Sobolev spaces and boundary-value problems for the curl and gradient-of-divergence operators

Full Text

\centerline{\textbf{1. Основные подпространства ${\mathbf{L}}_{\mathbf{2}}\mathbf{(}\mathbf{G}\mathbf{)}$}} % результаты \smallskip \Section[n]{1.1. Шкала пространств Соболева} Рассматриваются линейные пространства над полем $\mathbb{C}$ комплексных чисел. Через ${\mathbf{L}}_2(G)$ обозначаем пространство Лебега вектор-функций (полей), квадратично интегрируемых в $G$ с внутренним произведением $(\mathit{u},\mathit{v})={\int }_G\mathit{u}\cdot \bar{\mathit{v}}d\mathit{x}$ и~нормой $\Vert \mathit{u}\Vert =(\mathit{u},\mathit{u}{)}^{1/2}$. Пространство Соболева, состоящее из полей, принадлежащих ${\mathbf{L}}_2(G)$ вместе с обобщенными производными до порядка $s>0$, обозначается через ${\mathbf{H}}^s(G)$, $\Vert \mathit{f}{\Vert }_s$ --- норма его элемента $\mathit{f}$; ${\mathbf{H}}^0(G)\equiv {\mathbf{L}}_2(G)$. Замыкание в~${\mathbf{H}}^s(G)$ множества ${\mathcal{C}}_0^{\mathrm{\infty }}(G)$ обозначается через ${\mathbf{H}}_0^s(G)$. Пространство Соболева отрицательного порядка ${\mathbf{H}}^{-s}(G)$ двойственно к~${\mathbf{H}}_0^s(G)$ (см. пространство $W_2^{(m)}(\mathrm{\Omega })$ у С.~Л.~Соболева [1, § 9 гл. 12] и $H^k(Q)$ у В.~П.~Михайлова [2, § 4 гл. 3]). В области $G$ с гладкой границей $\mathrm{\Gamma }$ в каждой точке $y\in \mathrm{\Gamma }$ определена нормаль $\mathit{n}(y)$ к $\mathrm{\Gamma }$. Поле $\mathit{u}$ из ${\mathbf{H}}^{s+1}(G)$ имеет след $\gamma (\mathit{n}\cdot \mathit{u})$ на $\mathrm{\Gamma }$ его нормальной компоненты, который принадлежит пространству Соболева--~Слободецкого ${\mathbf{H}}^{s+1/2}(G)$, $|\gamma (\mathit{n}\cdot \mathit{u}){|}_{s+1/2}$ --- его норма. \smallskip \Section[n]{1.2. Разложение ${\mathbf{L}}_{\mathbf{2}}\mathbf{(}\mathbf{G}\mathbf{)}$ на два класса $\mathcal{A}$ и~$\mathcal{B}$ потенциальных и~соленоидальных полей} Пусть $h$ --- функция из $H^1(G)$, а $\mathit{u}=\mathrm{\nabla }h$ --- ее градиент. Обозначим $\mathcal{A}(G)=\{\mathrm{\nabla }h,h\in H^1(G)\}$ --- подпространство в~${\mathbf{L}}_2(G)$, а~через $\mathcal{B}(G)$ --- его ортогональное дополнение. Соотношения $(\mathit{u},\mathrm{\nabla }h)=0$ для любой $h\in H^1(G)$ означают, что $\mathcal{B}(G)=\{\mathit{u}\in {\mathbf{L}}_2(G):\mathrm{div}\mathit{u}=0,\gamma (\mathit{n}\cdot \mathit{u})=0\}.$ Итак, \footnotetext{${}^1$ Это разложение взято из статьи Z.~Yoshida и Y.~Giga [9]. Авторы называют его разложением Вейля [3], а~$\mathcal{B}(\mathrm{\Omega })$ обозначают как $L_{\sigma }^2(\mathrm{\Omega })$.} $${\mathbf{L}}_2(G)=\mathcal{A}(G)\oplus \mathcal{B}(G){.}^1$$ {\small\sc Замечание.} { \small В разложении Г.~Вейля $L_2(G)\equiv {\mathfrak{F}}_0=\mathfrak{G}+{\mathfrak{F}}^{\prime }$, где $\mathfrak{G}$ есть замыкание в норме $L_2$ градиентов $\mathrm{\nabla }\psi$ функций $\psi \in {\mathcal{C}}_0^1(G)$, а ${\mathfrak{F}}^{\prime }$ --- множество соленоидальных элементов в~${\mathfrak{F}}_0$ [3, Теорема~II]. \smallskip Если граница области $G$ имеет положительный род $\rho$, то $\mathcal{B}$ содержит в~себе конечномерное подпространство $${\mathcal{B}}_H=\{\mathit{u}\in {\mathbf{L}}_2(G):\mathrm{rot}\mathit{u}=0,\mathrm{div}\mathit{u}=0,\gamma (\mathit{n}\cdot \mathit{u})=0\}.$$ Его размерность равна $\rho$ [4], а базисные поля ${\mathbf{h}}_j\in {\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}(G)$ [3]. Ортогональное дополнение в $\mathcal{B}$ к~${\mathcal{B}}_H$ назовем классом вихревых полей и~обозначим ${\mathbf{\text{V}}}^0(G)$. Значит, \footnotetext{${}^2$ В [9] $L_{\sigma }^2(\mathrm{\Omega })=L_{\mathrm{\Sigma }}^2(\mathrm{\Omega })\oplus L_H^2(\mathrm{\Omega })$. Символ $L$ перегружен. Автор изменил авторские обозначения пространств $L_{\mathrm{\Sigma }}^2(\mathrm{\Omega })$ и $L_H^2(\mathrm{\Omega })$ на ${\mathbf{\text{V}}}^0(\mathrm{\Omega })$ и ${\mathcal{B}}_H(\mathrm{\Omega })$. } $$\mathcal{B}(G)={\mathcal{B}}_H(G)\oplus {\mathbf{\text{V}}}^0(G){.}^2$$ По определению ${\mathcal{A}}_{\gamma }=\{\mathrm{\nabla }h,h\in H^2(G),\gamma (\mathit{n}\cdot \mathrm{\nabla })h=0\}.$ \smallskip {\small\sc Замечание.} { \small С.~Л.~Соболев [5], О.~А.~Ладыженская [6], K.~Friedrichs [7], Э.~Быховский и Н.~Смирнов [8] приводят аналогичные разложения ${\mathbf{L}}_2(G)$ на ортогональные подпространства. Так, С.~Л.~Соболев предполагает, что область $\mathrm{\Omega }$ гомеоморфна шару. В~этом случае $\rho =0$ и пространство ${\mathcal{B}}_H(\mathrm{\Omega })$ пусто. О.~А.~Ладыженская приводит разложение ${\mathbf{L}}_2(\mathrm{\Omega })=\mathbf{G}(\mathrm{\Omega })\oplus {\mathbf{J}}^{\circ }(\mathrm{\Omega })$, где ${\mathbf{J}}^{\circ }(\mathrm{\Omega })$ --- замыкание в норме ${\mathbf{L}}_2(\mathrm{\Omega })$ множества бесконечно дифференцируемых финитных в~$\mathrm{\Omega }$ соленоидальных векторов, а $\mathbf{G}(\mathrm{\Omega })$ состоит из $\mathrm{grad}\phi$, где $\phi$ есть однозначная в $\mathrm{\Omega }$ функция, локально квадратично суммируемая и имеющая первые производные из ${\mathbf{L}}_2(\mathrm{\Omega })$ [6, Теорема 1, § 2 гл. 1]. \smallskip Далее будем придерживаться разложения $\text{(???)}$. \smallskip \Section[n]{1.3. Операторы градиент, ротор и дивергенция} Эти операторы определяются в~трехмерном векторном анализе~[10]. Им соответствует оператор $d$ внешнего дифференцирования на формах ${\omega }^k$ степени $k=0$, 1 и~2. Соотношения $dd{\omega }^k=0$ при $k=0$,~1 имеют вид $\mathrm{rot}\mathrm{\nabla }h=0$ и~$\mathrm{div}\mathrm{rot}\mathit{u}=0$. Формулы $$\mathit{u}\cdot \mathrm{\nabla }h+h\mathrm{div}\mathit{u}=\mathrm{div}(h\mathit{u}),\mathit{u}\cdot \mathrm{rot}\mathit{v}-\mathrm{rot}\mathit{u}\cdot \mathit{v}=\mathrm{div}[\mathit{v},\mathit{u}],$$ где $[\mathit{v},\mathit{u}]$ --- векторное произведение, и интегрирование по области $G$ используются при определении операторов $\mathrm{div}\mathit{u}$ и $\mathrm{rot}\mathit{u}$ в ${\mathbf{L}}_2(G)$. Оператор Лапласа выражается через $\mathrm{rot}\mathrm{rot}$ и $\mathrm{\nabla }\mathrm{div}$: $$\mathrm{\Delta }\mathit{v}=\mathrm{\nabla }\mathrm{div}\mathit{v}-\mathrm{rot}\mathrm{rot}\mathit{v}.$$ Оператор Лапласа эллиптичен [11], а операторы $\mathrm{rot}$ и $\mathrm{\nabla }\mathrm{div}$ не являются таковыми. Они вырождены, причем $\mathrm{rot}\mathit{u}=0$ при $\mathit{u}\in \mathcal{A}$, $\mathrm{\nabla }\mathrm{div}\mathit{v}=0$ при $\mathit{v}\in \mathcal{B}$ в~смысле~${\mathbf{L}}_2(G)$~[3]. Поэтому $\mathrm{\Delta }\mathit{v}=\mathrm{\nabla }\mathrm{div}\mathit{v}$ на $\mathcal{A}$ и $\mathrm{\Delta }\mathit{v}=-\mathrm{rot}\mathrm{rot}\mathit{v}$ на $\mathcal{B}$. {\smallskip\sc\small Замечание.}{ \small H.~Weyl называет безвихревым (irrotational) поле $\mathit{u}\in {\mathbf{L}}_2(G)$, для которого $(\mathit{u},\mathrm{rot}\mathit{v})=0$ для любого поля $\mathit{v}$ c компонентами $v_j$ из ${\mathcal{C}}_0^1(G)$, а поле $\mathit{w}\in {\mathbf{L}}_2(G)$, для которого $(\mathit{w},\mathrm{\nabla }\mathit{v})=0$ $\mathrm{\forall }\mathit{v}\in {\mathcal{C}}_0^1(G)$ --- соленоидальным [3]. Запись ``$\mathrm{rot}\mathit{u}=0$ при $\mathit{u}\in \mathcal{A}$'' означает, что $\mathit{u}=\{\mathrm{\nabla }h\}$, где $h\in H^1(G)$, и $(\mathit{u},\mathrm{rot}\mathit{v})\text{hm}=(\mathrm{\nabla }h,\mathrm{rot}\mathit{v})=0$ для любого $\mathit{v}$ c~компонентами $v_j\in {\mathcal{C}}_0^{\mathrm{\infty }}(G)$, что очевидно. } \smallskip \hypertarget{S1.4}{} \Section[n]{1.4. Содержание. Классы обобщенно эллиптических задач} В \hyperlink{S1}{\S~1} настоящей статьи определяются основные подпространства ${\mathbf{L}}_2(G)$, операторы, их соотношения, и формулируются основные результаты работы. \hyperlink{S2}{\S~2} содержит постановку краевых задач $\text{(???)}$, $\text{(???)}$ для операторов $\mathrm{rot}+\lambda I$ и \linebreak $\mathrm{\nabla }\mathrm{div}+\lambda I$ первого и второго порядков в~пространствах Соболева. Определяются классы [REES~$p$] обобщенно эллиптических систем. Системы $\text{(???)}$, $\text{(???)}$ при $\lambda \ne 0$ принадлежат классу [REES~1]. Им соответствуют операторы $\mathbb{A}$ и~$\mathbb{B}$, которые расширяются до эллиптических (по В.~Солонникову) операторов ${\mathbb{A}}_R$ и ${\mathbb{B}}_R$. Применяя его Теорему 1.1 [11], можно доказать следующие теоремы. \smallskip \hypertarget{saks:th1}{} \begin{theorem}[1]Оператор ${\mathbb{A}}_R$ имеет левый регуляризатор$.$ Его ядро конечно\-мерно и для любых $\mathit{u}\in {\mathbf{H}}^{s+1}(G)$ и $\lambda \ne 0$ $($с~постоянной $C_s=C_s(\lambda )>0,$ зависящей только от $s,$ $\lambda )$ выполняется оценка $$C_s\Vert \mathit{u}{\Vert }_{s+1}\le \Vert \mathrm{rot}\mathit{u}{\Vert }_s+|\lambda |\Vert \mathrm{div}\mathit{u}{\Vert }_s+|\gamma (\mathit{n}\cdot \mathit{u}){|}_{s+1/2}+\Vert \mathit{u}{\Vert }_s.$$ \end{theorem} \smallskip \hypertarget{saks:th2}{} \begin{theorem}[2]Оператор ${\mathbb{B}}_R$ имеет левый регуляризатор$.$ Его ядро конечно\-мерно и для любых $\mathit{u}\in {\mathbf{H}}^{s+2}(G)$ и $\lambda \ne 0$ $($с~постоянной $C_s=C_s(\lambda )>0,$ зависящей только от $s,$ $\lambda )$ выполняется оценка $$C_s\Vert \mathit{v}{\Vert }_{s+2}\le |\lambda |\Vert \mathrm{rot}\mathit{v}{\Vert }_{s+1}+\Vert \mathrm{\nabla }\mathrm{div}\mathit{v}{\Vert }_s+|\gamma (\mathit{n}\cdot \mathit{v}){|}_{s+3/2}+\Vert \mathit{v}{\Vert }_s.$$ \end{theorem} \smallskip Топологических ограничений на область нет, предполагается ее связность, ограниченность и гладкость границы. Оценка $\text{(???)}$ получена автором {\it впервые} из оценок Солонникова [11]. Оценка $\text{(???)}$ известна автору давно, она не была выписана в~[12], хотя ему было известно, что эллиптичность задачи эквивалентна точной оценке в~пространствах Соболева от Л.~Р.~Волевича [13]. Тогда автор еще работал в~пространствах Гельдера. Z.~Yoshida и Y.~Giga в~[9] ссылаются на работы J.~P.~Bour\-guig\-non, H.~Brezis~[14] и C.~Foias, R.~Temam [15]. Этот подход применим для других обобщенно эллиптических систем класса [REES~$p$]. Этот класс выделен из класса Вайнберга и Грушина [16], он содержит системы математической физики, главные части которых суть степени ротора или градиента дивергенции. Из эллиптической теории вытекают свойства решений спектральных задач операторов ротора и градиента дивергенции, такие как конечная кратность ненулевых с.-значений и~гладкость с.-полей в~любой области $G$ с~гладкой границей. % Явные формулы я нашел, обнаружив их Решения спектральных задач операторов ротора и градиента дивергенции в шаре [17] имеют простые связи с решениями спекральных задач Дирихле и~Неймана для оператора Лапласа, которые решены явно в~учебнике В.~С.~Владимирова [18]. \smallskip \hypertarget{S1.5}{} \Section[n]{1.5. Оператор ротор в классе ${\mathbf{\text{V}}}^{\mathbf{0}}$ вихревых полей} Z.~Yoshida и Y.~Gi\-ga [9] рассмотрели в ${\mathbf{L}}_2(G)$ подпространства $L_{\mathrm{\Sigma }}^2$ и $H_{\mathrm{\Sigma }\mathrm{\Sigma }}^1$ и ввели в $L_{\mathrm{\Sigma }}^2$ оператор $S$, который совпадает с $\mathrm{rot}\mathit{u}$, если $\mathit{u}\in H_{\mathrm{\Sigma }\mathrm{\Sigma }}^1$. Они доказали теорему~1: \linebreak \vspace{-3mm} \noindent {\it The operator $S$ is self-adjoint in the space $L_{\mathrm{\Sigma }}^2.$ The spectrum $\sigma (S)$ of $S$ consists of only point spectrum ${\sigma }_p(S)\subset \mathbb{R}.$ Therefore$,$ the set of eigenfunctions of $S$ gives an orthogonal complete basis of the space $L_{\mathrm{\Sigma }}^2.$} \smallskip Кроме того, в лемме~1 они доказывают, что $$\text{Unknown environment 'itemize'}$$ \smallskip Переобозначим эти пространства: $L_{\mathrm{\Sigma }}^2\equiv {\mathbf{\text{V}}}^0$, $H_{\mathrm{\Sigma }\mathrm{\Sigma }}^1\equiv {\mathbf{W}}^1$, а~отображения $S$~и~$S^{-1}$ запишем так: $$\mathcal{D}(S)={\mathbf{W}}^1\subset {\mathbf{\text{V}}}^0\subset {\mathbf{L}}_2,S^{-1}:{\mathbf{\text{V}}}^0\to {\mathbf{W}}^1,S=\mathrm{rot}:\mathcal{D}(S)\to {\mathbf{\text{V}}}^0.$$ В \hyperlink{S3}{\S~3} показывается, что собственные поля ротора всегда {\it встречаются парами}\/: каждой собственной вектор=функции ротора ${\mathit{u}}_j^{+}$ с~положительным собственным значением ${\lambda }_j$ соответствует собственная вектор=функция ротора ${\mathit{u}}_j^{-}$ с~отрицательным собственным значением $-{\lambda }_j$, а~в~${\mathbf{\text{V}}}^0$ фиксируется ортонормированный базис ${\mathit{q}}_j^{\pm }$: $$\mathrm{rot}{\mathit{q}}_j^{\pm }=\pm {\lambda }_j{\mathit{q}}_j^{\pm },\mathit{n}\cdot {\mathit{q}}_j^{\pm }{|}_{\mathrm{\Gamma }}=0,\Vert {\mathit{q}}_j^{\pm }\Vert =1.$$ В~этом базисе элементы ${\mathbf{\text{V}}}^0(G)$ представляются рядами Фурье $\text{(???)}$, а операторы $S$ и $S^{-1}$ --- преобразованиями этих рядов $\text{(???)}$ и $\text{(???)}$. При $k\ge 1$ определяются пространства $${\mathbf{W}}^k=\{\mathit{f}\in {\mathbf{\text{V}}}^0,\dots ,{\mathrm{rot}}^k\mathit{f}\in {\mathbf{\text{V}}}^0\}\text{и}{\mathbf{W}}^{-k}=({\mathbf{W}}_0^k{)}^{\ast },$$ где пространство ${\mathbf{W}}_0^k(G)$ есть замыкание в норме ${\mathbf{W}}^k(G)$ множества ${\mathcal{C}}_0^{\mathrm{\infty }}(G)$, а пространство ${\mathbf{W}}^{-k}=({\mathbf{W}}_0^k{)}^{\ast }$ сопряженно с ним [1]. Отметим вложения $$\cdots \subset {\mathbf{W}}^m\subset \cdots \subset {\mathbf{W}}^1\subset {\mathbf{\text{V}}}^0(G)\subset {\mathbf{W}}^{-1}\subset \cdots \subset {\mathbf{W}}^{-m}\subset \cdots .\text{eqno}(m)$$ Оператор $S^{-1}$ отображает ${\mathbf{\text{V}}}^0$ на ${\mathbf{W}}^1$, а ${\mathbf{W}}^{k-1}$ на ${\mathbf{W}}^k$ при $k>1$. Оператор $S$ отображает ${\mathbf{W}}^k$ на ${\mathbf{W}}^{k-1}$, % при $k>1$, а ${\mathbf{W}}^1$ на ${\mathbf{W}}^0\equiv {\mathbf{\text{V}}}^0$. % \quad S^{-1}:\mathbf{W}^{m} \to \mathbf{W}^{m+1}, Рассматривается также оператор $S+\lambda I$. Мы доказываем, что оператор $S+\lambda I:{\mathbf{W}}^k\to {\mathbf{W}}^{k-1}$ --- фредгольмов. По определению, оператор $S+\lambda I$ совпадает с $\mathrm{rot}+\lambda I$ на ${\mathbf{W}}^1$ и %Если $\mathit{f}\in {\mathbf{W}}^1$, то $$(S+\lambda I)\mathit{f}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\mathrm{rot}+\lambda I)({\mathit{f}}_{\mathbf{\text{V}}}^n)=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}[(\lambda +{\lambda }_j)(\mathit{f},{\mathit{q}}_j^{+}){\mathit{q}}_j^{+}+(\lambda -{\lambda }_j)(\mathit{f},{\mathit{q}}_j^{-}){\mathit{q}}_j^{-}].$$ Ряд сходится в ${\mathbf{L}}_2(G)$, так как $\Vert (S+\lambda I)\mathit{f}{\Vert }_{{\mathbf{\text{V}}}^0}^2\le c_0^2\Vert \mathit{f}{\Vert }_{{\mathbf{W}}^1}^2$, где $c_0<\mathrm{\infty }$ (см.~$\text{(???)}$). Обратный оператор имеет вид % $\mathit{f}\in V^0$, то $$(S+\lambda I{)}^{-1}\mathit{f}=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}[\frac{(\mathit{f},{\mathit{q}}_j^{+})}{\lambda +{\lambda }_j}{\mathit{q}}_j^{+}(\mathit{x})+\frac{(\mathit{f},{\mathit{q}}_j^{-})}{\lambda -{\lambda }_j}{\mathit{q}}_j^{-}(\mathit{x})],$$ если ни одно из слагаемых этого ряда не обращается в~бесконечность. Это означает, что либо $\lambda \pm {\lambda }_j\ne 0$ для всех $j$, либо $(\mathit{f},{\mathit{q}}_j^{-})=0$ при $\lambda ={\lambda }_j={\lambda }_{j_0}$, и~эти элементы отсутствуют в~ряду. При этом $$\Vert (S+\lambda I{)}^{-1}\mathit{f}{\Vert }_{{\mathbf{W}}^1}^2\le C_0^2\Vert \mathit{f}{\Vert }_{{\mathbf{\text{V}}}^0}^2,$$ где $C_0^2<\mathrm{\infty }$ не зависит от $\mathit{f}$ (см.~$\text{(???)}$). Следовательно, оба оператора непрерывны и имеет место \smallskip \hypertarget{saks:th3}{} \begin{theorem}[3]Оператор $S+\lambda I:{\mathbf{W}}^1(G)\to {\mathbf{\text{V}}}^0(G)$ непрерывен и~однозначно обратим$,$ если $\lambda$ не принадлежит спектру ${\sigma }_p(S)\subset \mathbb{R}$ оператора $S.$ Его \linebreak обратный оператор задается формулой~$\text{(???)}$ и~для любого $\mathit{f}\in {\mathbf{\text{V}}}^0$ ряд \linebreak $(S+\lambda I{)}^{-1}\mathit{f}\in {\mathbf{W}}^1.$ Если $\lambda ={\lambda }_{j_0},$ то он обратим тогда и только тогда$,$ когда $${\int }_G\mathit{f}\cdot {\mathit{q}}_j^{-}dx=0\text{для}\mathrm{\forall }{\mathit{q}}_j^{-}:{\lambda }_j={\lambda }_{j_0}.$$ Ядро оператора $S+{\lambda }_{j_0}I$ конечномерно и определяется собственными функциями ${\mathit{q}}_j^{-}(\mathit{x}),$ собственные значения которых равны ${\lambda }_{j_0}:$ $$\mathrm{Ker}(S+{\lambda }_{j_0}I)=\sum _{{\lambda }_j={\lambda }_{j_0}}{c}_j{\mathit{q}}_j^{-}(\mathit{x})\mathrm{\forall }{c}_j\in \mathbb{R}.$$ \end{theorem} \smallskip В п.~\hyperlink{S3.5}{3.5} приводятся также оценки $$\Vert (S+\lambda I)\mathit{f}{\Vert }_{{\mathbf{W}}^m}^2\le c_m^2\Vert \mathit{f}{\Vert }_{{\mathbf{W}}^{m+1}}^2,\Vert (S+\lambda I{)}^{-1}\mathit{f}{\Vert }_{{\mathbf{W}}^{m+1}}^2\le C_m^2\Vert \mathit{f}{\Vert }_{{\mathbf{W}}^m}^2,$$ где постоянные $c_m$, $C_m<\mathrm{\infty }$ не зависят от $\mathit{f}$ и при $m=0$ совпадают с~$\text{(???)}$ и~$\text{(???)}$. Из теоремы и этих оценок следует \smallskip \hypertarget{saks:lemma1}{} \begin{lemma}[1]Если $\lambda \bar{\in }\mathrm{Sp}(S),$ $m\ge 0,$ то операторы $S+\lambda I$ $($и его обратный$)$ отображают пространство ${\mathbf{W}}^{m+1}$ на ${\mathbf{W}}^m$ $($и обратно$)$ взаимно однозначно и непрерывно$.$ \end{lemma} \smallskip \hypertarget{S1.6}{} \Section[n]{1.6. Соотношения между пространствами ${\mathbf{W}}^{\mathit{k}}$, ${\mathbf{H}}^{\mathit{k}}$ и ${\mathbf{C}}^{\mathbf{k}\mathbf{-}\mathbf{2}}$} Рассмотрим область $\mathrm{\Omega }$, гомеоморфную шару, которую С.~Л.~Соболев выделил в~[5]. В~этом случае пространство ${\mathcal{B}}_H(\mathrm{\Omega })$ пусто. Граница области $\mathrm{\Omega }$ предполагается гладкой. Скалярное произведение в ${\mathbf{H}}^k(\mathrm{\Omega })$ С.~Л.~Соболевым определяется так: $$(\mathit{f},\mathit{g}{)}_k=(\mathit{f},\mathit{g})+{\int }_{\mathrm{\Omega }}\sum _{|\alpha |=k}\frac{k!}{\alpha !}{\partial }^{\alpha }\mathit{f}\cdot {\partial }^{\alpha }\mathit{g}d\mathit{x},k\ge 1.$$ В пространстве ${\mathbf{W}}^k(\mathrm{\Omega })=\{\mathit{f}\in {\mathbf{\text{V}}}^0,\dots ,{\mathrm{rot}}^k\mathit{f}\in {\mathbf{\text{V}}}^0\}$ норма $\mathit{f}\in {\mathbf{W}}^k$ выбирается так же: $\Vert \mathit{f}{\Vert }_{{\mathbf{W}}^k}^2\equiv \Vert \mathit{f}{\Vert }^2+\Vert {\mathrm{rot}}^k\mathit{f}{\Vert }^2$. Имеет место \smallskip \hypertarget{saks:th4}{} \begin{theorem}[4]Для того чтобы $\mathit{f}\in {\mathbf{\text{V}}}^0(\mathrm{\Omega })$ разлагалась в ряд Фурье $$\mathit{f}(\mathit{x})=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}[(\mathit{f},{\mathit{q}}_j^{+}){\mathit{q}}_j^{+}(\mathit{x})+(\mathit{f},{\mathit{q}}_j^{-}){\mathit{q}}_j^{-}(\mathit{x})],\Vert {\mathit{q}}_j^{\pm }\Vert =1,$$ по собственным вектор-функциям ${\mathit{q}}_j^{\pm }(\mathit{x})$ ротора в области $\mathrm{\Omega },$ сходящийся в~норме пространства Соболева ${\mathbf{H}}^k(\mathrm{\Omega }),$ необходимо и достаточно$,$ чтобы $\mathit{f}$ принадлежала ${\mathbf{W}}^k(\mathrm{\Omega }).$ Если $\mathit{f}\in {\mathbf{W}}^k(\mathrm{\Omega }),$ то существует такая постоянная $C>0,$ не зависящая от $\mathit{f},$ что $$\sum _j{\lambda }_j^{2k}[(\mathit{f},{\mathit{q}}_j^{+}{)}^2+(\mathit{f},{\mathit{q}}_j^{-}{)}^2]\le C\Vert \mathit{f}{\Vert }_{{\mathbf{H}}^k(\mathrm{\Omega })}^2.$$ Если $k\ge 2,$ то вектор-функция $\mathit{f}$ из ${\mathbf{W}}^k(\mathrm{\Omega })$ разлагается в ряд~$\text{(???)}$$,$ сходящийся в пространстве ${\mathbf{C}}^{k-2}(\bar{\mathrm{\Omega }}).$ \end{theorem} \smallskip {\small\sc Следствие.} {\it Вектор-функция $\mathit{f}\in {\mathbf{\text{V}}}^0\cap {\mathbf{C}}_0^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$ разлагается в ряд~$\text{(???)}$$,$ сходящийся в любом из пространств ${\mathbf{C}}^k(\bar{\mathrm{\Omega }}),$ $k\in \mathbb{N}.$} \smallskip Эти результаты дополняют известные в теории рядов Фурье утверждения (см. [6, Теорема 7, § 4 гл. 2], [2, Теорема 8, § 2 гл. 4]). Таким образом, ${\mathbf{W}}^k(G)$ --- аналоги пространств Соболева ${\mathbf{H}}^k(G)$ в~классе соленоидальных полей. Отметим вложения $${\mathbf{W}}^k\subset {\mathbf{W}}^{k-1}\subset \cdots \subset {\mathbf{W}}^1\subset {\mathbf{\text{V}}}^0.$$ Заметим, что Z.~Yoshida и Y.~Giga [9] не рассматривали пространствa ${\mathbf{W}}^k$, $k>1$. Они ввели $H_{\mathrm{\Sigma }\mathrm{\Sigma }}^1=\mathcal{D}(S)$ как область определения $S$. Пространства ${\mathbf{W}}^k$ % их вложения (Теорема 3 и Лемма 1) % ${\mathbf{W}}^k$ и пространствами и соотношения между ними и ${\mathbf{H}}^k$ и ${\mathbf{C}}^{k-2}$ (теоремы~\hyperlink{saks:th3}{3},~\hyperlink{saks:th4}{4} и~лемма~\hyperlink{saks:lemma1}{1}) --- это {\it первый основной} результат настоящей статьи. \smallskip \hypertarget{S1.7}{} \Section[n]{1.7. Класс $\mathcal{A}$ потенциальных полей} В статье [19] изучен класс $\mathcal{A}$ потенциальных полей: собственные поля оператора $\mathrm{\nabla }\mathrm{div}$ задают ортогональный базис в ${\mathcal{A}}_{\gamma }$, оператор ${\mathcal{N}}_d$ есть самосопряженное расширение $\mathrm{\nabla }\mathrm{div}$ в ${\mathcal{A}}_{\gamma }$, пространства $${\mathbf{A}}_{\gamma }^{2k}(G)=\{\mathit{f}\in {\mathcal{A}}_{\gamma }(G),\dots ,(\mathrm{\nabla }\mathrm{div}{)}^k\mathit{f}\in {\mathcal{A}}_{\gamma }(G)\}\mathrm{\forall }k\ge 1,$$ --- аналоги пространств Соболева ${\mathbf{H}}^{2k}(G)$ порядков $2k$ в классе ${\mathcal{A}}_{\gamma }$. Так же как лемма~\hyperlink{saks:lemma1}{1}, доказана \smallskip \hypertarget{saks:lemma2}{} \begin{lemma}[2]Если $\lambda \bar{\in }\mathrm{Sp}({\mathcal{N}}_d),$ $k\ge 0,$ то операторы ${\mathcal{N}}_d+\lambda I$ $($и его обратный$)$ отображает пространство ${\mathbf{A}}_{\gamma }^{2(k+1)}$ на ${\mathbf{A}}_{\gamma }^{2k}$ $($и обратно$)$ взаимно однозначно и непрерывно$.$ \end{lemma} \smallskip Отметим вложения $${\mathbf{A}}_{\gamma }^{2k}\subset \cdots \subset {\mathbf{A}}_{\gamma }^2\subset {\mathcal{A}}_{\gamma }\subset \mathcal{A}\subset {\mathbf{L}}_2(G).$$ Базисные векторы в классах $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}={\mathcal{B}}_H\oplus {\mathbf{\text{V}}}^0$ в совокупности образуют базис во всем пространстве ${\mathbf{L}}_2(G)$. \smallskip \Section[n]{1.8. Содержание. Классы пространств $\mathbf{C}\mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{k}\mathbf{,}\mathbf{m}\mathbf{)}$ в ${\mathbf{L}}_{\mathbf{2}}(\mathbf{\Omega })$} В \hyperlink{S4}{\S~4} рассматривается % ${\mathbf{A}}_{\gamma }^{2k}(\mathrm{\Omega })$ и ${\mathbf{W}}^m(\mathrm{\Omega })$ порядков % и строится целочисленная сетка пространств $C(2k,m)\equiv {\mathbf{A}}_{\gamma }^{2k}\oplus {\mathbf{W}}^m$, называемых классами, $k\ge 0$, $m\ge 0$ --- целые, $k+m>0$, а также пространство ${\mathbf{E}}_{\gamma }^0(\mathrm{\Omega })$. Доказана \smallskip \hypertarget{saks:th5}{} % %\footnotetext{${}^3$ Формулировка задачи \hyperlink{saks:task:1}{\rm 1} дана в п.~\hyperlink{S4.3}{4.3}.} \begin{theorem}[5]Если $\lambda \ne 0,$ $\pm {\lambda }_j,$ $j\in \mathbb{N}$ и $\mathit{f}\in {\mathbf{L}}_2(\mathrm{\Omega }),$ то единственное решение~$\mathit{u}$ задачи \hyperlink{saks:task:1}{\rm 1} п.~\hyperlink{S4.3}{\rm 4.3} дается суммой рядов=проекций ${\mathit{u}}_{\mathcal{A}}+{\mathit{u}}_{\mathbf{\text{rmbf V}}}:$ $$\text{Multiple label}$$ В частности$,$ $$\text{Unknown environment 'itemize'}$$ \end{theorem} \smallskip {\small\sc Замечание.} {\small В статье [17] доказано, что собственные значения ротора в шаре радиуса $R$ равны $\pm {\rho }_{n,m}{R}^{-1}$, где числа $\pm {\rho }_{n,m}$ --- нули функций % ${\psi }_n(r)$, $${\psi }_n(z)=(-z{)}^n(\frac{d}{zdz}{)}^n\frac{\sin z}{z},m,n\in \mathbb{N},$$ кратность собственного значения ${\lambda }_{n,m}=\pm {\rho }_{n,m}{R}^{-1}$ равна $2n+1$. Собственные значения оператора $\mathrm{\nabla }\mathrm{div}$ равны $-{\nu }_{n,m}^2$, где ${\nu }_{n,m}={\alpha }_{n,m}{R}^{-1}$, а числа ${\alpha }_{n,m}$ --- нули производных ${\psi }_n^{\prime }(r)$, $n\ge 0$, $m\in \mathbb{N}$; кратность собственного значения $-{\nu }_{n,m}^2$ равна $2n+1$. Собственные поля ${\mathit{q}}_{\kappa }$ градиента дивергенции и ${\mathit{q}}_{\kappa }^{\pm }$ ротора выражаются явно через сферические функции и функции ${\psi }_n(r)$; $\kappa =(n,m,k)$.} \smallskip Из теоремы \hyperlink{saks:th5}{5} и леммы \hyperlink{saks:lemma1}{1} вытекают следующие утверждения. \smallskip \hypertarget{saks:lemma3}{} \begin{lemma}[3]При $\lambda \ne \mathrm{Sp}(\mathrm{rot})$ оператор $\mathrm{rot}+\lambda I$ отображает класс $C(2k,m+1)$ на класс $C(2k,m)$ взаимно однозначно и непрерывно$,$ $k,$ $m\ge 0.$ \end{lemma} \smallskip {\small\sc Следствие. } {\it Если область $\mathrm{\Omega }=B,$ %есть шар, ${\psi }_n(\lambda R)\ne 0$ $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},$ а поле $\mathit{f}\in {\mathbf{A}}_{\gamma }^{2k}(B)\oplus {\mathbf{W}}^m(B),$ то решение задачи \hyperlink{saks:task:1}{\rm 1} существует$,$ единственно и принадлежит классу ${\mathbf{A}}_{\gamma }^{2k}(B)\oplus {\mathbf{W}}^{m+1}(B).$ } \smallskip Аналогично доказаны следующие утверждения. \smallskip \hypertarget{saks:lemma4}{} \begin{lemma}[4]При ${\nu }^2\ne \mathrm{Sp}(-\mathrm{\nabla }\mathrm{div})$ оператор $\mathrm{\nabla }\mathrm{div}+{\nu }^{2}I$ отображает класс $C(2(k+1),m)$ на класс $C(2k,m)$ взаимно однозначно и непрерывно$.$ \end{lemma} \smallskip %\footnotetext{\hypertarget{Foot:4}{${}^4$} Формулировка задачи \hyperlink{saks:task:2}{\rm 2} дана %в %п.~\hyperlink{S4.3}{4.3}.} {\small\sc Следствие. } {\it Если область $\mathrm{\Omega }=B,$ ${\psi }_n^{\prime }(\nu R)\ne 0$ $\mathrm{\forall }n\ge 0,$ а~поле $\mathit{f}\in {\mathbf{A}}_{\gamma }^{2k}(B)\oplus {\mathbf{W}}^m(B),$ то решение задачи \hyperlink{saks:task:2}{\rm 2} п.~\hyperlink{S4.3}{\rm 4.3} существует$,$ единственно и принадлежит классу ${\mathbf{A}}_{\gamma }^{2(k+1)}(B)\oplus {\mathbf{W}}^m(B).$ } \smallskip Таким образом, изучены пространства ${\mathbf{W}}^m$ на рядах Фурье, определяемых собственными полями оператора ротор (вихрь). В пространстве ${\mathbf{L}}_2(\mathrm{\Omega })$ введены классы $C(2k,m)\equiv {\mathbf{A}}_{\gamma }^{2k}\oplus {\mathbf{W}}^m$ и рассмотрены их отображения операторами $\mathrm{rot}+\lambda I$ и $\mathrm{\nabla }\mathrm{div}+{\nu }^{2}I$. Теорема \hyperlink{saks:th5}{5}, леммы \hyperlink{saks:lemma3}{3}, \hyperlink{saks:lemma4}{4} и~их следствия --- это {\it второй основной} результат этой статьи. \smallskip \hypertarget{S2}{} \phantomsection% \clear \setcounter{equation}{0} \renewcommand{\theequation}{2.\arabic{equation}} \centerline{\textbf{2. Краевые и спектральные задачи}} \Section[n] {2.1. Краевые задачи} В ограниченной области $G$ с~гладкой границей $\mathrm{\Gamma }$ изучаются {\it задачи}\/: найти вектор=функции $\mathit{u}$ и $\mathit{v}$ такие, что $$\text{Multiple label}$$ где векторная и~скалярная функции $\mathit{f}$ и $g$ заданы. Решения задач ищем в~пространствах Соболева ${\mathbf{H}}^{s+1}(G)$ и~${\mathbf{H}}^{s+2}(G)$, где $s$ --- целое $s\ge 0$, а $(\mathit{f},g)$ задаем в следующих пространствах: $\mathit{f}\in {\mathbf{H}}^s(G)$, $g\in H^{s+1/2}(\mathrm{\Gamma })$ и~$\mathit{f}\in {\mathbf{H}}^s(G)$, $g\in H^{s+3/2}(\mathrm{\Gamma })$ соответственно. Эта постановка является {\it классической} в теории {\it эллиптических краевых задач в пространствах Соболева} [1, 11]. Отметим, что ненулевые решения $(\mathit{u},\lambda )$ и $(\mathit{v},\lambda )$ однородных задач $\text{(???)}$, $\text{(???)}$ ($\mathit{f}=0$ и $g=0$) --- решения спектральных задач операторов $\text{rot}$ и $\mathrm{\nabla }\mathrm{div}$. Они аннулируют друг друга и $$\mathrm{rot}\mathit{u}=0\text{на}\mathcal{A}=\{\mathrm{\nabla }h,h\in H^1\},\mathrm{\nabla }\mathrm{div}\mathit{v}=0\text{на}\mathcal{B}\perp \mathcal{A}.$$ Ортогональные пространства $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}$ в ${\mathbf{L}}_2(G)$ бесконечномерны [3]. При $\lambda =0$ однородные задачи $\text{(???)}$ и $\text{(???)}$ имеют счетное число линейно независимых решений. Значит, {\it нулевая точка} спектра каждого из операторов $\text{rot}$ и \, $\mathrm{\nabla }\mathrm{div}$ имеет {\it бесконечную кратность}. Специфика этих задач состоит в том, что эти операторы при $\lambda \ne 0$ являются {\it обобщенно эллиптическими} класса [REES~1]. \smallskip \Section[n] {2.2. Класс систем, приводимых к эллиптическим системам} Определение этого класса мы приведем для систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Система дифференциальных уравнений $S(\mathit{\partial })u=f$ порядка $m$ из этого класса обладает свойствами: $$\text{Unknown environment 'itemize'}$$ Б.~Вайнберг и В.~Грушин [16] доказали, что система $Su=f$ класса [REES~$p$] является разрешимой по Фредгольму или Нетеру в~пространствах Соболева ${\mathbf{H}}^s(X)$, если $f\in {\mathbf{H}}^{s-m+p}(X)$, где $s\ge m$ --- целое. В качестве примера приводится оператор $d+\ast$ на дифференциальных формах степени $k$ в~$2k+1$-мерном многообразии $X$ без края, где $d$ --- оператор внешнего дифференцирования, а $\ast$ --- оператор нулевого порядка, который переводит форму ${\omega }^j$ степени $j$ в форму $\ast \omega$ степени $n-j$. Системы $\text{(???)}$, $\text{(???)}$ являются {\it обобщенно эллиптическими} класса [REES\,1]. Действительно, из этих уравнений вытекают соотношения $$\lambda \mathrm{div}\mathit{u}=\mathrm{div}\mathit{f}(\mathit{x}),\lambda \mathrm{rot}\mathit{v}=\mathrm{rot}\mathit{f}(\mathit{x}),\mathit{x}\in G.$$ Соединяя их в систему, видим, что операторы $$\left(\begin{array}{c}\mathrm{rot}+\lambda I\lambda \mathrm{div}\end{array}\right)\text{и}\left(\begin{array}{c}\mathrm{\nabla }\mathrm{div}+\lambda I\lambda \mathrm{rot}\end{array}\right)$$ являются эллиптическими по Даглису--~Ниренбергу [11]. Значит, они принадлежат классу [REES~1] систем дифференциальных уравнений, приводимых к~эллиптическим системам на первом шаге расширений Б.~Вайнберга и В.~Грушина 16.\hyperlink{Foot:5}{${}^3$} \footnotetext{\hypertarget{Foot:5}{${}^3$} Другие классы обобщенно эллиптических операторов см. в~работе [20].} \smallskip \Section[n] {2.3. Обобщенно эллиптическая краевая задача} Рассмотрим подробнее первую из них. Расширенная система $$\mathrm{rot}\mathit{u}+\lambda \mathit{u}=\mathit{f},\lambda \mathrm{div}\mathbf{u}=\mathrm{div}\mathit{f},$$ является эллиптической системой первого порядка (переопределенной, если $f_4\ne \mathrm{div}\mathit{f}$). Вместе с краевым условием $\gamma \mathit{n}\cdot \mathit{u}=g$ она составляет эллиптическую краевую задачу по Солонникову [11]. Это означает, что \begin{itemize} \item[1)] система $\text{(???)}$ эллиптична;\hyperlink{Foot:6}{${}^4$} \footnotetext{\hypertarget{Foot:6}{${}^4$} Главные части системы в~[11] определяются с~помощью весов $s_k$ и $t_j$ таких, что $\mathrm{ord}{L}_{k,j}\le s_k+t_j$. Положив $s_k=0$ при $k=1,2,3,4$ и $t_j=1$ при $j=1,2,3$, мы получим операторы системы $\text{(???)}$, а в~краевом операторе положим ${\sigma }_1=-1$.} \item[ 2)] краевое условие $\gamma \mathit{n}\cdot \mathit{u}$ \ ``накрывает'' оператор системы. \end{itemize} Первое условие сводится к тому, что однородная система линейных алгебраических уравнений $$\mathrm{rot}(i\mathit{\xi })\mathit{w}=0,\lambda \mathrm{div}(i\mathit{\xi })\mathit{w}=0,\mathrm{\forall }\mathit{\xi }\ne 0$$ c параметром $\mathit{\xi }\in {\mathbb{R}}^3$ имеет только тривиальное решение $\mathit{w}=0$. Второе условие означает, что однородная система линейных дифференциальных уравнений $$\mathrm{rot}(i\mathit{\tau }+\mathit{n}\frac{d}{dz})\mathit{v}=0,\mathrm{div}(i\mathit{\tau }+\mathit{n}\frac{d}{dz})\mathit{v}=0,\mathrm{\forall }\mathit{\tau }\ne 0$$ на полуоси $z\ge 0$ с краевым условием $$\mathit{n}\cdot \mathit{v}{|}_{z=0}=0$$ и убыванием $\mathit{v}(y,\mathit{\tau };z)\to 0$ при $z\to +\mathrm{\infty }$ имеет только тривиальное решение. Здесь $\mathit{\tau }$ и $\mathit{n}$ --- касательный и нормальный векторы к $\mathrm{\Gamma }$ в точке $y\in \mathrm{\Gamma }$ и~$|\mathit{n}|=1$. При доказательстве этих утверждений используется соотношение $$\mathrm{rot}\mathrm{rot}\mathit{v}=-\mathrm{\Delta }\mathit{v}+\mathrm{\nabla }\mathrm{div}\mathit{v}.$$ Тогда $$\text{Unknown environment 'itemize'}$$ Легко убедиться, что векторное и ``скалярное'' произведения $\mathit{\omega }$ на $\mathit{\omega }$ равны нулю: $\mathit{\omega }\times \mathit{\omega }=0,$ ${\mathit{\omega }}^{\prime }\cdot \mathit{\omega }=0$. Ранг матрицы $\mathrm{rot}(i\mathit{\xi })$ равен двум при $\mathit{\xi }\ne 0$, поэтому $\mathit{w}=c\mathit{\omega }$, где $c$ --- постоянная, и других решений нет. Граничное условие приводит к уравнению $|\mathit{\tau }|c=0$. Значит, $c=0$ при $|\mathit{\tau }|>0$ и, следовательно, $\mathit{v}=0$. Итак, система $\text{(???)}$ с~краевым условием $\mathit{n}\cdot \mathit{u}{|}_{\mathrm{\Gamma }}=g$ при $\lambda \ne 0$ --- эллиптическая задача. Будем говорить при этом, что задача $\text{(???)}$ при $\lambda \ne 0$ является {\it обобщенно эллиптической}. Обобщенная эллиптичность задачи $\text{(???)}$ доказана в~[19]. \smallskip \Section[n] {2.4. Операторы задач ($\text{???}$) и ($\text{???}$) в пространствах ${\mathbf{H}}^{\mathit{s}}(\mathit{G})$} Пусть вектор=функция $\mathit{u}$ принадлежит пространству Соболева ${\mathbf{H}}^{s+1}$, где $s\ge 0$ --- целое. Тогда компоненты $\mathrm{rot}\mathit{u}$ и $\mathrm{div}\mathit{u}$ принадлежат $H^s(G)$, а~вектор=функция $\mathit{f}:=\mathrm{rot}\mathit{u}+\lambda \mathit{u}$ принадлежит пространству $${\mathbf{E}}^s(G)=\{\mathit{f}\in {\mathbf{H}}^s:\mathrm{div}\mathit{f}\in H^s\},\Vert \mathit{v}{\Vert }_{{\mathbf{E}}^s}=(\Vert \mathit{v}{\Vert }_s^2+\Vert \mathrm{div}\mathit{v}{\Vert }_s^2{)}^{1/2}.$$ Функция $g:=\gamma (\mathit{n}\cdot \mathit{u})\equiv \mathit{n}\cdot \mathit{u}{|}_{\mathrm{\Gamma }}$ принадлежит пространству Соболева--~Слободецкого $H^{s+1/2}(\mathrm{\Gamma })$. Следовательно, %при $\lambda \ne 0$ задаче $\text{(???)}$ соответствует ограниченный оператор $$\mathbb{A}\mathit{u}\equiv \left(\begin{array}{c}\mathrm{rot}+\lambda I\gamma \mathit{n}\cdot \end{array}\right)\mathit{u}:{\mathbf{H}}^{s+1}(G)\to \left(\begin{array}{c}{\mathbf{E}}^s(G)H^{s+1/2}(\mathrm{\Gamma })\end{array}\right),$$ а эллиптической задаче $\gamma \mathit{n}\cdot \mathit{u}=g$ для расширенной системы $\text{(???)}$ соответствует оператор $${\mathbb{A}}_R\mathit{u}\equiv \left(\begin{array}{c}\mathrm{rot}+\lambda I\lambda \mathrm{div}\gamma \mathit{n}\cdot \end{array}\right)\mathit{u}:{\mathbf{H}}^{s+1}(G)\to \left(\begin{array}{c}{\mathbf{H}}^s(G)H^s(G)H^{s+1/2}(\mathrm{\Gamma })\end{array}\right).$$ Аналогично, задаче $\text{(???)}$ соответствует ограниченный оператор $$\mathbb{B}\mathit{u}\equiv \left(\begin{array}{c}\mathrm{\nabla }\mathrm{div}+\lambda I\gamma \mathit{n}\cdot \end{array}\right)\mathit{u}:{\mathbf{H}}^{s+2}(G)\to \left(\begin{array}{c}{\mathbf{F}}^s(G)H^{s+3/2}(\mathrm{\Gamma })\end{array}\right),$$ $${\mathbf{F}}^s=\{\mathit{f}\in {\mathbf{H}}^s:\mathrm{rot}\mathit{f}\in H^{s+1}\},\Vert \mathit{v}{\Vert }_{{\mathbf{\text{F}}}^s}=(\Vert \mathit{v}{\Vert }_s^2+\Vert \mathrm{rot}\mathit{v}{\Vert }_{s+1}^2{)}^{1/2},$$ а расширенный эллиптический оператор имеет вид $${\mathbb{B}}_R\mathit{u}\equiv \left(\begin{array}{c}\mathrm{\nabla }\mathrm{div}+\lambda I\lambda \mathrm{rot}\gamma \mathit{n}\cdot \end{array}\right)\mathit{u}:{\mathbf{H}}^{s+2}(G)\to \left(\begin{array}{c}{\mathbf{H}}^s(G){\mathbf{H}}^{s+1}(G)H^{s+3/2}(\mathrm{\Gamma })\end{array}\right).$$ %эллиптичен по Солонникову. Таким образом, краевые задачи $\text{(???)}$ и $\text{(???)}$ являются обобщенно эллиптическими, а операторы ${\mathbb{A}}_R$ и ${\mathbb{B}}_R$ являются {\it эллиптическими по Солонникову}~[11]. Из [11, Теорема~1.1] следуют теоремы~\hyperlink{saks:th1}{1} и \hyperlink{saks:th2}{2} (см.~п.~\hyperlink{S1.4}{1.4}). Область $G$ ограничена гладкой границей. \smallskip \Section[n] {2.5. Спектральные задачи операторов $\text{rot}$ и $\mathrm{\nabla }\text{div}$} Они состоят в~нахождении ненулевых вектор=функций (полей) $\mathit{u}$ и $\mathit{v}$ и чисел $\lambda$ и $\mu$ таких, что $$\text{Multiple label}$$ Из теорем~\hyperlink{saks:th1}{1}, \hyperlink{saks:th2}{2} и оценок вытекают полезные свойства решений {\it спектральных задач} операторов ротора и~градиента дивергенции: $$\text{Unknown environment 'itemize'}$$ \smallskip {\small\sc Замечание. }{\small Автору в~работе [17] удалось найти формулы решений спектральной задачи $\text{(???)}$ в~шаре благодаря идее сведения задачи $\text{(???)}$ к~задаче Дирихле для уравнения Гельмгольца\hyperlink{Foot:7}{${}^5$}\footnotetext{\hypertarget{Foot:7}{${}^5$} Ее осуществил под руководством автора выпусник НГУ 1971~года А.~А.~Фурсенко. В~своей дипломной работе ``Краевая задача для одной равномерно неэллиптической системы'' он решил задачу $\text{(???)}$ в~шаре в~классах Гельдера. } и учебнику Владимирова [18]. Поля ${\mathit{u}}_{\kappa }^{\pm }$, отвечающие ненулевым значениям ротора $\pm {\lambda }_{\kappa }=\pm {\rho }_{n,m}{R}^{-1}$, выражаются через сферические функции и функции ${\psi }_n(z)$, см. $\text{(???)}$, % $$\text{Missing open brace for subscript}$$ где $\kappa =(n,m,k)$, $n$, $m\in \mathbb{N}$, $|k|\le n$, а~числа $\pm {\rho }_{n,m}$ --- нули функций ${\psi }_n(r)$. Поля ${\mathit{q}}_{\kappa }$ со значениями $-{\nu }_{\kappa }^2$, где ${\nu }_{\kappa }={\alpha }_{n,m}{R}^{-1}$, определяются решениями задачи Неймана; ${\alpha }_{n,m}$ --- нули производных ${\psi }_n^{\prime }(r)$, $n\ge 0$. Поля $\{{\mathit{u}}_{\kappa }^{+}\}\cup \{{\mathit{u}}_{\kappa }^{-}\}\cup \{{\mathit{q}}_{\kappa }\}$ образуют базис в ${\mathbf{L}}_2(B)$.} \smallskip \hypertarget{S3}{} \phantomsection% \clear \setcounter{equation}{0} \renewcommand{\theequation}{3.\arabic{equation}} \centerline{\textbf{3. Класс ${\mathbf{\text{V}}}^{\mathbf{0}}$ и его подпространства ${\mathbf{W}}^{\mathit{k}}$}} \smallskip Другой путь решения задачи $\text{(???)}$ открылся после обнаружения важных свойств \hyperlink{saks:a}{а}) и~\hyperlink{saks:b}{б}) решений спектральной задачи $\text{(???)}$ и работы Z.~Yoshida и~Y.~Giga [9]. Они ввели оператор $S:{\mathbf{\text{W}}}^1\to {\mathbf{\text{V}}}^0$ в пространстве ${\mathbf{\text{V}}}^0$ с~областью определения ${\mathbf{W}}^1$, который совпадает с~$\mathrm{rot}\mathit{u}$, если $\mathit{u}\in {\mathbf{W}}^1$, и доказали, что {\it оператор $S$ самосопряжен в} ${\mathbf{\text{V}}}^0,$ {\it имеет точечный спектр ${\sigma }_p(S)\subset \mathbb{R},$ а его собственные поля образуют в}~${\mathbf{\text{V}}}^0$ {\it полный ортогональный базис}. \Section[n] {3.1. Свойства собственных полей ротора. Построение базиса в~${\mathbf{\text{V}}}^{\mathbf{0}}$} Поля ${\mathit{u}}_{\lambda }(\mathit{x})$ принадлежат пространствам ${\mathbf{W}}^1(G)\cap {\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}(\bar{G})$. Из соотношения %\newline $(\mathrm{rot}+\lambda I)(\mathrm{rot}-\lambda I)\mathbf{u}=-\mathrm{\Delta }\mathit{u}+\mathrm{\nabla }\mathrm{div}\mathbf{u}-{\lambda }^2\mathbf{u}$ и определения пространства ${\mathbf{\text{V}}}^0(G)$ видим, что собственные поля ротора ${\mathit{u}}_{\lambda }^{\pm }$, отвечающие значениям $\pm \lambda \ne 0$, являются также собственными полями оператора Лапласа: $$-\mathrm{\Delta }\mathit{u}={\lambda }^2\mathit{u},\mathrm{div}\mathit{u}=0,\mathit{n}\cdot \mathit{u}{|}_{\mathrm{\Gamma }}=0.$$ Множество собственных значений $\mu ={\lambda }^2$ этого оператора счетно, положительно и каждое из них имеет конечную кратность. Перенумеруем их в~порядке возрастания: $0<{\mu }_1\le {\mu }_2\le \dots$, повторяя ${\mu }_k$ столько раз, какова его кратность. Соответствующие вектор=функции обозначим через ${\mathit{u}}_1^{\pm }$, ${\mathit{u}}_2^{\pm }$, \dots, так, чтобы каждому значению $\pm \sqrt{{\mu }_k}$ соответствовала только одна функция~${\mathit{u}}_k^{\pm }$: $\mathrm{rot}{\mathit{u}}_k^{\pm }=\pm \sqrt{{\mu }_k}{\mathit{u}}_k^{\pm }$, $k=1,2,\dots$. Собственные функции, соответствующие одному и тому же собственному значению, выберем ортонормальными, используя процесс ортогонализации Шмидта (см. [18]). Поля, соответствующие различным с.- значениям, ортогональны. Их нормируем. Нормированные собственные поля ротора обозначим через ${\mathit{q}}_j^{\pm }$, норма $\Vert {\mathit{q}}_j^{\pm }\Vert =1$. Они составляют полный ортонормированный базис $B^{\pm }$ в классе ${\mathbf{\text{V}}}^0$ вихревых полей в ${\mathbf{L}}_2(G)$. \smallskip \Section[n] {3.2. Ряды Фурье в ${\mathbf{\text{V}}}^{\mathbf{0}}$} Проекция вектор-функции $\mathit{f}$ из ${\mathbf{L}}_2(G)$ на ${\mathbf{\text{V}}}^0$ имеет вид $${\mathit{f}}_{\mathbf{\text{v}}}=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}[(\mathit{f},{\mathit{q}}_j^{+}){\mathit{q}}_j^{+}+(\mathit{f},{\mathit{q}}_j^{-}){\mathit{q}}_j^{-}].$$ Действительно, частичные суммы ${\mathit{f}}_{\mathbf{\text{v}}}^n$ этого ряда состоят из элементов, для которых $0<{\lambda }_j\le N(n)$: $${\mathit{f}}_{\mathbf{\text{v}}}^n=\sum _{j=1}^n[(\mathit{f},{\mathit{q}}_j^{+}){\mathit{q}}_j^{+}+(\mathit{f},{\mathit{q}}_j^{-}){\mathit{q}}_j^{-}],\Vert {\mathit{f}}_{\mathbf{\text{v}}}^n{\Vert }^2\le \Vert \mathit{f}{\Vert }^2,$$ проекции $(\mathit{f}-{\mathit{f}}_{\mathbf{\text{v}}}^n,{\mathit{q}}_j^{\pm })=0$, если %\,$\mathrm{rot}{\mathit{q}}_j^{\pm }=$, $0<{\lambda }_j\le N(n)$, и $$\Vert {\mathit{f}}_{\mathbf{\text{v}}}-{\mathit{f}}_{\mathbf{\text{v}}}^n{\Vert }^2=\Vert {\mathit{f}}_{\mathbf{\text{v}}}{\Vert }^2-\Vert {\mathit{f}}_{\mathbf{\text{v}}}^n{\Vert }^2\to 0\text{при}n\to \mathrm{\infty }.$$ По построению ${\mathit{f}}_{\mathbf{\text{v}}}^n\in {\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}(\bar{G})$, % \quad $\mathrm{div}{\mathit{f}}_{\mathbf{\text{v}}}^n=0$, ${\gamma }_{\mathit{n}}{\mathit{f}}_{\mathbf{\text{v}}}^n=0$ и~при любом $n$ поле ${\mathit{f}}_{\mathbf{\text{v}}}^n\mathrm{\perp }\mathrm{Ker}(\mathrm{rot})$ в~${\mathbf{L}}_2(G)$. Значит, $({\mathit{f}}_{\mathbf{\text{v}}}^n,\mathrm{\nabla }h)=0$ для любой функции $h\in H^1(G)$. Переходя к пределу, получим $({\mathit{f}}_{\mathbf{\text{v}}},\mathrm{\nabla }h)=0$, то есть вектор ${\mathit{f}}_{\mathbf{\text{v}}}\perp \mathcal{A}\subset \mathrm{Ker}(\mathrm{rot})$. %$ортогоналенпространству$ Вектор ${\mathit{f}}_{\mathbf{\text{V}}}$ Он принадлежит ${\mathbf{\text{V}}}^0$, если пространство ${\mathcal{B}}_H\subset \mathrm{Ker}(\mathrm{rot})$ пусто. \mbox{В~общем случае} %{\color{red} (пояснить, что такое $\mathrm{Ker}(\mathbf{rot})$)} $${\mathit{f}}_{\mathbf{\text{v}}}\in {\mathbf{\text{V}}}^0\iff ({\mathit{f}}_{\mathbf{\text{v}}},{\mathit{h}}_i)=0\mathrm{\forall }i=1,2,\dots ,\rho .$$ Так как $$\mathrm{rot}({\mathit{f}}_{\mathbf{\text{v}}}^n)=\sum _{j=1}^n{\lambda }_j[(\mathit{f},{\mathit{q}}_j^{+}){\mathit{q}}_j^{+}-(\mathit{f},{\mathit{q}}_j^{-}){\mathit{q}}_j^{-}]$$ и суммы ${\mathit{f}}_{\mathbf{\text{v}}}^n$\,\,и $\mathrm{rot}({\mathit{f}}_{\mathbf{\text{v}}}^n)$ принадлежат ${\mathbf{\text{V}}}^0$, то ${\mathit{f}}_{\mathbf{\text{v}}}^n\in {\mathbf{W}}^1$ --- области определения оператора $S$. {\it По определению$,$ $S\mathit{w}=\mathrm{rot}\mathit{w}$ для любого $\mathit{w}\in {\mathbf{W}}^1$}. Следовательно $$S{\mathit{f}}_{\mathbf{\text{v}}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\mathrm{rot}({\mathit{f}}_{\mathbf{\text{v}}}^n)=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }_j[(\mathit{f},{\mathit{q}}_j^{+}){\mathit{q}}_j^{+}-(\mathit{f},{\mathit{q}}_j^{-}){\mathit{q}}_j^{-}],$$ если ряд сходится и принадлежит ${\mathbf{\text{V}}}^0$. Ясно, что $S{\mathit{f}}_{\mathbf{\text{v}}}\in {\mathbf{\text{V}}}^0$, если $$f\in {\mathbf{H}}^1(G),({\mathit{f}}_{\mathbf{\text{v}}},{\mathit{h}}_i)=0\text{и}(S{\mathit{f}}_{\mathbf{\text{v}}},{\mathit{h}}_i)=0\mathrm{\forall }i=1,2,\dots ,\rho .$$ В [9, § 3, с. 240] доказано, что оператор $S$ замкнут. Следовательно, предел $S{\mathit{f}}_{\mathbf{\text{v}}}$ {\it не зависит от выбора в} ${\mathbf{\text{V}}}^0$ {\it последовательности} ${\mathit{w}}_n\to {\mathit{f}}_{\mathbf{\text{v}}}$. \smallskip \Section[n] {3.3. Подпространства ${\mathbf{\text{V}}}^{\mathbf{0}}$} Ранее были введены пространства $${\mathbf{W}}^k(G)=\{\mathit{f}\in {\mathbf{\text{V}}}^0(G),\dots ,{\mathrm{rot}}^k\mathit{f}\in {\mathbf{\text{V}}}^0(G)\}\mathrm{\forall }k\ge 1.$$ Вложение ${\mathbf{W}}^1\subset {\mathbf{H}}^1(G)$ вытекает из оценки $\text{(???)}$ при $s=0$: $$C_0\Vert \mathit{f}{\Vert }_1\le \Vert \mathrm{rot}\mathit{f}\Vert +\Vert \mathit{f}\Vert ,C_0>0.$$ По индукции ${\mathbf{W}}^k\subset {\mathbf{H}}^k(G)$. Очевидно, что ${\mathbf{W}}^k\subset \cdots \subset {\mathbf{W}}^1\subset {\mathbf{\text{V}}}^0.$ При $n<\mathrm{\infty }$ ряды ${\mathit{f}}_{\mathbf{\text{V}}}^n$ принадлежат любому из этих пространств. Оператор $S$ отображает ${\mathbf{W}}^k$ на ${\mathbf{W}}^{k-1}$ при $k>1$, а ${\mathbf{W}}^1$ на ${\mathbf{W}}^0\equiv {\mathbf{\text{V}}}^0$. Пространство ${\mathbf{\text{V}}}^0$ ортогонально ядру ротора в ${\mathbf{L}}_2(G)$, поэтому $S$ имеет единственный обратный оператор $S^{-1}$, определенный на ${\mathbf{\text{V}}}^0$: $$S^{-1}{\mathit{f}}_{\mathbf{\text{V}}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}^{-1}({\mathit{f}}_{\mathbf{\text{V}}}^n)=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }_j^{-1}[(\mathit{f},{\mathit{q}}_j^{+}){\mathit{q}}_j^{+}-(\mathit{f},{\mathit{q}}_j^{-}){\mathit{q}}_j^{-}].$$ В [9] доказано, что оператор $S^{-1}$ компактен. \smallskip {\small\sc Следствие. }{\it Спектр оператора $S^{-1}$ точечный с единственной точкой накопления в нуле$,$ ${\lambda }_j^{-1}\to 0$ при $j\to \mathrm{\infty }.$} \smallskip Очевидно, что оператор $S^{-1}:{\mathbf{\text{V}}}^0\to {\mathbf{W}}^1$ и %так далее, $S^{-1}:{\mathbf{W}}^{k-1}\to {\mathbf{W}}^k$. \smallskip \hypertarget{S3.4}{} \Section[n] {3.4. Полнота пространства ${\mathbf{\text{V}}}^{\mathbf{0}}$} В~базисе из собственных функций ротора скалярное произведение векторов $\mathit{f},\mathit{g}\in {\mathbf{\text{V}}}^0$ имеет вид $$(\mathit{f},\mathit{g})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}({\mathit{f}}_{\mathbf{\text{v}}}^n,{\mathit{g}}_{\mathbf{\text{v}}}^n)=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}[(\mathit{f},{\mathit{q}}_j^{+})(\mathit{g},{\mathit{q}}_j^{+})+(\mathit{f},{\mathit{q}}_j^{-})(\mathit{g},{\mathit{q}}_j^{-})].$$ Согласно Владимирову [18], ортонормальная система $\{{\mathit{q}}_j^{+}\}\cup \{{\mathit{q}}_j^{-}{\}}_{j=1,2,\dots }$ полна в~${\mathbf{\text{V}}}^0$, если для любой $\mathit{f}\in {\mathbf{\text{V}}}^0$ ее ряд $\text{(???)}$ сходится к~$\mathit{f}$ в~${\mathbf{L}}_2(G)$. По [18, § 1.9, Теорема 1] эта система полна в~${\mathbf{\text{V}}}^0$ тогда и только тогда, когда для любой функции $\mathit{f}\in {\mathbf{\text{V}}}^0$ выполняется равенство Парсеваля--~Стеклова, которое называется уравнением замкнутости: $$\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}[(\mathit{f},{\mathit{q}}_j^{+}{)}^2+(\mathit{f},{\mathit{q}}_j^{-}{)}^2]=\Vert \mathit{f}{\Vert }^2.$$ Пространство ${\mathbf{W}}^1$ плотно в ${\mathbf{\text{V}}}^0$, так как множество ${\mathbf{C}}_0^{\mathrm{\infty }}(G)\cap {\mathbf{\text{V}}}^0$, плотное в ${\mathbf{\text{V}}}^0$, содержится в ${\mathbf{W}}^1$. Квадрат нормы $\mathit{f}\in {\mathbf{C}}_0^{\mathrm{\infty }}(G)\cap {\mathbf{\text{V}}}^0$ ограничен: $$\begin{array}{c}\Vert \mathit{f}{\Vert }_{{\mathbf{W}}^1}^2=\Vert \mathit{f}{\Vert }^2+\Vert \mathrm{rot}\mathit{f}{\Vert }^2=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}(1+{\lambda }_j^2)[(\mathit{f},{\mathit{q}}_j^{+}{)}^2+(\mathit{f},{\mathit{q}}_j^{-}{)}^2]<\mathrm{\infty }\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\Vert {\mathit{f}}_{\mathbf{\text{V}}}^n{\Vert }^2=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}[(\mathit{f},{\mathit{q}}_j^{+}{)}^2+(\mathit{f},{\mathit{q}}_j^{-}{)}^2]=\Vert \mathit{f}{\Vert }^2.\hfill \end{array}$$ Полнота пространства ${\mathbf{\text{V}}}^0$ доказана. \smallskip \hypertarget{S3.5}{} \Section[n] {3.5. Самосопряженность оператора $\mathit{S}$} Действительно, если $\mathit{f}$ и $\mathit{g}$ принадлежат ${\mathbf{W}}^1$, то имеют место равенства $$(S\mathit{f},\mathit{g})=(\mathit{f},S\mathit{g})=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }_j[(\mathit{f},{\mathit{q}}_j^{+})(\mathit{g},{\mathit{q}}_j^{+})-(\mathit{f},{\mathit{q}}_j^{-})(\mathit{g},{\mathit{q}}_j^{-})].$$ Отметим, что равенство $${\int }_G(\mathrm{rot}\mathit{u})\cdot \mathit{v}d\mathit{x}={\int }_G\mathit{u}\cdot (\mathrm{rot}\mathit{v})d\mathit{x}$$ % \eqno{(3.13)} для любых функций $\mathit{u}$ и $\mathit{v}$ из $\mathcal{D}(S)$ доказано в~[9], а~в~случае шара --- в~[17]. Также в [9] доказано, что оператор $S$ самосопряжен. \smallskip \Section[n] {3.6. Фредгольмовость оператора $\mathit{S}+\mathit{\lambda }\mathit{I}:{\mathbf{W}}^1\to {\mathbf{\text{V}}}^{\mathbf{0}}$} Действительно, по определению, оператор $S+\lambda I$ совпадает с $\mathrm{rot}+\lambda I$ на ${\mathbf{W}}^1$. При $\mathit{f}\in {\mathbf{W}}^1$ $$(S+\lambda I)\mathit{f}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\mathrm{rot}+\lambda I)({\mathit{f}}_{\mathbf{\text{V}}}^n)=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}[(\lambda +{\lambda }_j)(\mathit{f},{\mathit{q}}_j^{+}){\mathit{q}}_j^{+}+(\lambda -{\lambda }_j)(\mathit{f},{\mathit{q}}_j^{-}){\mathit{q}}_j^{-}]$$ и ряд сходится в ${\mathbf{L}}_2(G)$, поскольку $$\begin{array}{c}\Vert (S+\lambda I)\mathit{f}{\Vert }_{{\mathbf{\text{V}}}^0}^2=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}[|\lambda +{\lambda }_j{|}^2(\mathit{f},{\mathit{q}}_j^{+}{)}^2+|\lambda -{\lambda }_j{|}^2(\mathit{f},{\mathit{q}}_j^{-}{)}^2]\le \le c_0^2\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}(1+{\lambda }_j^2)[(\mathit{f},{\mathit{q}}_j^{+}{)}^2+(\mathit{f},{\mathit{q}}_j^{-}{)}^2]=c_0^2\Vert \mathit{f}{\Vert }_{{\mathbf{W}}^1}^2;\hfill \end{array}$$ $$c_0^2=\underset{j}{max}(a_j^{+},a_j^{-})\text{и}{a}_j^{\pm }=|1\pm \lambda /{\lambda }_j{|}^2/(1+1/{\lambda }_j^2)<\mathrm{\infty },$$ так как при больших ${\lambda }_j$ они находятся в окрестности единицы. Обратный оператор имеет вид $$(S+\lambda I{)}^{-1}\mathit{f}=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}[\frac{(\mathit{f},{\mathit{q}}_j^{+})}{\lambda +{\lambda }_j}{\mathit{q}}_j^{+}(\mathit{x})+\frac{(\mathit{f},{\mathit{q}}_j^{-})}{\lambda -{\lambda }_j}{\mathit{q}}_j^{-}(\mathit{x})],$$ если ни одно из слагаемых этого ряда не обращается в~бесконечность. Это означает, что либо $\lambda \pm {\lambda }_j\ne 0$ для всех $j$, либо $(\mathit{f},{\mathit{q}}_j^{-})=0$, если $\lambda ={\lambda }_j={\lambda }_{j_0}$ и~функция $\mathit{f}$ ортогональна всем собственным полям ${\mathit{q}}_j^{-}(\mathit{x})$ ротора, отвечающим собственному значению ${\lambda }_{j_0}$. При этом $$\begin{array}{c}\Vert (S+\lambda I{)}^{-1}\mathit{f}{\Vert }_{{\mathbf{W}}^1}^2=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}[\frac{(1+{\lambda }_j^2)}{|\lambda +{\lambda }_j{|}^2}(\mathit{f},{\mathit{q}}_j^{+}{)}^2+\frac{(1+{\lambda }_j^2)}{|\lambda -{\lambda }_j{|}^2}(\mathit{f},{\mathit{q}}_j^{-}{)}^2]\le C_0^2\Vert \mathit{f}{\Vert }_{{\mathbf{\text{V}}}^0}^2,C_0^2=\underset{j}{max}(A_j^{+},A_j^{-})\text{и}{A}_j^{\pm }=(1+1/{\lambda }_j^2)/|1\pm \lambda /{\lambda }_j{|}^2<\mathrm{\infty }.\end{array}$$ Итак, оба оператора непрерывны и имеет место теорема~\hyperlink{saks:th3}{3} (п.~\hyperlink{S1.5}{1.5}). Аналогично предыдущему видим, что $$\begin{array}{c}\Vert (S+\lambda I)\mathit{f}{\Vert }_{{\mathbf{W}}^m}^2=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}(1+{\lambda }_j^{2m})[|\lambda +{\lambda }_j{|}^2(\mathit{f},{\mathit{q}}_j^{+}{)}^2+|\lambda -{\lambda }_j{|}^2(\mathit{f},{\mathit{q}}_j^{-}{)}^2]\le \le c_m^2\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}(1+{\lambda }_j^{2(m+1)})[(\mathit{f},{\mathit{q}}_j^{+}{)}^2+(\mathit{f},{\mathit{q}}_j^{-}{)}^2]=c_m^2\Vert \mathit{f}{\Vert }_{{\mathbf{W}}^{m+1}}^2,\hfill \end{array}$$ $$\Vert (S+\lambda I{)}^{-1}\mathit{f}{\Vert }_{{\mathbf{W}}^{m+1}}^2\le C_m^2\Vert \mathit{f}{\Vert }_{{\mathbf{W}}^m}^2,c_m,C_m<\mathrm{\infty }.$$ Числа $c_m$ и $C_m$ при $m=0$ совпадают с $\text{(???)}$ и $\text{(???)}$. По определению, ${\mathbf{W}}^0\equiv {\mathbf{\text{V}}}^0$. Из теоремы~\hyperlink{saks:th3}{3} и оценок следует лемма~\hyperlink{saks:lemma1}{1} (п.~\hyperlink{S1.5}{1.5}) о свойствах отображений $(S+\lambda I)$ и~$(S+\lambda I{)}^{-1}$. Так же доказывается лемма~\hyperlink{saks:lemma2}{2} (п.~\hyperlink{S1.7}{1.7}) о свойствах отображений $({\mathcal{N}}_d+\lambda I)$ и~$({\mathcal{N}}_d+\lambda I{)}^{-1}$. \smallskip \Section[n] {3.7. Сходимость ряда Фурье в норме пространства ${\mathbf{H}}^{\mathit{k}}(\mathbf{\Omega })$} %Рассмотрим область $\mathrm{\Omega }$, гомеоморфную шару, которую в~\cite{sob54} выделил С.~Л.~Соболев. % В~этом случае пространство ${\mathcal{B}}_H(\mathrm{\Omega })$ пусто. Границу области $\mathrm{\Omega }$ будем предполагать гладкой. %Скалярное произведение %в ${\mathbf{H}}^k(\mathrm{\Omega })$ Сергей Львович определяет так: %$$\text{Missing end{equation*}}$$ % В пространстве ${\mathbf{W}}^k(\mathrm{\Omega })=$ %норму $\mathit{f}\in {\mathbf{W}}^k$ выберем так же: %$\Vert \mathit{f}{\Vert }_{{\mathbf{W}}^k}^2\equiv \Vert \mathit{f}{\Vert }^2+\Vert {\mathrm{rot}}^k\mathit{f}{\Vert }^2$. \quad Приведем {\it д\,о\,к\,а\,з\,а\,т\,е\,л\,ь\,с\,т\,в\,о\,\, т\,е\,о\,р\,е\,м\,ы}~\hyperlink{saks:th4}{4} из п.~\hyperlink{S1.6}{1.6}. %Имеет место Теорема 4 (см. п.1.6). %Доказательство Теоремы 4. Граница $\partial \mathrm{\Omega }\in {\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ и~собственные функции ${\mathit{q}}_j^{\pm }(\mathit{x})$ оператора ротор принадлежат классу ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}(\bar{\mathrm{\Omega }})$, а~значит, любому из пространств ${\mathbf{W}}^l(\mathrm{\Omega })$, $l>0$. Поэтому, если ряд Фурье $\text{(???)}$ вектор=функции $\mathit{f}$ из ${\mathbf{H}}^k(\mathrm{\Omega })$ сходится в норме ${\mathbf{H}}^k(\mathrm{\Omega })$, то $\mathit{f}\in {\mathbf{\text{V}}}^0$, $\dots$, ${\mathrm{rot}}^k\mathit{f}\in {\mathbf{\text{V}}}^0\subset {\mathbf{L}}_2(\mathrm{\Omega })$ и, значит, $\mathit{f}\in {\mathbf{W}}^k(\mathrm{\Omega })$. Необходимость доказана. Пусть $\mathit{f}\in {\mathbf{W}}^k(\mathrm{\Omega })$, где $k\ge 1$. Приведем доказательство неравенства $\text{(???)}$. Так как $S\mathit{f}=\mathrm{rot}\mathit{f}$ на ${\mathbf{W}}^k\subset {\mathbf{W}}^1(\mathrm{\Omega })$ и $S{\mathit{q}}_j^{\pm }=\pm {\lambda }_j{\mathit{q}}_j^{\pm }$, то $$(\mathrm{rot}\mathit{f},{\mathit{q}}_j^{\pm })=\pm {\lambda }_j(\mathit{f},{\mathit{q}}_j^{\pm }).$$ Пусть ${\beta }_{k,j}^{\pm }$ коэффициенты Фурье функции ${\mathrm{rot}}^k\mathit{f}$. По формуле $\text{(???)}$ $${\beta }_{k,j}^{\pm }=({\mathrm{rot}}^k\mathit{f},{\mathit{q}}_j^{\pm })=\pm {\lambda }_j({\mathrm{rot}}^{k-1}\mathit{f},{\mathit{q}}_j^{\pm })=\cdots =(\pm {\lambda }_j{)}^k(\mathit{f},{\mathit{q}}_j^{\pm }).$$ Поскольку ${\mathrm{rot}}^k\mathit{f}\in {\mathbf{L}}_2(\mathrm{\Omega })$, то $$\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}[({\beta }_{k,j}^{+}{)}^2+({\beta }_{k,j}^{-}{)}^2]=\Vert {\mathrm{rot}}^k\mathit{f}{\Vert }^2.$$ Итак, для вектор-функций $\mathit{f}\in {\mathbf{W}}^k(\mathrm{\Omega })$ имеем $$\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }_j^{2k}[(\mathit{f},{\mathit{q}}_j^{+}{)}^2+(\mathit{f},{\mathit{q}}_j^{-}{)}^2]=\Vert {\mathrm{rot}}^k\mathit{f}{\Vert }^2\le C\Vert \mathit{f}{\Vert }_{{\mathbf{H}}^k(\mathrm{\Omega })}^2.$$ Последнее неравенство вытекает из определений нормы в ${\mathbf{H}}^k(\mathrm{\Omega })$. Неравенство $\text{(???)}$ доказано. Докажем сходимость ряда $\text{(???)}$ к $\mathit{f}$ в норме ${\mathbf{H}}^k(B)$. Пусть ${\mathit{S}}_l(\mathit{x})$ --- частичная сумма ряда $\text{(???)}$. Очевидно, что ${\mathbf{S}}_l(\mathit{x})\in {\mathbf{W}}^l(\mathrm{\Omega })$ при $l>0$. В частности, $\mathrm{div}{\mathit{S}}_l(\mathit{x})=0$ и $\gamma \mathit{n}\cdot {\mathit{S}}_l(\mathit{x})=0$. Поэтому оценка $\text{(???)}$ при $s=0$ принимает вид $C_1\Vert {\mathit{S}}_l{\Vert }_1\le \Vert \mathrm{rot}{\mathit{S}}_l\Vert +\Vert {\mathit{S}}_l\Vert .$ Поскольку ${\lambda }_j^{-2}\to 0$ при $j\to \mathrm{\infty }$, норма $\Vert {\mathit{S}}_l{\Vert }^2\le c\Vert \mathrm{rot}{\mathit{S}}_l{\Vert }^2$, где $c=\underset{j}{max}{\lambda }_j^{-2}$. Поэтому $\Vert {\mathit{S}}_l{\Vert }_1^2\le a_1\Vert \mathrm{rot}{\mathit{S}}_l{\Vert }^2$ и по индукции $\Vert {\mathit{S}}_l{\Vert }_k^2\le a_k\Vert {\mathrm{rot}}^k{\mathit{S}}_l{\Vert }^2$. Пусть $\mathit{f}\in {\mathbf{W}}^k(\mathrm{\Omega })$, где $k>0$. Согласно неравенству $\text{(???)}$, ряды в его левой части сходятся, и если $l>m\ge 1$, то $$\Vert {\mathit{S}}_l-{\mathit{S}}_m{\Vert }_k^2\le a_k\Vert {\mathrm{rot}}^k({\mathit{S}}_l-{\mathit{S}}_m){\Vert }^2\le a_k\sum _{m+1}^l{\lambda }_j^{2k}[|(\mathit{f},{\mathit{q}}_j^{+}){|}^2+|(\mathit{f},{\mathit{q}}_j^{-}){|}^2]\to 0$$ при $l$, $m\to \mathrm{\infty }$. Это означает, что ряд $\text{(???)}$ сходится к~$\mathit{f}$ в~норме ${\mathbf{H}}^k(B)$. \smallskip {\small\sc Замечание. }{\small Известны вложение пространств ${\mathbf{H}}^k(\mathrm{\Omega })\subset {\mathbf{C}}^{k-2}(\bar{\mathrm{\Omega }})$ при $k\ge 2$ в~трехмерной области $\mathrm{\Omega }$ и оценка $\Vert \mathit{f}{\Vert }_{{\mathbf{C}}^{k-2}(\bar{\mathrm{\Omega }})}\le C_k\Vert \mathit{f}{\Vert }_{{\mathbf{H}}^k(\mathrm{\Omega })}$ для любой функции $\mathit{f}\in {\mathbf{H}}^k(\mathrm{\Omega })$, причем постоянная $C_k>0$ не зависит от $\mathit{f}$ (см., например, [2, Теорема 3, § 6.2]) В частности $$\Vert {\mathit{S}}_l-{\mathit{S}}_m{\Vert }_{{\mathbf{C}}^{k-2}(\bar{\mathrm{\Omega }})}\le C_k\Vert {\mathit{S}}_l-{\mathit{S}}_m{\Vert }_{{\mathbf{H}}^k(\mathrm{\Omega })}.$$ Если $\Vert {\mathit{S}}_l-{\mathit{S}}_m{\Vert }_{{\mathbf{H}}^k(\mathrm{\Omega })}\to 0$ при $l$, $m\to \mathrm{\infty }$, то $\Vert {\mathit{S}}_l-{\mathit{S}}_m{\Vert }_{{\mathbf{C}}^{k-2}(\bar{\mathrm{\Omega }})}\to 0$. Это означает, что ряд $\text{(???)}$ сходится к~$\mathit{f}$ в~${\mathbf{C}}^{k-2}(\bar{\mathrm{\Omega }})$.} \smallskip Теорема доказана. % \newpage \hypertarget{S4}{} \phantomsection% \clear \setcounter{equation}{0} \renewcommand{\theequation}{4.\arabic{equation}} \centerline{\textbf{4. Краевые задачи в ${\mathbf{L}}_{\mathbf{2}}(\mathbf{\Omega })$}} \Section[n] {4.1. Классы $\mathbf{C}\mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{k}\mathbf{,}\mathbf{m}\mathbf{)}$ подпространств в ${\mathbf{L}}_{\mathbf{2}}(\mathbf{\Omega })$} Предположим, что область $\mathrm{\Omega }$ гомеоморфна шару. Если собственные поля ${\mathit{q}}_j(\mathit{x})$ и ${\mathit{q}}_j^{\pm }(\mathit{x})$ градиента дивергенции и ротора известны, то элементы ${\mathit{f}}_{\mathcal{A}}\in \mathcal{A}$ и ${\mathit{f}}_{\mathbf{V}}\in \mathcal{B}={\mathbf{\text{V}}}^0$ представляются рядами Фурье: $${\mathit{f}}_{\mathcal{A}}=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}(\mathit{f},{\mathit{q}}_j){\mathit{q}}_j(\mathit{x}),{\mathit{f}}_{\mathbf{V}}=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}[(\mathit{f},{\mathit{q}}_j^{+}){\mathit{q}}_j^{+}(\mathit{x})+(\mathit{f},{\mathit{q}}_j^{-}){\mathit{q}}_j^{-}(\mathit{x})],$$ а элемент $\mathit{f}$ из ${\mathbf{L}}_2(\mathrm{\Omega })$ --- их суммой ${\mathit{f}}_{\mathcal{A}}+{\mathit{f}}_{\mathbf{V}}$. Причем $\mathrm{div}\mathit{f}=\mathrm{div}{\mathit{f}}_{\mathcal{A}}$, а $\mathrm{rot}\mathit{f}\text{hm}=\mathrm{rot}{\mathit{f}}_{\mathbf{V}}$, так как $\mathrm{rot}{\mathit{f}}_{\mathcal{A}}=0$ в $\mathcal{A}$ и $\mathrm{div}{\mathit{f}}_{\mathbf{V}}=0$ в~$\mathcal{B}$. Скалярное произведение $(\mathit{f},\mathit{g})$ полей $\mathit{f}$, $\mathit{g}$ из ${\mathbf{L}}_2(\mathrm{\Omega })$ равно $({\mathit{f}}_{\mathcal{A}},{\mathit{g}}_{\mathcal{A}})+({\mathit{f}}_{\mathbf{V}},{\mathit{g}}_{\mathbf{V}})$. Представления операторов ${\mathcal{N}}_d$ в ${\mathcal{A}}_{\gamma }$, $S$ в $\mathcal{B}$ и~обратных имеют вид $$\begin{array}{c}{\mathcal{N}}_d{\mathit{f}}_{\mathcal{A}}=-\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{\nu }_j^2(\mathit{f},{\mathit{q}}_j){\mathit{q}}_j,S{\mathit{f}}_{\mathbf{V}}=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }_j[(\mathit{f},{\mathit{q}}_j^{+}){\mathit{q}}_j^{+}-(\mathit{f},{\mathit{q}}_j^{-}){\mathit{q}}_j^{-}],{\mathcal{N}}_d^{-1}{\mathit{f}}_{\mathcal{A}}=-\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{\nu }_j^{-2}(\mathit{f},{\mathit{q}}_j){\mathit{q}}_j,S^{-1}{\mathit{f}}_{\mathbf{V}}=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }_j^{-1}[(\mathit{f},{\mathit{q}}_j^{+}){\mathit{q}}_j^{+}-(\mathit{f},{\mathit{q}}_j^{-}){\mathit{q}}_j^{-}].\end{array}$$ Рассмотрим пространства $${\mathbf{A}}_{\gamma }^{2k}\equiv \{\mathit{f}\in {\mathcal{A}}_{\gamma },\dots ,(\mathrm{\nabla }\mathrm{div}{)}^k\mathit{f}\in {\mathcal{A}}_{\gamma }\}\text{и}{\mathbf{W}}^m\equiv \{\mathit{g}\in {\mathbf{\text{V}}}^0,\dots ,{\mathrm{rot}}^m\mathit{g}\in {\mathbf{\text{V}}}^0\}$$ при $k\ge 1$, $m\ge 1$; ${\mathbf{A}}_{\gamma }^0\equiv \mathcal{A}$, ${\mathbf{W}}^0\equiv {\mathbf{\text{V}}}^0\equiv \mathcal{B}$. Имеют место вложения $${\mathbf{A}}_{\gamma }^{2k}\subset {\mathbf{A}}_{\gamma }^{2(k-1)}\subset {\mathbf{A}}_{\gamma }^2\subset {\mathcal{A}}_{\gamma },{\mathbf{W}}^m\subset {\mathbf{W}}^{m-1}\subset \cdots \subset {\mathbf{W}}^1\subset {\mathbf{\text{V}}}^0.$$ Прямую сумму векторных пространств ${\mathbf{A}}_{\gamma }^{2k}\oplus {\mathbf{W}}^m$ обозначим как $C(2k,m)$ и назовем классом; $k\ge 0$, $m\ge 0$ --- целые, $k+m>0$. Операторы $({\mathcal{N}}_d^{-1},I)$, $(I,S^{-1})$ и $({\mathcal{N}}_d^{-1},S^{-1})$ отображают класс $C(2k,m)$ на классы $C(2(k+1),m)$, $C(2k,m+1)$ и $C(2(k+1),m+1)$ и~обратно (пп.~\hyperlink{S1.5}{1.5} и~\hyperlink{S1.7}{1.7}). \hypertarget{S4.2}{} \smallskip \Section[n] {4.2. Пространство ${\mathbf{E}}^{\mathbf{s}}\mathbf{(}\mathbf{\Omega }\mathbf{)}$, $\mathit{s}\ge \mathbf{0}$ --- целое} Это пространство определяется в [21] так: $${\mathbf{E}}^s=\{\mathit{f}\in {\mathbf{H}}^s:\mathrm{div}\mathit{f}\in H^s\}.$$ Квадрат нормы $\Vert \mathit{f}{\Vert }_{E^s}^2=\Vert \mathit{f}{\Vert }_s^2+\Vert \mathrm{div}\mathit{f}{\Vert }_s^2=\Vert {\mathit{f}}_{\mathcal{A}}{\Vert }_s^2+\Vert \mathrm{div}{\mathit{f}}_{\mathcal{A}}{\Vert }_s^2+\Vert {\mathit{f}}_{\mathbf{V}}{\Vert }_s^2;$ ${\mathbf{E}}^s$ --- гильбертово пространство и $${\mathbf{C}}_0^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })\subset {\mathbf{E}}^s(\mathrm{\Omega }),{\mathbf{H}}^{s+1}(\mathrm{\Omega })\subset {\mathbf{E}}^s(\mathrm{\Omega })\subset {\mathbf{H}}^s(\mathrm{\Omega }).$$ Очевидно, что $\mathrm{rot}\mathit{u}+\lambda \mathit{u}\in {\mathbf{E}}^s(\mathrm{\Omega })$, если $\mathit{u}\in {\mathbf{H}}^{s+1}(\mathrm{\Omega })$. Для функций $v$ из пространства $H^1(\mathrm{\Omega })$ определен [2] оператор {\it следа} $$\gamma :H^1(\mathrm{\Omega })\to H^{1/2}(\omega ),$$ равный следу $v$ на границе $\omega$ для функций из ${\mathcal{C}}^1(\bar{\mathrm{\Omega }})$: $\gamma v=v{|}_{\omega }$, причем $\Vert \gamma v{\Vert }_{L_2(\omega )}\le c\Vert v{\Vert }_{H^1(\mathrm{\Omega })}$. Аналогично, для поля $\mathit{u}(\mathit{x})$ из ${\mathbf{E}}^0(\mathrm{\Omega })$ определен [21] оператор {\it следа ее нормальной компоненты $\mathit{n}\cdot \mathit{u}$}, ${\gamma }_{\mathit{n}}:{\mathbf{E}}^0(\mathrm{\Omega })\to H^{-1/2}(\omega )$, равный сужению $\mathit{n}\cdot \mathit{u}$ на $\omega$ для функций из ${\mathcal{C}}^1(\bar{\mathrm{\Omega }})$: ${\gamma }_{\mathit{n}}\mathit{u}=\mathit{n}\cdot \mathit{u}{|}_{\omega }$. Для $\mathit{u}\in {\mathbf{E}}^0(\mathrm{\Omega })$ и $v\in H^1(\mathrm{\Omega })$ верна обобщенная формула Стокса: $$⟨{\gamma }_{\mathit{n}}\mathit{u},\gamma v⟩=(\mathit{u},\mathrm{\nabla }v)+(\mathrm{div}\mathit{u},v),$$ где $⟨{\gamma }_{\mathit{n}}\mathit{u},\gamma v⟩$ --- линейный функционал над пространством $H^{1/2}(\omega )$; $${\mathbf{E}}_{\gamma }^0(\mathrm{\Omega })\equiv \{\mathit{f}\in {\mathbf{E}}^0:{\gamma }_{\mathit{n}}\mathit{f}=0\}.$$ \hypertarget{S4.3}{} \smallskip \Section[n] {4.3. Метод Фурье решения краевых задач в ${\mathbf{L}}_{\mathbf{2}}(\mathbf{\Omega })$} Пусть в ${\mathbf{L}}_2(\mathrm{\Omega })$ задано поле $\mathit{f}$. Рассмотрим следующие задачи. \smallskip \hypertarget{saks:task:1}{} {\small\sc Задача 1.} {\it Найти поле $\mathit{u}$ в ${\mathbf{L}}_2(\mathrm{\Omega })$ такое$,$ что $$\text{Missing end{equation}}$$ то есть $(\mathit{u},(\mathrm{rot}+\lambda I)\mathit{v})=(\mathit{f},\mathit{v})$ для любого поля} $\mathit{v}\in {\mathbf{C}}_0^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$ %, {\it если след ${\gamma }_{\mathit{n}}\mathit{u}$ существует} ({\it см$.$ п}.~\hyperlink{S4.2}{4.2}) {\it и} ${\gamma }_{\mathit{n}}\mathit{u}=0.$ {\it и ${\gamma }_{\mathbf{n}}\mathbf{u}=0,$ если след ${\gamma }_{\mathbf{n}}\mathbf{u}$ существует}. \smallskip \hypertarget{saks:task:2}{} {\small\sc Задача 2.} {\it Найти поле $\mathit{w}$ в ${\mathbf{L}}_2(\mathrm{\Omega })$ такое$,$ что} $$\text{Missing end{equation}}$$ {\it и ${\gamma }_{\mathbf{n}}\mathbf{w}=0,$ если след ${\gamma }_{\mathbf{n}}\mathbf{w}$ существует}. %{\it если след ${\gamma }_{\mathit{n}}\mathit{w}$ существует} ({\it см$.$ п}.~\hyperlink{S4.2}{4.2}) {\it и} ${\gamma }_{\mathit{n}}\mathit{w}=0$. \smallskip Перейдем {\it в объемлющее пространство} ${\mathbf{L}}_2(\mathrm{\Omega })=\mathcal{A}\oplus \mathcal{B}$. Используя разложение полей $\mathit{f}$, $\mathit{u}$ и $\mathit{w}$ из ${\mathbf{L}}_2(\mathrm{\Omega })$ в суммы ${\mathit{f}}_{\mathcal{A}}+{\mathit{f}}_{\mathbf{V}}$, ${\mathit{u}}_{\mathcal{A}}+{\mathit{u}}_{\mathbf{V}}$ и ${\mathit{w}}_{\mathcal{A}}+{\mathit{w}}_{\mathbf{V}}$ и~расширения $S$ и ${\mathcal{N}}_d$ операторов ротор и градиент дивергенции, запишем эти уравнения в виде уравнений=проекций $$\text{Multiple label}$$ учитывая, что $\mathrm{rot}{\mathit{u}}_{\mathcal{A}}=0$ в $\mathcal{A}$, $\mathrm{\nabla }\mathrm{div}{\mathit{u}}_{\mathbf{V}}=0$ в $\mathcal{B}\equiv {\mathbf{\text{V}}}^0$. \smallskip {\small\sc Замечание.} {\small Если пространство $\mathbf{C}\equiv {\mathcal{B}}_H(G)$ не пусто и $\lambda \ne 0$, то уравнение $(\mathrm{\nabla }\mathrm{div}+\mathrm{rot}+\lambda I)\mathit{u}=\mathit{f}$ распадается на три проекции: $$({\mathcal{N}}_d+\lambda I){\mathit{u}}_{\mathcal{A}}={\mathit{f}}_{\mathcal{A}},(S+\lambda I){\mathit{u}}_{\mathbf{V}}={\mathit{f}}_{\mathbf{V}},\lambda {\mathit{u}}_{\mathbf{C}}={\mathit{f}}_{\mathbf{C}}$$ --- уравнения второго, первого и нулевого порядков соответственно.} \smallskip % теоремы~\hyperlink{saks:th3}{3} и оценок следует лемма~\hyperlink{saks:lemma1}{1} Согласно теореме~\hyperlink{saks:th3}{3} и леммам~\hyperlink{saks:lemma1}{1},~\hyperlink{saks:lemma2}{2}, уравнения $$(S+\lambda I){\mathit{u}}_{\mathbf{V}}={\mathit{f}}_{\mathbf{V}}\text{и}({\mathcal{N}}_d+{\nu }^{2}I){\mathit{u}}_{\mathcal{A}}={\mathit{f}}_{\mathcal{A}}$$ разрешимы по Фредгольму. При $\lambda \ne \mathrm{Sp}(\mathrm{rot})$ проекции решения задачи~\hyperlink{saks:task:1}{1} имеют вид $${\mathit{u}}_{\mathcal{A}}={\lambda }^{-1}{\mathit{f}}_{\mathcal{A}},{\mathit{u}}_{\mathbf{V}}=(S+\lambda I{)}^{-1}{\mathit{f}}_{\mathbf{V}}.$$ Действительно, формулы $\text{(???)}$ получаются из формул $\text{(???)}$, $\text{(???)}$ и~обратимости оператора $S+\lambda I$ при $\lambda \ne \mathrm{Sp}(\mathrm{rot})$ в ${\mathbf{\text{V}}}^0$ (теорема~\hyperlink{saks:th3}{3}, п.~\hyperlink{S1.5}{1.5}). %$$\text{Unknown environment 'itemize'}$$ %\end{theorem} %\newpage % Рассмотрим утверждения теоремы~\hyperlink{saks:th5}{5} и прокомментируем их: \smallskip $$\text{Unknown environment 'itemize'}$$ \smallskip \smallskip % Если $\mathit{f}\in \mathcal{B}\mathrm{\perp }\mathcal{A}$ в % ${\mathbf{L}}_2(\mathrm{\Omega })$, то % $\mathit{u}=(S+\lambda {)}^{-1}{\mathit{f}}_{\mathit{v}}\in {\mathbf{W}}^1\subset {\mathbf{H}}_{\gamma }^1(\mathrm{\Omega })$. % % Если $\mathit{f}\in {\mathbf{E}}_{\gamma }^0(\mathrm{\Omega })$, то $\mathit{u}={\mathit{u}}_{\mathcal{A}}+{\mathit{u}}_{\mathit{v}}\in {\mathbf{H}}_{\gamma }^1(\mathrm{\Omega })$. $$\text{Unknown environment 'itemize'}$$ \smallskip \smallskip $$\text{Unknown environment 'itemize'}$$ Теорема~\hyperlink{saks:th5}{5} доказана. \smallskip {\small\sc Замечание. }{\small В~случае шара эта теорема имеет наиболее натуральный вид. Сог\-лас\-но [17], собственные значения ${\lambda }_{n,m}$ оператора $S$ в шаре радиуса $R$ равны $\pm {\rho }_{n,m}{R}^{-1}$, где числа $\pm {\rho }_{n,m}$ --- нули функций ${\psi }_n(r)$ (см. $\text{(???)}$), $m$, $n\in \mathbb{N}$; кратность собственного значения ${\lambda }_{n,m}$ равна $2n+1$. Собственные поля ${\mathit{q}}_{\kappa }^{\pm }(\mathit{x})$ ротора и ${\mathit{q}}_{\kappa }(\mathit{x})$ градиента дивергенции, $\kappa =(n,m,k)$, выражены явно через сферические функции и функции~${\psi }_n(r)$.} \smallskip Из теоремы~\hyperlink{saks:th5}{5} и леммы~\hyperlink{saks:lemma1}{1} очевидно следуют лемма~\hyperlink{saks:lemma3}{3} и ее следствие. Решение краевой задачи \hyperlink{saks:task:2}{2} при $\lambda \ne \mathrm{Sp}(\mathrm{\nabla }\mathrm{div})$ аналогично [19]. Таким образом, задачи \hyperlink{saks:task:1}{1} и \hyperlink{saks:task:2}{2} решены полностью. \hypertarget{S4.4}{} \smallskip \Section[n] {4.4. О приложениях} Собственные поля ротора имеют приложения в гидродинамике [6], где они называются полями Бельтрами; в~астрофизике и~в~физике плазмы они называются бессиловыми полями (force-free magnetic fields --- L.~Woltjer [22], free-decay fields --- J.~B.~Taylor~[23]). В.~И.~Арнольд [24] и~В.~В.~Козлов [25] изучали топологию линий тока течений идеальной жидкости при условии $[\mathrm{rot}\mathit{v},\mathit{v}]\ne 0$. Об этих и других работах подробно написано в~работе [17]. Отметим еще работы L.~Woltjer [22, 26], который ввел понятие спиральности (helicity) гладкого векторного поля в~области $\mathrm{\Omega }\subset {\mathbb{R}}^3$. J.~Cantarella, D.~DeTurck, H.~Gluck и M.~Teytel [27] изучили линии тока собственных полей ротора с~минимальным собственным значением в~шаре и~в~шаровом слое. Автор вывел формулы собственных полей ротора и градиента дивергенции в шаре для любых собственных значений (см. [17, 28, 29]). [27] и~опубликованные в [28] примерно в~то же время, дополняют формулы, приведенные в~[27], которые получены, следуя работам [22, 26]. Установлена связь собственных полей ротора и Стокса [17, 30]. Для нелинейной системы Навье--~Стокса с~периодическими граничными условиями найдены явные решения [31]. Совместно с~А.~Г.~Хайбуллиным автор разработал новый метод численного решения задачи Коши [32, 33]. Профессор Г.~Г.~Исламов [34], используя формулу из работы [30], осуществил визуализацию линий тока поля $u_{1,1,0}^{+}(\mathit{x})$ ротора с~минимальным собственным значением в~шаре.\hyperlink{Foot:8}{${}^6$}\footnotetext{\hypertarget{Foot:8}{${}^6$} Данная визуализация была представлена Г.~Г.~Исламовым в~докладе <<Моделирование полей смещения вакуума в системе ``Mathematica''>> на 4-ой Российской конференции по~технологиям Wolfram (г.~Санкт--Петербург, 6--7 июня 2016~г.). На момент написания данной статьи материалы этого доклада были доступны по следующей ссылке: \mbox{\url{http://wac.36f4.edgecastcdn.net/0036F4/pub/www.wolfram.com/pdf/report-islamov.pdf}.} Представленный рисунок получен с помощью программы, переданной автору Г.~Г.~Исламовым.} Траектория движения отдельной точки напоминает нить, которая наматывается на тороидальную катушку (см.~рисунок). $$\text{Unknown environment 'figure'}$$ В работе М. Е. Боговского [35] исследована задача Дирихле для оператора дивергенции, важная в гидродинамике (см. [6, § 2 гл. 1]). Cтатья В. Н. Масленниковой и М. Е. Боговского [36] содержит обзор работ по решению задачи С. Л. Соболева [5] и~\textit{аппроксимации потенциальных и~соленоидальных векторных полей финитными бесконечно дифференцируемыми полями}. В частности, они пишут, что в~1976~г. J.~Heywood [37] построил соленоидальное векторное поле в~$W_2^1(\mathrm{\Omega })$, которое не аппроксимируется векторными полями из $J_0^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })=\{\mathit{u}\in C_0^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega }):\mathrm{div}\mathit{u}=0\}$.