The solution to a boundary value problem for a third-order equation with variable coefficients

Full Text

По аналогии с работами [1, 2] в области $D=\{ ( x, y ) : 0<x<p, 0<y<q \}$ рассмотрим уравнение третьего порядка вида
\[ \begin{equation}
U_{xxx}- U_{yy}+ A_1 (x) U_{xx}+ A_2 (x) U_x + A_3 (x) U+ A_4 U_y = g_ 1 (x,y),
\end{equation} \tag{1} \]
где $p$, $q$, $A_4 \in \mathbb R$; $ A_1 (x)$, $ A_2 (x)$, $ A_3 (x)$, $g_1 (x,y)$ — заданные достаточно гладкие функции.

Заменой
\[ \begin{equation*}
U(x, y)= u(x, y) \exp \biggl( -\frac13 \int _0^x A_1 ( \xi )d\xi +\frac{A_4 }{2}y \biggr)
\end{equation*} \]
уравнение (1) можно привести к виду
\[ \begin{equation}
L[u]=u_{xxx} - u_{yy}+a_1 (x) u_x + a_2 (x)u=g(x, y),
\end{equation} \tag{2} \]
где
\[ \begin{equation*}
a_1 (x)=-A'_1 (x)-\frac1 3 A_1 ^2(x)+A_2 (x),
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
a_2 (x)=-\frac 1 3 A''_1 (x)+\frac{2}{27} A_1 ^ 3 (x)-\frac 1 3 A_1 (x) A_2 (x)+ A_3 (x)+\frac{A_4^2}{4},
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
g(x,y)= g_1 (x,y) \exp \biggl( \frac 13 \int_0 ^x A_1 ( \xi )d\xi -\frac{A_4 }{2}y \biggr).
\end{equation*} \]

Задача $B_2$. Найти функцию $u(x, y)$ из класса $C_{x,y}^{3,2}( D )\cap C_{x,y}^{2,1}( \overline{D} )$, удовлетворяющую уравнению (2) и следующим краевым условиям:
\[ \begin{equation}
u_y( x, 0 )=0, \quad u_ y ( x, q )=0,\quad 0\leqslant x\leqslant p,
\end{equation} \tag{3} \]
\[ \begin{equation}
u( 0, y )= \psi_1 ( y ),\quad u_x ( p, y )= \psi_ 2 ( y ),
\quad u_{xx} ( p, y )= \psi_3 ( y ), \quad 0\leqslant y\leqslant q,
\end{equation} \tag{4} \]
где $\psi _1( y )$, $\psi _2( y ),$ $\psi _3( y )$, $g(x, y)$ — достаточно гладкие заданные функции.

Теорема 1. Если задача $B_2$ имеет решение, то при выполнении условий $a_1 ( p )\geqslant 0$, $a_2 (x)-\frac 12 a'_1 (x)\geqslant 0$, $a'_1 (x)$, $a_2 (x)\in C[0{,} p]$,
$x\in [0{,} p]$, оно единственно.

Доказательство. Предположим обратное. Пусть задача $B_2$ имеет два решения $u_1 (x, y)$ и $u_2(x, y)$. Тогда функция $u(x, y)=u_1(x, y)-u_2 (x, y)$ удовлетворяет однородному уравнению (2) с однородными краевыми условиями. Докажем, что $u(x, y)\equiv 0$ в $\overline{D}$.

В области $D$ справедливо тождество
\[ \begin{equation*}
uL[u]=u u_{xxx} - u u_{yy} + a_1 (x)u u_x +a_2 (x) u ^2 \equiv 0.
\end{equation*} \]
Интегрируя это тождество по области $D$ и учитывая однородные краевые условия, получим
\[ \begin{multline*}
\frac 1 2 \int _0^q a_1 ( p )u^2 ( p, y )dy+
\frac 1 2 \int _0^q u_x^2 ( 0, y )dy + {} \\
{} + \iint_{D} u_y^2 dxdy+
\iint_{D} \Bigl( a_2 (x)-\frac 1 2 a'_1 (x) \Bigr) u^2 dxdy \equiv 0.
\end{multline*} \]
Если $a_2 (x)-\frac 1 2 a'_1 (x)> 0$, то из четвертого слагаемого получим, что ${u(x, y)\equiv 0}$, $(x, y)\in \overline{D}$. Если $a_2 (x)-\frac 1 2 a'_1 (x) \geqslant 0$, $a_1 ( p )>0$, то из первого и третьего слагаемых имеем $u( p, y)=0$, $u_ y (x, y)=0$. Отсюда следует, что $u(x, y)=f(x)$, $f ( p )=0$.

Подставив полученное в уравнение (2) и учитывая краевые условия (4), имеем задачу
\[ \begin{equation*}
\begin{cases}
f'''(x) + a_1 (x) f'(x) + a_2 (x) f(x)=0, \\
f( p )= f ' ( p )=f'' ( p )=0.
\end{cases}
\end{equation*} \]

Линейное однородное уравнение имеет общее решение в виде
\[ \begin{equation*}
f(x)= C_1 X_1 (x) + C_2 X_2 (x) + C_3 X_3 (x),
\end{equation*} \]
где $X_1 (x)$, $X_2 (x)$, $X_3 (x)$ — линейно независимые решения. Для нахождения $C_1$, $C_2$, $C_3$ воспользуемся краевыми условиями и получим следующую систему уравнений:
\[ \begin{equation*}
\begin{cases}
C_1 X_1 ( p ) + C_2 X_2 ( p ) + C_3 X_3 ( p )=0, \\
C_1 X'_1 ( p ) + C_2 X'_2 ( p ) + C_3 X'_3 ( p )=0, \\
C_1 X''_1 ( p ) + C_2 X''_2 ( p ) + C_3 X''_3 ( p )=0.
\end{cases}
\end{equation*} \]

Определитель этой системы есть определитель Вронского и поэтому отличен от нуля. Значит $C_1 = C_2 = C_3 =0$ и отсюда $f(x)\equiv 0$, тогда $u(x, y)\equiv 0$.

При $a_1 (x)\equiv 0$, $a_2 (x)\equiv 0$, $x\in [0{,} p]$ легко можно показать, что $u(x, y)\equiv 0$. Теорема 1 доказана. $\square$

Замечание. Отметим, что при нарушении условия теоремы 1 однородная задача $B_2$ для однородного уравнения (2) может иметь нетривиальные решения. Например, можно легко убедиться, что при $p=1$, $q=\pi$, $a_1(x)=0$, $a_2(x)=-(\mu ^3 +1 )<0$, где $\mu >0$ — решение уравнения
\[ \begin{equation*}
e^{- 3\mu/ 2 } - 2\sin \Bigl( \frac{\sqrt 3} 2 \mu -\frac \pi 2 \Bigr)=0,
\end{equation*} \]
задача
\[ \begin{equation*}
\begin{cases}
u_{xxx} (x, y) - ( \mu ^3 +1 ) u(x, y) - u_{yy} (x, y)=0, \\
u_y ( x, 0 ) = u_y ( x, \pi )=0, \quad u ( 0, y )= u_x ( 1, y )= u_{xx} ( 1, y )=0
\end{cases}
\end{equation*} \]
имеет нетривиальное решение вида
\[ \begin{multline*}
u(x, y)= \Bigl[ e^{\mu x} \sin \Bigl( \frac{\sqrt 3 }{2} \mu -\frac \pi 3 \Bigr)-
e^{-\mu x /2 } \sin \Bigl( \frac{\sqrt 3 }{2} \mu ( 1-x )-\frac \pi 3 \Bigr)+ {}
\\
{} + e^{ \mu ( 3-x )/2}\sin \frac{\sqrt 3 }{2}\mu x \Bigr] \cos y.
\end{multline*} \]

Отсюда следует, что если $a_2$ является параметром разделения, то при $a_2 \geqslant 0$ задача корректно поставлена, а при $a_2 <0$ задача поставлена некорректно, т.е. существует спектр.

Теорема 2. Пусть выполняются следующие условия:

1. $a_1 ( p )=0$, $a_ 1 (x)$, $a_ 2 (x)\in C^2 [0{,} p]$;
2. $C<\min \Bigl\{ \dfrac{\lambda_1^2 }{Kp ( 1+ \lambda _1 )}, \dfrac{2}{ p^3 + 2 p^ 2 } \Bigr\}$;
3. $ \psi _i ( y )\in C ^3 [ 0, q ]$, $\psi'_ i ( 0 )= \psi '_ i ( q )=0$, $i=\overline{1,3}$;
4. $\dfrac{\partial ^3 g(x, y)}{\partial x\partial y ^2 }\in C [ \overline{D} ]$, $g_y ( x, 0 )= g_y ( x, q )=0$, $0\leqslant x\leqslant p$.

Тогда решение задачи $B_2$ существует. Здесь
\[ \begin{equation*}
C=\max \bigl\{ |a_1(x)|, |a'_1(x)-a_2 (x) |, \; x \in [0{,} p] \bigr\},
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
\lambda _1 =\sqrt[{3}]{ \Bigl( \frac \pi q \Bigr)^2 },
\quad
K=\frac 4 3 \Bigl[ 1-\exp \Bigl( -\frac{2\sqrt{3}\pi }{3} \Bigr) \Bigr]^{-1}.
\end{equation*} \]

Доказательство. Рассмотрим следующую задачу Штурма-Лиувилля:
\[ \begin{equation}
\begin{cases}
Y'' ( y )+ \lambda ^3 Y ( y )=0, \\
Y'( 0 ) = Y' ( q )=0.
\end{cases}
\end{equation} \tag{5} \]

Известно, что нетривиальное решение задачи (5) существует только при
\[ \begin{equation*}
\lambda ^3 = \lambda _n ^3 = \Bigl( \frac{\pi n}{q} \Bigr)^2, \quad n=0, 1, 2, \dots .
\end{equation*} \]

Числа $\lambda _n $ являются собственными значениями задачи (5), а соответствующие им собственные функции имеют вид
\[ \begin{equation*}
Y_0 ( y ) = \frac{1}{\sqrt q },\; \; n=0; \quad
Y_n ( y ) = \sqrt{\frac{2}{q}} \cos \frac{\pi n y}{q}, \; \; n=1, 2, 3, \dots .
\end{equation*} \]

Собственные функции $Y_ n ( y )$, $n= 0, 1, 2, \dots$, образуют полную ортонормированную систему в $L_2 ( 0, q )$, поэтому функцию $g(x, y)$ можно разложить в ряд Фурье:
\[ \begin{equation*}
g(x, y)=\sum\limits_{n=1}^{\infty } g_ n (x) Y_n ( y ),
\end{equation*} \]
где $\displaystyle g_n (x)=\int_0^q g ( x, \eta ) Y_ n ( \eta )d\eta $.

Решение задачи $B_2$ ищем в виде
\[ \begin{equation}
u(x, y)=\sum\limits_{n=0}^{\infty } X_n (x) Y_n (y).
\end{equation} \tag{6} \]

Формально считая, что (6) удовлетворяет уравнению (2), и подставляя (6) в (2), с учетом граничных условий (4) получим задачу
\[ \begin{equation}
\begin{cases}
X'''_n + a_1 (x) X'_n + a_2 (x) X_ n + \lambda_n^3 X_n = g_n (x), \\
X_n ( 0 )= \psi_{1n} , \quad X'_n ( p )= \psi_{2n}, \quad X''_n ( p )= \psi _3n,
\end{cases}
\end{equation} \tag{7} \]
где $\displaystyle \psi_{in}=\int_0^q \psi _i ( \eta ) Y_n ( \eta )d\eta$, $i=\overline{1, 3}$.

Задачу (7) решаем с помощью функции Грина, для построения которой сначала обнулим краевые условия.

Введем обозначение
\[ \begin{equation}
V_n (x)= X _n (x)- \rho _n (x),
\end{equation} \tag{8} \]
где
\[ \begin{equation}
\rho _n (x)= \psi _{1n} + x \psi _{2n} + \frac{x^2 -2xp}{2} \psi _{3n}.
\end{equation} \tag{9} \]

Подставляя (8), (9) в (7), получим задачу
\[ \begin{equation}
\begin{cases}
V'''_n + \lambda _n ^3 V_n =\lambda_n^3 f_n (x) - a_1 V'_ n - a_2 V_n , \\
V_n ( 0 )= V'_n ( p )= V''_n ( p )=0,
\end{cases}
\end{equation} \tag{10} \]
где
\[ \begin{multline*}
f_ n (x)=
-\Bigl( \frac{a_2 (x)}{\lambda _n^3}+1 \Bigr) \psi_{1n}
-\Bigl( \frac{x a_2 (x) +a_1(x)}{\lambda_n^3}+x \Bigr) \psi_{2n} - {} \\
{}
-\Bigl( \frac{x a_1 (x) - p a_1 (x)-x a_2 (x)p}{\lambda_n^3}+
\frac{a_2 (x)}{\lambda_n^3} x^ 2 + \frac 1 2 x^ 2 - px \Bigr) \psi_{3n} +\frac{g_n (x)}{\lambda_n^3}.
\end{multline*} \]

Задача (10) при $\lambda _0 =0$ имеет вид
\[ \begin{equation}
\begin{cases}
V'''_0 = f_0 (x) - a_1 (x) V'_0 - a_2 (x) V_0 , \\
V_ 0 ( 0 )=V'_0 ( p )= V''_0 ( p )=0,
\end{cases}
\end{equation} \tag{11} \]
где
\[ \begin{multline*}
f_0 (x) = g_0 (x)- \psi_{10} a_2 (x)+ \bigl( - a_1 (x)-x a_2 (x) \bigr) \psi_{20} + {}
\\
{} + \Bigl( -x a_1 (x)+p a_1 (x)-\frac1 2 x^ 2 a_2 (x)+px a_2 (x) \Bigr) \psi _{20}.
\end{multline*} \]

Задача (11) эквивалентна интегральному уравнению вида
\[ \begin{multline}
V_0 (x)=
\int_0^p G_0 ( x, \xi ) f_n (\xi)d\xi -
\int_0^p a_1 (\xi) G_0 (x, \xi) V'_0 (\xi)d\xi -{}
\\
{}-\int_0^p a_2 (\xi) G_0(x, \xi) V_0(\xi)d\xi.
\end{multline} \tag{12} \]
Здесь
\[ \begin{equation}
G_0 (x, \xi)=
\begin{cases}
G_{10} (x, \xi ), & 0\leqslant x\leqslant \xi, \\
G_{20} (x, \xi), & \xi \leqslant x\leqslant p
\end{cases}
\end{equation} \tag{13} \]
— функция Грина для задачи (11); $G_{10} ( x, \xi)=-\frac 1 2 x^2 + \xi x$, $G_{20} ( x, \xi)=\frac 1 2 \xi ^2$.

Интегрируя по частям второй интеграл в (12) и вводя обозначения
\[ \begin{equation*}
\alpha_0 (x)=\int_0^p G_0 ( x, \xi ) f_0 (\xi)d\xi,
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
\overline{G}_0 (x, \xi)=\bigl( a'_1 (\xi)- a_2(\xi) \bigr) G_0 (x, \xi)+ a_1(\xi) G_{0\xi} (x, \xi),
\end{equation*} \]
получим
\[ \begin{equation}
V_0(x) = \alpha_0 (x)+\int_0^p \overline{G}_0 (x, \xi) V_ 0 (\xi)d\xi.
\end{equation} \tag{14} \]

Уравнение (14) является интегральным уравнением Фредгольма второго рода, которое будем решать методом итераций:
\[ \begin{equation*}
V_m (x) = \alpha_0 (x) + \int_0^p \overline{G}_0 (x, \xi) V_{m-1} (\xi)d\xi,\; \; m = 1, 2, 3, \dots;
\quad
V_0(x)=\alpha_0(x).
\end{equation*} \]

Первое приближение имеет вид
\[ \begin{equation*}
V_1(x)= \alpha_0(x) + \int_0^p \overline{G} _0 (x, \xi) \alpha_0 (\xi)d\xi;
\end{equation*} \]
второе приближение имеет вид
\[ \begin{equation*}
V_2(x)= \alpha_0(x)+ \int_0^p \bigl( \overline{G}_0 (x, \xi)+ \overline{G}_1(x, \xi)\bigr)\alpha_0(\xi)d\xi ,
\end{equation*} \]
где
\[ \begin{equation*}
\overline{G}_1 (x, \xi)=\int_0^p \overline{G}_0(x, s) \overline{G}_0(s, \xi)ds.
\end{equation*} \]

Если продолжить процесс бесконечно, то получим
\[ \begin{equation*}
V_0(x)=\alpha_0(x) + \int_0^p \biggl( \overline{G}_0 (x, \xi)+
\sum\limits_{m=1}^{\infty} \overline{G}_m (x, \xi) \biggr) \alpha_0(\xi)d\xi,
\end{equation*} \]
где
\[ \begin{equation*}
\overline{G}_m (x, \xi)=\int_0^p \overline{G}_0(x, s) \overline{G}_{m-1} (s, \xi)ds, \quad m= 1, 2, 3, \dots.
\end{equation*} \]

Если формально считать, что ряд
\[ \begin{equation*}
R_0(x, \xi)=\overline{G}_0 (x, \xi)+\sum\limits_{m=1}^{\infty} \overline{G}_m (x, \xi)
\end{equation*} \]
сходится, то решение уравнения (14) получим в виде
\[ \begin{equation*}
V_0(x)=\alpha_0(x)+\int_0^p R_0(x, \xi) \alpha_0(\xi)d\xi.
\end{equation*} \]
Значит решение задачи (10) имеет вид
\[ \begin{equation}
u_0(x, y)= X_0(x) Y_0 (y)=\frac{1}{\sqrt q } \bigl( V_0(x)+ \rho_0(x) \bigr).
\end{equation} \tag{15} \]

Оценим полученное решение. В дальнейшем максимальное значение всех найденных в оценках положительных известных постоянных будем обозначать одной буквой $M$.

Сначала найдем оценку для (13):
\[ \begin{equation*}
|G_0(x, \xi) |\leqslant \frac 1 2 p^2, \quad
|G_{0\xi} (x, \xi) |\leqslant p.
\end{equation*} \]
Тогда
\[ \begin{equation*}
| \overline{G}_0(x, \xi)|\leqslant C \Bigl| \frac 1 2 p^2+p \Bigr|\leqslant \frac 1 p ( J_0 p ),
\end{equation*} \]
где $J_0 =C\bigl| \frac 12 p^2 +p \bigr|$.

Для оценки резольвенты $R_0(x,\xi)$ имеем
\[ \begin{equation*}
|R_0( x, \xi )|\leqslant | \overline{G}_0( x, \xi ) |+
|\overline{G}_1 ( x, \xi ) |+ \cdots +
|\overline{G}_m ( x, \xi ) |+ \cdots .
\end{equation*} \]
Найдем мажорирующий ряд:
\[ \begin{equation*}
| \overline{G}_m( x, \xi ) |\leqslant \int_0^p | \overline{G}_0 ( x, s ) | \,
|\overline{G}_{m-1} ( s, \xi ) |ds \leqslant \frac 1 p (J_0 p )^{m+1}, \quad m = 1, 2, 3, \dots. \\
\end{equation*} \]
В итоге мажорантный ряд имеет вид $\displaystyle \frac 1 p \sum\limits_{m=1}^{\infty} (J_0 p )^m$.

Условие 2 теоремы 2 можно записать в виде
\[ \begin{equation*}
C<\frac{2}{p^3 +2 p ^ 2 }\quad \Rightarrow \quad C\Bigl| \frac 1 2 p^2 +p \Bigr|<\frac 1 p ,
\end{equation*} \]
отсюда $J_0 p<1$. Тогда мажорирующий ряд является суммой членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии. В этом случае резольвента равномерно сходится и ее оценка имеет вид
\[ \begin{equation*}
|R_ 0 ( x, \xi ) |\leqslant \frac{J_0}{1- J _ 0 p}\leqslant M.
\end{equation*} \]

Отсюда $\alpha_0 (x)$ и $V_0 (x)$ имеют следующие оценки:
\[ \begin{equation*}
|\alpha_0 (x)|\leqslant \int_0^p | G_0 ( x, \xi )| \, |g_ 0 ( \xi ) |d\xi \leqslant M,
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
| V_0 (x) |\leqslant |\alpha_0 (x) | + \int_0^p | R_0 ( x, \xi ) | \, | \alpha _0 ( \xi ) |d\xi \leqslant M.
\end{equation*} \]
Тогда
\[ \begin{equation*}
|u_0 (x) |\leqslant M, \quad | u'''_0(x) |\leqslant M.
\end{equation*} \]

Решение задачи (10) при $n\in \mathbb N$ ищем следующим образом:
\[ \begin{multline}
V_ n (x)=\lambda_n^3 \int_0^p G_n ( x, \xi ) f_n ( \xi )d\xi -
\int_0^p G_n ( x, \xi ) a_1 ( \xi ) V'_n ( \xi )d\xi - {}\\
{}-\int_0^p G_n ( x, \xi ) a_2 ( \xi ) V_n ( \xi )d\xi ,
\end{multline} \tag{16} \]
где
\[ \begin{equation}
G_n ( x, \xi )=
\begin{cases}
G_{1n} ( x, \xi ), & 0\leqslant x\leqslant \xi , \\
G_{2n} ( x, \xi ), & \xi \leqslant x\leqslant p
\end{cases}
\end{equation} \tag{17} \]
— функция Грина задачи (10). Здесь
\[ \begin{multline*}
G_{1n} ( x, \xi )=\frac{1}{\sqrt{3}\lambda _ n ^ 2 \Delta }
\Bigl[
-e^{ \lambda _n ( p-x-\frac{\xi }{2} )} \sin \Bigl( \frac{\sqrt{3}}{2} \lambda_n \xi +\frac \pi 6 \Bigr)
-e^{ \lambda _n (\xi -x-\frac{p}{2} )} \cos \frac{\sqrt{3} }{2} \lambda _n p + {} \\
{}
+e^{ \lambda _n ( \xi +\frac{x}{2}-\frac{p}{2} )} \cos \Bigl(\frac{\sqrt{3}}{2} \lambda _n ( x-p ) \Bigr)
+e^{ \lambda _n ( p+\frac{x}{2}-\frac{\xi }{2} )} \sin \Bigl(\frac{\sqrt{3}}{2} \lambda _n (\xi -x )+
\frac{\pi }{6} \Bigr)- {} \\
{}
-2 e^{- \lambda _n( \frac{\xi}{2}+\frac{p}{2}-\frac{x}{2} )} \sin \frac{\sqrt{3}}{2} \lambda _n x
\cos \Bigl( \frac{\sqrt{3}}{2} \lambda _n ( \xi -p )+\frac{\pi }{6} \Bigr) \Bigr],
\end{multline*} \]
\[ \begin{multline*}
G_{2n} ( x, \xi )=\frac{1}{\sqrt{3}\lambda _n^2 \Delta }
\Bigl[ 1-2 e^{-\frac{3 \lambda _n \xi}{2} }\sin \Bigl( \frac{\sqrt{3}}{2} \lambda _n \xi +\frac{\pi }{6} \Bigr) \Bigr]\times {} \\
{}\times \Bigl[\frac{1}{2} e^{ \lambda _n ( \xi +p-x )}+ e^{ \lambda _n ( \xi -\frac{p}{2}+\frac{x}{2} )}
\cos \Bigl( \frac{\sqrt{3}}{2} \lambda _n ( x-p ) \Bigr) \Bigr];
\end{multline*} \]
\[ \begin{equation*}
\Delta =\frac{\sqrt{3}}{2} e ^{ \lambda _n p} \overline{\Delta },\quad
\overline{\Delta } = 1+2 e^{-\frac{3 \lambda _n p}{2} } \cos \frac{\sqrt{3}}{2} \lambda _n p .
\end{equation*} \]

Покажем, что $\Delta\neq 0$. Для этого рассмотрим следующую функцию:
\[ \begin{equation*}
\overline{\Delta}(t)=1+2 e^{-\sqrt{3}t} \cos t,\quad t=\frac{\sqrt{3}}{2} \lambda_n p.
\end{equation*} \]

Значения критических точек этой функции запишутся в виде
\[ \begin{equation*}
t_k =\frac{2\pi }{3}+\pi k,\quad k=0, 1, 2, \dots .
\end{equation*} \]
Величина $\overline{\Delta } (t)$ принимает минимальное значение только при $k=0$.
Тогда
\[ \begin{equation*}
\overline{\Delta }\geqslant 1-\exp \Bigl( -\frac{2\sqrt{3}\pi }{3} \Bigr)>0.
\end{equation*} \]

Это доказывает отсутствие «малого знаменателя», отсюда $\Delta \neq 0$.

Интегрируя по частям второй интеграл в (16) и учитывая условие 1 теоремы 2, имеем
\[ \begin{multline}
V_n(x)=\lambda_n^3 \int_0^p G_n ( x, \xi ) f_n (\xi)d\xi + {}
\\
{}+\int_0^p \Bigl( \frac{\partial G_n ( x, \xi )}{\partial \xi}
a_1( \xi )+ G_n ( x, \xi ) \bigl( a'_1 ( \xi )- a_2 ( \xi ) \bigr) \Bigr)
V_n( \xi )d\xi .
\end{multline} \tag{18} \]

Для удобства введем следующие обозначения:
\[ \begin{equation*}
V_{0n} (x)=\lambda_n^3 \int_0^p G_n ( x, \xi ) f_n ( \xi )d\xi,
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
\overline{G}_n ( x, \xi )=\frac{\partial G_n ( x, \xi )}{\partial \xi } a_1 ( \xi ) +
G_n ( x, \xi) \bigl( a'_1 ( \xi ) - a_2 ( \xi) \bigr).
\end{equation*} \]
Тогда (18) примет вид
\[ \begin{equation}
V_n (x)= V_{0n} (x) + \int_0^p \overline{G}_n ( x, \xi ) V_n ( \xi )d\xi .
\end{equation} \tag{19} \]
Уравнение (19) является интегральным уравнением Фредгольма второго рода, решение которого запишем с помощью резольвенты в виде
\[ \begin{equation}
V_n(x) = V_{0n}(x) + \int_0^p R_n ( x, \xi ) V_{0n} ( \xi )d\xi,
\end{equation} \tag{20} \]
где резольвента имеет вид
\[ \begin{equation*}
R_n ( x, \xi )= \overline{G}_n ( x, \xi )+\sum\limits_{m=1}^{\infty } \overline{G}_{mn} ( x, \xi );
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
\overline{G}_{mn} ( x, \xi ) = \int_0^p \overline{G}_n ( x, s ) \overline{G}_{( m-1 )n} ( s, \xi)ds,
\;\; m =1, 2, 3, \dots; \;\;
\overline{G}_{0n} ( x, s) = \overline{G}_n ( x, s ).
\end{equation*} \]

В силу формулы (6) с учетом (8), (15) и (20) решение задачи $B_2$ запишется в виде
\[ \begin{equation*}
u(x, y) = u_0 (x)+\sum\limits_{n=1}^{\infty} \bigl( V_n(x)+\rho_n(x) \bigr) Y_n( y ).
\end{equation*} \]

Учитывая условие 3 теоремы 2 и интегрируя по частям $\psi_{in}$ три раза, получим оценку
\[ \begin{equation}
|\psi_{in} |\leqslant \Bigl( \frac{q}{\pi } \Bigr)^{3} \frac{| \Psi _{in} |}{ n^3 },\quad i=\overline{1,3},
\end{equation} \tag{21} \]
где $\displaystyle \Psi_{in}=\sqrt{\frac{2}{q}} \int_0^q \psi'''_i ( \eta )\sin \frac{\pi n}{q}\eta d\eta$.

Интегрируя функцию $g_n(x)$ по частям два раза, учитывая условие 4 теоремы 2 и вводя обозначение $\displaystyle F_n(x) = \int_0^q g_{\eta \eta } ( x, \eta ) Y_n ( \eta )d\eta $, получим
\[ \begin{equation*}
g_n(x)= \Bigl( \frac{q}{\pi n} \Bigr)^2 F_n (x).
\end{equation*} \]
Отсюда имеем оценку
\[ \begin{equation}
| g_n (x) |\leqslant M\frac{| F_n (x) |}{n^2 }.
\end{equation} \tag{22} \]
Учитывая оценки (21), (22), получим
\[ \begin{equation*}
|f_n (x)|\leqslant \frac{M}{n^3} \Bigl( |\Psi_{1n}| + |\Psi_{2n}| + |\Psi_{3n}| + \frac{|F_n(x)|}{n} \Bigr).
\end{equation*} \]
Аналогично имеем
\[ \begin{equation}
|f'_n(x)| \leqslant \frac{M}{n^3} \Bigl( |\Psi_{1n}| + |\Psi_{2n}| + |\Psi_{3n}| + \frac{|F'_n(x)|}{n} \Bigr).
\end{equation} \tag{23} \]
Из (17) получим следующие оценки:
\[ \begin{equation}
| G_n ( x, \xi) |\leqslant \frac{K}{\lambda _n^2},
\qquad
\Bigl| \frac{\partial G_n ( x, \xi )}{\partial \xi } \Bigr|\leqslant \frac{K}{ \lambda _n }.
\end{equation} \tag{24} \]
Используя оценки (24), получим оценку для $\overline{G}_n ( x, \xi)$ в виде
\[ \begin{equation*}
| \overline{G}_n |\leqslant |a_1(\xi)| \Bigl| \frac{\partial G_n ( x, \xi )}{\partial \xi } \Bigr|
+ |a'_1 (\xi)- a_2(\xi)|\, |G_n |\leqslant \Bigl( \frac{1}{\lambda_n }+\frac{1}{\lambda _n^2} \Bigr)KC.
\end{equation*} \]

Оценим резольвенту:
\[ \begin{equation*}
|R_n( x, \xi) |\leqslant | \overline{G}_{0n} ( x, \xi ) | +
| \overline{G}_{1n} ( x, \xi ) | + |\overline{G}_{2n} ( x, \xi) |+ \cdots +
| \overline{G}_{mn} ( x, \xi ) |+ \cdots.
\end{equation*} \]
Для правой части этого неравенства составим мажорирующий ряд. Вводя обозначение
\[ \begin{equation*}
J_1 =\Bigl( \frac{1}{\lambda_1}+\frac{1}{\lambda_1^2} \Bigr)KC,
\end{equation*} \]
находим
\[ \begin{equation*}
\begin{aligned}
& | \overline{G}_{1n} (x,\xi) |\leqslant | \overline{G}_n(x,\xi) |\leqslant KC\Bigl( \frac{1}{\lambda_n}+\frac{1}{\lambda _n^2} \Bigr)\leqslant J_1, 
\\
& | \overline{G}_{mn}(x,\xi) |\leqslant \int_0^p | \overline{G}_{1n}(x,s)| \, |\overline{G}_{(m-1)n}(s,\xi) |ds\leqslant J_1^m p^{m-1}, \quad m= 2, 3, 4, \dots.
\end{aligned}
\end{equation*} \]
Тогда мажорирующий ряд имеет вид $\displaystyle \frac{1}{p}\sum\limits_{m=1}^{\infty } ( J_1 p)^m$.

Условие 2 теоремы 2 можно записать в виде
\[ \begin{equation*}
C<\frac{\lambda_1^2}{Kp(1+ \lambda_1)}\quad \Rightarrow \quad
\Bigl( \frac{1}{\lambda_1}+\frac{1}{\lambda_1^2} \Bigr)KC<\frac 1p,
\end{equation*} \]
отсюда
\[ \begin{equation*}
J_1 p<1.
\end{equation*} \]
Тогда мажорирующий ряд является суммой членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии. В этом случае резольвента равномерно сходится и оценка имеет вид
\[ \begin{equation}
| R(x,\xi) |\leqslant \frac{J_1}{1-J_1p}\leqslant M.
\end{equation} \tag{25} \]

В каждом из интервалов $0\leqslant \xi < x$ и $x< \xi \leqslant p$ функция $G_n(x,\xi) =-\frac{1}{\lambda _n^3} G_{n\xi \xi \xi }(x,\xi)$, рассматриваемая как функция от переменной $\xi$, является решением уравнения
\[ \begin{equation*}
G_{n\xi \xi \xi }(x,\xi)+\lambda _n^3 G_n (x,\xi)=0.
\end{equation*} \]
Подставляя $G_n(x,\xi)$ в $V_{0n}(x)$, имеем
\[ \begin{equation*}
V_{0n}(x)=-\int_0^x G_{2n\xi \xi \xi }(x,\xi) f_n (\xi)d\xi -
\int_x^p G_{1n\xi \xi \xi }(x,\xi)f_n(\xi)d\xi.
\end{equation*} \]
Интегрируя по частям $V_{0n}(x)$ один раз и учитывая равенство $G_{1n\xi \xi }( x, x ) - G_{2n\xi \xi }( x, x )=1$, находим
\[ \begin{equation*}
V_{0n}(x)=f_n(x) + G_{2n\xi \xi } ( x, 0 ) f_n(0)-
\int_0^p G_{n\xi \xi }(x,\xi) f'_n(\xi)d\xi.
\end{equation*} \]
Учитывая оценки
\[ \begin{equation*}
|G_{2n\xi \xi }( x, 0) |\leqslant K,\quad
|G_{1n\xi \xi }( x, p) |\leqslant K=\mathrm{const},
\end{equation*} \]
получаем
\[ \begin{equation}
|V_{0n}(x)|\leqslant \frac{M}{n^3} \bigl(|\Psi_{1n}| + |\Psi_{2n}| + |\Psi_{3n}| \bigr) +
\frac{1}{n^4} \bigl(|F_n(x)| + |F_n(0)| + |F'_n(x)|\bigr).
\end{equation} \tag{26} \]
Из (25) и (26) получим оценку
\[ \begin{equation*}
|V_n(x)|\leqslant \frac{M}{n^3} \sum\limits_{i=1}^{3} |\Psi_{in}| +
\frac{1}{n^4} \bigl(|F_n(x)| + |F_n(0)| + |F_n(p)| + 1 \bigr).
\end{equation*} \]
Учитывая оценку
\[ \begin{equation*}
|\rho_n(x)|\leqslant \frac{M}{n^3} \bigl(|\Psi_{1n}| + |\Psi_{2n}| + |\Psi_{3n}| \bigr),
\end{equation*} \]
имеем
\[ \begin{multline*}
|u(x, y)|\leqslant |u_0(x)|+ \sum\limits_{n=1}^{\infty}
\bigl( \left| {{V}_n}(x) \right|+\left| {{\rho }_n}(x) \right| \bigr)\leqslant {}
\\
\leqslant M + M \sum\limits_{n=1}^{\infty}
\frac{1}{n^3} \sum\limits_{i=1}^{3} |\Psi_{in}| + \frac{1}{n^4}
\bigl( |F_n(x)| + |F_n(0)| + |F_n(p)| + 1 \bigr)<\infty .
\end{multline*} \]

Покажем сходимость $u_{xxx}(x, y)$. После некоторых вычислений находим $V'''_n(x)$ в следующем виде:
\[ \begin{multline*}
V'''_n (x) = \lambda _n^3 f_n(x)- a_1(x)
\biggl(V'_{0n}(x) + \int_0^p R_{nx}(x,\xi) V_{0n} (\xi)d\xi \biggr) - {}
\\
{} - a_2(x) \biggl( V_{0n} (x) + \int_0^p R_n (x,\xi) V_{0n} (\xi)d\xi \biggr)- {}
\\
{} -
\lambda _n^3 \biggl( V_{0n} (x) + \int_0^p R_n (x,\xi) V_{0n} (\xi)d\xi \biggr).
\end{multline*} \]
Используя оценку (23) и свойства функции Грина, находим
\[ \begin{equation*}
|V'_{0n} (x)| \leqslant \frac{M}{n^{7/3}}
\Bigl( |\Psi_{1n}| + |\Psi_{2n}| + |\Psi_{3n}| + \frac{|F_n(0)|}{n}+1 \Bigr),
\quad
|R_{nx} (x,\xi)|\leqslant n^{2/3}M.
\end{equation*} \]
Далее имеем
\[ \begin{equation*}
|V'''_n(x) |\leqslant \frac{M}{n} \sum\limits_{i=1}^{3} |\Psi_{in}| +
\frac{M}{n^2} \bigl( |F_n(x)| + |F_n(0)| + |F_n(p)|+1 \bigr).
\end{equation*} \]
Отсюда
\[ \begin{multline*}
|u_{xxx}(x,y)| \leqslant M + M\sum\limits_{n=1}^{\infty}
\frac{1}{n} \bigl( |\Psi_{1n}| + |\Psi_{2n}| + |\Psi_{3n}| \bigr)+ {} \\
{} +\sum\limits_{n=1}^{\infty}
\frac{1}{n^2} \bigl(|F_n(x)| + |F_n(0)| + |F_n(p)|+1 \bigr).
\end{multline*} \]

Используя неравенства Коши-Буняковского и Бесселя, имеем
\[ \begin{multline*}
| u_{xxx}(x, y)| \leqslant M +
M\Biggl(
\sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty} |\Psi_{1n}|^2} +
\sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty} |\Psi_{2n}|^2} +
\sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty} |\Psi_{3n}|^2} \Biggr)
\sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}} +
{} \\
{} +\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}
\bigl( |F_n(x)| + |F_n(0)| + |F_n(p)|+1 \bigr)\leqslant {} \\
{} \leqslant
M+M\sqrt{\frac{\pi^2}{6}} \bigl( \|\psi'''_ 1 \|_{L_2 (0, q)} + \| \psi'''_2 \|_{L_2 (0, q)} +
\|\psi'''_3\|_ {L_2 (0, q)} \bigr)+ {} \\
{} +\sum\limits_{n=1}^{\infty}
\frac{1}{n^2} \bigl( |F_n(x)| + |F_n(0)| + |F_n(p)| + 1 \bigr)<\infty .
\end{multline*} \]

Здесь
\[ \begin{equation*}
\sum\limits_{n=1}^{\infty} |\Psi_{in}|^2 \leqslant \|\psi''' _i \|_{L_2 ( 0, q )}^2,
\; \; i=\overline{1,3};\quad \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}=\frac{\pi ^2}{6}.
\end{equation*} \]

Учитывая неравенство
\[ \begin{equation*}
|u_{yy}(x, y)|\leqslant |u_{xxx}(x, y) | + |a_1| \, |u_x (x, y)| + |a_2 | \, | u(x, y) |,
\end{equation*} \]
можно заключить, что и $u_{yy}$ тоже сходится.

Решение задачи $B_2$ можно записать в явном виде:
\[ \begin{multline*}
u(x, y)=\frac{1}{\sqrt{q}}
\biggl(
\int_0^p \!\! G_0 (x,\xi) f_0 (\xi)d\xi +
\int_0^p \!\! R_0 (x,\xi) \int_0^p \!\! G_0 (x,s) f_0(s)ds d\xi + \rho _0 (x)
\biggr)+ {} \\
{} +\sqrt{\frac{2}{q}}
\sum\limits_{n=1}^{\infty} \biggl( \lambda _n^3 \int_0^p G_n(x,\xi) f_n(\xi)d\xi +
{} \\
{} + \lambda _n^3 \int_0^p R_n (x,\xi) \int_0^p G_n (x,s) f_n (s) dsd\xi + \rho _n(x) \biggr)
\cos \frac{\pi n}{q}y .
\end{multline*} \]
Таким образом, теорема 2 доказана. $\square$

Заключение

В прямоугольной области рассмотрена начально-граничная задача для неоднородного дифференциального уравнения в частных производных третьего порядка с кратными характеристиками и с переменными коэффициентами. Единственность решения доказана методом интегралов энергии. Для случая нарушения условий теоремы единственности приведен контрпример. Решение поставленной задачи построено методом функции Грина. Доказана абсолютная и равномерная сходимость данного решения и его производных, входящих в уравнение в замыкании области рассмотрения уравнения.

Конкурирующие интересы. Заявляем, что в отношении авторства и публикации этой статьи конфликта интересов не имеем.
Авторский вклад и ответственность. Все авторы принимали участие в разработке концепции статьи и в написании рукописи. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами.
Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.
Благодарность. Выражаем глубокую благодарность академику Ш. А. Алимову за ценные советы при выполнении этого исследования.

About the authors

Yusufjon P. Apakov

V.I. Romanovskiy Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of the Republic of Uzbekistan; Namangan Engineering-Construction Institute

Author for correspondence.
Email: yusufjonapakov@gmail.com
ORCID iD: 0000-0001-8805-8917
Scopus Author ID: 36452842000
ResearcherId: ABG-4969-2020
https://www.mathnet.ru/person34405

Cand. Phys. & Math. Sci., Associate Professor; Leading Researcher; Namangan Branch; Professor; Dept. of Higher Mathematics

Uzbekistan, 100174, Tashkent, University st., 46; 160103, Namangan, Islam Karimov st., 12

Raxmatilla A. Umarov

Namangan Engineering-Construction Institute

Email: r.umarov1975@mail.ru
ORCID iD: 0009-0004-4778-4444
ResearcherId: ХНБ-9048-2023
https://www.mathnet.ru/person202308

PhD Doctoral Student; Dept. of Higher Mathematics

Uzbekistan, 160103, Namangan, Islam Karimov st., 12

References

Supplementary files