# Abstract

In this paper, we present a priori error analysis of the solution of a homogeneous boundary value problem for a second-order differential equation by the Discontinuous Galerkin method on staggered grids. The spatial discretization is constructed using an appeal to a mixed finite element formulation. Second-order derivatives cannot be directly matched in a weak variational formulation using the space of discontinuous functions. For lower the order, the components of the flow vector are considered as auxiliary variables of the desired second-order equation. The approximation is based on staggered grids. The main grid consists of triangles, the dual grid consists of median control volumes around the nodes of the triangular grid. The approximation of the desired function is built on the cells of the main grid, while the approximation of auxiliary variables is built on the cells of the dual grid. To calculate the flows at the boundary between the elements, a stabilizing parameter is used. Moreover, the flow of the desired function does not depend on auxiliary functions, while the flow of auxiliary variables depends on the desired function. To solve this problem, the necessary lemmas are formulated and proved. As a result, the main theorem is formulated and proved, the result of which is a priori estimates for solving a parabolic equation using the discontinuous Galerkin method. The main role in the analysis of convergence is played by the estimate for the negative norm of the gradient. We show that for stabilization parameter of first order, the $L^2$-norm of the solution is of order $k+{1}/{2}$, if stabilization parameter of order $h^{-1}$ is taken, the order of convergence of the solution increases to $k+1$, when polynomials of total degree at least $k$ are used.

# Full Text

Введение. Ранее авторами было предложено новое семейство схем на основе локального метода Галеркина с разрывными базисными функциями на разнесенных неструктурированных сетках для уравнений диффузионного типа [1–5]. Характерной особенностью данного семейства схем является то, что аппроксимация потока искомой функции производится на двойственной сетке, состоящей из медианных контрольных объемов, связанных с узлами основной сетки, в то время как аппроксимация искомой функции рассматривается на ячейках основной сетки. В статье представлен априорный анализ погрешности локального разрывного метода Галеркина (РМГ), или Local Discontinuous Galerkin (LDG) method, для следующей параболической задачи: = , = 0, | =0 = 0 , , (1) , в , (2) где — ограниченная область в R , — граница области , 0 – известная функция. Метод LDG был впервые предложен Cockburn and Shu в работе [7] как развитие численной схемы для сжимаемых уравнений Навье—Стокса, описанной Bassi and Rebay в [8]. Эта схема, в свою очередь, является развитием метода Runge–Kutta Discontinuous Galerkin (RKDG), разработанного Cockburn and Shu [9–13] для нелинейных гиперболических систем. Вопросам получения априорных оценок для метода Галеркина с разрывными базисными функциями посвящено много работ как в России, так и за Елизавета Евгеньевна Пескова https://orcid.org/0000-0003-2618-1674 кандидат физико-математических наук; младший научный сотрудник; каф. прикладной математики, дифференциальных уравнений и теоретической механики; e-mail: e.e.peskova@mail.ru Владимир Федорович Тишкин https://orcid.org/0000-0001-7295-7002 доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент РАН; заведующий отделом; e-mail: v.f.tishkin@mail.ru 117 рубежом. Например, априорные оценки для симметричного метода Галеркина с внутренними штрафами для дискретизации по пространству эллиптических и параболических задач представлены в [17], оценки для параболических интегро-дифференциальных уравнений получены в [18], в [20] разработана абстрактная теория схем разрывного метода Галеркина в смешанной формулировке и получены априорные оценки точности для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка. Наш анализ частично основывается на технике, представленной в работах [6, 16, 19] для параболических и эллиптических задач соответственно. Для применения локального разрывного метода Галеркина перепишем исходную параболическую задачу (1), (2) как систему уравнений в частных производных первого порядка. Введем вспомогательную переменную q = и получим следующую систему уравнений: = , · = , = 0. | =0 = 0 , в , (3) в , (4) на , в . (5) 1. Локальный разрывный метод Галеркина. Покроем область расчета треугольной сеткой без зазоров и наложений. Также введем в рассмотрение двойственную сетку , составленную из медианных ячеек, центры которых лежат в узлах ячеек треугольной сетки (см. рисунок). Для удобства дальнейших рассуждений дополнительно введем в рассмотрение сетку , состоящую из ячеек , которые являются результатом пересечения ячеек из и . Слабое решение ( , ) системы (3)–(5) будем считать определенным в пространствах : { ( ) 2 } = 2 ( ) : | 1 ( )2 , , { } = 2 ( ) : | 1 ( ) , . Приближенное решение ( , ) будем искать в следующих пространствах: { ( ) 2 } = 2 ( ) : | ( )2 , , Границы ячеек основной и двойственной сетки [The boundaries of the cells of the basic and dual mesh] 118 { } = 2 ( ) : | ( ) , , где ( ) и ( )2 состоят из полиномов степени не выше . Для обеспечения единственности приближенного решения РМГ потребуем выполнение следующего условия: · = 0, ( )2 : = , (6) если ( ) и то 0 в . Приближенное слабое решение ( , ) будет определяться в каждой ячейке из следующей системы: · + · ^ · = 0, (7) + · ^ · = (8) для всех ( , ) ( )2 ( ), где и , а численные потоки ^ и ^ на границе элементов зависят от значений решения с внутренней и внешней стороны ячейки. Для определения численных потоков введем несколько обозначений. Пусть + и — два соседних элемента триангуляции . Пусть — произвольная точка грани = + , и пусть + и — соответствующие внешние нормали к элементам в данной точке. Пусть ( , ) — гладкие функции внутри каждого элемента ± и обозначим за ( ± , ± ) следы ( , ) на из внутренности ± . После этого определим средние значения {{·}} и скачки [[·]] в точке следующим образом: ( ) ( ) {{ }} = + + /2, {{ }} = + + /2, [[ ]] = + + + , [[ ]] = + · + + · . Если грань лежит внутри области , зададим потоки из (7), (8) следующим образом: ^ = {{ }} 11 [[ ]], ^ = {{ }}, (9) где вспомогательный параметр 11 определен в точке . На границе потоки задаются следующим образом: ^ = + 11 + + , ^ = 0. (10) 119 2. Используемые обозначения. Обозначим за объединение всех ребер сетки . Просуммируем уравнения (7), (8) по соответствующим элементам и получим, что приближенное решение ( , ) является единственным решением следующей вариационной задачи [15]: найти ( , ) такие, что · {{ }}[[ ]] = 0, (11) · + ( ) , {{ }}[[ ]] + · + + 11 [[ ]][[ ]] = для всех ( , ) . Введем обозначения: ( , ) = · , ( , ) = · , (12) {{ }}[[ ]] , 11 [[ ]][[ ]] , ( , ) = ( ) = , где ( , , , ) . С учетом введеных обозначений уравнения (11), (12) могут быть переписаны в следующем виде: ( , ) + ( , ) = 0, ( ) , ( , ) + ( , ) = 0, где ( , ) , ( , ) . Далее систему уравнений (11), (12) можно переписать в виде ( ) , + ( , ) + ( , ) ( , ) + ( , ) = ( ) . (13) (14) (15) 3. Вспомогательные обозначения. Пусть для каждого — характеристический размер , — диаметр максимального шара, вложенного в . Обозначим за = max . Будем рассматривать триангуляцию , обладающую свойством регулярности, т.е. существует положительная константа такая, что 6 , 120 . (16) Предложение 1. Если выполняется свойство регулярности для триангуляции , то для триангуляции также выполнено свойство регулярности, т.е. существует положительная константа такая, что 6 , . Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим произвольный треугольник с вершинами 1 , 2 , 3 . Обозначим середину ребра 1 2 за 12 , середину ребра 1 3 за 13 , середину ребра 2 3 за 23 , а точку пересечения меридиан за 123 . Рассмотрим четырехугольник с вершинами 1 , 12 , 123 , 13 и покажем, что для него выполнено свойство регулярности. Не умаляя общности, v будем находить характеристический размер четырехугольника как , где — площадь . По свойству пересечения медиан получим, что = 13 , где — площадь треугольника . Обозначим за 1 треугольник с вершинами 1 , 12 , 13 . Диаметр максимального шара, вложенного в 1 , вычисляется следующим образом 1 = 2 1 , 1 где 1 — полупериметр 1 , 1 — площадь 1 . Используя свойство медиан, получим 1 = 1 1 ·2 = . 2 2 Далее, подставляя найденные выражения, получим v v 2 2 =v 6v =v 6 v . 3 3 1 3 3 Утверждение доказано. Введем в рассмотрение набор , , определенный следующим образом: { , если мера ( ) = 0, , = внутренность , в противном случае. Будем предполагать, что существует положительная константа < 1 такая, что для каждого элемента 6 6 1 : , = . (17) Также предполагаем, что локальное пространство ( ) содержит пространство полиномов ( ) степени не выше и удовлетворяет (6). Предполагаем, что стабилизирующий коэффициент 11 , определяющий численные потоки в (9) и (10), определяется следующим образом { min{ + , }, если + , , 11 ( ) = (18) + , если + , 121 где > 0, 1 6 6 0 не зависят от размера сетки. Для удобства введем в рассмотрение параметры * и * : * = max { , 1}, * = min { , 1}. 4. Априорные оценки. Для удобства дальнейших рассуждений введем в рассмотрение проекцию. Нужно найти ( , q ) : [0, ] > W , удовлетворяющие соотношениям: , ) + ( ( , ) = 0, ) + ( ( , , ) = 0, (19) (20) где ( , ) . Обозначим за и — проекции из и на конечно-элементные пространства и соответственно. Используя проекции и , можно написать = ( ) ( ) = , = ( ) ( ) = . Используя проекцию (19), (20), систему (13), (14) можно переписать в виде ( , ) + ( , ) = 0, ( ) ( ) , ( , ) + ( , ) = , . (21) (22) , Представим ошибку погрешности проекции (19), (20) ( , ) = ( ) как следующую сумму: ( , ) = ( , ) + ( , ) . Будем считать, что выполняется свойство ортогональности метода Галеркина, а именно ( , ) + ( , ) ( , ) + ( , ) = 0 ( , ) . (23) Для получения оценки в норме , , где — натуральное число и — подобласть , нужно найти оценку погрешности аппроксимации линейного функционала ( ) = ( , ), где ( · , · ) обозначает скалярное произведение в 2 через ( ) , = ( ) . 0 ( ) , sup В настоящей работе нас интересует случай при = 0. Для достижения необходимых оценок введем в рассмотрение решение следующей двойственной задачи: = в , 122 (24) = 0 на . (25) Приведем две леммы, содержащие всю информацию, которая будет использоваться относительно конечных элементов. Их доказательство основывается на работах [14, 15]. Лемма 1. Пусть +1 ( ) , > 0. Пусть есть линейный непрерыв- ный оператор из +1 ( ) в ( ) такой, что = для всех ( ) . Тогда для целого , 0 6 6 + 1, получим min{ , }+1 | | , 6 min{ , }+ 12 0, 6 +1, , +1, , где — константа, зависящая только от в неравенстве (16), , и . Лемма 2. Существует положительная константа , зависящая только от в неравенстве (16), и такая, что для всех ( ) выполняется 1 0, 6 2 0, для всех и всех . Пусть и — произвольные проекции на пространства и , удовлетворяющие покомпонентно предположениям леммы 1. Лемма 3. Пусть ( , ) +1 ( )2 +2 ( ) и ( , ) +1 ( )2 +2 ( ), , > 0. Тогда справедлива следующая оценка: | ( , ) + ( , ) ( , ) + ( , )| 6 ) 1/2 ) 1/2 ( [ ( 2 min{ , }+2 2 min{ , }+2 2 +1, + 2 +1, 6 + ( 2 min{ +1, } 2 +2, ) 1/2 ( + ( 2 min{ , }+2 2 +1, ) 1/2 + 2 min{ , }+2 2 +1, ) 1/2 ( 2 min{ +1, } 2 +2, ) 1/2 + ( ) 1/2 ( ) 1/2 ] 2 min{ +1, }+1 2 min{ +1, }+1 2 2 + 11 +2, 11 +2, . Д о к а з а т е л ь с т в о [14]. Положим = , = , = = , = . Тогда имеем | ( , ) + ( , ) ( , ) + ( , ) | 6 6 | ( , )| + | ( , )| + | ( , )| + | ( , )|. Оценим отдельно каждое слагаемое. 123 Из неравенства Коши—Буняковского получаем ( ) 1/2 ( ) 1/2 2 2 | ( , )| 6 0, 0, . 6 Далее из оценок леммы 1 следует | ( , )| 6 ( 2 min{ , }+2 2 +1, ) 1/12 ( 2 min{ , }+2 2 +1, ) 1/2 . Интегрируя по частям и последовательно применяя неравенство Коши— Буняковского и лемму 1, получим следующую оценку: [ | ( , )| = · + 6 ( ( | |21, 6 ( 1 20, + ] · ( ) 6 ) ) 1/2 ( ( 20, + 20, ) ) 1/2 6 2 min{ +1, } 2 +2, ) 1/2 ( 2 min{ , }+2 2 +1, ) 1/2 . Далее для ( , ) и ( , ) получим | ( , )| 6 ( 2 min{ , }+2 2 +1, ) 1/2 ( | ( , )| = 11 ( out 62 ) · ( ) 6 2 11 20, ) 1/2 ( 6 ( ; 11 [[ ]] · ( ) 6 ( ) 1/2 6 2 min{ +1, } 2 +2, 2 min{ +1, }+1 11 2 +2, v v 11 11 6 11 20, ) 1/2 6 ) 1/2 ( 2 min{ +1, }+1 11 2 +2, ) 1/2 Сложив полученные неравенства, получим требуемую оценку. Следствие 1. Пусть ( , ) +1 ( )2 +2 ( ), > 0 является точным решением (3)–(5), пусть +2 ( ) , > 0 является решением двойственной задачи (24), (25) и = . Полагаем также, что коэффициент 11 124 . удовлетворяет выражению (18). Тогда существует константа , зависящая только от , , и такая, что ( , ) + ( , ) ( , ) + ( , ) 6 +2 +2 , { } где = 1+ , когда = 0 и = min +1+min{ +1, }, +1+min{ , + } для > 1. Более того, ( , ) + ( , ) ( , ) + ( , ) 6 2 +2 +2 , где = 1 2 { } (1 + ) при = 0 и = min + 1, + 12 (1 + ) при > 1. Д о к а з а т е л ь с т в о. Из леммы 3 получим ( , ; , ) ( , ) + ( , ) ( , ) + ( , ) 6 [ 6 min{ , }+1 ( min{ , }+1 + min{ +1, } )+ ] + min{ +1, }+1 ( min{ , } + min{ +1, }+ ) +2 +2 и ( , ) + ( , ) ( , ) + ( , ) 6 ] [ 6 2 min{ , }+2 + 2 min{ +1, }+1+ +2 . 2 Лемма 4. Пусть и обозначают 2 ( )-проекцию и 2 ( ) -проекцию на и соответственно. Тогда справедлива оценка ( , ) + ( , ) ( , ) + ( , ) 6 ( ) ( ) 1 1 6 20 + 11 [[ ]]2 {{ }}2 + {{ }}2 + 11 [[ ]]2 , 11 где — константа, зависящая от , и . Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем = и = , тогда получим | ( , ) + ( , ) ( , ) + ( , ) | 6 6 | ( , ) | + | ( , ) | + | ( , ) | + | ( , ) |. Используя неравенство Коши—Буняковского и тот факт, что есть 2 ( )2 проекция, получим | ( , ) | = 0. Далее получим | ( , )| = {{ }}[[ ]] . 125 1/2 Умножим и поделим полученное на 11 , применим неравенство Коши—Буняковского: ( | ( , )| 6 ) 1/2 ( 11 [[ ]] 2 ) 1/2 1 2 {{ }} . 11 Аналогично | ( , ) | = ( {{ }}[[ ]] 6 ) 1/2 ( [[ ]]2 ) 1/2 1 {{ }}2 . Первый множитель можно оценить с использованием леммы 2: [[ ]] 6 ( | · )2 6 | · 20, 6 6 sup 20 6 20 , где ( ) = min{ , }, если , , ( ) = , если , = = sup{ ( ) : }. И, наконец, | ( , ) | = ( 11 [[ ]][[ ]] 6 ) 1/2 ( 11 [[ ]] 2 ) 1/2 11 [[ ]] . 2 Доказательство завершено. 2 Лемма 5. Для ( , ) +1 ( ) +2 ( ) , > 0 справедлива оценка ( 1 ) 1 {{ }}2 + {{ }}2 + 11 [[ ]]2 6 11 ) ( 2 min{ , }+1 1 2 6 +1, + 11 ) ( 2 min{ +1, }+1 ( 1 ) + 11 + 2 +2, , где 11 = inf{ 11 ( ) : }, = inf{ ( ) : }, — константа, не зависящая от размера сетки, а зависящая только от аппроксимации и констант из лемм 1 и 2, = , = и ( ) = min{ , }, если , , ( ) = , если , = sup{ ( ) : }. 2 Следствие 2. Пусть ( , ) +1 ( ) +2 ( ) , > 0. Полагаем, что коэффициент 11 удовлетворяет (18). Рассматриваемые триангуляции удовлетворяют предположению (16). Если = 0, предполагаем, что (17) 126 имеет силу. Тогда существует константа , которая зависит только от , , , и такая, что ( ) 1 1 {{ }}2 + {{ }}2 + 11 [[ ]]2 6 2 2 +2 , 11 где = 21 (1 * ) , если = 0 и = min{ + 21 (1 + * ) , + > 1. Если = 0, константа не зависит от . 1 2 (1 * )}, если Д о к а з а т е л ь с т в о. Если взять коэффициент 11 в виде (18), то после простых вычислений получим 1 6 1 11 и ( 11 1 ) 1 1 , + 6 + где параметр определяется в (17). Далее получим ( 1 ) 1 {{ }}2 + {{ }}2 + 11 [[ ]]2 6 11 [ ( ) ] 6 2 min{ , }+1 1 + 2 min{ +1, }+1 + 1 2 +2 , откуда непосредственно вытекает искомая оценка. Предполагаем, что выполняются следующие аппроксимационные свойства для проекций и : | ( , ) + ( , ) ( , ) + + ( , ) | 6 +2 +2 (26) для произвольных ( , ), ( , ) и | ( , ) + ( , ) ( , ) + ( ) + ( , ) | 6 20 + 11 [[ ]]2 +2 (27) для произвольных ( , ) и ( , ) 1 ( )2 2 ( ). Лемма 6. Справедлива следующая оценка 20 + 11 [[ ]]2 6 +2 + +2 . 127 Д о к а з а т е л ь с т в о. 2 0 + 11 [[ ]]2 6 20 + 11 [[ ]]2 + 20 + + Т.к. ( 20 + 11 [[ ]]2 . ) 2 11 [[ ]]2 = ( , ) + ( , ) ( , ) + ( , ) , = ( , ) + ( , ) ( , ) + ( , ) из (23), = ( , ) + ( , ) ( , ) + ( , ) , ) ( 2 2 11 [[ ]] +2 из (27). 6 0 + Таким образом, справедлива следующая оценка: 20 + 11 [[ ]]2 6 +2 (28) и далее 20 + 11 [[ ]]2 6 + 11 [[ ]]2 + +2 . Искомая оценка следует после применения предположения (26). Лемма 7. Пусть — натуральное число. Тогда справедлива следующая оценка: , 6 min{ ,2 } +2 . Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть является решением двойственной задачи (24), (25) и = , тогда легко показать, что при выборе = получим ( , ) + ( , ) ( , ) + ( , ) = ( ) для всех ( , ) . Задача (1), (2) может быть переписана в виде (15). Возьмем ( , ) = ( , ), получим ( ) = ( , ) + ( , ) ( , ) + ( , ) , 128 = ( , ) + ( , ) ( , ) + + ( , ) из (23), = ( , ) + ( , ) ( , ) + + ( , ) + ( , ) + + ( , ) ( , ) + + ( , ) . Т.к. ( , ) , применяя (27) и (28), получим следующую оценку: | ( , ) + ( , ) ( , ) + + ( , ) | 6 +2 +2 , далее получим | ( )| 6 +2 +2 + ( , ) + + ( , ) ( , ) + ( , ) . Применим предположение (26) и по определению негативной нормы получим искомую оценку. Следствие 3. Пусть — натуральное число. Тогда справедлива следую- щая оценка: , 6 min{ ,2 } ( +2 + +2 ) . Д о к а з а т е л ь с т в о. Для получения искомой оценки нужно продифференцировать (19), (20) по и выполнить процедуру доказательства, аналогичную при доказательстве леммы 7. Используя введенную ранее проекцию (19), (20), можно записать = ( ) ( ) = , ) ( ) = . q = (q Лемма 8. Существует константа , не зависящая от и такая, что 2 + 0 ( 2 6 (0) + 2 ) . 2 0 Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем = в (21) и = в (22), просуммируем и получим 1 2 + ( , ) + ( , ) = ( , ) . 2 129 Используя неравенство Коши—Буняковского, получим 2 + 2 + 2 ( , ) 6 2 + 2 . Интегрируя последнее выражение от 0 до , получим { } 2 . 2 + 2 + 2 + 2 ( , ) 6 (0) 2 + 0 0 0 Используя лемму Гронуолла, получим ( 2 2 2 + 6 (0) + 0 ) . 2 0 Возьмем = в (21) и = в (22). Используя неравенство Коши— Буняковского, получим 1 1 1 1 ( , ) + 2 + ( , ) 6 2 . 2 2 2 2 Интегрируя от 0 до , получим ( ) 2 2 2 + + ( , ) 6 (0) + (0) , (0) + 2 . 0 0 5. Формулировка и доказательство основной теоремы. Теорема. Пусть ( , ) является решением задачи (3)–(5) и ( , ) является решением задачи (11)–(12). Пусть выполнены предположения на локальные пространства и на вид стабилизирующего параметра 11 . Предполагаем, что триангуляция удовлетворяет предположению (16). При = 0 также предполагаем, что имеет силу предположение (17). Тогда для ( , ) +1 ( ) +2 ( ) при > 0 получим оценку ( ) + 0 6 +2 + { ( ) +2 + ( ) +2 } , 0 где зависит от , (в случае = 0), , и ; } { 1 1 1 = min + (1 + * ) , + (1 * ) , = (1 + * ) , 2 2 2 В случае = 0 получим = = 1 2 если > 1. (1 * ) . Д о к а з а т е л ь с т в о. С учетом неравенств треугольника для искомой оценки справедливо утверждение 0 6 0 + 0 . (29) Рассмотрим норму 2 погрешности . Возьмем = 0 и = в лемме 7. Из условия эллиптической регулярности двойственной задачи (24), (25) 130 получим 2 6 0 . Оценка 0 получается из следствий 1 и 2 и ограниченности 1 и 2 величиной 0 . Получим 0 6 min{ | =0 , + | =0 } +2 , и т.к. min{ | =0 , + | =0 } = + | =0 , получим следующую оценку 0 6 + +2 , (30) где = | =0 . Используя неравенство треугольника (29), лемму 8 и следствие 3, получим искомую оценку. Доказательство завершено. В таблице ниже представлены порядки сходимости по с различным выбором стабилизирующего параметра 11 . Эти порядки получаются из (30). Порядки сходимости решения +2 для > 0 и > 1 [Convergence orders of solution +2 for > 0 and > 1] 11 =0 = 1 (1) (1/ ) 0 } { min + 12 , + 12 min { + 1, } + 1 Заключение. В работе получены оценки погрешности решения двумерной однородной краевой задачи для параболического уравнения с помощью метода Галеркина с разрывными базисными функциями на разнесенных неструктурированных сетках. При этом предполагалось, что узлы двойственной сетки являются центрами ячеек основной сетки. Как видно из таблицы, в случае использования стабилизирующего коэффициента порядка единицы получается порядок сходимости + 1/2, а в случае использования стабилизирующего коэффициента порядка 1 порядок сходимости увеличивается до + 1 для исследуемого метода, где — максимальный порядок используемых полиномов в базисных функциях. В данном случае, в отличие от традиционного подхода, в котором используется одна сетка, выбор численных потоков на границе элементов происходит интуитивно более понятно за счет использования разнесенных сеток. Оптимальность полученных теоретических результатов тестировалась для двумерных задач в серии ранее опубликованных работ [1,2,4,5]. Полученные порядки сходимости для локального разрывного метода Галеркина на разнесенных неструктурированных сетках соответствуют аналогичным оценкам, ранее полученным другими авторами на неразнесенных неструктурированных сетках [7, 15, 18].

# About the authors

### Ruslan V. Zhalnin

Ogarev Mordovia State University

Candidate of physico-mathematical sciences, Associate professor

### Victor Fedorovich Masyagin

Ogarev Mordovia State University

Email: vmasyagin@gmail.com

Candidate of physico-mathematical sciences, no status

### Elizaveta Evgenievna Peskova

Ogarev Mordovia State University

without scientific degree, Scientific Employee

### Vladimir Fedorovich Tishkin

Keldysh Institute of Applied Mathematics of Russian Academy of Sciences

Email: tishkin@imamod.ru, v.f.tishkin@mail.ru

Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

# References

1. Масягин В. Ф., Жалнин Р. В., Тишкин В. Ф., "О применении разрывного конечно-элементного метода Галеркина для решения двумерных уравнений диффузионного типа на неструктурированных сетках", Журнал СВМО, 15:2 (2013), 59-65
2. Жалнин Р. В., Ладонкина М. Е., Масягин В. Ф., Тишкин В. Ф., "Об одном способе решения уравнений диффузионного типа с помощью разрывного метода Галeркина на неструктурированной сетке", Журнал СВМО, 16:2 (2014), 7-13
3. Жалнин Р. В., Ладонкина М. Е., Масягин В. Ф., Тишкин В. Ф., "Решение трехмерных уравнений теплопроводности с помощью разрывного метода Галeркина на неструктурированных сетках", Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 19:3 (2015), 523-533
4. Жалнин Р. В., Ладонкина М. Е., Масягин В. Ф., Тишкин В. Ф., "Решение задач о нестационарной фильтрации вещества с помощью разрывного метода Галеркина на неструктурированных сетках", Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 56:6 (2016), 989-998
5. Жалнин Р. В., Ладонкина М. Е., Масягин В. Ф., Тишкин В. Ф., "Применение разрывного метода Галеркина для решения параболических задач в анизотропных средах на треугольных сетках", Вестн. ЮУрГУ. Сер. Матем. моделирование и программирование, 9:3 (2016), 144-151
6. Жалнин Р. В., Масягин В. Ф., "Априорные оценки для метода Галеркина с разрывными базисными функциями на разнесенных сетках для однородной задачи Дирихле", Вестн. ЮУрГУ. Сер. Матем. моделирование и программирование, 11:2 (2018), 29-43
7. Cockburn B., Shu C.-W., "The local discontinuous Galerkin finite element method for convection-diffusion systems", SIAM J. Numer. Anal., 35:6 (1998), 2440-2463
8. Bassi F., Rebay S., "A High-Order Accurate Discontinuous Finite Element Method for the Numerical Solution of the Compressible Navier-Stokes Equations", J. Comp. Phys., 131:2 (1997), 267-279
9. Cockburn B., Hou S., Shu C.-W., "TVB Runge-Kutta local projection discontinuous Galerkin finite element method for conservation laws IV: The multidimensional case", Math. Comp., 54:190 (1990), 545-581
10. Cockburn B., Lin S.-Y., Shu C.-W., "TVB Runge-Kutta local projection discontinuous Galerkin finite element method for conservation laws III: One dimensional systems", J. Comput. Phys., 84:1 (1989), 90-113
11. Cockburn B., Shu C.-W., "TVB Runge-Kutta local projection discontinuous Galerkin finite element method for conservation laws. II. General framework", Math. Comp., 52:186 (1989), 411-435
12. Cockburn B., Lin S.-Y., Shu C.-W., "The Runge-Kutta local projection -discontinuous Galerkin method for scalar conservation laws", ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis, 25:3 (1991), 337-361
13. Cockburn B., Shu C.-W., "The Runge-Kutta discontinuous Galerkin finite element method for conservation laws V: Multidimensional systems", J. Comput. Phys., 141:2 (1998), 199-224
14. Ciarlet P. G., The Finite Element Method for Elliptic Problems, Classics in Applied Mathematics, SIAM, Philadelphia, 2002, xxiii+529 pp.
15. Castillo P., Cockburn B., Perugia I., Schötzau D., "An a priory error analysis of the local discontinuous Galerkin method for elliptic problems", SIAM J. Numer. Anal., 38:5 (2000), 1676-1706
16. Thomee V., Galerkin Finite Element Methods for Parabolic Problems, Springer Series in Computational Mathematics, 25, Springer, Berlin, 1997, x+302 pp.
17. Rivière B., Discontinuous Galerkin Methods for Solving Elliptic and Parabolic Equations, Frontiers in Applied Mathematics, SIAM, Philadelphia, 2008, xxii+178 pp.
18. Pany A., Yadav S., "An -local discontinuous Galerkin method for parabolic integro-differential equations", J. Sci. Comput., 46:1 (2011), 71-99
19. Babuška I., Suri M., "The version of the finite element method with quasiuniform meshes", ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis, 21:2 (1987), 199-238
20. Даутов Р. З., Федотов Е. М., "Абстрактная теория HDG-схем для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка", Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 54:3 (2014), 463-480

# Statistics

#### Views

Abstract - 59

PDF (Russian) - 18

### Refbacks

• There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2020 Samara State Technical University