Some integral transformations of a Fox function with four parameters

Full Text

Введение

Пусть $0<\rho\leqslant 2$, $\mu$, $\sigma$ и $\nu\in \mathbb{C}$, $(\sigma+\nu)/2 \notin \mathbb{Z}$. Рассмотрим функцию
\[ \begin{equation}
{\cal J}^{\rho,\mu,\sigma}_{\,\nu}(z)=
H_{2,3}^{2,1}
\left[\, \frac{\,z^2}{4}\, \bigg|
\begin{array}{ll}
\big(\,1-\sigma/2, 1\,\big),\, \big(\,\mu-\rho\,\sigma/2, \rho\,\big)\\
\big(\,\nu/2, 1\,\big),\, \big(\,1-\sigma/2, 1\,\big),\,
\big(-\nu/2, 1\,\big)\\
\end{array}
\right],
\end{equation} \tag{1} \]
где $H_{2, 3}^{2, 1}[{}\cdots{}]$ — $H$-функция Фокса [1–3].

Функция (1) возникает в теории вырождающихся дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка. В частности, в терминах функции (1) записываются решения некоторых краевых задач для дифференциального уравнения
\[ \begin{equation}
B_x u(x,y)-D_{0y}^{\alpha}u(x,y)=0,
\end{equation} \tag{2} \]
где
\[ \begin{equation*}
B_x u=x^{-b} \frac{\partial}{\partial x}
\Bigl(x^{b} \frac{\partial u}{\partial x}\Bigr)
\end{equation*} \]
— оператор Бесселя, $|b|<1$, $D_{0y}^{\alpha}$ — оператор дробного дифференцирования в смысле Римана–Лиувилля порядка $\alpha$, $0<\alpha\leqslant 1$ [4, § 0.1]. Например, решение первой краевой задачи (задачи Дирихле) для уравнения (2) в полуполосе $\Omega=\{(x,y): 0<x<\infty,0<y<T\}$
\[ \begin{equation*}
\lim\limits_{y\to 0}y^{1-\alpha}u(x,y)=0, \quad 0<x<\infty,
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
u(0,y)=\tau(y), \quad 0<y<T,
\end{equation*} \]
имеет вид [5]
\[ \begin{equation*}
u(x,y)=\int _{0}^{y}K_1(x,y-\eta)\tau(\eta)d\eta,
\end{equation*} \]
где
\[ \begin{equation*}
K_1(x,y)=\frac{x^{\beta}y^{-\alpha\beta/2-1}}{2^{\beta}\Gamma(\beta)}{\cal J}^{\alpha,\alpha,2+\beta}_{\,\beta} (xy^{-\alpha/2} ), \quad \beta=(1-b)/2,
\end{equation*} \]
$\Gamma(\beta)$ — гамма-функция Эйлера [6, § 1], [7, § 1.1, форм. (1)].

Решение второй краевой задачи (задачи Неймана) в области $\Omega$
\[ \begin{equation*}
\lim\limits_{y\to 0}y^{1-\alpha}u(x,y)=0, \quad 0<x<\infty,
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
\lim\limits_{x\to 0}x^bu_x(x,y)=\nu(y), \quad 0<y<T,
\end{equation*} \]
имеет вид [8]
\[ \begin{equation*}
u(x,y)=\int _{0}^{y}K_2(x,y-\eta)\tau(\eta)d\eta,
\end{equation*} \]
где
\[ \begin{equation*}
K_2(x,y)=-\frac{x^{\beta}y^{\alpha\beta/2-1}}{2^{1-\beta}\Gamma(1-\beta)}{\cal J}^{\alpha,\alpha,2-\beta}_{\,-\beta} (xy^{-\alpha/2} ).
\end{equation*} \]

Некоторые свойства функции (1), такие как представление через контурный интеграл, асимптотические свойства, формулы дифференцирования и интегрирования, рекуррентные соотношения, рассмотрены в работах [9–13]. Отметим при этом, что основные свойства функции (1), такие как, например, представление через контурный интеграл Меллина–Барнса, асимптотические свойства, разложение в степенные ряды, следуют из свойств более общей $H$-функции. Некоторые интегральные преобразования $H$-функции Фокса исследованы в работах [1–3].

Среди более поздних работ, посвященных интегральным преобразованиям с различными специальными функциями гипергеометрического типа в ядрах, отметим, например, работы [14–23].

В работах [24–26] развиты методы операторов преобразования для эллиптических и параболических уравнений с операторами Бесселя.

1. Вспомогательные сведения

Далее в работе
\[ \begin{equation}
K_\nu(z)=\frac{1}{4\pi i}
\int _{\gamma-i\infty}^{\gamma+i\infty}
\Gamma\left(\nu/2+ s\right)
\Gamma\left(-\nu/ 2+s\right)
\left(\frac{z}{2}\right)^{-2 s}
ds, \quad \gamma>|\mathrm{Re}\,\nu|/2,
\end{equation} \tag{3} \]
— функция Макдональда [27, § 5.7], [28, § 6, форм. (6.36)];
\[ \begin{equation*}
\phi\,(\rho,\delta;z)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{z^{\,k}}{k!\,\Gamma(\rho k+\delta)}, \quad \rho>-1,
\end{equation*} \]
— функция Райта [29, 30];
\[ \begin{equation}
{}_p\Psi_q
\left[\, z\, \bigg|
\begin{array}{ll}
\big(\,a_p,\,A_p\big)\\
\big(b_q,\,B_q\big)\\
\end{array}
\right]=\frac{1}{2\pi i}\int _{L}\frac{\Gamma\left(s\right)
\prod\limits_{j=1}^{p}\Gamma\left(a_j-A_js\right)}
{\prod\limits_{j=1}^{q}\Gamma\left(b_j-B_js\right)}(-z)^{-s}ds.
\end{equation} \tag{4} \]
— обобщенная функция Райта [3, § 1.8, форм. (1.140)], $p$, $q=0, 1, 2, \dots$, ${p^2+q^2\neq 0}$, ${a_i, b_j \in \mathbb{C}}$, $A_i$, $B_j \in \mathbb{R}$ $(a_i, b_j \neq 0; i=1, 2 , \dots , p; j=1,2,\dots,q)$.

Функция (1) может быть представлена с помощью интеграла Меллина–Барнса [11]:
\[ \begin{equation}
{\cal J}^{\rho,\mu,\sigma}_{\,\nu}(z)=
\frac{1}{2\pi i}\int _{L_{i \infty}}
\Theta(s)
\Bigl(\frac{z}{2}\Bigr)^{-2s}ds, \quad z\in \mathbb{C},
\end{equation} \tag{5} \]
где $L_{i \infty}=(\omega-i \infty, \omega+i \infty)$, $\omega_1<\omega<\omega_2$, $\omega_1=-\min\{\mathrm{Re}\,\nu/2$, $1- \mathrm{Re}\,\sigma/2\}$, $\omega_2=\mathrm{Re}\,\sigma/2$,
\[ \begin{equation*}
\Theta(s)=\frac{\Gamma\left(\nu/2+s\right)
\Gamma\left(1-\sigma/2+s\right)
\Gamma\left(\sigma/2-s\right)}
{\Gamma\left(\mu-\rho\,\sigma/2+ \rho\,s\right)
\Gamma\left(1+\nu/2-s\right)}.
\end{equation*} \]

Для функции (1) справедливы асимптотические разложения [11]
\[ \begin{equation}
{\cal J}^{\rho,\mu,\sigma}_{\,\nu}(z)=
a_0\Bigl(\frac{z}{2}\Bigr)^\nu+
b_0\Bigl(\frac{z}{2}\Bigr)^{2-\sigma}+o(z^{\delta}),
\quad
z\to 0,
\end{equation} \tag{6} \]
где $\delta=\min{\{\mathrm{Re}\,\nu, 2-\mathrm{Re}\,\sigma\}}$,
\[ \begin{equation*}
a_0=
\frac{\Gamma\left(1-(\nu+\sigma)/2\right)
\Gamma\left((\nu+\sigma)/2\right)}
{\Gamma\left(\mu-\rho(\nu+ \sigma)/2\right)
\Gamma\left(1+\nu\right)},
\quad
b_0=
\frac{\Gamma\left((\nu+\sigma)/2-1\right)}
{\Gamma\left(\mu-\rho\right)
\Gamma\left(2+(\nu-\sigma)/2\right)},
\end{equation*} \]
и
\[ \begin{equation}
{\cal J}^{\rho,\mu,\sigma}_{\,\nu}(z)=c_0\Bigl(\frac{z}{2}\Bigr)^{-\sigma}+o(z^{-\sigma}),
\quad
z\to \infty,
\end{equation} \tag{7} \]
где
\[ \begin{equation*}
c_0=
\frac{\Gamma\left((\nu+\sigma)/2\right)}
{\Gamma\left(\mu\right)
\Gamma\left(1+(\nu-\sigma)/2\right)}.
\end{equation*} \]

Также далее понадобятся частные случаи:
\[ \begin{equation}
{\mathcal J}_{\,\nu}^{1,1,2+\nu}(z)=
\Bigl( \frac{z}{2}\Bigr)^{\nu}\exp\Bigl(-\frac{z^2}{4}\Bigr),
\end{equation} \tag{8} \]
\[ \begin{equation}
\sqrt{z}\,{\mathcal J}_{-1/2}^{2\rho,\mu+\rho,3/2}(z)=
\sqrt{2\pi}\,\phi (-\rho,\mu; -z ).
\end{equation} \tag{9} \]

2. Основные результаты

Докажем следующие формулы.

2.1. Для любого $\mathrm{Re\,}\mu>0$ имеет место равенство
\[ \begin{equation}
\int_{0}^{\infty}
e^{-t}t^{\mu-\rho -\rho\,\nu/2-1}
{\cal J}^{\rho,\mu,\nu+2}_{\,\nu}(z t^{-\rho/2})\,
dt=
2 K_\nu(z).
\end{equation} \tag{10} \]

Доказательство. Сходимость интеграла в (10) следует из (6) и (7). Согласно (5) можем записать
\[ \begin{equation*}
{\cal J}^{\rho,\mu,\nu+2}_{\,\nu}(z t^{-\rho/2})=\frac{1}{2\pi i}
\int _{L_1}
\Theta_1(s)
\Bigl(\frac{z t^{-\rho/2}}{2}\Bigr)^{-2 s}ds,
\end{equation*} \]
где
\[ \begin{equation}
\Theta_1(s)=\frac{\Gamma\left(\nu/2+ s\right)
\Gamma\left(-\nu/ 2+s\right)}
{\Gamma\left(\mu-\rho -\rho\, \nu/2+ \rho s\right)},
\end{equation} \tag{11} \]
\[ \begin{equation*}
L_1=(\omega-i \infty, \omega+i \infty), \quad \omega > |\mathrm{Re}\,\nu|/2.
\end{equation*} \]
Тогда левая часть (10) запишется в виде
\[ \begin{multline}
\int _{0}^{\infty}
e^{-t}t^{\mu-\rho -\rho\, \nu/2-1}
{\cal J}^{\rho,\mu,\nu+2}_{\,\nu}(z t^{-\rho/2})\,
dt= {}
\\
{}
=\frac{1}{2\pi i}
\int_{0}^{\infty}
e^{-t}t^{\mu-\rho -\rho\, \nu/2-1}
\int _{L_1}
\Theta_1(s)
\Bigl(\frac{z t^{-\rho/2}}{2}\Bigr)^{-2 s}ds\,dt.
\end{multline} \tag{12} \]

Меняя в (12) порядок интегрирования, получим
\[ \begin{multline}
\int_{0}^{\infty}
e^{-t}t^{\mu-\rho -\rho\, \nu/2-1}
{\cal J}^{\rho,\mu,\nu+2}_{\,\nu}(z t^{-\rho/2})\,
dt=
{}
\\
{}
=\frac{1}{2\pi i}
\int _{L_1}
\Theta_1(s)\Bigl(\frac{z}{2}\Bigr)^{-2 s}
\int _{0}^{\infty}
e^{-t}t^{\mu-\rho -\rho\, \nu/2+\rho s-1}
dt\,ds.
\end{multline} \tag{13} \]
Согласно формуле [31, форм. 2.3.3.1]
\[ \begin{equation}
\int_{0}^{\infty}t^{a-1}
e^{-pt^b}dt=b^{-1}p^{-a/b}\Gamma (a/b ),
\quad
b, \;\mathrm{Re}\,a,\; \mathrm{Re}\,p>0,
\end{equation} \tag{14} \]
внутренний интеграл в (13) равен
\[ \begin{equation*}
\int _{0}^{\infty}
e^{-t}t^{\mu-\rho -\rho\, \nu/2+\rho s-1}
dt=\Gamma\left(\mu-\rho -\rho\, \nu/2+\rho s \right).
\end{equation*} \]
Подставляя найденное значение в (13) и учитывая представления (11) и (3), приходим к (10).

В терминах преобразования Лапласа формулу (10) можно записать в виде
\[ \begin{multline}
\int_{0}^{\infty}
e^{-pt}t^{\mu-\rho -\rho\,\nu/2-1}
{\cal J}^{\rho,\mu,\nu+2}_{\,\nu} (t^{-\rho/2})\,
dt= {}
\\
{} =
2 p^{\rho -\mu+\rho\,\nu/2} K_\nu(p^{\rho/2}), \quad
\mathrm{Re\,}p>0.
\end{multline} \tag{15} \]

При $\rho=\mu=1$ из (8) и (15) получим формулу
\[ \begin{equation*}
\int _{0}^{\infty}
t^{-\nu-1}e^{-pt-{1}/({4t})}
dt=
2^{\nu+1} p^{\nu/2}K_\nu (\sqrt{p} ), \quad
\mathrm{Re\,}p>0,
\end{equation*} \]
которая совпадает с приведенной в [31, форм. 2.3.16.1].

Из (15) при $\rho=2\beta$, $\mu=\beta+\delta$, $\nu=-1/2$ с учетом представлений (9) и
\[ \begin{equation*}
K_{\pm{1}/{2}}(z)=\sqrt{{\pi}/({2z})}e^{-z}
\end{equation*} \]
получим формулу
\[ \begin{equation*}
\int _{0}^{\infty}e^{-pt}t^{\delta-1}\phi (-\beta,\delta;-t^{-\beta} )dt=p^{-\delta}e^{-p^{\beta}}, \quad
\mathrm{Re\,}p>0,
\end{equation*} \]
которая совпадает с приведенной в [32, § 3.2, форм. (3.2.7)]. $\square$

2.2. Пусть выполняется одно из условий: $-1<\mathrm{Re\,}\nu<2-\mathrm{Re\,}\sigma$ либо $2-\mathrm{Re\,}\nu<\mathrm{Re\,}\sigma<4+\mathrm{Re\,}\nu$. Тогда для $\mathrm{Re\,}z>0$ имеет место формула
\[ \begin{multline}
\int_{0}^{\infty}
e^{- {z}t^2/{4}}t^{\nu+1}
{\cal J}^{\rho,\mu,\sigma}_{\,\nu}(t)\,
dt= {} \\
{} =
2^{\nu+1}z^{(\sigma-\nu)/2-1} {_2}
\Psi_1
\left[\, z\, \bigg|
\begin{array}{ll}
\big(\,(\sigma+\nu)/2, 1\,\big),\, \big(1, 1\big)\\
\big(\mu, \rho\big)\\
\end{array}
\right].
\end{multline} \tag{16} \]

Доказательство. Сходимость интеграла в (16) следует из (6) и (7). Из интегрального представления (5) имеем
\[ \begin{equation}
\int _{0}^{\infty}
e^{- {z}t^2/4}t^{\nu+1}
{\cal J}^{\rho,\mu,\sigma}_{\,\nu}(t)\,
dt=
\frac{1}{2\pi i}
\int _{L}
2^{2 s}\Theta(s)
\int _{0}^{\infty}
t^{\nu+1-2 s}e^{- {z}t^2/{4}}dt\,ds.
\end{equation} \tag{17} \]

Из формулы (14) имеем
\[ \begin{equation*}
\int _{0}^{\infty}
t^{\nu+1-2 s}e^{- {z}t^2/{4}}dt=2^{\nu-2s+1}\Gamma\left(1+\nu/2-s\right)z^{s-\nu/2-1}.
\end{equation*} \]
Подставляя найденное значение в (17), находим
\[ \begin{equation*}
\int _{0}^{\infty}
e^{- {z}t^2/{4}}t^{\nu+1}
{\cal J}^{\rho,\mu,\sigma}_{\,\nu}(t)\,
dt=2^{\nu+1}z^{-\nu/2-1}\frac{1}{2\pi i}
\int _{L}\Theta_1(s)z^s\,ds,
\end{equation*} \]
где $\displaystyle
\Theta_1(s)=\frac{\Gamma\left(\nu/2+s\right)
\Gamma\left(1-\sigma/2+s\right)
\Gamma\left(\sigma/2-s\right)}
{\Gamma\left(\mu-\rho\,\sigma/2+ \rho\,s\right)}$.

Сделаем замену $\tau=\sigma/2-s$. Получим
\[ \begin{equation}
\int _{0}^{\infty}
e^{- {z}t^2/{4}}t^{\nu+1}
{\cal J}^{\rho,\mu,\sigma}_{\,\nu}(t)\,
dt=2^{\nu+1}z^{(\sigma-\nu)/2-1}\frac{1}{2\pi i}
\int _{L_2}\Theta_2(\tau)z^{-\tau}\,d\tau,
\end{equation} \tag{18} \]
где
\[ \begin{equation*}
L_2=(\omega-i \infty, \omega+i \infty), \quad 0<\omega<\min\{\mathrm{Re}\,(\sigma+\nu)/2, 1\},
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
\Theta_2(\tau)=\frac{\Gamma ((\sigma+\nu)/2-\tau )
\Gamma (1-\tau )
\Gamma (\tau )}
{\Gamma (\mu- \rho\,\tau )}.
\end{equation*} \]
Сравнивая правую часть (18) с представлением (4), приходим к (16). $\square$

2.3. Пусть выполняется одно из условий: $-\mathrm{Re\,}\alpha<\mathrm{Re\,}\nu<2-\mathrm{Re\,}\sigma$ либо $2-\mathrm{Re\,}\nu<\mathrm{Re\,}\sigma<2+\mathrm{Re\,}\alpha$. Тогда для $\mathrm{Re\,}z>0$ имеет место формула
\[ \begin{multline}
\int _{0}^{\infty}
e^{- {t}/{z}}t^{\alpha-1}
{\cal J}^{\rho,\mu,\sigma}_{\,\nu}(t)\,
dt= {}
\\
{} =
z^{\alpha} H^{2,2}_{\,3,3}
\left[\, \frac{z^2}{4}\, \bigg|
\begin{array}{ll}
\big(1-\alpha, 2\big),\,\big(1-\sigma/2, 1\big),\, \big(\mu-\rho\,\sigma/2, \rho\big)\\
\big(\nu/2, 1\big),\, \big(1-\sigma/2, 1\big),\,
\big(-\nu/2, 1\big)\\
\end{array}
\right].
\end{multline} \tag{19} \]

Доказательство. Сходимость интеграла в (19) следует из (6) и (7). Из интегрального представления (5) имеем
\[ \begin{equation}
\int _{0}^{\infty}
e^{- {t}/{z}}t^{\alpha-1}
{\cal J}^{\rho,\mu,\sigma}_{\,\nu}(t)\,
dt=
\frac{1}{2\pi i}
\int _{L}
2^{2 s}\Theta(s)
\int _{0}^{\infty}
t^{\alpha-2 s-1}e^{- {t}/{z}}dt\,ds.
\end{equation} \tag{20} \]

Из формулы (14) имеем
\[ \begin{equation*}
\int _{0}^{\infty}
t^{\alpha-2 s-1}e^{- {t}/{z}}dt=\Gamma (\alpha-2s )z^{\alpha-2s}.
\end{equation*} \]
Подставляя найденное значение в (20), получаем
\[ \begin{equation}
\int _{0}^{\infty}
e^{- {t}/{z}}t^{\alpha-1}
{\cal J}^{\rho,\mu,\sigma}_{\,\nu}(t)\,
dt=\frac{z^{\alpha}}{2\pi i}
\int _{L}\Theta_2(s)\Bigl(\frac{z}{2}\Bigr)^{-2s}\,ds,
\end{equation} \tag{21} \]
где
\[ \begin{equation*}
\Theta_2(s)=\frac{\Gamma (\nu/2+s )
\Gamma (1-\sigma/2+s )
\Gamma (\sigma/2-s )\Gamma (\alpha-2s )}
{\Gamma (\mu-\rho\,\sigma/2+ \rho\,s )
\Gamma (1+\nu/2-s )}.
\end{equation*} \]
Сравнивая правую часть (21) с представлением $H$-функции Фокса [1, форм. 8.3.1.1], [3, § 1.2, форм. (1.2)], приходим к (19). $\square$

Заключение

В работе получены некоторые интегральные преобразования специальной функции Фокса, которая зависит от четырех параметров. Рассматриваемая функция представляет интерес в связи с ее применением в теории вырождающихся дифференциальных уравнений в частных производных. Показано, что результаты рассматриваемых интегральных преобразований можно записать в терминах известных специальных функций.

Конкурирующие интересы. Конкурирующих интересов не имею.
Авторский вклад и ответственность. Я несу полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною одобрена.
Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.

About the authors

Fatima G. Khushtova

Institute of Applied Mathematics and Automation of Kabardin-Balkar Scientific Centre of RAS

Author for correspondence.
Email: khushtova@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0003-4088-3621
SPIN-code: 6803-4959
Scopus Author ID: 57190074440
ResearcherId: K-1951-2018
http://www.mathnet.ru/person53181

Cand. Phys. & Math. Sci.; Researcher; Dept. of Fractional Calculus

Russian Federation, 360000, Nalchik, Shortanov st., 89 A

References

Supplementary files