Uniform optimization method for nonlinear control systems with distributed parameters

Full Text

Введение

Полное аналитическое решение задачи оптимального управления (ЗОУ) системами с распределенными параметрами (СРП) оказывается возможным лишь применительно к типовым линейным моделям управляемого объекта и критериям оптимальности простейшего вида. За рамками этих модельных представлений решения ЗОУ СРП могут быть получены только с помощью специальных численных методов, что в полной мере относится к СРП, описываемым нелинейными уравнениями в частных производных параболического типа. В настоящее время разработан целый ряд таких методов, общие схемы применения которых используются в ЗОУ объектами как с сосредоточенными, так и с распределенными параметрами [1–7].

Один из основных подходов в этом направлении заключается в применении различных модификаций метода вариаций в пространстве управлений [1–7], реализующих итерационную процедуру построения минимизирующих последовательностей малых изменений управляющих воздействий, которые обеспечивают на каждом шаге убывающие с учетом заданных ограничений значения линейных приближений соответствующих приращений минимизируемого критерия оптимальности, оцениваемых по величине его градиента. В итоге производится редукция исходной ЗОУ к пошаговой процедуре решения ряда специальных задач линейного программирования (ЛП) [6].

Реализация метода вариаций в пространстве управлений связана с необходимостью совместного численного интегрирования уравнений нелинейных моделей объекта и сопряженных систем в целях вычисления производных Фреше минимизируемого функционала по управляющему воздействию, выступающих в роли его градиента, а также со значительным возрастанием трудностей решения соответствующих задач ЛП в условиях фиксации требований к конечному состоянию объекта, учитываемых соответствующими ограничениями на искомые переменные [5–7]. Эти затруднения существенно увеличиваются в задачах равномерной оптимизации при характерных для приложений оценках заданных целевых множеств в равномерной метрике, учет которых приводит к необходимости использования специальных достаточно сложных способов решения ЗОУ ОРП даже применительно к задачам управления линейными моделями управляемого объекта [7–9].

В настоящей работе предлагается конструктивный метод равномерной оптимизации нелинейных управляемых СРП параболического типа с типовым квадратичным функционалом качества, сводимый к сходящейся итерационной процедуре аналитического решения линейных ЗОУ на каждом шаге итераций с промежуточным численным интегрированием уравнений нелинейной модели СРП при предварительно фиксируемом управляющем воздействии. Подобная технология оказывается свободной от ряда недостатков общего метода вариаций в пространстве управлений.

1. Математические модели объекта управления

Пусть объект управления (ОРП) описывается нелинейным пространственно-одномерным уравнением в частных производных параболического типа
\[ \begin{equation}
\cfrac{\partial Q}{\partial t}=L \big(Q(x,t) \big) + u_V (x,t), \quad x \in (x_0, x_1 ), \quad t>0
\end{equation} \tag{1} \]
относительно управляемой функции состояния $Q(x,t)$, изменяющейся в зависимости от пространственной координаты $x \in [x_0, x_1 ]$ и времени $t$, с начальными и граничными условиями 
\[ \begin{equation}
Q (x_0, 0 )=Q_0 (x)=Q_0={\rm const}\geqslant 0, \quad x \in [x_0, x_1 ];
\end{equation} \tag{2} \]
\[ \begin{equation}
\cfrac{\partial Q (x_0, t )}{\partial x}=0; \quad L_1 \bigl(Q (x_1, t ) \bigr)=u_S(t), \quad t>0,
\end{equation} \tag{3} \]
допустимыми в классе кусочно-непрерывных функций внутренним пространственно-распределенным $(u_V )$ и граничным сосредоточенным $(u_S )$ управляющими воздействиями. Всюду далее рассматривается общий случай одновременного использования $u_V$ и $u_S$.

В (1), (3) $L$ и $L_1$ — заданные нелинейные параболические дифференциальные операторы по пространственной координате, рассматриваемые далее для большей определенности и наглядности без потери общности основных последующих результатов в следующей характерной форме [9, 10]:
\[ \begin{equation}
 L \bigl(Q (x,t ) \bigr)=C(Q) \cfrac{\partial^2 Q}{\partial x^2}+
 B(Q)\cfrac{\partial Q}{\partial x} + B_1(Q) \Bigl(\cfrac{\partial Q}{\partial x} \Bigr)^2+D(Q)Q;
\end{equation} \tag{4} \]
\[ \begin{equation}
L_1 \bigl(Q(x_1, t ) \bigr)=\alpha_1 \bigl(Q (x_1, t ) \bigr) Q (x_1, t ) + 
\alpha_2 \bigl(Q(x_1, t ) \bigr) \cfrac{\partial Q (x_1, t )}{\partial x},
\end{equation} \tag{5} \]
где $C$, $B$, $B_1$, $D$, $\alpha_1$, $\alpha_2$ — заданные достаточно гладкие функции своих аргументов.

К виду (4) приводится, в частности, фундаментальное уравнение диффузии и теплопроводности в декартовых и цилиндрических координатах [10], а $L_1$ в виде (5) аналогичен по форме типовым граничным условиям в линейных уравнениях математической физики.

Всюду далее предполагается, что при заданных начальных условиях каждому допустимому управляющему воздействию соответствует единственное решение краевой задачи (1)–(3), понимаемое в обобщенном смысле [11–13].

Начально-краевая задача (1)–(5) может быть записана в следующем виде [9, 10]:
\[ \begin{equation}
\begin{cases}
\cfrac{\partial Q(x,t)}{\partial t}=L_0\bigl(Q(x, t)\bigr) +u_V (x,t) +F(x,t), \quad x \in (x_0, x_1), \quad t>0;\\
Q(x,0) =Q_0 (x)=Q_0={\rm const} \geqslant 0, \quad x \in [x_0, x_1 ];\\
\cfrac{\partial Q (x_0, t )}{\partial x}=0; \quad L_{10}\bigl(Q (x_1, t ) \bigr) =u_S (t) + F_1 (t), \quad t>0.
\end{cases}
\end{equation} \tag{6} \]
Здесь 
\[ \begin{equation}
L_0 \bigl(Q (x, t ) \bigr) =C_0\cfrac{\partial^2 Q}{\partial x^2} + B_0 \cfrac{\partial Q}{\partial x}+D_0 Q, \quad x \in (x_0, x_1), \quad t>0;
\end{equation} \tag{7} \]
\[ \begin{equation}
L_{10} \bigl(Q (x_1, t ) \bigr) =\alpha_{10} Q (x_1, t ) + \alpha_{20} \cfrac{\partial Q (x_1, t )}{\partial x},
\end{equation} \tag{8} \]
— линейные дифференциальные операторы, определяемые в форме линейных приближений к $L$, $L_1$ в (1), (3), где $C_0$, $B_0$, $D_0$, $\alpha_{10}$, $\alpha_{20}$ — некоторые константы, получаемые, например, путем усреднения соответствующих коэффициентов в (4), (5) и 
\[ \begin{equation}
F(x,t)=L\bigl(Q (x, t ) \bigr) - L_0\bigl(Q (x, t ) \bigr),
\end{equation} \tag{9} \]
\[ \begin{equation}
F_1(t)=L_{10}\bigl(Q (x_1, t ) \bigr) - L_1\bigl(Q (x_1, t ) \bigr).
\end{equation} \tag{10} \]

Всюду далее предполагается, что $F(x,t)$ и $F_1(t)$ являются кусочно-непрерывными функциями своих аргументов. Если их считать заданными в (6), где они фигурируют в роли детерминированных внешних возмущений, то модель ОРП (6)–(8) становится линейной и аналитическое решение краевой задачи (6)–(8) может быть получено известными способами [14, 15].

Однако согласно (9), (10), явная форма зависимостей $F(x,t)$, $F_1(t)$ от $x$ и $t$ априори неизвестна и к их определению в целях перехода от исходной к линейной модели (6)–(8) сводится дальнейшая проблема.

Применение метода конечных интегральных преобразований по пространственному аргументу $x\in [x_0, x_1 ]$ [16, 17] к уравнениям линейной начально-краевой задачи (6)–(8) с ядром, равным ее собственным функциям $\varphi_n (\mu_n, x )$, $n=1, 2, \ldots$, где $\mu_n^2$ — собственные числа, приводит к описанию рассматриваемого объекта бесконечной системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка для временных мод $\bar{Q}_n (t)$ разложения $Q(x,t)$ в сходящийся в среднем ряд по ортонормированной с весом $r(x)$ системе $\varphi_n (\mu_n, x )$ [7–9]:
\[ \begin{equation}
Q(x,t)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \bar{Q}_n (t) \varphi_n (\mu_n, x );
\end{equation} \tag{11} \]
\[ \begin{equation}
\cfrac{d\bar{Q}_n}{dt} =-\mu_n^2 \bar{Q}_n +\bar{u}_{Vn} (t) +\bar{F}_n (\mu_n, t ) +g_n u_S (t) + g_n F_1(t);
\end{equation} \tag{12} \]
\[ \begin{equation*}
\bar{Q}_n(0) =\bar{Q}_0 (\mu_n ), \quad n=1 ,2, \ldots,
\end{equation*} \]
с автономными сосредоточенными внутренними управляющими воздействиями $\bar{u}_{Vn} (t)$, $n=1, 2, \ldots$, и граничным управлением $u_S (t)$.
Здесь
\[ \begin{equation}
\begin{aligned}
&\bar{u}_{Vn} (t)=\int _{x_0}^{x_1}u_V (x,t) r(x) \varphi_n (\mu_n, x ) dx; 
\\
& \bar{F}_n (\mu_n, t )=\int _{x_0}^{x_1} F(x,t)r(x) \varphi_n (\mu_n, x ) dx, \quad n=1, 2, \ldots
\end{aligned}
\end{equation} \tag{13} \]
представляют собой модальные составляющие разложения в ряд вида (11) внутреннего управления $u_V (x,t)$ и функции $F(x,t)$:
\[ \begin{equation}
u_V (x,t)=\sum \limits_{n=1}^{\infty} \bar{u}_{Vn} (t) \varphi_n (\mu_n, x ), \quad
F(x,t)=\sum \limits_{n=1}^{\infty} \bar{F}_n (\mu_n, t ) \varphi_n (\mu_n, x ),
\end{equation} \tag{14} \]
$g_n$ — известные коэффициенты [17].

Подставляя $Q(x,t)$ в виде (11) в выражения (9), (10), где предполагается допустимым почленное дифференцирование ряда (11) по пространственной координате, и интегрируя в (13), получим $\bar{F}_n (\mu_n, t )$ и $F_1(t)$ в форме вполне определенных нелинейных зависимостей от $\bar{Q}= (\bar{Q}_n )$, $n=1, 2, \ldots$, что приводит к преобразованию соотношений (12) в замкнутую относительно $\bar{Q}$ бесконечную нелинейную систему уравнений объекта [9, 10]:
\[ \begin{equation}
\begin{aligned}
& \cfrac{d\bar{Q}_n}{dt}=-\mu_n^2\bar{Q}_n + \Phi_n (\bar{Q} ) +\bar{u}_{Vn} (t) +g_n u_S (t), \quad n=1, 2, \ldots,\\
& \Phi_n (\bar{Q} )=\bar{F}_n (\bar{Q} ) + g_n F_1 (\bar{Q} ).
\end{aligned}
\end{equation} \tag{15} \]

Последующие подстановки решения этой системы в (11) и выражения (11) для $Q(x,t)$ в правую часть равенств (9), (10) позволяют найти $F(x,t)$ и $F_1(t)$, однако такое решение может быть получено с требуемой точностью даже при использовании известных способов конечномерного усечения системы (15) [18–20] только численными методами, сложность реализации которых оказывается сравнимой с трудностями непосредственного применения численных методов вариаций в пространстве управлений в задачах оптимального управления исходной нелинейной моделью (1)–(5).

Значительно более простым и конструктивным оказывается предлагаемый в последующих разделах статьи итерационный алгоритм вычисления $F(x,t)$ и $F_1(t)$ по известному начальному приближению, реализуемый в процессе решения на каждом шаге итераций рассматриваемых задач оптимального управления с линейной моделью ОРП вида (6)–(8).

2. Постановка задачи оптимального управления

Пусть объект управления с распределенными параметрами описывается линейной начально-краевой задачей (6)–(8).

Управляющие воздействия в (6) стесняются ограничениями
\[ \begin{equation}
u_{V_{\min}}\leqslant u_V(x,t) \leqslant u_{V_{\max}}; \quad u_{S_{\min}}\leqslant u_S(t) \leqslant u_{S_{\max}}
\end{equation} \tag{16} \]
с заданными пределами их допустимых значений.

Будем считать, что, согласно типовым в приложениях требованиям, необходимо обеспечить за фиксируемое конечное время $t_1$ заданную точность $\varepsilon$ равномерного приближения пространственного распределения управляемой величины $Q (x, t_1)$ к требуемому $Q^{**} (x) >Q_0$ для всех $x \in [x_0, x_1 ]$ согласно соотношению
\[ \begin{equation}
\max_{x \in [x_0, x_1]} \bigl|Q (x, t_1 ) -Q^{**} (x) \bigr| \leqslant \varepsilon,
\end{equation} \tag{17} \]
определяющему оцениваемое в равномерной метрике целевое множество конечных состояний ОРП [7–9].

Пусть далее эффективность процесса управления объектом (6)–(8) оценивается квадратичным функционалом качества, определяемым в следующей типичной частной форме:
\[ \begin{equation}
I (u_V, u_S )=\int _0^{t_1} \int _{x_0}^{x_1}
\bigl[\rho_1(x) Q^2 (x,t) +\rho_2(x) u_V^2 (x,t) \bigr] dxdt+\int _0^{t_1} \rho_S u_S^2 (t) dt \to \min_{u_V,u_S}
\end{equation} \tag{18} \]
с заданными весовыми коэффициентами $\rho_1(x)$, $\rho_2(x)$ и $\rho_S={\rm const}>0$.

Переход к описанию объекта (11), (12) в терминах модальных переменных приводит при $\rho_1(x)=\rho_2(x)=r(x)$ в силу ортонормированности семейства собственных функций к представлению критерия (18) в следующем виде:
\[ \begin{equation}
\begin{aligned}
I_1 (\bar{u}_V, u_S )=&\int _0^{t_1} 
\biggl[\sum \limits_{n=1}^{\infty} \bar{Q}_n^2 (t) + \sum \limits_{n=1}^{\infty} \bar{u}_{Vn}^2 (t) +\rho_S u_S^2(t) \biggr] dt \to \min_{\bar{u}_V,u_S} ;\\
&\bar{u}_V= (\bar{u}_{Vn} ), \quad n=1, 2, \ldots ,
\end{aligned}
\end{equation} \tag{19} \]
а требования (17) к конечному состоянию ОРП представляются условием 
\[ \begin{equation}
\max_{x \in [x_0, x_1 ]} \biggl|\sum\limits_{n=1} ^{\infty} \bar{Q}_n (t_1 ) 
\varphi_n (\mu_n, x ) -Q^{**} (x) \biggr| \leqslant \varepsilon.
\end{equation} \tag{20} \]
Здесь и всюду далее в условиях выполнения усиленных условий Коши–Липшица [20] будем учитывать $N_1$ слагаемых бесконечных сумм в (19), (20), где $N_1=\infty$ или $N_1=N<\infty$ в зависимости от используемой схемы анализа и возможностей практической реализации исследуемых алгоритмов управления, ограничиваясь в случае $N_1=N$ с любой требуемой точностью решением «укороченной» системы $N$ первых уравнений в (12) при достаточно большой величине $N$ и полагая при этом $\bar{Q}_n(t)=0$ при $n>N$ [18–20]. При использовании усеченной модели объекта с $N_1=N<\infty$ все получаемые далее результаты следует считать субоптимальными. 

Теперь рассматриваемая линейно-квадратичная задача оптимизации сводится к определению программного оптимального управления $u_S^* (t)$ и $\bar{u}_V^* (t)$, по которому $u_V^* (x,t)$ восстанавливается в форме ряда (14), и алгоритмов обратной связи $u^* (\bar{Q}, x, t )=\bigl( u_V^* (\bar{Q}, x, t ), u_S^* (\bar{Q}, t ) \bigr)$, 
$\bar{Q}= ( \bar{Q}_n )$, $n=\overline{1, N_1}$, обеспечивающих при $N_1=\infty$ перевод объекта (11), (12) за заданное время $t_1$ в требуемое конечное состояние (20) при минимальном значении критерия оптимальности (19) в условиях ограничений (16).

3. Программное оптимальное управление при заданных зависимостях $\boldsymbol{F(x,t)}$ и $\boldsymbol{F_1(t)}$

3.1. Структура управляющего воздействия

На сформулированную бесконечномерную при $N_1=\infty$ задачу оптимального управления распространяется принцип максимума Понтрягина [7, 21].

Основное условие
\[ \begin{equation}
H\bigl(\bar{Q}^* (t), \bar{u}^* (t), \psi^*(t) \bigr)=
\max_{\bar{u}} H \bigl(\bar{Q}^*(t), \bar{u}, \psi^*(t) \bigr), \quad t \in [0, t_1 ]
\end{equation} \tag{21} \]
достижения на соответствующих оптимальному процессу величинах $\bar{Q}^*(t)$, $\bar{u}^*(t)$, $\psi^*(t)$ максимума функции Понтрягина 
\[ \begin{equation}
H\bigl(\bar{Q}(t),\bar{u}(t), \psi(t) \bigr)=
-\sum\limits_{n=1}^{N_1} \bar{Q}_n^2 (t)-\sum \limits_{n=1}^{N_1} \bar{u}_{Vn}^2 (t) -\rho_S u_S^2 (t)+\sum\limits_{n=1}^{N_1} \psi_n(t) \bigl(-\mu_n^2 \bar{Q}_n (t) +\bar{u}_{Vn} (t) + \bar{F}_n (\mu_n, t )+g_n u_S(t) +g_n F_1(t) \bigr)
\end{equation} \tag{22} \]
по векторному аргументу $\bar{u} (t)= (\bar{u}_V (t), u_S(t) )$ позволяет найти $\bar{u}^*(t)$ в форме явных функций от $\psi^*(t)$ для рассматриваемой задачи оптимизации (11), (12), (16), (19), (20). Здесь $\bar{Q}(t)=\big(\bar{Q}_n(t) \big)$ и вектор сопряженных переменных $\psi(t)=\big(\psi_n(t) \big)$ связаны системой уравнений
\[ \begin{equation}
\cfrac{d \psi_n}{dt}= -\cfrac{\partial H}{\partial\bar{Q}_n} =2\bar{Q}_n (t)+\mu_n^2 \psi_n(t), \quad n=\overline{1,N_1}.
\end{equation} \tag{23} \]

Ограничимся далее для простоты типичной постановкой линейно-квадратичной задачи оптимизации с не стесняемыми ограничениями (16) управляющими воздействиями в целях достижения максимального эффекта по величине критерия оптимальности (19) и последующего выбора предельно допустимых значений $u_S(t)$ и $\bar{u}_{Vn} (t)$, связываемых условиями (16), на основании получаемых результатов.

В открытой области изменения $\bar{u}(t)$ оптимальное управление $\bar{u}^*(t)$ при любой конкретной форме допустимых зависимостей $F(x,t)$ и $F_1(t)$ в (6) от своих аргументов и требований к конечному состоянию объекта принимает, согласно (21)–(23), следующий вид [15, 23]:
\[ \begin{equation}
\bar{u}_{Vn}^* (t)=\cfrac 12 \psi_n^*(t), \quad n=\overline{1, N_1}; 
\quad 
u_S^*(t)=\cfrac 1 {2 \rho_S} \sum \limits_{p=1}^{N_1} g_p \psi_p^* (t).
\end{equation} \tag{24} \]

3.2. Краевая задача принципа максимума

Уравнения (12) с подстановкой управляющих воздействий вида (24) образуют совместно с (23) линейную программно-управляемую систему (П-систему [6, 9]), замыкаемую относительно неизвестных $\bar{Q}(t)$ и $\psi(t)$ требованиями (20) к конечному состоянию объекта:
\[ \begin{equation}
\begin{aligned}
\cfrac{d\psi_n}{dt}&=2\bar{Q}_n +\mu_n^2 \psi_n, \qquad\qquad n=\overline{1, N_1};\\
\cfrac{d\bar{Q}_n}{dt}&=-\mu_n^2 \bar{Q}_n +\cfrac 12 \psi_n +\cfrac 1{2\rho_S} g_n \sum \limits_{p=1}^{N_1} g_p \psi_p +{}\\
{}&{}+ \bar{F}_n (\mu_n, t ) + g_n F_1(t), \quad n=\overline{1, N_1}.
\end{aligned}
\end{equation} \tag{25} \]
Решение этой системы может быть представлено в векторно-матричной форме:
\[ \begin{equation}
\begin{bmatrix}
\psi(t)\\
\bar{Q}(t)
\end{bmatrix} = e^{At} \begin{bmatrix}
\psi(0)\\
\bar{Q}(0)
\end{bmatrix} + \int _0^{t} e^{A(t-\tau)} \omega (\tau) d\tau.
\end{equation} \tag{26} \]
Здесь
\[ \begin{equation}
\begin{aligned}
&
\omega(\tau) = \begin{bmatrix}
0\\
\bar{F}(\tau)+g F_1(\tau)
\end{bmatrix}, \\
& \bar{F}(\tau) + g F_1(\tau) = \bigl(\bar{F}_n (\mu_n, \tau )+g_n F_1 (\tau) \bigr), \quad n=\overline{1, N_1};
\end{aligned}
\end{equation} \tag{27} \]
$\bar{F}(\tau) + g F_1(\tau)$ — вектор-столбец; $g= (g_n )$, $n=\overline{1,N_1}$; $A$ — матрица коэффициентов системы (25); $e^{At}$ — матричная экспонента, столбцами которой являются линейно независимые решения однородной системы (25) при $\bar{F}_n (\mu_n, t ) = F_1(t) =0$. 

Матричная экспонента представляется в блочном виде
\[ \begin{equation}
e^{At} = \begin{bmatrix}
A_{11}(t) & A_{12} (t)\\
A_{21}(t) & A_{22} (t)
\end{bmatrix},
\end{equation} \tag{28} \]
где блоки $A_{ij} (t)$ — известные $N_1 {\times} N_1$ матрицы в соответствии со структурой системы уравнений (25).

3.3. $\boldsymbol{\psi^{(M)}}$-параметризация управляющих воздействий

Согласно (26) $\psi(t)$, а следовательно, и программное управление (24) определяются при известной величине $\bar{Q}(0)$ с точностью до вектора $\psi(0)$ начальных значений сопряженных функций, выступающих, таким образом, в роли параметрического представления $\bar{u}^*(t)$ [2, 6]. Однако для СРП подобный способ параметризации оказывается неконструктивным в силу бесконечной размерности этого вектора при $N_1=\infty$. В работе [24] применительно к требованиям (20), предъявляемым к $\bar{Q}^* (t_1 )$, предложен метод последовательной конечномерной параметризации управляющих воздействий («$\psi$-параметризация») на множестве $M$-мерных векторов $\psi^{(M)}$ финишных значений $\psi_i (t_1 )$, $i=\overline{1, M}$, первых $M<N_1$ сопряженных функций в (25) при равных нулю остальных величинах $\psi_i (t_1 )=0$, $i>M$:
\[ \begin{equation}
\psi^{(M)}=\bigl(\psi_i (t_1 ) \bigr)= (\tilde{\psi}_i ), 
\quad i=\overline{1,M}; \qquad \psi_i (t_1 )=0, \quad i>M\geqslant 1.
\end{equation} \tag{29} \]

Интегрирование уравнений П-системы (25) в условиях $\psi$-параметризации (29) позволяет получить конечное состояние управляемой величины, управляющие воздействия и значения критерия оптимальности в форме явных функций $Q (x,\psi^{(M)} )$, $\bar{u}_{Vn} (t, \psi^{(M)} )$, $u_S (t,\psi^{(M)})$ и $I_1 (\psi^{(M)} )$ от своих аргументов.

При этом минимально достижимые в классе параметризуемых управлений $\bar{u} (t, \psi^{(M)} )$ значения $\varepsilon_{\min} ^{(M)}$ ошибки $\varepsilon$ равномерного приближения $Q (x, t_1 )$ к $Q^{**} (x)$ определяются в соответствии с (17) соотношением
\[ \begin{equation}
\varepsilon_{\min}^{(M)}=\min_{\psi^{(M)} \in E^M} \Bigl\{\max_{x\in [x_0, x_1 ]} \bigl|Q (x, \psi^{(M)} ) -Q^{**}(x) \bigr| \Bigr\}.
\end{equation} \tag{30} \]

Как показано в [22], в типичных условиях существования отрицательной производной функции максимума в (30) по некоторому направлению в $E^{(M+1)}$ ошибки минимакса в (30) уменьшаются с возрастанием $M$, образуя строго убывающую цепочку неравенств
\[ \begin{equation}
\varepsilon_{\min}^{(1)}>\varepsilon_{\min}^{(2)}>\cdots> \varepsilon_{\min}^{(j)} > \varepsilon_{\min}^{(j+1)} > \cdots > \varepsilon_{\min}^{(\rho)} = \varepsilon_{\rm inf},
\end{equation} \tag{31} \]
где $\varepsilon_{\rm inf}$ — точная нижняя грань возможных значений $\varepsilon$ в (17) и $\rho=\infty$ при $\varepsilon_{\rm inf}= 0$ и $\rho<\infty$ при $\varepsilon_{\rm inf} > 0$ соответственно для управляемых и неуправляемых относительно $Q^{**}(x)$ моделей объекта [8, 9]. При $\varepsilon<\varepsilon_{\rm \inf}$ решение рассматриваемой задачи оптимального управления не существует. Неравенства (31) характеризуют сужающиеся к $Q^{**}(x)$ с возрастанием $M$ семейства целевых множеств для $\varepsilon=\varepsilon_{\min}^{(j)}$ в (20), создавая возможности обеспечения достижимой точности равномерного приближения к $Q^{**}(x)$ при $\varepsilon\geq\varepsilon_{\rm inf}$ в (20) в процессе последовательной $\psi$-параметризации управляющих воздействий с конечномерным вектором параметров $\psi^{(M)}$, $M<N_1$, для ряда возрастающих значений $M$ в (29).

Искомое $\psi$-параметризуемое оптимальное управление $\bar{u} (t, \psi_*^{ (M_0 )})$ характеризуется вектором параметров $\psi_*^{(M_0)}=(\tilde{\psi}_i^* )$, $i=\overline{1,M_0}$, размерностью $M=M_0$, нижняя граница которой в силу определения (30) отвечает в условиях (31) в зависимости от величины $\varepsilon$ в (20) неравенствам
\[ \begin{equation}
M_0 \geqslant \upsilon \forall \varepsilon : \varepsilon_{\min}^{(\upsilon)}\leqslant \varepsilon < \varepsilon_{\min}^{(\upsilon-1)}, \quad \upsilon \in \{\overline{1,\rho} \}.
\end{equation} \tag{32} \]

Соотношения (29) представляют собой условия трансверсальности на правом конце траекторий в бесконечномерном фазовом пространстве переменных $\bar{Q}_n$, $n=1, 2,\ldots$, с некоторыми (заранее неизвестными для каждого вектора $\psi^{(M)}$) фиксированными конечными значениями $\bar{Q}_{nk}$, $n=\overline{1,M}$, первых $M$ мод $\bar{Q}_n (t_1 )$, $n=\overline{1,M}$, и свободными величинами $\bar{Q}_n (t_1 )$ при $n>M$ для остальных модальных переменных:
\[ \begin{equation}
\bar{Q}_n (t_1 ) =\bar{Q}_{nk}, \quad n=\overline{1,M}; \qquad 
\bar{Q}_n (t_1 ) \in E^1, \quad n>M.
\end{equation} \tag{33} \]

Заменим требование (20) к конечному состоянию объекта в рассматриваемой задаче оптимального управления краевыми условиями (33) для заданных величин $\bar{Q}_{nk}$, $n=\overline{1,M}$, при некотором фиксированном значении $M=M_1$. Пусть решение соответствующей П-системы (25), замыкаемой соотношениями (33), позволяет найти вектор $\psi^{(M_1 )} = (\tilde{\psi}_i )$, $i=\overline{1,M_1}$, сопряженных переменных, параметрические зависимости управляющего воздействия $\bar{u} (t, \psi^{(M_1 )})$ и отвечающие ему конечные значения $\bar{Q}_{nk}$ для $n>M_1$. Предположим, что на некотором множестве всех возможных по набору $M_1$ вариантов величин $\bar{Q}_{nk}$, $n=\overline{1,M_1}$, удовлетворяется условие (20), и выделим такой из этих вариантов, для которого достигается наименьшее значение $I_{1 {\min}} ( \psi^{ (M_1 )} )$ критерия оптимальности (19). В итоге оказывается решенной исходная задача оптимизации, если искомое управление $\bar{u}^* (t)$ действительно принадлежит классу $\psi^{ (M_1 )}$-параметризуемых функций $\bar{u} (t, \psi^{ (M_1 )} )$. 

Рассмотрим далее $\psi^{ (M_2 )}$-параметризованное управление $\bar{u} (t, \psi^{ (M_2 )})$ с $M  =M_2>M_1$ в (33), где $\psi^{ (M_2 )}= (\tilde{\psi}_i )$, $i=\overline{1,M_2}$, и $\tilde{\psi}_i\neq 0$ хотя бы для одного из значений $i \in \{\overline{M_1+1, M_2} \}$. 

В классе таких управляющих воздействий число фиксируемых в (33) величин $\bar{Q}_{nk}$ превышает $M_1$. Так как при $M=M_1$ согласно (29) $\tilde{\psi}_i = 0$ для всех $i \in \{\overline{M_1+1, M_2}\}$, достигаемое при рассматриваемом управлении $\bar{u} (t, \psi^{ (M_2 )} )$ значение $I_{1\min} (\psi^{ (M_2 )} )$ критерия оптимальности (19) для любого одинакового с $\bar{u} (t, \psi^{ (M_1 )})$ набора первых $M_1$ величин $\bar{Q}_{nk}$ отвечает неравенству $I_{1\min} (\psi^{ (M_1 )} ) < I_{1} (\psi^{ (M_2 )} )$ за счет свободы выбора большего числа составляющих $\bar{Q}_n (t_1 )$, $n>M$ в (33) при $M=M_1$ по сравнению со случаем $M=M_2$, которые автоматически устанавливаются из условий минимизации функционала качества (19). Если управление $u (t, \psi^{ (M_2 )} )$ реализуется в условиях $\tilde{\psi}_i =0$ для всех $i \in \{\overline{M_1+1, M_2} \}$, то в таком случае $\psi^{ (M_2 )}= \psi^{ (M_1 )}$ согласно определению (29), и последнее неравенство уточняется следующим образом: $I_{1\min} (\psi^{ (M_1 )} ) \leqslant I_{1} (\psi^{ (M_2 )} )$.

Отсюда следует, что размерность $M_0$ вектора $\psi_*^{ (M_0 )}$, характеризующего искомое оптимальное управление, совпадает со своей нижней границей в (32) и находится по правилу 
\[ \begin{equation}
M_0=\upsilon \forall \varepsilon : \varepsilon_{\min}^{(\upsilon)} \leqslant \varepsilon < \varepsilon_{\min}^{(\upsilon-1)}, \quad \upsilon \in \{1,\rho \},
\end{equation} \tag{34} \]
однозначно устанавливающему величину $M_0$ в зависимости от заданного значения $\varepsilon$ в (20) и характеризующему структуру оптимальных программных управлений минимальной сложности в условиях (20).

3.4. Явная форма $\boldsymbol{\psi^{(M)}}$-параметризуемых оптимальных управлений

Перенос («прогонка») начальных условий в (26) в конечный момент времени приводит к следующему выражению для сопряженных функций в оптимальном процессе в зависимости от конечной величины $\psi^* (t_1 )$, начального состояния объекта $\bar{Q}(0)$ и внешнего воздействия $\omega(\tau)$ в (26), (27) [15, 23]:
\[ \begin{equation}
\psi^*(t) =\bigl[
\hat{A}_{11} (t_1 -t ) + \hat{A}_{12} (t_1 -t ) K (t_1 )\bigr] \psi^* (t_1 ) +\hat{A}_{12} (t_1 -t ) K_1 (t_1 ) \bar{Q}(0) 
+\hat{A}_{12} (t_1 -t ) D_{\omega} (t_1 ) + D_{\omega 1} (t, t_1 ),
\end{equation} \tag{35} \]
где $\hat{A}_{ij}$ — подобные (28) блоки обратной матрицы $e^{-A (t_1 -t )}$,
\[ \begin{equation*}
K (t_1 )=A_{21} (t_1 ) A_{11}^{-1} (t_1 ),
\quad 
K_1 (t_1 )=A_{22} (t_1 )-A_{21} (t_1 ) A_{11}^{-1} (t_1 ) A_{12} (t_1 ),
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
 D_{\omega} (t_1 ) =\int _0^{t_1} A_{22} (t_1 -\tau ) \bigl( \bar{F} (\tau) + g F_1 (\tau)\bigr) d\tau - A_{21} (t_1 ) A_{11}^{-1} (t_1 ) \int _0^{t_1} A_{12} (t_1 -\tau ) \bigl( \bar{F} (\tau) + g F_1 (\tau)\bigr) d\tau,
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
D_{\omega 1} (t, t_1 )=-\int _t^{t_1} \hat{A}_{12} (\tau - t) \bigl(\bar{F}(\tau) +gF_1 (\tau) \bigr) d \tau.
\end{equation*} \]

Подстановка (35) в (24) приводит к явной форме $\psi$-параметризованных оптимальных программных управлений $\bar{u}^*_{V n} (t)$ и $u_S^*(t)$.

3.5. $\boldsymbol{\Delta^{(M)}}$-параметризация управляющих воздействий

В рассматриваемой ЗОУ искомые оптимальные управления находятся, согласно (24), непосредственно в терминах сопряженных переменных, позволяя получить в достаточно простом виде (24), (35) их $\psi^{(M)}$-параметризованное представление. Однако при отличном от (19) критерии оптимальности базовое условие оптимальности (21) приводит к гораздо более сложным зависимостям $\bar{u}^*(t)$ от $\psi^*(t)$, краевая задача принципа максимума становится нелинейной [7–9, 24] и задача определения в явной форме $\psi^{(M)}$-параметризованного управления $\bar{u}^*(t)$ оказывается трудноразрешимой. 

Тем не менее в подобной ситуации процедура принципа максимума в совокупности с базовыми закономерностями предметной области во многих случаях позволяет найти оптимальные управляющие воздействия с точностью до вектора $\Delta^{(M)}=(\Delta_i^{(M)})$, $i=\overline{1, M}$, параметров отличной от $\psi^{(M)}$ природы, который непосредственно характеризует их поведение в заданной пространственно-временной области ($\Delta^{(M)}$-параметризация $\bar{u}(t)$) [7–9, 24].

Типичным примером является классическая задача оптимального по быстродействию управления, для которой оптимальное управляющее воздействие заведомо определяется, согласно (21), в классе кусочно-постоянных функций с точностью до вектора $\Delta^{(M)}$ длительностей $\Delta_i^{(M)}$, $i=\overline{1, M}$, $M$ интервалов постоянства управляющих воздействий, попеременно принимающих только свои предельно допустимые максимальное и минимальное значения в соответствии с (16) [7–9]. Интегрирование системы уравнений (12) модели объекта с $\Delta^{(M)}$-параметризованным управлением $\bar{u} (t, \Delta^{(M)} )$ позволяет найти конечные значения модальных переменных $\bar{Q}_n (t_1, \Delta^{(M)} )$, $n=\overline{1, N_1}$, по которым $Q (x, t_1 )=Q (x, \Delta^{(M)} )$ восстанавливается в форме ряда (11), и значение критерия оптимальности $I_1 (\Delta^{(M)} )$ в форме явных функций от $\Delta^{(M)}$. Процедура $\Delta^{(M)}$-параметризации характеризуется величинами $\tilde{\varepsilon}_{\min}^{(j)}$ минимакса, определяемыми соотношениями (30), (31) после замены в них $\psi^{(M)}$ на $\Delta^{(M)}$.

Поскольку в результате $\psi^{(M)}$-параметризации рассматриваемая задача оптимизации сводится к управлению объектом (12) с заданными конечным состоянием $\bar{Q}_{nk}$, $n=\overline{1, M}$, первых $M$ мод управляемой величины при свободных значениях $\bar{Q}_n (t_1 )$, $n>M$ остальных модальных составляющих согласно (33), вектор $\Delta_*^{(M)}$, характеризующий оптимальное управление $u^* (t, \Delta_*^{(M)} )$, может быть найден путем решения системы $M$ уравнений
\[ \begin{equation}
\bar{Q}_{nk}=\bar{Q} _n (t_1, \Delta^{(M)} ), \quad n=\overline{1, M}
\end{equation} \tag{36} \]
относительно $M$ неизвестных $\Delta_i^{(M)}$, $i=\overline{1, M}$, при каждом заданном наборе $M$ величин $\bar{Q}_{nk}$, $n=\overline{1, M}$, и найденных зависимостях $\bar{Q}_n (t_1, \Delta^{(M)} )$, $n=\overline{1, M}$.

Ввиду полной управляемости укороченной модели объекта, описываемой первыми $M$ уравнениями в (12) для $n=\overline{1, M}$ [25], система уравнений (36) всегда имеет решение относительно $\Delta^{(M)}$, если искомое оптимальное управление существует в классе $\Delta^{(M)}$-параметризуемых управляющих воздействий.

Дальнейший анализ в этих условиях по схеме для $\psi^{(M)}$-параметризованного управления приводит к подобному (34) правилу выбора размерности $M_0$ вектора $\Delta_*^{ (M_0 )}$, характеризующего оптимальное управление $\bar{u}^* (x, \Delta_*^{ (M_0 )} )$ в зависимости от заданного $\varepsilon$ в (20):
\[ \begin{equation*}
M_0=\upsilon \forall \varepsilon : \tilde{\varepsilon}_{\min}^{(\upsilon)} \leqslant \varepsilon < \tilde{\varepsilon}_{\min}^{(\upsilon - 1)}, \quad \upsilon \in \{1,\rho \},
\end{equation*} \]
где значения $\tilde{\varepsilon}_{\min}^{(\upsilon)}$ отличаются от $\varepsilon_{\min}^{(\upsilon)}$ в (34).

Всюду далее продолжается исследование поставленной в разделе 2 задачи оптимизации с критерием оптимальности (19) применительно к поиску $\psi^{(M)}$-параметризованных управляющих воздействий.

3.6. Редукция к задаче полубесконечной оптимизации

После интегрирования уравнений системы (12) с $\psi$-параметризованным управлением $\bar{u}^* (t, \psi_*^{ (M_0 )} )$ вида (24), (35) находятся при заданном детерминированном воздействии $\omega(\tau)$ в (26), (27) зависимости $Q (x, \psi_*^{ (M_0 )} )$ управляемой величины в конце процесса управления для каждого значения $\bar{Q}(0)$ и критерия оптимальности $I_1 (\psi_*^{ (M_0 )} )$ в (11), (19) в форме явных функций своих аргументов. В результате осуществляется точная редукция исходной задачи оптимального управления к задаче полубесконечной оптимизации (ЗПО) [7–9, 24]:
\[ \begin{equation}
I_1 (\psi_*^{(M_0)} ) \to \min_{\psi_*^{ (M_0 )}}; 
\quad 
\max_{x\in [x_0, x_1 ]} \bigl|Q (x, \psi_*^{ (M_0 )} ) - Q^{**} (x)\bigr| \leqslant \varepsilon
\end{equation} \tag{37} \]
на экстремум функции $I_1 (\psi_*^{ (M_0 )} )$ конечного числа $M_0$ переменных $\tilde{\psi}_i^*$, $i =\overline{1, M_0}$, в (29) с бесконечным числом ограничений, порождаемых требованием выполнения условия (17) для всех $x \in [x_0, x_1 ]$ и заменяемых одним ограничением на функцию максимума в (37). Здесь размерность $M=M_0$ оптимального вектора параметров $\psi_*^{ (M_0 )}$ определяется согласно (30), (31), (34).

Решение ЗПО (37) относительно вектора параметров $\psi_*^{ (M_0 )}$, а также заведомо неизвестной величины $\varepsilon_{\min} ^{ (M_0 )}$ в случае, когда $\varepsilon = \varepsilon_{\min} ^{ (M_0 )}$ в (37), может быть получено альтернансным методом параметрической оптимизации в условиях малостеснительных для прикладных задач допущений [7–9].

Метод базируется на специальных альтернансных свойствах искомой оптимальной величины вектора $\psi_*^{ (M_0 )} = (\psi^*_i )$, $i=\overline{1, M_0}$, в (37), являющихся аналогом условий экстремума в теории нелинейных чебышевских приближений, и дополнительной информации о форме кривой пространственного распределения результирующего состояния $Q (x, \psi_*^{ (M_0 )} )$, определяемой закономерностями предметной области. Согласно альтернансным свойствам, равные допустимой величине $\varepsilon$ одинаковые значения максимальных отклонений $\max\limits_{x\in [x_0, x_1 ]} \bigl|Q (x, \psi_*^{ (M_0 )} ) - Q^{**} (x)\bigr|$ достигаются в некоторых точках $x_j^0$, $j=\overline{1, R}$, на отрезке $ [x_0, x_1 ]$. Общее число $R$ этих точек
\[ \begin{equation*}
R=\begin{cases}
M, & \text{если } \varepsilon_{\min} ^{ (M_0 )} <\varepsilon < \varepsilon_{\min} ^{ (M_0 -1 )};
\\
M+1, & \text{если } \varepsilon =\varepsilon_{\min} ^{ (M_0 )},
\end{cases}
\end{equation*} \]
согласно [7–9]
равно числу искомых неизвестных в ЗПО (37) и порождает замкнутую относительно этих неизвестных систему отношений
\[ \begin{equation}
\bigl|Q (x_j^0, \psi_*^{ (M_0 )} ) - Q^{**} (x_j^0 )\bigr| = \varepsilon, \quad j=\overline{1,R}.
\end{equation} \tag{38} \]
При наличии дополнительной информации из предметной области о форме кривой $Q (x, \psi_*^{ (M_0 )} ) - Q^{**} (x)$ на отрезке $ [x_0 ,x_1 ] \ni x$, позволяющей при известной функции $\omega(\tau)$ в (26), (27) идентифицировать координаты $x_j^0$ и знаки $Q (x_j^0, \psi_*^{(M_0 )} )$, равенства (38), дополненные условиями существования экстремума функции $Q (x, \psi_*^{ (M_0 )} )$ в точках $x_{jg}^0 \in \operatorname{int} [x_0, x_1 ]$, $g=\overline{1, R_1}$, где $R_1 \leqslant R$ и $x_{jg}^0 \in \{ x_j^0 \}$, переводятся в систему уравнений 
\[ \begin{equation} 
\begin{aligned}
& Q (x_j^0, \psi_*^{ (M_0 )} ) - Q^{**} (x_j^0 ) = \pm \varepsilon, \qquad\quad\, j=\overline{1,R};
\\
& \cfrac{\partial}{\partial x} \bigl[Q (x_{jg}^0, \psi_*^{ (M_0 )} ) - Q^{**} (x_{jg}^0 ) \bigr]=0, \quad g=\overline{1,R_1}
\end{aligned}
\end{equation} \tag{39} \]
с однозначно определяемым знаком $\varepsilon$ в каждой точке $x_j^0$, которая разрешается известными численными методами относительно $\psi_i^*$, $i=\overline{1, M_0}$, значений $x_{jg}^0$, $g=\overline{1, R_1}$, а также $\varepsilon_{\min} ^{ (M_0 )}$, если $\varepsilon=\varepsilon_{\min}^{(M_0 )}$ в (37).

Явное выражение для зависимости $Q (x_j^0, \psi_*^{(M_0 )} )$ от своих аргументов в системе уравнений (39) представляется в форме бесконечной или укороченной суммы вида (20) разложения в ряд (11):
\[ \begin{equation*}
Q (x_j^0, \psi_*^{ (M_0 )} )=
\sum\limits_{n=1}^{N_1} \bar{Q}_n (\psi_*^{(M_0 )} ) \varphi_n (\mu_n, x_j^0 ),
\end{equation*} \]
где значения модальных переменных $\bar{Q}_n (\psi_*^{(M_0 )} )$ в конце оптимального процесса находятся в подобном (35) виде [15, 23]:
\[ \begin{equation}
\bar{Q} (\psi_*^{(M_0 )} )= \bigl(\bar{Q}_n (\psi_*^{(M_0)} ) \bigr) =
K (t_1 ) \psi^* (t_1 ) +K_1 (t_1 ) \bar{Q}(0) +D_\omega (t_1 ).
\end{equation} \tag{40} \]

В итоге решение системы уравнений (39) относительно $\psi_*^{(M_0 )}$ определяет, согласно (29), вектор $\psi^* (t_1 )$, подстановка которого в (35) приводит к явной форме описания в оптимальном процессе сопряженных переменных $\psi^* (t)$ и управляющих воздействий $\bar{u}_{Vn}^* (t)$, $u_S^*(t)$ в (24), завершая тем самым решение задачи программного управления в условиях детерминированных воздействий $\omega(\tau)$ вида (27) в (26).

В исходных условиях неопределенности $\omega(\tau)$ далее предлагается итерационная процедура вычисления $F(x,t)$ и $F_1 (t)$ в (6), а следовательно, и $\omega(\tau)$ в (26), (27), по известному начальному приближению.

4. Численный метод решения задачи программного управления

Пусть $F^{(k)} (x,t)$, $F_1^{(k)}(t)$, $k=1, 2, \ldots$, — известные приближения к $F (x,t)$, $F_1(t)$ в (6) на $k$-том шаге итерационной процедуры поиска этих функций при заданных начальных значениях
\[ \begin{equation}
F^{(1)}(x,t)=F_1^{(1)} (t)=0.
\end{equation} \tag{41} \]
Тогда $k$-тое приближение $\bar{u}^{(k)}(t) = \bigl(\bar{u}_{Vn}^{(k)} (t), \, n=\overline{1,N_1}; \,u_S^{(k)} (t)\bigr)$ к оптимальному управлению $\bar{u}^*(t)$ в (24) находится при фиксируемых зависимостях $F^{(k)} (x,t)$, $F_1^{(k)} (t)$ по описанному в разд. 3 алгоритму, определяющему непрерывное отображение 
\[ \begin{equation}
\Lambda :
F^{(k)},\, F_1^{(k)} \to \bar{u}^{(k)} : 
\bar{u}^{(k)}(t)=\Lambda \bigl(F^{(k)}(x,t), F_1^{(k)}(t) \bigr), \quad k=1, 2, \ldots.
\end{equation} \tag{42} \]

Построим $(k+1)$-е приближение $F^{(k+1)}(x,t)$, $F_1^{(k+1)} (t)$ с учетом базовых соотношений (9), (10), позволяющих осуществить переход к линейно квадратичной задаче оптимизации (11), (12), (19), (20):
\[ \begin{equation}
\begin{aligned}
& F^{(k+1)} (x,t) = F^{(k)} (x,t) + \delta F^{(k)} (x,t);\\
& \delta F^{(k)} (x,t) = L \bigl( Q^{(k)}(x,t)\bigr) - L_0 \bigl(Q^{(k)} (x,t)\bigr);
\end{aligned}
\end{equation} \tag{43} \]
\[ \begin{equation}
\begin{aligned}
& F_1^{(k+1)} (t) = F_1^{(k)} (t) + \delta F_1^{(k)} (t);\\
& \delta F_1^{(k)} (t) = L_{10} \bigl( Q^{(k)} (x_1, t )\bigr) - L_1 \bigl(Q^{(k)} (x_1, t )\bigr).
\end{aligned}
\end{equation} \tag{44} \]
Здесь $Q^{(k)} (x,t)$ являются численным или аналитическим решением уравнений соответственно (1)–(3) или (6) при предварительно найденном управлении $\bar{u}^{(k)} (t)$ в (42), описываемым известным отображением $\Phi$: $\bar{u}^{(k)} \to Q^{(k)} (x,t)$ из множества $\bar{u}^{(k)}$:
\[ \begin{equation}
Q^{(k)}(x,t) = Q^{(k)} (x, t, u^{(k)} ) = \Phi (\bar{u^{(k)}} ).
\end{equation} \tag{45} \]

Ограничимся здесь и далее достаточно общим случаем возможности выбора отображения $\Phi ( \bar{u}^{(k)})$, обеспечивающего представление операторов $L$, $L_0$, $L_1$, $L_{10}$ с требуемой точностью в классе непрерывных функций переменных $x$ и $t$ с использованием применительно к нелинейным уравнениям (1)–(3) известных методов численного интегрирования, разностной аппроксимации пространственных производных ${\partial Q^{(k)}}/{\partial x}$, $ {\partial^2 Q^{(k)}}/{\partial x^2}$ и интерполяции сеточных функций на пространственно-временной плоскости при вычислении $L$ и $L_1$.

Рассмотрим далее типичную и наиболее характерную для приложений ситуацию, когда на компактном множестве переменных ($x \in [x_0, x_1]$; $t \in [0, t_1]$) в двумерном евклидовом пространстве $E^2$ операторы $\Lambda$ и $\Phi$ в (42), (45) вместе с $L$, $L_1$, $L_0$, $L_{10}$ являются ограниченными [1]. Ограниченные на этом основании последовательности $ \{F^{(k)} (x,t) \}$, $ \{F_1^{(k)} (t) \}$, $ \{\bar{u}^{(k)} (t) \}$, $\{Q^{(k)} (x,t) \}$, $k=1, 2, \ldots$, содержат в силу теоремы Больцано– Вейерштрасса [1, 26] подпоследовательности, сходящиеся к некоторым пределам, соответственно $\tilde{F}(x,t)$, $\tilde{F}_1 (t)$, $\tilde{\bar{u}} (t)$, $\tilde{Q}(x,t)$, единственность которых устанавливается по указанной в [1] схеме.

Тогда 
\[ \begin{equation*}
\tilde{\bar{u}}(t) = \Lambda \bigl(\tilde{F}(x,t), \tilde{F}_1(t)\bigr); \quad 
\tilde{Q}(x,t) = \Phi\bigl(\tilde{\bar{u}}(t) \bigr);
\end{equation*} \]
и для сходящихся последовательностей $ \{F^{(k)} (x,t) \}$, $ \{F_1^{(k)}(t) \}$ на основании (43), (44) будем иметь, что
\[ \begin{equation*}
\lim_{k\to \infty} \bigl(F^{(k+1)} (x,t) - F^{(k)} (x,t)\bigr)= 
\lim_{k\to \infty} \bigl(\delta F^{(k)} (x,t)\bigr)= \lim_{k\to \infty} \bigl(L ( Q^{(k)} (x,t) ) -L_0 (Q^{(k)} (x,t) ) \bigr)=
L\bigl( \tilde{Q}(x,t) \bigr) - L_0\bigl( \tilde{Q}(x,t) \bigr)=0,
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
\lim_{k\to \infty} \bigl(F_1^{(k+1)} (t) - F_1^{(k)} (t)\bigr)= 
\lim_{k\to \infty} \bigl(\delta F_1^{(k)} (t)\bigr)=\lim_{k\to \infty} \bigl(L_{10} ( Q^{(k)} (x_1,t ) ) -L_1 (Q^{(k)} (x_1,t ) ) \bigr)
=L_{10}\bigl( \tilde{Q} (x_1, t ) \bigr) - L_1\bigl( \tilde{Q} (x_1, t ) \bigr)=0,
\end{equation*} \]
и, следовательно,
\[ \begin{equation}
L\bigl(\tilde{Q}(x,t) \bigr) = L_0 \bigl(\tilde{Q}(x, t) \bigr), \quad 
L_1 \bigl(\tilde{Q} (x_1, t )\bigr)=L_{10} \bigl(\tilde{Q} (x_1, t ) \bigr).
\end{equation} \tag{46} \]

Полученные соотношения (46) с учетом (43), (44) означают, что нелинейные уравнения (1)–(3) объекта управления сводятся к линейной модели (6) в линейно-квадратичной задаче оптимизации (11)–(14), (19), (20) при зависимостях $F(x,t)=\tilde{F}(x,t)$, $F_1(t)=\tilde{F}_1(t)$, получаемых вместе с оптимальным программным управлением $\bar{u}^*(t) =\tilde{\bar{u}}(t)$ в сходящемся к $F(x,t)$, $F_1(t)$, $\bar{u}^*(t)$ итерационном процессе вычисления $F^{(k)}$, $F_1^{(k)}$ и $\bar{u}^{(k)}$.

В итоге предлагаемый итерационный алгоритм решения задачи оптимального управления нелинейной моделью ОРП реализуется путем выполнения следующей последовательности вычислительных операций.

1. На первом шаге при начальном приближении $F^{(1)} (x,t)$, $F_1^{(1)} (t)$, выбираемом согласно (41) (или каким-либо другим способом при наличии дополнительной информации), определяется решение $\bar{u}^{(1)} (t)$ линейно-квадратичной задачи (11)–(14), (19), (20) по алгоритму, описанному в разд. 3.
2. При найденном управлении $\bar{u}^{(1)}$ находятся аналитическое (в форме (11)) и численное решение соответственно линейной и нелинейной начально-краевых задач (1)–(3) и (6) по алгоритму (45) для $k=1$ с последующим вычислением операторов $L \bigl(Q^{(1)}(x,t) \bigr)$, $L_0 \bigl( Q^{(1)} (x,t)\bigr)$, $L_1\bigl(Q^{(1)} (x_1, t )\bigr)$, $L_{10}\bigl(Q^{(1)} (x_1, t )\bigr)$.
3. На втором и последующих шагах при $k=2, 3, \ldots$ вычисляются по правилам (43), (44) следующие приближения $F^{(k)} (x,t)$, $F_1^{(k)} (t)$; находятся $\bar{u}^{(k)} (t)$ согласно (42); определяются $Q^{(k)}(x,t)$ по алгоритму (45) и на этом приближении фиксируются значения операторов $L$, $L_0$, $L_1$, $L_{10}$.
4. Описанная процедура продолжается с возрастанием $k$ до некоторого значения $k^*$, при котором с требуемой точностью соблюдается приближенное равенство
   \[ \begin{equation*}
   F^{(k^* + 1 )} (x,t) \approx F^{(k^*)} (x,t), \quad
   F_1^{(k^* + 1 )} (t) \approx F_1^{(k^*)} (t),
   \end{equation*} \]
   выполнение которого гарантируется в силу сходимости рассматриваемого итерационного процесса.

Таким образом, известная технология численного решения задачи оптимизации нелинейной СРП заменяется более простой итерационной процедурой аналитического решения ряда линейно-квадратичных задач оптимального управления с внешними возмущениями, предварительно опознаваемыми на каждом шаге итерационного процесса, и промежуточными вычислениями управляемой функции состояния нелинейного объекта на его цифровой модели при известных управляющих воздействиях.

Преимуществом подобного подхода является возможность получения алгоритмов оптимального программного управления нелинейной СРП в аналитической форме решения линейно-квадратичной задачи оптимизации.

5. Аналитическое конструирование оптимального регулятора

Перенос граничных условий при $t=t_1$ в произвольный момент времени $t \in (0, t_1 )$ определяет в краевой задаче (25) по описанной в [15] схеме следующие зависимости конечных величин $\psi^* (t_1 )$, $\bar{Q}^* (t_1 )$ векторов сопряженных и управляемых переменных от их текущих значений $\psi^* (t)$, $\bar{Q}^*(t)$ в оптимальном процессе управления:
\[ \begin{equation}
\psi^* (t_1 )=A_{11} (t_1 -t ) \psi^* (t) +A_{12} (t_1 -t ) \bar{Q}^* (t) + D_{\omega 2} (t,t_1 ),
\end{equation} \tag{47} \]
\[ \begin{equation}
\bar{Q}^* (t_1 )=A_{21} (t_1 -t ) \psi^* (t) +A_{22} (t_1 -t ) \bar{Q}^* (t) + D_{\omega 3} (t,t_1 ).
\end{equation} \tag{48} \]
Здесь
\[ \begin{equation}
\begin{aligned}
&D_{\omega 2} (t, t_1 ) = \int _t^{t_1} A_{12} (t_1-\tau ) \bigl(\bar{F}(\tau) + g F_1 (\tau) \bigr) d\tau,
\\
&D_{\omega 3} (t, t_1 ) = \int _t^{t_1} A_{22} (t_1-\tau ) \bigl(\bar{F}(\tau) + g F_1 (\tau) \bigr) d\tau;
\end{aligned}
\end{equation} \tag{49} \]
$A_{ij} (t_1-\tau )$ — блоки матричной экспоненты $e^{A(t_1-\tau )}$ в (28); функции $F(x,t)$, $F_1(t)$ в (6) и вместе с ними $\omega(\tau)$ в (27) считаются уже найденными при предварительном решении задачи программного управления описанным в разд. 4 численным методом.

После умножения слева векторных равенств (47) и (48) соответственно на известные по результатам решения задачи программного управления $(N_1 {\times} N_1)$-матрицы $\operatorname{diag} \bigl[\bar{Q}_j^* (t_1 ) \bigr]$, $\bar{Q}^* (t_1 ) = \bigl( \bar{Q}_j^* (t_1 )\bigr)$, и $\operatorname{diag} \bigl[\psi_j^* (t_1 ) \bigr]$, 
$\psi^* (t_1 ) = \bigl( \psi_j^* (t_1 )\bigr)$, $j=\overline{1,N_1}$ (левые части соотношений (47) и (48)) становятся одинаковыми. Последующее вычитание этих уравнений приводит к следующему результату:
\[ \begin{multline}
\psi^* \bigl(t,\psi^* (t_1 ), \bar{Q}(0), \bar{Q}(t) \bigr) =
T_1 \bigl(t, t_1, \psi^* (t_1), \bar{Q}^* (t_1 ), \bar{Q}(0) \bigr)
T_2 \bigl(t, t_1, \psi^* (t_1), \bar{Q}^* (t_1 ), \bar{Q}(0) \bigr) \bar{Q}(t) + {}
\\
{}
+ 
T_1 \bigl(t, t_1, \psi^* (t_1), \bar{Q}^*(t_1), \bar{Q}(0) \bigr)
D_\Sigma \bigl(t, t_1, \psi^* (t_1), \bar{Q}^*(t_1), \bar{Q}(0), \omega(t) \bigr).
\end{multline} \tag{50} \]
Здесь
\[ \begin{equation}
\begin{aligned}
& T_1=\bigl[W_1 A_{11} (t_1 -t) - W_2 A_{21} (t_1 -t)\bigr]^{-1},
\\
& T_2=\bigl[W_2 A_{22} (t_1 -t) - W_1 A_{12} (t_1 -t)\bigr]; 
\\
& 
W_1=\operatorname{diag} \bigl[\bar{Q}_j^* (t_1) \bigr], \quad 
W_2=\operatorname{diag} \bigl[\psi_j^* (t_1) \bigr]; \\
&
D_\Sigma=W_2 D_{\omega 3} - W_1 D_{\omega 2}
\end{aligned}
\end{equation} \tag{51} \]
и конечное состояние объекта $\bar{Q}^* (t_1) =\bar{Q}^* (\psi_*^{(M)} )$ находится в форме (40).

Подстановка (50) в выражения (24) для программного управления приводит к линейным алгоритмам синтеза оптимального регулятора с нестационарными коэффициентами обратных связей в системе управления с полным измерением состояния $\bar{Q}(t)$:
\[ \begin{equation}
\bar{u}_{Vn}^* (\bar{Q}, t ) = \cfrac 12 \bigl(T_1 T_2 \bar{Q}(t) +T_1 D_\Sigma \bigr)_n, 
\quad n=\overline{1, N_1};
\end{equation} \tag{52} \]
\[ \begin{equation}
\begin{aligned}
&
\bar{u}_{V}^* (\bar{Q}, t, x) = \sum \limits_{n=1} ^{N_1} \bar{u}_{Vn}^* (\bar{Q}, t ) \varphi_n (\mu_n, x ),
\\
&
u_{S}^* (\bar{Q}, t ) = \cfrac 1{2\rho_S} g \bigl(T_1 T_2 \bar{Q}(t) +T_1 D_\Sigma \bigr).
\end{aligned}
\end{equation} \tag{53} \]

Матрицы $T_1$ и $T_2$ вместе с $D_\Sigma$ представляются в (52), (53) известными функциями времени (49), (51) с фиксируемыми на протяжении процесса управления значениями $\bar{Q}(0)$, которые находятся по результатам наблюдения $\bar{Q}(t)$ в начальный момент $t=0$. 

Переход в (52), (53) от $\bar{Q}(t)$ к измеряемому выходу объекта $Q_u (x_u, t ) = \bigl( Q (x_{uj}, t)\bigr)$ в $h$ точках $x_{uj} \in [x_0, x_1]$, $j=\overline{1, h}$, определяется, согласно (11), векторно-матричным уравнением неполного наблюдения состояния объекта
\begin{equation}
Q (x_u, t) =S_u \bar{Q}(t), \quad 
S_u = \bigl[\varphi_n (\mu_n, x_{uj} ) \bigr], \quad 
n=\overline{1, N_1}, \; j=\overline{1, h},
\end{equation}
требующим построения наблюдателя полного или пониженного порядка [25]. Если по условиям необходимой точности моделирования объекта (11), (12) можно ограничиться учетом только $M$ первых составляющих $\bar{Q}(t)$ с минимальным их числом, необходимым для решения системы уравнений (39) относительно представляемого в форме (29) вектора $\psi^* (t_1)$, то $\bar{Q}(t)$ непосредственно определяется решением системы уравнений (54) при $h=M$, $N_1=N=M$:
\[ \begin{equation}
\bar{Q}(t) = S_u^{-1} Q_u (x_u, t).
\end{equation} \tag{55} \]

Подстановка (55) в (52), (53) приводит к линейному алгоритму синтеза оптимального регулятора с обратными связями по измеряемому выходу объекта:
\[ \begin{equation*}
\bar{u}_{Vn}^* (Q_u, t ) = \cfrac 12 \bigl(T_1 T_2 S_u^{-1} Q_u (x_u, t ) + T_1 D_\Sigma \bigr)_n, \quad n=\overline{1, N_1};
\end{equation*} \]
\[  \begin{equation*}
\begin{aligned}
& \bar{u}_{V}^* (Q_u, t, x) = \sum \limits_{n=1} ^{N_1} \bar{u}_{Vn}^* (Q_u, t ) \varphi_n (\mu_n, x),
\\
&
u_{S}^* (Q_u, t) = \cfrac 1{2\rho_S} g \bigl(T_1 T_2 S_u^{-1} Q_u (x_u, t ) +T_1 D_\Sigma \bigr).
\end{aligned}
\end{equation*} \]

Заключение

Предложен численный алгоритм решения задачи оптимального программного управления нелинейной системой с распределенными параметрами параболического типа в условиях равномерной оценки целевых множеств, сводимый к специальной итерационной процедуре решения на каждом ее шаге альтернансным методом линейно-квадратичной задачи оптимизации с определенным на предыдущей итерации внешним детерминированным пространственно-временным возмущением, компенсирующим влияние невязки между дифференциальными операторами уравнений линейной и нелинейной моделей объекта. На базе полученных результатов определены уравнения оптимальных регуляторов в форме линейных алгоритмов обратной связи по измеряемому состоянию системы с фиксируемыми предварительным расчетом нестационарными коэффициентами передачи. В отличие от известных численных методов вариаций в пространстве управляющих воздействий предлагаемый подход характеризуется аналитической формой представления искомых алгоритмов программного и позиционного управления.

Конкурирующие интересы. Конкурирующих интересов не имею.
Авторский вклад и ответственность. Я несу полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною одобрена.
Финансирование. Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 22–29–00180, https://rscf.ru/project/22-29-00180/, Самарский государственный технический университет.
Благодарность. Автор благодарен рецензенту за тщательное прочтение статьи и ценные предложения и комментарии.

About the authors

Edgar Ya. Rapoport

Author for correspondence.
Email: edgar.rapoport@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-0604-8801
SPIN-code: 3642-2773
Scopus Author ID: 7007145205
ResearcherId: D-6111-2014
http://www.mathnet.ru/person38448

Dr. Techn. Sci., Professor; Dept. of Automation and Control in Technical Systems

References

Supplementary files