Group classification, invariant solutions and conservation laws of nonlinear orthotropic two-dimensional filtration equation with the Riemann–Liouville time-fractional derivative

Abstract


A nonlinear two-dimensional orthotropic filtration equation with the Riemann–Liouville time-fractional derivative is considered. It is proved that this equation can admits only linear autonomous groups of point transformations. The Lie point symmetry group classification problem for the equation in question is solved with respect to coefficients of piezoconductivity. These coefficients are assumed to be functions of the square of the pressure gradient absolute value. It is proved that if the order of fractional differentiation is less than one then the considered equation with arbitrary coefficients admits a four-parameter group of point transformations in orthotropic case, and a five-parameter group in isotropic case. For the power-law piezoconductivity, the group admitted by the equation is five-parametric in orthotropic case, and six-parametric in isotropic case. Also, a special case of power function of piezoconductivity is determined for which there is an additional extension of admitted groups by the projective transformation. There is no an analogue of this case for the integer-order filtration equation. It is also shown that if the order of fractional differentiation $\alpha \in (1,2)$ then dimensions of admitted groups are incremented by one for all cases since an additional translation symmetry exists. This symmetry is corresponded to an additional particular solution of the fractional filtration equation under consideration. Using the group classification results for orthotropic case, the representations of group-invariant solutions are obtained for two-dimensional subalgebras from optimal systems of symmetry subalgebras. Examples of reduced equations obtained by the symmetry reduction technique are given, and some exact solutions of these equations are presented. It is proved that the considered time-fractional filtration equation is nonlinearly self-adjoint and therefore the corresponding conservation laws can be constructed. The components of obtained conserved vectors are given in an explicit form.

Full Text

\Section[n]{Введение} Интегро-дифференциальные уравнения с производными дробных порядков различных типов [1, 2] в последнее время привлекают большое внимание исследователей из самых различных областей науки и техники благодаря возможности их использования в качестве математических моделей сложных процессов, сред и систем, проявляющих эффекты памяти и пространственной нелокальности [3-12]. Наиболее хорошо в настоящее время исследованы одномерные дробно-дифференциальные уравнения диффузионного типа, к которому относится и большинство простейших дробно=дифференциальных уравнений фильтрации. Однако с точки зрения практического использования существенно больший интерес представляют уравнения в~двумерных и трехмерных областях. Исследование ряда важных качественных свойств таких уравнений, особенно нелинейных, может быть выполнено методами современного группового анализа [13-17]. Для дробно=дифференциальных уравнений в последнее десятилетие удалось развить ряд классических теоретико-групповых методов (см. [18, 19] и цитируемую там литературу), что дало возможность находить допускаемые такими уравнениями группы симметрий, решать задачи их групповой классификации, строить фактор-уравнения, инвариантные решения и законы сохранения. Отметим, что задача групповой классификации уравнения имеет не только теоретическое, но и прикладное значение, поскольку выделение классов уравнений с~расширенной группой симметрий позволяет выделять также и соответствующие подмодели, обладающие расширенным набором симметрийных свойств и, как следствие, имеющих дополнительные инвариантные решения и законы сохранения. Настоящая работа посвящена исследованию симметрийных свойств нелинейного двумерного дробно=дифференциального уравнения \begin{equation} \label{GZ:Filt2D} {}^{}_{0}D^{\alpha}_t u = \left(f(u_x^2+u_y^2) u_x \right)_x + \left(g(u_x^2+u_y^2) u_y \right)_y, \quad f, g>0, \quad \alpha \in (0, 1) \cup (1, 2). \end{equation} Здесь через ${}^{}_{0}D^{\alpha}_t$ обозначен оператор дробного дифференцирования Римана--~Лиувилля порядка $\alpha$: $$ {}^{}_{0}D^{\alpha}_t u = \dfrac{1}{\Gamma(n-\alpha)} \dfrac{\partial^n}{\partial t^n} \int_0^t \dfrac{u(\tau,x,y)}{(t-\tau)^{\alpha-n+1}} d\tau, \quad n=[\alpha]+1. $$ Уравнение \eqref{GZ:Filt2D} позволяет, в частности, описывать процессы фильтрации в ортотропной гетерогенной пористой среде и может быть получено на основе дробно=дифференциальных модификаций закона Дарси [20-22] (в этом случае в качестве функции $u$ выступает давление, а функции $f$ и $g$ являются компонентами тензора пьезопроводности ортотропной среды). При $\alpha=1$ уравнение \eqref{GZ:Filt2D} превращается в классическое нелинейное двумерное ортотропное уравнение фильтрации, результаты групповой классификации которого приведены в [23]. Решается задача групповой классификации уравнения \eqref{GZ:Filt2D} относительно функций $f$ и $g$ по допускаемым этим уравнением однопараметрическим группам Ли точечных преобразований вида \begin{equation} \label{GZ:Transf} \begin{array}{ll} \bar{t}=\lambda(t,x,y,u,a), & \bar{y}=\nu^2(t,x,y,u,a), [1ex] \bar{x}=\nu^1(t,x,y,u,a), & \bar{u}=\omega(t,x,y,u,a), [1ex] \lambda\big|_{a=0}=t, \quad \nu^1\big|_{a=0}=x, & \nu^2\big|_{a=0}=y, \quad \omega\big|_{a=0}=u, \end{array} \end{equation} где $a$ --- параметр группы. Порядок дробного дифференцирования $\alpha$ не преобразуется. Группе преобразований \eqref{GZ:Transf} соответствует инфинитезимальный оператор \begin{equation} \label{GZ:InfOp} X = \tau(t,x,y,u) \dfrac{\partial}{\partial t} + \xi^1(t,x,y,u) \dfrac{\partial}{\partial x} + \xi^2(t,x,y,u) \dfrac{\partial}{\partial y} + \eta(t,x,y,u) \dfrac{\partial}{\partial u}, \end{equation} координаты которого определяются соотношениями $$ \begin{array}{ll} \tau(t,x,y,u) = \dfrac{\partial \lambda(t,x,y,u,a)}{\partial a} \Big|_{a=0}, & \xi^2(t,x,y,u) = \dfrac{\partial \nu^2(t,x,y,u,a)}{\partial a} \Big|_{a=0}, [2ex] \xi^1(t,x,y,u) = \dfrac{\partial \nu^1(t,x,y,u,a)}{\partial a} \Big|_{a=0}, & \eta(t,x,y,u) = \dfrac{\partial \omega(t,x,y,u,a)}{\partial a} \Big|_{a=0}. \end{array} $$ Такой инфинитезимальный оператор допускаемой уравнением группы будет, как обычно, называться \textit{точечной симметрией} этого уравнения. \smallskip \Section{О линейной автономности группы, допускаемой дробно-диф\-фе\-рен\-ци\-аль\-ным уравнением} Уравнение \eqref{GZ:Filt2D} является частным случаем уравнения вида \begin{equation} \label{GZ:FDE} {}^{}_{0}D^{\alpha}_t u = \Phi(t,x,y,u,u_x,u_y,u_{xx},u_{xy},u_{yy}), \end{equation} для симметрий которого может быть доказано одно важное свойство. Следуя работе [24], преобразования вида \eqref{GZ:Transf}, в которых функции $\lambda$, $\nu^1$ и $\nu^2$ не зависят от $u$, будем называть \textit{$x$-автономными преобразованиями}. Очевидно, что в этом случае координаты $\tau$, $\xi^1$ и $\xi^2$ оператора \eqref{GZ:InfOp} также не будут зависеть от $u$. Соответствующие симметрии будут называться \textit{$x$=автономными симметриями}. Если для $x$-автономной симметрии дополнительно выполнено условие $\eta_{uu}=0$, то такая симметрия будет называться \textit{линейно-автономной} [25]. \smallskip \hypertarget{LS:Th1}{} \phantomsection \begin{theorem}[1]\label{LS:Th1}Уравнение \eqref{GZ:FDE} может обладать точечными симметриями вида \eqref{GZ:InfOp} только линейно=автономного типа с координатами \begin{equation} \label{GZ:Vid_RL} \begin{array}{c} \tau = \rho(x,y) t + \phi(x,y) t^2, \quad \xi^1=\theta^1(x,y), \quad \xi^2=\theta^2(x,y), [2ex] \eta = \psi(t,x,y) + \left[ \varphi(x,y)+ (\alpha-1) \phi(x,y) t \right] u, \end{array} \end{equation} где $\rho$, $\phi$, $\theta^1$, $\theta^2$, $\psi$, $\varphi$ --- произвольные функции своих аргументов. \end{theorem} \smallskip \begin{proof} Необходимое условие инвариантности [19] уравнения \eqref{GZ:FDE} относительно группы точечных преобразований, определяемой оператором \eqref{GZ:InfOp}, может быть записано в виде \begin{equation} \label{GZ:DetEq} \left[X_{(\alpha)} {}^{}_{0}D^{\alpha}_t u - X_{(2)} \Phi \right]_{\eqref{GZ:FDE}} = 0, \end{equation} где $$ X_{(\alpha)} = X + \zeta_{(\alpha)} \dfrac{\partial}{\partial D^{\alpha}_t u} $$ --- продолжение оператора $\eqref{GZ:InfOp}$ на дробно=дифференциальную переменную $D^{\alpha}_t u$, а $X_{(2)}$ --- классическое второе продолжение оператора $\eqref{GZ:InfOp}$ на все аргументы функции $\Phi$ (см., например, [13, 17]). Координата $\zeta_{(\alpha)}$ находится по формуле продолжения \cite{GZ:GKL_HB_19_b}: \begin{equation} \label{GZ:PFFD} \zeta_{(\alpha)} = D^{\alpha}_t (W) + \tau D^{\alpha+1}_t u + \xi^1 D^{\alpha}_t u_x + \xi^2 D^{\alpha}_t u_y, \end{equation} где $W=\eta - \tau u_t - \xi^1 u_x - \xi^2 u_y$. Как доказано в [26] (см. также [18, 19]), определяющее уравнение \eqref{GZ:DetEq} должно быть дополнено условием неподвижности точки начала отсчета дробной производной под действием преобразований группы: \begin{equation} \label{GZ:Cond} \tau(t,x,y,u)\big|_{t=0}=0. \end{equation} Функция $\eta$ является сложной функцией переменной $t$, поэтому вычисление дробной производной $D^{\alpha}_t \eta$, входящей в \eqref{GZ:PFFD}, является непростой задачей. Как показано в [18], такая производная будет представляться рядом с четырехкратным вложенным суммированием. Поэтому для упрощения доказательства теоремы воспользуемся следующим формальным приемом. Перепишем функцию $\eta$ в квазилинейном по переменной $u$ виде $$ \eta(t,x,y,u) = \psi(t,x,y) + \tilde{\eta}(t,x,y,u) u. $$ Тогда для доказательства утверждения теоремы необходимо показать, что $\tilde{\eta}_u = 0$. Рассмотрим первое слагаемое в определяющем уравнении \eqref{GZ:DetEq} с учетом формулы продолжения \eqref{GZ:PFFD}: \begin{multline} \label{GZ:LS:E1} X_{(\alpha)} {}^{}_{0}D^{\alpha}_t u = \zeta_{(\alpha)} \equiv {}^{}_{0}D^{\alpha}_t \left(\psi + \tilde{\eta} u -\tau u_t - \xi^1 u_x - \xi^2 u_y \right) + + \tau {}^{}_{0}D^{\alpha+1}_t (u) + \xi^1 {}^{}_{0}D^{\alpha}_t (u_x) + \xi^2 {}^{}_{0}D^{\alpha}_t (u_y). \end{multline} \pagebreak Как это принято в групповом анализе, будем полагать, что все координаты инфинитезимального оператора \eqref{GZ:InfOp} являются требуемое число раз непрерывно дифференцируемыми по своим аргументам. Тогда возможно применение оператора дробного дифференцирования ${}^{}_{0}D^{\alpha}_t$ независимо к каждому из слагаемых, стоящих в круглых скобках в правой части \eqref{GZ:LS:E1}, а также использование обобщенного правила Лейбница [1]: \begin{equation} \label{GZ:GLR} {}^{}_{0}D^{\alpha}_t (F G) = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{\alpha}{k} {}^{}_{0}D^{\alpha-k}_t (F) \, D^k_t (G), \end{equation} где ${}^{}_{0}D^{\alpha-k}_t (F)$ --- дробные производные (при $\alpha-k>0$) и дробные интегралы (при $\alpha-k<0$) соответствующих порядков, $\displaystyle\binom{\alpha}{k}=\frac{\Gamma(\alpha+1)}{k!\Gamma(\alpha-k+1)}$ --- биномиальные коэффициенты. Также воспользуемся очевидным равенством $$ \tau u_t = D_t (\tau u) - D_t(\tau) u. $$ В силу условия \eqref{GZ:Cond} и регулярности функции $\tau$ и ее первой производной по $t$ в точке $t=0$ имеем $\tau u|_{t=0} =0$. Тогда (см. [1, 2]), $$ {}^{}_{0}D^{\alpha}_t D_t (\tau u) = {}^{}_{0}D^{\alpha+1}_t (\tau u). $$ Подстановка приведенных выражений в \eqref{GZ:LS:E1} и применение \eqref{GZ:GLR} дает \begin{multline} \label{GZ:LS_E2} \zeta_{(\alpha)} = {}^{}_{0}D^{\alpha}_t (\psi) + \left[\tilde{\eta} - \alpha D_t (\tau) \right] {}^{}_{0}D^{\alpha}_t (u) + + \sum_{k=1}^{\infty} \binom{\alpha}{k} {}^{}_{0}D^{\alpha-k}_t (u) \, D^k_t(\tilde{\eta}) - \sum_{k=1}^{\infty} \binom{\alpha}{k+1} {}^{}_{0}D^{\alpha-k}_t (u) \, D^{k+1}_t (\tau) - - \sum_{k=1}^{\infty} \binom{\alpha}{k} {}^{}_{0}D^{\alpha-k}_t (u_x) \, D^k_t(\xi^{1}) - \sum_{k=1}^{\infty} \binom{\alpha}{k} {}^{}_{0}D^{\alpha-k}_t (u_y) \, D^k_t(\xi^{2}). \end{multline} Подставляя \eqref{GZ:LS_E2} в \eqref{GZ:DetEq} и заменяя дробную производную ${}^{}_{0}D^{\alpha}_t (u)$ на $\Phi$ в силу исходного уравнения \eqref{GZ:FDE}, приходим к следующему определяющему уравнению: \begin{multline} \label{GZ:LS_E3} {}^{}_{0}D^{\alpha}_t (\psi) + \left[\tilde{\eta} - \alpha D_t (\tau) \right] \Phi + + \sum_{k=1}^{\infty} \binom{\alpha}{k} {}^{}_{0}D^{\alpha-k}_t (u) \, D^k_t(\tilde{\eta}) - \sum_{k=1}^{\infty} \binom{\alpha}{k+1} {}^{}_{0}D^{\alpha-k}_t (u) \, D^{k+1}_t (\tau) - - \sum_{k=1}^{\infty} \binom{\alpha}{k} {}^{}_{0}D^{\alpha-k}_t (u_x) \, D^k_t(\xi^{1}) - \sum_{k=1}^{\infty} \binom{\alpha}{k} {}^{}_{0}D^{\alpha-k}_t (u_y) \, D^k_t(\xi^{2}) = X_{(2)} \Phi. \end{multline} Выполним расщепление уравнения \eqref{GZ:LS_E3} по всем интегралам и производным дробных порядков, которые могут рассматриваться теперь в качестве независимых переменных. Расщепление по ${}^{}_{0}D^{\alpha-k}_t (u_x)$ и ${}^{}_{0}D^{\alpha-k}_t (u_y)$ приводит к уравнениям $$ D^k_t(\xi^{1}) = 0, \quad D^k_t(\xi^{2}) = 0, \quad k=1,2,\ldots \, , $$ интегрирование которых дает $$ \xi^1=\theta^{1}(x,y), \quad \xi^2=\theta^{2}(x,y), $$ где $\theta^1$ и $\theta^2$ --- произвольные функции. Аналогично, расщепление \eqref{GZ:LS_E3} по ${}^{}_{0}D^{\alpha-k}_t (u)$ приводит к системе $$ (k+1) D^k_t(\tilde{\eta})- (\alpha-k) D^{k+1}_t (\tau) = 0, \quad k=1,2,\ldots \, . $$ Рассматривая первые два уравнения этой системы (соответствующие $k=1$ и $k=2$), находим $$ D^2_t (\tilde{\eta}) =0 $$ или $$ \tilde{\eta}_{tt} + 2 \tilde{\eta}_{tu} u_t + \tilde{\eta}_{uu} u_t^2 + \tilde{\eta}_u u_{tt}=0. $$ Расщепление этого уравнения по $u_t$ и $u_{tt}$ дает требуемое условие $\tilde{\eta}_u =0$. Решение оставшегося уравнения $\tilde{\eta}_{tt} =0$ может быть представлено в виде $$ \tilde{\eta} = \vartheta(x,y) t + \varphi(x,y), $$ где $\vartheta(x,y)$ и $\varphi(x,y)$ --- произвольные функции. Тогда уравнение, соответствующее $k=1$, принимает вид $$ (\alpha-1)D^2_t{\tau} = 2 \vartheta (x,y). $$ Его интегрирование с учетом условия \eqref{GZ:Cond} дает $$ \tau=\phi(x,y) t^2+\rho(x,y) t, $$ где $\rho(x,y)$ --- произвольная функция, а $\phi (x,y) = \vartheta(x,y)/(\alpha-1)$. В результате приходим к искомым представлениям \eqref{GZ:Vid_RL}. Определяющее уравнение \eqref{GZ:LS_E3} принимает при этом вид \begin{equation} \label{LS:DE_Filt} {}^{}_{0}D^{\alpha}_t (\psi) + \left[\varphi-\alpha \rho - (1+\alpha) \phi t \right] \Phi = X_{(2)} \Phi. \end{equation} \hfill \end{proof} \smallskip Результат теоремы~\ref{LS:Th1} можно усилить, если наложить дополнительные ограничения на вид функции $\Phi$. Заметим, что функция $\Phi$ не зависит от $u_t$ и ее производных. Следовательно, правая часть уравнения \eqref{LS:DE_Filt} будет линейно зависеть от переменных $u_t$, $u_{tx}$ и $u_{ty}$ в силу линейной зависимости от них координат продолженного оператора $X_{(2)}$. Осуществляя дополнительное расщепление уравнения \eqref{LS:DE_Filt} по этим переменным, приходим к следующей системе уравнений: \begin{equation} \label{LS:SysTau} \begin{aligned} & \tau_x \dfrac{\partial \Phi}{\partial u_x} + \tau_y \dfrac{\partial \Phi}{\partial u_y} + \tau_{xx} \dfrac{\partial \Phi}{\partial u_{xx}} + \tau_{xy} \dfrac{\partial \Phi}{\partial u_{xy}} + \tau_{yy} \dfrac{\partial \Phi}{\partial u_{yy}} = 0, & 2 \tau_x \dfrac{\partial \Phi}{\partial u_{xx}} + \tau_y \dfrac{\partial \Phi}{\partial u_{xy}} = 0, & \tau_x \dfrac{\partial \Phi}{\partial u_{xy}} + 2 \tau_y \dfrac{\partial \Phi}{\partial u_{yy}} = 0. \end{aligned} \end{equation} Из двух последних уравнений этой системы следует, что при выполнении условия \begin{equation} \label{LS:CondTau} 4 \dfrac{\partial \Phi}{\partial u_{xx}} \dfrac{\partial \Phi}{\partial u_{yy}} - \Bigl( \dfrac{\partial \Phi}{\partial u_{xy}} \Bigr)^2 \neq 0 \end{equation} справедливы равенства $\tau_x = \tau_y = 0$. Тогда в \eqref{GZ:Vid_RL} имеем $\rho = C_1$, $\phi = C_2$, и \begin{equation} \label{GZ:Vid_RL_Filt2D} \begin{array}{c} \tau = C_1 t + C_2 t^2, \quad \xi^1=\theta^1(x,y), \quad \xi^2=\theta^2(x,y), [2ex] \eta = \psi(t,x,y) + \left(\varphi(x,y)+ (\alpha-1) C_2 t \right) u, \end{array} \end{equation} где $C_1$ и $C_2$ --- произвольные постоянные. \smallskip %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \Section{Групповая классификация уравнения (\ref{GZ:Filt2D})} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Уравнение \eqref{GZ:Filt2D} может быть представлено в виде \begin{equation} \label{GZ:Filt2DM} {}^{}_{0}{D}^{\alpha}_t u = F(u_x,u_y) u_{xx} + G(u_x,u_y) u_{yy}+ H(u_x,u_y) u_{xy}, \vspace{-2mm} \end{equation} где \begin{equation} \label{GZ:FGH} F=2u_x^2 f' + f, \qquad G=2u_y^2 g' +g, \qquad H=2 u_x u_y (f'+g'). \end{equation} Для уравнения \eqref{GZ:Filt2DM} условие \eqref{LS:CondTau} принимает вид $4 FG \neq H^2$. С учетом \eqref{GZ:FGH} нетрудно показать, что это условие нарушается только в том случае, когда $f(r)=g(r)=f_0/ \sqrt{r}$, $f_0$ --- произвольная постоянная. Однако подстановка этих функций в первое уравнение системы \eqref{LS:SysTau} снова приводит к уравнениям $\tau_x = \tau_y = 0$. Таким образом, представления \eqref{GZ:Vid_RL_Filt2D} справедливы для уравнения~\eqref{GZ:Filt2D} при любых $f, \, g>0$. Для уравнения \eqref{GZ:Filt2DM} с учетом \eqref{GZ:Vid_RL_Filt2D} уравнение \eqref{LS:DE_Filt} для определения функций $\theta^1$, $\theta^2$, $\varphi$ и $\psi$ принимает вид \begin{multline} \label{GZ:DE_Filt2D} {}^{}_{0}D^{\alpha}_t (\psi) + \left[\varphi - \alpha C_1 - (1+\alpha) t C_2 \right] (F u_{xx} + G u_{yy}+ H u_{xy}) - - \zeta_{11} F - \zeta_{22} G - \zeta_{12} H - \zeta_1 \Bigl(\dfrac{\partial F}{\partial u_x} u_{xx} + \dfrac{\partial G}{\partial u_x} u_{yy} + \dfrac{\partial H}{\partial u_x} u_{xy} \Bigr) - - \zeta_2 \Bigl(\dfrac{\partial F}{\partial u_y} u_{xx} + \dfrac{\partial G}{\partial u_y} u_{yy} + \dfrac{\partial H}{\partial u_y} u_{xy} \Bigr)=0, \end{multline} в котором $$ \begin{array}{l} \zeta_1 = \psi_x + \varphi_x u + (\varphi+ (\alpha-1) C_2 t - \theta^1_x) u_x -\theta^2_x u_y, [2ex] \zeta_2 = \psi_y + \varphi_y u - \theta^1_y u_x + (\varphi+ (\alpha-1) C_2 t -\theta^2_y) u_y, [2ex] \zeta_{11} = \psi_{xx} + \varphi_{xx} u + (2 \varphi_x - \theta^1_{xx}) u_{x} - \theta^2_{xx} u_y + [2ex] \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad + (\varphi+ (\alpha-1) C_2 t - 2 \theta^1_x) u_{xx} - 2 \theta^2_x u_{xy}, [2ex] \zeta_{12} = \psi_{xy} + \varphi_{xy} u + (\varphi_y - \theta^1_{xy}) u_{x} + (\varphi_x - \theta^2_{xy}) u_y - [2ex] \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ -\theta^1_y u_{xx} + (\varphi+ (\alpha-1) C_2 t - \theta^1_x + \theta^2_y) u_{xy} - \theta^2_x u_{yy}, [2ex] \zeta_{22} = \psi_{yy} + \varphi_{yy} u - \theta^1_{yy} u_x + (2 \varphi_y - \theta^2_{yy}) u_y - [2ex] \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -2 \theta^1_y u_{xy} + (\varphi+ (\alpha-1) C_2 t - 2 \theta^2_y) u_{yy}. \end{array} $$ Расщепление \eqref{GZ:DE_Filt2D} по $u$, $u u_{xx}$, $u u_{yy}$ и $u u_{zz}$ приводит к системе \begin{equation} \label{GZ:DE1_Filt2D} \begin{array}{l} \varphi_{x} \dfrac{\partial F}{\partial u_x} + \varphi_{y} \dfrac{\partial F}{\partial u_y} =0, [2ex] \varphi_{x} \dfrac{\partial G}{\partial u_x} + \varphi_{y} \dfrac{\partial G}{\partial u_y} =0, [2ex] \varphi_{x} \dfrac{\partial H}{\partial u_x} + \varphi_{y} \dfrac{\partial H}{\partial u_y} =0, [2ex] \varphi_{xx} F + \varphi_{yy} G + \varphi_{xy} H =0, \end{array} \end{equation} расщепление по $t u_{xx}$, $t u_{yy}$, $t u_{zz}$ дает \begin{equation} \label{GZ:DE2_Filt2D} \begin{array}{l} C_2 \Bigl( u_x \dfrac{\partial F}{\partial u_x} + u_y \dfrac{\partial F}{\partial u_y} + \dfrac{2\alpha}{\alpha-1} F \Bigr)= 0, [2ex] C_2 \Bigl( u_x \dfrac{\partial G}{\partial u_x} + u_y \dfrac{\partial G}{\partial u_y} + \dfrac{2\alpha}{\alpha-1} G \Bigr)= 0, [2ex] C_2 \Bigl( u_x \dfrac{\partial H}{\partial u_x} + u_y \dfrac{\partial H}{\partial u_y} + \dfrac{2\alpha}{\alpha-1} H \Bigr)= 0, \end{array} \end{equation} а расщепление по $u_{xx}$, $u_{yy}$, $u_{zz}$ дает \begin{equation} \label{GZ:DE3_Filt2D} \begin{array}{l} \gamma_1 \dfrac{\partial F}{\partial u_x} + \gamma_2 \dfrac{\partial F}{\partial u_y} = 2 \theta^1_x F + \theta^1_y H - \alpha C_1 F, [2ex] \gamma_1 \dfrac{\partial G}{\partial u_x} + \gamma_2 \dfrac{\partial G}{\partial u_y} = 2 \theta^2_y G + \theta^2_x H - \alpha C_1 G, [2ex] \gamma_1 \dfrac{\partial H}{\partial u_x} + \gamma_2 \dfrac{\partial H}{\partial u_y} = 2 \theta^2_x F + 2 \theta^1_y G + (\theta^1_x + \theta^2_y) H - \alpha C_1 H, \end{array} \end{equation} где \begin{equation} \label{GZ:DE4_Filt2D} \begin{array}{l} \gamma_1 \equiv \gamma_1(x,y,u_x,u_y) = \psi_x + (\varphi - \theta^1_x) u_x -\theta^2_x u_y, [2ex] \gamma_2 \equiv \gamma_2(x,y,u_x,u_y) = \psi_y - \theta^1_y u_x + (\varphi-\theta^2_y) u_y. \end{array} \end{equation} Оставшееся после указанных расщеплений уравнение имеет вид \begin{multline} \label{GZ:DE5_Filt2D} {}^{}_{0}D^{\alpha}_t (\psi) = \left(\psi_{xx} + (2 \varphi_x - \theta^1_{xx} \right) u_{x} - \theta^2_{xx} u_y ) F + + \left(\psi_{yy} - \theta^1_{yy} u_x + (2 \varphi_y - \theta^2_{yy}) u_y \right) G + + \left(\psi_{xy} + (\varphi_y - \theta^1_{xy}) u_{x} + (\varphi_x - \theta^2_{xy} ) u_y \right) H. \end{multline} Из \eqref{GZ:DE2_Filt2D} следует, что если $C_2 \neq 0$, то $$ F=u_x^{2\delta} \tilde F\Bigl(\dfrac{u_x}{u_y} \Bigr), \quad G=u_x^{2\delta} \tilde G\Bigl(\dfrac{u_x}{u_y} \Bigr), \quad H=u_x^{2\delta} \tilde H\Bigl(\dfrac{u_x}{u_y} \Bigr), \quad \delta = \dfrac{\alpha}{1-\alpha}, $$ где $\tilde F$, $\tilde G$, $\tilde H$ --- произвольные функции. Подстановка этих представлений в \eqref{GZ:FGH} и решение получающихся в результате обыкновенных дифференциальных уравнений дает $$ f(r)=f_0 r^{\delta}, \quad g(r)=g_0 r^{\delta}, \quad f_0, \, g_0 = \mathrm{const}, \quad r = u_x^2+u_y^2. $$ Если $C_2 = 0$, то \eqref{GZ:DE2_Filt2D} выполнено тождественно. В этом случае подстановка \eqref{GZ:FGH} в~\eqref{GZ:DE1_Filt2D} и решение получающихся в результате уравнений дает, что либо $f=f_0=\mathrm{const}$, $g=g_0=\mathrm{const}$, либо $\varphi_x=\varphi_y=0$, то есть $\varphi=C_3=\mathrm{const}$. Дальнейшая классификация проводится на основе анализа системы \eqref{GZ:DE3_Filt2D} и уравнения \eqref{GZ:DE5_Filt2D}, который показывает, что выделяются отдельно случай степенных функций $f(r)=f_0 r^{\beta}$, $g(r) = g_0 r^{\beta}$ $(f_0, g_0 = \mathrm{const})$ и случай $f(r) = g(r)$. Окончательные результаты классификации формулируются в виде следующего утверждения. \smallskip \phantomsection \hypertarget{LS:Th2}{} \begin{theorem}[2]\label{LS:Th2}Уравнение \eqref{GZ:Filt2D} в случае произвольных функций $f$ и $g$ имеет четырехмерную алгебру Ли симметрий с базисом \begin{equation} \label{GZ:Filt2D_X14} X_1 = \dfrac{\partial}{\partial x}, \ X_2 = \dfrac{\partial}{\partial y}, \ X_3 = \dfrac{2}{\alpha} t \dfrac{\partial}{\partial t} + x \dfrac{\partial}{\partial x} + y \dfrac{\partial}{\partial y} + u \dfrac{\partial}{\partial u}, \ X_4 = t^{\alpha-1} \dfrac{\partial}{\partial u}. \end{equation} В случае $f(r)=f_0 r^{\beta},$ $g(r)=g_0 r ^{\beta},$ $f_0, \, g_0 = \mathrm{const},$ $\beta \neq 0,$ при $f_0 \neq g_0$ алгебра расширяется до пятимерной оператором группы неравномерных растяжений \begin{equation} \label{GZ:Filt2D_X5} X_5 = \beta x \dfrac{\partial}{\partial x} + \beta y \dfrac{\partial}{\partial y} + (1+\beta) u \dfrac{\partial}{\partial u}. \end{equation} В частном случае $\beta = {\alpha}/({1-\alpha})$ происходит дополнительное расширение алгебры до шестимерной оператором проективной группы \begin{equation} \label{GZ:Filt2D_X6} X_6 = t^2 \dfrac{\partial}{\partial t} + (\alpha-1) t u \dfrac{\partial}{\partial u}. \end{equation} В изотропном случае $(f=g)$ размерности всех указанных выше алгебр увеличиваются на единицу за счет дополнительно допускаемого оператора группы вращений \begin{equation} \label{GZ:Filt2D_Xr} X_r = y \dfrac{\partial}{\partial x} - x \dfrac{\partial}{\partial y}. \end{equation} При $\alpha \in (1,2)$ размерности всех приведенных алгебр дополнительно увеличиваются на единицу, а базис дополняется оператором \begin{equation} \label{GZ:Filt2D_X0} X_{\alpha} = t^{\alpha} \dfrac{\partial}{\partial u}. \end{equation} Линейный случай $f=f_0,$ $g=g_0,$ $f_0, \, g_0 = \mathrm{const},$ растяжением пространственных переменных сводится к $f_0=g_0=1.$ В~этом случае алгебра является бесконечномерной и ее базис образуют операторы $X_1, \, X_2, \, X_3$ из {\rm \eqref{GZ:Filt2D_X14},} оператор $X_r$ из \eqref{GZ:Filt2D_Xr} и операторы \begin{equation} \label{GZ:Filt2D_Xinf} X_u = u \dfrac{\partial}{\partial u}, \ X_{\infty} = \psi \dfrac{\partial}{\partial u}, \end{equation} где функция $\psi(t,x,y)$ является произвольным решением линейного уравнения $$ {}^{}_{0}{D}^{\alpha}_t u = u_{xx} + u_{yy}. $$ \end{theorem} \smallskip Основные отличия результатов теоремы~\hyperlink{LS:Th2}{2} от аналогичных результатов групповой классификации классического ортотропного уравнения фильтрации (соответствующего $\alpha=1$) заключаются в следующем: \begin{itemize} \item[1)] дробно-дифференциальное уравнение фильтрации не допускает оператор группы переносов по временной переменной $t$, что является характерной особенностью всех дифференциальных уравнений с дробными производными по времени [18, 19]; \item[2)] выделяется особый вид степенной зависимости коэффициентов пьезопроводности, не имеющий аналога в классическом уравнении фильтрации, при котором уравнение допускает оператор проективной группы~$X_6$; \item[3)] операторы групп растяжений $X_3$ и $X_5$ оказываются зависящими от порядка дробного дифференцирования $\alpha$. \end{itemize} Также от него зависят операторы $X_4$ и $X_{\alpha}$, соответствующие сдвигу $u$ на частное решение дробно-дифференциального уравнения. Полученная в теореме~\hyperlink{LS:Th2}{2} групповая классификация уравнения \eqref{GZ:Filt2D} может быть использована для нахождения его инвариантно-групповых решений и~построения законов сохранения. \smallskip %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \Section{Представление инвариантных решений} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Рассмотрим задачу построения представлений инвариантно--групповых решений для нелинейного ортотропного уравнения \eqref{GZ:Filt2D} по допускаемым им неподобным двумерным подалгебрам алгебр Ли симметрий. В случае произвольных функций $f$ и $g$ ($f \neq g$) уравнение допускает четырехмерную алгебру Ли симметрий (см. теорему~\hyperlink{LS:Th2}{2}) с базисом \eqref{GZ:Filt2D_X14}. Данная алгебра изоморфна алгебре $A_{4,5}^{a,a}$ (по классификации [29]) с ненулевыми коммутационными соотношениями $$ [e_1,e_4] = e_1, \quad [e_2,e_4] = a e_2, \quad [e_3,e_4] = a e_3, \quad -1 < b < 1, $$ в которую она переходит в результате замены базиса $$ e_1 = X_3, \quad e_2 = X_1, \quad e_3 = X_2, \quad e_4 = b X_4, \quad b =\dfrac{\alpha}{2-\alpha}. $$ Построим неподобные инвариантно-групповые решения уравнения \eqref{GZ:Filt2D} на основе оптимальной системы двумерных подалгебр алгебры $A_{4,5}^{a,a}$, построенной в [29]: $$ \begin{array}{lll} 1) \ \{e_1 + \varepsilon e_2, e_3 \}, & & 4) \ \{e_1, e_2 \cos \theta + e_3 \sin \theta \}, 2) \ \{e_1 + \varepsilon e_3, e_2 + \beta e_3\}, & & 5) \ \{e_1, e_4\}, 3) \ \{e_2, e_3\}, & & 6) \ \{e_2 \cos \theta + e_3 \sin \theta, e_4 \}, \end{array} $$ где $\theta \in [0,\pi)$, $\varepsilon = \pm 1$, $\beta \in \mathbb R$. Подалгебры 5) и 6) не позволяют построить инвариантное решение, так как не удовлетворяют соответствующему необходимому условию его существования (см., например, [13]). Вычисление инвариантов остальных подалгебр приводит к следующим анзацам инвариантных решений: $$ \begin{array}{l} 1) \ u = \varepsilon t^{\alpha-1} x + \varphi(t), [1ex] 2) \ u = -\varepsilon \beta t^{\alpha-1} x + t^{\alpha-1} y + \varphi(t), [1ex] 3) \ u = \varphi(t), [1ex] 4) \ u = (y \cos \theta - x \sin \theta) \varphi(\xi), \quad \xi = \dfrac{t}{|y \cos \theta - x \sin \theta|^{\frac{2}{\alpha}}}, \end{array} $$ где $\varphi(z)$ --- новая искомая функция одного аргумента. Подстановка этих анзацев в исходное уравнение сводит задачу нахождения инвариантного решения к решению так называемых редуцированных уравнений (или фактор-уравнений), представляющих собой в данном случае обыкновенное дробно-дифференциальное уравнение порядка $\alpha$. В первых трех случаях это уравнение имеет вид $$ {}^{}_{0}D^{\alpha}_t \varphi = 0, $$ его общее решение хорошо известно [1, 2]: $$ \varphi(t) = C t^{\alpha-1}, $$ где $C$ --- произвольная постоянная. В результате приходим к следующим весьма простым неподобным инвариантным решениям: $$ \begin{array}{l} 1) \ u = C t^{\alpha-1}, [1ex] 2) \ u = t^{\alpha-1} (\varepsilon x + C), [1ex] 3) \ u = t^{\alpha-1} (\varepsilon \beta x + y + C), \quad \beta \in \mathbb R, \quad \varepsilon = \pm 1. \end{array} $$ Более интересным оказывается случай 4), для которого редуцированное уравнение имеет вид \begin{equation} \label{GZ:RedEq} {}^{}_{0}D^{\alpha}_{\xi} \varphi + \dfrac{2}{\alpha} \xi \left[ \sin^2 \theta (\psi f(\psi))_{\xi} + \cos^2 \theta (\psi g(\psi))_{\xi}\right] = 0, \end{equation} где $\psi(\xi) = \varphi(\xi) - \frac{2}{\alpha} \xi \varphi'(\xi)$. Уравнение \eqref{GZ:RedEq} в общем случае аналитически решено быть не может, поэтому рассмотрим некоторые его частные случаи. Пусть $f = 1$ и $g(\psi) = \psi^{-1}$. Тогда уравнение \eqref{GZ:RedEq} переходит в линейное уравнение \begin{equation} \label{GZ:RedEq1} \alpha^2 {}^{}_{0}D^{\alpha}_{\xi} \varphi =4 \xi^2 \sin^2 \theta \varphi'' + 2 (2-\alpha) \sin^2 \theta \xi \varphi'. \end{equation} При $\theta = 0$ решение уравнения имеет вид $\varphi(\xi) = C \xi^{\alpha-1}$, что дает инвариантное решение исходного уравнения $$ u = C t^{\alpha-1} y^{\frac{2}{\alpha}-1}. $$ При $\theta \neq 0$ заменой переменных $\tau = \xi (\sin \theta)^{\frac{2}{\alpha}}$, $z(\tau) = \varphi(\xi(\tau))$ уравнение \eqref{GZ:RedEq} приводится к виду $$ \alpha^2 {}^{}_{0}D^{\alpha}_{\tau} z =4 \tau^2 z'' + 2 (2-\alpha) \tau z', $$ который является частным случаем уравнения, рассмотренного в работе [30], и имеет общее решение $$ z(\tau) = \tau^{-\frac{\alpha}{2}}\left[ C_1 \phi\Bigl(-\dfrac{\alpha}{2},1+\dfrac{\alpha}{2};\tau^{-\frac{\alpha}{2}}\Bigr) + C_2 \phi\Bigl(-\dfrac{\alpha}{2},1+\dfrac{\alpha}{2};- \tau^{-\frac{\alpha}{2}}\Bigr)\right]. $$ Здесь $C_1$ и $C_2$~--- произвольные постоянные, $$ \phi(\rho,\mu;z) = \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{\Gamma(\rho k + \mu)} \dfrac{z^k}{k!}, \quad \rho>0, \quad \mu,z \in \mathbb{C} $$ --- функция Райта. Тогда инвариантное решение имеет вид $$ u = (y \cos \theta - x \sin \theta) z \Bigl( \dfrac{t (\sin \theta)^{\frac{2}{\alpha}}}{|y \cos \theta - x \sin \theta|^{\frac{2}{\alpha}}} \Bigr). $$ Теперь рассмотрим случай $f(\psi) = \psi^{\beta-1}$ $(\beta \neq 0, \,1)$, $g(\psi) = \psi^{-1}$. Тогда уравнение \eqref{GZ:RedEq} принимает вид $$ \alpha^{\beta+1} {}^{}_{0}D^{\alpha}_{\xi} \varphi + 2 \beta \sin^2 \theta \xi (\alpha \varphi - 2 \xi \varphi')^{\beta-1} \bigl((\alpha -2) \varphi' - 2 \xi \varphi''\bigr)=0. $$ Данное уравнение при $\alpha < \beta < 1$ имеет частное степенное решение $$ \varphi(\xi) = A \xi^{\gamma}, \quad A = \Bigl[\dfrac{\alpha^{\beta+1}}{2 \beta \sin^2 \theta} \dfrac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\gamma+1-\alpha)}\Bigr]^{\frac{1}{\beta-1}}, \quad \gamma = \dfrac{1-\alpha}{\beta-1}. $$ Соответствующее инвариантное решение исходного уравнения имеет вид $$ u = A t^{\gamma} \dfrac{ (y \cos \theta - x \sin \theta)}{|y \cos \theta - x \sin \theta|^{\frac{2}{\alpha}\gamma}}. $$ Теперь рассмотрим случай $f(r)=f_0 r^{\beta}$, $g(r)=g_0 r ^{\beta}$, $f_0$, $ g_0 = \rm const$ (${f_0 \neq g_0}$), $\beta \neq 0$. В этом случае алгебра Ли симметрий $L_5$ является пятимерной с базисом $X_1, \ldots, X_5$, определяемым \eqref{GZ:Filt2D_X14}, \eqref{GZ:Filt2D_X5}. Соответствующая оптимальная система подалгебр строится на основе двухшагового алгоритма, предложенного академиком Л.~В.~Овсянниковым в работе [31] (см. также [32]). Базисы найденных неподобных двумерных подалгебр из оптимальной системы $\Theta_2 L_5$ и соответствующие представления инвариантных решений с одной независимой переменной приведены в~табл.~\ref{GZ:Tabl1}. В~таблице для подалгебр используется сокращенная форма записи: например, $\Theta$, $p2+4$ означает двумерную подалгебру с базисом из операторов $X_1 \sin \theta+X_2 \cos \theta$, $pX_2+X_4$. В~табл.~\ref{GZ:Tabl2} представлены аналогичные результаты для шестимерной алгебры $L_6$ с базисом $X_1, \ldots, X_6$, соответствующей частному случаю $\beta = \alpha/(1-\alpha)$. Все анзацы инвариантных решений записаны в табл.~\ref{GZ:Tabl1} и \ref{GZ:Tabl2} таким образом, чтобы после симметрийной редукции соответствующее редуцированное уравнение относительно функции $\varphi(z)$ было либо обыкновенным дифференциальным уравнением целого порядка (если $z$ не зависит от $t$), либо обыкновенным дробно-дифференциальным уравнением с дробной производной Римана--~Лиувилля по переменной $z$. Замены переменных, позволяющие сохранить тип оператора дробного дифференцирования при симметрийной редукции, приведены в~[30]. \begin{table}[p!] \small \centering \caption{Представления инвариантных решений для алгебры $L_5$ \label{GZ:Tabl1}} \vspace{-3mm} {\footnotesize[Representations of invariant solutions for algebra $L_5$]} \smallskip %\renewcommand{\tabcolsep}{0.55cm} \begin{tabular}{c||c|c} \hline %\rule{0mm}{11pt}% %\rule{0mm}{5pt}% \footnotesize no. & \footnotesize a subalgebra of $\Theta_2 L_5$ & \footnotesize $u(t,x,y)$ \hline \rule{0mm}{12pt}% %\rule{0mm}{6pt}% 1 & $1, 2$ & $\varphi(t)$ [1ex] 2 & $2, p1+4$ & $p^{-1} x t^{\alpha-1} + \varphi(t) \ \ (p \neq 0)$ [1.5ex] 3 & $3, 5$ & $x^{\gamma} t^{\alpha (1-\gamma)/2} \varphi(y/x)$ [1.5ex] 4 & $2, 1+3-5$ & $e^{(1-\gamma)x} \varphi(t e^{-2x/ \alpha})$ [1.5ex] 5 & $ \Theta, p2+4$ & $p^{-1} t^{\alpha-1} (x \ctg \theta - y) + \varphi(t) \ \ (p, \theta \neq 0)$ [1.5ex] 6 & $ \Theta, 5 $ & $(x \cos \theta - y \sin \theta)^{\gamma} \varphi(t)$ [1.5ex] 7 & $\Theta, 3+r5$ & $z^{1+p^{\gamma}} \varphi\left(t z^{-2/[\alpha(p+1)]} \right) \ \ (r \neq -1);$ [1ex] & & $t^{\alpha(1-\gamma)/2} \varphi(z) \ (r = -1);$ [1ex] & & $z=(x \cos \theta - y \sin \theta) $ [1.5ex] 8 & $\Theta, 2+3-5$ & $z^{1-\gamma} \varphi \left( t z^{-2/\alpha} \right), \ \ z = e^{y-x \ctg \theta} \ \ (\theta \neq 0);$ [1ex] & & $t^{\alpha(1-\gamma)/2} \varphi(x) \ (\theta=0)$ [1.5ex] 9 & $\Theta, 3{+}4{-}\frac{a}{\gamma} 5 \ (\gamma {\neq} 0)$ & $z^{1-a} \varphi(t z^{-2/ \alpha}), \ \ z=(x \cos \theta - y \sin \theta)^{1-a/\gamma} \ \ (\gamma \neq a);$ & & $t^{\alpha-1} [(\alpha/2) \ln t + \varphi(x \cos \theta - y \sin \theta)] \ \ (\gamma = a)$ [1ex] & $\Theta, 4+5 \ (\gamma = 0)$ & $\varphi(t)+t^{\alpha-1} \ln |x \cos \theta - y \sin \theta| $ [1.5ex] 10 & $p1{+}q2{+}4, 3{+}\frac{1-a}{\gamma-1} 5$ & $u=p^{-1} x t^{\alpha-1} + z^{2\gamma-1-a \gamma} \varphi \left(t z^{2(1-\gamma)/\alpha} \right),$ [1ex] & & $z = (qx-py)^{1/(\gamma-a)} \ \ (\gamma \neq a, p \neq 0);$ [1ex] & & $q^{-1} t^{\alpha-1} y + z^{2\gamma-1-a \gamma} \varphi (tz^{1-\gamma}),$ [1ex] & & $z = x^{1/(\gamma-a)} \ \ (\gamma \neq a, \ p=0, \ q \neq 0);$ [1ex] & & $p^{-1} t^{\alpha-1} [x + \varphi(qx-py)] \ \ (\gamma=a, \ p \neq 0);$ [1ex] & & $q^{-1} t^{\alpha-1} [y + \varphi(x)] \ \ (\gamma = a, \ p=0, \ q \neq 0)$ [1.5ex] 11 & $\Theta, p2+3+4-5$ & $z^{a-1} \varphi(t z^{-2/ \alpha)}, \ \ z=e^{(y -x \ctg \theta)/p} \ (\theta \neq 0);$ [1ex] & ($\gamma=a, \ p \neq 0$) & $t^{\alpha-1} [(\alpha/2) \ln t + \varphi(x) ] \ (\theta=0)$ [1.5ex] 12 & $X_2, p1+3+4-5$ & $t^{\alpha-1} [(\alpha/2) \ln t + \varphi(t e^{-2x/(\alpha p)})]$ & ($\gamma=a, \ p \neq 0 $) & [1.5ex] 13 & $p1 {+} q2 {+} 4, \Theta {+} 3{-}5$ & $p^{-1} t^{\alpha-1} [x - (\alpha/2) \sin \theta \ln t + \varphi(tz)], $ [1ex] & ($\gamma=a$) & $ z = e^{2(qx-py)/(p \cos \theta - q \sin \theta)} \ \ (p, \ p \cos \theta + q \sin \theta \neq 0);$ [1ex] & & $q^{-1} t^{\alpha-1} [y - (\alpha/2) \cos \theta \ln t + \varphi(t e^{-2x/(\alpha \sin \theta)})] $ [1ex] & & $(p=0, \ q, \theta \neq 0);$ [1ex] & & $q^{-1} t^{\alpha-1} [y - (\alpha/2) \ln t + \varphi(x)] \ \ (p, \theta=0, \ q \neq 0);$ [1ex] & & $(p \sqrt{p^2{+}q^2})^{-1} t^{\alpha-1} [\sqrt{p^2{+}q^2} x - (\alpha/2) p \ln t + \varphi(qx {-} py)] \ \ $ [1ex] & & $(p \neq 0, \ p \cos \theta = q \sin \theta)$ [1.5ex] \hline \end{tabular} \smallskip Here are $\Theta = X_1 \sin \theta + X_2 \cos \theta$, $\theta \in [0, \frac{\pi}{2}]$, $\gamma = 1+\beta^{-1}$, $a = 2 \alpha^{-1}-1$, $p,q \geq 0$, $r \in \mathbb R$. \end{table} \begin{table}[t!] \small \centering \caption{Представления инвариантных решений для алгебры $L_6$\label{GZ:Tabl2}} \vspace{-3mm} {\footnotesize [Representations of invariant solutions for algebra $L_6$] } \smallskip %\renewcommand{\tabcolsep}{0.55cm} \begin{tabular}{c||c|c} \hline %\rule{0mm}{5pt}% \footnotesize no. & \footnotesize a subalgebra of $\Theta_2 L_6$ & \footnotesize $u(t,x,y)$ \hline \rule{0mm}{12pt}% %\rule{0mm}{6pt}% 1--10 & are identical as 1--10 & are identical as 1--10 from [1ex] & from Table~\ref{GZ:Tabl1} & Table~\ref{GZ:Tabl1} [1ex] 11 & $5, 6$ & $t^{\alpha-1} x^{1/ \alpha} \varphi(y/x)$ [1ex] 12 & $3+p5, 6$ & $t^{\alpha-1} x^{(2+p-\alpha)/(\alpha (p+1))} \varphi(y/x) \ (p \neq -1)$ [1ex] 13 & $\Theta, 6$ & $t^{\alpha-1} \varphi(x \cos \theta - y \sin \theta)$ [1ex] 14 & $\Theta, 5+\varepsilon 6$ & $t^{\alpha-1} z^{1/\alpha} \varphi\left(\frac{t}{\varepsilon + t \ln z}\right)$, $z =x \cos \theta - y \sin \theta$ [1ex] 15 & $\Theta, 4+6$ & $t^{\alpha-1} \varphi(x \cos \theta - y \sin \theta)$ [1ex] 16 & $\Theta, 2 + p4 + 6 $ ($\theta \neq 0$)& $t^{\alpha-1} \varphi \left(\frac{t}{1+t z} \right), \ z=y-x\ctg \theta \ (p=0)$ [1ex] 17 & $2, 1 + p4 + 6$ & $t^{\alpha-1} \varphi \left(\frac{t}{1+t x} \right) \ (p=0)$ [1ex] 18 & $p1+q2+4, 6 $ & $q^{-1} t^{\alpha-1} \left[ y + \varphi(py-qx) \right] \ (q \neq 0)$ [1ex] & & $p^{-1} t^{\alpha-1} \left[x + \varphi(y) \right] \ (p \neq 0)$ [1ex] 19 & $p1+q2+4, 1+6 $ & $q^{-1} t^{\alpha-1} \left[ y + \varphi \left(\frac{t}{q+t (qx-py)} \right) \right] \ (q \neq 0)$ [1ex] & & $p^{-1} t^{\alpha-1} \left[ x+t^{-1} + \varphi(y) \right] \ (p \neq 0)$ [1ex] 20 & $p1+q2+4, ~ r1+2+6 $ & $q^{-1} t^{\alpha-1} \left[y+t^{-1} + \varphi \left(\frac{t}{qr-p+t (qx-py)} \right) \right] \ (q \neq 0)$ [1ex] & & $p^{-1} t^{\alpha-1} \left[x-ry + \varphi \left(\frac{t}{1+ty} \right) \right] \ (p \neq 0)$ [1ex] \hline \end{tabular} \smallskip Here are $\Theta = X_1 \sin \theta + X_2 \cos \theta$, $\theta \in [0, \frac{\pi}{2}]$, $p,q \geq 0$, $r \in \mathbb R$. \end{table} \smallskip %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \Section{Построение законов сохранения} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Уравнение \eqref{GZ:Filt2D} не обладает классическим лагранжианом, поэтому для построения его законов сохранения с использованием симметрий может быть применен принцип нелинейной самосопряженности, изначально предложенный профессором Н.\,Х. Ибрагимовым для дифференциальных уравнений целого порядка [27, 28] и обобщенный в работах [33, 34] на дифференциальные уравнения дробного порядка. Уравнение \eqref{GZ:Filt2D} может быть представлено в виде $$ \mathcal{F}(t,x,y,u,u_x,u_y,u_{xx},u_{xy},u_{yy},{}^{}_{0}D^{\alpha}_t u) = 0. $$ Для него вводится формальный лагранжиан вида $\mathcal{L} = v \mathcal{F}$, где $v=v(t,x,y)$~--- новая зависимая переменная. Тогда уравнение, сопряженное к \eqref{GZ:Filt2D}, находится как $$ \dfrac{\delta \mathcal{L}}{\delta u} = 0, $$ где вариационная производная имеет в данном случае вид $$ \dfrac{\delta}{\delta u} = - D_x \dfrac{\partial}{\partial u_x} - D_y \dfrac{\partial}{\partial u_y} + D_x^2 \dfrac{\partial}{\partial u_{xx}} + D_y^2 \dfrac{\partial}{\partial u_{yy}} + D_x D_y \dfrac{\partial}{\partial u_{xy}} + {}^{C}_{t}D^{\alpha}_{T} \dfrac{\partial}{\partial{}^{}_{0}D^{\alpha}_t u}. $$ Здесь ${}^{C}_{t}D^{\alpha}_{T} $~--- оператор правостороннего дробного дифференцирования Ге\-ра\-си\-мо\-ва--Капуто порядка $\alpha$, определенный для $t \in (0,T)$ [2, 7]: $$ {}^{C}_{t}D^{\alpha}_{T} u = \dfrac{(-1)^n}{\Gamma(n-\alpha)} \int_t^T \dfrac{1}{(\tau-t)^{\alpha-n+1}} \dfrac{\partial^n u(\tau,x,y)}{\partial \tau^n} d\tau, \quad n=[\alpha]+1. $$ Для уравнения \eqref{GZ:Filt2D}, представленного в форме \eqref{GZ:Filt2DM}, вычисления приводят к следующему сопряженному уравнению: \begin{multline} \label{GZ:SoprEq} {}^{C}_{t}D^{\alpha}_{T} v = - D_x \Bigl[v \Bigl(\dfrac{\partial F}{\partial u_x} u_{xx} + \dfrac{\partial G}{\partial u_x} u_{yy} + \dfrac{\partial H}{\partial u_x} u_{xy}\Bigr) \Bigr] - - D_y \Bigl[v \Bigl(\dfrac{\partial F}{\partial u_y} u_{xx} + \dfrac{\partial G}{\partial u_y} u_{yy} + \dfrac{\partial H}{\partial u_y} u_{xy}\Bigr) \Bigr]+ v_{xx} F + 2 v_x D_x F + v D^2_x F + + v_{yy} G + 2 v_y D_y G + v D^2_y G + v_{xy} H + v_x D_y H + v_y D_x H + v D_x D_y H. \end{multline} Если найдется такая подстановка $v = \varphi(t,x,y,u)$, что приведенное сопряженное уравнение будет выполнено тождественно на всех решениях $u(t,x,y)$ исходного уравнения \eqref{GZ:Filt2D}, то уравнение \eqref{GZ:Filt2D} называется \textit{нелинейно самосопряженным}. В [28] доказано, что любое линейное уравнение является нелинейно самосопряженным. Поэтому в линейном случае $f=f_0=\mathrm{const}$, ${g=g_0=\mathrm{const}}$ уравнение \eqref{GZ:Filt2D} является нелинейно самосопряженным с подстановкой $v \hm = \psi(t,x,y)$, где $\psi(t,x,y)$ --- любое решение его сопряженного уравнения \eqref{GZ:SoprEq}, которое в данном случае также будет линейным. Для нелинейного случая в результате вычислений получено, что $\varphi=\varphi(x,y)$, и эта функция должна удовлетворять следующей системе уравнений: $$ \begin{array}{l} \varphi_x \dfrac{\partial F}{\partial u_x} + \varphi_y \Bigl(\dfrac{\partial H}{\partial u_x} - \dfrac{\partial F}{\partial u_y} \Bigr) = 0, [2ex] \varphi_x \Bigl(\dfrac{\partial H}{\partial u_y} - \dfrac{\partial G}{\partial u_x} \Bigr) + \varphi_y \dfrac{\partial G}{\partial u_y} = 0, [2ex] \varphi_x \dfrac{\partial F}{\partial u_y} + \varphi_y \dfrac{\partial G}{\partial u_x} = 0, [2ex] \varphi_{xx} F + \varphi_{yy} G + \varphi_{xy} H = 0. \end{array} $$ Для произвольных функций $f$ и $g$ единственным решением этой системы будет $\varphi = c$, где $c$~--- произвольная постоянная. Также выделяются два особых случая: \begin{itemize} \item[1)] $f$ --- произвольная функция, $g=\mathrm{const}$, тогда $\varphi = c_1+c_2 y$; \item[2)] $g$ --- произвольная функция, $f=\mathrm{const}$, тогда $\varphi = c_1+c_2 x$. \end{itemize} \smallskip Таким образом, доказана \smallskip \phantomsection \hypertarget{LS:Th3}{} \begin{theorem}[3]Уравнение \eqref{GZ:Filt2D} является нелинейно самосопряженным$.$ Соответствующая подстановка $v=\varphi(t,x,y,u),$ обращающая уравнение \eqref{GZ:SoprEq} в~тождество на всех решениях уравнения \eqref{GZ:Filt2D}$,$ имеет следующий вид{\/\rm:} \begin{enumerate} \item[\rm 1)] $v = c $ в случае произвольных функций $f$ и $g,$ при этом формальный лагранжиан $\mathcal{L}$ совпадает с самим уравнением {\rm \eqref{GZ:Filt2D};} \item[\rm 2)] \hypertarget{LS:Th3.2}{} $v = c_1+c_2 y$ в случае, когда функция $f$ произвольная$,$ а $g=\mathit{const};$ \item[\rm 3)] \hypertarget{LS:Th3.2}{} $v = c_1+c_2 x$ в случае, когда функция $g$ произвольная$,$ а $f=\mathit{const};$ \item[\rm 4)] $v = \psi(t,x,y),$ где $\psi(t,x,y)$ --- любое решение линейного сопряженного уравнения \eqref{GZ:SoprEq} при $f=\mathit{const},$ $g=\mathit{const}.$ \end{enumerate} Здесь $c,$ $ c_1,$ $ c_2$ --- произвольные постоянные$.$ \end{theorem} \smallskip Поскольку уравнение \eqref{GZ:Filt2D} является нелинейно самосопряженным, по любой его известной симметрии вида \eqref{GZ:InfOp} может быть найден соответствующий закон сохранения $$ D_t C^t + D_x C^x + D_y C^y = 0. $$ Координаты сохраняющегося вектора $(C^t,C^x,C^y)$ будут при этом находиться по следующим формулам (см. [19, 35]: $$ \begin{array}{l} C^t = {}^{}_{0}I^{1-\alpha}_t W \, \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial {}^{}_{0}D^{\alpha}_t u} + J\Bigl\{W, D_t \Bigl(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial {}^{}_{0}D^{\alpha}_t u} \Bigr)\Bigr\}, [2ex] C^x = W \Bigl( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial u_x} - D_x \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial u_{xx}} - D_y \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial u_{xy}}\Bigr) + D_x(W) \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial u_{xx}} + D_y(W) \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial u_{xy}}, [2ex] C^y = W \Bigl( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial u_y} - D_x \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial u_{yx}} - D_y \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial u_{yy}}\Bigr) + D_x(W) \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial u_{yx}} + D_y(W) \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial u_{yy}}, \end{array} $$ где $W = \eta - \tau u_t - \xi^1 u_x - \xi^2 u_y$, $$ J\{f,g\} = \dfrac{1}{\Gamma(1-\alpha)} \int_0^t \int_t^T \dfrac{f(\tau,x,y)g(\mu,x,y)}{(\mu-\tau)^{\alpha}} d\mu d\tau. $$ В случае произвольных $f$ и $g$ подстановка в эти формулы формального лагранжиана $$ \mathcal{L} = {}^{}_{0}{D}^{\alpha}_t u - F(u_x,u_y) u_{xx} - G(u_x,u_y) u_{yy} - \dfrac{1}{2} H(u_x,u_y) u_{xy} -\dfrac{1}{2} H(u_x,u_y) u_{yx}, $$ где функции $F,G,H$ определены в \eqref{GZ:FGH}, дает $$ C^t = {}^{}_{0}I^{1-\alpha}_t W, $$ \vspace{-7mm} \begin{multline*} C^x = W \left[ 2 u_x u_y (u_x u_{xy} + u_y u_{yy}) (f'' - g'') + (u_y u_{xy} + u_x u_{yy}) (f' - g') \right] - - (f + 2 u_x^2 f')D_x(W) - u_x u_y (f' + g') D_y(W), \end{multline*} \vspace{-7mm} \begin{multline*} C^y = W \left[ 2 u_x u_y (u_y u_{xy} + u_x u_{xx}) (g'' - f'') + (u_x u_{xy} + u_y u_{xx}) (g' - f') \right] - - u_x u_y (f' + g') D_x(W) - (g + 2 u_y^2 g') D_y(W). \end{multline*} Операторам \eqref{GZ:Filt2D_X14} соответствуют следующие значения $W$: $$ W_1 = -u_x, \quad W_2 = -u_y, \quad W_3 = u -\dfrac{2}{\alpha} t u_t - x u_x -y u_y, \quad W_4 = t^{\alpha-1}. $$ Легко видеть, что оператор $X_4$ дает тривиальный закон сохранения с $C^t = 0$, а операторы $X_1$ и $X_2$ дают законы сохранения, сводящиеся к тривиальному элементарными преобразованиями с учетом самого уравнения \eqref{GZ:Filt2D}. Единственный нетривиальный закон сохранения порождается оператором $X_3$, соответствующий сохраняющийся вектор имеет координаты \begin{equation} \label{GZ:MainCL} C^t = {}^{}_{0}I^{1-\alpha}_t u, \quad C^x = - f(u_x^2 + u_y^2) u_x, \quad C^y = -g(u_x^2+u_y^2) u_y. \end{equation} Данный закон сохранения соответствует исходному уравнению \eqref{GZ:Filt2D}. Других нетривиальных законов сохранения в случае произвольных функций $f$ и $g$ метод нелинейной самосопряженности с подстановкой вида $v=\varphi(t,x,y,u)$ для уравнения \eqref{GZ:Filt2D} не дает. В случае $f(r)=f_0 r^{\beta}$, $g(r)=g_0 r^{\beta}$ оператор $X_5$ из \eqref{GZ:Filt2D_X5} также порождает закон сохранения c сохраняющимся вектором \eqref{GZ:MainCL}. При $\beta = \alpha/(1-\alpha)$ оператор $X_6$ из \eqref{GZ:Filt2D_X6} порождает новый закон сохранения, координаты сохраняющегося вектора которого имеют вид $$ C^t = t {}^{}_{0}I^{1-\alpha}_t u - {}^{}_{0}I^{2-\alpha}_t u, \quad C^x = -f_0 t u_x (u_x^2 + u_y^2)^{\frac{\alpha}{1-\alpha}}, \quad C^y = -g_0 t u_y (u_x^2 + u_y^2)^{\frac{\alpha}{1-\alpha}}. $$ В случае $f=g$ оператор $X_r$ из \eqref{GZ:Filt2D_Xr} также порождает лишь тривиальный закон сохранения. Более интересными представляются случаи \hyperlink{LS:Th3.2}{2}) и \hyperlink{LS:Th3.3}{3}) из теоремы~\hyperlink{LS:Th3}{3}. Для произвольной функции $f$ и $g=g_0=\mathrm{const}$ при $v=c_1+c_2y$ для операторов $X_1$ и $X_2$ получаем закон сохранения c сохраняющимся вектором \eqref{GZ:MainCL}. Оператор $X_3$ порождает в этом случае новый закон сохранения: $$ C^t = y \, {}^{}_{0}I^{1-\alpha}_t u, \quad C^x = -y u_x f(u_x^2+u_y^2), \quad C^y = g_0 (u- y u_y). $$ Аналогично, для случая $f=f_0=\mathrm{const}$ и произвольной функции $g$ оператор $X_3$ при $v=c_1+c_2x$ дает $$ C^t = x \, {}^{}_{0}I^{1-\alpha}_t u, \quad C^x = f_0 (u - x u_x), \quad C^y = -x u_y g(u_x^2+u_y^2). $$ Других законов сохранения для нелинейного уравнения \eqref{GZ:Filt2D} метод нелинейной самосопряженности с подстановкой вида $v=\varphi(t,x,y,u)$ не дает. Найденные законы сохранения могут быть использованы, в частности, для построения частных решений уравнения \eqref{GZ:Filt2D} по методу, предложенному в [36].

About the authors

Veronika Olegovna Lukashchuk

Ufa State Aviation Technical University

Email: voluks@gmail.com

Stanislav Yur'evich Lukashchuk

Ufa State Aviation Technical University

Email: lsu@ugatu.su

Doctor of physico-mathematical sciences, Associate professor

References

  1. Samko S. G., Kilbas A. A., Marichev O. I., Fractional integrals and derivatives. Theory and applications, Gordon & Breach Sci. Publishers, New York, 1993, xxxvi+976 pp.
  2. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J., Theory and Applications of Fractional Differential Equations, North-Holland Mathematics Studies, 204, Elsevier, Amsterdam, 2006, xv+523 pp.
  3. Podlubny I., Fractional differential equations. An introduction to fractional derivatives, fractional differential equations, to methods of their solution and some of their applications, Mathematics in Science and Engineering, 198, Academic Press, San Diego, 1999, xxiv+340 pp.
  4. Metzler R., Klafter J., "The random walk's guide to anomalous diffusion: a fractional dynamic approach", Phys. Rep., 339:1 (2000), 1-77
  5. Hilfer R., Applications of fractional calculus in physics, World Scientific, Singapore, 2000, vii+463 pp.
  6. Нахушев А. М., Дробное исчисление и его применение, Физматлит, М., 2003, 272 с.
  7. Учайкин В. В., Метод дробных производных, Артишок, Ульяновск, 2008, 512 с.
  8. Mainardi F., Fractional calculus and waves in linear viscoelasticity. An introduction to mathematical models, World Scientific, Hackensack, 2010, xx+347 pp.
  9. Головизнин В. М., Кондратенко П. С., Матвеев Л. В. и др., Аномальная диффузия радионуклидов в сильнонеоднородных геологических формациях, Наука, М., 2010, 342 с.
  10. Fractional Dynamics: Recent Advances, eds. J. Klafter, S. C. Lim, R. Metzler, World Scientific, Hackensack, 2011, xiv+515 pp.
  11. Fractional kinetics in solids: Anomalous charge transport in semiconductors, dielectrics and nanosystems, eds. V. Uchaikin, R. Sibatov, CRC Press, Boca Raton, 2013, xvi+257 pp.
  12. Baleanu D., Diethelm K., Scalas E., Trujillo J. J., Fractional calculus: models and numerical methods, Series on Complexity, Nonlinearity and Chaos, 5, World Scientific, Hackensack, 2017, xxviii+448 pp.
  13. Ovsyannikov L. V., Group analysis of differential equations, Academic Press, New York, 1982, xvi+416 pp.
  14. Olver P. J., Applications of Lie groups to differential equations, Graduate Texts in Mathematics, 107, Springer, New York, 2000, xxviii+513 pp.
  15. Bluman G. W., Cheviakov A. F., Anco S. C., Applications of symmetry methods to partial differential equations, Applied Mathematical Sciences, 168, Springer, New York, 2010, xix+398 pp pp.
  16. Grigoriev Yu. N., Ibragimov N. H., Kovalev V. F., Meleshko S. V., Symmetries of integro-differential equations. With applications in mechanics and plasma physics., Lecture Notes in Physics, 806, Springer, Dordrecht, 2010, xiii+305 pp.
  17. Ibragimov N. H., Transformation groups and Lie algebras, World Scientific, Hackensack, 2013, x+185 pp.
  18. Gazizov R. K., Kasatkin A. A., Lukashchuk S. Y., "Symmetries and group invariant solutions of fractional ordinary differential equations", Handbook of Fractional Calculus with Applications, eds. A. Kochubei, Y. Luchko, De Gruyter, Berlin, 2019, 65-90
  19. Gazizov R. K., Kasatkin A. A., Lukashchuk S. Y., "Symmetries, conservation laws and group invariant solutions of fractional PDEs", Handbook of Fractional Calculus with Applications, eds. A. Kochubei, Y. Luchko, De Gruyter, Berlin, 2019, 353-382
  20. Raghavan R., Chen C., "Fractional diffusion in rocks produced by horizontal wells with multiple, transverse hydraulic fractures of finite conductivity", J. Petrol. Sci. Eng., 109 (2013), 133-143
  21. Obembe A. D. Al-Yousef H. Y., Hossain M. E., Abu-Khamsin S. A., "Fractional derivatives and their applications in reservoir engineering problems: A review", J. Petrol. Sci. Eng., 157 (2017), 312-327
  22. Газизов Р. К., Лукащук С. Ю., "Дробно-дифференциальный подход к моделированию процессов фильтрации в сложных неоднородных пористых средах", Вестник УГАТУ, 21:4 (2017), 104-112
  23. Бабков О. К., "О групповой классификации некоторых эволюционных уравнений", Тезисы международной конференции Mogran-16 (28 октября - 2 ноября 2013 г.), УГАТУ, Уфа, 2013, 6-7
  24. Овсянников Л. В., "О свойстве -автономии", Докл. РАН, 330:5 (1993), 559-561
  25. Чиркунов Ю. А., "Условия линейной автономности основной алгебры Ли системы линейных дифференциальных уравнений", Докл. РАН, 426:5 (2009), 605-607
  26. Газизов Р. К., Касаткин А. А., Лукащук С. Ю., "Уравнения с производными дробного порядка: замены переменных и нелокальные симметрии", Уфимск. матем. журн., 4:4 (2012), 54-68
  27. Ibragimov N. H., "A new conservation theorem", J. Math. Anal. Appl., 333:1 (2007), 311-328
  28. Ibragimov N. H., "Nonlinear self-adjointness and conservation laws", J. Phys. A: Math. Theor., 44 (2011), 432002
  29. Patera J., Winternitz P., "Subalgebras of real three- and four-dimensional Lie algebras", J. Math. Phys., 18:7 (1977), 1449-1455
  30. Лукащук С. Ю., "Симметрийная редукция и инвариантные решения нелинейного дробно-дифференциального уравнения аномальной диффузии с источником", Уфимск. матем. журн., 8:4 (2016), 114-126
  31. Овсянников Л. В., "Об оптимальных системах подалгебр", Докл. РАН, 333:6 (1993), 702-704
  32. Чиркунов Ю. А., Хабиров С. В., Элементы симметрийного анализа дифференциальных уравнений механики сплошной среды, НГТУ, Новосибирск, 2012, 659 с.
  33. Lukashchuk S. Yu., "Conservation laws for time-fractional subdiffusion and diffusion-wave equations", Nonlinear Dyn., 80:1-2 (2015), 791-802
  34. Gazizov R. K., Ibragimov N. H., Lukashchuk S. Yu., "Nonlinear self-adjointness, conservation laws and exact solutions of time-fractional Kompaneets equations", Commun. Nonlin. Sci. Numer. Simulat., 23:1-3 (2015), 153-163
  35. Лукащук С. Ю., "О построении законов сохранения для интегро-дифференциальных уравнений дробного порядка", ТМФ, 184:2 (2015), 179-199
  36. Ибрагимов Н. Х., Авдонина Е. Д., "Нелинейная самосопряженность, законы сохранения и построение решений уравнений в частных производных с помощью законов сохранения", УМН, 68:5(413) (2013), 111-146

Statistics

Views

Abstract - 33

PDF (Russian) - 10

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2020 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies