Sobolev spaces and boundary-value problems for the curl and gradient-of-divergence operators

Abstract


We study boundary value and spectral problems in a bounded domain $G$ with smooth border for operators $\operatorname{rot} +\lambda I$ and $\nabla \operatorname{div} +\lambda I$ in the Sobolev spaces. For $\lambda\neq 0$ these operators are reducible (by B. Veinberg and V. Grushin method) to elliptical matrices and the boundary value problems and satisfy the conditions of V. Solonnikov's ellipticity. Useful properties of solutions of these spectral problems derive from the theory and estimates. The $\nabla \operatorname{div}$ and $ \operatorname{rot}$ operators have self-adjoint extensions $\mathcal{N}_d$ and $\mathcal{S}$ in orthogonal subspaces $\mathcal{A}_{\gamma }$ and $\mathbf{V}^0$ forming from potential and vortex fields in $\mathbf{L}_{2}(G)$. Their eigenvectors form orthogonal basis in $\mathcal{A}_{\gamma }$ and $\mathbf{V}^0$ elements which are presented by Fourier series and operators are transformations of series. We define analogues of Sobolev spaces $\mathbf{A}^{2k}_{\gamma }$ and $\mathbf{W}^m$ orders of $2k$ and $m$ in classes of potential and vortex fields and classes $ C (2k,m)$ of their direct sums. It is proved that if $\lambda\neq \operatorname{Sp}(\operatorname{rot})$, then the operator $ \operatorname{rot}+\lambda I$ displays the class $C(2k,m+1)$ on the class $C(2k,m)$ one-to-one and continuously. And if $\lambda\neq \operatorname{Sp}(\nabla \operatorname{div})$, then operator $\nabla \operatorname{div}+\lambda I$ maps the class $C(2(k+1), m)$ on the class $C(2k,m)$, respectively.

Full Text

\centerline{\textbf{1. Основные подпространства $\bf \mathbf{L}_{2}(\boldsymbol G)$}} % результаты \smallskip \Section[n]{1.1. Шкала пространств Соболева} Рассматриваются линейные пространства над полем $\mathbb{C}$ комплексных чисел. Через $\mathbf{L}_{2}(G)$ обозначаем пространство Лебега вектор-функций (полей), квадратично интегрируемых в $G$ с внутренним произведением $(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v})= \int_G \boldsymbol{u}\cdot\overline{\boldsymbol{v}} \, d \boldsymbol{x}$ и~нормой $\|\boldsymbol{u}\| = (\boldsymbol{u},\boldsymbol{u})^{1/2}$. Пространство Соболева, состоящее из полей, принадлежащих $\mathbf{L}_{2}(G)$ вместе с обобщенными производными до порядка $ s> 0$, обозначается через $\mathbf{H}^{s}(G)$, $\|\boldsymbol{f}\|_s$ --- норма его элемента $\boldsymbol{f}$; $\mathbf{H}^{0}(G)\equiv\mathbf{L}_{2}(G)$. Замыкание в~$\mathbf{H}^{s}(G)$ множества $\mathcal{C}^{\infty}_0(G)$ обозначается через $\mathbf{H}^{s}_0(G)$. Пространство Соболева отрицательного порядка $\mathbf{H}^{-s}(G)$ двойственно к~$\mathbf{H}^{s}_0(G)$ (см. пространство $W_2^{(m)}(\Omega)$ у С.~Л.~Соболева [1, § 9 гл. 12] и $H^k(Q)$ у В.~П.~Михайлова [2, § 4 гл. 3]). В области $G$ с гладкой границей $\Gamma$ в каждой точке $y\in\Gamma$ определена нормаль $\boldsymbol{n}(y)$ к $\Gamma$. Поле $\boldsymbol{u}$ из $\mathbf{H}^{s+1}(G)$ имеет след $ \gamma(\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{u})$ на $\Gamma$ его нормальной компоненты, который принадлежит пространству Соболева--~Слободецкого $\mathbf{H}^{s+1/2}(G)$, $|\gamma(\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{u})|_{s+1/2}$ --- его норма. \smallskip \Section[n]{1.2. Разложение $\bf \mathbf{L}_{2}(\boldsymbol G)$ на два класса $\mathcal{A}$ и~$\mathcal{B}$ потенциальных и~соленоидальных полей} Пусть $h$ --- функция из ${H}^{1}(G)$, а $\boldsymbol{u}=\nabla h$ --- ее градиент. Обозначим ${\mathcal{{A}}}(G) =\{\nabla h, h\in H^1(G)\}$ --- подпространство в~$\mathbf{L}_{2}(G)$, а~через ${\mathcal{{B}}}(G)$ --- его ортогональное дополнение. Соотношения $(\boldsymbol{u},\nabla h)=0$ для любой $ h\in H^1(G)$ означают, что $\mathcal{B}(G)=\{\boldsymbol{u}\in\mathbf{L}_{2} (G): \mathop{\rm div} \boldsymbol{u}=0, \,\gamma(\boldsymbol{n}\cdot \boldsymbol{u})=0 \}.$ Итак, \footnotetext{$^1$ Это разложение взято из статьи Z.~Yoshida и Y.~Giga [9]. Авторы называют его разложением Вейля [3], а~${\mathcal{{B}}}(\Omega)$ обозначают как ${L}_{\sigma}^2(\Omega)$.} \begin{equation} \mathbf{L}_{2}(G)= {\mathcal{{A}}}(G)\oplus{\mathcal{{B}}}(G).^{1} \label{eqno:(1.1)} \end{equation} {\small\sc Замечание.} { \small В разложении Г.~Вейля ${L}_2(G)\equiv\mathfrak{F}_0= \mathfrak{G}+\mathfrak{F}'$, где $\mathfrak{G}$ есть замыкание в норме ${L}_2$ градиентов $\nabla\psi$ функций $\psi\in \mathcal{C}_0^1(G)$, а $\mathfrak{F}'$ --- множество соленоидальных элементов в~$\mathfrak{F}_0$ [3, Теорема~II]. \smallskip Если граница области $G$ имеет положительный род $\rho$, то $ \mathcal{B}$ содержит в~себе конечномерное подпространство \begin{equation*} \mathcal{B}_H=\{\boldsymbol{u}\in\mathbf{L}_{2} (G): \mathop{\rm rot} \boldsymbol{u}=0, \,\mathop{\rm div} \boldsymbol{u}=0, \,\gamma(\boldsymbol{n}\cdot \boldsymbol{u})=0 \}. \end{equation*} Его размерность равна $\rho$ [4], а базисные поля $\mathbf{h}_j\in \mathcal{C}^\infty(G)$ [3]. Ортогональное дополнение в $\mathcal{B}$ к~$\mathcal{B}_H$ назовем классом вихревых полей и~обозначим $\textbf{V}^{0} (G)$. Значит, \footnotetext{$^2$ В [9] ${L}_{\sigma}^2(\Omega)={L}_{\Sigma}^2(\Omega)\oplus{L}_{H}^2(\Omega)$. Символ $L$ перегружен. Автор изменил авторские обозначения пространств ${L}_{\Sigma}^2(\Omega)$ и ${L}_{H}^2(\Omega)$ на $\textbf{V}^{0} (\Omega)$ и $\mathcal{B}_{H} (\Omega)$. } \begin{equation} \mathcal{B}(G)=\mathcal{B}_{H} (G)\oplus \textbf{V}^{0} (G).^2 \label{eqno:(1.2)} \end{equation} По определению $\mathcal{A}_{\gamma} = \{\nabla h, h\in H^2(G), \gamma(\boldsymbol{n}\cdot {\nabla}) h=0 \}.$ \smallskip {\small\sc Замечание.} { \small С.~Л.~Соболев [5], О.~А.~Ладыженская [6], K.~Friedrichs [7], Э.~Быховский и Н.~Смирнов [8] приводят аналогичные разложения $\mathbf{L}_{2}(G)$ на ортогональные подпространства. Так, С.~Л.~Соболев предполагает, что область $\Omega$ гомеоморфна шару. В~этом случае $\rho=0$ и пространство $\mathcal{B}_H(\Omega)$ пусто. О.~А.~Ладыженская приводит разложение $\mathbf{L}_{2}(\Omega)=\mathbf{G}(\Omega)\oplus \mathbf{J}^\circ(\Omega) $, где $\mathbf{J}^\circ (\Omega) $ --- замыкание в норме $\mathbf{L}_{2}(\Omega)$ множества бесконечно дифференцируемых финитных в~$\Omega$ соленоидальных векторов, а $\mathbf{G}(\Omega)$ состоит из $\mathop{\rm grad} \varphi $, где $\varphi$ есть однозначная в $\Omega$ функция, локально квадратично суммируемая и имеющая первые производные из $\mathbf{L}_{2}(\Omega)$ [6, Теорема 1, § 2 гл. 1]. \smallskip Далее будем придерживаться разложения \eqref{eqno:(1.1)}. \smallskip \Section[n]{1.3. Операторы градиент, ротор и дивергенция} Эти операторы определяются в~трехмерном векторном анализе~[10]. Им соответствует оператор $d$ внешнего дифференцирования на формах $\omega^k$ степени $k=0$, 1 и~2. Соотношения $dd\omega^k=0$ при $k=0$,~1 имеют вид $\mathop{\rm rot} \nabla h=0$ и~$\mathop{\rm div} \mathop{\rm rot} \boldsymbol{u}=0$. Формулы $$ \boldsymbol{u}\cdot\nabla h+h\mathop{\rm div}\boldsymbol{u}=\mathop{\rm div}(h \boldsymbol{u}) , \quad \boldsymbol{u}\cdot\mathop{\rm rot} \boldsymbol{v}- \mathop{\rm rot} \boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}=\mathop{\rm div}[\boldsymbol{v},\boldsymbol{u}], $$ где $[\boldsymbol{v},\boldsymbol{u}]$ --- векторное произведение, и интегрирование по области $G$ используются при определении операторов $\mathop{\rm div} \boldsymbol{u}$ и $\mathop{\rm rot}\boldsymbol{u}$ в $\mathbf{L}_{2}(G)$. Оператор Лапласа выражается через $\mathop{\rm rot} \mathop{\rm rot}$ и $\nabla \mathop{\rm div}$: \begin{equation} \label{eqno:(1.3)} \Delta \boldsymbol{v} =\nabla \mathop{\rm div} \boldsymbol{v} -\mathop{\rm rot} \mathop{\rm rot} \boldsymbol{v}. \end{equation} Оператор Лапласа эллиптичен [11], а операторы $\mathop{\rm rot}$ и $\nabla \mathop{\rm div}$ не являются таковыми. Они вырождены, причем $\mathop{\rm rot} \boldsymbol{u}=0$ при $\boldsymbol{u}\in \mathcal{A}$, $\nabla\mathop{\rm div} \boldsymbol{v}=0$ при $\boldsymbol{v}\in \mathcal{B}$ в~смысле~$\mathbf{L}_{2}(G)$~[3]. Поэтому $\Delta \boldsymbol{v} = \nabla \mathop{\rm div} \boldsymbol{v}$ на $\mathcal{A}$ и $\Delta \boldsymbol{v} =-\mathop{\rm rot}\, \mathop{\rm rot} \boldsymbol{v} $ на $\mathcal{B}$. {\smallskip\sc\small Замечание.}{ \small H.~Weyl называет безвихревым (irrotational) поле $\boldsymbol{u}\in \mathbf{L}_{2}(G)$, для которого $(\boldsymbol{u}, \mathop{\rm rot} \boldsymbol{v}) =0$ для любого поля $ \boldsymbol{v}$ c компонентами $v_j$ из $\mathcal{C}_0^1(G)$, а поле ${\boldsymbol{w}\in \mathbf{L}_{2}(G)}$, для которого $(\boldsymbol{w}, \nabla \boldsymbol{v}) =0$ $\forall \,\boldsymbol{v}\in \mathcal{C}_0^1(G)$ --- соленоидальным [3]. Запись ``$\mathop{\rm rot} \boldsymbol{u}=0$ при $\boldsymbol{u}\in\mathcal{A}$'' означает, что $\boldsymbol{u}=\{\nabla h\}$, где $ h\in H^1(G)$, и $(\boldsymbol{u}, \mathop{\rm rot} \boldsymbol{v}) \hm= (\nabla h, \mathop{\rm rot} \boldsymbol{v})=0$ для любого $ \boldsymbol{v}$ c~компонентами $v_j\in \mathcal{C}_0^{\infty}(G)$, что очевидно. } \smallskip \hypertarget{S1.4}{} \Section[n]{1.4. Содержание. Классы обобщенно эллиптических задач} В \hyperlink{S1}{\S~1} настоящей статьи определяются основные подпространства $\mathbf{L}_{2}(G)$, операторы, их соотношения, и формулируются основные результаты работы. \hyperlink{S2}{\S~2} содержит постановку краевых задач \eqref{eqno:(2.1)}, \eqref{eqno:(2.2)} для операторов $ \mathop{\rm rot}+\lambda I$ и \linebreak $ \nabla\mathop{\rm div}+\lambda I$ первого и второго порядков в~пространствах Соболева. Определяются классы [REES~$p$] обобщенно эллиптических систем. Системы \eqref{eqno:(2.1)}, \eqref{eqno:(2.2)} при $\lambda\neq 0$ принадлежат классу [REES~1]. Им соответствуют операторы $\mathbb{A}$ и~$\mathbb{B}$, которые расширяются до эллиптических (по В.~Солонникову) операторов $\mathbb{A}_R$ и $\mathbb{B}_R$. Применяя его Теорему 1.1 [11], можно доказать следующие теоремы. \smallskip \hypertarget{saks:th1}{} \begin{theorem}[1]Оператор $\mathbb{A}_R$ имеет левый регуляризатор$.$ Его ядро конечно\-мерно и для любых $ \boldsymbol{u}\in \mathbf{H}^{s+1}(G)$ и $ \lambda \neq 0 $ $($с~постоянной $C_s =C_s(\lambda )>0,$ зависящей только от $s,$ $\lambda) $ выполняется оценка \begin{equation} \label{eqno:(1.4)} C_s\|\boldsymbol{u}\|_{s+1} \leq\|\mathop{\rm rot} \boldsymbol{u}\|_{s}+ |\lambda| \|\mathop{\rm div} \boldsymbol{u}\|_{s}+ |\gamma({\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{u})|_{s+1/2}+ \|\boldsymbol{u}\|_{s}. \end{equation} \end{theorem} \smallskip \hypertarget{saks:th2}{} \begin{theorem}[2]Оператор $\mathbb{B}_R$ имеет левый регуляризатор$.$ Его ядро конечно\-мерно и для любых $\boldsymbol{u}\in \mathbf{H}^{s+2}(G)$ и $\lambda \neq 0 $ $($с~постоянной $C_s =C_s(\lambda )>0,$ зависящей только от $s,$ $\lambda) $ выполняется оценка \begin{equation} \label{eqno:(1.5)} C_s\|\boldsymbol{v}\|_{s+2} \leq|\lambda|\|\mathop{\rm rot} \boldsymbol{v}\|_{s+1}+ \|\nabla\mathop{\rm div} \boldsymbol{v}\|_{s}+ |\gamma({\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{v})|_{s+3/2}+ \|\boldsymbol{v}\|_{s}. \end{equation} \end{theorem} \smallskip Топологических ограничений на область нет, предполагается ее связность, ограниченность и гладкость границы. Оценка \eqref{eqno:(1.5)} получена автором {\it впервые} из оценок Солонникова [11]. Оценка \eqref{eqno:(1.4)} известна автору давно, она не была выписана в~[12], хотя ему было известно, что эллиптичность задачи эквивалентна точной оценке в~пространствах Соболева от Л.~Р.~Волевича [13]. Тогда автор еще работал в~пространствах Гельдера. Z.~Yoshida и Y.~Giga в~[9] ссылаются на работы J.~P.~Bour\-guig\-non, H.~Brezis~[14] и C.~Foias, R.~Temam [15]. Этот подход применим для других обобщенно эллиптических систем класса [REES~$p$]. Этот класс выделен из класса Вайнберга и Грушина [16], он содержит системы математической физики, главные части которых суть степени ротора или градиента дивергенции. Из эллиптической теории вытекают свойства решений спектральных задач операторов ротора и градиента дивергенции, такие как конечная кратность ненулевых с.-значений и~гладкость с.-полей в~любой области $G$ с~гладкой границей. % Явные формулы я нашел, обнаружив их Решения спектральных задач операторов ротора и градиента дивергенции в шаре [17] имеют простые связи с решениями спекральных задач Дирихле и~Неймана для оператора Лапласа, которые решены явно в~учебнике В.~С.~Владимирова [18]. \smallskip \hypertarget{S1.5}{} \Section[n]{1.5. Оператор ротор в классе $\textbf{V}^{\bf 0}$ вихревых полей} Z.~Yoshida и Y.~Gi\-ga [9] рассмотрели в $\mathbf{L}_2(G)$ подпространства $L^2_{\Sigma}$ и ${H}^{1}_{\Sigma\Sigma}$ и ввели в $L^2_{\Sigma}$ оператор $S$, который совпадает с $\mathop{\rm rot}\boldsymbol{u}$, если $\boldsymbol{u}\in {H}^{1}_{\Sigma\Sigma}$. Они доказали теорему~1: \linebreak \vspace{-3mm} \noindent {\it The operator $S$ is self-adjoint in the space $L^2_{\Sigma}.$ The spectrum $\sigma(S)$ of $S$ consists of only point spectrum $\sigma_p(S)\subset\mathbb{R}.$ Therefore$,$ the set of eigenfunctions of $S$ gives an orthogonal complete basis of the space $L^2_{\Sigma}.$} \smallskip Кроме того, в лемме~1 они доказывают, что \begin{itemize} \item[(1)] \it пространство ${H}^{1}_{\Sigma\Sigma}(\Omega )$ является подпространством ${H}^{1}(\Omega )$ и оно плотно в $L^2_{\Sigma}(\Omega ),$ \rm \item[(2)] \it область значений $R(S)$ оператора $S$ совпадает с $L^2_{\Sigma}(\Omega );$ оператор $S$ имеет компактный обратный из $L^2_{\Sigma}(\Omega )$ в ${H}^{1}_{\Sigma\Sigma}(\Omega ).$ \end{itemize} \smallskip Переобозначим эти пространства: $L^2_{\Sigma}\equiv\textbf{V}^{0}$, ${H}^{1}_{\Sigma\Sigma}\equiv \mathbf{W}^{1}$, а~отображения $S$~и~$S^{-1}$ запишем так: \[ \mathcal{D}(S)= \mathbf{W}^1\subset \textbf{V}^0\subset \mathbf{L}_2, \quad S^{-1}:\textbf{V}^{0} \to \mathbf{W}^{1}, \quad S=\mathop{\rm rot}: \mathcal{D}(S) \to \textbf{V}^{0}. \] В \hyperlink{S3}{\S~3} показывается, что собственные поля ротора всегда {\it встречаются парами}\/: каждой собственной вектор=функции ротора $\boldsymbol{u}^{+}_{j}$ с~положительным собственным значением $\lambda_j$ соответствует собственная вектор=функция ротора $\boldsymbol{u}^{-}_{j}$ с~отрицательным собственным значением $-\lambda_j$, а~в~$\textbf{V}^{0}$ фиксируется ортонормированный базис $\boldsymbol{q}^{\pm}_{j}$: $$ \mathop{\rm rot} \boldsymbol{q}_{j}^{\pm}=\pm\lambda_j \boldsymbol{q}_{j}^{\pm}, \quad \boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{q}_{j}^{\pm}|_{\Gamma}=0, \quad \|\boldsymbol{q}^{\pm}_{j}\|=1. $$ В~этом базисе элементы $\textbf{V}^{0}(G)$ представляются рядами Фурье \eqref{eqno:(3.2)}, а операторы $S$ и $S^{-1}$ --- преобразованиями этих рядов \eqref{eqno:(3.5)} и \eqref{eqno:(3.9)}. При $ k\geq 1$ определяются пространства \[ \mathbf{W}^{k}= \{\boldsymbol{f}\in\textbf{V}^{0}, \dots, \mathop{\rm rot}\nolimits^k \boldsymbol{f}\in\textbf{V}^{0} \}\quad \text{и}\quad \mathbf{W}^{-k}=(\mathbf{W}_0^{k})^*, % \quad k\geq 1, \] где пространство $\mathbf{W}^{k}_0(G)$ есть замыкание в норме $\mathbf{W}^{k}(G)$ множества $\mathcal{C}^{\infty}_0(G)$, а пространство $ \mathbf{W}^{-k}=(\mathbf{W}^{k}_0)^*$ сопряженно с ним [1]. Отметим вложения \[ \dots \subset\mathbf{W}^{m}\subset \dots \subset \mathbf{W}^1\subset \textbf{V}^{0}(G)\subset \mathbf{W}^{-1}\subset \dots \subset \mathbf{W}^{-m}\subset \cdots . \eqno{(m)} \] Оператор $S^{-1}$ отображает $\textbf{V}^{0}$ на $\mathbf{W}^{1}$, а $\mathbf{W}^{k-1}$ на $\mathbf{W}^{k}$ при $k>1$. Оператор $S$ отображает $\mathbf{W}^{k}$ на $\mathbf{W}^{k-1}$, % при $k>1$, а $\mathbf{W}^{1}$ на $\mathbf{W}^{0}\equiv \textbf{V}^{0} $. % \quad S^{-1}:\mathbf{W}^{m} \to \mathbf{W}^{m+1}, Рассматривается также оператор $S+\lambda I$. Мы доказываем, что оператор $S+\lambda I:\mathbf{W}^{k} \to \mathbf{W}^{k-1}$ --- фредгольмов. По определению, оператор $ S+\lambda I$ совпадает с $\mathop{\rm rot}+\lambda I$ на $\mathbf{W}^{1}$ и %Если $\boldsymbol{f}\in \mathbf{W}^{1}$, то \[ (S+\lambda I)\boldsymbol{f}= \lim_{n \to \infty} (\mathop{\rm rot}+\lambda I) (\boldsymbol{f}^n_{\textbf{V}}) = \sum_{j=1}^\infty \bigl[ (\lambda+\lambda_j)(\boldsymbol{f},\boldsymbol{q}^{+}_{j})\boldsymbol{q}^{+}_{j}+ (\lambda-\lambda_j)(\boldsymbol{f},\boldsymbol{q}^{-}_{j})\boldsymbol{q}^{-}_{j} \bigr]. \] Ряд сходится в $\mathbf{L}_{2}(G)$, так как $\| (S+\lambda I)\boldsymbol{f}\|^2_{ \textbf{V}^0}\leq c^2_0 \|\boldsymbol{f}\|^2_{\mathbf{W}^1}$, где $c_0<\infty $ (см.~\eqref{eqno:(3.14)}). Обратный оператор имеет вид % $\boldsymbol{f}\in V^0$, то \begin{equation} (S+\lambda I)^{-1}\boldsymbol{f}= \sum_{j=1}^{\infty} \biggl[ \frac{(\boldsymbol{f},{\boldsymbol{q}}_{j}^+)}{\lambda+\lambda_{j}} \boldsymbol{q}_{j}^+(\boldsymbol{x})+ \frac{(\boldsymbol{f},{\boldsymbol{q}}_{j}^-)}{\lambda-\lambda_{j}} \boldsymbol{q}_{j}^-(\boldsymbol{x}) \biggr], \label{eqno:(1.6)} \end{equation} если ни одно из слагаемых этого ряда не обращается в~бесконечность. Это означает, что либо $\lambda\pm \lambda_{j}\neq 0$ для всех $j$, либо $(\boldsymbol{f},\boldsymbol{q}^{-}_{j})=0$ при $\lambda=\lambda_j=\lambda_{j_0}$, и~эти элементы отсутствуют в~ряду. При этом $$ \|(S+\lambda I)^{-1}\boldsymbol{f}\|^2_{\mathbf{W}^1} \leq C^2_0 \|\boldsymbol{f}\|^2_{\textbf{V}^0}, $$ где $C^2_0 <\infty$ не зависит от $\boldsymbol{f}$ (см.~\eqref{eqno:(3.16)}). Следовательно, оба оператора непрерывны и имеет место \smallskip \hypertarget{saks:th3}{} \begin{theorem}[3]Оператор $S+\lambda I: \mathbf{W}^{1}(G)\to \textbf{V}^{0}(G)$ непрерывен и~однозначно обратим$,$ если $\lambda$ не принадлежит спектру $\sigma_p(S)\subset\mathbb{R}$ оператора $S.$ Его \linebreak обратный оператор задается формулой~\eqref{eqno:(1.6)} и~для любого $\boldsymbol{f}\in {\textbf{V}^0}$ ряд \linebreak $({S+\lambda I})^{-1}\boldsymbol{f}\in {\mathbf{W}^1}.$ Если $\lambda=\lambda_{j_0},$ то он обратим тогда и только тогда$,$ когда \begin{equation} \label{eqno:(1.7)} \int_G \boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{q}_j^- dx=0\quad \text{для}\quad\forall \boldsymbol{q}_j^-: \lambda_j=\lambda_{j_0}. \end{equation} Ядро оператора $S+\lambda_{j_0} I$ конечномерно и определяется собственными функциями $\boldsymbol{q}_j^-(\boldsymbol{x}),$ собственные значения которых равны $\lambda_{j_0}{:}$ \begin{equation} \mathop{\rm Ker}(S+\lambda_{j_0} I)= \sum_{\lambda_j=\lambda_{j_0}} c_j \boldsymbol{q}^{-}_{j}(\boldsymbol{x}) \quad\forall \,c_j\in \mathbb{R}. \label{eqno:(1.8)} \end{equation} \end{theorem} \smallskip В п.~\hyperlink{S3.5}{3.5} приводятся также оценки \begin{equation} \label{eqno:(1.9)} \|(S+\lambda I)\boldsymbol{f}\|^2_{ \mathbf{W}^m}\leq c^2_m \|\boldsymbol{f}\|^2_{\mathbf{W}^{m+1}}, \quad \|(S+\lambda I)^{-1}\boldsymbol{f}\|^2_{\mathbf{W}^{m+1}}\leq C^2_m \|\boldsymbol{f}\|^2_{\mathbf{W}^{m}}, \end{equation} где постоянные $ c_m$, $C_m< \infty $ не зависят от $\boldsymbol{f}$ и при $m=0$ совпадают с~\eqref{eqno:(3.14)} и~\eqref{eqno:(3.16)}. Из теоремы и этих оценок следует \smallskip \hypertarget{saks:lemma1}{} \begin{lemma}[1]Если $\lambda \,\overline{\in}\, \mathop{\rm Sp}( {S}),$ $ m \geq0,$ то операторы $ S+\lambda I$ $($и его обратный$)$ отображают пространство $ \mathbf{W}^{m+1}$ на $ \mathbf{W}^{m}$ $($и обратно$)$ взаимно однозначно и непрерывно$.$ \end{lemma} \smallskip \hypertarget{S1.6}{} \Section[n]{1.6. Соотношения между пространствами $\mathbf{W}^{\boldsymbol k}$, $\mathbf{H}^{\boldsymbol k}$ и $\mathbf{C}^{\bf \boldsymbol k-2}$} Рассмотрим область $\Omega$, гомеоморфную шару, которую С.~Л.~Соболев выделил в~[5]. В~этом случае пространство $\mathcal{B}_H(\Omega)$ пусто. Граница области $\Omega$ предполагается гладкой. Скалярное произведение в $\mathbf{H}^k(\Omega)$ С.~Л.~Соболевым определяется так: \begin{equation} \label{eqno:(1.10)} (\boldsymbol{f},\boldsymbol{g})_k=(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g})+ \int_{\Omega} \sum_{|\alpha|=k} \frac{k!}{\alpha !}\partial^{\alpha}\boldsymbol{f}\cdot\partial^{\alpha}\boldsymbol{g} \, d \boldsymbol{x},\quad k\geq 1. \end{equation} В пространстве $ \mathbf{W}^k(\Omega)= \{\boldsymbol{f}\in \textbf{V}^0, \dots, \mathop{\rm rot}^{k} \boldsymbol{f}\in \textbf{V}^0\}$ норма $\boldsymbol{f}\in{\mathbf{W}^k}$ выбирается так же: $\|\boldsymbol{f}\|^2_{\mathbf{W}^k}\equiv \|\boldsymbol{f}\|^2+\|\mathop{\rm rot}^k \boldsymbol{f}\|^2$. Имеет место \smallskip \hypertarget{saks:th4}{} \begin{theorem}[4]Для того чтобы $\boldsymbol{f}\in \textbf{V}^0(\Omega)$ разлагалась в ряд Фурье \begin{equation} \label{eqno:(1.11)} \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\sum_{j=1}^{\infty} \bigl[(\boldsymbol{f},\boldsymbol{q}_{j}^+)\boldsymbol{q}_{j}^+(\boldsymbol{x}) +(\boldsymbol{f},\boldsymbol{q}_{j}^-)\boldsymbol{q}_{j}^-(\boldsymbol{x})\bigr], \quad \|\boldsymbol{q}_{j}^{\pm}\| =1, \end{equation} по собственным вектор-функциям $\boldsymbol{q}_{j}^{\pm}(\boldsymbol{x})$ ротора в области $\Omega,$ сходящийся в~норме пространства Соболева $\mathbf{H}^k(\Omega),$ необходимо и достаточно$,$ чтобы $\boldsymbol{f}$ принадлежала $\mathbf{W}^k(\Omega).$ Если $\boldsymbol{f}\in \mathbf{W}^k(\Omega),$ то существует такая постоянная $C>0,$ не зависящая от $\boldsymbol{f},$ что \begin{equation} \label{eqno:(1.12)} \sum_{j} {\lambda}_{j}^{2k} \bigl[(\boldsymbol{f},\boldsymbol{q}_{j}^+)^2 +(\boldsymbol{f},\boldsymbol{q}_{j}^-)^2\bigr]\leq C \|\boldsymbol{f}\|^2_{\mathbf{H}^k(\Omega)}. \end{equation} Если $k\geq 2,$ то вектор-функция $\boldsymbol{f}$ из $\mathbf{W}^k(\Omega)$ разлагается в ряд~\eqref{eqno:(1.11)}$,$ сходящийся в пространстве $\mathbf{C}^{k-2}(\overline{\Omega}).$ \end{theorem} \smallskip {\small\sc Следствие.} {\it Вектор-функция $\boldsymbol{f}\in \textbf{V}^0\cap\mathbf{C}^{\infty}_0(\Omega)$ разлагается в ряд~\eqref{eqno:(1.11)}$,$ сходящийся в любом из пространств $\mathbf{C}^{k}(\overline{\Omega}),$ $ k\in \mathbb{N}.$} \smallskip Эти результаты дополняют известные в теории рядов Фурье утверждения (см. [6, Теорема 7, § 4 гл. 2], [2, Теорема 8, § 2 гл. 4]). Таким образом, $\mathbf{W}^k(G)$ --- аналоги пространств Соболева $\mathbf{H}^k(G)$ в~классе соленоидальных полей. Отметим вложения \begin{equation} \label{eqno:(1.13)} \mathbf{W}^k\subset \mathbf{W}^{k-1}\subset\dots \subset \mathbf{W}^1\subset \textbf{V}^{0}. \end{equation} Заметим, что Z.~Yoshida и Y.~Giga [9] не рассматривали пространствa $\mathbf{W}^{k}$, $k> 1$. Они ввели ${H}^{1}_{\Sigma\Sigma}=\mathcal{D}(S)$ как область определения $S$. Пространства $ \mathbf{W}^k$ % их вложения (Теорема 3 и Лемма 1) % $\mathbf{W}^{k}$ и пространствами и соотношения между ними и $\mathbf{H}^{k}$ и $\mathbf{C}^{k-2}$ (теоремы~\hyperlink{saks:th3}{3},~\hyperlink{saks:th4}{4} и~лемма~\hyperlink{saks:lemma1}{1}) --- это {\it первый основной} результат настоящей статьи. \smallskip \hypertarget{S1.7}{} \Section[n]{1.7. Класс $\mathcal{A}$ потенциальных полей} В статье [19] изучен класс $\mathcal{A}$ потенциальных полей: собственные поля оператора $\nabla\mathop{\rm div}$ задают ортогональный базис в $\mathcal{A}_{\gamma}$, оператор $\mathcal{N}_d$ есть самосопряженное расширение $\nabla\mathop{\rm div}$ в $\mathcal{A}_{\gamma}$, пространства \begin{equation} \label{eqno:(1.14)} \mathbf{A}_{\gamma}^{2k}(G)= \{\boldsymbol{f}\in\mathcal{A}_{\gamma}(G),\dots, (\nabla\mathop{\rm div})^k\,\boldsymbol{f}\in\mathcal{A}_{\gamma}(G) \}\quad \forall \, k\geq 1, \end{equation} --- аналоги пространств Соболева $\mathbf{H}^{2k}(G)$ порядков $2k$ в классе $\mathcal{A}_{\gamma}$. Так же как лемма~\hyperlink{saks:lemma1}{1}, доказана \smallskip \hypertarget{saks:lemma2}{} \begin{lemma}[2]Если $\lambda \,\overline{\in}\, \mathop{\rm Sp} (\mathcal{N}_d),$ $k \geq0,$ то операторы $ \mathcal{N}_d+\lambda I$ $($и его обратный$)$ отображает пространство $ \mathbf{A}^{2(k+1)}_{\gamma }$ на $ \mathbf{A}^{2k}_{\gamma }$ $($и обратно$)$ взаимно однозначно и непрерывно$.$ \end{lemma} \smallskip Отметим вложения \begin{equation} \label{eqno:(1.15)} \mathbf{A}^{2k}_{\gamma }\subset \dots \subset\mathbf{A}^{2}_{\gamma }\subset\mathcal{A}_{\gamma }\subset \mathcal{A}\subset \mathbf{L}_2(G). \end{equation} Базисные векторы в классах $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}=\mathcal{B}_H\oplus \textbf{V}^0$ в совокупности образуют базис во всем пространстве $\mathbf{L}_{2}(G)$. \smallskip \Section[n]{1.8. Содержание. Классы пространств $\bf \boldsymbol C(2 \boldsymbol k, \boldsymbol m)$ в $\mathbf{L}_{\bf 2}(\boldsymbol \Omega)$} В \hyperlink{S4}{\S~4} рассматривается % $\mathbf{A}^{2k}_{\gamma }(\Omega)$ и $\mathbf{W}^m(\Omega)$ порядков % и строится целочисленная сетка пространств $ C(2k,m)\equiv \mathbf{A}^{2k}_{\gamma } \oplus \mathbf{W}^m$, называемых классами, $k\geq 0$, $m\geq 0 $ --- целые, $k+m>0$, а также пространство $\mathbf{E}_{\gamma}^{0}(\Omega)$. Доказана \smallskip \hypertarget{saks:th5}{} % %\footnotetext{$^3$ Формулировка задачи \hyperlink{saks:task:1}{\rm 1} дана в п.~\hyperlink{S4.3}{4.3}.} \begin{theorem}[5]Если $\lambda\neq 0,$ $\pm {\lambda}_{j},$ $j\in \mathbb{N}$ и $\boldsymbol{f}\in\mathbf{L}_{2}(\Omega),$ то единственное решение~$\boldsymbol{u}$ задачи \hyperlink{saks:task:1}{\rm 1} п.~\hyperlink{S4.3}{\rm 4.3} дается суммой рядов=проекций $\boldsymbol{u}_{\mathcal{A}}+\boldsymbol{u}_{\textbf{\rm\bf V}}{:}$ \begin{gather} \label{eqno:(1.16)} {\boldsymbol{u}_{\mathcal{A}}}={\lambda}^{-1}\boldsymbol{f}_\mathcal{A}\equiv{\lambda}^{-1} \sum_{j=1}^{\infty} (\boldsymbol{f}, \boldsymbol{q}_{j}) \boldsymbol{q}_{j} (\boldsymbol{x}), \label{eqno:(1.17)} \boldsymbol{u}_{\textbf{\bf V}}={(S+\lambda I)^{-1}} \boldsymbol{f}_{ \textbf{\bf V}}\equiv \sum_{j=1}^{\infty} \biggl[\frac{(\boldsymbol{f},{\boldsymbol{q}}_{j}^{+})} {\lambda{+}\lambda_{j}} \boldsymbol{q}_{j}^{+}(\boldsymbol{x})+ \frac{(\boldsymbol{f},{\boldsymbol{q}}_{j}^{-})}{\lambda-\lambda_{j}} \boldsymbol{q}_{j}^{-}(\boldsymbol{x}) \biggr]. \end{gather} В частности$,$ \begin{itemize} \item[--] если $\boldsymbol{f}=\boldsymbol{f}_{\mathcal{A}}$ и $\boldsymbol{f}_{\mathcal{A}}\in \mathcal{A}$ или $\boldsymbol{f}_{\mathcal{A}}\in\mathcal{A}_{\gamma},$ то $\boldsymbol{u}= {\lambda}^{-1}\boldsymbol{f}_{\mathcal{A}}\in \mathcal{A}$ или $\boldsymbol{u}\in \mathcal{A}_{\gamma} $ --- обобщенные решения задачи~\hyperlink{saks:task:1}{\rm 1}$;$ \item[--] если $\boldsymbol{f}\in \mathcal{B}\bot \mathcal{A}$ в $\mathbf{L}_{2}(\Omega),$ то $\boldsymbol{u}={(S+\lambda I)^{-1}}\boldsymbol{f}_{\textbf{\bf V}}\in \mathbf{W}^1\subset \mathbf{H}^{1}_{\gamma}(\Omega);$ \item[--] если $\boldsymbol{f}\in\mathbf{E}_{\gamma}^{0}(\Omega),$ то $\boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\mathcal{A}}+\boldsymbol{u}_{\textbf{\bf V}}\in \mathbf{H}^{1}_{\gamma}(\Omega);$ \item[--] если $\boldsymbol{f}$ принадлежит классу $C(2k, m),$ то $\boldsymbol{u}\in C(2k, m+1);$ \item[--] если же $\boldsymbol{f}\in \mathcal{D}(\Omega),$ то ряды \eqref{eqno:(1.16)}$,$ \eqref{eqno:(1.17)} сходятся в~$\mathbf{H}^{s}(\Omega)$ для любого $s\geq 1$ и $\boldsymbol{u}\in C^{\infty}(\overline{\Omega})$ --- классическое решение задачи. \end{itemize} \end{theorem} \smallskip {\small\sc Замечание.} {\small В статье [17] доказано, что собственные значения ротора в шаре радиуса $R$ равны $\pm \rho_{n,m} R^{-1}$, где числа $\pm \rho_{n,m}$ --- нули функций % $\psi_n(r)$, \begin{equation} \label{eqno:(1.18)} \psi_n(z)=(-z)^n\Bigl(\frac{d}{z\,dz}\Bigr)^n\frac{\sin z}z,\quad m, n\in \mathbb {N}, \end{equation} кратность собственного значения $\lambda_{n,m} =\pm \rho_{n,m} R^{-1}$ равна $2n+1$. Собственные значения оператора $\nabla\mathop{\rm div}$ равны $-\nu_{n,m}^2$, где $\nu_{n,m}=\alpha_{n,m} R^{-1}$, а числа $\alpha_{n,m}$ --- нули производных $\psi'_n(r)$, $n \geq 0$, $ m\in {\mathbb {N}}$; кратность собственного значения $-\nu^2_{n,m}$ равна $2n+1$. Собственные поля $\boldsymbol{q}_{\kappa}$ градиента дивергенции и $ \boldsymbol{q}^{\pm}_{\kappa}$ ротора выражаются явно через сферические функции и функции $\psi_n(r)$; $ \kappa=(n,m,k)$.} \smallskip Из теоремы \hyperlink{saks:th5}{5} и леммы \hyperlink{saks:lemma1}{1} вытекают следующие утверждения. \smallskip \hypertarget{saks:lemma3}{} \begin{lemma}[3]При $\lambda \neq \mathop{\rm Sp} (\mathop{\rm rot})$ оператор $\mathop{\rm rot}+\lambda I$ отображает класс ${C(2k, m{+}1)}$ на класс $C(2k, m)$ взаимно однозначно и непрерывно$,$ $k,$ $m\geq0.$ \end{lemma} \smallskip {\small\sc Следствие. } {\it Если область $\Omega=B,$ %есть шар, $\psi_n(\lambda\,R)\neq 0$ $\forall\, n\in {\mathbb {N}},$ а поле $\boldsymbol{f}\in \mathbf{A}^{2k}_{\gamma }(B)\oplus \mathbf{W}^m(B),$ то решение задачи \hyperlink{saks:task:1}{\rm 1} существует$,$ единственно и принадлежит классу $ \mathbf{A}^{2k}_{\gamma }(B)\oplus \mathbf{W}^{m+1}(B).$ } \smallskip Аналогично доказаны следующие утверждения. \smallskip \hypertarget{saks:lemma4}{} \begin{lemma}[4]При $\nu^2\neq \mathop{\rm Sp}(-\nabla \mathop{\rm div})$ оператор $ \nabla \mathop{\rm div}+\nu^2 I$ отображает класс ${C(2(k+1), m)}$ на класс $C(2k,m)$ взаимно однозначно и непрерывно$.$ \end{lemma} \smallskip %\footnotetext{\hypertarget{Foot:4}{$^4$} Формулировка задачи \hyperlink{saks:task:2}{\rm 2} дана %в %п.~\hyperlink{S4.3}{4.3}.} {\small\sc Следствие. } {\it Если область $\Omega=B,$ $\psi'_n(\nu\,R)\neq 0$ $\forall\, n \geq 0,$ а~поле $\boldsymbol{f}\in \mathbf{A}^{2k}_{\gamma }(B)\oplus \mathbf{W}^m(B),$ то решение задачи \hyperlink{saks:task:2}{\rm 2} п.~\hyperlink{S4.3}{\rm 4.3} существует$,$ единственно и принадлежит классу $ \mathbf{A}^{2(k+1)}_{\gamma }(B)\oplus \mathbf{W}^{m}(B).$ } \smallskip Таким образом, изучены пространства $\mathbf{W}^m$ на рядах Фурье, определяемых собственными полями оператора ротор (вихрь). В пространстве $ \mathbf{L}_{2}(\Omega)$ введены классы $ C(2k,m)\equiv \mathbf{A}^{2k}_{\gamma } \oplus \mathbf{W}^m$ и рассмотрены их отображения операторами $\mathop{\rm rot}+\lambda I$ и $ \nabla \mathop{\rm div}+\nu^2 I$. Теорема \hyperlink{saks:th5}{5}, леммы \hyperlink{saks:lemma3}{3}, \hyperlink{saks:lemma4}{4} и~их следствия --- это {\it второй основной} результат этой статьи. \smallskip \hypertarget{S2}{} \phantomsection% \clear \setcounter{equation}{0} \renewcommand{\theequation}{2.\arabic{equation}} \centerline{\textbf{2. Краевые и спектральные задачи}} \Section[n] {2.1. Краевые задачи} В ограниченной области $G$ с~гладкой границей $\Gamma$ изучаются {\it задачи}\/: найти вектор=функции $\boldsymbol{u}$ и $\boldsymbol{v}$ такие, что \begin{gather} \label{eqno:(2.1)} ~~~\mathop{\rm rot}\boldsymbol{u}+\lambda \boldsymbol{u}=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}), \quad \boldsymbol{x}\in G, \quad \boldsymbol{n}\cdot \boldsymbol{u}|_{\Gamma }=g, \label{eqno:(2.2)} \nabla \mathop{\rm div}\boldsymbol{v}+\lambda \boldsymbol{v}=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}), \quad \boldsymbol{x}\in G, \quad \boldsymbol{n}\cdot \boldsymbol{v}|_{\Gamma }=g, \end{gather} где векторная и~скалярная функции $\boldsymbol{f}$ и ${g}$ заданы. Решения задач ищем в~пространствах Соболева $\mathbf{H}^{s+1}(G)$ и~$\mathbf{H}^{s+2}(G)$, где $s$ --- целое $s\geq 0$, а $(\boldsymbol{f},{g})$ задаем в следующих пространствах: $\boldsymbol{f}\in \mathbf{H}^{s}(G)$, $g\in {H}^{s+1/2}(\Gamma)$ и~$\boldsymbol{f}\in \mathbf{H}^{s}(G)$, $g\in {H}^{s+3/2}(\Gamma)$ соответственно. Эта постановка является {\it классической} в теории {\it эллиптических краевых задач в пространствах Соболева} [1, 11]. Отметим, что ненулевые решения $(\boldsymbol{u}, \lambda)$ и $(\boldsymbol{v}, \lambda)$ однородных задач \eqref{eqno:(2.1)}, \eqref{eqno:(2.2)} ($\boldsymbol{f}=0$ и ${g}=0$) --- решения спектральных задач операторов $ \text{rot}$ и $\nabla\mathop{\rm div}$. Они аннулируют друг друга и \begin{equation*} \mathop{\rm rot}\boldsymbol{u}=0 ~~ \text{на} ~~ \mathcal{A}=\{\nabla h, \, h \in H^{1}\}, \quad \nabla \mathop{\rm div}\boldsymbol{v}=0 ~~ \text{на} ~~ \mathcal{B}\perp \mathcal{A}. \end{equation*} Ортогональные пространства ${\mathcal{{A}}}$ и ${\mathcal{B}}$ в $\mathbf{L}_{2}(G)$ бесконечномерны [3]. При $\lambda=0$ однородные задачи \eqref{eqno:(2.1)} и \eqref{eqno:(2.2)} имеют счетное число линейно независимых решений. Значит, {\it нулевая точка} спектра каждого из операторов $\text{rot}$ и \, $\nabla\mathop{\rm div}$ имеет {\it бесконечную кратность}. Специфика этих задач состоит в том, что эти операторы при $\lambda\neq 0$ являются {\it обобщенно эллиптическими} класса [REES~1]. \smallskip \Section[n] {2.2. Класс систем, приводимых к эллиптическим системам} Определение этого класса мы приведем для систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Система дифференциальных уравнений $S( \boldsymbol \partial )u=f$ порядка $m$ из этого класса обладает свойствами: \begin{itemize} \item[а)] ее символическая матрица $S_0(i \boldsymbol \xi)$ имеет постоянный ранг для любой $\boldsymbol \xi\in\mathbb{R}^3\backslash 0$. Это позволяет построить аннулятор $C(\partial)$ оператора $S_0(\boldsymbol \partial)$ такой, что $(CS_0)(\boldsymbol \partial)\equiv 0$ на $X$ и определить \item[ б)] расширенную систему $\left(\begin{matrix}Su=f CSu=Cf\end{matrix}\right)$ порядка $\left(\begin{matrix}m k\end{matrix}\right)$. Ее символическая матрица $\left(\begin{matrix}S_0(i \boldsymbol \xi) (CS)_0(i \boldsymbol \xi)\end{matrix}\right)$ определяется младшей частью оператора $S(\boldsymbol \partial)$ и~дополняет матрицу $S_0(i \boldsymbol \xi)$. \item[ в)] Если ранг расширенной матрицы максимален, то исходная система \linebreak ${Su=f}$ принадлежит классу [REES~1] и степень ее приводимости равна единице. \item[ г)] Если система $Su=f$ такова, что ранг расширенной матрицы не максимален, но постоянен, то процесс повторяется и при определенных условиях система принадлежит классу [REES~2]. Символ [REES~$p$] означает ``REduced to Elliptic Systems на $p$-том шаге''. \end{itemize} Б.~Вайнберг и В.~Грушин [16] доказали, что система $Su=f$ класса [REES~$p$] является разрешимой по Фредгольму или Нетеру в~пространствах Соболева $\mathbf{H}^s(X)$, если $f\in \mathbf{H}^{s-m+p}(X)$, где $s\geq m$ --- целое. В качестве примера приводится оператор $d+\ast$ на дифференциальных формах степени $k$ в~$2{k+1}$-мерном многообразии $X$ без края, где $d$ --- оператор внешнего дифференцирования, а $*$ --- оператор нулевого порядка, который переводит форму $\omega^ j$ степени $j$ в форму $*\omega$ степени $n - j$. Системы \eqref{eqno:(2.1)}, \eqref{eqno:(2.2)} являются {\it обобщенно эллиптическими} класса [REES\,1]. Действительно, из этих уравнений вытекают соотношения $$ \lambda \mathop{\rm div} \boldsymbol{u}= \mathop{\rm div} \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}), \quad \lambda \mathop{\rm rot} \boldsymbol{v}= \mathop{\rm rot} \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}), \quad \boldsymbol{x}\in G. $$ Соединяя их в систему, видим, что операторы \begin{equation} \label{eqno:(2.3)} \left(\begin{matrix} \mathop{\rm rot}+\lambda I \lambda \mathop{\rm div} \end{matrix}\right)\quad \text{и}\quad \left( \begin{matrix} \nabla\mathop{\rm div}+\lambda I \lambda \mathop{\rm rot} \end{matrix}\right) \end{equation} являются эллиптическими по Даглису--~Ниренбергу [11]. Значит, они принадлежат классу [REES~1] систем дифференциальных уравнений, приводимых к~эллиптическим системам на первом шаге расширений Б.~Вайнберга и В.~Грушина 16.\hyperlink{Foot:5}{$^3$} \footnotetext{\hypertarget{Foot:5}{$^3$} Другие классы обобщенно эллиптических операторов см. в~работе [20].} \smallskip \Section[n] {2.3. Обобщенно эллиптическая краевая задача} Рассмотрим подробнее первую из них. Расширенная система \begin{equation} \label{eqno:(2.4)} \mathop{\rm rot} \boldsymbol{u}+\lambda \boldsymbol{u}= \boldsymbol{f},\quad \lambda \mathop{\rm div} \mathbf{ u}=\mathop{\rm div} \boldsymbol{f}, \end{equation} является эллиптической системой первого порядка (переопределенной, если $f_4\neq \mathop{\rm div} \boldsymbol{f}$). Вместе с краевым условием $\gamma\, \boldsymbol{n}\cdot \boldsymbol{u}=g$ она составляет эллиптическую краевую задачу по Солонникову [11]. Это означает, что \begin{itemize} \item[1)] система \eqref{eqno:(2.4)} эллиптична;\hyperlink{Foot:6}{$^4$} \footnotetext{\hypertarget{Foot:6}{$^4$} Главные части системы в~[11] определяются с~помощью весов $s_k$ и $t_j$ таких, что $\mathop{\rm ord} L_{k,j}\leq s_k+t_j$. Положив $s_k=0$ при $k=1, 2, 3, 4$ и $t_j =1$ при $j=1, 2, 3$, мы получим операторы системы \eqref{eqno:(2.4)}, а в~краевом операторе положим $\sigma_1=-1$.} \item[ 2)] краевое условие $\gamma\, \boldsymbol{n}\cdot \boldsymbol{u}$ \ ``накрывает'' оператор системы. \end{itemize} Первое условие сводится к тому, что однородная система линейных алгебраических уравнений \begin{equation} \label{eqno:(2.5)} \mathop{\rm rot}(i\boldsymbol \xi )\boldsymbol{w}=0, \quad \lambda \mathop{\rm div}(i\boldsymbol \xi )\boldsymbol{w}=0, \quad \forall \, \boldsymbol \xi\neq 0 \end{equation} c параметром $\boldsymbol \xi \in \mathbb{R}^3$ имеет только тривиальное решение $ \boldsymbol{w}=0$. Второе условие означает, что однородная система линейных дифференциальных уравнений \begin{equation} \label{eqno:(2.6)} \mathop{\rm rot}\Bigl(i\boldsymbol \tau+\boldsymbol{n} \frac d{dz} \Bigr) \boldsymbol{v}=0,\quad \mathop{\rm div}\Bigl(i\boldsymbol \tau+\boldsymbol{n} \frac d{dz} \Bigr) \boldsymbol{v}=0, \quad \forall\, \boldsymbol \tau \neq 0 \end{equation} на полуоси $z\geq 0$ с краевым условием $$ \boldsymbol{n}\cdot \boldsymbol{v}|_{ z=0}=0 $$ и убыванием $\boldsymbol{v}(y, \boldsymbol \tau; z )\to 0$ при $z\to + \infty$ имеет только тривиальное решение. Здесь $\boldsymbol \tau$ и $\boldsymbol{n}$ --- касательный и нормальный векторы к $\Gamma$ в точке $y\in \Gamma$ и~$|\boldsymbol{n}|=1$. При доказательстве этих утверждений используется соотношение $$ \mathop{\rm rot} \mathop{\rm rot} \boldsymbol{v}= -\Delta \boldsymbol{v} + \nabla \mathop{\rm div} \boldsymbol{v}. $$ Тогда \begin{itemize} \item[$1^\circ$.] Из уравнений \eqref{eqno:(2.5)} вытекает уравнение $-\Delta(i\boldsymbol \xi)\boldsymbol{w}=0$. Оно распадается на три скалярных уравнения $|\boldsymbol \xi | ^2 w_j =0$. Значит, $\boldsymbol{w}=0$ при $|\boldsymbol \xi | \neq 0$. Эллиптичность системы \eqref{eqno:(2.4)} доказана. \item[$2^\circ$.] Из уравнений \eqref{eqno:(2.6)} получаем уравнение $ \bigl(-|\boldsymbol \tau| ^2 + (\frac d{dz})^2\bigr)\boldsymbol{v} = 0$ с параметром $|\boldsymbol \tau |> 0$. Его убывающее при $z\to + \infty$ решение имеет вид $\boldsymbol{v}=\boldsymbol{w} e^{-|\boldsymbol \tau|z}$. Оно удовлетворяет уравнениям \eqref{eqno:(2.6)}, если вектор=функция $\boldsymbol{w}$ такова, что $ \boldsymbol{\omega } \times \boldsymbol{w}=0$, $ \boldsymbol{\omega }' \cdot \boldsymbol{w}=0$, где $ \boldsymbol{\omega } \equiv i \boldsymbol \tau -| \boldsymbol \tau| \boldsymbol{n}$ --- вектор=столбец, $ \boldsymbol{\omega }'$ --- вектор=строка, а $ \boldsymbol{\omega }' \cdot \boldsymbol{\omega } $ --- их произведение. \end{itemize} Легко убедиться, что векторное и ``скалярное'' произведения $\boldsymbol{\omega }$ на $\boldsymbol{\omega }$ равны нулю: $\boldsymbol{\omega } \times \boldsymbol{\omega }=0,$ $\boldsymbol{\omega }'\cdot\boldsymbol{\omega }=0$. Ранг матрицы $\mathop{\rm rot} (i \boldsymbol\xi )$ равен двум при $\boldsymbol\xi \neq 0$, поэтому $\boldsymbol{w}=c \boldsymbol{\omega}$, где $c$ --- постоянная, и других решений нет. Граничное условие приводит к уравнению $|\boldsymbol\tau |\, c=0$. Значит, $c=0$ при $|\boldsymbol\tau| > 0$ и, следовательно, $\boldsymbol{v}=0$. Итак, система \eqref{eqno:(2.4)} с~краевым условием $\boldsymbol{n}\cdot \boldsymbol{u}|_{\Gamma }=g$ при $\lambda\neq 0$ --- эллиптическая задача. Будем говорить при этом, что задача \eqref{eqno:(2.1)} при $\lambda\neq 0$ является {\it обобщенно эллиптической}. Обобщенная эллиптичность задачи \eqref{eqno:(2.2)} доказана в~[19]. \smallskip \Section[n] {2.4. Операторы задач (\ref{eqno:(2.1)}) и (\ref{eqno:(2.2)}) в пространствах ${\mathbf{H}^{\boldsymbol s}}(\boldsymbol G)$} Пусть вектор=функция $\boldsymbol{u}$ принадлежит пространству Соболева ${\mathbf{H}^{s+1}}$, где $s\geq 0$ --- целое. Тогда компоненты $\mathop{\rm rot} \boldsymbol{u}$ и $\mathop{\rm div} \boldsymbol{u}$ принадлежат ${H}^{s}(G)$, а~вектор=функция $\boldsymbol{f}:=\mathop{\rm rot} \boldsymbol{u}+ \lambda \boldsymbol{u}$ принадлежит пространству \begin{equation} \label{eqno:(2.7)} {\mathbf{E}^{s}}(G)=\{\boldsymbol{f}\in {\mathbf{H}^{s}}: \mathop{\rm div} \boldsymbol{f}\in {H}^{s}\}, \quad \|\boldsymbol{v}\|_{\mathbf{E}^{s}}=( \|\boldsymbol{v}\|^2_{s }+ \|\mathop{\rm div}\boldsymbol{v}\|^2_{s})^{1/2}. \end{equation} Функция $g:=\gamma({\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{u})\equiv\boldsymbol{n} \cdot\boldsymbol{u}|_{\Gamma}$ принадлежит пространству Соболева--~Слободецкого $H^{s+1/2}(\Gamma)$. Следовательно, %при $\lambda\neq 0$ задаче \eqref{eqno:(2.1)} соответствует ограниченный оператор \begin{equation} \label{eqno:(2.8)} \mathbb{A}\boldsymbol{u}\equiv\left( \begin{matrix} \mathop{\rm rot} +\lambda I \gamma \, \boldsymbol{n} \cdot {} \end{matrix}\right)\boldsymbol{u}: \mathbf{H}^{s+1}(G) \to \left( \begin{matrix}\mathbf{E}^{s}(G) H^{s+1/2}(\Gamma)\end{matrix}\right), \end{equation} а эллиптической задаче $ \gamma \, \boldsymbol{n}\cdot \boldsymbol{u}=g$ для расширенной системы \eqref{eqno:(2.4)} соответствует оператор \begin{equation} \label{eqno:(2.9)} \mathbb{A}_R\boldsymbol{u}\equiv\left( \begin{matrix} \mathop{\rm rot} +\lambda I \lambda \mathop{\rm div} \gamma \, \boldsymbol{n}\cdot {} \end{matrix}\right)\boldsymbol{u}: \mathbf{H}^{s+1}(G) \to \left( \begin{matrix}\mathbf{H}^{s}(G) H^s(G) H^{s+1/2}(\Gamma)\end{matrix}\right). \end{equation} Аналогично, задаче \eqref{eqno:(2.2)} соответствует ограниченный оператор \begin{equation} \label{eqno:(2.10)} \mathbb{B}\boldsymbol{u}\equiv \left( \begin{matrix} \nabla \mathop{\rm div} +\lambda I \gamma \, \boldsymbol{n} \cdot {} \end{matrix}\right)\boldsymbol{u}: \mathbf{H}^{s+2}(G) \to \left( \begin{matrix}\mathbf{F}^{s}(G) H^{s+3/2}(\Gamma)\end{matrix}\right), \end{equation} \[\mathbf{F}^{s}=\{\boldsymbol{f}\in {\mathbf{H}^{s}}: \mathop{\rm rot} \boldsymbol{f}\in {H}^{s+1}\}, \quad \|\boldsymbol{v}\|_{\textbf{F}^{s}}=( \|\boldsymbol{v}\|^2_{s }+ \|\mathop{\rm rot}\boldsymbol{v}\|^2_{s+1})^{1/2}, \] а расширенный эллиптический оператор имеет вид \begin{equation} \mathbb{B}_R\boldsymbol{u}\equiv\left( \begin{matrix} \nabla \mathop{\rm div} +\lambda I \lambda \mathop{\rm rot} \gamma \, \boldsymbol{n}\cdot {} \end{matrix}\right)\boldsymbol{u}: \mathbf{H}^{s+2}(G) \to \left( \begin{matrix}\mathbf{H}^{s}(G) \mathbf{H}^{s+1}(G) H^{s+3/2}(\Gamma)\end{matrix}\right). \end{equation} %эллиптичен по Солонникову. Таким образом, краевые задачи \eqref{eqno:(2.1)} и \eqref{eqno:(2.2)} являются обобщенно эллиптическими, а операторы $\mathbb{A}_R$ и $ \mathbb{B}_R$ являются {\it эллиптическими по Солонникову}~[11]. Из [11, Теорема~1.1] следуют теоремы~\hyperlink{saks:th1}{1} и \hyperlink{saks:th2}{2} (см.~п.~\hyperlink{S1.4}{1.4}). Область $G$ ограничена гладкой границей. \smallskip \Section[n] {2.5. Спектральные задачи операторов $ \text{rot}$ и $\nabla\,\text{div}$} Они состоят в~нахождении ненулевых вектор=функций (полей) $\boldsymbol{u}$ и $\boldsymbol{v}$ и чисел $\lambda$ и $\mu$ таких, что \begin{gather} \label{eqno:(2.11)} ~~~~~ \mathop{\rm rot} \boldsymbol{u}=\lambda \boldsymbol{u}(\boldsymbol{x}), \quad \boldsymbol{x}\in G, \quad \gamma \, \boldsymbol{n}\cdot \boldsymbol{u}=0, \quad \boldsymbol{u}\in \mathcal{C}^1(G)\cap \mathcal{C}(\overline{G}), \label{eqno:(2.13)} -\nabla \mathop{\rm div}\boldsymbol{v}=\mu \boldsymbol{v}(\boldsymbol{x}), \quad \boldsymbol{x}\in G, \quad \gamma \, \boldsymbol{n}\cdot \boldsymbol{v}=0, \quad \boldsymbol{v}\in \mathcal{C}^2(G)\cap \mathcal{C}(\overline{G}). \end{gather} Из теорем~\hyperlink{saks:th1}{1}, \hyperlink{saks:th2}{2} и оценок вытекают полезные свойства решений {\it спектральных задач} операторов ротора и~градиента дивергенции: \begin{itemize} \item[а)] \hypertarget{saks:a}{}{\it ненулевые собственные значения} имеет конечную кратность; \item[б)] \hypertarget{saks:b}{}соответствующие им {\it обобщенные собственные функции} бесконечно дифференцируемы вплоть до границы области, то есть поля $\boldsymbol{u}_{\lambda}(\boldsymbol{x})$ и~$\boldsymbol{v}_{\mu}(\boldsymbol{x}) \in \mathcal{C}^{\infty}(\overline{G})$ при $\lambda\ne 0$ и $\mu\ne 0$. \end{itemize} \smallskip {\small\sc Замечание. }{\small Автору в~работе [17] удалось найти формулы решений спектральной задачи \eqref{eqno:(2.11)} в~шаре благодаря идее сведения задачи \eqref{eqno:(2.1)} к~задаче Дирихле для уравнения Гельмгольца\hyperlink{Foot:7}{$^5$}\footnotetext{\hypertarget{Foot:7}{$^5$} Ее осуществил под руководством автора выпусник НГУ 1971~года А.~А.~Фурсенко. В~своей дипломной работе ``Краевая задача для одной равномерно неэллиптической системы'' он решил задачу \eqref{eqno:(2.1)} в~шаре в~классах Гельдера. } и учебнику Владимирова [18]. Поля $\boldsymbol{u}^{\pm}_{\kappa}$, отвечающие ненулевым значениям ротора $\pm\lambda_{\kappa}=\pm\rho_{n,m} R^{-1}$, выражаются через сферические функции и функции $\psi_n(z)$, см. \eqref{eqno:(1.18)}, % \begin{equation*}\klabel{psi__1_} % \psi_n(z)=(-z)^n\left(\frac{d}{zdz}\right)^n\frac{\sin % z}z, \eqno{(2.13)}\end{equation*} где $ \kappa =(n,m,k)$, $n$, $m\in \mathbb{N}$, $|k|\leq n$, а~числа $\pm\rho_{n,m}$ --- нули функций $\psi_n (r)$. Поля $\boldsymbol{q}_{\kappa}$ со значениями $-\nu_{\kappa}^2$, где $\nu_{\kappa}=\alpha_{n,m} R^{-1}$, определяются решениями задачи Неймана; $\alpha_{n,m}$ --- нули производных $\psi'_n(r)$, $ n\geq 0 $. Поля $\{\boldsymbol{u}^{+}_{\kappa}\}\cup\{\boldsymbol{u}^{-}_{\kappa}\}\cup \{\boldsymbol{q}_{\kappa}\}$ образуют базис в $\mathbf{L}_{2}(B)$.} \smallskip \hypertarget{S3}{} \phantomsection% \clear \setcounter{equation}{0} \renewcommand{\theequation}{3.\arabic{equation}} \centerline{\textbf{3. Класс $\textbf{V}^{\bf 0}$ и его подпространства $\mathbf{W}^{\boldsymbol k}$}} \smallskip Другой путь решения задачи \eqref{eqno:(2.1)} открылся после обнаружения важных свойств \hyperlink{saks:a}{а}) и~\hyperlink{saks:b}{б}) решений спектральной задачи \eqref{eqno:(2.11)} и работы Z.~Yoshida и~Y.~Giga [9]. Они ввели оператор $S:\textbf{W}^{1}\to \textbf{V}^{0}$ в пространстве $ \textbf{V}^{0}$ с~областью определения $ \mathbf{W}^{1}$, который совпадает с~$\mathop{\rm rot}\boldsymbol{u}$, если $\boldsymbol{u}\in \mathbf{W}^{1}$, и доказали, что {\it оператор $S$ самосопряжен в} $\textbf{V}^{0},$ {\it имеет точечный спектр $\sigma_p(S)\subset\mathbb{R},$ а его собственные поля образуют в}~$\textbf{V}^{0}$ {\it полный ортогональный базис}. \Section[n] {3.1. Свойства собственных полей ротора. Построение базиса в~$ \textbf{V}^{\bf0}$} Поля $\boldsymbol{u}_{\lambda}(\boldsymbol{x})$ принадлежат пространствам $\mathbf{W}^1(G)\cap \mathcal{C}^\infty(\overline{G})$. Из соотношения %\newline $ (\mathop{\rm rot}+\lambda {I}) (\mathop{\rm rot}- \lambda { I})\mathbf{ u}=- \Delta \boldsymbol{u} +\nabla \mathop{\rm div} \mathbf{ u}-\lambda^2 \mathbf{ u}$ и определения пространства $\textbf{V}^0(G)$ видим, что собственные поля ротора $\boldsymbol{u}^{\pm}_{\lambda}$, отвечающие значениям $\pm\lambda\ne 0 $, являются также собственными полями оператора Лапласа: \begin{equation} \label{eqno:(3.1)} -\Delta \boldsymbol{u}=\lambda^{2}\boldsymbol{u},\quad \mathop{\rm div} \boldsymbol{u}=0, \quad \boldsymbol{n}\cdot \boldsymbol{u}|_{\Gamma}=0. \end{equation} Множество собственных значений $\mu=\lambda^2$ этого оператора счетно, положительно и каждое из них имеет конечную кратность. Перенумеруем их в~порядке возрастания: $0<\mu_1\leq \mu_2\leq \dots$, повторяя $ \mu_k$ столько раз, какова его кратность. Соответствующие вектор=функции обозначим через $\boldsymbol{u}_{1}^{\pm}$, $\boldsymbol{u}_{2}^{\pm}$, \dots, так, чтобы каждому значению $\pm\sqrt{\mu_{k}}$ соответствовала только одна функция~$\boldsymbol{u}_{k}^{\pm}$: $\mathop{\rm rot} \boldsymbol{u}_{k}^{\pm}=\pm\sqrt{\mu_k} \boldsymbol{u}_{k}^{\pm}$, $k=1, 2, \dots$. Собственные функции, соответствующие одному и тому же собственному значению, выберем ортонормальными, используя процесс ортогонализации Шмидта (см. [18]). Поля, соответствующие различным с.- значениям, ортогональны. Их нормируем. Нормированные собственные поля ротора обозначим через $\boldsymbol{q}^{\pm}_{j}$, норма $\|\boldsymbol{q}^{\pm}_{j}\|=1$. Они составляют полный ортонормированный базис $B^{\pm}$ в классе $\textbf{V}^0$ вихревых полей в $\mathbf{L}_2(G)$. \smallskip \Section[n] {3.2. Ряды Фурье в $\textbf{V}^{\bf 0}$} Проекция вектор-функции $\boldsymbol{f}$ из $\mathbf{L}_2(G)$ на $\textbf{V}^0$ имеет вид \begin{equation} \label{eqno:(3.2)} \boldsymbol{f}_{\textbf{v}}=\sum_{j=1}^{\infty} \bigl[(\boldsymbol{f},\boldsymbol{q}^{+}_{j})\boldsymbol{q}^{+}_{j}+ (\boldsymbol{f},\boldsymbol{q}^{-}_{j})\boldsymbol{q}^{-}_{j} \bigr]. \end{equation} Действительно, частичные суммы $\boldsymbol{f}^n_{\textbf{v}}$ этого ряда состоят из элементов, для которых $0<\lambda_j\leq N(n)$: \begin{equation} \label{eqno:(3.3)} \boldsymbol{f}^n_{\textbf{v}}=\sum_{j=1}^{n} \bigl[ (\boldsymbol{f},\boldsymbol{q}^{+}_{j}) \boldsymbol{q}^{+}_{j}+ (\boldsymbol{f},\boldsymbol{q}^{-}_{j}) \boldsymbol{q}^{-}_{j} \bigr], \quad \|\boldsymbol{f}^n_{\textbf{v}}\|^2 \leq \|\boldsymbol{f}\|^2 , \end{equation} проекции $(\boldsymbol{f}-\boldsymbol{f}^n_{\textbf{v}},\boldsymbol{q}^{\pm}_{j} )=0$, если %\,$\mathop{\rm rot} \boldsymbol{q}^{\pm}_{j}= %\pm\lambda_j\boldsymbol{q}^{\pm}_{j}$, $0<\lambda_j\leq N(n) $, и $$ \|\boldsymbol{f}_{\textbf{v}}-\boldsymbol{f}^n_{\textbf{v}}\|^2= \|\boldsymbol{f}_{\textbf{v}}\|^2-\|\boldsymbol{f}^n_{\textbf{v}}\|^2 \to 0 \quad \text{при} \quad n\to\infty. $$ По построению $\boldsymbol{f}^n_{\textbf{v}}\in \mathcal{C}^{\infty}(\overline{G})$, % \quad $\mathop{\rm div}\boldsymbol{f}^n_{\textbf{v}}=0$, $\gamma_{\boldsymbol{n}}\boldsymbol{f}^n_{\textbf{v}}=0$ и~при любом $n$ поле $\boldsymbol{f}^n_{\textbf{v}}\bot \mathop{\rm Ker}(\mathop{\rm rot})$ в~$\mathbf{L}_2(G)$. Значит, $(\boldsymbol{f}^n_{\textbf{v}}, \nabla h)=0$ для любой функции $h\in H^1(G)$. Переходя к пределу, получим $(\boldsymbol{f}_{\textbf{v}}, \nabla h)=0$, то есть вектор $\boldsymbol{f}_{\textbf{v}} {\perp} \mathcal{A}\subset \mathop{\rm Ker}(\mathop{\rm rot})$. %$ ортогонален пространству $ Вектор $\boldsymbol{f}_{\textbf{V}}$ Он принадлежит $\textbf{V}^0\!$, если пространство $\mathcal{B}_H{\subset} \mathop{\rm Ker}(\mathop{\rm rot})$ пусто. \mbox{В~общем случае} %{\color{red} (пояснить, что такое $\mathop{\rm Ker}(\mathbf{rot})$)} \begin{equation} \label{eqno:(3.4)} \boldsymbol{f}_{\textbf{v}}\in \textbf{V}^0 \quad \Leftrightarrow \quad (\boldsymbol{f}_{\textbf{v}},\boldsymbol{h}_{i})= 0\quad \forall\, i=1, 2, \dots, \rho. \end{equation} Так как $$ \mathop{\rm rot} (\boldsymbol{f}^n_{\textbf{v}})= \sum_{j=1}^{n}\lambda_j \bigl[ (\boldsymbol{f},\boldsymbol{q}^{+}_{j})\boldsymbol{q}^{+}_{j}- (\boldsymbol{f},\boldsymbol{q}^{-}_{j})\boldsymbol{q}^{-}_{j} \bigr] $$ и суммы $\boldsymbol{f}^n_{\textbf{v}}$\,\,и $\mathop{\rm rot} (\boldsymbol{f}^n_{\textbf{v}})$ принадлежат $\textbf{V}^{0}$, то $\boldsymbol{f}^n_{\textbf{v}}\in\mathbf{W}^{1}$ --- области определения оператора $S$. {\it По определению$,$ $S\boldsymbol{w}=\mathop{\rm rot}\boldsymbol{w}$ для любого $\boldsymbol{w}\in \mathbf{W}^{1}$}. Следовательно \begin{equation} \label{eqno:(3.5)} S\boldsymbol{f}_{\textbf{v}}= \lim_{n\to\infty} \mathop{\rm rot} (\boldsymbol{f}^n_{\textbf{v}})= \sum_{j=1}^{\infty} \lambda_j \bigl[(\boldsymbol{f},\boldsymbol{q}^{+}_{j})\boldsymbol{q}^{+}_{j}- (\boldsymbol{f},\boldsymbol{q}^{-}_{j})\boldsymbol{q}^{-}_{j} \bigr], \end{equation} если ряд сходится и принадлежит $\textbf{V}^{0}$. Ясно, что $S\boldsymbol{f}_{\textbf{v}}\in\textbf{V}^{0}$, если \begin{equation} \label{eqno:(3.6)} f\in\mathbf{H}^1(G), \quad (\boldsymbol{f}_{\textbf{v}},\boldsymbol{h}_{i})=0\quad \text{и}\quad (S\boldsymbol{f}_{\textbf{v}},\boldsymbol{h}_{i})=0 \quad \forall \, i=1, 2, \dots, \rho. \end{equation} В [9, § 3, с. 240] доказано, что оператор $S$ замкнут. Следовательно, предел $S\boldsymbol{f}_{\textbf{v}}$ {\it не зависит от выбора в} $\textbf{V}^0$ {\it последовательности} $ \boldsymbol{w}_n \to \boldsymbol{f}_{\textbf{v}}$. \smallskip \Section[n] {3.3. Подпространства $\textbf{V}^{\bf 0}$} Ранее были введены пространства \begin{equation} \label{eqno:(3.7)} \mathbf{W}^{k}(G)= \{\boldsymbol{f}\in\textbf{V}^{0}(G), \dots , \mathop{\rm rot}\nolimits^k \boldsymbol{f}\in\textbf{V}^{0}(G) \}\quad \forall\, k\geq 1. \end{equation} Вложение $\mathbf{W}^1\subset\mathbf{H}^{1}(G)$ вытекает из оценки \eqref{eqno:(1.4)} при $s=0$: \begin{equation} \label{eqno:(3.8)} C_0\|\boldsymbol{f} \|_1\leq \| \mathop{\rm rot} \boldsymbol{f} \|+\|\boldsymbol{f} \| , \quad C_0>0. \end{equation} По индукции $\mathbf{W}^k\subset\mathbf{H}^{k}(G)$. Очевидно, что $\mathbf{W}^k\subset \dots \subset \mathbf{W}^1\subset \textbf{V}^{0}.$ При $n<\infty$ ряды $\boldsymbol{f}^n_{\textbf{V}}$ принадлежат любому из этих пространств. Оператор $S$ отображает $\mathbf{W}^{k}$ на $\mathbf{W}^{k-1}$ при $k>1$, а $\mathbf{W}^{1}$ на $\mathbf{W}^{0}\equiv \textbf{V}^{0}$. Пространство $\textbf{V}^{0}$ ортогонально ядру ротора в $\mathbf{L}_{2}(G)$, поэтому $S$ имеет единственный обратный оператор $S^{-1}$, определенный на $\textbf{V}^{0}$: \begin{equation} \label{eqno:(3.9)} S^{-1}\boldsymbol{f}_{\textbf{V}}=\lim_{n \to \infty} S^{-1} (\boldsymbol{f}^{n}_{\textbf{V}})= \sum_{j=1}^{\infty}\lambda_j^{-1} \bigl[ (\boldsymbol{f},\boldsymbol{q}^{+}_{j})\boldsymbol{q}^{+}_{j}- (\boldsymbol{f},\boldsymbol{q}^{-}_{j})\boldsymbol{q}^{-}_{j} \bigr]. \end{equation} В [9] доказано, что оператор $S^{-1}$ компактен. \smallskip {\small\sc Следствие. }{\it Спектр оператора $S^{-1}$ точечный с единственной точкой накопления в нуле$,$ $\lambda^{-1}_j \to 0$ при ${j \to \infty}.$} \smallskip Очевидно, что оператор $S^{-1}:\textbf{V}^{0} \to \mathbf{W}^{1}$ и %так далее, $S^{-1}:\mathbf{W}^{k-1} \to \mathbf{W}^{k}$. \smallskip \hypertarget{S3.4}{} \Section[n] {3.4. Полнота пространства $\textbf{V}^{\bf 0}$} В~базисе из собственных функций ротора скалярное произведение векторов $\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\in \textbf{V}^{0}$ имеет вид \begin{equation} \label{eqno:(3.10)} ( \boldsymbol{f},\boldsymbol{g})= \lim_{n \to \infty} ( \boldsymbol{f}_{\textbf{v}}^n, \boldsymbol{g}_{\textbf{v}}^n)= \sum_{j=1}^{\infty} \bigl[(\boldsymbol{f},\boldsymbol{q}_{j}^+)(\boldsymbol{g},\boldsymbol{q}_{j}^+) +(\boldsymbol{f},\boldsymbol{q}_{j}^-)(\boldsymbol{g},\boldsymbol{q}_{j}^-)\bigr]. \end{equation} Согласно Владимирову [18], ортонормальная система $\{\boldsymbol{q}_{j}^+\}\cup \{ \boldsymbol{q}_{j}^-\}_{j=1,2,\dots}$ полна в~$\textbf{V}^{0}$, если для любой $\boldsymbol{f}\in \textbf{V}^{0}$ ее ряд \eqref{eqno:(3.2)} сходится к~$\boldsymbol{f}$ в~$\mathbf{L}_{2}(G)$. По [18, § 1.9, Теорема 1] эта система полна в~$\textbf{V}^{0}$ тогда и только тогда, когда для любой функции $\boldsymbol{f}\in \textbf{V}^{0}$ выполняется равенство Парсеваля--~Стеклова, которое называется уравнением замкнутости: \begin{equation} \label{eqno:(3.11)} \sum_{j=1}^{\infty} \bigl[(\boldsymbol{f}, \boldsymbol{q}^{+}_{j})^2+(\boldsymbol{f},\boldsymbol{q}^{-}_{j})^2\bigr]= \|\boldsymbol{f}\|^2. \end{equation} Пространство $\mathbf{W}^1$ плотно в $\textbf{V}^{0}$, так как множество $\mathbf{C}_0^{\infty}(G) \cap\textbf{V}^{0}$, плотное в $\textbf{V}^{0}$, содержится в $\mathbf{W}^1$. Квадрат нормы $\boldsymbol{f}\in\mathbf{C}_0^{\infty}(G)\cap\textbf{V}^{0}$ ограничен: \begin{multline*} \|\boldsymbol{f}\|^2_{\mathbf{W}^1}=\|\boldsymbol{f}\|^2+ \|\mathop{\rm rot}\boldsymbol{f}\|^2= \sum_{j=1}^{\infty} (1+{\lambda}_{j}^2) \bigl[(\boldsymbol{f}, \boldsymbol{q}^{+}_{j})^2+(\boldsymbol{f},\boldsymbol{q}^{-}_{j})^2 \bigr]<\infty \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \|\boldsymbol{f}^n_{\textbf{V}}\|^2= \sum_{j=1}^{\infty} \bigl[ (\boldsymbol{f}, \boldsymbol{q}^{+}_{j})^2+(\boldsymbol{f},\boldsymbol{q}^{-}_{j})^2\bigr]= \|\boldsymbol{f}\|^2. \end{multline*} Полнота пространства $\textbf{V}^{0}$ доказана. \smallskip \hypertarget{S3.5}{} \Section[n] {3.5. Самосопряженность оператора $\boldsymbol S$} Действительно, если $\boldsymbol{f}$ и $\boldsymbol{g}$ принадлежат $\mathbf{W}^1$, то имеют место равенства \begin{equation} \label{eqno:(3.12)} ( S \boldsymbol{f}, \boldsymbol{g})= (\boldsymbol{f}, S \boldsymbol{g})= \sum_{j=1}^{\infty} {\lambda}_{j} \big[ (\boldsymbol{f},\boldsymbol{q}_{j}^+)(\boldsymbol{g},\boldsymbol{q}_{j}^+) -(\boldsymbol{f},\boldsymbol{q}_{j}^-)(\boldsymbol{g},\boldsymbol{q}_{j}^-) \big]. \end{equation} Отметим, что равенство \[ \int_G (\mathop{\rm rot} \boldsymbol{u})\cdot \boldsymbol{v} \, d\boldsymbol{x}= \int_{G}\boldsymbol{u}\cdot (\mathop{\rm rot} \boldsymbol{v}) \, d \boldsymbol{x} \] % \eqno{(3.13)} для любых функций $\boldsymbol{u}$ и $\boldsymbol{v}$ из $\mathcal{D}(S)$ доказано в~[9], а~в~случае шара --- в~[17]. Также в [9] доказано, что оператор $S$ самосопряжен. \smallskip \Section[n] {3.6. Фредгольмовость оператора $\boldsymbol S+ \boldsymbol \lambda \boldsymbol I:\mathbf{W}^{1} \to \textbf{V}^{\bf 0}$} Действительно, по определению, оператор $ S+\lambda I$ совпадает с $\mathop{\rm rot}+\lambda I$ на $\mathbf{W}^{1}$. При $\boldsymbol{f}\in \mathbf{W}^{1}$ \[(S+\lambda I)\boldsymbol{f}=\lim_{n \to \infty} (\mathop{\rm rot}+\lambda I) (\boldsymbol{f}^n_{\textbf{V}}) = \sum_{j=1}^\infty \bigl[(\lambda+\lambda_j)(\boldsymbol{f},\boldsymbol{q}^{+}_{j})\boldsymbol{q}^{+}_{j}+ (\lambda-\lambda_j)(\boldsymbol{f},\boldsymbol{q}^{-}_{j})\boldsymbol{q}^{-}_{j}\bigr] \] и ряд сходится в $\mathbf{L}_{2}(G)$, поскольку \begin{multline} \label{eqno:(3.13)} \| (S+\lambda I)\boldsymbol{f}\|^2_{ \textbf{V}^0}=\sum_{j=1}^\infty \bigl[ |\lambda+\lambda_j|^2(\boldsymbol{f},\boldsymbol{q}^{+}_{j})^2+|\lambda-\lambda_j|^2(\boldsymbol{f},\boldsymbol{q}^{-}_{j})^2 \bigr]\leq \leq c^2_0\sum_{j=1}^{\infty} (1+{\lambda}_{j}^2) \bigl[ (\boldsymbol{f}, \boldsymbol{q}^{+}_{j})^2+(\boldsymbol{f},\boldsymbol{q}^{-}_{j})^2\bigr]= c^2_0 \|\boldsymbol{f}\|^2_{\mathbf{W}^1}; \end{multline} \begin{equation} \label{eqno:(3.14)} c^2_0 = \max _j (a_j^+, a_j^-)~~~ \text{и} ~~~ a_j^{\pm }= |1\pm \lambda/\lambda_j|^2/(1+1/{\lambda}_{j}^2) <\infty, \end{equation} так как при больших $\lambda_{j}$ они находятся в окрестности единицы. Обратный оператор имеет вид \begin{equation} \label{eqno:(3.15)} (S+\lambda I)^{-1}\boldsymbol{f}= \sum_{j=1}^{\infty} \biggl[ \frac{(\boldsymbol{f},{\boldsymbol{q}}_{j}^+)}{\lambda+\lambda_{j}} \boldsymbol{q}_{j}^+(\boldsymbol{x})+ \frac{(\boldsymbol{f},{\boldsymbol{q}}_{j}^-)}{\lambda-\lambda_{j}} \boldsymbol{q}_{j}^-(\boldsymbol{x}) \biggr], \end{equation} если ни одно из слагаемых этого ряда не обращается в~бесконечность. Это означает, что либо $\lambda\pm \lambda_{j}\neq 0$ для всех $j$, либо $(\boldsymbol{f},\boldsymbol{q}^{-}_{j})=0$, если $\lambda=\lambda_j=\lambda_{j_0}$ и~функция $\boldsymbol{f}$ ортогональна всем собственным полям $\boldsymbol{q}^{-}_{j}(\boldsymbol{x})$ ротора, отвечающим собственному значению $\lambda_{j_0}$. При этом \begin{gather} \|(S+\lambda I)^{-1}\boldsymbol{f}\|^2_{\mathbf{W}^1}= \sum_{j=1}^{\infty} \biggl[ \frac{(1+ \lambda_{j}^2)}{|\lambda+\lambda_{j}|^2}(\boldsymbol{f},{\boldsymbol{q}}_{j}^+)^2+\frac{(1+ \lambda_{j}^2)}{|\lambda-\lambda_{j}|^2}(\boldsymbol{f},{\boldsymbol{q}}_{j}^-)^2\biggr] \leq C^2_0 \|\boldsymbol{f}\|^2_{\textbf{V}^0}, C^2_0 = \max _j (A_j^+, A_j^-) ~~~ \text{и} ~~~ A_j^{\pm }= (1+1/{\lambda}_{j}^2) /|1\pm \lambda/\lambda_j|^2<\infty. \label{eqno:(3.16)} \end{gather} Итак, оба оператора непрерывны и имеет место теорема~\hyperlink{saks:th3}{3} (п.~\hyperlink{S1.5}{1.5}). Аналогично предыдущему видим, что \begin{multline} \label{eqno:(3.17)} \| (S+\lambda I)\boldsymbol{f}\|^2_{ \mathbf{W}^m}= \sum_{j=1}^\infty (1+ \lambda_{j}^{2m}) \bigl[|\lambda+\lambda_j|^2(\boldsymbol{f},\boldsymbol{q}^{+}_{j})^2+|\lambda-\lambda_j|^2(\boldsymbol{f},\boldsymbol{q}^{-}_{j})^2\bigr]\leq \leq c^2_m\sum_{j=1}^{\infty} (1+{\lambda}_{j}^{2(m+1)}) \bigl[(\boldsymbol{f}, \boldsymbol{q}^{+}_{j})^2+(\boldsymbol{f},\boldsymbol{q}^{-}_{j})^2\bigr]= c^2_m \|\boldsymbol{f}\|^2_{\mathbf{W}^{m+1}}, \end{multline} \begin{equation} \label{eqno:(3.18)} \|(S+\lambda I)^{-1}\boldsymbol{f}\|^2_{\mathbf{W}^{m+1}}\leq C^2_m \|\boldsymbol{f}\|^2_{\mathbf{W}^{m}}, \quad c_m,\; C_m< \infty . \end{equation} Числа $ c_m$ и $C_m$ при $m=0$ совпадают с \eqref{eqno:(3.14)} и \eqref{eqno:(3.16)}. По определению, ${\mathbf{W}^{0}\equiv \textbf{V}^{0}}$. Из теоремы~\hyperlink{saks:th3}{3} и оценок следует лемма~\hyperlink{saks:lemma1}{1} (п.~\hyperlink{S1.5}{1.5}) о свойствах отображений $(S+\lambda I)$ и~$(S+\lambda I)^{-1}$. Так же доказывается лемма~\hyperlink{saks:lemma2}{2} (п.~\hyperlink{S1.7}{1.7}) о свойствах отображений $( \mathcal{N}_d+\lambda I)$ и~$( \mathcal{N}_d+\lambda I)^{-1}$. \smallskip \Section[n] {3.7. Сходимость ряда Фурье в норме пространства $\mathbf{H}^{\boldsymbol k}(\boldsymbol \Omega)$} %Рассмотрим область $\Omega$, гомеоморфную шару, которую в~\cite{sob54} выделил С.~Л.~Соболев. % В~этом случае пространство $\mathcal{B}_H(\Omega)$ пусто. Границу области $\Omega$ будем предполагать гладкой. %Скалярное произведение %в $\mathbf{H}^k(\Omega)$ Сергей Львович определяет так: %\begin{equation*} \klabel{skpro 1} %(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g})_k=(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g})+ % \int_{\Omega} \sum_{|\alpha|=k}\frac{k!}{\alpha % !}\partial^{\alpha}\boldsymbol{f}\cdot\partial^{\alpha}\boldsymbol{g} % d \boldsymbol{x},\quad k\geq 1. \eqno{(3.19)} %\end{equation*} % В пространстве $ \mathbf{W}^k(\Omega)= %\{\boldsymbol{f}\in \textbf{V}^0, %..., \mathop{\rm rot}^{k} \boldsymbol{f}\in \textbf{V}^0\}$ %норму $\boldsymbol{f}\in{\mathbf{W}^k}$ выберем так же: %$\|\boldsymbol{f}\|^2_{\mathbf{W}^k}\equiv \|\boldsymbol{f}\|^2+\|\mathop{\rm rot}^k \boldsymbol{f}\|^2$. \quad Приведем {\it д\,о\,к\,а\,з\,а\,т\,е\,л\,ь\,с\,т\,в\,о\,\, т\,е\,о\,р\,е\,м\,ы}~\hyperlink{saks:th4}{4} из п.~\hyperlink{S1.6}{1.6}. %Имеет место Теорема 4 (см. п.1.6). %Доказательство Теоремы 4. Граница $\partial\Omega\in \mathcal{C}^\infty$ и~собственные функции $\boldsymbol{q}_{j}^{\pm}(\boldsymbol{x})$ оператора ротор принадлежат классу $\mathcal{C}^{\infty}(\overline{\Omega})$, а~значит, любому из пространств $\mathbf{W}^l(\Omega)$, $l>0$. Поэтому, если ряд Фурье \eqref{eqno:(1.11)} вектор=функции $\boldsymbol{f}$ из $\mathbf{H}^k(\Omega)$ сходится в норме $\mathbf{H}^k(\Omega)$, то $\boldsymbol{f}\in\textbf{V}^0$, $\dots$, $\mathop{\rm rot}\nolimits^{k} \boldsymbol{f}\in \textbf{V}^0\subset\mathbf{L}_2(\Omega)$ и, значит, $\boldsymbol{f}\in\mathbf{W}^k(\Omega)$. Необходимость доказана. Пусть $\boldsymbol{f}\in \mathbf{W}^k(\Omega)$, где $k\geq 1$. Приведем доказательство неравенства \eqref{eqno:(1.12)}. Так как $S{\boldsymbol{f}}=\mathop{\rm rot} {\boldsymbol{f}}$ на $\mathbf{W}^k\subset \mathbf{W}^1(\Omega)$ и $ S \boldsymbol{q}^{\pm}_{j}={\pm}\lambda_j \boldsymbol{q}^{\pm}_{j}$, то \begin{equation} \label{eqno:(3.20)} (\mathop{\rm rot} {\boldsymbol{f}},\boldsymbol{q}^{\pm}_{j}) = {\pm}\lambda_j({\boldsymbol{f}} ,\boldsymbol{q}^{\pm}_{j}). \end{equation} Пусть $\beta_{k,j}^{\pm}$ коэффициенты Фурье функции $\mathop{\rm rot}\nolimits^k \boldsymbol{f}$. По формуле \eqref{eqno:(3.20)} \begin{equation} \label{eqno:(3.21)} \beta_{k,j}^{\pm}=(\mathop{\rm rot}\nolimits^k \boldsymbol{f}, \boldsymbol{q}^{\pm}_{j})={\pm}\lambda_j(\mathop{\rm rot}\nolimits^{k-1} {\boldsymbol{f}} ,\boldsymbol{q}^{\pm}_{j}) =\dots = ({{\pm}\lambda_j})^{k}( {\boldsymbol{f}} ,\boldsymbol{q}^{\pm}_{j}). \end{equation} Поскольку $\mathop{\rm rot}^k \boldsymbol{f}\in \mathbf{L}_2(\Omega)$, то $$ \sum_{j=1}^{\infty} \bigl[(\beta_{k,j}^+)^2+ (\beta_{k,j}^-)^2\bigr]= \|\mathop{\rm rot}\nolimits^k \boldsymbol{f}\|^2. $$ Итак, для вектор-функций $\boldsymbol{f}\in \mathbf{W}^k(\Omega)$ имеем \begin{equation} \label{eqno:(3.22)} \sum_{j=1}^{\infty} {\lambda}_{j}^{2k} \bigl[(\boldsymbol{f},\boldsymbol{q}_{j}^+)^2 +(\boldsymbol{f},\boldsymbol{q}_{j}^-)^2\bigr]= \|\mathop{\rm rot}\nolimits ^k \boldsymbol{f}\|^2\leq C \|\boldsymbol{f}\|^2_{\mathbf{H}^k(\Omega)}. \end{equation} Последнее неравенство вытекает из определений нормы в $\mathbf{H}^k(\Omega)$. Неравенство \eqref{eqno:(1.12)} доказано. Докажем сходимость ряда \eqref{eqno:(1.11)} к $\boldsymbol{f}$ в норме $\mathbf{H}^k(B)$. Пусть $\boldsymbol{S}_l(\boldsymbol{x})$ --- частичная сумма ряда \eqref{eqno:(1.11)}. Очевидно, что $\mathbf{S}_l(\boldsymbol{x})\in \mathbf{W}^l(\Omega)$ при $l>0$. В частности, $\mathop{\rm div} \boldsymbol{S}_l(\boldsymbol{x})=0$ и $\gamma\, \boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{S}_l(\boldsymbol{x})=0$. Поэтому оценка \eqref{eqno:(1.4)} при $s=0$ принимает вид $ C_1\|\boldsymbol{S}_l\|_{ 1 } \leq\|\mathop{\rm rot} \boldsymbol{S}_l\|+ \|\boldsymbol{S}_l\|.$ Поскольку $\lambda_{j}^{-2} \to 0$ при $j \to \infty$, норма $ \|\boldsymbol{S}_l\|^2\leq c \,\|\mathop{\rm rot}\boldsymbol{S}_l\|^2$, где $c=\max\limits_{j}\lambda_{j}^{-2}$. Поэтому $ \|\boldsymbol{S}_l\|^2_{1} \leq a_1 \|\mathop{\rm rot} \boldsymbol{S}_l\|^2$ и по индукции $ \|\boldsymbol{S}_l\|^2_{k}\leq a_k\|\mathop{\rm rot}\nolimits^k \boldsymbol{S}_l\|^2$. Пусть $\boldsymbol{f}\in \mathbf{W}^k(\Omega)$, где $k>0$. Согласно неравенству \eqref{eqno:(1.12)}, ряды в его левой части сходятся, и если $l>m\geq 1$, то \[ \|\boldsymbol{S}_l-\boldsymbol{S}_m\|^2_{k}\leq a_k\|\mathop{\rm rot}\nolimits^k (\boldsymbol{S}_l-\boldsymbol{S}_m)\|^2 \leq a_k \sum_{m+1}^l\lambda_{j}^{2k} \bigl[|(\boldsymbol{f},\boldsymbol{q}_{j}^+)|^2 +|(\boldsymbol{f},\boldsymbol{q}_{j}^-)|^2\bigr] \to 0 \] при $l$, $m \to \infty$. Это означает, что ряд \eqref{eqno:(1.11)} сходится к~$\boldsymbol{f}$ в~норме $\mathbf{H}^k(B)$. \smallskip {\small\sc Замечание. }{\small Известны вложение пространств $\mathbf{H}^k(\Omega)\subset\mathbf{C}^{k-2}(\overline{\Omega})$ при $k\geq 2$ в~трехмерной области $\Omega$ и оценка $\|\boldsymbol{f}\|_{\mathbf{C}^{k-2}(\overline{\Omega})}\leq C_k\|\boldsymbol{f}\|_{\mathbf{H}^k (\Omega)}$ для любой функции $\boldsymbol{f}\in \mathbf{H}^k (\Omega)$, причем постоянная $C_k>0$ не зависит от $\boldsymbol{f}$ (см., например, [2, Теорема 3, § 6.2]) В частности \begin{equation} \label{eqno:(3.23)} \|\boldsymbol{S}_l-\boldsymbol{S}_m\|_{\mathbf{C}^{k-2}(\overline{\Omega})} \leq C_k \|\boldsymbol{S}_l-\boldsymbol{S}_m\|_{\mathbf{H}^k (\Omega)}. \end{equation} Если $\|\boldsymbol{S}_l-\boldsymbol{S}_m\|_{\mathbf{H}^k (\Omega)} \to 0$ при $l$, $m \to \infty$, то $\|\boldsymbol{S}_l-\boldsymbol{S}_m\|_{\mathbf{C}^{k-2}(\overline{\Omega})} \to 0$. Это означает, что ряд \eqref{eqno:(1.11)} сходится к~$\boldsymbol{f}$ в~$\mathbf{C}^{k-2}(\overline{\Omega})$.} \smallskip Теорема доказана. % \newpage \hypertarget{S4}{} \phantomsection% \clear \setcounter{equation}{0} \renewcommand{\theequation}{4.\arabic{equation}} \centerline{\textbf{4. Краевые задачи в $\mathbf{L}_{\bf 2}(\boldsymbol \Omega)$}} \Section[n] {4.1. Классы $\bf \boldsymbol C(2\boldsymbol k, \boldsymbol m)$ подпространств в $\mathbf{L}_{\bf 2}(\boldsymbol \Omega)$} Предположим, что область $\Omega$ гомеоморфна шару. Если собственные поля $ \boldsymbol{q}_{j}(\boldsymbol{x})$ и $\boldsymbol{q}_{j}^\pm(\boldsymbol{x})$ градиента дивергенции и ротора известны, то элементы $\boldsymbol{f}_\mathcal{A}\in \mathcal{A}$ и $\boldsymbol{f}_\mathbf{V}\in \mathcal{B}=\textbf{V}^0 $ представляются рядами Фурье: \begin{equation} \label{eqno:(4.1)} \boldsymbol{f}_\mathcal{A}= \sum_{j=1}^{\infty} (\boldsymbol{f},{\boldsymbol{q}}_{j}) \boldsymbol{q}_{j }(\boldsymbol{x}), \quad \boldsymbol{f}_\mathbf{V}=\sum_{j=1}^{\infty} \bigl[(\boldsymbol{f},{\boldsymbol{q}}_{j}^{+}) \boldsymbol{q}_{j}^{+}(\boldsymbol{x})+ (\boldsymbol{f},{\boldsymbol{q}}_{j}^{-}) \boldsymbol{q}_{j}^{-}(\boldsymbol{x})\bigr], \end{equation} а элемент $\boldsymbol{f}$ из $\mathbf{L}_2(\Omega)$ --- их суммой $\boldsymbol{f}_\mathcal{A}+\boldsymbol{f}_\mathbf{V}$. Причем $ \mathop{\rm div} \boldsymbol{f}= \mathop{\rm div} \boldsymbol{f}_\mathcal{A}$, а $\mathop{\rm rot} \boldsymbol{f} \hm = \mathop{\rm rot} \boldsymbol{f}_\mathbf{V}$, так как $ \mathop{\rm rot} \boldsymbol{f}_\mathcal{A}=0$ в $\mathcal{A}$ и $\mathop{\rm div} \boldsymbol{f}_\mathbf{V}=0$ в~$\mathcal{B}$. Скалярное произведение $(\boldsymbol{f}, \boldsymbol{g})$ полей $\boldsymbol{f}$, $\boldsymbol{g}$ из $\mathbf{L}_2(\Omega)$ равно $(\boldsymbol{f}_\mathcal{A}, \boldsymbol{g}_\mathcal{A})+(\boldsymbol{f}_\mathbf{V}, \boldsymbol{g}_\mathbf{V})$. Представления операторов $\mathcal{N}_d$ в $ \mathcal{A}_{\gamma }$, $S$ в $ \mathcal{B}$ и~обратных имеют вид \begin{gather*} \mathcal{N}_d \boldsymbol{f}_\mathcal{A}= -\sum_{j=1}^{\infty}\nu ^2_j (\boldsymbol{f},{\boldsymbol{q}}_{j}) \boldsymbol{q}_{j }, \quad S \boldsymbol{f}_\mathbf{V}=\sum_{j=1}^{\infty}\lambda_{j} \bigl[(\boldsymbol{f},{\boldsymbol{q}}_{j}^{+}) \boldsymbol{q}_{j}^{+}- (\boldsymbol{f},{\boldsymbol{q}}_{j}^{-}) \boldsymbol{q}_{j}^{-}\bigr], \mathcal{N}_d ^{-1}\boldsymbol{f}_\mathcal{A}= -\sum_{j=1}^{\infty}\nu ^{-2}_j (\boldsymbol{f},{\boldsymbol{q}}_{j}) \boldsymbol{q}_{j }, \quad S^{-1}\boldsymbol{f}_\mathbf{V}=\sum_{j=1}^{\infty} \lambda_{j}^{-1}\bigl[(\boldsymbol{f},{\boldsymbol{q}}_{j}^{+}) \boldsymbol{q}_{j}^{+}- (\boldsymbol{f},{\boldsymbol{q}}_{j}^{-}) \boldsymbol{q}_{j}^{-} \bigr]. \end{gather*} Рассмотрим пространства \[ \mathbf{A}^{2k}_{\gamma }\equiv \{\boldsymbol{f}\in \mathcal{A}_{\gamma }, \dots, (\nabla \mathop{\rm div})^k \boldsymbol{f}\in \mathcal{A}_{\gamma }\} ~~~ \text{и} ~~~ \mathbf{W}^m \equiv \{\boldsymbol{g}\in \textbf{V}^0, \dots, \mathop{\rm rot}\nolimits^m \boldsymbol{g} \in \textbf{V}^0\} \] при $k\geq 1$, $m\geq1$; $ \mathbf{A}^{0}_{\gamma }\equiv \mathcal{A}$, $\mathbf{W}^{0}\equiv \textbf{V}^{0}\equiv \mathcal{B}$. Имеют место вложения \begin{equation} \label{eqno:(4.2)} \mathbf{A}^{2k}_{\gamma }\subset \mathbf{A}^{2(k-1)}_{\gamma } \subset \mathbf{A}^{2}_{\gamma } \subset \mathcal{A}_{\gamma } , \quad \mathbf{W}^m\subset \mathbf{W}^{m-1}\subset\dots \subset \mathbf{W}^1\subset \textbf{V}^{0}. \end{equation} Прямую сумму векторных пространств $ \mathbf{A}^{2k}_{\gamma }\oplus \mathbf{W}^m$ обозначим как $C(2k, m)$ и назовем классом; $k\geq 0$, $m\geq 0 $ --- целые, $k+m>0$. Операторы $(\mathcal{N}_d^{-1}, I)$, $(I, S^{-1})$ и $(\mathcal{N}_d^{-1}, S^{-1})$ отображают класс $C(2k, m)$ на классы $C(2(k+1), m)$, $C(2k, m+1)$ и $C(2(k+1), m+1)$ и~обратно (пп.~\hyperlink{S1.5}{1.5} и~\hyperlink{S1.7}{1.7}). \hypertarget{S4.2}{} \smallskip \Section[n] {4.2. Пространство $\bf \mathbf{E}^{\boldsymbol s}(\boldsymbol \Omega)$, $\boldsymbol s \bf \geq 0$ --- целое} Это пространство определяется в [21] так: $$ \mathbf{E}^{s}=\{\boldsymbol{f}\in \mathbf{H}^{s}: \mathop{\rm div}\boldsymbol{f}\in {H}^{s}\}. $$ Квадрат нормы $ \| \boldsymbol{f}\|_{E^s}^2= \| \boldsymbol{f}\|_s^2+ \| \mathop{\rm div}\boldsymbol{f}\|_s^2 = \| \boldsymbol{f}_\mathcal{A}\|_s^2+ \|\mathop{\rm div} \boldsymbol{f}_\mathcal{A}\|_s^2+ \| \boldsymbol{f}_\mathbf{V}\|_s^2;$ $ \mathbf{E}^{s}$ --- гильбертово пространство и \begin{equation} \label{eqno:(4.3)} \mathbf{C}_0^{\infty}(\Omega)\subset \mathbf{E}^{s}(\Omega), \quad \mathbf{H}^{s+1}(\Omega)\subset \mathbf{E}^{s}(\Omega) \subset\mathbf{H}^s(\Omega). \end{equation} Очевидно, что $\mathop{\rm rot} \boldsymbol{u}+\lambda \boldsymbol{u}\in \mathbf{E}^{s}(\Omega)$, если $\boldsymbol{u}\in \mathbf{H}^{s+1}(\Omega)$. Для функций $v$ из пространства $H^1(\Omega)$ определен [2] оператор {\it следа} $$\gamma :H^1(\Omega) \to H^{1/2}(\omega),$$ равный следу $v$ на границе $\omega$ для функций из $\mathcal{C}^1(\overline{\Omega})$: $\gamma v=v|_\omega$, причем $ \|\gamma v\|_{L_2(\omega)}\leq c \|v\|_{H^1(\Omega)}$. Аналогично, для поля $\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x})$ из $\mathbf{E}^0(\Omega)$ определен [21] оператор {\it следа ее нормальной компоненты $\boldsymbol{n}\cdot \boldsymbol{u}$}, $\gamma_{\boldsymbol{n}} :\mathbf{E}^0(\Omega) \to H^{-1/2}(\omega)$, равный сужению $\boldsymbol{n}\cdot \boldsymbol{u}$ на $\omega$ для функций из $\mathcal{C}^1(\overline{\Omega})$: $\gamma_{\boldsymbol{n}} \boldsymbol{u}={\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{u}|_\omega$. Для $\boldsymbol{u}\in \mathbf{E}^0(\Omega)$ и $v\in H^1(\Omega)$ верна обобщенная формула Стокса: $$\langle \gamma_{\boldsymbol{n}} {\boldsymbol{u}},\gamma v \rangle= (\boldsymbol{u}, \nabla v)+( \mathop{\rm div}\boldsymbol{u}, v),$$ где $\langle\gamma_{\boldsymbol{n}} {\boldsymbol{u}},\gamma v \rangle$ --- линейный функционал над пространством $H^{1/2}(\omega)$; $$\mathbf{{E}}_{\gamma}^0(\Omega)\equiv \{\boldsymbol{f}\in\mathbf{E}^0:\gamma_{\boldsymbol{n}}\boldsymbol{f}=0\}.$$ \hypertarget{S4.3}{} \smallskip \Section[n] {4.3. Метод Фурье решения краевых задач в $\mathbf{L}_{\bf 2}(\boldsymbol \Omega)$} Пусть в $\mathbf{L}_{2}(\Omega)$ задано поле $\boldsymbol{f}$. Рассмотрим следующие задачи. \smallskip \hypertarget{saks:task:1}{} {\small\sc Задача 1.} {\it Найти поле $\boldsymbol{u}$ в $ \mathbf{L}_{2}(\Omega)$ такое$,$ что \begin{equation} \label{eqno:(4.4)} \mathop{\rm rot} \boldsymbol{u}+\lambda \boldsymbol{u}= \boldsymbol{f} ~~~ \text{в} ~~~ \mathbf{L}_{2}(\Omega), %\quad \gamma_{\boldsymbol n} \boldsymbol{u} =0, \end{equation} то есть $(\boldsymbol{u}, ( \mathop{\rm rot}+\lambda I)\boldsymbol{ v})= ( \boldsymbol{f}, \boldsymbol{v})$ для любого поля} $\boldsymbol{v}\in \mathbf{C}_0^{\infty}(\Omega)$ %, {\it если след $\gamma_{\boldsymbol n} \boldsymbol{u}$ существует} ({\it см$.$ п}.~\hyperlink{S4.2}{4.2}) {\it и} $\gamma_{\boldsymbol n} \boldsymbol{u} =0.$ {\it и $ \gamma_{\mathbf{n}} {\mathbf{u}}=0,$ если след $\gamma_{\mathbf{n}} {\mathbf{u}}$ существует}. \smallskip \hypertarget{saks:task:2}{} {\small\sc Задача 2.} {\it Найти поле $\boldsymbol{w}$ в $\mathbf{L}_{2}(\Omega)$ такое$,$ что} \begin{equation} \label{eqno:(4.5)} \nabla \mathop {\rm div} \boldsymbol{w}+\nu^2\boldsymbol{w}= \boldsymbol{f} ~~~ \text{в} ~~~ \mathbf{L}_{2}(\Omega) % \quad \gamma_{\boldsymbol n} \boldsymbol{w} =0, \end{equation} {\it и $ \gamma_{\mathbf{n}} {\mathbf{w}}=0,$ если след $\gamma_{\mathbf{n}} {\mathbf{w}}$ существует}. %{\it если след $\gamma_{\boldsymbol n} \boldsymbol{w}$ существует} ({\it см$.$ п}.~\hyperlink{S4.2}{4.2}) {\it и} $\gamma_{\boldsymbol n} \boldsymbol{w} =0$. \smallskip Перейдем {\it в объемлющее пространство} $\mathbf{L}_{2}(\Omega)= \mathcal{A} \oplus \mathcal{B}$. Используя разложение полей $\boldsymbol{f}$, $\boldsymbol{u}$ и $\boldsymbol{w}$ из $\mathbf{L}_2(\Omega)$ в суммы $\boldsymbol{f}_\mathcal{A}+\boldsymbol{f}_\mathbf{V}$, $\boldsymbol{u}_\mathcal{A}+\boldsymbol{u}_\mathbf{V}$ и $\boldsymbol{w}_\mathcal{A}+\boldsymbol{w}_\mathbf{V}$ и~расширения $S$ и $\mathcal{N}_d$ операторов ротор и градиент дивергенции, запишем эти уравнения в виде уравнений=проекций \begin{gather} \label{eqno:(4.6)} \lambda\boldsymbol{u}_\mathcal{A}=\boldsymbol{f}_\mathcal{A}, \quad (\mathcal{N}_d+\nu^2 I)\boldsymbol{w}_\mathcal{A}=\boldsymbol{f}_\mathcal{A} ~~~ \text{в} ~~~ \mathcal{A}; \label{eqno:(4.7)} (S+\lambda I)\boldsymbol{u}_\mathbf{V}=\boldsymbol{f}_\mathbf{V}, \quad \nu^2\boldsymbol{w}_\mathbf{V}=\boldsymbol{f}_\mathbf{V}, ~~~ \text{в} ~~~ \mathcal{B}, \end{gather} учитывая, что $\mathop{\rm rot} \boldsymbol{u}_\mathcal{A}=0$ в $ \mathcal{A}$, $ \nabla\mathop{\rm div} \boldsymbol{u}_\mathbf{V}=0$ в $ \mathcal{B}\equiv \textbf{V}^0$. \smallskip {\small\sc Замечание.} {\small Если пространство $\mathbf{C} \equiv \mathcal{B}_H(G)$ не пусто и $\lambda\neq 0$, то уравнение $(\nabla\mathop{\rm div} +\mathop{\rm rot} +\lambda I)\boldsymbol{u}=\boldsymbol{f}$ распадается на три проекции: \begin{equation} \label{eqno:(4.8)} (\mathcal{N}_d+\lambda I)\boldsymbol{u}_\mathcal{A}=\boldsymbol{f}_\mathcal{A}, \quad (S+\lambda I)\boldsymbol{u}_\mathbf{V}=\boldsymbol{f}_\mathbf{V}, \quad \lambda\boldsymbol{u}_\mathbf{C}=\boldsymbol{f}_\mathbf{C} \end{equation} --- уравнения второго, первого и нулевого порядков соответственно.} \smallskip % теоремы~\hyperlink{saks:th3}{3} и оценок следует лемма~\hyperlink{saks:lemma1}{1} Согласно теореме~\hyperlink{saks:th3}{3} и леммам~\hyperlink{saks:lemma1}{1},~\hyperlink{saks:lemma2}{2}, уравнения $$ (S+\lambda I)\boldsymbol{u}_\mathbf{V}=\boldsymbol{f}_\mathbf{V} ~~~ \text{и} ~~~ (\mathcal{N}_d+\nu^2 I)\boldsymbol{u}_\mathcal{A}=\boldsymbol{f}_\mathcal{A}$$ разрешимы по Фредгольму. При $\lambda\neq \mathop{\rm Sp} (\mathop{\rm rot})$ проекции решения задачи~\hyperlink{saks:task:1}{1} имеют вид \begin{equation} \label{eqno:(4.9)} {\boldsymbol{u}_{\mathcal{A}}}={\lambda}^{-1}\boldsymbol{f}_\mathcal{A}, \quad \boldsymbol{u}_\mathbf{V}=(S+\lambda I)^{-1} \boldsymbol{f}_\mathbf{V}. \end{equation} Действительно, формулы \eqref{eqno:(4.9)} получаются из формул \eqref{eqno:(4.6)}, \eqref{eqno:(4.7)} и~обратимости оператора $S+\lambda I$ при $\lambda\neq \mathop{\rm Sp} (\mathop{\rm rot})$ в $ \textbf{V}^0$ (теорема~\hyperlink{saks:th3}{3}, п.~\hyperlink{S1.5}{1.5}). %\begin{itemize} %\item[--] % если % $\boldsymbol{f}=\boldsymbol{f}_{\mathcal{A}}$ и $\boldsymbol{f}_{\mathcal{A}}\in \mathcal{A}$ или $\boldsymbol{f}_{\mathcal{A}}\in\mathcal{A}_{\gamma},$ %то $\boldsymbol{u}= {\lambda}^{-1}\boldsymbol{f}_{\mathcal{A}}\in %\mathcal{A}$ или $\boldsymbol{u}\in \mathcal{A}_{\gamma} $ --- обобщенные решения %задачи~\hyperlink{saks:task:1}{\rm 1}$;$ % %\item[--] % если $\boldsymbol{f}\in \mathcal{B}\bot \mathcal{A}$ в % $\mathbf{L}_{2}(\Omega),$ то % $\boldsymbol{u}=(S+\lambda)^{-1}\boldsymbol{f}_{\textbf{\bf V}}\in \mathbf{W}^1\subset \mathbf{H}^{1}_{\gamma}(\Omega);$ % %\item[--] % если $\boldsymbol{f}\in\mathbf{E}_{\gamma}^{0}(\Omega),$ то $\boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\mathcal{A}}+\boldsymbol{u}_{\textbf{\bf V}}\in \mathbf{H}^{1}_{\gamma}(\Omega);$ % %\item[--] % если $\boldsymbol{f}$ принадлежит классу $C(2k, m),$ то $\boldsymbol{u}\in C(2k, m+1);$ % % %\item[--] % если же $\boldsymbol{f}\in \mathcal{D}(\Omega),$ то ряды \eqref{eqno:(1.16)}$,$ \eqref{eqno:(1.17)} сходятся в~$\mathbf{H}^{s}(\Omega)$ % для любого $s\geq 1$ и $\boldsymbol{u}\in % C^{\infty}(\overline{\Omega})$ --- классическое решение задачи. %\end{itemize} %\end{theorem} %\newpage % Рассмотрим утверждения теоремы~\hyperlink{saks:th5}{5} и прокомментируем их: \smallskip \begin{itemize} \item[--] {\it если $\boldsymbol{f}=\boldsymbol{f}_{\mathcal{A}}$ и $\boldsymbol{f}_{\mathcal{A}}\in \mathcal{A}$ или $\boldsymbol{f}_{\mathcal{A}}\in\mathcal{A}_{\gamma},$ то $\boldsymbol{u}= {\lambda}^{-1}\boldsymbol{f}_{\mathcal{A}}\in \mathcal{A}$ или $\boldsymbol{u}\in \mathcal{A}_{\gamma} $ --- обобщенные решения задачи~\hyperlink{saks:task:1}{\rm 1}$.$} \smallskip Эти ряды являются обобщенными решениями уравнения \eqref{eqno:(4.4)}; \end{itemize} \smallskip \smallskip % Если $\boldsymbol{f}\in \mathcal{B}\bot \mathcal{A}$ в % $\mathbf{L}_{2}(\Omega)$, то % $\boldsymbol{u}=(S+\lambda)^{-1}\boldsymbol{f}_\boldsymbol{v}\in \mathbf{W}^1\subset \mathbf{H}^{1}_{\gamma}(\Omega)$. % % Если $\boldsymbol{f}\in\mathbf{E}_{\gamma}^{0}(\Omega)$, то $\boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\mathcal{A}}+\boldsymbol{u}_\boldsymbol{v}\in \mathbf{H}^{1}_{\gamma}(\Omega)$. \begin{itemize} \item[--] {\it если $\boldsymbol{f}\in \mathcal{B}\bot \mathcal{A}$ в $\mathbf{L}_{2}(\Omega),$ то $\boldsymbol{u}={(S+\lambda I)^{-1}}\boldsymbol{f}_{\textbf{\bf V}}\in \mathbf{W}^1\subset \mathbf{H}^{1}_{\gamma}(\Omega);$} \item[--] {\it если $\boldsymbol{f}\in\mathbf{E}_{\gamma}^{0}(\Omega),$ то $\boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\mathcal{A}}+\boldsymbol{u}_{\textbf{\bf V}}\in \mathbf{H}^{1}_{\gamma}(\Omega).$} \smallskip Действительно, если $ \boldsymbol{f}\,{\in}\, \mathbf{H}^{0}\,{=}\,\mathbf{L}_{2}(\Omega)$ и $ \mathop{\rm div}\boldsymbol{f}\,{\in}\, {H}^{0}$, то $\boldsymbol{f}_{\mathcal{A}}\,{\in}\, \mathbf{H}^{0}$ и $ \mathop{\rm div}\boldsymbol{f}_{\mathcal{A}}= $\linebreak $=\mathop{\rm div}\boldsymbol{f}\in {H}^{0}$, так как $\mathop{\rm div} \boldsymbol{f}_{\mathbf{V}}=0$. Кроме того, $\mathop{\rm rot} \boldsymbol{f}_\mathcal{A}=0$ и $\gamma_{\boldsymbol{n}} {\boldsymbol{f}}_\mathcal{A}=0$. Из оценки \eqref{eqno:(1.4)} при $s=0$ поле $\boldsymbol{f}_{\mathcal{A}}\in \mathbf{H}^{1}_{\gamma}$, значит $\boldsymbol{u}_{\mathcal{A}}={\lambda}^{-1}\boldsymbol{f}_\mathcal{A}\in \mathbf{H}^{1}_{\gamma}(\Omega)$. Так как $\boldsymbol{u}_\mathbf{V}={(S+\lambda I)^{-1}} \boldsymbol{f}_\mathbf{V}$ также принадлежит $ \mathbf{H}^{1}_{\gamma}$, то $\boldsymbol{u}\in \mathbf{H}^{1}_{\gamma}(\Omega)$; \end{itemize} \smallskip \smallskip \begin{itemize} \item[--] {\it если $\boldsymbol{f}$ принадлежит классу $C(2k, m),$ то $\boldsymbol{u}\in C(2k, m+1);$} \item[--] {\it если же $\boldsymbol{f}\in \mathcal{D}(\Omega),$ то ряды \eqref{eqno:(1.16)}$,$ \eqref{eqno:(1.17)} сходятся в~$\mathbf{H}^{s}(\Omega)$ для любого $s\geq 1$ и $\boldsymbol{u}\in C^{\infty}(\overline{\Omega})$ --- классическое решение задачи}. \smallskip Если $\boldsymbol{f}\in C(2k, m)$, то согласно \eqref{eqno:(4.9)} $\boldsymbol{u}\in C(2k, m+1)$. % Если же $\boldsymbol{f}\in\mathbf{C}_0^{\infty}(\Omega)$, то ряды \eqref{eqno:(1.16)}, \eqref{eqno:(1.17)} сходятся в $\mathbf{H}^{s}(\Omega)$ % для любого $s\geq 1$ и $\boldsymbol{u}\in % C^{\infty}(\overline{\Omega})$ --- классическое решение задачи. Последнее утверждение очевидно. \end{itemize} Теорема~\hyperlink{saks:th5}{5} доказана. \smallskip {\small\sc Замечание. }{\small В~случае шара эта теорема имеет наиболее натуральный вид. Сог\-лас\-но [17], собственные значения $\lambda_{n,m}$ оператора $S$ в шаре радиуса $R$ равны $\pm \rho_{n,m} R^{-1}\!$, где числа $\pm \rho_{n,m}$ --- нули функций $\psi_n(r)$ (см. \eqref{eqno:(1.18)}), $m$, $n\in {\mathbb {N}}$; кратность собственного значения $\lambda_{n,m}$ равна $2n+1$. Собственные поля $\boldsymbol{q}^{\pm}_{\kappa}(\boldsymbol{x})$ ротора и $\boldsymbol{q}_{\kappa}(\boldsymbol{x})$ градиента дивергенции, $ \kappa=(n,m,k)$, выражены явно через сферические функции и функции~$\psi_n(r)$.} \smallskip Из теоремы~\hyperlink{saks:th5}{5} и леммы~\hyperlink{saks:lemma1}{1} очевидно следуют лемма~\hyperlink{saks:lemma3}{3} и ее следствие. Решение краевой задачи \hyperlink{saks:task:2}{2} при $\lambda\neq \operatorname{Sp} (\nabla \operatorname{div})$ аналогично [19]. Таким образом, задачи \hyperlink{saks:task:1}{1} и \hyperlink{saks:task:2}{2} решены полностью. \hypertarget{S4.4}{} \smallskip \Section[n] {4.4. О приложениях} Собственные поля ротора имеют приложения в гидродинамике [6], где они называются полями Бельтрами; в~астрофизике и~в~физике плазмы они называются бессиловыми полями (force-free magnetic fields --- L.~Woltjer [22], free-decay fields --- J.~B.~Taylor~[23]). В.~И.~Арнольд [24] и~В.~В.~Козлов [25] изучали топологию линий тока течений идеальной жидкости при условии $[\mathop{\rm rot }\boldsymbol{v}, \boldsymbol{v}]\neq 0$. Об этих и других работах подробно написано в~работе [17]. Отметим еще работы L.~Woltjer [22, 26], который ввел понятие спиральности (helicity) гладкого векторного поля в~области $\Omega \subset \mathbb {R}^3$. J.~Cantarella, D.~DeTurck, H.~Gluck и M.~Teytel [27] изучили линии тока собственных полей ротора с~минимальным собственным значением в~шаре и~в~шаровом слое. Автор вывел формулы собственных полей ротора и градиента дивергенции в шаре для любых собственных значений (см. [17, 28, 29]). [27] и~опубликованные в [28] примерно в~то же время, дополняют формулы, приведенные в~[27], которые получены, следуя работам [22, 26]. Установлена связь собственных полей ротора и Стокса [17, 30]. Для нелинейной системы Навье--~Стокса с~периодическими граничными условиями найдены явные решения [31]. Совместно с~А.~Г.~Хайбуллиным автор разработал новый метод численного решения задачи Коши [32, 33]. Профессор Г.~Г.~Исламов [34], используя формулу из работы [30], осуществил визуализацию линий тока поля $u_{1,1,0}^{+}(\boldsymbol{x})$ ротора с~минимальным собственным значением в~шаре.\hyperlink{Foot:8}{$^6$}\footnotetext{\hypertarget{Foot:8}{$^6$} Данная визуализация была представлена Г.~Г.~Исламовым в~докладе <<Моделирование полей смещения вакуума в системе ``Mathematica''>> на 4-ой Российской конференции по~технологиям Wolfram (г.~Санкт--Петербург, 6--7 июня 2016~г.). На момент написания данной статьи материалы этого доклада были доступны по следующей ссылке: \mbox{\url{http://wac.36f4.edgecastcdn.net/0036F4/pub/www.wolfram.com/pdf/report-islamov.pdf}.} Представленный рисунок получен с помощью программы, переданной автору Г.~Г.~Исламовым.} Траектория движения отдельной точки напоминает нить, которая наматывается на тороидальную катушку (см.~рисунок). \begin{figure}[h] \centering \includegraphics[scale=.8]{saks_fig} \caption*{Катушка Исламова [Islamov Coil]} \end{figure} В работе М. Е. Боговского [35] исследована задача Дирихле для оператора дивергенции, важная в гидродинамике (см. [6, § 2 гл. 1]). Cтатья В. Н. Масленниковой и М. Е. Боговского [36] содержит обзор работ по решению задачи С. Л. Соболева [5] и~\textit{аппроксимации потенциальных и~соленоидальных векторных полей финитными бесконечно дифференцируемыми полями}. В частности, они пишут, что в~1976~г. J.~Heywood [37] построил соленоидальное векторное поле в~$W_2^1(\Omega )$, которое не аппроксимируется векторными полями из $J^{\infty}_{0}(\Omega)=\{\boldsymbol{u}\in C^{\infty}_{0}(\Omega) :\mathop {\rm div} \boldsymbol{u}=0 \}$.

About the authors

Romen Semenovich Saks

Institute of Mathematics with Computing Centre, Ufa Federal Research Centre, Russian Academy of Sciences

Email: romen-saks@yandex.ru

Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. Соболев С. Л., Введение в теорию кубатурных формул, Наука, М., 1974, 810 с.
  2. Михайлов В. П., Дифференциальные уравнения в частных производных, Наука, М., 1975, 392 с.
  3. Weyl H., "The method of orthogonal projection in potential theory", Duke Math. J., 7:1 (1940), 411-444
  4. Borchers W., Sohr H., "On the equations and with zero boundary conditions", Hokkaido Math. J., 19:1 (1990), 67-87
  5. Соболев С. Л., "Об одной новой задаче математической физики", Изв. АН СССР. Сер. матем., 18:1 (1954), 3-50
  6. Ладыженская O. A., Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости, Наука, М., 1970, 288 с.
  7. Friedrichs K. O., "Differential forms on riemannian manifolds", Comm. Pure Appl. Math., 8:2 (1955), 551-590 pp.
  8. Быховский Э. Б., Смирнов Н. В., "Об ортогональном разложении пространства вектор-функций, квадратично суммируемых по заданной области, и операторах векторного анализа", Математические вопросы гидродинамики и магнитной гидродинамики для вязкой несжимаемой жидкости, Сборник работ, Тр. МИАН СССР, 59, Изд-во АН СССР, М.-Л., 1960, 5-36
  9. Yoshida Z., Giga Y., "Remarks on spectra of operator rot", Math. Z., 204 (1990), 235–245
  10. Зорич В. А., Математический анализ. Часть II, Наука, М., 1984, 640 с.
  11. Солонников В. А., "Переопределенные эллиптические краевые задачи", Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 5, Зап. научн. сем. ЛОМИ, 21, Изд-во «Наука», Ленинград. отд., Л., 1971, 112-158
  12. Сакс Р. С., "О краевых задачах для системы ", Дифференц. уравнения, 8:1 (1972), 126-133
  13. Волевич Л. Р., "Разрешимость краевых задач для общих эллиптических систем", Матем. сб., 68(110):3 (1965), 373-416
  14. Bourguignon J. P., Brezis H., "Remarks on the Euler equation", J. Funct. Anal., 15:4 (1974), 341-363
  15. Foias C., Temam R., "Remarques sur les equations de Navier-Stokes stationnaireset les phenomènes successifs de bifurcation", Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa - Classe di Scienze, Serie 4, 5:1 (1978), 29-63
  16. Вайнберг Б. Р., Грушин В. В., "О равномерно неэллиптических задачах. I", Матем. сб., 72(114):4 (1967), 602-636
  17. Сакс Р. С., "Решение спектральных задач для операторов ротора и Стокса", Уфимск. матем. журн., 5:2 (2013), 63-81
  18. Владимиров В. С., Уравнения математической физики, Наука, М., 1988, 512 с.
  19. Сакс Р. С., "Оператор градиент дивергенции и пространства Соболева", Динамические системы, 8:4 (2018), 385-407
  20. Сакс Р. С., "О свойствах обобщенно эллиптических псевдодифференциальных операторов на замкнутых многообразиях", Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 28, Зап. научн. сем. ПОМИ, 243, ПОМИ, СПб., 1997, 215-269
  21. Temam R. I., Navier-Stokes Equations: Theory and Numerical Analysis, North-Holland, Amsterdam, 1984
  22. Woltjer L., "A theorem on force-free magnetic fields", Proc. Nat. Acad. Sci., 44 (1958), 489-491
  23. Taylor J. B., "Relaxation of toroidal plasma and generation of reverse magnetic fields", Phys. Rev. Letters, 33:19 (1974), 1139-1141
  24. Arnold V. I., "Sur la topologie des ecoulements stationnaires des fluides parfaits", C. R. Acad. Sci. Paris, 261 (1965), 17-20
  25. Козлов В. В., Общая теория вихрей, Удмурт. гос. унив., Ижевск, 1998, 240 с.
  26. Woltjer L., "The Crab Nebula", Bull. Astron. Inst. Netherlands, 14 (1958), 39-80
  27. "The spectrum of the operator on spherically symmetric domains", Physics of Plasmas, 7 (2000), 2766-2775
  28. Сакс Р. С., "Спектр оператора вихря в шаре при условии непротекания и собственные значения колебаний упругого шара, закрепленного на границе", Труды конф. «Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы», IV. Прикладная математика, Уфа, 2000, 61-68
  29. Saks R. S., "On the spectrum of the operator ", Progress in Analysis, Proceedings of the 3rd ISAAC Congress (Berlin, Germany, 20–25 August 2001), v. 1, 2003, 811-819
  30. Сакс Р. С., "Собственные функции операторов ротора, градиента дивергенции и Стокса. Приложения", Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2013, № 2(31), 131-146
  31. Сакс Р. С., "Глобальные решения уравнений Навье-Стокса в равномерно вращающемся пространстве", ТМФ, 162:2 (2010), 196-215
  32. Сакс Р. С., Хайбуллин А. Г., "Об одном методе численного решения задачи Коши для уравнений Навье-Стокса и рядах Фурье оператора ротор", Докл. РАН, 429:1 (2009), 22-27
  33. Сакс Р. С., "Задача Коши для уравнений Навье-Стокса, метод Фурье", Уфимск. матем. журн., 3:1 (2011), 53-79
  34. Исламов Г. Г., "Об одном классе векторных полей", Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 19:4 (2015), 680-696
  35. Боговский М. Е., "Решение некоторых задач векторного анализа, связанных с операторами и ", Труды семинара С. Л. Соболева, 1980, № 1, 5–40
  36. Масленникова В. Н., Боговский М. Е., "Аппроксимация потенциальных и соленоидальных векторных полей", Сиб. матем. журн., 24:5 (1983), 149–171
  37. Heywood J. G., "On uniquness questions in theory of viscous flow", Acta Math., 136:2 (1976), 61-102
  38. Сакс Р. С., "Ортогональные подпространства пространства и самосопряженные расширения операторов ротора и градиента дивергенции", Докл. РАН, 462:3 (2015), 278-282
  39. Сакс Р. С., "Оператор градиент дивергенции в ", Докл. РАН, 462:5 (2015), 61-65
  40. Сакс Р. С., "Оператор ротор в пространстве ", Таврический вестник информатики и математики, 2015, № 1, 87-103

Statistics

Views

Abstract - 31

PDF (Russian) - 5

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2020 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies