Том 24, № 3 (2020)

Обложка

Весь выпуск

О микрополярной 3D-теории растущих тел

Мурашкин Е.В., Радаев Ю.Н.

Аннотация

Обсуждается принцип вывода граничных условий в краевых задачах механики растущих микрополярных тел. Приводится вывод уравнений динамики микрополярного континуума в терминах относительных тензоров для тел постоянного состава. Указана определяющая квадратичная форма упругого потенцила (абсолютного скаляра) для линейного гемитропного микрополярного тела. Выведены определяющие соотношения для симметричных и антисимметричных частей тензоров силовых и моментных напряжений. Получены конечные формы уравнений динамики гемитропного микрополярного континуума в терминах скоростей перемещений и микровращений. Полученные динамические уравнения для тел постоянного состава остаются справедливыми и в теориях растущих тел. Предложена процедура преобразования уравнений равновесия для получения граничных условий на поверхности наращивания в терминах относительных тензоров в форме дифференциальных ограничений. Полученные условия справедливы для весьма широкого круга материалов и метаматериалов. При выводе определяющих соотношений на поверхности наращивания активно используется аппарат алгебры рациональных относительных инвариантов. Получены полные системы совместных относительных инвариантов для тензоров силовых, моментных напряжений и единичного вектора нормали, в том числе системы инвариантов, не выдерживающие зеркальных отражений.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2020;24(3):424-444
pages 424-444 views

Установившаяся ползучесть длинной мембраны внутри жесткой матрицы при переменном поперечном давлении

Локощенко А.М., Терауд В.В., Шеварова Е.А.

Аннотация

Исследуется задача об установившейся ползучести длинной прямоугольной мембраны в стесненных условиях внутри жесткой матрицы при кусочно-постоянной зависимости величины поперечного давления $q$ от времени $t$. В задаче рассматривается длинная матрица прямоугольного сечения, в которой отношение ее высоты к ширине не меньше 0.5. В качестве примера исследуется ползучесть мембраны при однократном изменении величины поперечного давления во времени. Рассматриваются три варианта условий контакта мембраны и матрицы: идеальное скольжение, прилипание и скольжение с учетом трения. В данной работе исследованы четыре стадии деформирования мембраны. На первой стадии (упругое деформирование) мембрана, плоская в начальном состоянии, под действием давления $q$ мгновенно упруго деформируется, приобретая форму незамкнутой круговой цилиндрической оболочки с центральным углом $2\alpha_1$. На второй стадии мембрана деформируется в условиях установившейся ползучести вплоть до момента касания боковых стенок матрицы. Третья стадия заканчивается в момент касания мембраной поперечной стенки матрицы. На четвертой стадии мембрана контактирует с матрицей по поперечной и боковым сторонам. Анализ проводится до времени практически полного прилегания мембраны к матрице, при котором отношение радиуса мембраны вблизи углов матрицы к начальной ширине мембраны составляет 0.005. Для третьей и четвертой стадий дополнительно учитывается сила трения мембраны о стенки матрицы. Получены зависимости толщины различных частей мембраны от времени, а также интенсивности напряжений в мембране от времени. Применительно к данной постановке задачи рассмотрены отклонения от правила суммирования парциальных времен заполнения матрицы.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2020;24(3):445-468
pages 445-468 views

Общие свойства показателя скоростной чувствительности диаграмм деформирования, порождаемых линейной теорией вязкоупругости и существование максимума у его зависимости от скорости

Хохлов А.В.

Аннотация

Анализируется скоростная чувствительность семейства диаграмм деформирования, порождаемых физически линейным определяющим соотношением вязкоупругости Больцмана–Вольтерры с произвольной функцией релаксации в одноосных испытаниях с постоянными скоростями деформации. Выведено общее выражение для показателя скоростной чувствительности (скоростного упрочнения) и аналитически исследованы его общие качественные свойства: зависимость от деформации, скорости деформации и характеристик функции релаксации, диапазон значений, интервалы монотонности и существование точек экстремума, предельные значения при стремлении скорости деформации к нулю или бесконечности, способы определения по диаграммам деформирования или по кривым релаксации. Установлено, что (в рамках линейной теории вязкоупругости) этот показатель зависит не от двух независимых аргументов (деформации и скорости деформации), а только от их отношения, что он выражается через отношение касательного модуля к секущему и может быть вычислен по одной диаграмме деформирования с произвольной скоростью деформации, и что по заданной (или измеренной в испытаниях) функции скоростной чувствительности можно однозначно восстановить функцию релаксации. Доказано, что значения показателя скоростной чувствительности всегда лежат в интервале от нуля до единицы (т.е. линейное определяющее соотношение описывает только псевдопластические среды и не может описывать дилатантные) и могут быть сколь угодно близки к единице (верхней границе для псевдопластических сред), что как функция скорости он не только может монотонно возрастать или убывать, но может иметь точки экстремума, в частности точку максимума (при малообременительных ограничениях на функцию релаксации). Тем самым обнаружена неожиданная способность линейной теории вязкоупругости не только порождать семейство диаграмм деформирования с выраженными участками течения при практически постоянном напряжении, но и качественно описывать «сигмоидальную» форму зависимости напряжения от скорости деформации (в логарифмических осях) и очень высокую скоростную чувствительность, характерные для режима сверхпластического деформирования материалов. Установленные свойства показателя скоростной чувствительности и его характерные особенности проиллюстрированы на примерах классических регулярных, сингулярных и фрактальных моделей вязкоупругости (Максвелла, Фойгта, Кельвина, Зенера, Бюргерса, Скотт–Блэра) и их параллельных соединений.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2020;24(3):469-505
pages 469-505 views

Моделирование вязкоупругопластического деформирования гибких пологих оболочек с пространственными структурами армирования

Янковский А.П.

Аннотация

На базе процедуры шагов по времени построена математическая модель вязкоупругопластического поведения пологих оболочек с пространственными структурами армирования. Пластическое деформирование компонентов композиции описывается теорией течения с изотропным упрочнением; вязкоупругое деформирование — уравнениями моделиМаксвелла–Больцмана. Возможное ослабленное сопротивление композитных искривленных панелей поперечному сдвигу учитывается в рамках гипотез теории Редди, а геометрическая нелинейность задачи —в приближении Кармана. Решение сформулированной начально-краевой задачи строится с использованием явной численной схемы типа «крест». Исследовано упругопластическое и вязкоупругопластическое изгибное динамическое поведение «плоско»- и пространственно-армированных стеклопластиковых цилиндрических панелей под действием нагрузок взрывного типа. На примере относительно тонких композитных конструкций показано, что в зависимости от того, к какой лицевой поверхности (выпуклой или вогнутой) прикладывается нагрузка, замена традиционной «плоской» структуры армирования на пространственную может приводить как к увеличению, так и к уменьшению величины остаточного прогиба. Однако в обоих случаях такая замена позволяет существенно уменьшить интенсивность остаточных деформаций связующего материала и волокон некоторых семейств. Продемонстрировано, что амплитуды колебаний искривленных композитных панелей в окрестности начального момента времени значительно превосходят максимальные по модулю значения остаточных прогибов. При этом эпюры остаточных прогибов имеют достаточно сложный вид. Показано, что расчеты, проведенные в рамках теории упругопластического деформирования компонентов композиции, не позволяют даже приближенно определить величины остаточных деформаций материалов, составляющих композицию.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2020;24(3):506-527
pages 506-527 views

Конвективные слоистые течения вертикально завихренной вязкой несжимаемой жидкости. Исследование температурного поля

Бурмашева Н.В., Просвиряков Е.Ю.

Аннотация

Приведен класс точных решений уравнений Обербека–Буссинеска, подходящих для описания трехмерных нелинейных слоистых течений вертикально завихренной вязкой несжимаемой жидкости. Неоднородное распределение поля скорости (имеет место зависимость компонент поля от горизонтальных координат) генерирует вертикальную закрутку в жидкости без внешнего вращения (без учета Кориолисова ускорения). Задание на границах области течения линейно распределенных теплового поля и поля касательных напряжений является одной из причин, индуцирующих конвекцию в вязкой несжимаемой жидкости. Основное внимание уделено исследованию свойств температурного поля. Изучено влияние вертикальной закрутки на распределение изолиний этого поля. Показано, что однородная составляющая температурного поля может стратифицироваться на несколько зон относительно отсчетного значения, причем число таких зон не превосходит девяти. Учет неоднородных составляющих поля температуры может приводить только к уменьшению этого числа. Также показано, что представленный в статье класс позволяет обобщить ранее полученные результаты по моделированию конвективных течений вязких несжимаемых жидкостей.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2020;24(3):528-541
pages 528-541 views

Бездивергентный метод коллокаций и наименьших квадратов для расчета течений несжимаемой жидкости и его эффективная реализация

Ворожцов Е.В., Шапеев В.П.

Аннотация

Рассматривается проблема ускорения итерационного процесса численного решения методом коллокаций и наименьших квадратов (КНК) краевых задач для уравнений с частными производными. Для ее решения предложено применять одновременно три способа ускорения итерационного процесса: предобуславливатель, многосеточный алгоритм и метод Крылова. Предложен метод нахождения оптимальных значений параметров двухпараметрического предобуславливателя. Использование найденного предобуславливателя существенно ускоряет итерационный процесс. Исследовано влияние на итерационный процесс всех трех способов его ускорения: каждого по отдельности, а также при их комбинированном применении. Наибольший вклад дает применение алгоритма, использующего подпространства Крылова. Комбинированное применение одновременно всех трех способов ускорения итерационного процесса решения краевых задач для двумерных уравнений Навье–Стокса уменьшило время их решения на компьютере до 362 раз по сравнению со случаем, когда применялся только один из них — предобуславливатель.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2020;24(3):542-573
pages 542-573 views

Корректность смешанной задачи для многомерного гиперболо-параболического уравнения

Алдашев С.А.

Аннотация

В цилиндрической области евклидова пространства рассматривается модельное многомерное гиперболо-параболическое уравнение, для которого ставится смешанная задача с неоднородными краевыми условиями.В классе непрерывно-дифференцируемых функций показывается однозначная разрешимость поставленной задачи и указывается способ получения явного вида классического решения.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2020;24(3):574-582
pages 574-582 views

Динамическая термоустойчивость геометрически нерегулярной пологой цилиндрической оболочки под действием периодической, по временной координате, нагрузки

Белосточный Г.Н., Мыльцина О.А.

Аннотация

В рамках модели типа Лява рассматривается геометрически нерегулярная изотропная пологая цилиндрическая оболочка (ГНО). За основу берется строгая континуальная модель «оболочка–ребра». Предполагается, что ГНО нагрета до постоянной температуры $\theta_0$, два противоположных края подвергаются воздействию периодической по временной координате тангенциальной нагрузке, амплитуда и частота которой известны ($p(t)=p_0 \cos \vartheta t$). Задача определения динамической неустойчивости (ДН) термоупругой системы сводится к рассмотрению сингулярной системы трех дифференциальных уравнений динамической термоустойчивости ГНО в перемещениях, содержащих слагаемые с тангенциальными усилиями в форме Брайена. Эти усилия, возникающие в оболочке при ее нагреве, предварительно определяются на основе замкнутых решений сингулярной системы дифференциальных уравнений безмоментной термоупругости ГНО. Конкретизированная исходная система уравнений преобразуется к уравнениям Матье, которые записаны в терминах классической атермической теории гладких пластин, содержащих поправки на геометрические параметры — кривизну, относительную высоту подкрепляющих элементов, их число и температуру. Определяются первые три области ДН ГНО. Проводится количественный анализ влияния геометрических параметров упругой системы и температуры на конфигурацию областей ДН и предельного значения коэффициента возбуждения.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2020;24(3):583-594
pages 583-594 views

О решении одной не удовлетворяющей условиям Адамара задачи деформирования стержневых систем методом простой итерации

Стружанов В.В., Коркин А.В.

Аннотация

Рассматривается стержневая система под действием квазистатически возрастающего растягивающего нагружения. Нагрузка осуществляется по мягкой и жесткой схемам. Один из стержней системы обладает свойством деформационного разупрочнения, то есть его диаграмма растяжения облает падающей до нуля ветвью. В результате уравнения равновесия не удовлетворяют условиям Адамара. Система имеет несколько положений равновесия, в том числе и неустойчивых. Показано применение метода простых итераций для определения параметров всех возможных положений равновесия и их устойчивости при решении данных уравнений, не удовлетворяющих условиям Адамара.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2020;24(3):595-603
pages 595-603 views

Задача с динамическим краевым условием для одномерного гиперболического уравнения

Бейлин А.Б., Пулькина Л.С.

Аннотация

Рассмотрена задача с динамическим краевым условием, учитывающим наличие демпфера при закреплении, для гиперболического уравнения на плоскости и доказана ее однозначная разрешимость. Динамическое условие, содержащее производные первого порядка как по пространственной, так и по переменной времени, приводит к несамосопряженной задаче, что затрудняет применение методов спектрального анализа. Однако эти трудности преодолены и существование единственного решения поставленной задачи доказано. Основным инструментом доказательства являются априорные оценки в пространствах Соболева, выведенные в процессе работы над статьей. Предложены способы получения приближенного решения, в качестве частного случая рассмотрен пример одномерного волнового уравнения и получено точное решение задачи с динамическим условием.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2020;24(3):407-423
pages 407-423 views