 0, s )\) и \( ( s, 1 )\) существует производная \(( \partial ^{2n}/\partial x^{2n}) \bigl[ x^\alpha( \partial ^{2n}/\partial x^{2n})G(x,s) \bigr]\) и выполняется равенство \({MG( x, s )=0}\);
4. при \(s\in ( 0, 1 )\) и \(k=\overline{0,n-1}\) выполняются граничные условия
   \[ \begin{equation}
   \begin{array}{l}
   (\partial ^{2k}/\partial x^{2k} )G ( x, s ) \bigr|_{x=0}=0, \\
   (\partial ^{2k}/\partial x^{2k} )\bigl( x^\alpha (\partial ^{2n}/\partial x^{2n})G( x, s ) \bigr) \bigr|_{x=0}=0;
   \end{array}
   \end{equation} \tag{6} \]
   \[ \begin{equation}
   \begin{array}{l}
   (\partial ^{2k}/\partial x^{2k} )G( x, s) \bigr|_{x=1} =0, \\
   (\partial ^{2k}/\partial x^{2k} ) \bigl( x^\alpha ( \partial ^{2n}/\partial x^{2n} )G ( x, s ) \bigr)
   \bigr|_{x=1}=0.
   \end{array}
   \end{equation} \tag{7} \]

Принимая во внимание вид общего решения уравнения \(MG(x,s)=0\) в промежутках \((0, s)\) и \((s, 1)\), функцию \(G ( x, s )\) ищем в виде
\[ \begin{equation}
G ( x, s )=
\begin{cases}
\sum\limits_{j=1}^{2n} \dfrac{ a_j x^{4n-\alpha -j} }{(2n-j)!(2n-\alpha -j+1)_{2n} }+
\sum\limits_{j=2n+1}^{4n} \dfrac{a_j x^{4n-j} }{(4n-j)!}, & 0\leqslant x\leqslant s,
\\
\sum\limits_{j=1}^{2n} \dfrac{ b_j x^{4n-\alpha -j} }{(2n-j)! (2n-\alpha -j+1)_{2n}}+
\sum\limits_{j=2n+1}^{4n}\dfrac{ b_j x^{4n-j}}{(4n-j)!}, & s\leqslant x\leqslant 1,
\end{cases}
\end{equation} \tag{8} \]
где \(a_j\) и \(b_j\), \(j=\overline{1, 4n}\) — неизвестные функции переменной \(s\), а \((z)_n=z{(z+1)} \times {(z+2)}\cdots (z+n-1)\) — символ Похгаммера [30].

Если функция (8) удовлетворяет свойствам 1 и 2 функции Грина, получим следующую систему уравнений относительно \((b_j-a_j)\), \(j=1, 2, \dots, 4n\):
\[ \begin{equation*}
b_1 - a_1 =1, \quad
\sum\limits_{j=1}^{m_1} \frac{s^{m_1 -j}}{ ( m_1 -j)!} ( b _ j - a_j )=0,
\quad m_1 =\overline{2, 2n},
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
\sum\limits_{j=1}^{2n}
\frac{s^{2n-\alpha +m_2-j} ( b_j - a_j )} { ( 2n-j )! ( 2n-\alpha -j+1 )_{ m_ 2 }}+
\sum\limits_{j=1}^{m_2}
\frac{s^{m_2-j} ( b_{2n+j}- a_{2n+j} )}{ ( m_2 -j)!}=0,\; m_2 =\overline{1,2n}.
\end{equation*} \]

Эта система имеет единственное решение:
\[ \begin{equation}
b_j - a_j =\frac{(-1)^{j-1}s^{j-1}}{ ( j-1 )!},
\quad
b_{2n+j}- a_{2n+j}=\frac{(-1)^{j-1} s^{2n+j-1-\alpha }}{ ( j-1 )! ( j-\alpha )_{2n}},\quad
j=\overline{1,2n}.
\end{equation} \tag{9} \]

Подставляя (8) в условия (6), последовательно получим
\[ \begin{equation}
a_{4n} =a_{4n-2}=\dots =a_{2n+2}=a_{2n}=\dots=a_4 = a_ 2 =0.
\end{equation} \tag{10} \]
В силу этих равенств из (9) следует, что
\[ \begin{equation}
b_{2j}=-\frac{ s^{2j-1} }{( 2j-1 )!}, \quad
b_{2n+2j}=-\frac{s^{2n-1-\alpha +2j}}{ ( 2j-1 )! ( 2j-\alpha )_{2n}}, \quad j=\overline{1,n}.
\end{equation} \tag{11} \]

Далее, подставляя (8) в условия (7), получим систему уравнений
\[ \begin{equation}
\begin{array}{l}
\displaystyle
\sum\limits_{j=1}^{m_3}
\Bigl(
\dfrac{b_{2j-1}}{( 2 m_ 3 +1-2j )!}+
\dfrac{b_{2j} }{ ( 2 m_3 -2j )!} \Bigr)=0,\quad m_3 =\overline{1, n};
\\
\displaystyle
\sum\limits_{j=1}^{n}
\Bigl(
\dfrac{b_{2j-1} }{ ( 2n-2j+1 )! ( 2n-\alpha -2j+2 )_{2 m_4}}+
\dfrac{b_{2j}} { ( 2n-2j )! ( 2n-\alpha -2j+1 )_{2 m_4 }} \Bigr)+
\displaystyle
\sum\limits_{j=1}^{m_4} \Bigl( \dfrac{b_{2n+2j-1}}{( 2 m_ 4 -2j+1 )!}+
\dfrac{b_{2n+2j}}{ ( 2 m_ 4 -2j )!} \Bigr)=0, \quad m_4 =\overline{1, n}.
\end{array}
\end{equation} \tag{12} \]

Принимая во внимание, что \(b_{2j}\) — известные величины вида (11), из (12) однозначно находим \(b_{2j-1}\), \(j=\overline{1,2n}\):
\[ \begin{equation}
\begin{array}{l}
\displaystyle
b_1 =-b_2 ; \\
\displaystyle
b_{2j-1}=- b_{2j}-\sum\limits_{i=1}^{2j-2}
\frac{b_i }{ ( 2j-i )!} ,\quad
j=\overline{2, n};
\\
\displaystyle
b_{2n+1}=-b_{2n+2}-\sum\limits_{i=1}^{2n}\frac{b_i}{( 2n-i )!( 2n-\alpha +1-i ) _2 },
\\
\displaystyle
b_{2n+2j-1} =- b_{2n+2j}-\sum\limits_{i=1}^{2n}
\frac{b_{i}}{( 2n-i )! ( 2n-\alpha +1-i )_{2j}}
- \displaystyle
\sum\limits_{i=1}^{2j-2}
\frac{b_{2n+i}}{( 2j-i )!},\quad j=\overline{2,n}.
\end{array}
\end{equation} \tag{13} \]

Подставляя (13) в (9), находим \(a_{2j-1}\), \(j=\overline{1,2n}:\)
\[ \begin{equation}
\begin{array}{l}
a_1 =-b_2 -1=s-1;
\\
a_{2j-1}= b_{2j-1}-\dfrac{s^{2j-2}}{( 2j-2 )!},\quad j=\overline{2, n};
\\
a_{2n+1}= b_{2n+1}-\dfrac{s^{2n-\alpha }}{ ( 1-\alpha )_{2n}},
\\
a_{2n+2j-1}=b_{2n+2j-1}-\dfrac{s^{2n+2j-2-\alpha }}{( 2j-2 )! ( 2j-1-\alpha )_{2n}},\quad
j=\overline{2, n}.
\end{array}
\end{equation} \tag{14} \]

Подставляя (10), (11), (13), (14) в (8), находим функцию Грина в виде
\begin{multline*}
G(x, s)=\frac{x^{4n-\alpha -1} ( s-1 )}{ ( 2n-1 )!( 2n-\alpha )_{2n}}
+\sum\limits_{j=2}^n
\Bigl( b_{2j-1}-\frac{s^{2j-2} }{ ( 2j-2 )!} \Bigr)
\frac{x^{4n-\alpha -2j+1}}{ ( 2n-2j+1 )! ( 2n-\alpha -2j+2 )_{2n}}+{}
\\
{}+\Bigl( b_{2n+1} -\frac{s^{2n-\alpha }}{( 1-\alpha)_{2n}} \Bigr)
\frac{x^{2n-1}}{( 2n-1)!}
+\sum\limits_{j=2}^ n
\Bigl( b_{2n+2j-1}-\frac{s^{2n-\alpha +2j-2} }{ ( 2j-2 )! ( 2j-1-\alpha )_{2n}} \Bigr)
\frac{x^{2n-2j+1} }{ ( 2n-2j+1 )!}, \text{  если } 0\leqslant x\leqslant s,
\end{multline*}
\[ \begin{multline}
G(x, s)=\frac{x^{4n-\alpha -1} s}{ ( 2n-1 )! ( 2n-\alpha )_{2n}}+ {}
\\
{}+
\sum\limits_{j=2}^n
b_{2j-1}\frac{x^{4n-\alpha -2j+1}}{( 2n-2j+1 )! ( 2n-\alpha -2j+2 )_{2n}}+{}
\\
{}+\sum\limits_{j=1}^n
b_{2j} \frac{ x^{4n-\alpha -2j}}{ ( 2n-2j )! ( 2n-\alpha -2j+1 )_{2n}}+
b_{2n+1}\frac{ x^{2n-1}}{( 2n-1 )!}+{}
\\
{}
+\sum\limits_{j=2}^ n
b_{2n+2j-1} \frac{ x^{2n-2j+1}}{ ( 2n-2j+1 )!}+
\sum\limits_{j=1}^n
b_{2n+2j}\frac{ x^{2n-2j}}{ ( 2n-2j )!}, \text{  если } s\leqslant x\leqslant 1,
\end{multline} \tag{15} \]
где \(b_{2j-1}\), \(b_{2j}\), \(j=\overline{2, n}\); \(b_{2n+2j}\), \(j=\overline{1, n}\); \(b_{2n+1}\), \(b_{2n+2j-1}\), \(j=\overline{2, n} \) — определены равенствами (11) и (13).

Так как задача с условиями \(Mv=0\) и (5) самосопряжена, ее функция Грина (15) симметрична относительно аргументов \(x\) и \(s\).

С помощью метода, примененного в [31], легко убедиться, что задача (4), (5) эквивалентна следующему интегральному уравнению:
\[ \begin{equation}
v (x) =\lambda \int _0 ^1 G(x, s)v ( s ) ds.
\end{equation} \tag{16} \]

Так как ядро \(G(x, s)\) непрерывно, симметрично, и положительно (т.е. \({\lambda >}0\)), интегральное уравнение (16), следовательно, задача (4), (5) имеет счетное число собственных значений
\[ \begin{equation*}
0<\lambda _1 < \lambda _2 < \lambda _3 < \dots < \lambda _ k< \dots,
\qquad
\lambda _k \to \infty ,
\end{equation*} \]
а соответствующие им собственные функции \(v _1 (x)\), \(v _2 (x)\), \(v_3 (x)\), \(\dots\), \(v_k (x)\), \(\dots\) образуют ортонормированную систему в пространстве \(L _2 ( 0, 1 )\) [32].

Лемма 1. Пусть функция \(g (x) \) удовлетворяет следующим условиям:
\[ \begin{equation*}
g^{ (2j) } (x) ,\; [ {x^\alpha} g^{ (2n) } (x) ]^{ (2j) } \in C [{0}, {1}], \;
j=\overline{0,n-1};\quad
Mg (x) \in C ( 0, 1 )\cap L _2 ( 0, 1 );
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
g^{ (2j) } (0) =0, \; g^{ (2j) } (1) =0, \; j=\overline{0, n-1};
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
( x^\alpha g^{ (2n) } (x) )^{ (2j) } \bigr|_{x=0}=0, \; ( x^\alpha g^{ (2n) } (x) )^{ (2j) } \bigr|_{x=1}=0,\;
j=\overline{0, n-1}.
\end{equation*} \]

Тогда ее можно разложить на отрезке \([ 0{,} 1]\) в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по системе собственных функций задачи (4), (5).

Доказательство. Пользуясь правилом интегрирования по частям, свойствами функции Грина \(G(x,s)\) и условиями, наложенными на функцию \(g(x)\), нетрудно убедиться, что справедливо равенство
\[ \begin{equation*}
\int _0 ^1 G(x, s)Mg ( s )ds=
\int _0 ^1 G(x, s)[ s^\alpha g^{ (2n) } ( s ) ]^{ (2n) } ds =g (x) .
\end{equation*} \]
Следовательно, \(g (x) \) — функция, представимая через ядро \(G(x, s)\). Кроме того, в силу непрерывности функции \(G(x,s)\) имеет место оценка
\[ \begin{equation*}
\int _0 ^1 G^2 (x, s)ds \leqslant A(x)={a_0 }= const<\infty .
\end{equation*} \]
Тогда на основании теоремы Гильберта—Шмидта [32] справедливо утверждение леммы 1. $\square$

4. Вспомогательные леммы

В этом пункте под \(\lambda _k \) и \( v_ k (x) \), \(k\in \mathbb N\), понимаются собственные значения и собственные функции задачи (4), (5), а под \(g_k\) — коэффициенты Фурье функции \(g (x)\):
\[ \begin{equation*}
g_k =\int _0 ^1 g (x) v_ k (x) dx ,\quad k\in \mathbb N.
\end{equation*} \]

Лемма 2. Следующие ряды сходятся равномерно на сегменте \([{0}, {1}]{:}\)
\[ \begin{equation}
\sum\limits_{k=1}^\infty
\frac{[ v_k^{(j)} (x) ]^2} { \lambda _k },
\quad
\sum\limits_{k=1}^\infty
\frac{\bigl( [ x^\alpha v_k^{ (2n) } (x) ]^{( j )} \bigr)^2}{\lambda _k^2},
\quad j =\overline{0, 2n-1}.
\end{equation} \tag{17} \]

Доказательство. В силу (16) и (4) справедливы равенства
\[ \begin{equation*}
v_k^{(j)} (x) = \lambda _k
\int _0 ^1 \frac{\partial ^j }{\partial x^j} G(x, s) v_ k ( s ) ds =
\int _0 ^1
[ s^{\alpha }v_k^{ (2n) }(s) ]^{ (2n) } \frac{ \partial ^j }{\partial x^j } G(x, s)ds,\quad
j=\overline{0, 2n-1}.
\end{equation*} \]
Отсюда, применяя правило интегрирования по частям \(2n\) раз, а затем принимая во внимание условия (5), получим
\[ \begin{equation*}
v_k^{(j)} (x) =\int _0 ^1 s^{\alpha } v_k^{ (2n) }(s)\frac{\partial ^{2n+j}}{\partial x ^j \partial s^{2n}}G(x, s)ds,\quad j=\overline{0, 2n-1}.
\end{equation*} \]

Следовательно, справедливо равенство
\[ \begin{equation}
\frac{ v_k^{(j)} (x) }{\sqrt{\lambda _k}}=
\int _0 ^1 \Bigl( s^{\alpha /2} \frac{\partial ^{2n+j}}{\partial x ^j \partial s^{2n}}G(x, s) \Bigr)
\Bigl( \frac{s^{\alpha /2}v_k^{ (2n) }(s)}{\sqrt{\lambda _k}} \Bigr)ds,\quad
j=\overline{0,2n-1}.
\end{equation} \tag{18} \]

В силу условий (4) и (5), имеют место равенства
\[ \begin{equation*}
\int _0 ^1 \frac{s^{\alpha } v_k^{ (2n) }(s)v_{l}^{ (2n) }(s)}{\sqrt{\lambda _k \lambda _l}}ds=
\begin{cases}
1, & k=l,\\
0, & k\ne l.
\end{cases}
\end{equation*} \]

Следовательно, \(\bigl\{ s^{\alpha /2} v_k^{ (2n) }(s)/\sqrt{\lambda _k} \bigr\}_{k=1}^\infty \) — ортонормальная система. Тогда из выражения (18) следует, что \(v_k^{ (2j) } (x) /\sqrt{\lambda _k}\) — коэффициенты Фурье функции \(s^{\alpha /2} ( \partial ^{2n+j}/\partial x ^j \partial s^{2n} )G(x, s)\) по системе \(\bigl\{ s^{\alpha /2} v_k^{ (2n) }(s)/\sqrt{\lambda _k} \bigr\}_{k=1}^\infty \). Поэтому, согласно неравенству Бесселя [32], имеем
\[ \begin{equation}
\sum\limits_{k=1}^\infty
\frac{[ v_k^{(j)} (x) ]^2} { \lambda _k}
\leqslant
\int _0 ^1 s^{\alpha} \Bigl[ \frac{\partial ^{2n+j}}{\partial x ^j \partial s^{2n}} G(x, s) \Bigr]^2ds,
\quad j=\overline{0, 2n-1}.
\end{equation} \tag{19} \]

Интеграл в правой части можно переписать в виде
\[ \begin{equation*}
\int _0 ^1 s^{\alpha} \Bigl[ \frac{\partial ^{2n+j}}{\partial x ^j \partial s^{2n} }G(x, s) \Bigr]^2 ds=
\int _0 ^1 s^{-\alpha } \Bigl[ \frac{\partial ^j }{\partial x ^j }
\Bigl( s^{\alpha } \frac{\partial ^{2n}}{\partial s^{2n}} G(x, s) \Bigr) \Bigr]^2ds ,\quad
j=\overline{0, 2n-1}.
\end{equation*} \]
Так как
\[ \begin{equation*}
s^{\alpha }\frac{\partial ^{2n}G(x, s)}{\partial s^{2n}},\quad
\frac{\partial ^j G(x, s)}{\partial x ^j }\in C ( \overline{\Omega } ),\quad
j=\overline{0, 2n-1},
\end{equation*} \]
функция в квадратной скобке в последнем интеграле непрерывна на \(\overline{\Omega }\). Тогда в силу \(0<\alpha <1\) интеграл в (19) равномерно ограничен при \(j=\overline{0, 2n-1}\), откуда следует, что первые ряды в (17) сходятся равномерно.

Аналогично доказывается сходимость и остальных рядов. $\square$

Лемма 3. Если выполнены условия
\[ \begin{equation*}
\begin{array}{c}
g^{(j)} (x) \in C [{0}, {1}],\quad j=\overline{0, 2n-1};\\
x ^{\alpha /2} g^{ (2n) } (x) \in C ( 0, 1 )\cap L _2 ( 0, 1 );\\
g^{ (2j) } (0) =0,\; g^{ (2j) } (1) =0,\quad j=\overline{0,n-1},
\end{array}
\end{equation*} \]
то справедливо неравенство
\[ \begin{equation}
\sum\limits_{k=1}^\infty \lambda _k g_k^2\leqslant \int _0 ^1 x^\alpha \bigl[ g^{ (2n) } (x) \bigr]^2 dx,
\end{equation} \tag{20} \]
в частности, ряд в левой части сходится.

Доказательство. В силу (4) справедливо равенство
\[ \begin{equation*}
\lambda _k^{1/2} g_k =\lambda _k^{1/2} \int _0 ^1 g (x) v_k (x) dx=
\lambda _k^{-1/2}\int _0 ^1 g (x) \bigl[ x^\alpha v_k^{ (2n) } (x) \bigr]^{ (2n) } dx.
\end{equation*} \]
Из этого равенства, применяя правило интегрирования по частям \(2n\) раз и учитывая свойства функций \(g (x) \) и \( v_k (x) \), получим
\[ \begin{equation*}
\lambda _k^{1/2} g _k=\int _0 ^1 \bigl[ x ^{\alpha /2} g^{ (2n) } (x) \bigr]
\bigl[ \lambda _k^{-1/2} x ^{\alpha /2} v_k^{ (2n) } (x) \bigr]dx.
\end{equation*} \]
Это означает, что числа \(\lambda _k^{1/2} g_k\) — коэффициенты Фурье функции \( x ^{\alpha /2} g^{ (2n) } (x) \) по ортонормированной системе функций \(\bigl\{ x ^{\alpha /2} v^{ (2n) } (x) /\sqrt{ \lambda _k}\bigr\}_{k=1}^\infty \). Тогда, согласно неравенству Бесселя [32], справедливо неравенство (20). $\square$

Лемма 4. Если выполнены условия
\[ \begin{equation*}
\begin{array}{c}
g^{(j)} (x) , \; [ x^\alpha g^{ (2n) } (x) ]^{(j)} \in C [{0} , {1}],\; j=\overline{0, 2n-1};
\\
Mg (x) \in C ( 0, 1)\cap L _2 ( 0, 1);\\
g^{ (2j) } (0) =0, \;
[ x^\alpha g^{ (2n) } (x) ]^{(2j)} |_{x=0}=0, \phantom{\; j=\overline{0,n-1},} \\
g^{ (2j) } (1) =0, \;
[x^\alpha g^{(2n)} (x) ]^{ (2j) } |_{x=1}=0, \; j=\overline{0,n-1},
\end{array}
\end{equation*} \]
то справедливо неравенство
\[ \begin{equation}
\sum\limits_{k=1}^\infty \lambda _k^2 g_k^2\leqslant \int _0 ^1 [ Mg (x) ]^2dx,
\end{equation} \tag{21} \]
в частности, ряд в левой части сходится.

Доказательство. В силу (4) справедливо равенство
\[ \begin{equation*}
\lambda _k g_k = \lambda _k \int _0 ^1 g (x) v_k (x) dx=
\int _0 ^1 g (x) [ x^\alpha v_k^{ (2n) } (x) ]^{ (2n) }dx.
\end{equation*} \]
Применяя правило интегрирования по частям \(4n\) раз и учитывая свойства функций \(g (x) \) и \( v_k (x) \), получим
\[ \begin{equation*}
\lambda _k g_k= \int _0 ^1 [ x^\alpha g^{ (2n) } (x) ]^{ (2n) } v_k (x) dx=
\int _0 ^1 [ Mg (x) ] v_k (x) dx.
\end{equation*} \]
Отсюда следует, что числа \( \lambda _k g_k\) — коэффициенты Фурье функции \(Mg (x) \) по ортонормированной системе функций \(\bigl\{ v_k (x) \bigr\}_{k=1}^\infty \).
Тогда, согласно неравенству Бесселя [32], справедливо неравенство (21). $\square$

Лемма 5. Если выполнены условия
\[ \begin{equation*}
\begin{array}{c}
g^{(j)} (x), \; [ x^\alpha g^{ (2n) } (x)]^{(j)},\;
[ Mg (x) ]^{(j)}\in C[{0}, {1}],\;\; j=\overline{0,2n-1};
\\
x ^{\alpha /2} [ Mg (x) ]^{ (2n) } \in C ( 0, 1 )\cap L _2 ( 0, 1);
\\
g^{ (2j) } (0) =0, \; [ Mg (x) ]^{ (2j) } |_{x=0}=0, \phantom{\, j=\overline{0, n-1},}
\\
g^{ (2j) } (1) =0, \; [ Mg (x) ]^{ (2j) } |_{x=1}=0, \, j=\overline{0, n-1},
\end{array}
\end{equation*} \]
то справедливо неравенство
\[ \begin{equation}
\sum\limits_{k=1}^\infty \lambda _k^3 g_k^2\leqslant
\int _0 ^1 x^\alpha \bigl( [ Mg (x) ]^{ (2n) } \bigr)^2dx,
\end{equation} \tag{22} \]
в частности, ряд в левой части сходится.

Доказательство. Функция \(Mg (x) \) удовлетворяет условиям леммы 3. Как показано выше, \(\lambda _k g_k\) — коэффициенты Фурье функции \(Mg (x) \) по системе
\(\bigl\{ v_k (x) \bigr\}_{k=1}^\infty \). Тогда, согласно лемме 3, справедливо неравенство (22). $\square$

5. Существование и устойчивость решения

Решение задачи \(A_1\) ищем в виде
\[ \begin{equation}
u(x, t)=\sum\limits_{k=1}^\infty u_k ( t ) v_k (x) ,
\end{equation} \tag{23} \]
где \(u_k ( t )\) — неизвестные функции, которые подлежат определению; \( v_k (x) \) — собственные функции задачи (4), (5).

Подставим (23) в уравнение (1) и условия (2), а затем умножим полученные равенства на \( v_m (x) \). После этого, интегрируя полученные равенства по \(x\) на интервале \(( 0, 1 )\) и принимая во внимание ортонормированность системы функций \(\bigl\{ v_k (x) \bigr\}_{k=1}^\infty \), относительно неизвестных функций \(u_k ( t )\) получим следующую задачу:
\[ \begin{equation}
u''_k ( t)+\frac{2\gamma }{t} u'_k (t)+ ( \lambda _k+b )u_k(t)=f_k(t),
\quad t\in ( 0, T ), \quad k\in \mathbb N;
\end{equation} \tag{24} \]
\[ \begin{equation}
u_k (0) = \varphi _k,\quad
\lim_{t\to 0} t^{2\gamma } u'_k(t)=\psi _k,\quad k\in \mathbb N,
\end{equation} \tag{25} \]
где
\[ \begin{equation*}
\begin{array}{c}
\varphi _k= \int _0 ^1 \varphi (x) v_k (x) dx, \quad
\psi _k=\int _0 ^1 \psi (x) v_k (x) dx,
\\
f_k(t)=\int _0 ^1 f(x, t) v_k (x) dx, \quad k\in \mathbb N.
\end{array}
\end{equation*} \]

Задача (24), (25) имеет единственное решение:
\[ \begin{multline}
u_k(t)= a_kt^{1/2-\gamma } J_{1/2-\gamma } ( t\sqrt{\lambda _k+b} )+
b_kt^{1/2 -\gamma } J_{\gamma -1/2 } ( t\sqrt{\lambda _k+b} )
+\frac{\pi }{2\cos \gamma \pi }
\int _0 ^t \bigl[ J_{1/2-\gamma } ( t\sqrt{\lambda _k+b} ) J_{\gamma -1/2} ( \tau \sqrt{\lambda _k+b} )- {}
\\
{} -J_{\gamma -1/2} ( t\sqrt{\lambda _k+b} ) J_{1/2-\gamma } ( \tau \sqrt{\lambda _k+b} ) \bigr]
\Bigl( \frac{t}{\tau } \Bigr)^{1/2-\gamma } \tau f_k ( \tau )d\tau ,\quad k\in \mathbb N,
\end{multline} \tag{26} \]
где
\[ \begin{equation}
\begin{array}{l}
a_k=\dfrac{1}{2} ( \sqrt{\lambda _k+b}/2)^{\gamma -1/2}
\Gamma ( 1/2-\gamma ) \psi _k,
\\
b_k=\dfrac{1}{2} ( \sqrt{\lambda _k+b}/2)^{1/2-\gamma }
\Gamma ( 1/2+\gamma ) \varphi _k,
\end{array}
\end{equation} \tag{27} \]
\( J_ v (x) \) — функция Бесселя первого рода [33], \(\Gamma ( z )\) — гамма-функция [30].

Лемма 6. Для функций \(u_k(t)\), \(k\in \mathbb N\), определяемых равенствами (26), при всех \(t\in [{0}, T]\) справедливы неравенства
\[ \begin{equation}
| u_k(t) |\leqslant | \varphi_k |+\frac{T^{1-2\gamma }}{1-2\gamma}
| \psi_k |+\frac{2T^{3/2}}{1-2\gamma }
\| f_k(t) \|_{L _2 ( 0, T)},\quad k\in \mathbb N,
\end{equation} \tag{28} \]
\[ \begin{equation*}
| t^{2\gamma } u'_ t (t) |\leqslant C _1 | \psi_k |+
\frac{(\lambda _k+b) T^{1+2\gamma }}{1+2\gamma } | \varphi_k |+
C _2 ( \lambda _k+b )T^{2\gamma +1/2} \| f_k(t) \|_{ L _2 ( 0, T )},\quad k\in \mathbb N,
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
\Bigl|
u''_k(t)+\frac{2\gamma }{t} u' _k (t) \Bigr|\leqslant
( \lambda _k +b ) | u_k(t) |+ | f_k(t) |,\quad k\in \mathbb N,
\end{equation*} \]
где \(C _1 \) и \( C _2 \) — некоторые действительные положительные числа.

Доказательство. Переписывая функции (26) с помощью функции Бесселя—Клиффорда \(\overline{J}_{\omega } ( z )=\Gamma ( \omega +1 ) ( z/2)^{-\omega } J_{\omega } ( z )\) и учитывая, что \({|\overline{J}_{\omega } ( z ) |\,{\leqslant}\, 1}\) при \(\omega >-1/2\), а также \(0\leqslant \tau \leqslant t\leqslant T\), получим оценку
\[ \begin{equation*}
| u_k(t) |\leqslant
| a_k |\frac{t^{1-2\gamma } ( \sqrt{\lambda _k+b}/2 )^{1/2-\gamma }} {\Gamma ( 3/2 -\gamma )}+
| b_k |\frac{(\sqrt{\lambda _k+b}/{2} )^{\gamma -1/2}} {\Gamma ( 1/2+\gamma )}+
\frac{2T}{1-2\gamma } \int _0 ^t | f_k( \tau ) |d\tau .
\end{equation*} \]
Отсюда, принимая во внимание равенства (27) и применяя неравенство Коши—Буняковского к интегралу, приходим к неравенству (28).

Остальные неравенства доказываются аналогично. $\square$

Теорема 2. Пусть \(\gamma \in (0, 1/2)\) и функции \(\varphi (x) \) и \(\psi (x) \) удовлетворяют условиям леммы 5, а функция \(f(x, t)\) удовлетворяет условиям леммы 5 по аргументу \(x\) равномерно по \(t\). Тогда ряд (23), коэффициенты которого определены равенствами (26), (27), определяет решение задачи \(A_1\).

Доказательство. Докажем равномерную сходимость в \(\overline{\Omega }\) ряда (23) и следующих рядов, формально полученных из (23):
\[ \begin{equation*}
\begin{array}{c}
\frac{\partial ^j u}{\partial x ^j }=
\sum\limits_{k=1}^\infty u_k(t)v_k^{(j)} (x) ,
\;
\frac{\partial ^j }{\partial x ^j } \Bigl( x^\alpha \frac{\partial ^{2n} u}{\partial ^{2n}} \Bigr)=
\sum\limits_{k=1}^\infty
u_k(t)\bigl( x^\alpha v_k^{ (2n) } (x) \bigr)^{(j)}, \; j=\overline{0,2n-1};
\\
t^{2\gamma } \frac{\partial u}{\partial t}=\sum\limits_{k=1}^\infty
t^{2\gamma } u_k'(t)v_k (x) ,
\end{array}
\end{equation*} \]
и равномерную сходимость в любом компакте \(D\subset \Omega\) следующих рядов:
\[ \begin{equation}
\frac{\partial ^{2n}}{\partial x^{2n}}
\Bigl( x^\alpha \frac{\partial ^{2n}u}{\partial ^{2n}} \Bigr)=
\sum\limits_{k=1}^\infty u_k(t) \bigl( x^\alpha v_k^{(2n)}(x) \bigr)^{(2n)},
\end{equation} \tag{29} \]
\[ \begin{equation*}
u_{tt}+\frac{2\gamma }{t} u_t =\sum\limits_{k=1}^\infty
\Bigl[ u''_k (t)+\frac{2\gamma }{t}u'_k (t) \Bigr] v_k (x) .
\end{equation*} \]

Рассмотрим ряд (29). В силу (4) в любом компакте \(D\subset \Omega \) ряд из правой части (29) записывается в виде
\[ \begin{equation}
\sum\limits_{k=1}^\infty \lambda _k u_k(t) v_k(t).
\end{equation} \tag{30} \]
Для доказательства равномерной сходимости ряда (30), согласно (28) достаточно доказать абсолютную и равномерную сходимость рядов
\[ \begin{equation}
\sum\limits_{k=1}^\infty \lambda _k \varphi_k v_k (x), \quad
\sum\limits_{k=1}^\infty \lambda _k \psi_k v_k (x) , \quad
\sum\limits_{k=1}^\infty \lambda _k \sqrt{\int _0 ^T f_k^2(\tau )d\tau }\, v_k (x) .
\end{equation} \tag{31} \]
К каждому из этих рядов применим неравенство Коши—Буняковского:
\[ \begin{equation*}
\biggl| \sum\limits_{k=1}^\infty \lambda_k\varphi_k v_k (x) \biggr|\leqslant
\sum\limits_{k=1}^\infty \Bigl| \sqrt{\lambda _k^3}\varphi_k\frac{ v_k (x) }{\sqrt{\lambda_k}} \Bigr|
\leqslant
\biggl[
\sum\limits_{k=1}^\infty \lambda _k^3\varphi _k^2
\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{v_k^2(x)}{\lambda_k} \biggr]^{1/2},
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
\biggl| \sum\limits_{k=1}^\infty \lambda_k\psi_k v_k (x) \biggr|\leqslant
\sum\limits_{k=1}^\infty \Bigl| \sqrt{\lambda _k^3}\psi_k\frac{ v_k (x) }{\sqrt{\lambda_k}} \Bigr|
\leqslant
\biggl[
\sum\limits_{k=1}^\infty \lambda _k^3\psi _k^2
\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{v_k^2(x)}{\lambda_k} \biggr]^{1/2},
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
\biggl| \sum\limits_{k=1}^\infty \lambda_k\sqrt{\int _0 ^T f_k^2(\tau )d\tau }\, v_k (x) \biggr|
\leqslant
\sum\limits_{k=1}^\infty
\biggl| \sqrt{\lambda _k^3\int _0 ^T f_k^2(\tau )d\tau }\frac{ v_k (x) }{\sqrt{\lambda_k}} \biggr|
\leqslant \biggl[
\int _0 ^T \sum\limits_{k=1}^\infty \lambda _k^3 f_k^2(\tau )d\tau
\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{v_k^2(x)}{\lambda_k} \biggr]^{1/2}.
\end{equation*} \]

Ряды, стоящие в правых частях этих неравенств, в силу условия теоремы 2 согласно леммам 2 и 5 равномерно сходятся. Тогда ряды, стоящие в левых частях, т.е. ряды (31), сходятся абсолютно и равномерно в \(\overline{\Omega }\). Следовательно, ряд (30) сходится абсолютно и равномерно в \(\overline{\Omega }\). Поэтому ряд в (29) сходится абсолютно и равномерно в любом компакте \(D\subset \Omega \).

Равномерная сходимость ряда (23) следует из сходимости ряда (30).

Аналогично доказывается равномерная сходимость и остальных рядов. Теорема 2 доказана. $\square$

При \(\gamma =0\) в силу \(J_{1/2} (x) =\sqrt{2/( \pi x )}\,\sin x\), \(J_{-1/2} (x) =\sqrt{2/( \pi x )}\,\cos x\) функции (26) записываются в виде
\[ \begin{equation}
u_k(t)=\varphi_k\cos ( t\sqrt{\lambda_k+b} )
+\frac{\psi_k}{\sqrt{\lambda_k+b}}\sin ( t\sqrt{\lambda_k+b} )+\frac{1}{\sqrt{\lambda_k+b}}
\int _0 ^t f_k ( \tau )\sin \bigl[ ( t-\tau )\sqrt{\lambda_k+b} \bigr] d\tau , \quad k\in \mathbb N,
\end{equation} \tag{32} \]
откуда следует оценка
\[ \begin{equation}
| u_k(t) |\leqslant | \varphi_k |+
\frac{1}{\sqrt{\lambda_k}} | \psi_k |+
\sqrt{T/\lambda_k} \| f_k(t) \|_{L _2 ( 0, T )}.
\end{equation} \tag{33} \]

В этом случае справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Пусть \(\gamma =0\) и функция \(\varphi (x) \) удовлетворяет условиям леммы 5, функция \(\psi (x) \) удовлетворяет условиям леммы 4, а функция \(f(x, t)\) удовлетворяет условиям леммы 4 по аргументу \(x\) равномерно по \(t\). Тогда ряд (23), коэффициенты которого определены равенствами (32), определяет решение задачи \(A_1\).

Доказательство. Здесь при рассмотрении ряда (29) [(30)] в силу (32) и (33) вместо (31) получим ряды
\[ \begin{equation}
\sum\limits_{k=1}^\infty \lambda_k\varphi_k v_k (x) ,\quad
\sum\limits_{k=1}^\infty \sqrt{\lambda_k}\psi_k v_k (x), \quad
\sum\limits_{k=1}^\infty \sqrt{ \lambda_k \int _0 ^T f_k^2(\tau )d\tau }\, v_k (x) .
\end{equation} \tag{34} \]

Абсолютная и равномерная сходимость первого из рядов (34) доказана выше. Рассмотрим второй и третий ряды. Применяя неравенство Коши—Буняковского к каждому из этих рядов, имеем
\[ \begin{equation*}
\biggl| \sum\limits_{k=1}^\infty \sqrt{\lambda_k}\psi_k v_k (x) \biggr|\leqslant
\sum\limits_{k=1}^\infty \Bigl| \lambda_k\psi_k\frac{ v_k (x) }{\sqrt{\lambda_k}} \Bigr|
\leqslant \biggl[
\sum\limits_{k=1}^\infty \lambda_k ^2\psi _k^2\cdot
\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{v_k^2 (x) }{\lambda_k} \biggr]^{1/2},
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
\biggl| \sum\limits_{k=1}^\infty \sqrt{\lambda_k}
\int _0 ^t f_k ( \tau )\sin \bigl[ ( t-\tau )\sqrt{\lambda_k+b} \bigr] d\tau \cdot v_k (x) \biggr|
\leqslant \sum\limits_{k=1}^\infty
\biggl| \sqrt{\lambda _k^2\int _0 ^ T f_k^2 ( \tau )d\tau } \cdot \frac{ v_k (x) }{\sqrt{\lambda_k}} \biggr|
\leqslant \biggl[ T \int _0 ^1
\sum\limits_{k=1}^\infty \lambda _k^2f_k^2 ( \tau )d\tau \cdot
\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{v_k^2 (x) }{\lambda_k} \biggr]^{1/2}.
\end{equation*} \]

В силу условия теоремы 3 на основании лемм 2 и 4 ряды в правой части последних неравенств сходятся равномерно на \( [ {0}, {1}]\). Следовательно, ряды, стоящие в левых частях, сходятся равномерно в \(\bar{\Omega }\). Дальнейшие рассуждения аналогичны случаю \(0<\gamma <1/2\). $\square$

Теорема 4. Пусть функции \(\varphi (x)\), \(\psi (x) \) и \(f(x, t)\) удовлетворяют условиям теоремы 2 или 3. Тогда для решения задачи \(A_1\) справедливы оценки
\[ \begin{equation}
\| u(x, t) \|_{L_2 ( 0, 1 )}^2\leqslant
K_0 \bigl[ \| \varphi (x) \|_{L _2 ( 0, 1 )}^2+ \| \psi (x) \|_{L _2 ( 0, 1 )}^2+
\| f(x, t) \|_{L _2 ( \Omega )}^2 \bigr],
\end{equation} \tag{35} \]
\[ \begin{equation}
\| u(x, t) \|_{C( \overline{\Omega } )}\leqslant
K _1 \Bigl[ \bigl\| \varphi ^{(2n)} (x) \bigr\|_{L_{2,r} ( 0, 1 )}+
\bigl\| \psi ^{(2n)} (x) \bigr\|_{L_{2, r} ( 0, 1 )} +
\Bigl\| \frac{\partial ^{2n}}{\partial x^{2n}} f(x, t) \Bigr\|_{ L_{2, r} ( \Omega )} \Bigr],
\end{equation} \tag{36} \]
где
\[ \begin{equation*}
\| \varphi (x) \|_{L_{2,r}( 0, 1)}=
\biggl[ \int _0 ^1 x^\alpha [ \varphi (x) ]^2dx \biggr]^{1/2},
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
\| g(x, t) \|_{L_{2,r}( \Omega )}=
\biggl[ \int _0^T \!\! \int _0 ^1 x^\alpha g^2 (x, t)dx dt \biggr]^{1/2};
\end{equation*} \]
\(r (x) = x^\alpha;\) \(K_0 \) и \(K_1\) — некоторые действительные положительные числа.

Доказательство. Учитывая ортонормальность системы \(\{ v_k (x) \}_{k=1}^\infty \) и неравенства (28), (33), из (23) получим
\[ \begin{equation*}
\| u(x, t) \|_{L_2 ( 0, 1 )}^2=
\sum\limits_{k=1}^\infty u_k^2(t)\leqslant
K_2 \sum\limits_{k=1}^\infty \bigl[ | \varphi_k |+ | \psi_k |+ \| f_k(t) \|_{L _2 ( 0, T )} \bigr]^2
\leqslant 3 K_2 \sum\limits_{k=1}^\infty
\bigl[ \varphi _k^2+\psi _k^2+ \| f_k(t) \|_{L_2 ( 0, T )}^2 \bigr],
\end{equation*} \]
где \({{K} _2 }=\mathrm{const}>0\).

Отсюда, учитывая неравенство Бесселя, получим
\[ \begin{equation}
\| u(x, t) \|_{L _2 ( 0, 1 )}^2\leqslant
3 K _2 \biggl(
\| \varphi (x) \|_{ L _2 ( 0, 1)}^2+ \| \psi (x) \|_{L _2 ( 0, 1 )}^2+
\sum\limits_{k=1}^\infty \| f_k(t) \|_{L _2 ( 0, T )}^2 \biggr).
\end{equation} \tag{37} \]

Принимая во внимание представление \(f(x, t)=\sum\limits_{k=1}^\infty f_k(t) v_k (x) \) и ортонормированность системы функций \(\{ v_k (x) \}_{k=1}^\infty \), имеем
\[ \begin{equation*}
\| f(x, t) \|_{L _2 ( \Omega )}^2=
\biggl( \sum\limits_{k=1}^\infty f_k(t) v_k (x) , \; \sum\limits_{n=1}^\infty f_n (t) v_ n (x) \biggr)_{L _2 ( \Omega )}
= \int _0 ^T \sum\limits_{k=1}^\infty [ f_k(t) ]^2 dt=
\sum\limits_{n=1}^\infty \| f_k(t) \|_{L _2 ( 0, T )}^2.
\end{equation*} \]

Если учесть это равенство, то неравенство (35) сразу следует из (37).

Из (23) на основании (28) и (33) при любых \(\overline{\Omega}\) имеем
\[ \begin{equation*}
| u(x, t) |= \biggl| \sum\limits_{k=1}^\infty v_k (x) u_k(t) \biggr|\leqslant
\sum\limits_{k=1}^\infty | v_k (x) |\, | u_k(t) |\leqslant
\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{ | v_k (x) |}{\sqrt{\lambda_k}}
\bigl( \sqrt{\lambda_k} | \varphi_k |+ K_3 \sqrt{\lambda_k} | \psi_k |+
K_4 \sqrt{\lambda_k} \| f_k(t) \|_{ L _2 ( 0, T )} \bigr),
\end{equation*} \]
где \(K_3\) и \(K_4\) — некоторые действительные положительные числа.

Отсюда, применяя неравенство Коши—Буняковского, получим
\[ \begin{equation}
| u(x, t) |\leqslant \biggl(
\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{v_k^2 (x) }{\lambda_k}
\sum\limits_{k=1}^\infty \lambda_k\varphi _k^2 \biggr)^{1/2}+
K_3 \biggl(
\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{v_k^2 (x) }{\lambda_k}
\sum\limits_{k=1}^\infty \lambda_k\psi _k^2 \biggr)^{1/2}+
K_4\biggl( \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{v_k^2 (x) }{\lambda_k}
\sum\limits_{k=1}^\infty \lambda_k \| f_k(t) \|_{L _2 ( 0, T)}^2 \biggr)^{1/2}.
\end{equation} \tag{38} \]

Принимая во внимание утверждение лемм 2 и 3, из (38) находим
\[ \begin{equation*}
\| u(x, t) \|_{C( \overline{\Omega } )}
=\sup_{\overline{\Omega }} | u(x, t) |
\leqslant K_5 \biggl( \int _0 ^1 x^\alpha [ \varphi ^{ (2n) } (x) ]^2 dx\biggr)^{1/2}+
K_3 K_5 \biggl( \int _0 ^1 x^\alpha [ \psi ^{ (2n) } (x) ]^2 dx\biggr)^{1/2}+
K_4 K_5 \biggl( \int _0 ^T \!\! \int _0 ^1 x^\alpha \Bigl[ \frac{\partial ^{2n}}{\partial x^{2n}}
f(x, t) \Bigr]^2 dxdt \biggr)^{1/2},
\end{equation*} \]
где
\[ \begin{equation*}
K_5=\biggl( \sup _{[{0}, {1}]}
\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{v_k^2 (x) }{\lambda_k} \biggr)^{1/2}.
\end{equation*} \]

Если учесть введенные обозначения, то из последнего сразу следует неравенство (36). Теорема 4 полностью доказана. $\square$

Заключение

В данной работе рассмотрена начально-граничная задача для дифференциального уравнения в частных производных высокого четного порядка в прямоугольной области. Методом разделения переменных найдено решение задачи в виде ряда, который сходится абсолютно и равномерно в замыкании области рассмотрения уравнения. Доказаны единственность решения задачи и непрерывная зависимость его от заданных функций.

Конкурирующие интересы. Мы не имеем конкурирующих интересов.
Авторский вклад и ответственность. Все авторы принимали участие в разработке концепции статьи и в написании рукописи. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами.
Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.

About the authors

Akhmdjon Kushakovich Urinov

Fergana State University; Institute of Mathematics named after V. I. Romanovsky
of the Academy of Sciences of the Republic of Uzbekistan

Author for correspondence.
Email: uinovak@mil.ru
ORCID iD: 0000-0002-9586-1799
https://www.mathnet.ru/person30024

Dr. Phys. & Math. Sci.; Professor; Dept. of Mathematical Analysis and Differential Equations; Leading Researcher

Uzbekistan, 19, Murabbiylar st., Fergana, 150100, Uzbekistan; 46, Universitetskaya st., Tashkent, 100174, Uzbekistan

Dastonbek Dilshodek ogli Oripov

Fergana State University

Email: dastonbekoripov94@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-0212-6964
https://www.mathnet.ru/person203582

Basic Doctoral Student; Dept. of Mathematical Analysis and Differential Equations

Uzbekistan, 19, Murabbiylar st., Fergana, 150100, Uzbekistan

References

Supplementary files