Integro-differential equations of the second boundary value problem of linear elasticity theory. Communication 2. Inhomogeneous anisotropic body

Abstract


In communication 1, the integro-differential equations of the second boundary value problem of the theory of elasticity for a homogeneous isotropic body were considered. The results obtained are extended to boundary value problems for the general case of an inhomogeneous anisotropic body. It is shown that the integro-differential equations found are also Fredholm type equations. The existence and uniqueness of their solution is proved, the conditions under which the solution can be found by the method of successive approximations are determined. An example of calculating the residual stresses in an inhomogeneous quenched cylinder is given.

Full Text

1. Интегро-дифференциальное уравнение второй краевой задачи теории упругости для неоднородного анизотропного тела. Система уравнений второй краевой задачи линейной теории упругости, записанная в инвариантной форме, в самом общем случае имеет вид [2, 3]: · + = 0, = def , = · ·( * ), | = . (1) Здесь , — соответственно симметричные тензоры второго ранга напряжений и деформаций; — вектор перемещений; — значение вектора перемещений на границе тела ; — неоднородный анизотропный тензор четвертого ранга модулей упругости; — вектор объемных сил; — набла-оператор Гамильтона [2], * — тензор первоначальных деформаций свободных от связей элементов тела , возникающих при нагреве, фазовых превращениях и т. п. [4]. Первая группа уравнений в системе (1) — уравнения равновесия, вторая группа — соотношения Коши, третья — закон Гука. Точкой в уравнениях равновесия обозначено скалярное произведение тензоров [5]. Подставляя теперь закон Гука в уравнения равновесия и заменяя деформации соотношениями Коши, получаем систему уравнений, которую в инвариантной форме можно представить уравнением в перемещениях · ( · · def ) = · * , | = . (2) Произведем замену = + * , где — неизвестная вектор-функция, равная нулю на границе , а * — известная вектор-функция, на границе равная | = [1]. Тогда уравнение (2) принимает вид · ( · · def ) = , | = 0, (3) где = + · ( · · def * ) · * , * = · · * — формальный вектор псевдонапряжений. Уравнение (3) будем рассматривать как некоторое отобра2 ( ) в пространство ( ) ( 2 ( ), ( )). жение пространства 2,0 2 2 2,0 Здесь 2 ( ) — вещественное полное сепарабельное гильбертово пространство 2 ( ) — вектор-функций, компоненты которых интегрируемы с квадратом, а 2,0 вещественное полное сепарабельное пространство вектор-функций, компоненты которых обращаются в нуль на и принадлежат 2 ( ) вместе со своими обобщенными производными до второго порядка включительно [6, 7]. Выделим в уравнении (3) оператор . Для этого представим тензор в виде суммы = + , где — некоторый однородный изотропный тензор четвертого ранга. Тогда уравнение (3) принимает вид · ( · · def ) · ( · · def ) = , | = 0. Преобразовывая первое слагаемое в уравнение Навье—Ляме [1, 8], имеем [ ] + ( + ) grad div = · ( · · def ) + , | = 0, (4) где , — коэффициенты Ляме однородной изотропной среды, свойства которой определяются тензором модулей упругости . Далее используем равенство [9] grad div = + rot rot и преобразуем уравнение (4) к виду ( + rot rot ) = , 200 (5) в котором = ( + )( + 2 ) 1 , = ( + 2 ) 1 , = · ( · · def ), = . Умножая теперь обе части уравнения (5) на оператор ( 1 ) [1,10], получаем интегро-дифференциальное уравнение = + , 1 (6) 2 ( ), = 1 ( rot rot + ), 2 ( ), 2,0 2 ( ), ( ), 1 rot rot 2 ( ), 1 rot rot 2,0 2 2 ( ) в 2 ( ) и является вполне Оператор действует из 2,0 2,0 2 ( 2,0 где = + ), 2 ( ). 2,0 непрерывным [11–14]. Таким образом, уравнение (6) есть уравнение Фредгольма второго рода [15]. 2. Спектральный радиус оператора и решения второй краевой задачи. Для уравнения (6) справедлива альтернатива Фредгольма [15]. Поэтому вопрос существования и единственности решения, а также метода решения сводится к проблеме собственных чисел оператора , расположение которых определяется его спектральным радиусом ( ). Определение этого радиуса, аналогично работе [1], связано с рассмотрением уравнения, ( ) = 0, 2 2,0 ( ), ( , + ), (7) где = ( + rot rot ) — оператор теории упругости. В случае закрепленной границы он положительно определенный и имеет дискретный спектр [11]. Таков же и оператор ( ) [11]. Тогда собственные числа уравнения (7) вещественные, положительные и расположены в отрезке [ 1 , 2 ]. Здесь 1 = inf ( , ) > 0, ( , ) 2 = sup ( , ) > 0, ( , ) 2 ( ). 2,0 Круглыми скобками обозначены скалярные произведения в 2 ( ). Применяя оператор ( 1 ) к равенству (7), получаем эквивалентное уравнение = , = 1 , [ 1 , 2 ]. Собственные числа оператора лежат в отрезке 1 1 > 1 > 1 2 . Поскольку спектральный радиус вполне непрерывного оператора совпадает с наибольшим по модулю собственным числом, { } ( ) = max |1 1 |, |1 2 | . Отсюда ( ) < 1, когда 2 < 2. (8) В этом случае оператор является оператором сжатия [16] и решение уравнения (6) представимо рядом Неймана = , =0 который сходится со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем, сколь угодно близким к ( ) [16]. 201 Отметим, что решение уравнения (6) и, следовательно, второй краевой задачи теории упругости для неоднородного анизотропного тела существует и единственно вне зависимости от выполнения неравенства (8), так как = 1 не является собственным числом оператора . Если предположить обратное, то 1 1 > 1 и тогда 1 6 0, что невозможно. 3. Остаточные напряжения в закаленном неоднородном цилиндре. В качестве примера определим остаточные напряжения, возникающие в длинном круговом цилиндре после его закалки, в результате которой часть зерен аустенита в приповерхностных слоях переходит в мартенситное состояние. Пусть — объемное содержание мартенсита: { = 0, 0 6 6 ; 0 ( ) , 6 6 , ( ) где — радиус основания цилиндра, ( ) — глубина закалки, 0 6 1 — объемное содержание мартенсита в поверхностном слое. Таким образом, после закалки цилиндр состоит из двух изотропных компонентов, каковыми являются аустенит и мартенсит. Так как зерна мартенсита имеют несколько больший объем [17], материальные элементы в приповерхностных слоях находятся в стесненном состоянии, что вызывает появление остаточных (собственных) напряжений. Компоненты первоначальных (собственных) деформаций свободных от связей элементов определяются следующими соотношениями [1]: * = , , = 1, 2, 3. Здесь — символ Кронекера, — параметр свободной структурной деформации мартенсита [17]. В отличие от работы [1] считаем, что постоянные упругости мартенсита и аустенита различны, но достаточно близки и разница между ними находится в пределах 10 %: I II II | 1111 1111 | < 0.1 1111 , I II II | 1122 1122 | < 0.1 1122 . (9) Эффективный тензор модулей упругости (макромодулей) материала, полученного после закалки, с достаточной степенью точности можно считать таким: = I + II (1 ), где I и II — однородные изотропные тензоры четвертого ранга соответственно мартенсита и аустенита. Кроме того, в данной задаче полагаем, что I II . 1212 = 1212 Деформации * не удовлетворяют условиям совместности. Поэтому в те ле реализуются совместные деформации = * + . Здесь деформации законом Гука [1], который в инсвязаны с собственными напряжениями вариантной форме имеет вид = · · = · ·( * ). 202 (10) Стесненный компонент расположен симметрично относительно оси цилиндра. Поэтому точки поверхности получают постоянные по величине радиальные перемещения: = 0 = const. Таким образом, задача по определению закалочных напряжений осесимметричная и цилиндр находится в плоском деформированном состоянии: 11 = ( ), = ( ); 22 = ( ), *11 = *22 = *33 = ( ), 11 = ( ), 22 = ( ), 33 = 12 = 13 = 23 = 0; *12 = *13 = *23 = 0; 33 = 12 = 13 = 23 = 0. Соотношения Коши и уравнения равновесия определены следующими формулами [4]: 1 = , = ; + ( ) = 0. Тогда с учетом замены = + * = + 0 1 ( ( ) = 0) и представления = + = II +( I II ) уравнение (5) после некоторых преобразований принимает вид + rot rot + grad( div ) = 1 grad + 2 grad 2 , ( ) = 0 ( = ( )). (11) Здесь = II II 1122 + 1212 , II 1111 = 3 = I II 1111 1111 , II 1111 II II ) ( 1111 + 2 1122 , II 1111 1 = 3 4 0 , 4 = 2 = 3 , 2 . Уравнение (11) эквивалентно интегро-дифференциальному уравнению = 1 rot rot + 1 grad( div )+ + 1 1 grad + 2 1 grad 2 , Здесь 1 = ( ) = 0. (12) ; — круг радиуса ; — функция Грина для кру га [10]. Проверим выполнение условия (8). Наибольшее собственное число уравнения (7) в данном примере есть ( ) rot rot grad( div ), 2 = sup = ( , ) [ ( rot rot , ) grad( div ) ] = sup 1 + + . ( , ) ( , ) 203 2 ( ), используя формулу ОстроградскоДалее для произвольного 2,0 го—Гаусса, получаем следующие неравенства: ( ) grad( div ), = grad( div ) = (div )2 > 0, (13) 2 2 (div ) = ( grad div , ), 6 1. (14) (div ) 6 Наконец, применяя неравенство 0 > ( rot rot , ) > ( , ), полученное в работе [1], с учетом неравенств (13) и (14) находим, что 2 6 6 1 + . В силу неравенства (9) величина | | < 1 и условие (8) выполняется. Следовательно, ряд Неймана для уравнения (12) сходится. Следовательно, если взять достаточное число членов ряда Неймана, то можно получить значение перемещения , зависящее от 0 . Например, когда величина мала, можно ограничиться начальным приближением 0 = 1 1 grad + 2 1 grad 2 . Тогда радиальные перемещения будут определяться соотношением = * + 0 1 . В области 6 6 имеем ] ( 0 4 3 ) [ 3 = 0 + 0 ( ) 2 ( 2 2 ) + 3 6 4 4 ] 2 2 02 [ 2 3 2 + + + . (15) ( )2 8 8 3 3 24 24 2 Подставляя выражение (15) в соотношения Коши, а затем полученные деформации в закон Гука (10) для случая плоской деформации, и вспоминая, что цилиндр ненагружен, т.е. ( ) = 0, получаем значение 0 . После вычисления радиальных перемещений уже не составляет труда определение остаточных (закалочных) напряжений с использованием соотношений Коши и определяющих соотношений (10) для случая плоской деформации. Отметим, что при равенстве свойств аустенита и мартенсита из данного решения получаем распределение напряжений, представленных в работе [1]. Заключение. Изложена процедура приведения второй краевой задачи теории упругости для неоднородного анизотропного тела к интегро-дифференциальному уравнению фредгольмовского типа. Определены условия сходимости итерационного метода решения такой задачи. Приведенная методика применена к задаче об остаточных напряжениях в длинном неоднородном цилиндре, материал которого состоит из зерен аустенита и мартенсита, имеющих различные свойства. 204

About the authors

Valerii Vladimirovich Struzhanov

Institute of Engineering Science, Urals Branch, Russian Academy of Sciences

Email: stru@imach.uran.ru

Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. Стружанов В. В., "Интегро-дифференциальные уравнения второй краевой задачи линейной теории упругости. Сообщение 1. Однородное изотропное тело", Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 21:3 (2017), 496-506
  2. Лурье А. И., Теория упругости, Наука, М., 1970, 939 с.
  3. Елисеев В. В., Механика упругих тел, СПбГПУ, СПб., 2002, 341 с.
  4. Timoshenko S. P., Goodier J. N., Theory of elasticity, Engineering Societies Monographs. International Student Edition, McGraw-Hill Book Comp., New York, 1970, xxiv+567 pp.
  5. Димитриенко Ю. И., Тензорное исчисление, Высш. шк., М., 2001, 575 с.
  6. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н., Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа, Наука, М., 1973, 576 с.
  7. Соболев С. Л., Некоторые применения функционального анализа в математической физике, Наука, М., 1988, 334 с.
  8. Hahn H. G., Elastizitätstheorie. Grundlagen der linearen Theorie und Anwendungen auf eindimensionale, ebene und räumliche Probleme, Leitfäden der Angewandten Mathematik und Mechanik, 62, B. G. Teubner, Stuttgart, 1985, 332 pp.
  9. Коренев Г. В., Тензорное исчисление, МФТИ, М., 2000, 240 с.
  10. Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М., Уравнения в частных производных математической физики, Высш. шк., М., 1970, 712 с.
  11. Михлин С. Г., Вариационные методы в математической физике, Наука, М., 1970, 512 с.
  12. Треногин В. А., Функциональный анализ, Наука, М., 1980, 496 с.
  13. Функциональный анализ, Справочная математическая библиотека, ред. С. Г. Крейн, Наука, М., 1972, 544 с.
  14. Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, Наука, М., 1965, 520 с.
  15. Кантарович Л. В., Акилов Г. П., Функциональный анализ, Наука, М., 1977, 741 с.
  16. Красносельский М. А., Вайникко Г. М., Забрейко П. П., Приближенное решение операторных уравнений, Высш. шк., М., 1969, 455 с.
  17. Юрьев С. Ф., Удельные объемы фаз в мартенситном превращении аустенита, Металлургиздат, М., 1950, 48 с.

Statistics

Views

Abstract - 9

PDF (Russian) - 8

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2020 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies