Group classification, invariant solutions and conservation laws of nonlinear orthotropic two-dimensional filtration equation with the Riemann–Liouville time-fractional derivative

Full Text

\Section[n]{Введение} Интегро-дифференциальные уравнения с производными дробных порядков различных типов [1, 2] в последнее время привлекают большое внимание исследователей из самых различных областей науки и техники благодаря возможности их использования в качестве математических моделей сложных процессов, сред и систем, проявляющих эффекты памяти и пространственной нелокальности [3-12]. Наиболее хорошо в настоящее время исследованы одномерные дробно-дифференциальные уравнения диффузионного типа, к которому относится и большинство простейших дробно=дифференциальных уравнений фильтрации. Однако с точки зрения практического использования существенно больший интерес представляют уравнения в~двумерных и трехмерных областях. Исследование ряда важных качественных свойств таких уравнений, особенно нелинейных, может быть выполнено методами современного группового анализа [13-17]. Для дробно=дифференциальных уравнений в последнее десятилетие удалось развить ряд классических теоретико-групповых методов (см. [18, 19] и цитируемую там литературу), что дало возможность находить допускаемые такими уравнениями группы симметрий, решать задачи их групповой классификации, строить фактор-уравнения, инвариантные решения и законы сохранения. Отметим, что задача групповой классификации уравнения имеет не только теоретическое, но и прикладное значение, поскольку выделение классов уравнений с~расширенной группой симметрий позволяет выделять также и соответствующие подмодели, обладающие расширенным набором симметрийных свойств и, как следствие, имеющих дополнительные инвариантные решения и законы сохранения. Настоящая работа посвящена исследованию симметрийных свойств нелинейного двумерного дробно=дифференциального уравнения \begin{equation} \label{GZ:Filt2D} {}^{}_{0}D^{\alpha}_t u = \left(f(u_x^2+u_y^2) u_x \right)_x + \left(g(u_x^2+u_y^2) u_y \right)_y, \quad f, g>0, \quad \alpha \in (0, 1) \cup (1, 2). \end{equation} Здесь через ${}^{}_{0}D^{\alpha}_t$ обозначен оператор дробного дифференцирования Римана--~Лиувилля порядка $\alpha$: $$ {}^{}_{0}D^{\alpha}_t u = \dfrac{1}{\Gamma(n-\alpha)} \dfrac{\partial^n}{\partial t^n} \int_0^t \dfrac{u(\tau,x,y)}{(t-\tau)^{\alpha-n+1}} d\tau, \quad n=[\alpha]+1. $$ Уравнение \eqref{GZ:Filt2D} позволяет, в частности, описывать процессы фильтрации в ортотропной гетерогенной пористой среде и может быть получено на основе дробно=дифференциальных модификаций закона Дарси [20-22] (в этом случае в качестве функции $u$ выступает давление, а функции $f$ и $g$ являются компонентами тензора пьезопроводности ортотропной среды). При $\alpha=1$ уравнение \eqref{GZ:Filt2D} превращается в классическое нелинейное двумерное ортотропное уравнение фильтрации, результаты групповой классификации которого приведены в [23]. Решается задача групповой классификации уравнения \eqref{GZ:Filt2D} относительно функций $f$ и $g$ по допускаемым этим уравнением однопараметрическим группам Ли точечных преобразований вида \begin{equation} \label{GZ:Transf} \begin{array}{ll} \bar{t}=\lambda(t,x,y,u,a), & \bar{y}=\nu^2(t,x,y,u,a), [1ex] \bar{x}=\nu^1(t,x,y,u,a), & \bar{u}=\omega(t,x,y,u,a), [1ex] \lambda\big|_{a=0}=t, \quad \nu^1\big|_{a=0}=x, & \nu^2\big|_{a=0}=y, \quad \omega\big|_{a=0}=u, \end{array} \end{equation} где $a$ --- параметр группы. Порядок дробного дифференцирования $\alpha$ не преобразуется. Группе преобразований \eqref{GZ:Transf} соответствует инфинитезимальный оператор \begin{equation} \label{GZ:InfOp} X = \tau(t,x,y,u) \dfrac{\partial}{\partial t} + \xi^1(t,x,y,u) \dfrac{\partial}{\partial x} + \xi^2(t,x,y,u) \dfrac{\partial}{\partial y} + \eta(t,x,y,u) \dfrac{\partial}{\partial u}, \end{equation} координаты которого определяются соотношениями $$ \begin{array}{ll} \tau(t,x,y,u) = \dfrac{\partial \lambda(t,x,y,u,a)}{\partial a} \Big|_{a=0}, & \xi^2(t,x,y,u) = \dfrac{\partial \nu^2(t,x,y,u,a)}{\partial a} \Big|_{a=0}, [2ex] \xi^1(t,x,y,u) = \dfrac{\partial \nu^1(t,x,y,u,a)}{\partial a} \Big|_{a=0}, & \eta(t,x,y,u) = \dfrac{\partial \omega(t,x,y,u,a)}{\partial a} \Big|_{a=0}. \end{array} $$ Такой инфинитезимальный оператор допускаемой уравнением группы будет, как обычно, называться \textit{точечной симметрией} этого уравнения. \smallskip \Section{О линейной автономности группы, допускаемой дробно-диф\-фе\-рен\-ци\-аль\-ным уравнением} Уравнение \eqref{GZ:Filt2D} является частным случаем уравнения вида \begin{equation} \label{GZ:FDE} {}^{}_{0}D^{\alpha}_t u = \Phi(t,x,y,u,u_x,u_y,u_{xx},u_{xy},u_{yy}), \end{equation} для симметрий которого может быть доказано одно важное свойство. Следуя работе [24], преобразования вида \eqref{GZ:Transf}, в которых функции $\lambda$, $\nu^1$ и $\nu^2$ не зависят от $u$, будем называть \textit{$x$-автономными преобразованиями}. Очевидно, что в этом случае координаты $\tau$, $\xi^1$ и $\xi^2$ оператора \eqref{GZ:InfOp} также не будут зависеть от $u$. Соответствующие симметрии будут называться \textit{$x$=автономными симметриями}. Если для $x$-автономной симметрии дополнительно выполнено условие $\eta_{uu}=0$, то такая симметрия будет называться \textit{линейно-автономной} [25]. \smallskip \hypertarget{LS:Th1}{} \phantomsection \begin{theorem}[1]\label{LS:Th1}Уравнение \eqref{GZ:FDE} может обладать точечными симметриями вида \eqref{GZ:InfOp} только линейно=автономного типа с координатами \begin{equation} \label{GZ:Vid_RL} \begin{array}{c} \tau = \rho(x,y) t + \phi(x,y) t^2, \quad \xi^1=\theta^1(x,y), \quad \xi^2=\theta^2(x,y), [2ex] \eta = \psi(t,x,y) + \left[ \varphi(x,y)+ (\alpha-1) \phi(x,y) t \right] u, \end{array} \end{equation} где $\rho$, $\phi$, $\theta^1$, $\theta^2$, $\psi$, $\varphi$ --- произвольные функции своих аргументов. \end{theorem} \smallskip \begin{proof} Необходимое условие инвариантности [19] уравнения \eqref{GZ:FDE} относительно группы точечных преобразований, определяемой оператором \eqref{GZ:InfOp}, может быть записано в виде \begin{equation} \label{GZ:DetEq} \left[X_{(\alpha)} {}^{}_{0}D^{\alpha}_t u - X_{(2)} \Phi \right]_{\eqref{GZ:FDE}} = 0, \end{equation} где $$ X_{(\alpha)} = X + \zeta_{(\alpha)} \dfrac{\partial}{\partial D^{\alpha}_t u} $$ --- продолжение оператора $\eqref{GZ:InfOp}$ на дробно=дифференциальную переменную $D^{\alpha}_t u$, а $X_{(2)}$ --- классическое второе продолжение оператора $\eqref{GZ:InfOp}$ на все аргументы функции $\Phi$ (см., например, [13, 17]). Координата $\zeta_{(\alpha)}$ находится по формуле продолжения \cite{GZ:GKL_HB_19_b}: \begin{equation} \label{GZ:PFFD} \zeta_{(\alpha)} = D^{\alpha}_t (W) + \tau D^{\alpha+1}_t u + \xi^1 D^{\alpha}_t u_x + \xi^2 D^{\alpha}_t u_y, \end{equation} где $W=\eta - \tau u_t - \xi^1 u_x - \xi^2 u_y$. Как доказано в [26] (см. также [18, 19]), определяющее уравнение \eqref{GZ:DetEq} должно быть дополнено условием неподвижности точки начала отсчета дробной производной под действием преобразований группы: \begin{equation} \label{GZ:Cond} \tau(t,x,y,u)\big|_{t=0}=0. \end{equation} Функция $\eta$ является сложной функцией переменной $t$, поэтому вычисление дробной производной $D^{\alpha}_t \eta$, входящей в \eqref{GZ:PFFD}, является непростой задачей. Как показано в [18], такая производная будет представляться рядом с четырехкратным вложенным суммированием. Поэтому для упрощения доказательства теоремы воспользуемся следующим формальным приемом. Перепишем функцию $\eta$ в квазилинейном по переменной $u$ виде $$ \eta(t,x,y,u) = \psi(t,x,y) + \tilde{\eta}(t,x,y,u) u. $$ Тогда для доказательства утверждения теоремы необходимо показать, что $\tilde{\eta}_u = 0$. Рассмотрим первое слагаемое в определяющем уравнении \eqref{GZ:DetEq} с учетом формулы продолжения \eqref{GZ:PFFD}: \begin{multline} \label{GZ:LS:E1} X_{(\alpha)} {}^{}_{0}D^{\alpha}_t u = \zeta_{(\alpha)} \equiv {}^{}_{0}D^{\alpha}_t \left(\psi + \tilde{\eta} u -\tau u_t - \xi^1 u_x - \xi^2 u_y \right) + + \tau {}^{}_{0}D^{\alpha+1}_t (u) + \xi^1 {}^{}_{0}D^{\alpha}_t (u_x) + \xi^2 {}^{}_{0}D^{\alpha}_t (u_y). \end{multline} \pagebreak Как это принято в групповом анализе, будем полагать, что все координаты инфинитезимального оператора \eqref{GZ:InfOp} являются требуемое число раз непрерывно дифференцируемыми по своим аргументам. Тогда возможно применение оператора дробного дифференцирования ${}^{}_{0}D^{\alpha}_t$ независимо к каждому из слагаемых, стоящих в круглых скобках в правой части \eqref{GZ:LS:E1}, а также использование обобщенного правила Лейбница [1]: \begin{equation} \label{GZ:GLR} {}^{}_{0}D^{\alpha}_t (F G) = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{\alpha}{k} {}^{}_{0}D^{\alpha-k}_t (F) \, D^k_t (G), \end{equation} где ${}^{}_{0}D^{\alpha-k}_t (F)$ --- дробные производные (при $\alpha-k>0$) и дробные интегралы (при $\alpha-k<0$) соответствующих порядков, $\displaystyle\binom{\alpha}{k}=\frac{\Gamma(\alpha+1)}{k!\Gamma(\alpha-k+1)}$ --- биномиальные коэффициенты. Также воспользуемся очевидным равенством $$ \tau u_t = D_t (\tau u) - D_t(\tau) u. $$ В силу условия \eqref{GZ:Cond} и регулярности функции $\tau$ и ее первой производной по $t$ в точке $t=0$ имеем $\tau u|_{t=0} =0$. Тогда (см. [1, 2]), $$ {}^{}_{0}D^{\alpha}_t D_t (\tau u) = {}^{}_{0}D^{\alpha+1}_t (\tau u). $$ Подстановка приведенных выражений в \eqref{GZ:LS:E1} и применение \eqref{GZ:GLR} дает \begin{multline} \label{GZ:LS_E2} \zeta_{(\alpha)} = {}^{}_{0}D^{\alpha}_t (\psi) + \left[\tilde{\eta} - \alpha D_t (\tau) \right] {}^{}_{0}D^{\alpha}_t (u) + + \sum_{k=1}^{\infty} \binom{\alpha}{k} {}^{}_{0}D^{\alpha-k}_t (u) \, D^k_t(\tilde{\eta}) - \sum_{k=1}^{\infty} \binom{\alpha}{k+1} {}^{}_{0}D^{\alpha-k}_t (u) \, D^{k+1}_t (\tau) - - \sum_{k=1}^{\infty} \binom{\alpha}{k} {}^{}_{0}D^{\alpha-k}_t (u_x) \, D^k_t(\xi^{1}) - \sum_{k=1}^{\infty} \binom{\alpha}{k} {}^{}_{0}D^{\alpha-k}_t (u_y) \, D^k_t(\xi^{2}). \end{multline} Подставляя \eqref{GZ:LS_E2} в \eqref{GZ:DetEq} и заменяя дробную производную ${}^{}_{0}D^{\alpha}_t (u)$ на $\Phi$ в силу исходного уравнения \eqref{GZ:FDE}, приходим к следующему определяющему уравнению: \begin{multline} \label{GZ:LS_E3} {}^{}_{0}D^{\alpha}_t (\psi) + \left[\tilde{\eta} - \alpha D_t (\tau) \right] \Phi + + \sum_{k=1}^{\infty} \binom{\alpha}{k} {}^{}_{0}D^{\alpha-k}_t (u) \, D^k_t(\tilde{\eta}) - \sum_{k=1}^{\infty} \binom{\alpha}{k+1} {}^{}_{0}D^{\alpha-k}_t (u) \, D^{k+1}_t (\tau) - - \sum_{k=1}^{\infty} \binom{\alpha}{k} {}^{}_{0}D^{\alpha-k}_t (u_x) \, D^k_t(\xi^{1}) - \sum_{k=1}^{\infty} \binom{\alpha}{k} {}^{}_{0}D^{\alpha-k}_t (u_y) \, D^k_t(\xi^{2}) = X_{(2)} \Phi. \end{multline} Выполним расщепление уравнения \eqref{GZ:LS_E3} по всем интегралам и производным дробных порядков, которые могут рассматриваться теперь в качестве независимых переменных. Расщепление по ${}^{}_{0}D^{\alpha-k}_t (u_x)$ и ${}^{}_{0}D^{\alpha-k}_t (u_y)$ приводит к уравнениям $$ D^k_t(\xi^{1}) = 0, \quad D^k_t(\xi^{2}) = 0, \quad k=1,2,\ldots \, , $$ интегрирование которых дает $$ \xi^1=\theta^{1}(x,y), \quad \xi^2=\theta^{2}(x,y), $$ где $\theta^1$ и $\theta^2$ --- произвольные функции. Аналогично, расщепление \eqref{GZ:LS_E3} по ${}^{}_{0}D^{\alpha-k}_t (u)$ приводит к системе $$ (k+1) D^k_t(\tilde{\eta})- (\alpha-k) D^{k+1}_t (\tau) = 0, \quad k=1,2,\ldots \, . $$ Рассматривая первые два уравнения этой системы (соответствующие $k=1$ и $k=2$), находим $$ D^2_t (\tilde{\eta}) =0 $$ или $$ \tilde{\eta}_{tt} + 2 \tilde{\eta}_{tu} u_t + \tilde{\eta}_{uu} u_t^2 + \tilde{\eta}_u u_{tt}=0. $$ Расщепление этого уравнения по $u_t$ и $u_{tt}$ дает требуемое условие $\tilde{\eta}_u =0$. Решение оставшегося уравнения $\tilde{\eta}_{tt} =0$ может быть представлено в виде $$ \tilde{\eta} = \vartheta(x,y) t + \varphi(x,y), $$ где $\vartheta(x,y)$ и $\varphi(x,y)$ --- произвольные функции. Тогда уравнение, соответствующее $k=1$, принимает вид $$ (\alpha-1)D^2_t{\tau} = 2 \vartheta (x,y). $$ Его интегрирование с учетом условия \eqref{GZ:Cond} дает $$ \tau=\phi(x,y) t^2+\rho(x,y) t, $$ где $\rho(x,y)$ --- произвольная функция, а $\phi (x,y) = \vartheta(x,y)/(\alpha-1)$. В результате приходим к искомым представлениям \eqref{GZ:Vid_RL}. Определяющее уравнение \eqref{GZ:LS_E3} принимает при этом вид \begin{equation} \label{LS:DE_Filt} {}^{}_{0}D^{\alpha}_t (\psi) + \left[\varphi-\alpha \rho - (1+\alpha) \phi t \right] \Phi = X_{(2)} \Phi. \end{equation} \hfill \end{proof} \smallskip Результат теоремы~\ref{LS:Th1} можно усилить, если наложить дополнительные ограничения на вид функции $\Phi$. Заметим, что функция $\Phi$ не зависит от $u_t$ и ее производных. Следовательно, правая часть уравнения \eqref{LS:DE_Filt} будет линейно зависеть от переменных $u_t$, $u_{tx}$ и $u_{ty}$ в силу линейной зависимости от них координат продолженного оператора $X_{(2)}$. Осуществляя дополнительное расщепление уравнения \eqref{LS:DE_Filt} по этим переменным, приходим к следующей системе уравнений: \begin{equation} \label{LS:SysTau} \begin{aligned} & \tau_x \dfrac{\partial \Phi}{\partial u_x} + \tau_y \dfrac{\partial \Phi}{\partial u_y} + \tau_{xx} \dfrac{\partial \Phi}{\partial u_{xx}} + \tau_{xy} \dfrac{\partial \Phi}{\partial u_{xy}} + \tau_{yy} \dfrac{\partial \Phi}{\partial u_{yy}} = 0, & 2 \tau_x \dfrac{\partial \Phi}{\partial u_{xx}} + \tau_y \dfrac{\partial \Phi}{\partial u_{xy}} = 0, & \tau_x \dfrac{\partial \Phi}{\partial u_{xy}} + 2 \tau_y \dfrac{\partial \Phi}{\partial u_{yy}} = 0. \end{aligned} \end{equation} Из двух последних уравнений этой системы следует, что при выполнении условия \begin{equation} \label{LS:CondTau} 4 \dfrac{\partial \Phi}{\partial u_{xx}} \dfrac{\partial \Phi}{\partial u_{yy}} - \Bigl( \dfrac{\partial \Phi}{\partial u_{xy}} \Bigr)^2 \neq 0 \end{equation} справедливы равенства $\tau_x = \tau_y = 0$. Тогда в \eqref{GZ:Vid_RL} имеем $\rho = C_1$, $\phi = C_2$, и \begin{equation} \label{GZ:Vid_RL_Filt2D} \begin{array}{c} \tau = C_1 t + C_2 t^2, \quad \xi^1=\theta^1(x,y), \quad \xi^2=\theta^2(x,y), [2ex] \eta = \psi(t,x,y) + \left(\varphi(x,y)+ (\alpha-1) C_2 t \right) u, \end{array} \end{equation} где $C_1$ и $C_2$ --- произвольные постоянные. \smallskip %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \Section{Групповая классификация уравнения (\ref{GZ:Filt2D})} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Уравнение \eqref{GZ:Filt2D} может быть представлено в виде \begin{equation} \label{GZ:Filt2DM} {}^{}_{0}{D}^{\alpha}_t u = F(u_x,u_y) u_{xx} + G(u_x,u_y) u_{yy}+ H(u_x,u_y) u_{xy}, \vspace{-2mm} \end{equation} где \begin{equation} \label{GZ:FGH} F=2u_x^2 f' + f, \qquad G=2u_y^2 g' +g, \qquad H=2 u_x u_y (f'+g'). \end{equation} Для уравнения \eqref{GZ:Filt2DM} условие \eqref{LS:CondTau} принимает вид $4 FG \neq H^2$. С учетом \eqref{GZ:FGH} нетрудно показать, что это условие нарушается только в том случае, когда $f(r)=g(r)=f_0/ \sqrt{r}$, $f_0$ --- произвольная постоянная. Однако подстановка этих функций в первое уравнение системы \eqref{LS:SysTau} снова приводит к уравнениям $\tau_x = \tau_y = 0$. Таким образом, представления \eqref{GZ:Vid_RL_Filt2D} справедливы для уравнения~\eqref{GZ:Filt2D} при любых $f, \, g>0$. Для уравнения \eqref{GZ:Filt2DM} с учетом \eqref{GZ:Vid_RL_Filt2D} уравнение \eqref{LS:DE_Filt} для определения функций $\theta^1$, $\theta^2$, $\varphi$ и $\psi$ принимает вид \begin{multline} \label{GZ:DE_Filt2D} {}^{}_{0}D^{\alpha}_t (\psi) + \left[\varphi - \alpha C_1 - (1+\alpha) t C_2 \right] (F u_{xx} + G u_{yy}+ H u_{xy}) - - \zeta_{11} F - \zeta_{22} G - \zeta_{12} H - \zeta_1 \Bigl(\dfrac{\partial F}{\partial u_x} u_{xx} + \dfrac{\partial G}{\partial u_x} u_{yy} + \dfrac{\partial H}{\partial u_x} u_{xy} \Bigr) - - \zeta_2 \Bigl(\dfrac{\partial F}{\partial u_y} u_{xx} + \dfrac{\partial G}{\partial u_y} u_{yy} + \dfrac{\partial H}{\partial u_y} u_{xy} \Bigr)=0, \end{multline} в котором $$ \begin{array}{l} \zeta_1 = \psi_x + \varphi_x u + (\varphi+ (\alpha-1) C_2 t - \theta^1_x) u_x -\theta^2_x u_y, [2ex] \zeta_2 = \psi_y + \varphi_y u - \theta^1_y u_x + (\varphi+ (\alpha-1) C_2 t -\theta^2_y) u_y, [2ex] \zeta_{11} = \psi_{xx} + \varphi_{xx} u + (2 \varphi_x - \theta^1_{xx}) u_{x} - \theta^2_{xx} u_y + [2ex] \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad + (\varphi+ (\alpha-1) C_2 t - 2 \theta^1_x) u_{xx} - 2 \theta^2_x u_{xy}, [2ex] \zeta_{12} = \psi_{xy} + \varphi_{xy} u + (\varphi_y - \theta^1_{xy}) u_{x} + (\varphi_x - \theta^2_{xy}) u_y - [2ex] \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ -\theta^1_y u_{xx} + (\varphi+ (\alpha-1) C_2 t - \theta^1_x + \theta^2_y) u_{xy} - \theta^2_x u_{yy}, [2ex] \zeta_{22} = \psi_{yy} + \varphi_{yy} u - \theta^1_{yy} u_x + (2 \varphi_y - \theta^2_{yy}) u_y - [2ex] \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -2 \theta^1_y u_{xy} + (\varphi+ (\alpha-1) C_2 t - 2 \theta^2_y) u_{yy}. \end{array} $$ Расщепление \eqref{GZ:DE_Filt2D} по $u$, $u u_{xx}$, $u u_{yy}$ и $u u_{zz}$ приводит к системе \begin{equation} \label{GZ:DE1_Filt2D} \begin{array}{l} \varphi_{x} \dfrac{\partial F}{\partial u_x} + \varphi_{y} \dfrac{\partial F}{\partial u_y} =0, [2ex] \varphi_{x} \dfrac{\partial G}{\partial u_x} + \varphi_{y} \dfrac{\partial G}{\partial u_y} =0, [2ex] \varphi_{x} \dfrac{\partial H}{\partial u_x} + \varphi_{y} \dfrac{\partial H}{\partial u_y} =0, [2ex] \varphi_{xx} F + \varphi_{yy} G + \varphi_{xy} H =0, \end{array} \end{equation} расщепление по $t u_{xx}$, $t u_{yy}$, $t u_{zz}$ дает \begin{equation} \label{GZ:DE2_Filt2D} \begin{array}{l} C_2 \Bigl( u_x \dfrac{\partial F}{\partial u_x} + u_y \dfrac{\partial F}{\partial u_y} + \dfrac{2\alpha}{\alpha-1} F \Bigr)= 0, [2ex] C_2 \Bigl( u_x \dfrac{\partial G}{\partial u_x} + u_y \dfrac{\partial G}{\partial u_y} + \dfrac{2\alpha}{\alpha-1} G \Bigr)= 0, [2ex] C_2 \Bigl( u_x \dfrac{\partial H}{\partial u_x} + u_y \dfrac{\partial H}{\partial u_y} + \dfrac{2\alpha}{\alpha-1} H \Bigr)= 0, \end{array} \end{equation} а расщепление по $u_{xx}$, $u_{yy}$, $u_{zz}$ дает \begin{equation} \label{GZ:DE3_Filt2D} \begin{array}{l} \gamma_1 \dfrac{\partial F}{\partial u_x} + \gamma_2 \dfrac{\partial F}{\partial u_y} = 2 \theta^1_x F + \theta^1_y H - \alpha C_1 F, [2ex] \gamma_1 \dfrac{\partial G}{\partial u_x} + \gamma_2 \dfrac{\partial G}{\partial u_y} = 2 \theta^2_y G + \theta^2_x H - \alpha C_1 G, [2ex] \gamma_1 \dfrac{\partial H}{\partial u_x} + \gamma_2 \dfrac{\partial H}{\partial u_y} = 2 \theta^2_x F + 2 \theta^1_y G + (\theta^1_x + \theta^2_y) H - \alpha C_1 H, \end{array} \end{equation} где \begin{equation} \label{GZ:DE4_Filt2D} \begin{array}{l} \gamma_1 \equiv \gamma_1(x,y,u_x,u_y) = \psi_x + (\varphi - \theta^1_x) u_x -\theta^2_x u_y, [2ex] \gamma_2 \equiv \gamma_2(x,y,u_x,u_y) = \psi_y - \theta^1_y u_x + (\varphi-\theta^2_y) u_y. \end{array} \end{equation} Оставшееся после указанных расщеплений уравнение имеет вид \begin{multline} \label{GZ:DE5_Filt2D} {}^{}_{0}D^{\alpha}_t (\psi) = \left(\psi_{xx} + (2 \varphi_x - \theta^1_{xx} \right) u_{x} - \theta^2_{xx} u_y ) F + + \left(\psi_{yy} - \theta^1_{yy} u_x + (2 \varphi_y - \theta^2_{yy}) u_y \right) G + + \left(\psi_{xy} + (\varphi_y - \theta^1_{xy}) u_{x} + (\varphi_x - \theta^2_{xy} ) u_y \right) H. \end{multline} Из \eqref{GZ:DE2_Filt2D} следует, что если $C_2 \neq 0$, то $$ F=u_x^{2\delta} \tilde F\Bigl(\dfrac{u_x}{u_y} \Bigr), \quad G=u_x^{2\delta} \tilde G\Bigl(\dfrac{u_x}{u_y} \Bigr), \quad H=u_x^{2\delta} \tilde H\Bigl(\dfrac{u_x}{u_y} \Bigr), \quad \delta = \dfrac{\alpha}{1-\alpha}, $$ где $\tilde F$, $\tilde G$, $\tilde H$ --- произвольные функции. Подстановка этих представлений в \eqref{GZ:FGH} и решение получающихся в результате обыкновенных дифференциальных уравнений дает $$ f(r)=f_0 r^{\delta}, \quad g(r)=g_0 r^{\delta}, \quad f_0, \, g_0 = \mathrm{const}, \quad r = u_x^2+u_y^2. $$ Если $C_2 = 0$, то \eqref{GZ:DE2_Filt2D} выполнено тождественно. В этом случае подстановка \eqref{GZ:FGH} в~\eqref{GZ:DE1_Filt2D} и решение получающихся в результате уравнений дает, что либо $f=f_0=\mathrm{const}$, $g=g_0=\mathrm{const}$, либо $\varphi_x=\varphi_y=0$, то есть $\varphi=C_3=\mathrm{const}$. Дальнейшая классификация проводится на основе анализа системы \eqref{GZ:DE3_Filt2D} и уравнения \eqref{GZ:DE5_Filt2D}, который показывает, что выделяются отдельно случай степенных функций $f(r)=f_0 r^{\beta}$, $g(r) = g_0 r^{\beta}$ $(f_0, g_0 = \mathrm{const})$ и случай $f(r) = g(r)$. Окончательные результаты классификации формулируются в виде следующего утверждения. \smallskip \phantomsection \hypertarget{LS:Th2}{} \begin{theorem}[2]\label{LS:Th2}Уравнение \eqref{GZ:Filt2D} в случае произвольных функций $f$ и $g$ имеет четырехмерную алгебру Ли симметрий с базисом \begin{equation} \label{GZ:Filt2D_X14} X_1 = \dfrac{\partial}{\partial x}, \ X_2 = \dfrac{\partial}{\partial y}, \ X_3 = \dfrac{2}{\alpha} t \dfrac{\partial}{\partial t} + x \dfrac{\partial}{\partial x} + y \dfrac{\partial}{\partial y} + u \dfrac{\partial}{\partial u}, \ X_4 = t^{\alpha-1} \dfrac{\partial}{\partial u}. \end{equation} В случае $f(r)=f_0 r^{\beta},$ $g(r)=g_0 r ^{\beta},$ $f_0, \, g_0 = \mathrm{const},$ $\beta \neq 0,$ при $f_0 \neq g_0$ алгебра расширяется до пятимерной оператором группы неравномерных растяжений \begin{equation} \label{GZ:Filt2D_X5} X_5 = \beta x \dfrac{\partial}{\partial x} + \beta y \dfrac{\partial}{\partial y} + (1+\beta) u \dfrac{\partial}{\partial u}. \end{equation} В частном случае $\beta = {\alpha}/({1-\alpha})$ происходит дополнительное расширение алгебры до шестимерной оператором проективной группы \begin{equation} \label{GZ:Filt2D_X6} X_6 = t^2 \dfrac{\partial}{\partial t} + (\alpha-1) t u \dfrac{\partial}{\partial u}. \end{equation} В изотропном случае $(f=g)$ размерности всех указанных выше алгебр увеличиваются на единицу за счет дополнительно допускаемого оператора группы вращений \begin{equation} \label{GZ:Filt2D_Xr} X_r = y \dfrac{\partial}{\partial x} - x \dfrac{\partial}{\partial y}. \end{equation} При $\alpha \in (1,2)$ размерности всех приведенных алгебр дополнительно увеличиваются на единицу, а базис дополняется оператором \begin{equation} \label{GZ:Filt2D_X0} X_{\alpha} = t^{\alpha} \dfrac{\partial}{\partial u}. \end{equation} Линейный случай $f=f_0,$ $g=g_0,$ $f_0, \, g_0 = \mathrm{const},$ растяжением пространственных переменных сводится к $f_0=g_0=1.$ В~этом случае алгебра является бесконечномерной и ее базис образуют операторы $X_1, \, X_2, \, X_3$ из {\rm \eqref{GZ:Filt2D_X14},} оператор $X_r$ из \eqref{GZ:Filt2D_Xr} и операторы \begin{equation} \label{GZ:Filt2D_Xinf} X_u = u \dfrac{\partial}{\partial u}, \ X_{\infty} = \psi \dfrac{\partial}{\partial u}, \end{equation} где функция $\psi(t,x,y)$ является произвольным решением линейного уравнения $$ {}^{}_{0}{D}^{\alpha}_t u = u_{xx} + u_{yy}. $$ \end{theorem} \smallskip Основные отличия результатов теоремы~\hyperlink{LS:Th2}{2} от аналогичных результатов групповой классификации классического ортотропного уравнения фильтрации (соответствующего $\alpha=1$) заключаются в следующем: \begin{itemize} \item[1)] дробно-дифференциальное уравнение фильтрации не допускает оператор группы переносов по временной переменной $t$, что является характерной особенностью всех дифференциальных уравнений с дробными производными по времени [18, 19]; \item[2)] выделяется особый вид степенной зависимости коэффициентов пьезопроводности, не имеющий аналога в классическом уравнении фильтрации, при котором уравнение допускает оператор проективной группы~$X_6$; \item[3)] операторы групп растяжений $X_3$ и $X_5$ оказываются зависящими от порядка дробного дифференцирования $\alpha$. \end{itemize} Также от него зависят операторы $X_4$ и $X_{\alpha}$, соответствующие сдвигу $u$ на частное решение дробно-дифференциального уравнения. Полученная в теореме~\hyperlink{LS:Th2}{2} групповая классификация уравнения \eqref{GZ:Filt2D} может быть использована для нахождения его инвариантно-групповых решений и~построения законов сохранения. \smallskip %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \Section{Представление инвариантных решений} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Рассмотрим задачу построения представлений инвариантно--групповых решений для нелинейного ортотропного уравнения \eqref{GZ:Filt2D} по допускаемым им неподобным двумерным подалгебрам алгебр Ли симметрий. В случае произвольных функций $f$ и $g$ ($f \neq g$) уравнение допускает четырехмерную алгебру Ли симметрий (см. теорему~\hyperlink{LS:Th2}{2}) с базисом \eqref{GZ:Filt2D_X14}. Данная алгебра изоморфна алгебре $A_{4,5}^{a,a}$ (по классификации [29]) с ненулевыми коммутационными соотношениями $$ [e_1,e_4] = e_1, \quad [e_2,e_4] = a e_2, \quad [e_3,e_4] = a e_3, \quad -1 < b < 1, $$ в которую она переходит в результате замены базиса $$ e_1 = X_3, \quad e_2 = X_1, \quad e_3 = X_2, \quad e_4 = b X_4, \quad b =\dfrac{\alpha}{2-\alpha}. $$ Построим неподобные инвариантно-групповые решения уравнения \eqref{GZ:Filt2D} на основе оптимальной системы двумерных подалгебр алгебры $A_{4,5}^{a,a}$, построенной в [29]: $$ \begin{array}{lll} 1) \ \{e_1 + \varepsilon e_2, e_3 \}, & & 4) \ \{e_1, e_2 \cos \theta + e_3 \sin \theta \}, 2) \ \{e_1 + \varepsilon e_3, e_2 + \beta e_3\}, & & 5) \ \{e_1, e_4\}, 3) \ \{e_2, e_3\}, & & 6) \ \{e_2 \cos \theta + e_3 \sin \theta, e_4 \}, \end{array} $$ где $\theta \in [0,\pi)$, $\varepsilon = \pm 1$, $\beta \in \mathbb R$. Подалгебры 5) и 6) не позволяют построить инвариантное решение, так как не удовлетворяют соответствующему необходимому условию его существования (см., например, [13]). Вычисление инвариантов остальных подалгебр приводит к следующим анзацам инвариантных решений: $$ \begin{array}{l} 1) \ u = \varepsilon t^{\alpha-1} x + \varphi(t), [1ex] 2) \ u = -\varepsilon \beta t^{\alpha-1} x + t^{\alpha-1} y + \varphi(t), [1ex] 3) \ u = \varphi(t), [1ex] 4) \ u = (y \cos \theta - x \sin \theta) \varphi(\xi), \quad \xi = \dfrac{t}{|y \cos \theta - x \sin \theta|^{\frac{2}{\alpha}}}, \end{array} $$ где $\varphi(z)$ --- новая искомая функция одного аргумента. Подстановка этих анзацев в исходное уравнение сводит задачу нахождения инвариантного решения к решению так называемых редуцированных уравнений (или фактор-уравнений), представляющих собой в данном случае обыкновенное дробно-дифференциальное уравнение порядка $\alpha$. В первых трех случаях это уравнение имеет вид $$ {}^{}_{0}D^{\alpha}_t \varphi = 0, $$ его общее решение хорошо известно [1, 2]: $$ \varphi(t) = C t^{\alpha-1}, $$ где $C$ --- произвольная постоянная. В результате приходим к следующим весьма простым неподобным инвариантным решениям: $$ \begin{array}{l} 1) \ u = C t^{\alpha-1}, [1ex] 2) \ u = t^{\alpha-1} (\varepsilon x + C), [1ex] 3) \ u = t^{\alpha-1} (\varepsilon \beta x + y + C), \quad \beta \in \mathbb R, \quad \varepsilon = \pm 1. \end{array} $$ Более интересным оказывается случай 4), для которого редуцированное уравнение имеет вид \begin{equation} \label{GZ:RedEq} {}^{}_{0}D^{\alpha}_{\xi} \varphi + \dfrac{2}{\alpha} \xi \left[ \sin^2 \theta (\psi f(\psi))_{\xi} + \cos^2 \theta (\psi g(\psi))_{\xi}\right] = 0, \end{equation} где $\psi(\xi) = \varphi(\xi) - \frac{2}{\alpha} \xi \varphi'(\xi)$. Уравнение \eqref{GZ:RedEq} в общем случае аналитически решено быть не может, поэтому рассмотрим некоторые его частные случаи. Пусть $f = 1$ и $g(\psi) = \psi^{-1}$. Тогда уравнение \eqref{GZ:RedEq} переходит в линейное уравнение \begin{equation} \label{GZ:RedEq1} \alpha^2 {}^{}_{0}D^{\alpha}_{\xi} \varphi =4 \xi^2 \sin^2 \theta \varphi'' + 2 (2-\alpha) \sin^2 \theta \xi \varphi'. \end{equation} При $\theta = 0$ решение уравнения имеет вид $\varphi(\xi) = C \xi^{\alpha-1}$, что дает инвариантное решение исходного уравнения $$ u = C t^{\alpha-1} y^{\frac{2}{\alpha}-1}. $$ При $\theta \neq 0$ заменой переменных $\tau = \xi (\sin \theta)^{\frac{2}{\alpha}}$, $z(\tau) = \varphi(\xi(\tau))$ уравнение \eqref{GZ:RedEq} приводится к виду $$ \alpha^2 {}^{}_{0}D^{\alpha}_{\tau} z =4 \tau^2 z'' + 2 (2-\alpha) \tau z', $$ который является частным случаем уравнения, рассмотренного в работе [30], и имеет общее решение $$ z(\tau) = \tau^{-\frac{\alpha}{2}}\left[ C_1 \phi\Bigl(-\dfrac{\alpha}{2},1+\dfrac{\alpha}{2};\tau^{-\frac{\alpha}{2}}\Bigr) + C_2 \phi\Bigl(-\dfrac{\alpha}{2},1+\dfrac{\alpha}{2};- \tau^{-\frac{\alpha}{2}}\Bigr)\right]. $$ Здесь $C_1$ и $C_2$~--- произвольные постоянные, $$ \phi(\rho,\mu;z) = \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{\Gamma(\rho k + \mu)} \dfrac{z^k}{k!}, \quad \rho>0, \quad \mu,z \in \mathbb{C} $$ --- функция Райта. Тогда инвариантное решение имеет вид $$ u = (y \cos \theta - x \sin \theta) z \Bigl( \dfrac{t (\sin \theta)^{\frac{2}{\alpha}}}{|y \cos \theta - x \sin \theta|^{\frac{2}{\alpha}}} \Bigr). $$ Теперь рассмотрим случай $f(\psi) = \psi^{\beta-1}$ $(\beta \neq 0, \,1)$, $g(\psi) = \psi^{-1}$. Тогда уравнение \eqref{GZ:RedEq} принимает вид $$ \alpha^{\beta+1} {}^{}_{0}D^{\alpha}_{\xi} \varphi + 2 \beta \sin^2 \theta \xi (\alpha \varphi - 2 \xi \varphi')^{\beta-1} \bigl((\alpha -2) \varphi' - 2 \xi \varphi''\bigr)=0. $$ Данное уравнение при $\alpha < \beta < 1$ имеет частное степенное решение $$ \varphi(\xi) = A \xi^{\gamma}, \quad A = \Bigl[\dfrac{\alpha^{\beta+1}}{2 \beta \sin^2 \theta} \dfrac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\gamma+1-\alpha)}\Bigr]^{\frac{1}{\beta-1}}, \quad \gamma = \dfrac{1-\alpha}{\beta-1}. $$ Соответствующее инвариантное решение исходного уравнения имеет вид $$ u = A t^{\gamma} \dfrac{ (y \cos \theta - x \sin \theta)}{|y \cos \theta - x \sin \theta|^{\frac{2}{\alpha}\gamma}}. $$ Теперь рассмотрим случай $f(r)=f_0 r^{\beta}$, $g(r)=g_0 r ^{\beta}$, $f_0$, $ g_0 = \rm const$ (${f_0 \neq g_0}$), $\beta \neq 0$. В этом случае алгебра Ли симметрий $L_5$ является пятимерной с базисом $X_1, \ldots, X_5$, определяемым \eqref{GZ:Filt2D_X14}, \eqref{GZ:Filt2D_X5}. Соответствующая оптимальная система подалгебр строится на основе двухшагового алгоритма, предложенного академиком Л.~В.~Овсянниковым в работе [31] (см. также [32]). Базисы найденных неподобных двумерных подалгебр из оптимальной системы $\Theta_2 L_5$ и соответствующие представления инвариантных решений с одной независимой переменной приведены в~табл.~\ref{GZ:Tabl1}. В~таблице для подалгебр используется сокращенная форма записи: например, $\Theta$, $p2+4$ означает двумерную подалгебру с базисом из операторов $X_1 \sin \theta+X_2 \cos \theta$, $pX_2+X_4$. В~табл.~\ref{GZ:Tabl2} представлены аналогичные результаты для шестимерной алгебры $L_6$ с базисом $X_1, \ldots, X_6$, соответствующей частному случаю $\beta = \alpha/(1-\alpha)$. Все анзацы инвариантных решений записаны в табл.~\ref{GZ:Tabl1} и \ref{GZ:Tabl2} таким образом, чтобы после симметрийной редукции соответствующее редуцированное уравнение относительно функции $\varphi(z)$ было либо обыкновенным дифференциальным уравнением целого порядка (если $z$ не зависит от $t$), либо обыкновенным дробно-дифференциальным уравнением с дробной производной Римана--~Лиувилля по переменной $z$. Замены переменных, позволяющие сохранить тип оператора дробного дифференцирования при симметрийной редукции, приведены в~[30]. \begin{table}[p!] \small \centering \caption{Представления инвариантных решений для алгебры $L_5$ \label{GZ:Tabl1}} \vspace{-3mm} {\footnotesize[Representations of invariant solutions for algebra $L_5$]} \smallskip %\renewcommand{\tabcolsep}{0.55cm} \begin{tabular}{c||c|c} \hline %\rule{0mm}{11pt}% %\rule{0mm}{5pt}% \footnotesize no. & \footnotesize a subalgebra of $\Theta_2 L_5$ & \footnotesize $u(t,x,y)$ \hline \rule{0mm}{12pt}% %\rule{0mm}{6pt}% 1 & $1, 2$ & $\varphi(t)$ [1ex] 2 & $2, p1+4$ & $p^{-1} x t^{\alpha-1} + \varphi(t) \ \ (p \neq 0)$ [1.5ex] 3 & $3, 5$ & $x^{\gamma} t^{\alpha (1-\gamma)/2} \varphi(y/x)$ [1.5ex] 4 & $2, 1+3-5$ & $e^{(1-\gamma)x} \varphi(t e^{-2x/ \alpha})$ [1.5ex] 5 & $ \Theta, p2+4$ & $p^{-1} t^{\alpha-1} (x \ctg \theta - y) + \varphi(t) \ \ (p, \theta \neq 0)$ [1.5ex] 6 & $ \Theta, 5 $ & $(x \cos \theta - y \sin \theta)^{\gamma} \varphi(t)$ [1.5ex] 7 & $\Theta, 3+r5$ & $z^{1+p^{\gamma}} \varphi\left(t z^{-2/[\alpha(p+1)]} \right) \ \ (r \neq -1);$ [1ex] & & $t^{\alpha(1-\gamma)/2} \varphi(z) \ (r = -1);$ [1ex] & & $z=(x \cos \theta - y \sin \theta) $ [1.5ex] 8 & $\Theta, 2+3-5$ & $z^{1-\gamma} \varphi \left( t z^{-2/\alpha} \right), \ \ z = e^{y-x \ctg \theta} \ \ (\theta \neq 0);$ [1ex] & & $t^{\alpha(1-\gamma)/2} \varphi(x) \ (\theta=0)$ [1.5ex] 9 & $\Theta, 3{+}4{-}\frac{a}{\gamma} 5 \ (\gamma {\neq} 0)$ & $z^{1-a} \varphi(t z^{-2/ \alpha}), \ \ z=(x \cos \theta - y \sin \theta)^{1-a/\gamma} \ \ (\gamma \neq a);$ & & $t^{\alpha-1} [(\alpha/2) \ln t + \varphi(x \cos \theta - y \sin \theta)] \ \ (\gamma = a)$ [1ex] & $\Theta, 4+5 \ (\gamma = 0)$ & $\varphi(t)+t^{\alpha-1} \ln |x \cos \theta - y \sin \theta| $ [1.5ex] 10 & $p1{+}q2{+}4, 3{+}\frac{1-a}{\gamma-1} 5$ & $u=p^{-1} x t^{\alpha-1} + z^{2\gamma-1-a \gamma} \varphi \left(t z^{2(1-\gamma)/\alpha} \right),$ [1ex] & & $z = (qx-py)^{1/(\gamma-a)} \ \ (\gamma \neq a, p \neq 0);$ [1ex] & & $q^{-1} t^{\alpha-1} y + z^{2\gamma-1-a \gamma} \varphi (tz^{1-\gamma}),$ [1ex] & & $z = x^{1/(\gamma-a)} \ \ (\gamma \neq a, \ p=0, \ q \neq 0);$ [1ex] & & $p^{-1} t^{\alpha-1} [x + \varphi(qx-py)] \ \ (\gamma=a, \ p \neq 0);$ [1ex] & & $q^{-1} t^{\alpha-1} [y + \varphi(x)] \ \ (\gamma = a, \ p=0, \ q \neq 0)$ [1.5ex] 11 & $\Theta, p2+3+4-5$ & $z^{a-1} \varphi(t z^{-2/ \alpha)}, \ \ z=e^{(y -x \ctg \theta)/p} \ (\theta \neq 0);$ [1ex] & ($\gamma=a, \ p \neq 0$) & $t^{\alpha-1} [(\alpha/2) \ln t + \varphi(x) ] \ (\theta=0)$ [1.5ex] 12 & $X_2, p1+3+4-5$ & $t^{\alpha-1} [(\alpha/2) \ln t + \varphi(t e^{-2x/(\alpha p)})]$ & ($\gamma=a, \ p \neq 0 $) & [1.5ex] 13 & $p1 {+} q2 {+} 4, \Theta {+} 3{-}5$ & $p^{-1} t^{\alpha-1} [x - (\alpha/2) \sin \theta \ln t + \varphi(tz)], $ [1ex] & ($\gamma=a$) & $ z = e^{2(qx-py)/(p \cos \theta - q \sin \theta)} \ \ (p, \ p \cos \theta + q \sin \theta \neq 0);$ [1ex] & & $q^{-1} t^{\alpha-1} [y - (\alpha/2) \cos \theta \ln t + \varphi(t e^{-2x/(\alpha \sin \theta)})] $ [1ex] & & $(p=0, \ q, \theta \neq 0);$ [1ex] & & $q^{-1} t^{\alpha-1} [y - (\alpha/2) \ln t + \varphi(x)] \ \ (p, \theta=0, \ q \neq 0);$ [1ex] & & $(p \sqrt{p^2{+}q^2})^{-1} t^{\alpha-1} [\sqrt{p^2{+}q^2} x - (\alpha/2) p \ln t + \varphi(qx {-} py)] \ \ $ [1ex] & & $(p \neq 0, \ p \cos \theta = q \sin \theta)$ [1.5ex] \hline \end{tabular} \smallskip Here are $\Theta = X_1 \sin \theta + X_2 \cos \theta$, $\theta \in [0, \frac{\pi}{2}]$, $\gamma = 1+\beta^{-1}$, $a = 2 \alpha^{-1}-1$, $p,q \geq 0$, $r \in \mathbb R$. \end{table} \begin{table}[t!] \small \centering \caption{Представления инвариантных решений для алгебры $L_6$\label{GZ:Tabl2}} \vspace{-3mm} {\footnotesize [Representations of invariant solutions for algebra $L_6$] } \smallskip %\renewcommand{\tabcolsep}{0.55cm} \begin{tabular}{c||c|c} \hline %\rule{0mm}{5pt}% \footnotesize no. & \footnotesize a subalgebra of $\Theta_2 L_6$ & \footnotesize $u(t,x,y)$ \hline \rule{0mm}{12pt}% %\rule{0mm}{6pt}% 1--10 & are identical as 1--10 & are identical as 1--10 from [1ex] & from Table~\ref{GZ:Tabl1} & Table~\ref{GZ:Tabl1} [1ex] 11 & $5, 6$ & $t^{\alpha-1} x^{1/ \alpha} \varphi(y/x)$ [1ex] 12 & $3+p5, 6$ & $t^{\alpha-1} x^{(2+p-\alpha)/(\alpha (p+1))} \varphi(y/x) \ (p \neq -1)$ [1ex] 13 & $\Theta, 6$ & $t^{\alpha-1} \varphi(x \cos \theta - y \sin \theta)$ [1ex] 14 & $\Theta, 5+\varepsilon 6$ & $t^{\alpha-1} z^{1/\alpha} \varphi\left(\frac{t}{\varepsilon + t \ln z}\right)$, $z =x \cos \theta - y \sin \theta$ [1ex] 15 & $\Theta, 4+6$ & $t^{\alpha-1} \varphi(x \cos \theta - y \sin \theta)$ [1ex] 16 & $\Theta, 2 + p4 + 6 $ ($\theta \neq 0$)& $t^{\alpha-1} \varphi \left(\frac{t}{1+t z} \right), \ z=y-x\ctg \theta \ (p=0)$ [1ex] 17 & $2, 1 + p4 + 6$ & $t^{\alpha-1} \varphi \left(\frac{t}{1+t x} \right) \ (p=0)$ [1ex] 18 & $p1+q2+4, 6 $ & $q^{-1} t^{\alpha-1} \left[ y + \varphi(py-qx) \right] \ (q \neq 0)$ [1ex] & & $p^{-1} t^{\alpha-1} \left[x + \varphi(y) \right] \ (p \neq 0)$ [1ex] 19 & $p1+q2+4, 1+6 $ & $q^{-1} t^{\alpha-1} \left[ y + \varphi \left(\frac{t}{q+t (qx-py)} \right) \right] \ (q \neq 0)$ [1ex] & & $p^{-1} t^{\alpha-1} \left[ x+t^{-1} + \varphi(y) \right] \ (p \neq 0)$ [1ex] 20 & $p1+q2+4, ~ r1+2+6 $ & $q^{-1} t^{\alpha-1} \left[y+t^{-1} + \varphi \left(\frac{t}{qr-p+t (qx-py)} \right) \right] \ (q \neq 0)$ [1ex] & & $p^{-1} t^{\alpha-1} \left[x-ry + \varphi \left(\frac{t}{1+ty} \right) \right] \ (p \neq 0)$ [1ex] \hline \end{tabular} \smallskip Here are $\Theta = X_1 \sin \theta + X_2 \cos \theta$, $\theta \in [0, \frac{\pi}{2}]$, $p,q \geq 0$, $r \in \mathbb R$. \end{table} \smallskip %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \Section{Построение законов сохранения} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Уравнение \eqref{GZ:Filt2D} не обладает классическим лагранжианом, поэтому для построения его законов сохранения с использованием симметрий может быть применен принцип нелинейной самосопряженности, изначально предложенный профессором Н.\,Х. Ибрагимовым для дифференциальных уравнений целого порядка [27, 28] и обобщенный в работах [33, 34] на дифференциальные уравнения дробного порядка. Уравнение \eqref{GZ:Filt2D} может быть представлено в виде $$ \mathcal{F}(t,x,y,u,u_x,u_y,u_{xx},u_{xy},u_{yy},{}^{}_{0}D^{\alpha}_t u) = 0. $$ Для него вводится формальный лагранжиан вида $\mathcal{L} = v \mathcal{F}$, где $v=v(t,x,y)$~--- новая зависимая переменная. Тогда уравнение, сопряженное к \eqref{GZ:Filt2D}, находится как $$ \dfrac{\delta \mathcal{L}}{\delta u} = 0, $$ где вариационная производная имеет в данном случае вид $$ \dfrac{\delta}{\delta u} = - D_x \dfrac{\partial}{\partial u_x} - D_y \dfrac{\partial}{\partial u_y} + D_x^2 \dfrac{\partial}{\partial u_{xx}} + D_y^2 \dfrac{\partial}{\partial u_{yy}} + D_x D_y \dfrac{\partial}{\partial u_{xy}} + {}^{C}_{t}D^{\alpha}_{T} \dfrac{\partial}{\partial{}^{}_{0}D^{\alpha}_t u}. $$ Здесь ${}^{C}_{t}D^{\alpha}_{T} $~--- оператор правостороннего дробного дифференцирования Ге\-ра\-си\-мо\-ва--Капуто порядка $\alpha$, определенный для $t \in (0,T)$ [2, 7]: $$ {}^{C}_{t}D^{\alpha}_{T} u = \dfrac{(-1)^n}{\Gamma(n-\alpha)} \int_t^T \dfrac{1}{(\tau-t)^{\alpha-n+1}} \dfrac{\partial^n u(\tau,x,y)}{\partial \tau^n} d\tau, \quad n=[\alpha]+1. $$ Для уравнения \eqref{GZ:Filt2D}, представленного в форме \eqref{GZ:Filt2DM}, вычисления приводят к следующему сопряженному уравнению: \begin{multline} \label{GZ:SoprEq} {}^{C}_{t}D^{\alpha}_{T} v = - D_x \Bigl[v \Bigl(\dfrac{\partial F}{\partial u_x} u_{xx} + \dfrac{\partial G}{\partial u_x} u_{yy} + \dfrac{\partial H}{\partial u_x} u_{xy}\Bigr) \Bigr] - - D_y \Bigl[v \Bigl(\dfrac{\partial F}{\partial u_y} u_{xx} + \dfrac{\partial G}{\partial u_y} u_{yy} + \dfrac{\partial H}{\partial u_y} u_{xy}\Bigr) \Bigr]+ v_{xx} F + 2 v_x D_x F + v D^2_x F + + v_{yy} G + 2 v_y D_y G + v D^2_y G + v_{xy} H + v_x D_y H + v_y D_x H + v D_x D_y H. \end{multline} Если найдется такая подстановка $v = \varphi(t,x,y,u)$, что приведенное сопряженное уравнение будет выполнено тождественно на всех решениях $u(t,x,y)$ исходного уравнения \eqref{GZ:Filt2D}, то уравнение \eqref{GZ:Filt2D} называется \textit{нелинейно самосопряженным}. В [28] доказано, что любое линейное уравнение является нелинейно самосопряженным. Поэтому в линейном случае $f=f_0=\mathrm{const}$, ${g=g_0=\mathrm{const}}$ уравнение \eqref{GZ:Filt2D} является нелинейно самосопряженным с подстановкой $v \hm = \psi(t,x,y)$, где $\psi(t,x,y)$ --- любое решение его сопряженного уравнения \eqref{GZ:SoprEq}, которое в данном случае также будет линейным. Для нелинейного случая в результате вычислений получено, что $\varphi=\varphi(x,y)$, и эта функция должна удовлетворять следующей системе уравнений: $$ \begin{array}{l} \varphi_x \dfrac{\partial F}{\partial u_x} + \varphi_y \Bigl(\dfrac{\partial H}{\partial u_x} - \dfrac{\partial F}{\partial u_y} \Bigr) = 0, [2ex] \varphi_x \Bigl(\dfrac{\partial H}{\partial u_y} - \dfrac{\partial G}{\partial u_x} \Bigr) + \varphi_y \dfrac{\partial G}{\partial u_y} = 0, [2ex] \varphi_x \dfrac{\partial F}{\partial u_y} + \varphi_y \dfrac{\partial G}{\partial u_x} = 0, [2ex] \varphi_{xx} F + \varphi_{yy} G + \varphi_{xy} H = 0. \end{array} $$ Для произвольных функций $f$ и $g$ единственным решением этой системы будет $\varphi = c$, где $c$~--- произвольная постоянная. Также выделяются два особых случая: \begin{itemize} \item[1)] $f$ --- произвольная функция, $g=\mathrm{const}$, тогда $\varphi = c_1+c_2 y$; \item[2)] $g$ --- произвольная функция, $f=\mathrm{const}$, тогда $\varphi = c_1+c_2 x$. \end{itemize} \smallskip Таким образом, доказана \smallskip \phantomsection \hypertarget{LS:Th3}{} \begin{theorem}[3]Уравнение \eqref{GZ:Filt2D} является нелинейно самосопряженным$.$ Соответствующая подстановка $v=\varphi(t,x,y,u),$ обращающая уравнение \eqref{GZ:SoprEq} в~тождество на всех решениях уравнения \eqref{GZ:Filt2D}$,$ имеет следующий вид{\/\rm:} \begin{enumerate} \item[\rm 1)] $v = c $ в случае произвольных функций $f$ и $g,$ при этом формальный лагранжиан $\mathcal{L}$ совпадает с самим уравнением {\rm \eqref{GZ:Filt2D};} \item[\rm 2)] \hypertarget{LS:Th3.2}{} $v = c_1+c_2 y$ в случае, когда функция $f$ произвольная$,$ а $g=\mathit{const};$ \item[\rm 3)] \hypertarget{LS:Th3.2}{} $v = c_1+c_2 x$ в случае, когда функция $g$ произвольная$,$ а $f=\mathit{const};$ \item[\rm 4)] $v = \psi(t,x,y),$ где $\psi(t,x,y)$ --- любое решение линейного сопряженного уравнения \eqref{GZ:SoprEq} при $f=\mathit{const},$ $g=\mathit{const}.$ \end{enumerate} Здесь $c,$ $ c_1,$ $ c_2$ --- произвольные постоянные$.$ \end{theorem} \smallskip Поскольку уравнение \eqref{GZ:Filt2D} является нелинейно самосопряженным, по любой его известной симметрии вида \eqref{GZ:InfOp} может быть найден соответствующий закон сохранения $$ D_t C^t + D_x C^x + D_y C^y = 0. $$ Координаты сохраняющегося вектора $(C^t,C^x,C^y)$ будут при этом находиться по следующим формулам (см. [19, 35]: $$ \begin{array}{l} C^t = {}^{}_{0}I^{1-\alpha}_t W \, \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial {}^{}_{0}D^{\alpha}_t u} + J\Bigl\{W, D_t \Bigl(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial {}^{}_{0}D^{\alpha}_t u} \Bigr)\Bigr\}, [2ex] C^x = W \Bigl( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial u_x} - D_x \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial u_{xx}} - D_y \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial u_{xy}}\Bigr) + D_x(W) \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial u_{xx}} + D_y(W) \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial u_{xy}}, [2ex] C^y = W \Bigl( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial u_y} - D_x \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial u_{yx}} - D_y \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial u_{yy}}\Bigr) + D_x(W) \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial u_{yx}} + D_y(W) \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial u_{yy}}, \end{array} $$ где $W = \eta - \tau u_t - \xi^1 u_x - \xi^2 u_y$, $$ J\{f,g\} = \dfrac{1}{\Gamma(1-\alpha)} \int_0^t \int_t^T \dfrac{f(\tau,x,y)g(\mu,x,y)}{(\mu-\tau)^{\alpha}} d\mu d\tau. $$ В случае произвольных $f$ и $g$ подстановка в эти формулы формального лагранжиана $$ \mathcal{L} = {}^{}_{0}{D}^{\alpha}_t u - F(u_x,u_y) u_{xx} - G(u_x,u_y) u_{yy} - \dfrac{1}{2} H(u_x,u_y) u_{xy} -\dfrac{1}{2} H(u_x,u_y) u_{yx}, $$ где функции $F,G,H$ определены в \eqref{GZ:FGH}, дает $$ C^t = {}^{}_{0}I^{1-\alpha}_t W, $$ \vspace{-7mm} \begin{multline*} C^x = W \left[ 2 u_x u_y (u_x u_{xy} + u_y u_{yy}) (f'' - g'') + (u_y u_{xy} + u_x u_{yy}) (f' - g') \right] - - (f + 2 u_x^2 f')D_x(W) - u_x u_y (f' + g') D_y(W), \end{multline*} \vspace{-7mm} \begin{multline*} C^y = W \left[ 2 u_x u_y (u_y u_{xy} + u_x u_{xx}) (g'' - f'') + (u_x u_{xy} + u_y u_{xx}) (g' - f') \right] - - u_x u_y (f' + g') D_x(W) - (g + 2 u_y^2 g') D_y(W). \end{multline*} Операторам \eqref{GZ:Filt2D_X14} соответствуют следующие значения $W$: $$ W_1 = -u_x, \quad W_2 = -u_y, \quad W_3 = u -\dfrac{2}{\alpha} t u_t - x u_x -y u_y, \quad W_4 = t^{\alpha-1}. $$ Легко видеть, что оператор $X_4$ дает тривиальный закон сохранения с $C^t = 0$, а операторы $X_1$ и $X_2$ дают законы сохранения, сводящиеся к тривиальному элементарными преобразованиями с учетом самого уравнения \eqref{GZ:Filt2D}. Единственный нетривиальный закон сохранения порождается оператором $X_3$, соответствующий сохраняющийся вектор имеет координаты \begin{equation} \label{GZ:MainCL} C^t = {}^{}_{0}I^{1-\alpha}_t u, \quad C^x = - f(u_x^2 + u_y^2) u_x, \quad C^y = -g(u_x^2+u_y^2) u_y. \end{equation} Данный закон сохранения соответствует исходному уравнению \eqref{GZ:Filt2D}. Других нетривиальных законов сохранения в случае произвольных функций $f$ и $g$ метод нелинейной самосопряженности с подстановкой вида $v=\varphi(t,x,y,u)$ для уравнения \eqref{GZ:Filt2D} не дает. В случае $f(r)=f_0 r^{\beta}$, $g(r)=g_0 r^{\beta}$ оператор $X_5$ из \eqref{GZ:Filt2D_X5} также порождает закон сохранения c сохраняющимся вектором \eqref{GZ:MainCL}. При $\beta = \alpha/(1-\alpha)$ оператор $X_6$ из \eqref{GZ:Filt2D_X6} порождает новый закон сохранения, координаты сохраняющегося вектора которого имеют вид $$ C^t = t {}^{}_{0}I^{1-\alpha}_t u - {}^{}_{0}I^{2-\alpha}_t u, \quad C^x = -f_0 t u_x (u_x^2 + u_y^2)^{\frac{\alpha}{1-\alpha}}, \quad C^y = -g_0 t u_y (u_x^2 + u_y^2)^{\frac{\alpha}{1-\alpha}}. $$ В случае $f=g$ оператор $X_r$ из \eqref{GZ:Filt2D_Xr} также порождает лишь тривиальный закон сохранения. Более интересными представляются случаи \hyperlink{LS:Th3.2}{2}) и \hyperlink{LS:Th3.3}{3}) из теоремы~\hyperlink{LS:Th3}{3}. Для произвольной функции $f$ и $g=g_0=\mathrm{const}$ при $v=c_1+c_2y$ для операторов $X_1$ и $X_2$ получаем закон сохранения c сохраняющимся вектором \eqref{GZ:MainCL}. Оператор $X_3$ порождает в этом случае новый закон сохранения: $$ C^t = y \, {}^{}_{0}I^{1-\alpha}_t u, \quad C^x = -y u_x f(u_x^2+u_y^2), \quad C^y = g_0 (u- y u_y). $$ Аналогично, для случая $f=f_0=\mathrm{const}$ и произвольной функции $g$ оператор $X_3$ при $v=c_1+c_2x$ дает $$ C^t = x \, {}^{}_{0}I^{1-\alpha}_t u, \quad C^x = f_0 (u - x u_x), \quad C^y = -x u_y g(u_x^2+u_y^2). $$ Других законов сохранения для нелинейного уравнения \eqref{GZ:Filt2D} метод нелинейной самосопряженности с подстановкой вида $v=\varphi(t,x,y,u)$ не дает. Найденные законы сохранения могут быть использованы, в частности, для построения частных решений уравнения \eqref{GZ:Filt2D} по методу, предложенному в [36].

About the authors

Veronika Olegovna Lukashchuk

Ufa State Aviation Technical University

Email: voluks@gmail.com

Stanislav Yur'evich Lukashchuk

Ufa State Aviation Technical University

Email: lsu@ugatu.su
Doctor of physico-mathematical sciences, Associate professor

References

Supplementary files