Integro-differential equations of the second boundary value problem of linear elasticity theory. Communication 2. Inhomogeneous anisotropic body

Full Text

1. Интегро-дифференциальное уравнение второй краевой задачи теории упругости для неоднородного анизотропного тела. Система уравнений второй краевой задачи линейной теории упругости, записанная в инвариантной форме, в самом общем случае имеет вид [2, 3]: · + = 0, = def , = · ·( * ), | = . (1) Здесь , — соответственно симметричные тензоры второго ранга напряжений и деформаций; — вектор перемещений; — значение вектора перемещений на границе тела ; — неоднородный анизотропный тензор четвертого ранга модулей упругости; — вектор объемных сил; — набла-оператор Гамильтона [2], * — тензор первоначальных деформаций свободных от связей элементов тела , возникающих при нагреве, фазовых превращениях и т. п. [4]. Первая группа уравнений в системе (1) — уравнения равновесия, вторая группа — соотношения Коши, третья — закон Гука. Точкой в уравнениях равновесия обозначено скалярное произведение тензоров [5]. Подставляя теперь закон Гука в уравнения равновесия и заменяя деформации соотношениями Коши, получаем систему уравнений, которую в инвариантной форме можно представить уравнением в перемещениях · ( · · def ) = · * , | = . (2) Произведем замену = + * , где — неизвестная вектор-функция, равная нулю на границе , а * — известная вектор-функция, на границе равная | = [1]. Тогда уравнение (2) принимает вид · ( · · def ) = , | = 0, (3) где = + · ( · · def * ) · * , * = · · * — формальный вектор псевдонапряжений. Уравнение (3) будем рассматривать как некоторое отобра2 ( ) в пространство ( ) ( 2 ( ), ( )). жение пространства 2,0 2 2 2,0 Здесь 2 ( ) — вещественное полное сепарабельное гильбертово пространство 2 ( ) — вектор-функций, компоненты которых интегрируемы с квадратом, а 2,0 вещественное полное сепарабельное пространство вектор-функций, компоненты которых обращаются в нуль на и принадлежат 2 ( ) вместе со своими обобщенными производными до второго порядка включительно [6, 7]. Выделим в уравнении (3) оператор . Для этого представим тензор в виде суммы = + , где — некоторый однородный изотропный тензор четвертого ранга. Тогда уравнение (3) принимает вид · ( · · def ) · ( · · def ) = , | = 0. Преобразовывая первое слагаемое в уравнение Навье—Ляме [1, 8], имеем [ ] + ( + ) grad div = · ( · · def ) + , | = 0, (4) где , — коэффициенты Ляме однородной изотропной среды, свойства которой определяются тензором модулей упругости . Далее используем равенство [9] grad div = + rot rot и преобразуем уравнение (4) к виду ( + rot rot ) = , 200 (5) в котором = ( + )( + 2 ) 1 , = ( + 2 ) 1 , = · ( · · def ), = . Умножая теперь обе части уравнения (5) на оператор ( 1 ) [1, 10], получаем интегро-дифференциальное уравнение = + , 1 (6) 2 ( ), = 1 ( rot rot + ), 2 ( ), 2,0 2 ( ), ( ), 1 rot rot 2 ( ), 1 rot rot 2,0 2 2 ( ) в 2 ( ) и является вполне Оператор действует из 2,0 2,0 2 ( 2,0 где = + ), 2 ( ). 2,0 непрерывным [11–14]. Таким образом, уравнение (6) есть уравнение Фредгольма второго рода [15]. 2. Спектральный радиус оператора и решения второй краевой задачи. Для уравнения (6) справедлива альтернатива Фредгольма [15]. Поэтому вопрос существования и единственности решения, а также метода решения сводится к проблеме собственных чисел оператора , расположение которых определяется его спектральным радиусом ( ). Определение этого радиуса, аналогично работе [1], связано с рассмотрением уравнения, ( ) = 0, 2 2,0 ( ), ( , + ), (7) где = ( + rot rot ) — оператор теории упругости. В случае закрепленной границы он положительно определенный и имеет дискретный спектр [11]. Таков же и оператор ( ) [11]. Тогда собственные числа уравнения (7) вещественные, положительные и расположены в отрезке [ 1, 2]. Здесь 1 = inf ( , ) > 0, ( , ) 2 = sup ( , ) > 0, ( , ) 2 ( ). 2,0 Круглыми скобками обозначены скалярные произведения в 2 ( ). Применяя оператор ( 1 ) к равенству (7), получаем эквивалентное уравнение = , = 1 , [ 1, 2]. Собственные числа оператора лежат в отрезке 1 1 > 1 > 1 2 . Поскольку спектральный радиус вполне непрерывного оператора совпадает с наибольшим по модулю собственным числом, { } ( ) = max |1 1 |, |1 2 | . Отсюда ( ) < 1, когда 2 < 2. (8) В этом случае оператор является оператором сжатия [16] и решение уравнения (6) представимо рядом Неймана = , =0 который сходится со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем, сколь угодно близким к ( ) [16]. 201 Отметим, что решение уравнения (6) и, следовательно, второй краевой задачи теории упругости для неоднородного анизотропного тела существует и единственно вне зависимости от выполнения неравенства (8), так как = 1 не является собственным числом оператора . Если предположить обратное, то 1 1 > 1 и тогда 1 6 0, что невозможно. 3. Остаточные напряжения в закаленном неоднородном цилиндре. В качестве примера определим остаточные напряжения, возникающие в длинном круговом цилиндре после его закалки, в результате которой часть зерен аустенита в приповерхностных слоях переходит в мартенситное состояние. Пусть — объемное содержание мартенсита: { = 0, 0 6 6 ; 0 ( ) , 6 6 , ( ) где — радиус основания цилиндра, ( ) — глубина закалки, 0 6 1 — объемное содержание мартенсита в поверхностном слое. Таким образом, после закалки цилиндр состоит из двух изотропных компонентов, каковыми являются аустенит и мартенсит. Так как зерна мартенсита имеют несколько больший объем [17], материальные элементы в приповерхностных слоях находятся в стесненном состоянии, что вызывает появление остаточных (собственных) напряжений. Компоненты первоначальных (собственных) деформаций свободных от связей элементов определяются следующими соотношениями [1]: * = , , = 1, 2, 3. Здесь — символ Кронекера, — параметр свободной структурной деформации мартенсита [17]. В отличие от работы [1] считаем, что постоянные упругости мартенсита и аустенита различны, но достаточно близки и разница между ними находится в пределах 10 %: I II II | 1111 1111 | < 0.1 1111 , I II II | 1122 1122 | < 0.1 1122 . (9) Эффективный тензор модулей упругости (макромодулей) материала, полученного после закалки, с достаточной степенью точности можно считать таким: = I + II (1 ), где I и II — однородные изотропные тензоры четвертого ранга соответственно мартенсита и аустенита. Кроме того, в данной задаче полагаем, что I II . 1212 = 1212 Деформации * не удовлетворяют условиям совместности. Поэтому в те ле реализуются совместные деформации = * + . Здесь деформации законом Гука [1], который в инсвязаны с собственными напряжениями вариантной форме имеет вид = · · = · ·( * ). 202 (10) Стесненный компонент расположен симметрично относительно оси цилиндра. Поэтому точки поверхности получают постоянные по величине радиальные перемещения: = 0 = const. Таким образом, задача по определению закалочных напряжений осесимметричная и цилиндр находится в плоском деформированном состоянии: 11 = ( ), = ( ); 22 = ( ), *11 = *22 = *33 = ( ), 11 = ( ), 22 = ( ), 33 = 12 = 13 = 23 = 0; *12 = *13 = *23 = 0; 33 = 12 = 13 = 23 = 0. Соотношения Коши и уравнения равновесия определены следующими формулами [4]: 1 = , = ; + ( ) = 0. Тогда с учетом замены = + * = + 0 1 ( ( ) = 0) и представления = + = II +( I II ) уравнение (5) после некоторых преобразований принимает вид + rot rot + grad( div ) = 1 grad + 2 grad 2 , ( ) = 0 ( = ( )). (11) Здесь = II II 1122 + 1212 , II 1111 = 3 = I II 1111 1111 , II 1111 II II ) ( 1111 + 2 1122 , II 1111 1 = 3 4 0 , 4 = 2 = 3 , 2 . Уравнение (11) эквивалентно интегро-дифференциальному уравнению = 1 rot rot + 1 grad( div )+ + 1 1 grad + 2 1 grad 2 , Здесь 1 = ( ) = 0. (12) ; — круг радиуса ; — функция Грина для кру га [10]. Проверим выполнение условия (8). Наибольшее собственное число уравнения (7) в данном примере есть ( ) rot rot grad( div ), 2 = sup = ( , ) [ ( rot rot , ) grad( div ) ] = sup 1 + + . ( , ) ( , ) 203 2 ( ), используя формулу ОстроградскоДалее для произвольного 2,0 го—Гаусса, получаем следующие неравенства: ( ) grad( div ), = grad( div ) = (div )2 > 0, (13) 2 2 (div ) = ( grad div , ), 6 1. (14) (div ) 6 Наконец, применяя неравенство 0 > ( rot rot , ) > ( , ), полученное в работе [1], с учетом неравенств (13) и (14) находим, что 2 6 6 1 + . В силу неравенства (9) величина | | < 1 и условие (8) выполняется. Следовательно, ряд Неймана для уравнения (12) сходится. Следовательно, если взять достаточное число членов ряда Неймана, то можно получить значение перемещения , зависящее от 0 . Например, когда величина мала, можно ограничиться начальным приближением 0 = 1 1 grad + 2 1 grad 2 . Тогда радиальные перемещения будут определяться соотношением = * + 0 1 . В области 6 6 имеем ] ( 0 4 3 ) [ 3 = 0 + 0 ( ) 2 ( 2 2 ) + 3 6 4 4 ] 2 2 02 [ 2 3 2 + + + . (15) ( )2 8 8 3 3 24 24 2 Подставляя выражение (15) в соотношения Коши, а затем полученные деформации в закон Гука (10) для случая плоской деформации, и вспоминая, что цилиндр ненагружен, т.е. ( ) = 0, получаем значение 0 . После вычисления радиальных перемещений уже не составляет труда определение остаточных (закалочных) напряжений с использованием соотношений Коши и определяющих соотношений (10) для случая плоской деформации. Отметим, что при равенстве свойств аустенита и мартенсита из данного решения получаем распределение напряжений, представленных в работе [1]. Заключение. Изложена процедура приведения второй краевой задачи теории упругости для неоднородного анизотропного тела к интегро-дифференциальному уравнению фредгольмовского типа. Определены условия сходимости итерационного метода решения такой задачи. Приведенная методика применена к задаче об остаточных напряжениях в длинном неоднородном цилиндре, материал которого состоит из зерен аустенита и мартенсита, имеющих различные свойства. 204

About the authors

Valerii Vladimirovich Struzhanov

Institute of Engineering Science, Urals Branch, Russian Academy of Sciences

Email: stru@imach.uran.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

Supplementary files