Асимптотические оценки разностей произведений функций Бесселя на интеграл от этих функций

Полный текст

Введение. При исследовании обратных задач по отысканию правой части вырождающихся уравнений смешанного типа [1–10] возникает задача об установлении асимптотических оценок для следующих разностей: v v v v (1) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) , (1) 0 0 v v v v (2) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) , > 0; (2) 0 (1) ( ) = v 0 ( ( ) ) v ( ( ) ) v ( ( ) ) 0 v ( ( ) ) , (3) 0 (2) ( ) = v v ( ( ) ) v v ( ( ) ) , < 0, (4) ( ( ) ) ( ( ) ) 0 0 при > + , где = 1/(2 ) = 1/( + 2), > 0 — показатель степени вырождения уравнения, ± ( · ) и ( · ) — функции Бесселя соответственно первого и второго рода, ± ( · ) и ( · ) — модифицированные функции Бесселя, = const > 0. Предварительно заметим, что v ± ( ) = 1/(2 ) ( )1/(2 ) ± ( ) = ± ( ), v ± ( ) = ± ( ), где = | | , = | | , v ± ( ) = 0 1 3 3 1 ± ( ) . 0 Тогда разность (1) принимает вид (1) ( ) = (1) ( ). 4 (5) Здесь (1) ( ) = ( ) ( ) ( ) 0 ( ) , = 3 1. (6) 0 Аналогично (5) разности (2)–(4) представим в следующем виде: (2) (2) ( ) = 4 ( ), (2) ( ) = ( ) ( ) ( ) 0 42 0 (7) ( ) , (8) (1) ( ) = 4 (1) ( ), (1) ( ) ( ) ( ) = ( ) (9) ( ) , (10) 0 0 (2) ( ), 4 (2) ( ) , > 0. ( ) ( ) ( ) = ( ) (2) ( ) = (11) (12) 0 0 Отметим, что разность (10) представляет собой функцию Ломмеля [11], [12, §10.7], [13, §7.5.5]. В данной работе, с использованием разложения функций ± ( ) и ± ( ) в степенной ряд, аналогично работам [14, 15], найдены разности (6) и (10) на основании установленной нами новой формулы для вычисления конечной суммы (см. лемму ниже), затем на их основе найдены (8) и (12). Отсюда в силу представлений (5), (7), (9) и (11) получены окончательные результаты по разностям (1)–(4) и установлены асимптотические оценки при > + . 1. Вычисление разностей (1)–(4). Используя разложения функций ± ( ) в степенной ряд, предварительно найдем ( ) = 0 0 =0 ( /2)2 = ! ( + + 1) = =0 2 + +1 22 ! ( + + 1)(2 + + 1) и вычислим произведение рядов ± ( ) ( ) = 0 = =0 ( /2)2 ± +1 ( /2)2 = ! (± + + 1) ! ( + + 1)(2 + + 1) = +1 =0 ( =0 ) 2 2 =0 [2( ) + + 1 ] 1 , ! ( )! (± + + 1) ( + + 1) где ( · ) — гамма-функция Эйлера. Теперь составим их разность: (1) ( ) = +1 ( ) 2 =0 2 ( 1 2 ) . (13) Здесь 1 = =0 1 , (14) !( )! ( + + 1) ( + + 1)(2 2 + + 1 ) 43 2 = =0 1 . (15) !( )! ( + + 1) ( + + 1)(2 2 + + 1 + ) В силу формулы для биномиальных коэффициентов ( ) ( + 1) = ( + 1) ( + 1) конечные суммы (14) и (15) представим в виде 1 1 ( ) ( ) 1 1 = , ( !)2 2( ) + + 1 + =0 ( ) ( ) 1 1 . = ( !)2 2( ) + + 1 + (16) (17) =0 На основании равенства ( ) ( ) = преобразуем конечные суммы (16) и (17): 1 ) ) ( ( 1 1 = = ( !)2 2( ) + + 1 =0 ( ) ( ) 1 1 = , ( !)2 2 + + 1 =0 2 ( ) ( ) 1 1 = . ( !)2 2 + + 1 + + =0 Тогда 1 2 = 1 . ( !)2 (18) Здесь = [ =0 ( ) ( ) ] ( ) 1 1 . 2 + + 1 2 + + 1 + + (19) Далее выведем формулу для вычисления суммы (19). Предварительно вычислим 0 , 1 , 2 и 3 , затем определим общий вид этой формулы и методом индукции докажем ее справедливость. При = 0 имеем 0 = 44 2 1 · . ( ) (1 ) ( + 1)2 2 Если = 1, то получим 1 = 2 4 · . ( ) (1 ) [( + 1)2 2 ] [( + 1 + 2)2 2 ] Когда = 2, вычисления дают следующий результат: 2 = 2·4 16 · . 2 2 ( ) (1 ) [( + 1) ] [( + 1 + 2)2 2 ] [( + 1 + 4)2 2 ] Приведенные выше вычисления для = 0, 1, 2 не дают возможности написать общий вид формулы, поэтому дополнительно найдем 3 = 64 2 · 36 · 2 2 ( ) (1 ) [( + 1) ] [( + 1 + 2)2 2 ] 1 = 2 2 [( + 1 + 4) ] [( + 1 + 6)2 2 ] 22·3 2 · (3!)2 · = ( ) (1 ) [( + 1)2 2 ] [( + 1 + 2)2 2 ] 1 . (20) 2 2 [( + 1 + 2 · 2) ] [( + 1 + 2 · 3)2 2 ] Из равенства (20) уже нетрудно записать общий вид формулы для нахождения = 22 2( !)2 · . (21) ( ) (1 ) [( + 1)2 2 ] [( + 3)2 2 ] · · · [( + 1 + 2 )2 2 ] Предварительно, используя символ Похгаммера ( ) = ( + 1) · · · ( + 1) = ( + ) , ( ) преобразуем выражение, входящее в правую часть формулы (21): ( + 1 ± )( + 1 + 2 ± ) · · · ( + 1 + 2 ± ) = ) ( + 1 ± ) + 1 ± ( + 1 ± = + 1 ··· + 2 +1 = 2 2 2 ( + 1 ± ) ( + 1 ± ) + + 1 2 +1 2 = 2 +1 = . ( + 1 ± ) 2 +1 2 Тогда формула (21) принимает вид ( ) ( ) +1+ +1 ( !)2 2 2 ) ( ) . = · ( +1+ +1 2 ( ) (1 ) + +1 + +1 2 2 (22) 45 Пусть формула (22) верна при произвольном . Докажем ее справедливость при + 1. Для этого на основании (19) найдем +1 и, используя равенство ( ) ( ) ( ) +1 = + , +1 +1 разобьем эту величину на четыре суммы: +1 = +1 [ = ( ) ( ) ] ( ) 1 1 + 2 + + 1 1 2 + + 1 + + 1 1 =0 ( ) ( ) ] ( ) +1 [ 1 1 + + 2 + + 1 2 + + 1 + + 1 =0 ( ) ( ) ] ( ) +1 [ 1 1 + + 2 + + 1 1 2 + + 1 + + 1 =0 ) ) ] ( ) ( ( +1 [ 1 1 + = 2 + + 1 2 + + 1 + + =0 = 1 + 2 + 3 + 4 . (23) В силу известных равенств ( ) =0 1 1 = [ =0 ( и +1 ) = 0, ( ) ( ) ] ( ) 1 1 = 2 + + 2 + 1 2 + + 2 + 1 + + = (здесь надо заменить на + 2) = , (24) = +2 4 = [ =0 ( ) ( ) ] ( ) 1 1 , (25) 2 + + 1 2 + + 1 + + +1 [ ( ) ( ) ] ( ) 1 1 2 = = 2 + + 1 2 + + 1 + + 1 =1 ( ) ( ) ] ( ) [ 1 1 = , (26) 2 + + 3 + 1 2 + + 3 + + 1 + =0 3 = [ =0 46 ( ) ( ) ] ( ) 1 1 . (27) 2 + + 1 1 2 + + 1 + + 1 Предварительно на основании (26) и (27) найдем сумму 2 + 3 = [ =0 ( ) 1 2 + + 2 + 1 + 1 ( ) ] ( ) 1 + 2 + + 2 + 1 + 1 ( ) ( ) ] ( ) [ 1 1 + = 2 + + 2 1 1 2 + + 2 + 1 + + 1 + =0 = =1 + =1+ . (28) = +1 = +1 Тогда, подставляя (24), (25) и (28) в (23), с учетом формулы (22) получим +1 = = +2 + =1 + =1+ = = +1 = +1 ( + 3 + ) ( + 3 ) [ ( !)2 2 2 = ) ( + 3 ) + 2 ( ) (1 ) ( + 3 + + +1 + +1 2 2 ( + 1 + ) ( + 1 ) 2 2 + ( ) ( + 1 ) +1+ + +1 + +1 2 2 ( + 3 ) ( + 1 + ) 2 2 ( ) ( + 1 + ) +3 + +1 + +1 2 ( ) 2 ( ) +3+ +1 2 2 ) ( ) ( = +1 +3+ + +1 + +1 2 2 [ ] ( !)2 = 1 2 . (29) 2 ( ) (1 ) Используя формулу ( + 1) = ( ), найдем суммы 1 и 2 : ( + 1 + ) ( + 1 ) 2 2 = ( ) ( + 3 ) +3+ + +1 + +1 2 [ 2 1] ( + 1)2 2 + ( + 1 + 2 + 2)2 2 = 47 ( + 1 + ) ( + 1 ) [ ] ( + 1)2 2 + 2( + 1)( + + 2) 2 2 = , (30) ( + 3 + ) ( + 3 ) 2 + +1 + +1 2 2 ] ( + 1 + ) ( + 1 ) [ ( + 1)2 2 + 2( + 1)( + 1) 2 2 . (31) 2 = ( + 3 + ) ( + 3 ) 2 + +1 + +1 2 2 Теперь, подставляя (30) и (31) в (29), находим +1 ( + 1 + ) ( + 1 ) (( + 2 2 = · ( ) ( + 1 ) . +1+ 2 ( ) (1 ) + +2 + +2 2 2 1)!)2 Таким образом, нами доказано следующее утверждение. Лемма. Справедлива следующая формула вычисления конечной суммы: [ =0 ) ) ] ( ) ( ( 1 1 = 2 + + 1 2 + + 1 + + ( + 1 + ) ( + 1 ) 2 ( !) 2 2 = · ( ) ( + 1 ) . (32) +1+ 2 ( ) (1 ) + +1 + +1 2 2 Тогда с учетом установленной формулы (32) и соотношений (18), (13) имеем ( + 1 + ) ( + 1 ) +1 2 2 (1) ( ) = 2 ( ) (1 ) ( 2 ) 4 ( + 1 + ) ( + 1 ) = =0 + +1 + +1 2 2 ( 2 ) 1+ 2 sin · 4 ] = [ = 2 2 ( + 1) =0 ( + 3 + ) ( + 3 ) 2 2 ( + 3 + + 3 2 ) 2 sin · 1+ ] 1 2 1; = [ , ; , (33) 2 2 4 ( + 1)2 2 где 1 2 ( · ) — обобщенная гипергеометрическая функция [13, §10.10(IV)]. Тем самым первая задача о вычислении разности (6) выполнена. 48 Теперь рассмотрим разность (10). Аналогично вычислению разности (6) c использованием разложения функций ± ( ) в обобщенный степенной ряд получим (1) ( ) = +1 ( 1) ( ) 2 =0 ( 1 2 ) = +1 2 ( 1) ( ) 2 =0 ( !)2 2 . (34) Подставляя (32) в (34), получим 1+ ( 2 ) ( 1) 4 ( + 3 + ) ( + 3 ) = 2 sin · ] (1) ( ) = [ ( + 1)2 2 =0 2 2 ( + 3 + + 3 1+ 2 sin 2 ) ] 1 2 1; = [ , ; . (35) 2 2 4 ( + 1)2 2 Таким образом, полученный нами ряд (35) совпадает с рядом, найденным Ломмелем, как частное решение неоднородного уравнения Бесселя 2 ( ) + ( ) + ( 2 2 ) ( ) = +1 с помощью обобщенного степенного ряда. Далее вычислим разности (8) и (12). На основании формул ( ) = ] [ ( ) ( ) , 2 sin ( ) = ] 1 [ ( ) cos ( ) sin имеем [ ] = ( ) ( ) ( ) ( ) = 2 sin 0 0 ( + 3 + + 3 2 ) 1+ (1) ( ) = = , ; , (36) 1 2 1; 2 sin (1 + )2 2 2 2 4 (2) ( ) [ ] 1 = ( ) ( ) ( ) ( ) = sin 0 0 1 (1) ( ) = = sin ( + 3 + + 3 2 1+ 2 ) ] 1 2 1; = [ , ; . (37) 2 2 4 (1 + )2 2 (2) ( ) Следовательно, установлено утверждение. Теорема 1. Справедливы следующие формулы: ( ) ( ) ( ) 0 ( ) = 0 49 ( + 3 + + 3 2 ) 2 1+ sin ] 1 2 1; = [ , ; , 2 2 4 (1 + )2 2 ( ) = ( ) ( ) ( ) 0 0 = ( + 3 + + 3 2 ) 1+ 1; , ; , 1 2 (1 + )2 2 2 2 4 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) = 0 ( + 3 + + 3 2 ) 2 1+ sin ] 1 2 1; , ; , = [ 2 2 4 (1 + )2 2 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) = 0 ( + 3 + + 3 2 ) 2 1+ ] 1 2 1; , ; , = [ 2 2 4 (1 + )2 2 где ± > 1. Теперь на основании (33), (35)–(37) с использованием представлений (5), (7), (9) и (11) найдем первоначальные разности (1)–(4): ( 2 sin 2 1/ ) , 1 2 1; 1 + 2 , 1 + ; 2 4 ( 2 2 1/ ) (2) ( ) = , 1 2 1; 1 + 2 , 1 + ; 4 4 ( ) 2 sin 2 (1) ( ) = ( )1/ , 1 2 1; 1 + 2 , 1 + ; 2 4 ( ) 2 2 (2) ( ) = 1 2 1; 1 + 2 , 1 + ; ( )1/ , 4 4 (1) ( ) = (38) (39) (40) (41) здесь = 1/(2 ). 2. Асимптотические оценки. Поскольку нам неизвестно асимптотическое разложение для функции 1 2 ( ; , ; ± ) при > , воспользуемся ее интегральным представлением [16, форм. (28.96)]: 1 v 1 2 ( ) ( ) 2 1 (2 ) 2 (1 2 ) 1 , (42) 1 2 ( ; , ; ) = ( ) ( ) 0 а также вытекающей из (42) формулой 1 v 1 2 ( ) ( ) 2 1 (2 ) 2 (1 2 ) 1 . 1 2 ( ; , ; ) = ( ) ( ) 0 50 Здесь > 0, > 0. На их основе найдем интегральные представления для функций (38)–(41): 1 2 (2 ) sin ( 2 ) 2 1 2 ( 2 ) 1 2 (1 2 ) 1 , > 0, (43) (1) ( )= 0 ( 2 ) 2 1 1 (2) ( ) = (2 ) 2 ( 2 ) 1 2 (1 2 ) 1 , > 0, (44) 0 1 2 (2 ) sin ( 2 ) 2 1 (1) 2 ( ( ) 2 ) 1 2 (1 2 ) 1 , < 0,(45) ( )= 0 ( 2 ) 2 1 1 (2) ( ) = (2 ) 2 ( ( ) 2 ) 1 2 (1 2 ) 1 , < 0. (46) 0 В силу формулы асимптотического разложения интеграла, содержащего функцию Бесселя (см. [17, форм. (10.87)], а также [18]), при = 1, ( ) = (1 + ) 1 имеем 1 ( ) 1 (1 2 ) 1 = 0 2 1 = ( + ) ( + + ) ( 1) ( 2 ) + sin ( ) ( ) ! 2 2 2 =0 v [ 2 1 ( 1 ) ] 2 +v ( , , ) cos + + , 2 2 > + , (47) =0 где ( , , ) = ( + ) (1/2 + + ) , ( )2 , ( )! ! (1/2 + ) =0 ] [ 3/2 1 (1 + ) , =1 [ ] ( ) = ( ) 1 (1 + ) 1 =1 . =0 ( ) = Из формулы (47) при > + найдем оценку интегралов: 1 ( ) ( + ) 2 + 2 sin ( ) + 2 2 2 1 [ ( min{ +1, + 3 } ) 2 2 ( 1 ) ] 1 2 + 2 + v ( ) cos + + , (48) 2 2 ( ) 1 (1 2 ) 1 = 0 1 ( ) ( + ) 2 + 2 sin ( ) + 2 2 2 0 3 1 ] ( 3 ) 2 2 ( ) 2 [ ( + + 1 ) ( + + 12 ) 12 2 + 2 v + 2 + 2 = ( ) 1 (1 2 ) 1 = 51 3 [ ( ] 1 2 2 ( ) 1 ) ( 1 ) v = exp + + + + ln 2 + 2 2 2 ( 3 ) + 2 . (49) Тогда в силу оценок (49) и (48) из (43)–(46) при > + получим (1) ( ) (2) ( ) 1 [ ( ) ] 23 2 ( ) (2 ) sin 1 ) ( v = exp 3 + ln 2 2 ( 1/(2 ) 3 3 ) 1 1 1 1/(2 ) 2 , 2 4 3 2 + (50) 3 [ ( ) ] 1 ) ( 23 2 ( ) (2 ) v exp 3 + ln = 2 2 ( 1/(2 ) 3 3 ) 1 1 1 1/(2 ) 2 , (51) 2 4 3 2 + 1 (1) ( ) = 2 22+ 2 (2 ) ( 2 ) sin sin 2 ( )2 2 [ 1 1 3 ( 1 ) ] 3 + 2 23 + 2 ( ) (2 ) sin cos ( ) 2 2 2 ( 1 1 3 ) 1 ( ) 2 4 3 2 + min{3, 3 + 2 } = [ 1 1 ( 1 ) ] = 32 23 + 2 ( ) (2 ) sin cos ( ) 2 3 + 2 2 ( ) 1 1 1 ( ) 2 4 3 2 + 2 , (52) 1 (2) ( ) = 1 21+ 2 (2 ) ( 2 ) sin 2 ( )2 2 [ 1 1 1 ( 1 ) ] 3 + 2 23 2 ( ) (2 ) cos ( ) 2 2 2 ( ) 1 1 1 3 ( ) 2 4 3 2 + min{3, 3 + 2 } = [ 1 1 1 ( 1 ) ] = 2 23 2 ( ) (2 ) cos ( ) 2 3 + 2 2 ( ) 1 1 1 ( ) 2 4 3 2 + 2 . (53) Таким образом, нами доказана следующая основная Теорема 2. Для разностей (1)–(4) при > + справедливы соответственно асимптотические оценки (50)–(53).

Об авторах

Камиль Басирович Сабитов

Стерлитамакский филиал Башкирского государственного университета

Email: sabitov_fmf@mail.ru
доктор физико-математических наук, профессор

Список литературы

Дополнительные файлы