A problem with dynamical boundary condition for a one-dimensional hyperbolic equation

Cover Page

Abstract


In this paper, we consider a problem with dynamical boundary conditions for a hyperbolic equation. The dynamical boundary condition is a convenient method to take into account the presence of certain damper when fixing the end of a string or a beam.Problems with dynamical boundary conditions containing first-order derivatives with respect to both space and time variables are not self-ajoint, that complicates solution by spectral analysis.However, these difficulties can be overcome by a method proposed in the paper. The main tool to prove the existence of the unique weak solution to the problem is the priori estimatesin Sobolev spaces. As a particular example of the wave equation is considered.The exact solution of a problem with dynamical condition is obtained.

About the authors

Aleksandr Borisovich Beylin

Samara State Technical University

Email: abeilin@mail.ru

Candidate of technical sciences, Associate professor

Ludmila Stepanovna Pulkina

Samara State University

Email: louise@samdiff.ru

Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, Наука, М., 2004
  2. Скубачевский А. Л., Стеблов Г. М., "О спектре дифференциальных операторов с областью определения, не плотной в ", Докл. АН СССР, 321:6 (1991), 1158-1163
  3. Ионкин Н. И., "Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием", Дифференц. уравнения, 13:2 (1977), 294-304
  4. Лажетич Н. Л., "О классической разрешимости смешанной задачи для одномерного гиперболического уравнения второго порядка", Дифференц. уравнения, 42:8 (2006), 1072-1077
  5. Рогожников А. М., "О различных типах граничных условий для одномерного уравнения колебаний", Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, т. 10, 2013, 188-214
  6. Киричек В. А., Пулькина Л. С., "Задача с динамическими граничными условиями для гиперболического уравнения", Вестн. Самарск. ун-та. Естественно-научн. сер., 23:1 (2017), 21-27
  7. Корпусов М. О., Разрушение в неклассических волновых уравнениях, URSS, М., 2010
  8. Бейлин А. Б., Пулькина Л. С., "Задача о продольных колебаниях стержня с динамическими граничными условиями", Вестн. Самарск. гос. ун-та. Естественно-научн. сер., 2014, № 3(114), 9-19
  9. Doronin G. G., Lar'kin N. A., Souza A. J., "A hyperbolic problem with nonlinear second-order boundary damping", Electron. J. Differ. Equ., 1998 (1998), no. 28, 10 pp.
  10. Andrews K. T., Kuttler K. L., Shillor M., "Second order evolution equations with dynamic boundary conditions", J. Math. Anal. Appl., 197:3 (1996), 781-795
  11. Бейлин А. Б., Пулькина Л. С., "Задача с нелокальными динамическими условиями для уравнения колебаний толстого стержня", Вестн. Самарск. ун-та. Естественно-научн. сер., 23:4 (2017), 7-18
  12. Louw T., Whitney S., Subramanian A., Viljoen H., "Forced wave motion with internal and boundary damping", J. Appl. Phys., 111 (2012), 014702
  13. Пулькина Л. С., "Задача с динамическим нелокальным условием для псевдогиперболического уравнения", Изв. вузов. Матем., 2016, № 9, 42-50
  14. Федотов И. А., Полянин А. Д., Шаталов М. Ю., "Теория свободных и вынужденных колебаний твердого стержня, основанная на модели Рэлея", ДАН, 417:1 (2007), 56-61
  15. Pulkina L. S., Beylin A. B., "Nonlocal approach to problems on longitudinal vibration in a short bar", Electron. J. Differ. Equ., 2019 (2019), no. 29, 9 pp.
  16. Хазанов Х. С., Механические колебания систем с распределенными параметрами, Самар. госуд. аэрокосмич. ун-т, Самара, 2002
  17. Ладыженская О. А., Краевые задачи математической физики, Наука, М., 1973
  18. Ильин В. А., Тихомиров В. В., "Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах и задача о полном успокоении колебательного процесса", Дифференц. уравнения, 35:5 (1999), 692-704
  19. Ильин В. А., Избранные труды В. А. Ильина, т. 2, Макс-Пресс, М., 2008

Statistics

Views

Abstract - 9

PDF (Russian) - 2

Cited-By


Article Metrics

Metrics Loading ...

PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2020 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies