Identification of the parameters of a rod with a longitudinal rectangular groove using two spectra of natural frequencies of bending vibrations

Full Text

Введение

Изгибные колебания имеют огромное значение в различных областях науки и техники. В механике и инженерии они используются для анализа и проектирования различных конструкций, таких как мосты, здания, металлические конструкции и т.д. Изучение изгибных колебаний помогает проектировщикам и инженерам понимать, как конструкции будут себя вести в условиях механических нагрузок, вибраций и ветровых нагрузок. В физике изгибные колебания исследуются в рамках учения об упругих телах. Они играют важную роль в теории упругости и могут быть использованы для измерения механических свойств материалов. Изучение изгибных колебаний важно для понимания многих физических и инженерных систем и может приводить к созданию более эффективных и безопасных конструкций [1].

Собственные частоты колебаний играют существенную роль при детальном выявлении параметров изучаемого объекта, например дефектов. Например, в работах [2, 3] исследована эволюция характеристик собственных продольных колебаний круглого стержня при увеличении дефекта его поперечного сечения. В [4] рассматриваются собственные поперечные колебания стержня с поперечным сечением прямоугольной формы, имеющим постоянную высоту и переменную ширину, изменяющуюся по экспоненциальному закону. Исследованы собственные колебания стержня, защемленного на левом конце и шарнирно опертого на правом, а также защемленного на левом и правом концах. В [5] рассмотрен численный метод решения задачи изгибных колебаний стержня с переменным модулем Юнга. В отличие от [5] в настоящей работе приведен метод, позволяющий найти аналитическое решение, которое дает более точный результат. Работа [6] показывает, как, основываясь на моделировании дефекта сечения как известной функции, приближенно определяются основные параметры, его характеризующие, такие как местоположение и объем по двум низшим частотам колебаний свободного и консольно закрепленного стержней. С помощью численного моделирования показано, что для удовлетворительного определения свойств дефекта достаточно использовать несколько низших частот. В [7] проведено сравнение экспериментальных данных с различными теоретическими моделями для описания продольных колебаний стержня. В [8] исследуется поведение собственных частот изгибных колебаний стержня при изменении размера полости. Показано, как местоположение полости влияет на частотные характеристики колебаний. Доказано, что одного спектра частот изгибных колебаний еще недостаточно для идентификации местоположения и размеров полости. Для идентификации полости предложено использование собственных частот из двух спектров изгибных колебаний (относительно разных осей). Работа [9] посвящена идентификации длины продольного надреза по собственным частотам изгибных колебаний консольно закрепленного стержня. Показано, что задача имеет бесконечное количество решений, но в силу физической постановки можно выделить единственное решение, причем для решения задачи достаточно одной собственной частоты.

Обратные задачи идентификации таких дефектов, как трещина, имеют большую популярность [2, 3, 6, 10–17]. Поперечные раскрытые трещины, начиная с работ [10–12], как правило, моделируют условиями сопряжения пружины. В современной литературе предлагаются и другие условия сопряжения для описания поперечных дефектов [13–15]. Однако продольная трещина, которая в данной работе моделируется пазом, не может быть описана пружиной.

1. Прямая задача

Рассматривается однородный изотропный прямоугольный стержень длины $L=1$ с продольным прямоугольным пазом, проходящий не по всей длине стержня, а от некоторой точки $x_{c}$ до правого конца (см. рис. 1). Предполагается, что оси симметрии поперечного сечения участка стержня без паза и с пазом совпадают, а стержень заделан на обеих концах. Поперечное сечение имеет высоту $H$ и ширину $B$. Прямоугольный паз имеет длину $l=L- x_{c}$, глубину $h$ и ширину $b$. В случае малого $b$ следует рассматривать прямоугольный паз как продольную трещину.

Рис. 1. Изображение стержня с продольным пазом
[Figure 1. Image of a rod with a longitudinal groove]

Требуется определить собственные частоты изгибных колебаний стержня относительно вертикальной оси $Oy$ и горизонтальной оси $Oz$, установить зависимость размеров и места начала паза на эти частоты.

Рассмотрим колебания относительно вертикальной оси $Oy$. Изгибные колебания стержня с постоянным поперечным сечением $F$ описываются уравнением [18]
\[ \begin{equation}
EJ\frac{ d^{4}U(x,t)}{dx^{4}}+\rho F\frac{d^{2}U(x,t)}{dt^{2}}=0,
\end{equation} \tag{1} \]
где $U(x,t)$ — поперечное смещение относительно оси $Oy$, $E$ — модуль упругости, $J$ — момент инерции поперечного сечения, $\rho $ — плотность стержня.

Решение уравнения (1) ищем в виде $U(x, t )=y ( x )\cos \omega t$, где $\omega$ — круговая частота. Тогда (1) сводится к уравнению
\[ \begin{equation}
y^{(4)}(x)=s^{4}y(x),
\end{equation} \tag{2} \]
где $s^{4}= {\rho F\omega^{2}}/({EJ})$. Поскольку стержень слева и справа от точки $x_{c}$ имеет разную форму поперечного сечения, уравнения (2) слева и справа от точки $x_{c}$ запишутся в следующей форме:
\[ \begin{equation}
y_{-}^{(4)} =d_{1}^{4} \lambda^{4}y_{-} ,
\quad
y_{+}^{(4)} =d_{2}^{4} \lambda^{4}y_{+} ,
\end{equation} \tag{3} \]
где $d_{1}^{4} = {F_{-} }/{J_{y-} }$, $d_{2}^{4} = {F_{+} } /{J_{y+} }$, $\lambda^{4}= {\rho \omega^{2}}/{E}$; $y_{-} $ — поперечное смещение левее точки $x_{c}$ (участок стержня без паза), $y_{+} $ — правее точки $x_{c}$ (с пазом).

Моменты инерции относительно оси $Oy$ находим по формулам
\[ \begin{equation}
J_{y+} =\frac{B^{3}H}{12}-\frac{b^{3}h}{12}, \quad J_{y-} =\frac{B^{3}H}{12}.
\end{equation} \tag{4} \]
Условие сопряжения получим, приравняв в точке $x_{c}$ поперечные смещения, углы поворота, изгибающие моменты и перерезывающие силы:
\[ \begin{equation}
\begin{array}{ll}
y_{-} (x_{c})=y_{+} (x_{c}), & y'_{-} (x_{c})=y'_{+} (x_{c}), \\
y''_{-}(x_{c})=\dfrac{J_{y+} }{J_{y-} }y''_{+} (x_{c}),& y'''_{-} (x_{c})=\dfrac{J_{y+} }{J_{y-}} y'''_{+}( x_{c}).
\end{array}
\end{equation} \tag{5} \]
Так как стержень заделан на левом и правом концах, краевые условия следующие:
\[ \begin{equation}
y_{-} ( 0 )=0,
\quad
y'_{-} ( 0 )=0;
\quad
y_{+} ( 1 )=0,
\quad
y'_{+} ( 1 )=0.
\end{equation} \tag{6} \]

Общее решение уравнений (3) примем в виде
\[ \begin{equation}
\begin{array}{l}
y_{-} =C_{11} y_{1-} +C_{12} y_{2-} +C_{13} y_{3-} +C_{14} y_{4-}, \\
y_{+} =C_{21} y_{1+} +C_{22} y_{2+} +C_{23} y_{3+} +C_{24} y_{4+},
\end{array}
\end{equation} \tag{7} \]
где $y_{1-}=\cos(d_1 \lambda x)$, $y_{2-}=\sin(d_1 \lambda x)$, $y_{3-}=\cosh(d_1 \lambda x)$, $y_{4-}=\sinh(d_1 \lambda x)$, $y_{1+}=\cos(d_2 \lambda x)$, $y_{2+}=\sin(d_2 \lambda x)$, $y_{3+}=\cosh(d_2 \lambda x)$, $y_{4+}=\sinh(d_2 \lambda x)$.

Подставив (7) в (5), (6), получим систему, которая имеет нетривиальное решение относительно коэффициентов $C_{ij}$ тогда и только тогда, когда определитель этой системы $\Delta(\lambda)$ равен нулю, вычисляя который, получим частотное уравнение относительно оси $Oy$:¹
\[ \begin{multline}
\Delta (\lambda )=\frac{1}{16\lambda^{4}d_{y1}^{4} J_{y-}^{2} d_{y2}^{4} } \times {} \\
\times (-2J_{y-} J_{y+} e^{-d_{y1} \lambda x_{c} }e^{d_{y1} \lambda x_{c} }e^{-d_{y2}
\lambda x_{x} }e^{d_{2} \lambda x_{c} }\sin (d_{y2} \lambda)^{2}d_{y1}^{2} d_{y2}^{2} - \cdots \\
{} +J_{y+}^{2} \sin (d_{y1} \lambda x_{c} )^{2}\sin (d_{y2} \lambda x_{c} )^{2}e^{-d_{y2}
\lambda }e^{d_{y2} \lambda }d_{y2}^{4} )=0.
\end{multline} \tag{8} \]

По горизонтальной оси $Oz$ частотное уравнение получается аналогично, разница заключается только в моментах инерции:
\[ \begin{equation}
J_{z+} =\frac{B^{2}H^{4}-4h ( {H^{2}-1.5Hh+h^{2}} )HhB+b^{2}h^{4}}{12 ( {HB-hb} )}, \quad
J_{z-} =\frac{BH^{3}}{12}.
\end{equation} \tag{9} \]

1.1. Пример решения прямой задачи

Примем следующие входные данные: $H = B = 0.1$, $h = 0.01$, $b=0.02$, $L=1$, $x_{c} =0.5$. При заданных параметрах моменты инерции (4), (9) относительно осей $Oy$ и $Oz$, а также их отношения к площади сечения следующие:
\[ \begin{equation*}
\begin{array} {ll}
J_{y+} =8.326666\cdot 10^{-6}, &
J_{y-} =8.333333\cdot 10^{-6}, \\
J_{z+} =7.918401\cdot 10^{-6}, &
J_{z-} =8.333333\cdot 10^{-6}; \\
d_{y1} =5.88566191, &
d_{y2} =5.85718206, \\
d_{z1} =5.88566191, &
d_{z2} =5.93126244.
\end{array}
\end{equation*} \]

Используя эти значения, получаем частотные уравнения относительно осей $Oy$ и $Oz$, из которых с помощью математического пакета Maple численно находим собственные значения изгибных колебаний:
$\lambda_{1y} =0.80559430$, $\lambda_{2y} = 1.33754047$, $\lambda_{3y} =1.87272027$ — относительно оси $Oy$;
$\lambda_{1z} = 0.80053059$, $\lambda_{2z} = 1.32919190$, $\lambda_{3z} =1.86093715$ — относительно оси $Oz$.

Рис. 2. Зависимость $\lambda_{1}$ от длины паза
[Figure 2. Dependence of $\lambda_{1}$ on the groove length]

Рис. 3. Зависимость $\lambda_{2}$ от длины паза
[Figure 3. Dependence of $\lambda_{2}$ on the groove length]

Рис. 4. Зависимость $\lambda_{3}$ от длины паза
[Figure 4. Dependence of $\lambda_{3}$ on the groove length]

На рис. 2–4 приведены графические зависимости первых трех собственных значений стержня от длины паза. Рисунки показывают, что график собственных значений изгибных колебаний относительно оси $Oy$ растет, а относительно оси $Oz$ убывает по мере увеличения длины паза. Это обусловлено тем, что отношение изгибающих моментов и площади поперечного сечения относительно оси $Oy$ растет с увеличением длины паза, а по оси $Oz$ уменьшается. Видно, что первое собственное значение относительно оси $Oy$ при длине паза от 0 до 0.4 и от 0.8 до 1 возрастает несущественно. Собственные значения относительно оси $Oz$ значительно уменьшаются в значениях $l$ от 0 до 0.1 и от 0.9 до 1. В остальных промежутках собственные значения уменьшаются без сильных отклонений. Из анализа графиков следует, что при решении обратных задач с использованием частот только из одного спектра могут возникнуть трудности. Например, при определенных длинах паза собственные значения меняются несущественно, что приводит к множеству вариантов решений обратной задачи.

2. Обратная задача

Рассмотрим пример решения обратной задачи. Пусть имеется прямоугольный стержень длины $L=1$ с прямоугольным пазом $l$, проходящим не по всей длине. Требуется найти параметры паза по собственным частотам изгибных колебаний. Также необходимо определить наименьшее количество этих частот для решения задачи.

Для определения длины, ширины и глубины паза используем собственные значения с двух взаимно перпендикулярных осей $Oy$ и $Oz$. Причем для более точного решения нужно использовать первые собственные значения, то есть с наименьшим порядковым номером. Данное требование вытекает из практических соображений, поскольку приборы для измерения частот наиболее точно определяют первые собственные частоты.

Возьмем три собственных значения колебания стержня относительно оси $Oz$, полученные в результате решения прямой задачи: $\lambda_{1z}=0.80037439$, $\lambda_{2z}= 1.32665822$, $\lambda_{ 3z}= 1.85699429$. Подставляя их в частотное уравнение (8) в предположении, что ширина $b$, глубина $h$, начало паза $x_{c}$ неизвестны, получим систему нелинейных уравнений относительно искомых параметров. Из физических соображений ищем вещественные значения $x_{c}\in [0{,} 1]$, $b\in [0{,} 0.1]$ и $h\in [0{,} 0.1]$. В табл. 1 приведен набор значений, полученных с помощью математического пакета Maple.

Таблица 1. Набор решений обратной задачи для $\lambda_{1z}$, $\lambda_{2z}$ и $\lambda_{3z}$
[A set of solutions to the inverse problem for $\lambda_{1z}$, $\lambda_{2z}$, and $\lambda_{3z}$]

no.	$x_{c}$	$h$	$b$
1	0.19999999	0.00999999	0.02000000
2	0.32114148	0.02823376	0.01738215
3	0.41343226	0.07987103	0.08653772

Таблица 2. Набор решений обратной задачи для $\lambda_{1y}$, $\lambda_{2y}$ и $\lambda_{3y}$
[A set of solutions to the inverse problem for $\lambda_{1y}$, $\lambda_{2y}$, and $\lambda_{3y}$]

no.	$x_{c}$	$h$	$b$
1	0.19999999	0.00999999	0.02000000
2	0.47243139	0.01926569	0.09219030

Для выявления единственного решения предлагается применить подход, предложенный авторами в работе [16], который заключается в том, что требуется решить несколько систем уравнений с числом уравнений, совпадающим с числом неизвестных, а затем найти пересечение этих решений. Сравнивая данные табл. 1, 2, видим, что одно решение является общим и это решение есть суть решения поставленной задачи (точное решение $b=0.01$, $h=0.01$, $x_{c}=0.2$).

Для определения наименьшего количества собственных значений, требуемых для решения обратной задачи, возьмем по два собственных значения из спектров частот колебаний относительно взаимно перпендикулярных осей $Oy$ и $Oz$. В табл. 3 приведены результаты для случая, когда две собственные частоты взяты по оси $Oz$ и одна по $Oy$, а в табл. 4 — для случая, когда две собственные частоты взяты по оси $Oy$ и одна по $Oz$.

Таблица 3. Набор решений обратной задачи для $\lambda_{1z},$ $\lambda_{2z}$ и $\lambda_{1y}$
[A set of solutions to the inverse problem for $\lambda_{1z}$, $\lambda_{2z}$, and $\lambda_{1y}$]

no.	$x_{c}$	$h$	$b$
1	0.18623568	0.00985498	0.02020706
2	0.20000000	0.01000000	0.01999999
3	0.39887811	0.09925593	0.09964666

Таблица 4. Набор решений обратной задачи для $\lambda_{1y}$, $\lambda_{2y}$ и $\lambda_{3y}$
[A set of solutions to the inverse problem for $\lambda_{1y}$, $\lambda_{2y}$, and $\lambda_{3y}$]

no.	$x_{c}$	$h$	$b$
1	0.20000000	0.01000000	0.01999999
2	0.48204891	0.02422458	0.01478118

Из данных табл. 3, 4 видим, что искомое решение снова является общим. Отсюда следует вывод, что для однозначного нахождения параметров паза достаточно четырех собственных значений, два из которых взяты из спектра колебаний относительно оси $Oy$ и два относительно оси $Oz$.

Таблица 5. Относительная погрешность нахождения точки начала паза ${x_{c}}$ в зависимости от зашумления входных данных
[The relative error in determining the starting point of the groove $x_c$ depending on the noise in the input data]

$\gamma$	$\delta_{{x_{c}}} (\psi)$, %
$10^{-3}$	13.401911	13.790595	14.779052	16.650421	13.790595
$10^{-4}$	1.043232	0.675387	0.661847	0.792041	1.165774
$10^{-5}$	0.021450	0.038733	0.068768	0.155276	0.119227
$10^{-6}$	0.001472	0.014118	0.014660	0.006625	0.014113
$10^{-7}$	0.000500	0.001080	0.001173	0.001131	0.000920
$10^{-8}$	0.000078	0.000076	0.000157	0.000133	0.000099
$10^{-9}$	0.000014	0.000030	0.000010	0.000013	0.000007

3. Оценка погрешности

Проведем вычислительный эксперимент по зашумлению входных данных аналогично работе [17]. Для оценки погрешности метода будем оценивать погрешность нахождения положения точки начала паза $x_c$. В качестве входных данных примем первое собственное значение, заданное в виде $\lambda {j \gamma }=\lambda_{j} (1+\gamma \psi_{j})$, где $\lambda _{j}$ — собственное значение, вычисленное с точностью до 8 значащих цифр; $\gamma $ — амплитуда зашумления; $\psi_{j}$ — случайная величина с равномерным законом распределения, определенная на отрезке $[-1{,} 1]$. Относительная погрешность приведенного в данной работе метода исследуется в зависимости от $\gamma =10^{- n}$, $n=3, \dots, 9$.

В табл. 5 приведены результаты пяти экспериментов с различными $\psi _{j}$ для $x_c$ при каждом значении амплитуды $\gamma$. Значения $\psi _{j}$ получены с помощью генератора случайных чисел математического пакета Maple. Для исключения ложных решений поиск параметра $x_c$ производится в более узком интервале: $x_c \in [0.45{,} 0.55]$. Из табл. 5 следует, что при погрешности входных данных не более $\gamma =10 ^{-4}$ погрешность восстановления $x_c$ менее двух процентов.

Заключение

Решены прямая и обратная задачи колебания прямоугольного стержня с продольным прямоугольным пазом, который проходит не по всей длине. Предложен метод моделирования, в котором стержень состоит из двух частей, где первая часть с пазом, а вторая без паза, части соединены с помощью условий сопряжения. Данный метод позволяет решить как прямую задачу, так и обратную. Анализ зависимости собственных частот изгибных колебаний от длины паза относительно разных осей показал, что собственные значения относительно одной оси растут, а относительно другой падают. Предложен метод решения обратной задачи, позволяющий определять искомые параметры по конечному числу собственных значений изгибных колебаний, взятых из двух спектров частот. Анализ графиков и примеры решения обратной задачи показали, что решение однозначно в случае использования первых частот из спектров относительно взаимно перпендикулярных осей. Из оценки погрешности следует, что при зашумлении входных данных не более $10^{-4}$ погрешность восстановления одного из коэффициентов составляет менее 2 %. Данный метод применим для идентификации продольных трещин, где трещина проходит не по всей длине стержня.

Конкурирующие интересы. Конфликта интересов не имеется.
Авторский вклад и ответственность. Каждый автор внес равный вклад в написание статьи. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами.
Финансирование. Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 23–21–00420, https://rscf.ru/project/23-21-00420/.

---

¹Из-за большого объема выражение приведено не полностью.

About the authors

Ilnur M. Utyashev

Mavlyutov Institute of Mechanics, Ufa Centre RAS

Author for correspondence.
Email: utyashevim@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-2342-0492
SPIN-code: 7856-5351
Scopus Author ID: 56966700200
ResearcherId: J-1064-2018
https://www.mathnet.ru/person139311

Cand. Phys. & Math. Sci.; Researcher; Lab. of Solid Mechanics

Russian Federation, 450054, Ufa, prosp. Oktyabrya, 71

Alfir F. Fatkhelislamov

Ufa University of Science and Technology

Email: alfir93@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-8494-9592
https://www.mathnet.ru/person203542

Senior Lecturer; Dep. of Information Security Management

Russian Federation, 450076, Ufa, Zaki Validi st., 32

References

Supplementary files