A modified Cauchy problem for an inhomogeneous equation of degenerate hyperbolic type of the second kind

Full Text

Введение

Известно, что задача Коши для вырождающихся гиперболических уравнений с начальными данными на линии параболического вырождения не всегда бывает корректно поставленной. В том случае, когда задача Коши поставлена некорректно, необходимо рассмотреть видоизмененную задачу Коши (см., напр., [1–3]). На корректность таких задач существенно влияют коэффициенты и показатель вырождения рассматриваемого уравнения. Естественно, что эта проблема связана и с вопросом о корректной постановке и исследовании краевых задач для уравнений смешанного типа, содержащих такие уравнения (см., напр., [4–12]).

В конечной односвязной области $D$, ограниченной его характеристиками $OB:x-2\sqrt{-y}=0$, $AB:x+2\sqrt{-y}=1$ и $OA:y=0$, рассматривается вырождающееся гиперболическое уравнение второго рода
\[ \begin{equation}
L_{\alpha, \lambda}(u)\equiv u_{xx}+yu_{yy}+\alpha u_y-\lambda^2u=f(x,y), \quad y<0,
\end{equation} \tag{1} \]
где $\alpha$ и $\lambda$ — заданные числа, причем $\alpha<1$, $\lambda\in\mathbb{R}$ или $i\lambda\in\mathbb{R}$, $f(x, y)$ — заданная функция.

Отметим, что М. Чибрарио одним из первых провела углубленный анализ уравнения (1) при $\alpha=0$ и $\lambda =0$ [13]. С. А. Терсенов [2], И. Л. Кароль [14], М. С. Салахитдинов, С. С. Исамухаммедов [6], В. А. Елеев [3], J. W. Reyn [15], Ю. М. Крикунов [16], Р. С. Хайруллин [4], Н. К. Мамадалиев [5] и многие другие исследовали различные задачи для уравнения (1) при различных значениях $\alpha$, когда $\lambda =0$ и $f(x,y)=0$. Следует отметить, что М. В. Капилевич исследовал задачу Коши для уравнения (1) при $\alpha\in( 1/2, 1)$ и $f(x,y)=0$ [17]. При $\alpha =1/2$ и $f(x, y)=0$ уравнение (1) сводится к телеграфному уравнению задачи Коши, которая была изучена в [18]. Задачу Коши для уравнения (1) при $\alpha\in(0, 1/2)$ и $f(x, y)=0$ исследовал Ф. Ф. Евдокимов [19]. В работе [20] для уравнения (1) при $\alpha\in\mathbb{R}\backslash (0, 1)$ и $f(x,y)=0$ сформулирована видоизмененная задача Коши, аналогичная предложенной задаче в [2], и получена формула единственного решения поставленной задачи. В работе [21] поставлена и изучена задача типа Коши с производными высокого порядка в начальных условиях для уравнения (1) при $f(x, y)=0$ в характеристическом треугольнике.

В этой работе исследуется следующая видоизмененная задача Коши для уравнения (1).

Задача Коши. Найти функцию $u(x,y)\in C(\overline{D})\cap C^2(D)$, удовлетворяющую в области $D$ уравнению (1) и следующим начальным условиям:
\[ \begin{equation}
\begin{cases}
u(x,0)=\tau(x),& x\in[0{,}1];
\\
\lim\limits_{y\to -0}(-y)^{\alpha}(\partial/\partial y)[ u-A_{\alpha}^{-}(\tau,\lambda)]=\nu(x),& x\in(0,1),
\end{cases}
\end{equation} \tag{2} \]
где $\tau(x)$, $\nu(x)$ и $f(x,y)$ — заданные функции, $A_{\alpha}^{-}(\tau ,\lambda)$ — оператор вида
\[ \begin{multline}
A_{\alpha }^{-}(\tau,\lambda)=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{\Gamma(2n+2\beta)(4y)^kC_n^k}{\Gamma^2(n+\beta)(\beta+1/2)_k(\beta+n)_k}\times{}
\\
{}\times\int_0^1\Psi_k(\tau,\lambda)[z(1-z)]^{k+n+\beta-1}\bar{J}_{k+n+\beta-1}(\sigma)dz
\end{multline} \tag{3} \]
при $\alpha\ne -n$, $\alpha\ne 1/2-n$, $n=0,1,2,\dots$; вида
\[ \begin{equation}
A_{-n+1/2}^{-}(\tau,\lambda)=\sum\limits_{k=0}^{n+1}\frac{C_{n+1}^k(4y)^k}{k!(-n+1/2)_k}\int_0^1\Psi_k(\tau,\lambda)[z(1-z)]^k\bar{J}_k(\sigma)dz
\end{equation} \tag{4} \]
при $\alpha=1/2-n$, $n=0,1,2,\dots$; вида
\[ \begin{multline}
A_{-n}^{-}(\tau,\lambda)=\frac{1}{\pi}\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{(4y)^kC_{n+1}^k}{(-n)_k(1/2)_k}\int_0^1\Psi_k(\tau,\lambda)[z(1-z)]^{k-1/2}\bar{J}_{k-1/2}(\sigma)dz+{}
\\
{}+\frac{4(4y)^{n+1}}{\pi(-n)_n(3/2)_n}\int_0^1\Psi_{n+1}(\tau,\lambda)[z(1-z)]^{n+1/2}\times{}
\\
{}\times\{\ln[\sqrt{-y}z(1-z)]\bar{J}_{n+1/2}(\sigma)-\Omega_{n+1/2}(\sigma)\}dz
\end{multline} \tag{5} \]
при $\alpha =-n$, $n=0,1,2,\dots$;
\[ \begin{equation*}
\Omega_{\gamma}(\sigma)=\sum\limits_{m=1}^{\infty}\frac{(-1)^m(\sigma/2)^{2m}}{m!(\gamma+1)_{m}}\sum\limits_{j=1}^{m}\frac{1}{\gamma+j};
\end{equation*} \]
$\Psi_k(\tau,\lambda)=\bigl(\lambda^2- {d^2}/{dx^2}\bigr)^k\tau(x)$, $\sigma=4\lambda\sqrt{-yz(1-z)}$, $\beta=\alpha-1/2$, $\Gamma(\delta)$ — гамма-функция Эйлера, $(a)_m=a(a+1)\cdots(a+m-1)$ — символ Похгаммера, $J_{\gamma}(z)$ — функция Бесселя первого рода, $\bar{J}_{\gamma}(z)=\Gamma(\gamma+1)(z/2)^{-\gamma}J_{\gamma}(z)$, т.е.
\[ \begin{equation*}
\bar{J}_{\gamma}(z)=\Gamma(\gamma+1)\sum\limits_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^m(z/2)^{2m}}{m!\Gamma(m+\gamma+1)}, \quad \gamma \ne -1, -2, -3, \dots .
\end{equation*} \]

1. Исследование видоизмененной задачи Коши

Решение задачи (1), (2) будем искать в виде
\[ \begin{equation}
u(x,y)= v (x,y)+\omega(x,y),
\end{equation} \tag{6} \]
где $v(x,y)$ — решение задачи
\[ \begin{equation*}
L_{\alpha,\lambda}( v )\equiv v _{xx}+y v _{yy}+\alpha v _y-\lambda^2 v =0, \quad y<0;
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
\begin{cases}
v (x,0)=\tau(x), & x\in[0{,}1]; \\
\lim\limits_{y\to -0}(-y)^{\alpha}(\partial/\partial y)[ v -A_{\alpha}^{-}(\tau,\lambda)]=\nu(x), &x\in(0,1),
\end{cases}
\end{equation*} \]
которое определяется формулой [20]
\[ \begin{multline}
v (x,y)=A_{\alpha}^{-}(\tau,\lambda)-{}
\\
{}-\gamma_1(-y)^{1-\alpha}\int_0^1\nu \bigl(x-2\sqrt{-y}(1-2z) \bigr)[z(1-z)]^{-\beta}\bar{J}_{-\beta}(\sigma)dz.
\end{multline} \tag{7} \]
Здесь $\gamma_1=\Gamma(2-2\beta)/[(1-\alpha)\Gamma^2(1-\beta)]$, $\sigma=4\lambda\sqrt{-yz(1-z)}$, $A_{\alpha}^{-}(\tau,\lambda)$ — определяется по формулам (3)–(5), $\omega(x,y)$ — решение задачи
\[ \begin{equation}
L_{\alpha,\lambda}(\omega)=f(x,y), \quad y<0;
\end{equation} \tag{8} \]
\[ \begin{equation}
\begin{cases}
\omega(x,0)=0,& x\in[0{,}1]; \\
\lim\limits_{y\to -0}(-y)^{\alpha}(\partial/\partial y)\omega(x,y)=0, & x\in(0,1).
\end{cases}
\end{equation} \tag{9} \]
Из (9) вытекает, что [21]
\[ \begin{equation}
\lim\limits_{y\to -0}(-y)^{\alpha-1}\omega(x,y)=0.
\end{equation} \tag{10} \]

Исследуем задачу (8), (9) методом Римана. Уравнение (8) и условия (9) в характеристических координатах \(\xi =x-2\sqrt{-y}\), \(\eta =x+2\sqrt{-y}\) имеют вид
\[ \begin{equation*}
E_{\lambda}(W)\equiv W_{\xi\eta}+\frac{\beta}{\eta -\xi }(W_{\xi}-W_{\eta})-\frac{\lambda^2}{4}W=F(\xi,\eta),
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation}
W(\xi,\xi)=0,\quad \lim\limits_{\eta -\xi \to 0}\frac{(\eta-\xi)^{2\beta}}{4^{\beta-1/2}}[W_{\xi}(\xi,\eta)-W_{\eta}(\xi,\eta)]=0,
\end{equation} \tag{11} \]
где $W(\xi,\eta)=\omega(x,y)$, $F(x,y)= f(\xi,\eta)/4$. В координатах $\xi$, $\eta$ равенство (10) имеет вид
\[ \begin{equation}
\lim\limits_{\eta -\xi \to 0}\Bigl(\frac{\eta-\xi}{4}\Bigr)^{2\beta-1}W(\xi,\eta)=0.
\end{equation} \tag{12} \]

В характеристическом треугольнике $\Delta_0$, ограниченном прямыми $\xi=\eta$, $\xi=\xi_0$, $\eta=\eta_0$, рассмотрим функцию Римана [22]:
\[ \begin{equation*}
R(\xi,\eta;\xi_0,\eta_0)=\frac{(\eta-\xi)^{2\beta}}{(\eta-\xi_0)^{\beta}(\eta_0-\xi)^{\beta}}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{\rho^k}{(k!)^2}F(\beta,\beta+k,1+k;\theta),
\end{equation*} \]
где $\rho= \lambda^2(\eta_0-\eta)(\xi-\xi_0)/{4}$, $\theta= (\eta_0-\eta)(\xi-\xi_0)/[(\eta-\xi_0)(\eta_0-\xi)]$. Легко видеть, что
\[ \begin{equation*}
E_{\lambda}^{*}(R)\equiv R_{\xi\eta}-\frac{\beta}{\eta-\xi}(R_{\xi}-R_{\eta})-\frac{2\beta}{(\eta-\xi)^2}R-\frac{\lambda^2}{4}R=0;
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation}
\frac{\partial}{\partial\xi}R(\xi,\eta;\xi_0,\eta_0)\Bigr|_{\eta =\eta_0}+\frac{\beta}{\eta-\xi}R(\xi,\eta;\xi_0,\eta_0)\Bigr|_{\eta =\eta_0}=0;
\end{equation} \tag{13} \]
\[ \begin{equation}
\frac{\partial}{\partial\eta}R(\xi,\eta;\xi_0,\eta_0)\Bigr|_{\xi=\xi_0}-\frac{\beta}{\eta-\xi}R(\xi,\eta;\xi_0,\eta_0)\Bigr|_{\xi=\xi_0}=0;
\end{equation} \tag{14} \]
\[ \begin{equation}
\frac{\partial}{\partial\xi_0}R(\xi,\eta;\xi_0,\eta_0)\Bigr|_{\eta=\eta_0}-\frac{\beta}{\eta_0-\xi_0}R(\xi,\eta;\xi_0,\eta_0)\Bigr|_{\eta=\eta_0}=0;
\end{equation} \tag{15} \]
\[ \begin{equation}
\frac{\partial}{\partial\eta_0}R(\xi,\eta;\xi_0,\eta_0)\Bigr|_{\xi =\xi_0}+\frac{\beta}{\eta_0-\xi_0}R(\xi,\eta;\xi_0,\eta_0)\Bigr|_{\xi =\xi_0}=0;
\end{equation} \tag{16} \]
\[ \begin{equation}
R(\xi_0,\eta_0;\xi_0,\eta_0)=1.
\end{equation} \tag{17} \]
Имеет место тождество
\[ \begin{equation}
2RE_{\lambda}(W)-2WE_{\lambda}^{*}(R)=2RF(\xi,\eta)=\frac{\partial}{\partial\eta}M+\frac{\partial}{\partial\xi}N,
\end{equation} \tag{18} \]
где
\[ \begin{equation*}
M=\Bigl(\frac{\partial W}{\partial\xi}R-W\frac{\partial R}{\partial\xi}-\frac{2\beta}{\eta-\xi}WR\Bigr),
\quad
N=\Bigl( \frac{\partial W}{\partial \eta }R-W\frac{\partial R}{\partial \eta }+\frac{2\beta }{\eta -\xi }WR \Bigr).
\end{equation*} \]
Проинтегрируем тождество (18) по треугольнику, ограниченному прямыми$\xi=\xi_0$, $\eta=\eta_0$, $\eta-\xi=\varepsilon$, $\varepsilon>0$:
\[ \begin{equation}
2\int_{\xi_0}^{\eta_0-\varepsilon}\!\!{d\xi}\int_{\xi+\varepsilon}^{\eta_0}{F(\xi,\eta)R}d\eta=\int_{\xi_0}^{\eta_0-\varepsilon }\!\!{d\xi}\int_{\xi+\varepsilon}^{\eta_0}{\frac{\partial}{\partial\eta}M}d\eta+\int_{\xi_0+\varepsilon}^{\eta_0}\!\!{d\eta}\int_{\xi_0}^{\eta-\varepsilon}{\frac{\partial }{\partial \xi }N}d\xi. 
\end{equation} \tag{19} \]
Вычислив внутренние интегралы, имеем
\[ \begin{equation*}
2\int_{\xi_0}^{\eta_0-\varepsilon}{d\xi}\int_{\xi+\varepsilon}^{\eta_0}{F(\xi,\eta)R}d\eta=\int_{\xi_0}^{\eta_0-\varepsilon}{M\Bigr|_{\eta=\xi+\varepsilon}^{\eta=\eta_0}d\xi }+\int_{\xi_0+\varepsilon}^{\eta_0}{N\Bigr|_{\xi=\xi_0}^{\xi=\eta-\varepsilon}d\eta }.
\end{equation*} \]
Отсюда, принимая во внимание свойства (13), (14) и (17), получим
\[ \begin{equation}
\int_{\xi_0}^{\eta_0-\varepsilon}{ M\Bigr|_{\eta=\xi+\varepsilon}^{\eta=\eta_0}d\xi}=W(\eta_0-\varepsilon,\eta_0)R(\eta_0-\varepsilon,\eta_0;\xi_0,\eta_0)-W(\xi_0,\eta_0)-J_1,
\end{equation} \tag{20} \]
\[ \begin{equation}
\int_{\xi_0+\varepsilon}^{\eta_0}{N\Bigr|_{\xi=\xi_0}^{\xi=\eta-\varepsilon}d\eta }=J_2-W(\xi_0,\eta_0)+W(\xi_0,\xi_0+\varepsilon)R(\xi_0,\xi_0+\varepsilon;\xi_0,\eta_0),
\end{equation} \tag{21} \]
где
\[ \begin{equation}
J_1=\int_{\xi_0}^{\eta_0-\varepsilon}{\Bigl(\frac{\partial W}{\partial \xi }R-W\frac{\partial R}{\partial \xi }-\frac{2\beta }{\eta -\xi }WR \Bigr)\Bigr|_{\eta =\xi +\varepsilon }}d\xi,
\end{equation} \tag{22} \]
\[ \begin{equation}
J_2=\int_{\xi_0+\varepsilon}^{\eta_0}\Bigl( \frac{\partial W}{\partial \eta }R-W\frac{\partial R}{\partial \eta }+\frac{2\beta }{\eta -\xi }WR\Bigr)\Bigr|_{\xi=\eta -\varepsilon }d\eta. 
\end{equation} \tag{23} \]
Теперь, вычисляем
\[ \begin{multline}
J_2-J_1=\int_{\xi_0}^{\eta_0-\varepsilon}\Bigl( \frac{\partial W}{\partial \eta }-\frac{\partial W}{\partial \xi } \Bigr)R \Bigr|_{\eta=\xi +\varepsilon}d\xi+{}
\\
{}+\int_{\xi_0}^{\eta_0-\varepsilon}W\Bigl( \frac{\partial R}{\partial \xi }-\frac{\partial R}{\partial \eta }+\frac{4\beta }{\eta -\xi }R \Bigr)\Bigr|_{\eta=\xi+\varepsilon}d\xi.
\end{multline} \tag{24} \]
Учитывая (11) и (12), имеем
\[ \begin{equation*}
\lim\limits_{\varepsilon\to0}\Bigl(\frac{\partial W}{\partial\eta}-\frac{\partial W}{\partial \xi } \Bigr)R \Bigr|_{\eta =\xi +\varepsilon }=0,
\quad
\lim\limits_{\varepsilon\to0} W\Bigl(\frac{\partial R}{\partial \xi }-\frac{\partial R}{\partial \eta }+\frac{4\beta }{\eta -\xi }R \Bigr)\Bigr|_{\eta=\xi+\varepsilon }=0.
\end{equation*} \]
Принимая во внимание (20)–(24), из формулы (19) в пределе при $\varepsilon\to0$ получаем
\[ \begin{equation*}
W(\xi_0,\eta_0)=\int_{\xi_0}^{\eta_0}{d\xi}\int_{\xi}^{\eta_0}{F(\xi,\eta)R(\xi,\eta;\xi_0,\eta_0)}d\eta.
\end{equation*} \]
Возвращаясь к переменным $x$ и $y$, получим
\[ \begin{multline}
\omega(x,y)=\frac{1}{4}\int_{x-2\sqrt{-y}}^{x+2\sqrt{-y}}{d\xi}\int_{\xi}^{x+2\sqrt{-y}}f\Bigl(\frac{\xi+\eta}{2},-\frac{(\eta-\xi)^2}{16}\Bigr)\times{}
\\
{}\times R(\xi,\eta;x-2\sqrt{-y},x+2\sqrt{-y})d\eta.
\end{multline} \tag{25} \]

Теорема 1. Если $f(x,y)=(-y)^{\alpha}f_1(x,y)$, $f_1(x,y)\in{C^1}(\bar{D})$, то функция (25) является единственным решением задачи (8), (9).

Доказательство. Сначала докажем, что функция (25) удовлетворяет уравнению (1). Для этого вычислим следующие производные:
\[ \begin{multline*}
\omega_{xx}(x,y)=\frac12f(x,y)+{}
\\
{}+\frac{1}{4}\int_{x-2\sqrt{-y}}^{x+2\sqrt{-y}}\frac{\partial }{\partial x}f\Bigl( \frac{x-2\sqrt{-y}+\eta }{2},-\frac{(\eta-x+2\sqrt{-y})^2}{16} \Bigr)\times {} \hspace{3cm}
\\
\hspace{4cm} {}\times R(x-2\sqrt{-y},\eta;x-2\sqrt{-y},x+2\sqrt{-y})d\eta+{}
\\
{}+\frac{1}{4}\int_{x-2\sqrt{-y}}^{x+2\sqrt{-y}}f\Bigl(\frac{x-2\sqrt{-y}+\eta}{2},-\frac{(\eta-x+2\sqrt{-y})^2}{16}\Bigr)\times {} \hspace{3.5cm}
\\
\hspace{4cm} {} \times\frac{\partial }{\partial x}R( x-2\sqrt{-y},\eta;x-2\sqrt{-y},x+2\sqrt{-y})d\eta -{}
\\
{}-\frac{1}{4}\int_{x-2\sqrt{-y}}^{x+2\sqrt{-y}}\frac{\partial}{\partial x}f\Bigl( \frac{\xi +x+2\sqrt{-y}}{2},-\frac{( x+2\sqrt{-y}-\xi)^2}{16} \Bigr)\times {} \hspace{3cm}
\\
\hspace{4.0cm} {}\times R( \xi ,x+2\sqrt{-y};x-2\sqrt{-y},x+2\sqrt{-y})d\xi -{}
\\
{}-\frac{1}{4}\int_{x-2\sqrt{-y}}^{x+2\sqrt{-y}}f\Bigl(\frac{\xi+x+2\sqrt{-y}}{2},-\frac{(x+2\sqrt{-y}-\xi)^2}{16}\Bigr)\times {}\hspace{3.5cm}
\\
\hspace{3.5cm} {}\times\frac{\partial}{\partial x}R(\xi,x+2\sqrt{-y};x-2\sqrt{-y},x+2\sqrt{-y})d\xi -{}
\\
{}-\frac{1}{4}\int_{x-2\sqrt{-y}}^{x+2\sqrt{-y}} f\Bigl( \frac{\xi +\eta }{2},-\frac{(\eta-\xi)^2}{16} \Bigr)\times {} \hspace{6.0cm}
\\
\hspace{3.5cm} {}\times\frac{\partial}{\partial x}R(\xi,\eta;x-2\sqrt{-y}, x+2\sqrt{-y}) \Bigr|_{\xi =x-2\sqrt{-y}}d\eta -{}
\\
{} -\frac{1}{4}\int_{x-2\sqrt{-y}}^{x+2\sqrt{-y}}f\Bigl( \frac{\xi +\eta }{2},-\frac{(\eta-\xi)^2}{16} \Bigr)\times{}\hspace{6.0cm}
\\
\hspace{3.5cm} {}\times\frac{\partial}{\partial x} R(\xi,\eta;x-2\sqrt{-y},x+2\sqrt{-y})\Bigr|_{\eta=x+2\sqrt{-y}}d\xi-{}
\\
{}-\frac{1}{4}\int_{x-2\sqrt{-y}}^{x+2\sqrt{-y}}{d\xi}\int_{\xi }^{x+2\sqrt{-y}}f\Bigl(\frac{\xi+\eta}{2}-\frac{(\eta-\xi)^2}{16}\Bigr)\times{} \hspace{3.5cm}
\\
{}\times\frac{\partial^2}{\partial x^2}R(\xi,\eta;x-2\sqrt{-y},x+2\sqrt{-y})d\eta;
\end{multline*} \]

\[ \begin{multline}
\omega_y(x,y)=\frac{1}{4\sqrt{-y}}\int_{x-2\sqrt{-y}}^{x+2\sqrt{-y}} f\Bigl( \frac{\xi +\eta }{2},-\frac{{{\left( \eta -\xi \right)}^{2}}}{16} \Bigr)\times{}
\\
\hspace{3.5cm} {}\times R(\xi,\eta;x-2\sqrt{-y},x+2\sqrt{-y})\Bigr|_{\xi=x-2\sqrt{-y}}d\eta +{}
\\
{}+\frac{1}{4\sqrt{-y}}\int_{x-2\sqrt{-y}}^{x+2\sqrt{-y}} f\Bigl( \frac{\xi +\eta }{2},-\frac{(\eta-\xi)^2}{16}\Bigr)\times{} \hspace{5cm}
\\
\hspace{3.5cm} {}\times R(\xi,\eta;x-2\sqrt{-y},x+2\sqrt{-y})\Bigr|_{\eta=x+2\sqrt{-y}}d\xi - {}
\\
{} -\frac{1}{4}\int_{x-2\sqrt{-y}}^{x+2\sqrt{-y}}{d\xi }\int_{\xi }^{x+2\sqrt{-y}}f\Bigl( \frac{\xi +\eta }{2},-\frac{(\eta-\xi)^2}{16}\Bigr)\times {} \hspace{4cm}
\\
{}\times\frac{\partial}{\partial y}R( \xi ,\eta ;x-2\sqrt{-y},x+2\sqrt{-y})d\eta.
\end{multline} \tag{26} \]

\[ \begin{multline*}
\omega_{yy}(x,y)=\frac{1}{8\sqrt{-y^3}}\int_{x-2\sqrt{-y}}^{x+2\sqrt{-y}}f\Bigl(\frac{\xi +\eta }{2},-\frac{(\eta-\xi)^2}{16}\Bigr)\times{}
\\
\hspace{3.5cm} {}\times R(\xi,\eta;x-2\sqrt{-y},x+2\sqrt{-y})\Bigr|_{\xi=x-2\sqrt{-y}}d\eta +{}
\\
{}+\frac{1}{2y}f(x,y)+\frac{1}{4\sqrt{-y}}\int_{x-2\sqrt{-y}}^{x+2\sqrt{-y}}\frac{\partial}{\partial y}f\Bigl(\frac{x-2\sqrt{-y}+\eta }{2},-\frac{(\eta-x+2\sqrt{-y})^2}{16}\Bigr)\times {}
\\
\hspace{3.5cm} {} \times R(x-2\sqrt{-y},\eta;x-2\sqrt{-y},x+2\sqrt{-y})d\eta +{}
\\
{}+\frac{1}{4\sqrt{-y}}\int_{x-2\sqrt{-y}}^{x+2\sqrt{-y}}f\Bigl(\frac{x-2\sqrt{-y}+\eta }{2},-\frac{(\eta-x+2\sqrt{-y})^2}{16}\Bigr)\times {}\hspace{2.6cm}
\\
\hspace{3.5cm} {} \times \frac{\partial }{\partial y}R( x-2\sqrt{-y},\eta ;x-2\sqrt{-y},x+2\sqrt{-y})d\eta +{}
\\
{}+\frac{1}{8\sqrt{-y^3}}\int_{x-2\sqrt{-y}}^{x+2\sqrt{-y}} f\Bigl( \frac{\xi +\eta }{2},-\frac{(\eta-\xi)^2}{16}\Bigr)\times{} \hspace{5cm}
\\
\hspace{3.5cm} {} \times R(\xi,\eta;x-2\sqrt{-y},x+2\sqrt{-y})d\xi\Bigr|_{\eta=x+2\sqrt{-y}}+{}
\\
{}+\frac{1}{4\sqrt{-y}}\int_{x-2\sqrt{-y}}^{x+2\sqrt{-y}}\frac{\partial}{\partial y}f\Bigl(\frac{\xi+x+2\sqrt{-y}}{2},-\frac{(x+2\sqrt{-y}-\xi)^2}{16} \Bigr)\times {}\hspace{2.6cm}
\\
\hspace{3.5cm} {} \times R(\xi,x+2\sqrt{-y};x-2\sqrt{-y},x+2\sqrt{-y})d\xi +{}
\\
{}+\frac{1}{4\sqrt{-y}}\int_{x-2\sqrt{-y}}^{x+2\sqrt{-y}}f\Bigl( \frac{\xi +x+2\sqrt{-y}}{2},-\frac{{{\left( x+2\sqrt{-y}-\xi \right)}^{2}}}{16} \Bigr)\times {}\hspace{2.6cm}
\\
\hspace{3.5cm} {} \times \frac{\partial}{\partial y}R(\xi,x+2\sqrt{-y};x-2\sqrt{-y},x+2\sqrt{-y})d\xi +{}
\\
{}+\frac{1}{4\sqrt{-y}}\int_{x-2\sqrt{-y}}^{x+2\sqrt{-y}}f\Bigl( \frac{\xi +\eta }{2},-\frac{(\eta-\xi)^2}{16}\Bigr)\times{} \hspace{5cm}
\\
\hspace{3.5cm} {} \times \frac{\partial }{\partial y}R(\xi,\eta;x-2\sqrt{-y},x+2\sqrt{-y})\Bigr|_{\xi=x-2\sqrt{-y}}d\eta+{}
\\
{}+\frac{1}{4\sqrt{-y}}\int_{x-2\sqrt{-y}}^{x+2\sqrt{-y}} f\Bigl( \frac{\xi +\eta }{2},-\frac{(\eta-\xi)^2}{16}\Bigr)\times{} \hspace{5cm}
\\
\hspace{3.5cm} {} \times \frac{\partial}{\partial y}R(\xi,\eta;x-2\sqrt{-y},x+2\sqrt{-y})\Bigr|_{\eta=x+2\sqrt{-y}}d\xi-{}
\\
{}-\frac{1}{4} \int_{x-2\sqrt{-y}}^{x+2\sqrt{-y}}{d\xi}\int_{\xi }^{x+2\sqrt{-y}}f\Bigl( \frac{\xi+\eta}{2},-\frac{(\eta-\xi)^2}{16}\Bigr)\times{} \hspace{3.5cm}
\\
\times \frac{\partial^2}{\partial y^2}R\Bigl(\xi,\eta;x-2\sqrt{-y},x+2\sqrt{-y}\Big)d\eta.
\end{multline*} \]

Подставляя $\omega(x,y)$, $\omega_{xx}(x,y)$, $\omega_{yy}(x,y)$, $\omega_y(x,y)$ в $L_{\alpha,\lambda}(\omega)$, имеем 
\[ \begin{equation*}
L_{\alpha,\lambda}(\omega)=\sum\limits_{j=1}^{6}p_j,
\end{equation*} \]
где $p_1 =f ( x, y )$,
\[ \begin{equation*}
p_2=\int_{x-2\sqrt{-y}}^{x+2\sqrt{-y}}f\Bigl(\frac{\xi+\eta}{2},-\frac{(\eta-\xi)^2}{16}\Bigr)\frac{\partial}{\partial \eta_0}R(\xi,\eta;\xi_0,\eta_0)\Bigr|_{\xi=x-2\sqrt{-y}}d\eta,
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
p_3=-\int_{x-2\sqrt{-y}}^{x+2\sqrt{-y}}f\Bigl(\frac{\xi+\eta}{2},-\frac{(\eta-\xi)^2}{16}\Bigr)\frac{\partial}{\partial\xi_0}R(\xi,\eta;\xi_0,\eta_0)\Bigr|_{\eta=x+2\sqrt{-y}}d\xi,
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
p_4=\frac{\beta}{\eta_0-\xi_0}\int_{x-2\sqrt{-y}}^{x+2\sqrt{-y}}f\Bigl(\frac{\xi+\eta }{2},-\frac{(\eta-\xi)^2}{16}\Bigr)R(\xi,\eta;\xi_0,\eta_0)\Bigr|_{\eta =x+2\sqrt{-y}}d\xi,
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
p_5=\frac{\beta}{\eta_0-\xi_0}\int_{x-2\sqrt{-y}}^{x+2\sqrt{-y}}f\Bigl(\frac{\xi+\eta}{2},-\frac{(\eta-\xi)^2}{16}\Bigr)R(\xi,\eta;\xi_0,\eta_0)\Bigr|_{\xi =x-2\sqrt{-y}}d\eta ,
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
p_6=-\int_{x-2\sqrt{-y}}^{x+2\sqrt{-y}}{d\xi }\int_{\xi}^{x+2\sqrt{-y}}f\Bigl(\frac{\xi+\eta}{2},-\frac{(\eta-\xi)^2}{16}\Bigr)
\cdot \Bigl[\frac{\partial^2}{\partial\xi_0\partial\eta_0}+\frac{\beta}{\eta_0-\xi_0}\Bigl(\frac{\partial }{\partial\xi_0}-\frac{\partial}{\partial\eta_0}\Bigr)-\frac{\lambda^2}{4}\Bigr]R(\xi,\eta;\xi_0,\eta_0)d\eta,
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
\xi_0=x-2\sqrt{-y},\quad \eta_0=x+2\sqrt{-y}.
\end{equation*} \]

Принимая во внимание (15) и (16), имеем $p_3+p_4=0$, $p_2+p_5=0$, $p_6=0$. Из полученных равенств вытекает, что $L_{\alpha,\lambda}(\omega)=f(x,y)$. Теперь проверим, удовлетворяет ли функция $\omega(x,y)$ первому из условий (2). Для этого запишем $\omega(x,y)$ в виде
\[ \begin{multline*}
\omega(x,y)=4y\int_0^1(1-t)dt\times{}
\\
{}\times\int_0^1f \bigl(x-2\sqrt{-y}+4\sqrt{-y}t+2\sqrt{-y}(1-t)z,y(1-t)^2z^2\bigr)\times{}
\\
{}\times R \bigl(\xi_0+4\sqrt{-y}t,\xi_0+4\sqrt{-y}(t+(1-t)z);\xi_0,\eta_0\bigr)dz.
\end{multline*} \]

Отсюда $\omega(x,0)=0$. Проверим, удовлетворяет ли функция $\omega(x,y)$ второму из условий (2). Для этого запишем функцию (26) в виде
\[ \begin{multline*}
\omega_y(x,y)=\int_0^1 f\bigl(x-2\sqrt{-y}(1-s),ys^2)R(\xi_0,\xi_0+4\sqrt{-y}s;\xi_0,\eta_0\bigr)ds+{}
\\
{}+\int_0^1 f(x+2\sqrt{-y}s,y(1-s)^2)R\bigl(\xi_0+4\sqrt{-y}s,\eta_0;\xi_0,\eta_0\bigr)ds-{}
\\
{}-\int_0^1(1-t)dt\int_0^1 f \bigl(\xi_0+4\sqrt{-y}t+2\sqrt{-y}(1-t)s,y(1-t)^2s^2\bigr)G(\xi_0,\eta_0;t,s)ds,
\end{multline*} \]
где
\[ \begin{multline*}
G(\xi_0,\eta_0;t,s)=\frac{\beta(1-t)^{\beta}s^{2\beta}}{[t+(1-t)s]^{\beta}}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{\rho^k}{(k!)^2}F(\beta,\beta+k;1+k;\theta)+{}
\\
{}+\frac{4\lambda^2(1-t)^{\beta+1}s^{2\beta}(1-s)y}{[t+(1-t)s]^{\beta}}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{k\rho^{k-1}}{(k!)^2}F(\beta,\beta+k;1+k;\theta)-{}
\\
{}-\frac{(1-t)^{\beta+1}s^{2\beta+1}(1-s)}{[t+(1-t)s]^{\beta+2}}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{\beta(\beta+1)\rho^k}{(k!)^2(k+1)}F(1+\beta,1+\beta+k;2+k;\theta)+{}
\\
{}+\frac{\beta(1-t)^{\beta-1}s^{2\beta}}{[t+(1-t)s]^{\beta}}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{\rho^k}{(k!)^2}F(\beta,\beta+k;1+k;\theta)+{}
\\
{}+\frac{4y\lambda^2(1-t)^{\beta}s^{2\beta}t}{[t+(1-t)s]^{\beta+1}}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{k\rho^{k-1}}{(k!)^2}F(\beta,\beta+k;1+k;\theta)+{}
\\
{}+\frac{64y\sqrt{-y}(1-t)^{\beta+1}s^{2\beta+1}t}{[t+(1-t)s]^{\beta+1}}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{\beta(\beta+k)\rho^k}{(k!)^2(1+k)}F(1+\beta,1+\beta+k;2+k;\theta),
\end{multline*} \]
$\rho=-4\lambda^2(1-t)sty$, $\theta= {t(1-s)}/[{t+(1-t)s}]$. Отсюда из условий $f(x,y) =(-y)^{\alpha}f_1(x,y)$, $f_1(x,y)\in C^1(D)$ легко вытекает, что
\[ \begin{equation*}
\lim\limits_{y\to -0}(-y)^{\alpha}(\partial /\partial y)\omega(x,y)=0.
\end{equation*} \]

Единственность решения задачи (8), (9) следует из метода получения решения (25). $\square$

Подставляя (7) и (25) в (6), имеем
\[ \begin{multline}
u (x,y)=A_{\alpha}^{-}(\tau,\lambda)-{}
\\
{}-\gamma_1(-y)^{1-\alpha}\int_0^1\nu\bigl(x-2\sqrt{-y}(1-2z) \bigr)[z(1-z)]^{-\beta}\bar{J}_{-\beta }(4\lambda\sqrt{-yz(-z)})dz+{}
\\
{}+\frac{1}{4}\int_{x-2\sqrt{-y}}^{x+2\sqrt{-y}}{d\xi}\int_{\xi}^{x+2\sqrt{-y}}f\Bigl(\frac{\xi+\eta}{2},-\frac{(\eta-\xi)^2}{16}\Bigr)\times{} \hspace{3.5cm}
\\
{}\times R(\xi,\eta;x-2\sqrt{-y},x+2\sqrt{-y})d\eta.
\end{multline} \tag{27} \]

Таким образом, мы доказали следующие теоремы.

Теорема 2. Если $\tau(x)\in C^{2(n+1)}[0{,}1]$, $\nu(x)\in C^2[0{,}1]$ и $f(x,y)=(-y)^{1-\alpha} \times f_1(x,y)$, $f_1(x,y)\in C^1(\bar{D})$, то функция $v (x,y)$, определяемая формулой (27), является решением задачи (1), (2) при $\alpha\ne-n$, $\alpha\ne 1/2-n$, $n=0,1,2,\dots$, $\alpha<1$, где $A_{\alpha}^{-}(\tau,\lambda)$ — определяется по (3).

Теорема 3. Если $\tau(x)\in C^{2(n+2)}[0{,}1]$, $\nu(x)\in C^2[0{,}1]$ и $f(x,y)=(-y)^{1-\alpha}\times f_1( x,y)$, $f_1(x,y)\in C^1(\bar{D})$, то функция $u(x,y)$, определяемая формулой (27), является решением задачи (1), (2) при $\alpha=1/2-n$, $n=0,1,2,\dots$, где $A_{\alpha }^{-}(\tau,\lambda)$ — определяется по (4).

Теорема 4. Если $\tau(x)\in C^{2(n+2)}[0{,}1]$, $\nu(x)\in C^2[0{,}1]$ и $f(x,y)=(-y)^{1-\alpha} \times f_1(x,y)$, $f_1(x,y)\in C^1(\bar{D})$, то функция $u(x,y)$, определяемая формулой (27), является решением задачи (1), (2) при $\alpha=-n$, $n=0,1,2,\dots$, где $A_{\alpha }^{-}(\tau,\lambda)$ — определяется по (5).

Заключение

Полученное решение рассматриваемой задачи позволяет исследовать различные задачи для уравнений смешанного типа, включающие в себя уравнение (1).

Конкурирующие интересы. Заявляем, что в отношении авторства и публикации этой статьи конфликта интересов не имеем.
Авторская ответственность. Все авторы принимали участие в разработке концепции статьи и в написании рукописи. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами.
Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.

About the authors

Akhmadjon K. Urinov

Fergana State University; V.I. Romanovskiy Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of the Republic of Uzbekistan

Email: urinovak@mail.com
ORCID iD: 0000-0002-9586-1799
Scopus Author ID: 19639412400
https://www.mathnet.ru/person30024

Dr. Phys. & Math. Sci., Professor; Head of Department; Dept. of Mathematical Analysis and Differential Equations; Leading Researcher

Uzbekistan, 150100, Ferghana, Murabbiylar st., 19; 100174, Tashkent, University st., 46

Akmaljon B. Okboev

V.I. Romanovskiy Institute of Mathematics
of the Academy of Sciences of the Republic of Uzbekistan

Author for correspondence.
Email: akmaljon12012@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-5544-3111
Scopus Author ID: 57216342298
https://www.mathnet.ru/person117934

PhD (Phys. & Math. Sci.); Senior Researcher

Uzbekistan, 100174, Tashkent, University st., 46

References

Supplementary files