The nonlocal problem for a non-stationary third order composite type equation with general boundary condition

Abstract


We consider a nonlocal boundary value problem for non-stationary composite type equation of the third order. The values of function and its derivatives up to the second order on the boundary are given as a linear combination. The initial conditions are nonlocal. We prove the unique solvability for this problem. In proving the problem solution uniqueness we use the method of energy integrals and the theory of quadratic forms. For the problem solution construction we use the potential theory and Volterra integral equations. Some asymptotic properties of the fundamental solutions of the equation are studied.

Full Text

Целью данной работы является исследование уравнения 3 3 + 3 =0 3 (1) в области = {( , , ) : 0 < < 1, 0 < < 1, 0 < 6 } с краевыми условиями ( , , 0) = ( , , ), = const, (2) 1 ( , ) (0, , ) + 2 ( , ) (0, , ) = 1 ( , ), (0, , ) = 2 ( , ), (3) 3 ( , ) (1, , ) + 4 ( , ) (1, , ) + 5 ( , ) (1, , ) = 3 ( , ), 1 ( , ) ( , 0, ) + 2 ( , ) ( , 0, ) = 1 ( , ), ( , 0, ) = 2 ( , ), (4) 3 ( , ) ( , 1, ) + 4 ( , ) ( , 1, ) + 5 ( , ) ( , 1, ) = 3 ( , ), где 2 2 5 5 = 0; 0,1 1 ( , ), 2 ( , ), 1 ( , ) , ( 1 ); 0,1 1 ( , ), 2 ( , ), 1 ( , ) , ( 3 ); 0,1 2 ( , ) ( 1 ); 3 ( , ), 4 ( , ), 5 ( , ), 3 ( , ) , ( 2 ); 0,1 2 ( , ) ( 3 ); 3 ( , ), 4 ( , ), 5 ( , ), 3 ( , ) , ( 4 ). (5) Здесь 0 = {( , , ) : 0 < < 1, 0 < < 1, = 0}, 1 = {( , , ) : = 0, 0 < < 1, 0 < 6 }, 2 = {( , , ) : = 1, 0 < < 1, 0 < 6 }, 3 = {( , , ) : 0 < < 1, = 0, 0 < 6 }, 4 = {( , , ) : 0 < < 1, = 1, 0 < 6 }. Уравнение (1) является обобщением уравнения 3 =0 3 (6) в пространстве R3 . Уравнение (6) исследовано в работе [1], в которой построено фундаментальное решение уравнения и разработана теория потенциалов, с помощью которой можно построить регулярное решение краевых задач для уравнения (6). В работе [2] доказано, что фундаментальное решение уравнения (1) имеет следующий вид: ( ) ( ) 1 , = , = , > ; ( )2/3 ( )1/3 ( )1/3 ( ) ( ) 1 1 ( , , ; , , ) = , = , > , > ; ( )2/3 ( )1/3 ( )1/3 ( ) ( ) 1 2 ( , , ; , , ) = , > , = , > . ( )2/3 ( )1/3 ( )1/3 0 ( , , ; , , ) = Здесь функции ( ) и ( ) называются функциями Эйри и являются решениями уравнения ( ) + ( ) = 0. 3 Для функций ( ) и ( ) справедливы следующие соотношения (см. [3]): ( 2 ) /2 1/4 3/2 ( ) ( ) + sin , 3 188 при > , ( 2 ) /2 1/4 ( ) ( ) exp | |3/2 , при > , | | 3 0 2 ( ) = , ( ) = 0. ( ) = , ( ) = , 3 3 0 0 Здесь + , — постоянные. Далее нами изучены (см. [3]) свойства фундаментальных решений уравнения (1), которые будут необходимы при построении решений краевых задач типа (1)–(4). Эти свойства фундаментальных решений даются в виде следующих лемм (см. [3, 14]). ( ) Лемма 1. Пусть ( , ) 2 . Тогда 1 2 0 ( 1, ; ) ( , ) = lim ( , ). >1 0 0 3 0 ( ) Лемма 2. Пусть ( , ) 4 . Тогда 1 2 lim 0 ( , 1; ) ( , ) = ( , ). >1 0 0 3 0 ( ) Лемма 3. Пусть ( , ) 1 удовлетворяет неравенству Гельдера с показателем > 1/4. Тогда 1 2 2 lim 0 ( 0, ; ) ( , ) = ( , ), >0+0 0 3 0 1 lim 2 ( 0, ; ) ( , ) = 0. >0+0 0 0 ( Лемма 4. Пусть ( , ) 3 ) удовлетворяет неравенству Гельдера с показателем > 1/4. Тогда 1 2 2 ( , ), lim 0 ( , 0; ) ( , ) = >0+0 0 3 0 1 lim 1 ( , 0; ) ( , ) = 0. >0+0 0 0 ( ) Лемма 5. Пусть ( , ) 1 . Тогда 0 ( , ) 2 (0) v = ( , ), ( )1/3 3 (0) ( ) ( , ) . ( )1/3 0 0 ( ) Отметим, что фундаментальные решения уравнения (1) и линейного уравнения Захарова—Кузнецова 1 где ( , ) = + + = 0 (7) 189 обладают идентичными асимптотическими свойствами на бесконечности [4–8]. Уравнение Захарова—Кузнецова (7) является одним из вариантов обобщения уравнение Кортевега—де Фриза в многомерном пространстве и описывает ионно-акустические волновые процессы в плазме [5, 8]. В настоящее время часто возникают задачи, связанные с исследованием уравнений в частных производных, не принадлежащих ни к одному из классических типов. Поэтому в последние годы уделяется большое внимание исследованию такого рода неклассических уравнений, которые еще мало изучены [3–14]. Проведем исследование задачи (1)–(4). Теорема 1. Пусть 2 > 0, < 0, и выполнены следующие условия: ) 5 = 0, 2 3 5 42 > 0, ) 5 = 0, 2 3 5 42 > 0, 3 1 + > 0, 5 2 3 1 + > 0, 5 2 1 6 0; 2 1 6 0. 2 Тогда задача (1)–(4) имеет не более одного решения. Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим, что существует два решения задачи (1)– (4). Тогда, вводя обозначение ( , , ) = 1 ( , , ) 2 ( , , ), получаем относительно функции ( , , ) следующую задачу с однородным краевым условием: ( ) + = 0, ( , , 0) = ( , , ), = const, 1 ( , ) (0, , ) + 2 ( , ) (0, , ) = 0, (0, , ) = 0, 3 ( , ) (1, , ) + 5 ( , ) (1, , ) + 5 ( , ) (1, , ) = 0, 1 ( , ) ( , 0, ) + 2 ( , ) ( , 0, ) = 0, ( , 0, ) = 0, 3 ( , ) ( , 1, ) + 4 ( , ) ( , 1, ) + 5 ( , ) ( , 1, ) = 0. Рассмотрим тождество 0 1 1 0 ( ) ( , , ) = 0. 0 Интегрируя его по частям, получим 1 ( ) 3 2 4 1 (1, , ) + (1, , ) (1, , ) + 2 (1, , ) 5 5 2 0 0 1 ( ) 3 2 4 1 ( , 1, ) + ( , 1, ) ( , 1, ) + 2 ( , 1, ) 5 5 2 0 0 1 ( 1 ( ) 1 2 1 ) 2 (0, , ) ( , 0, ) 2 2 0 0 0 0 190 1 2 0 1 1 ( 0 ) 2 2 ( , , ) + 2 0 0 1 1 2 ( , , ) = 0. 0 Отсюда в силу условий теоремы квадратичная форма = 35 2 + 54 + 12 2 будет положительно определенной. Следовательно, можно записать 1 3 2 4 + + 2 1 2 + 2 2 . 5 5 2 Здесь 1 > 0, 2 > 0 — характеристические числа матрицы квадратичной формы . Аналогичный вывод можно сделать для 35 2 + 45 + 12 2 . Тогда в силу условий теоремы имеем = 0 в , и в силу непрерывности функции ( , , ) в получаем ( , , ) = 0 в . Теорема 2. Пусть выполнены условия (5) и условия теоремы 1. Тогда задача (1)–(4) имеет единственное решение. Д о к а з а т е л ь с т в о. Решение задачи (1)–(4) построим методом потенциалов. Будем его искать в следующем виде: 1 1 ( , , ) = 0 ( , , ; , , 0) 0 ( , ) + 0 0 1 1 + 0 ( , , ; 0, , ) 1 ( , ) + 0 ( , , ; 1, , ) 2 ( , ) + 0 0 0 0 1 1 + 2 ( , , ; 0, , ) 3 ( , ) + 0 ( , , ; , 0, ) 1 ( , ) + 0 0 0 0 1 ( ) + 0 ( , , ; , 1, ) 2 ( , ) + 1 ( , , ; , 0, ) 3 ( , ) . 0 0 Здесь 0 ( , ) ( , , 0); ( , ), ( , ) — пока неизвестные функции. Теперь, удовлетворяя условию (2), первому и третьему условиям из (3) и (4), а также используя леммы 1, 2, 3, 4, из (7) получаем следующую систему интегральных уравнений: 1 1 1 0 ( , ) = 0 ( , , ; ) 0 ( , ) + 0 0 1 + 0 ( 0, , ) 1 ( , ) + 0 0 1 0 ( 1, , ) 2 ( , ) + + 0 0 1 + 2 ( 0, , ) 3 ( , ) + 0 0 1 + 1 ( , 0, ) 3 ( , ) + 0 0 1 + 0 ( , 1, ) 2 ( , ) + 0 0 191 1 0 ( , 0, ) 1 ( , ) , (8) + 0 0 2 2 1 ( , ) + 2 ( , ) 1 ( , ) = 3 1 1 ( ) 1 0 (0 , , ) + 2 0 (0 , , ) 0 ( , ) + = 0 0 1 ( ) + 1 0 (0 0, , ) 1 ( , ) + 1 2 (0 0, , ) 3 ( , ) + 0 0 1 ( ) + 1 0 (0 1, , ) + 2 0 (0 1, , ) 2 ( , ) + 0 0 1 ( ) + 1 1 (0 , 0, ) + 2 1 (0 , , ) 3 ( , ) + 0 0 1 ( ) + 1 0 (0 , 1, ) + 2 0 (0 , 1, ) 2 ( , ) + 0 0 1 ( ) + 1 0 (0 , 0, ) + 2 0 (0 , , ) 1 ( , ) , (9) 0 0 1 1 2 3 ( , ) 5 ( , ) 2 ( , ) = 3 0 (1 , , ) 0 ( , ) + 3 0 0 1 1 ( ) + 4 0 (1 , , ) + 5 0 (1 , , ) 0 ( , ) + 0 0 1 ( ) + 3 0 (1 1, , ) + 4 0 (1 1, , ) 2 ( , ) + 0 0 1 ( ) + 3 0 (1 0, , ) + 4 0 (1 0, , ) 1 ( , ) + 0 0 1 + 5 0 (1 0, , ) 1 ( , ) + 0 0 1 ( ) + 3 2 (1 0, , ) + 4 2 (1 0, , ) 3 ( , ) + 0 0 1 + 5 2 (1 0, , ) 3 ( , ) + 0 0 1 ( ) + 3 1 (1 , 0, ) + 4 1 (1 , 0, ) 3 ( , ) + 0 0 1 + 5 1 (1 , 0, ) 3 ( , ) + 0 0 1 ( ) + 3 0 (1 , 1, ) + 4 0 (1 , 1, ) 2 ( , ) + 0 0 1 + 5 0 (1 , 1, ) 2 ( , ) + 0 192 0 + 0 0 1 ( ) 3 0 (1 , 0, ) + 4 0 (1 , 0, ) 1 ( , ) + 1 5 0 (1 , 0, ) 1 ( , ) , (10) + 0 0 2 2 1 ( , ) + 2 ( , ) 1 ( , ) = 3 1 1 ( ) = 1 0 ( , 0 , ) + 2 0 ( , 0 , ) 0 ( , ) + 0 0 1 ( ) + 1 0 ( 1, 0 , ) + 2 0 ( 1, 0 , ) 2 ( , ) + 0 0 1 ( ) + 1 0 ( 0, 0 , ) + 2 0 ( 0, 0 , ) 1 ( , ) + 0 0 1 ( ) + 1 2 ( 0, 0 , ) + 2 2 ( 0, 0 , ) 3 ( , ) + 0 0 1 + 1 1 ( , 0 0, ) 3 ( , ) + 0 0 1 ( ) + 1 0 ( , 0 1, ) + 2 0 ( , 0 1, ) 2 ( , ) + 0 0 1 + 1 0 ( , 0 0, ) 1 ( , ) , (11) 0 0 2 3 ( , ) 5 ( , ) 2 ( , ) = 3 1 1 ( ) = 3 0 ( , 1 , ) + 4 0 ( , 1 , ) 0 ( , ) + 0 0 1 1 + 5 0 ( , 1 , ) 0 ( , ) + 0 0 1 ( ) + 3 0 ( 1, 1 , ) + 4 0 ( 1, 1 , ) 2 ( , ) + 0 0 1 + 5 0 ( 1, 1 , ) 2 ( , ) + 0 0 1 ( ) + 3 0 ( 0, 1 , ) + 4 0 ( 0, 1 , ) 1 ( , ) + 0 0 1 + 5 0 ( 0, 1 , ) 1 ( , ) + 0 0 1 ( ) + 3 2 ( 0, 1 , ) + 4 2 ( 0, 1 , ) 3 ( , ) + 0 0 1 + 5 2 ( 0, 1 , ) 3 ( , ) + 0 0 193 + 0 1 ( 0 ) 3 1 ( , 1 0, ) + 4 1 ( , 1 0, ) 3 ( , ) + 1 5 1 ( , 1 0, ) 3 ( , ) + + 0 0 1 + 3 0 ( , 1 1, ) 2 ( , ) + 0 0 1 4 0 ( , 1 1, ) 2 ( , ) + + 0 + 0 0 1 ( 0 ) 3 0 ( , 1 0, ) + 4 0 ( , 1 0, ) 1 ( , ) + 1 5 0 ( , 1 0, ) 1 ( , ) . (12) + 0 0 В этой системе первое уравнение является уравнением второго рода фредгольмовского типа, а остальные уравнения относятся к уравнениям второго рода вольтерровского типа. Теперь, удовлетворяя второе условие из (3) и (4), получаем уравнения, относящиеся интегральным уравнением первого рода вольтерровского типа: 2 ( , ) = 0 1 1 0 (0 , , ) 0 ( , ) + 1 + 0 (0 0, , ) 1 ( , ) + 0 0 1 0 (0 1, , ) 2 ( , ) + + 0 0 1 + 2 (0 0, , ) 3 ( , ) + 0 0 1 + 1 (0 , 0, ) 3 ( , ) + 0 0 1 + 0 (0 , 1, ) 2 ( , ) + 0 0 1 + 0 (0 , 0, ) 1 ( , ) , (13) 0 0 2 ( , ) = 0 1 1 0 ( , 0 , ) 0 ( , ) + 1 + 0 ( 0, 0 , ) 1 ( , ) + 0 0 1 + 0 ( 1, 0 , ) 2 ( , ) + 0 0 194 0 0 1 2 ( 0, 0 , ) 3 ( , ) + + 0 0 1 1 ( , 0 0, ) 3 ( , ) + + 0 0 1 + 0 0 0 ( , 0 1, ) 2 ( , ) + 1 ( , 0 0, ) 1 ( , ) . (14) + 0 0 Чтобы свести эти уравнения к уравнению второго рода, используем лемму 5, т.е. применяем преобразование Абеля. Тогда уравнения (13) и (14) сведутся к интегральным уравнениям второго рода вольтерровского типа. Так как в системе уравнений, состоящих из уравнений (9)–(14), 2 2 2 ( , ) 0 0 0 0 0 3 2 0 ( , ) 0 0 0 0 3 5 2 2 0 0 0 ( , ) 0 0 2 3 = = 2 0 0 0 0 3 5 ( , ) 0 2 2 v v (0) (0) 0 0 0 0 3 3 2 2 v v 0 0 0 (0) 0 (0) 3 3 ( ) 2 4 2 2 2 5 5 (0) = 0, = 243 ее можно записать в следующем виде: 1 ( , ) = ( , ; , ) ( , ) + ( , ; 0 ), 0 = 1, 6. (15) 0 Здесь 1 ( , ) 1 ( , ), 4 ( , ) 1 ( , ), 2 ( , ) 2 ( , ), 5 ( , ) 2 ( , ), | ( , ; , )| 6 · ( ) 11/12 , 3 ( , ) 3 ( , ), 6 ( , ) 3 ( , ), ( , ) 1 ( ). Так как система уравнений (15) является системой уравнения вольтерровcкого типа, она имеет единственное решение. Теперь, воспользовавшись ее решением, из уравнения (8) получаем интегральные уравнения второго рода фредгольмовского типа: 1 1 0 ( , ) = 1 ( , ; , ) 0 ( , ) + 0 ( , ), 0 0 1 1 0 ( , ) = 1 ( , ; , ) 0 ( , ) + 1 ( , ). 0 0 Здесь в силу свойств функций Эйри имеем ( ) 1/4 | 1 ( , ; , )| 6 · ( )( ) , 0 ( , ), 1 ( , ) 1 ( ). 195 Теперь в силу теоремы 1 решение этого интегрального уравнения существует. Тогда задача (1)–(4) имеет единственное решение.

About the authors

Abdukomil Risbekovich Khashimov

Tashkent Financial Institute

Email: khashimov_abdukomil@yahoo.com, abdukomil@yandex.ru

Candidate of physico-mathematical sciences, Associate professor

References

  1. Cattabriga L., "Un problema al contorno per una equazione parabolica di ordine dispari", Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa - Classe di Scienze, Serie 3, 13:2 (1959), 163-203
  2. Абдиназаров С., Собиров З. А., "О фундаментальных решениях уравнения с кратными характеристиками третьего порядка в многомерном пространстве", Дифференциальные уравнения с частными производными и родственные проблемы анализа и информатики, Тр. межд. научн. конф., Ташкент, 2004, 12-13
  3. Хашимов А. Р., "О некоторых свойствах фундаментальных решений нестационарного уравнения нечетного порядка составного типа в многомерных областях", Докл. АН РУз, 2010, № 5, 6–9
  4. Фаминский А. В., "Задача Коши для уравнения Захарова-Кузнецова", Дифференц. уравнения, 31:6 (1995), 1070-1081
  5. Попов С. П., "Особенности численного моделирования двухсолитонных решений уравнения Захарова-Кузнецова", Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 39:10 (1999), 1749-1757
  6. Khashimov A. R., "Some properties of the fundamental solutions of nonstationary third order composite type equation in multidimensional domains", J. Nonlin. Evol. Equ. Appl., 2013, no. 1, 29–38
  7. Хашимов А. Р., Якубов С., "О некоторых свойствах решений задачи Коши для нестационарного уравнения третьего порядка составного типа", Уфимск. матем. журн., 6:4 (2014), 139-148
  8. Фаминский А. В., "О нелокальной корректности смешанной задачи для уравнения Захарова–Кузнецова", Современная математика и ее приложения, 38 (2006), 135–148
  9. Кожанов А. И., Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка, НГУ, Новосибирск, 1990, 130 с.
  10. Фаминский А. В., Опритова М. А., "О задаче Коши для уравнения Кавахары", Труды Шестой Международной конференции по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям (Москва, 14-21 августа, 2011). Часть 1, СМФН, 45, РУДН, М., 2012, 132-150
  11. Катсон В. М., "Уединенные волны двумерного модифицированного уравнения Кавахары", Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика, 16:6 (2008), 76–85
  12. Сангаре К., Фаминский А. В., "Слабые решения смешанной задачи в полуполосе для обобщенного уравнения Кавахары", Матем. заметки, 85:1 (2009), 98-109
  13. Фаминский А. В., Кувшинов Р. В., "Начально-краевые задачи для обобщенного уравнения Кавахары", УМН, 66:4(400) (2011), 187-188
  14. Хашимов А. Р., "Вторая краевая задача для нестационарного уравнения третьего порядка составного типа", Матем. заметки СВФУ, 24:4 (2017), 76-86

Statistics

Views

Abstract - 16

PDF (Russian) - 13

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2020 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies