Thermomechanical states of gyrotropic micropolar solids

Full Text

1. Введение и предварительные сведения

Конструкционные метаматериалы и биокомпозиты обладают сложной микроструктурой [1–3]. Зачастую микро- и наноструктурные состояния таких материалов оказываются чувствительными к преобразованиям трехмерного пространства, меняющим его ориентацию на противоположную (с левой на правую и, наоборот, с правой на левую). Моделирование термомеханического отклика указанных материалов следует выполнять средствами теорий микрополярной термомеханики. 
Фундаментальным определяющим параметром, характеризующим микроструктурные особенности материала, в таких теориях является характерная микродлина \(L\)¹ [4–6], связанная с характерным размером микроструктуры (гранулы, волокна, соты, диполи жидких кристаллов, полимерные молекулы и т.д.). При этом в стандартных длинах: для макромеханики следует положить \(L\sim 1\), для микромеханики — \(L\sim 10^{-6}\), а для наномеханики — \(L\sim 10^{-9}\). Важно отметить, что характерная микродлина микрополярной теории \(L\) — важнейший из модулей, которому может быть естественным образом приписан алгебраический вес, т.е. ее можно трактовать как определяющий псевдоскаляр, реагирующий на изменение ориентации координатного базиса.

В работах [7–11] было показано, что характерная микродлина \(L\) является ковариантно постоянным псевдоскаляром веса \(-1\), чувствительным к преобразованиям зеркального отражения, что в свою очередь можно вывести из условия ковариантного постоянства: 
\[ \begin{equation*}
\nabla_s\overset{[-1]}{L}=0,
\end{equation*} \]
откуда немедленно следует 
\[ \begin{equation*}
\overset{[-1]}{L}=\overset{[-1]}{1}L.
\end{equation*} \]
Определение псевдоскалярной единицы \(\overset{[-1]}{1}\) будет дано в следующем разделе настоящей статьи.

Несмотря на то, что аппарат алгебры и анализа псевдотензоров достаточно хорошо развит [12–19], подавляющее большинство математических теорий разрабатывается в терминах абсолютных тензоров [20–24] и лишь сравнительно малое число публикаций посвящено описанию в рамках псевдотензорного формализма [7–11]. 

Построение теорий микрополярной термоупругости следует начинать с выбора тензорных измерений элементарных объемов и площадей. Такой выбор существенным образом влияет на алгебраический вес, приписываемый основным характеристикам микро-, нано- термомеханических состояний микрополярного континуума. Например, при выборе дублетного элемента объема и соответствующего элемента площади тензор силовых напряжений оказывается псевдотензором отрицательного веса \(-1\), тензор моментных напряжений — псевдотензором отрицательного веса \(-2\), тепловой поток — псевдовектором алгебраического веса \(-1\), массовая плотность — псевдоскаляром алгебраического веса \(-1\), что было продемонстрировано в работе [25]. В настоящей работе для измерения элементарных объемов и площадей использованы естественные элементы объема и площади. Как было показано ранее [13, 26, 27], в этом случае тензор силовых напряжений оказывается псевдотензором положительного алгебраического веса \(+1\). Отметим, что использование естественных элементов объема характерно для вариационных функционалов физических теорий поля [28, 29]. Несмотря на то, что тензорные элементы объема и площади в \(N\)-мерном пространстве наиболее просто задаются в терминах псевдотензоров [30, 31], описание обычно проводится с использованием формализма кососимметричных дифференциальных форм [32–34], существенно искажающих очевидные свойства указанных объектов и их псевдотензорную природу.

Другим фундаментальным аспектом разрабатываемой теории, на который следует обратить внимание, является задание кинематики микрополярного тела, базирующейся на одной из трех знаменитых теорем Шаля [35]. Из трех теорем Шаля, по существу, только вторая применялась в формулировках основных положений линейной микрополярной теории упругости [20–24]. Литературный поиск показывает скудность информации об использовании при математическом моделировании микрополярного континуума винтовой (третьей) теоремы Шаля, в которой кинематика микрополярного тела представляется как скользящий поворот. В конвенциональных микрополярных теориях упругости и термоупругости [20–24] обычно оперируют двумя независимыми полями трансляционных и спинорных перемещений (микроповоротов), последнее из которых наиболее просто задается псевдовектором. Возможны различные способы задания псевдовектора спинорных перемещений. В частности, представлению с помощью контравариантного псевдовектора \(\overset{[+1]}{\phi}{}^{k}\) положительного веса \(+1\) посвящены работы [7–10], а моделям микрополярных тел, в которых использовался ковариантный псевдовектор \(\overset{[-1]}{\phi}{}_{\!\!k}\) отрицательного веса \(-1\), посвящены работы [11, 36]. Указанные псевдовекторы легко преобразуются к абсолютным векторам спинорных перемещений \({\phi}{}^{k}\) (или \({\phi}{}_{k}\)). 

В настоящей статье обсуждаются вопросы моделирования процессов теплопроводности в микро- и наноструктурных телах, термомеханические состояния которых могут быть сенсибилизированы к зеркальным отражениям трехмерного пространства. Построен новый вариант теории теплопроводности, в рамках которого тепловой поток оказывается псевдовектором алгебраического веса \(+1\), подобным псевдовектору спинорных перемещений. Сформулирован принцип абсолютной инвариантности абсолютной температуры, следующий из определения и строгой положительности, что демонстрирует свойство неизменности поля температуры при зеркальных отражениях трехмерного пространства и невозможность приписать этому фундаментальному физическому полю ненулевой алгебраический вес. 

Во втором разделе статьи приводятся минимально необходимые для понимания статьи сведения и понятия из алгебры псевдотензоров и многомерной геометрии. Вводятся псевдоскалярные единицы. Обсуждается правило баланса весов (the weights balance rule). 

В третьем разделе обсуждаются понятия элементарных псевдотензорных объемов в \(N\)-пространстве. Приводятся определения естественного и дублетного элементов объема. Устанавливаются соотношения, связывающие контра- и ковариантные тензорные элементы объема. 

В четвертом разделе результаты, полученные в предыдущем разделе статьи, проецируются на трехмерный случай. Подробно обсуждаются двумерные элементы площади и их пространственные ориентации. Приводятся соотношения, связывающие псевдовекторные и псевдоскалярные элементы площади. 

В пятом разделе статьи обсуждаются вопросы распространения тепла в микро- и наноструктурных телах, чувствительных к преобразованиям, меняющим ориентацию пространства. Обсуждается процедура, позволяющая приписать вектору теплового потока нечетный алгебраический вес. После этого вычисляются алгебраические веса массовой плотности, тензоров силовых и моментных напряжений, а также сопутствующих им векторов. 

В шестом разделе сформулирован фундаментальный принцип абсолютной инвариантности абсолютной температуры. 

Седьмой, заключительный раздел статьи, посвящен выводу уравнения теплопроводности и определяющих уравнений для микро- и наноструктурных тел, чувствительных к преобразованиям, меняющим ориентацию трехмерного пространства. Продемонстрировано, что для гиротропных упругих микрополярных тел тензор теплопроводности и теплоемкость сводятся к псевдоскалярам нечетного веса, реагирующим на изменение ориентации пространства на противоположную. 

2. Псевдотензоры в \(\boldsymbol N\)-мерном пространстве

Здесь и далее будем использовать терминологию и понятия современной геометрии и тензорного анализа [15, 38]. В дальнейшем изложении, где это не очевидно, сверху корневого символа псевдотензора в квадратных скобках будем отмечать его вес, а снизу в круглых скобках его ранг. Нулевой вес абсолютных тензоров и веса некоторых фундаментальных псевдотензоров в обозначениях отражаться не будут. Рассмотрим \(N\)-мерное евклидово пространство. 

Фундаментальными объектами многомерной геометрии ориентируемых пространств, связанными с ориентацией локальных базисов, являются символы перестановок: 
\[ \begin{equation}
\overset{[-1]}{\epsilon}\!\!_{h_1 h_2 \ldots h_N}=\overset{[+1]}{\epsilon}{}^{k_1 k_2 \ldots k_N}.
\end{equation} \tag{1} \]
Отметим, что равенство (1) нарушает принятые в псевдотензорной алгебре соглашения о балансе индексов и весов псевдотензоров. Кроме того, для символов перестановок требуются специальные правила жонглирования индексами:
\[ \begin{equation}
\epsilon_{h_1 h_2 \ldots h_N}=e^{-2}g_{h_1 k_1}g_{h_2 k_2}
\cdots g_{h_N k_N}\epsilon^{k_1 k_2 \ldots k_N}.
\end{equation} \tag{2} \]

Введем в \(N\)-мерном пространстве ковариантный базис \(\underset{1}{\boldsymbol\imath}\), \(\underset{2}{\boldsymbol\imath}\) \(\ldots\), \(\underset{N}{\boldsymbol\imath}\). Косое произведение векторов базиса [38]
\[ \begin{equation}
\lceil\underset{1}{\boldsymbol\imath},\underset{2}{\boldsymbol\imath},
\ldots ,\underset{N}{\boldsymbol\imath}\rfloor=e
\end{equation} \tag{3} \]
позволяет ввести понятие фундаментального ориентирующего псевдоскаляра \(e\) и тем самым разделить локальные базисные системы на право- и левоориентированные. 

В трехмерном пространстве фундаментальный ориентирующий псевдоскаляр веса $+1$ (3) и две псевдоскалярные единицы определим
согласно [36]:
\[ \begin{equation}
 e=\underset{1}{\boldsymbol\imath}\cdot(\underset{2}{\boldsymbol\imath}\times\underset{3}{\boldsymbol\imath}),
 \qquad
 \overset{[+1]}{1}=e,
 \qquad
 \overset{[-1]}{1}=e^{-1} .
\end{equation} \tag{4} \]

Отметим, что знак псевдоскалярной единицы в (4) определяет ориентацию координатных систем, т.е. для правоориентированных — \(\overset{[+1]}{1}>0\), для левоориентированных — \(\overset{[+1]}{1}<0\).

Кроме того, целые степени псевдоскалярных единиц ковариантно постоянны, т.е.
\[ \begin{equation*}
\nabla_k \overset{[\pm{\rm g}]}{1}=
\overset{[\pm{\rm g}]}{0},
\end{equation*} \]
где \(\nabla_k\) — оператор ковариантного дифференцирования в метрике \(g_{js}\).

В дальнейшем изложении припишем функции \({\rm w.g.t}\) значение веса псевдотензора, на который действует эта функция. Например,
\[ \begin{equation}
 {\rm w.g.t}\,\big(\overset{[{\rm g}]}{1}\big)
 ={\rm g} .
\end{equation} \tag{5} \]

Псевдотензор \(\underset{(n)}{\overset{[\text{g}]}{T}}{}^{h_1h_2\ldots h_s \cdot\cdot\ldots\cdot}_{\cdot\cdot\ldots\cdot k_1k_2\ldots k_r}\) алгебраического веса \(\text{g}\) ранга \(n=s+r\) с помощью степеней псевдоскалярной единицы можно преобразовать к абсолютному тензору того же ранга согласно
\[ \begin{equation*}
 \underset{(n)}{T}{}^{h_1h_2\ldots h_s \cdot\cdot\ldots\cdot}_{\cdot\cdot\ldots\cdot k_1k_2\ldots k_r}=\overset{[-\text{g}]}{1}\underset{(n)}{\overset{[\text{g}]}{T}}{}^{h_1h_2\ldots h_s \cdot\cdot\ldots\cdot}_{\cdot\cdot\ldots\cdot k_1k_2\ldots k_r}.
\end{equation*} \]

В последнем равенстве выполняется правило баланса весов (the weights balance rule) [37, 39, 40]. Действительно, учитывая (5), имеем
\[ \begin{equation*}
 {\rm w.g.t}\,\Big( \underset{(n)}{T}{}^{h_1h_2\ldots h_s \cdot\cdot\ldots\cdot}_{\cdot\cdot\ldots\cdot k_1k_2\ldots k_r}\Big)={\rm w.g.t}\,\Big(\overset{[-\text{g}]}{1}\underset{(n)}{\overset{[\text{g}]}{T}}{}^{h_1h_2\ldots h_s \cdot\cdot\ldots\cdot}_{\cdot\cdot\ldots\cdot k_1k_2\ldots k_r}\Big)=-\text{g}+\text{g}=0.
\end{equation*} \]

3. Псевдоинвариантные элементы площади и объема в \(\boldsymbol N\)-мерном пространстве

В \(N\)-мерном евклидовом пространстве выберем криволинейную систему координат \(x^k\) (\(k=1, 2,\ldots, N\)). Рассмотрим погруженное в него многообразие (поверхность) \(\Sigma\) размерности \(M\) (\(M\leqslant N\)). Пусть многообразие \(\Sigma\) задано его гауссовой параметризацией \(u^\alpha\) (\(\alpha=1, 2,\ldots, M\)):
\[ \begin{equation}
x^k=x^k(u^1,u^2,\ldots,u^M).
\end{equation} \tag{6} \]
В формуле (6) \(x^k\) являются внешними координатами для \(\Sigma\), а \(u^\alpha\) — внутренними.

Тензорный элемент объема, следуя концепциям А. Пуанкаре [41, 42], задается согласно правилу
\[ \begin{equation}
 d\tau^{i_1i_2\ldots i_M}=M!\underset{1}{d} x^{[i_1}
 \underset{2}{d} x^{i_2}\cdots\underset{M}{d} x^{i_M]}.
\end{equation} \tag{7} \]
Здесь в квадратные скобки заключены индексы, по которым выполняется альтернирование.

Нетрудно заметить, что формулу (7) можно представить в следующем виде [15, см. c. 256–257]:
\[ \begin{equation}
 d\tau^{i_1i_2\ldots i_M}=\epsilon^{\alpha_1
 \alpha_2\ldots \alpha_M}\partial_{\alpha_1} x^{i_1}\partial_{\alpha_2}
 x^{i_2}\cdots\partial_{\alpha_M} x^{i_M}{\rm det}(\underset{\mathfrak b}{d} u^{\gamma}).
\end{equation} \tag{8} \]

Для случая \(M=N\) с учетом формулы (8) получим псевдотензорный элемент объема:
\[ \begin{equation}
 d\tau^{i_1i_2\ldots i_N}=\overset{[-1]}{d\tau}{}^{12\ldots N}\overset{[+1]}
 {\epsilon}{}^{i_1i_2\ldots i_N},
\end{equation} \tag{9} \]
где \(\overset{[-1]}{d\tau}{}^{12\ldots N}\) — естественный элемент объема, представляющий собой псевдоскаляр веса \(-1\), который определяется согласно
\[ \begin{equation*}
 \overset{[-1]}{d\tau}{}^{12\ldots N}={\rm det}(\partial_\alpha x^k)du^1du^2\cdots
 du^N=dx^1 dx^2 \cdots dx^N.
\end{equation*} \]

Опустив в формуле (9) индексы, т.е. применив правило жонглирования индексами для символов перестановок (2), определим ковариантный тензорный элемент объема в виде
\[ \begin{equation}
 d\tau_{i_1i_2\ldots i_N}=e^2\overset{[-1]}{d\tau}{}^{12\ldots N}
 \overset{[-1]}{\epsilon}{}_{i_1i_2\ldots i_N}=\overset{[+1]}{d\tau}{}_{\!\!12\ldots N}
 \overset{[-1]}{\epsilon}{}_{i_1i_2\ldots i_N},
\end{equation} \tag{10} \]
где \(\overset{[+1]}{d\tau}{}_{\!\!12\ldots N}\) — дублетный элемент объема, представляющий собой псевдоскаляр веса \(+1\).

С помощью псевдоскаляров \(\overset{[-1]}{d\tau}{}^{12\ldots N}\), \(\overset{[+1]}{d\tau}{}_{\!\!12\ldots N}\) и псевдоскалярных единиц \(\overset{[\mp 1]}{1}\) можно образовать абсолютный скаляр \(d\tau\), являющийся инвариантным элементом объема:
\[ \begin{equation*}
 d\tau=\overset{[+1]}{1}\overset{[-1]}{d\tau}{}^{12\ldots N}=\overset{[-1]}{1}
 \overset{[+1]}{d\tau}{}_{\!\!12\ldots N}.
\end{equation*} \]

4. Проекция на трехмерный случай (\(\boldsymbol{N=3}\))

Рассмотрим случай трехмерного пространства. В качестве многообразия выберем двумерную поверхность, заданную естественной (гауссовой) параметризацией \(u^1\), \(u^2\). Для этого случая в формуле (8) примем \(N=3\), \(M=2\), откуда получим контравариантный тензорный элемент площади поверхности [30, 31]:
\[ \begin{equation}
 d\tau^{ij}=\epsilon^{\alpha_1 \alpha_2}\partial_{\alpha_1} x^{i}\partial_{\alpha_2} x^{j}
 du^1du^2=2\partial_{1} x^{[i}\partial_{2} x^{j]} du^1du^2.
\end{equation} \tag{11} \]
Ковариантный тензорный элемент площади \(d\tau_{ij}\) можно получить, опустив индексы у \(d\tau^{ij}\) в (11) в соответствии с правилом жонглирования индексами (10).

Антисимметричным абсолютным тензорам \(d\tau^{ij}\) и \(d\tau_{ij}\) сопутствуют ковариантный и контравариантный псевдовекторы
\[ \begin{equation}
 \overset{[-1]}{dA}{}_{k}=\dfrac{1}{2}\epsilon_{kij}d\tau^{ij},
 \qquad
 \overset{[+1]}{dA}{}^{k}=\dfrac{1}{2}\epsilon^{kij}d\tau_{ij}.
\end{equation} \tag{12} \]

Абсолютные векторные элементы площади поверхности можно определить, домножив псевдовекторные элементы площади (12) на соответствующую степень псевдоскалярной единицы:
\[ \begin{equation}
 dA_k=\overset{[+1]}{1}\overset{[-1]}{dA}{}_{k}, \qquad dA^k=\overset{[-1]}{1}
 \overset{[+1]}{dA}{}^{k} .
\end{equation} \tag{13} \]

Пседоскалярные элементы площади поверхности задаются следующими формулами:
\[ \begin{equation}
 \overset{[-1]}{dA}=({\rm sgn}\, e)\sqrt{g^{sk} \overset{[-1]}{dA}{}_{s} \overset{[-1]}{dA}{}_{k}} ,
 \qquad
 \overset{[+1]}{dA}=({\rm sgn}\, e)\sqrt{g_{sk} \overset{[+1]}{dA}{}^{s} \overset{[+1]}{dA}{}^{k}} .
\end{equation} \tag{14} \]
И тот и другой элемент площади (14) чувствительны к изменению ориентации координатной системы, что обусловлено знаком фундаментального ориентирующего псевдоскаляра.

Инвариантный элемент площади поверхности определяется через абсолютные векторные элементы площади (13) согласно
\[ \begin{equation}
 dA=\sqrt{dA^kdA_k}>0 .
\end{equation} \tag{15} \]

Использовав введенные выше определения для элементов площади (14) и (15), можно показать, что
\[ \begin{equation*}
 \bigl(\overset{[\pm 1]}{dA}\bigr)^2=\dfrac{1}{2}\overset{[\pm 2]}{1}d\tau^{is}d\tau_{is},
 \qquad
 \bigl({dA}\bigr)^2=\dfrac{1}{2}d\tau^{is}d\tau_{is}.
\end{equation*} \]

5. Распространение тепла в микрополярных средах

Рассмотрим распространение тепла в средах, термомеханические характеристики которых проявляют чувствительность к зеркальным отражениям и инверсиям трехмерного евклидова пространства. Как отмечалось ранее, выбор тензорных элементов объема и площади существенным образом влияет на алгебраический вес, приписываемый основным характеристикам микро- и наноструктурных термомеханических состояний микрополярного континуума. Основываясь на результатах предыдущих разделов настоящей статьи, следует отметить, что существует три варианта развития микрополярной термоупругости, различающихся элементарными объемами: \(d\tau, \overset{[+1]}{d\tau}, \overset{[-1]}{d\tau}\) . Их можно определить следующей диаграммой весов элементарных объемов, элементарных площадей, тепловых потоков, коэффициентов теплопроводности и теплоемкостей:
\[ \begin{equation*}
 \begin{array}{cccccc}
 \text{(1)} & d\tau & dA & h^{k} & \lambda & c\\
 \text{(2)} & \overset{[+1]}{d\tau} & \overset{[+1]}{dA} & \overset{[-1]}{h}{}^{k} & \overset{[-1]}{\lambda} & \overset{[-1]}{c} \\
 \text{(3)} & \overset{[-1]}{d\tau} & \overset{[-1]}{dA} & \overset{[+1]}{h}{}^{k} & \overset{[+1]}{\lambda} & \overset{[+1]}{c} 
 \end{array}
\end{equation*} \]
Эта диаграмма отражает возможную чувствительность теплоемкости к преобразованиям, меняющим ориентацию пространства, в теориях, развиваемых в терминах псевдоинвариантных элементов объема и площади.

Здесь и далее примем для измерения элементарных площадей и объемов псевдоинвариантные (естественные) элементы:
\[ \begin{equation}
 \overset{[-1]}{dA}, \quad \overset{[-1]}{dA}{}_{k}, \quad \overset{[-1]}{d\tau}.
\end{equation} \tag{16} \]

Количество тепла \(Q\), поступающее через фиксированную замкнутую поверхность \(\partial\) в единицу времени, с учетом (16) будет определяться соотношением
\[ \begin{equation}
 Q=\oint_\partial \overset{[+1]}{h}{}^{k}n_k\overset{[-1]}{dA}=\oint_\partial \overset{[+1]}{h}{}^{k}\overset{[-1]}{dA}{}_{k},
\end{equation} \tag{17} \]
где \(\overset{[+1]}{h}{}^{k}\) — псевдовектор потока тепла, \(n_k\) — единичный вектор внешней нормали к поверхности \(\partial\) (абсолютный вектор [26, 43]).

Баланс весов в (17) базируется на фундаментальном утверждении
\[ \begin{equation*}
 {\rm w.g.t}\,(Q)=0,
\end{equation*} \]
означающем невозможность приписать какой бы то ни было целый алгебраический вес количеству тепла \(Q\). Отсюда немедленно следует, что
\[ \begin{equation*}
 {\rm w.g.t}\,\bigl(\overset{[+1]}{h}{}^{k}\overset{[-1]}{dA}{}_{k}\bigr)=0.
\end{equation*} \]
Важно отметить, что в этом случае вектор потока тепла оказывается псевдовектором положительного веса \(+1\).

Правило баланса весов позволяет заключить, что для алгебраических весов плотности \(\rho\), псевдотензора силовых \({t}{}^{ik}\) и тензора моментных \({\mu}{}^{i\cdot}_{\cdot k}\) напряжений справедливы равенства
\[ \begin{equation}
 {\rm w.g.t}\,(\rho)=+1, \qquad {\rm w.g.t}\,({t}{}^{ik})=+1,
 \qquad {\rm w.g.t}\,({\mu}{}^{i\cdot}_{\cdot k})=1-1=0.
\end{equation} \tag{18} \]

Для ассоциированных (сопутствующих) векторов силовых напряжений \({\tau}_{i}\) и псевдовектора моментных напряжений \(\overset{[+1]}{\mu}{}^{i}\), учитывая (18), имеем 
\[ \begin{equation*}
2{\tau}_{i}=-\epsilon_{ijk}\!\!\overset{[+1]}{t}{}^{[jk]}, \qquad
2\overset{[+1]}{\mu}{}^{i}=\epsilon^{iks}{\mu}{}_{[ks]},
\end{equation*} \]
что подтверждается выполнением равенств 
\[ \begin{equation*}
\begin{aligned}
 &
 {\rm w.g.t}\,({\tau}_{i})={\rm w.g.t}\,(\epsilon_{ijk}\!\!\overset{[+1]}{t}{}^{[jk]})=-1+1=0 ,
 \\
 &
 {\rm w.g.t}\,(\overset{[+1]}{\mu}{}^{i})={\rm w.g.t}\,(\epsilon^{iks}{\mu}{}_{[ks]})=1+0=+1 .
\end{aligned}
\end{equation*} \]

6. Принцип абсолютной инвариантности абсолютной температуры в термомеханике

В этом разделе работы рассматривается абсолютная термодинамическая температура с целью решения вопроса о возможности приписать ей целый алгебраический вес, т.е. рассматривать ее как псевдоинвариант.² В качестве термодинамического потенциала сначала выберем внутреннюю энергию \(u\) как функцию термодинамических переменных состояния:
\[ \begin{equation*}
u=\overline{u}(\epsilon_{(kl)}, \overset{[+1]}{\kappa}{}_{\!\!(kl)},
\overset{[+1]}{\varphi}{}^i, \kappa_i,s).
\end{equation*} \]
Чертой сверху будем в дальнейшем обозначать потенциалы состояния. Здесь в качестве термодинамических переменных, кроме энтропии, выбраны симметричные части асимметричного тензора деформаций и тензора изгиба-кручения:
\[ \begin{equation}
\epsilon_{(kl)}=\nabla_{(k}u_{l)}=\dfrac{1}{2}(\nabla_ku_l+\nabla_lu_k), \quad \overset{[+1]}{\kappa}{}_{\!\!(kl)}=\nabla_{(k}\overset{[+1]}{\phi}{}_{\!\!l)}=\dfrac{1}{2}(\nabla_k\overset{[+1]}{\phi}{}_{\!\!l}+\nabla_l\overset{[+1]}{\phi}{}_{\!\!k})\label{eq:symm-strain-tensor} ,
\end{equation} \tag{19} \]
а также сопутствующие псевдовектор и вектор:
\[ \begin{equation}
 \overset{[+1]}{\varphi}{}^i=-\dfrac{1}{2}\epsilon^{ikl}\epsilon_{[kl]},\qquad
\kappa_i=\dfrac{1}{2}\epsilon_{ikl}\overset{[+1]}{\kappa}{}^{[kl]}.
\end{equation} \tag{20} \]

Абсолютная температура \(\theta\) в термомеханике сплошных сред определяется как функция параметров термодинамического состояния и вычисляется как частная производная потенциальной функции (внутренней энергии \(u\)) по энтропии \(s\):
\[ \begin{equation}
\theta=\dfrac{\partial\overline{u}(\epsilon_{(kl)}, \overset{[+1]}{\kappa}{}_{\!\!(kl)},
\overset{[+1]}{\varphi}{}^i , \kappa_i,s)}{\partial s}.
\end{equation} \tag{21} \]

Для наших целей удобно использовать плотности в расчете на единицу объема:
\[ \begin{equation*}
S=\rho s, \qquad \overline{U}=\rho u. 
\end{equation*} \]
Тогда формула (21) преобразуется к виду
\[ \begin{equation*}
\theta=\dfrac{\partial\overline{U}(\epsilon_{(kl)}, \overset{[+1]}{\kappa}{}_{\!\!(kl)},
\overset{[+1]}{\varphi}{}^i , \kappa_i,S)}{\partial S}.
\end{equation*} \]
Кроме того, следует принимать во внимание фундаментальное термодинамическое неравенство
\[ \begin{equation*}
 \inf \theta>0,
\end{equation*} \]
постулирующее как положительность абсолютной температуры,³ так и невозможность достичь абсолютного нуля ни при каком допустимом термодинамическом процессе.

Из определения (21) видно, что независимо от выбора веса элементарного объема, веса плотности внутренней энергии и веса плотности энтропии⁴
\[ \begin{equation*}
 {\rm w.g.t}\,(\theta)={\rm w.g.t}\,(\overline{U})-{\rm w.g.t}\,(S)=0.
\end{equation*} \]
Отсюда немедленно следует фундаментальное утверждение, что абсолютная температура является абсолютным инвариантом, сохраняющим неизменным свое значение при поворотах и отражениях пространства, что показывает принципиальную нереализуемость приписывания какого бы то ни было алгебраического веса абсолютной термодинамической температуре. Последнее обстоятельство обусловлено различной природой внутренней энергии (аддитивность) и температуры (неаддитивность).

7. Уравнение теплопроводности и определяющие уравнения для гиротропных микрополярных тел

Учитывая (18) и правило баланса весов, псевдоскалярное уравнение баланса энтропии в рамках развиваемой схемы исследования можно записать в виде
\[ \begin{equation}
 \overset{[+1]}{\rho}\dot{s}=-\nabla_j \overset{[+1]}{J}{}^{j} +
 \overset{[+1]}{\rho}\sigma+ \overset{[+1]}{\rho}\xi,
\end{equation} \tag{22} \]
где \(\overset{[+1]}{J}{}^{j}\) — псевдовектор потока энтропии, $\xi$ — неконтролируемое производство энтропии (в единицу времени в расчете на единицу массы), \(\sigma\) — контролируемое производство энтропии (в единицу времени в расчете на единицу массы). Отметим, что \(s\), $\xi$ и \(\sigma\) являются абсолютными скалярами, т.е. не меняются при любых преобразованиях пространства. В дальнейшем изложении будем полагать отсутствие лучистого тепла, т.е. \(\sigma=0\).

При этом для энтропии справедливо следующее соотношение:
\[ \begin{equation*}
 s=-\dfrac{\partial\overline{\psi}}{\partial \theta}.
\end{equation*} \]
Здесь в качестве термодинамического потенциала выбрана свободная энергия Гельмгольца \(\psi\) в расчете на единицу массы как функция термодинамических переменных состояния:
\[ \begin{equation}
\psi=\overline{\psi}(\epsilon_{(kl)}, \overset{[+1]}{\kappa}{}_{\!\!(kl)},
\overset{[+1]}{\varphi}{}^i, \kappa_i,\theta).
\end{equation} \tag{23} \]

В дальнейшем удобно ввести следующие обозначения:
\[ \begin{equation}
 \overset{[+1]}{{S}}=\overset{[+1]}{\rho}\overline{s},
 \qquad
 \overset{[+1]}{{\Psi}}=\overset{[+1]}{\rho}\overline{\psi},
 \qquad
 \overset{[+1]}{{\Xi}}=\overset{[+1]}{\rho}\overline{\xi}.
\end{equation} \tag{24} \]
Тогда приведенное уравнение баланса энергии с учетом (19), (20), (23) в обозначениях (24) примет вид
\[ \begin{equation*}
\begin{aligned}
 &
 -({\partial_{\boldsymbol{\cdot}}}{\overset{[+1]}{{\Psi}}}+\overset{[+1]}{{S}}\partial_{\boldsymbol{\cdot}}\theta)+\overset{[+1]}{t}{}^{(ij)}\partial_{\boldsymbol{\cdot}}\epsilon_{(ij)}+{\mu}{}^{(ik)}\partial_{\boldsymbol{\cdot}}\overset{[+1]}{\kappa}{}_{\!\!(ik)}
+{\tau}_{i}\partial_{\boldsymbol{\cdot}}\overset{[+1]}{\varphi}{}^{i}+\overset{[+1]}{\mu}{}^{i}\partial_{\boldsymbol{\cdot}}\kappa_{i}-\theta^{-1}\overset{[+1]}{h}{}^{i}\nabla_i\theta = \overset{[+1]}{{\Xi}}\theta .
\end{aligned}
\end{equation*} \]
Здесь \(\partial_{\boldsymbol{\cdot}}\) — производная по времени при фиксированных координатах \(x^k\). В приближении малых деформаций мы считаем \(\dot{a}=\partial_{\boldsymbol{\cdot}}a\).

Следствием второго закона термодинамики для гиротропных микрополярных тел, чувствительных к зеркальным отражениям трехмерного пространства, являются определяющие псевдотензорные уравнения:
\[ \begin{equation}
\begin{aligned}
 \overset{[+1]}{t}{}^{(ij)}=\dfrac{\partial{\overset{[+1]}{{\Psi}}}}{\partial\epsilon_{(ij)}}, &
 \quad &
 {\mu}{}^{(ik)}=\dfrac{\partial{\overset{[+1]}{{\Psi}}}}{\partial\overset{[+1]}{\kappa}{}_{\!\!(ik)}},
 \\
 {\tau}_{i}=\dfrac{\partial{\overset{[+1]}{{\Psi}}}}{\partial\overset{[+1]}{\varphi}{}^{i}}, &
 \quad &
 \overset{[+1]}{\mu}{}^{i}=\dfrac{\partial{\overset{[+1]}{{\Psi}}}}{\partial\kappa_i},
 \\
\overset{[+1]}{{S}}=-\dfrac{\partial\overset{[+1]}{{\Psi}}}{\partial\theta}, &
\quad &
 \overset{[+1]}{J}{}^{j}=\overset{[+1]}{\overline{J}}{}^{j}(\nabla_k\ln\theta).
\end{aligned}
\end{equation} \tag{25} \]

Для неконтролируемого производства энтропии справедлива следующая цепочка равенств:
\[ \begin{equation*}
 \overset{[+1]}{\Xi}=-\theta^{-2}\overset{[+1]}
 {h}{}^{j}\nabla_j\theta=-\theta^{-1}\overset{[+1]}{\overline{J}}{}^{j}
 \nabla_j\theta=-\overset{[+1]}{\overline{J}}{}^{j}(\nabla_k\ln\theta)\nabla_j\ln\theta.
\end{equation*} \]

Нелинейное уравнение теплопроводности получим подстановкой определяющих уравнений (25) в уравнение баланса энтропии (22), учитывая 
\[ \begin{equation*}
 \theta \overset{[+1]}{\overline{J}}{}^{j}=\overset{[+1]}{h}{}^{j}. 
\end{equation*} \]
В силу абсолютной инвариантности температуры веса потока тепла и энтропии совпадают. 

В итоге получим
\[ \begin{equation}
 \dfrac{\partial\overset{[+1]}{{S}}}{\partial \epsilon_{(ij)}}\partial_{\boldsymbol{\cdot}}\epsilon_{(ij)}
 +
 \dfrac{\partial\overset{[+1]}{{S}}}{\partial \overset{[+1]}{\kappa}{}_{\!\!(ik)}}\partial_{\boldsymbol{\cdot}} \overset{[+1]}{\kappa}{}_{\!\!(ik)}
 +
 \dfrac{\partial\overset{[+1]}{{S}}}{\partial \overset{[+1]}{\varphi}{}^{i}}\partial_{\boldsymbol{\cdot}}\overset{[+1]}{\varphi}{}^{i}
 +
 \dfrac{\partial\overset{[+1]}{{S}}}{\partial \kappa_i}\partial_{\boldsymbol{\cdot}}\kappa_i
 +
 \dfrac{\partial\overset{[+1]}{{S}}}{\partial \theta}\partial_{\boldsymbol{\cdot}}\theta
 =
 -\theta^{-1}\nabla_j\overset{[+1]}{h}{}^{j}. 
\end{equation} \tag{26} \]

Примем линеаризованную по функциональным аргументам свободную энергию Гельмгольца для анизотропного микрополярного термоупругого континуума в виде
\[ \begin{multline}
 \overset{[+1]}{{\Psi}}=
 \overset{[+1]}{\underset{\rm I}{E}}{}^{(ik)(lm)}\epsilon_{(ik)}\epsilon_{(lm)}
 +
 \overset{[-1]}{\underset{\rm II}{E}}{}^{(ik)(lm)}\overset{[+1]}{\kappa}{}_{\!\!(ik)}\overset{[+1]}{\kappa}{}_{\!\!(lm)}
 +
 {\underset{\rm III}{E}}{}^{(ik)(lm)}\epsilon_{(ik)}\overset{[+1]}{\kappa}{}_{\!\!(lm)}+
 {\underset{\rm IV}{E}}{}^{(ik)\cdot}_{\,\,\,\cdot l}\epsilon_{(ik)}\overset{[+1]}{\varphi}{}^{l}
 +
 \overset{[-1]}{\underset{\rm V}{E}}{}^{(ik)\cdot}_{\,\,\,\cdot l}\overset{[+1]}{\kappa}{}_{\!\!(ik)}\overset{[+1]}{\varphi}{}^{l}
 +
{}
 \\
{}
 +
 \overset{[+1]}{\underset{\rm VI}{E}}{}^{(ik)l}\epsilon_{(ik)}{\kappa}{}_{l}
 +
 {\underset{\rm VII}{E}}{}^{(ik)l}\overset{[+1]}{\kappa}{}_{\!\!(ik)}{\kappa}{}_{l}
 +
 \overset{[-1]}{\underset{\rm VIII}{E}}{}_{(il)}\overset{[+1]}{\varphi}{}^{i}\overset{[+1]}{\varphi}{}^{l}
 +
 \overset{[+1]}{\underset{\rm IX}{E}}{}^{(il)}\kappa_i{\kappa}{}_l
 +
{}
 \\
{}
 +
 {\underset{\rm X}{E}}{}^{\,\cdot l}_{\,i\cdot}\overset{[+1]}{\varphi}{}^{i}\kappa_l
 +
 \overset{[+1]}{\underset{\rm XI}{E}}{}^{(ik)}\epsilon_{(ik)}\theta
 +
 {\underset{\rm XII}{E}}{}^{(ik)}\overset{[+1]}{\kappa}{}_{\!\!(ik)}\theta
 +
 {\underset{\rm XIII}{E}}{}_{i}\overset{[+1]}{\varphi}{}^{i}\theta
 +
 \overset{[+1]}{\underset{\rm XIV}{E}}{}^{i}\kappa_{i}\theta
 +
 \overset{[+1]}{\underset{\rm XV}{E}}\theta^2 ,
\end{multline} \tag{27} \]
где \(\overset{[+1]}{\underset{\rm I}{E}}{}^{(ik)(lm)}\), \(\overset{[-1]}{\underset{\rm II}{E}}{}^{(ik)(lm)}\), \({\underset{\rm III}{E}}{}^{(ik)(lm)}\), \({\underset{\rm IV}{E}}{}^{(ik)\cdot}_{\,\,\,\cdot l}\), \(\overset{[-1]}{\underset{\rm V}{E}}{}^{(ik)\cdot}_{\,\,\,\cdot l}\), \(\overset{[+1]}{\underset{\rm VI}{E}}{}^{(ik)l}\), \({\underset{\rm VII}{E}}{}_{(ik)l}\), \(\overset{[-1]}{\underset{\rm VIII}{E}}{}_{(il)}\), \(\overset{[+1]}{\underset{\rm IX}{E}}{}^{(il)}\), \({\underset{\rm X}{E}}{}^{\,\cdot l}_{\,i\cdot}\), \(\overset{[+1]}{\underset{\rm XI}{E}}{}^{(ik)}\), \({\underset{\rm XII}{E}}{}^{(ik)}\), \({\underset{\rm XIII}{E}}{}_{i}\), \(\overset{[+1]}{\underset{\rm XIV}{E}}{}^{i}\), \(\overset{[+1]}{\underset{\rm XV}{E}}\) — определяющие тензоры и псевдотензоры анизотропного микрополярного термоупругого континуума, \(\theta\rightarrow \theta-\theta_0\) — малый температурный инкремент (считается малой первого порядка), \(\theta_0\) — референциальная температура.

Определяющие уравнения (25), соответствующие квадратичной форме свободной энергии Гельмгольца (27), принимают вид
\[ \begin{equation}
 \left\{
 \begin{aligned}
 &
 \overset{[+1]}{t}{}^{(ik)}=
 2\overset{[+1]}{\underset{\rm I}{E}}{}^{(ik)(lm)}\epsilon_{(lm)}
 +
 {\underset{\rm III}{E}}{}^{(ik)(lm)}\overset{[+1]}{\kappa}{}_{\!\!(lm)}
 +
 {\underset{\rm IV}{E}}{}^{(ik)\cdot}_{\,\,\,\cdot l}\overset{[+1]}{\varphi}{}^{i}
 +
 \overset{[+1]}{\underset{\rm VI}{E}}{}^{(ik)l}{\kappa}{}_{l} 
 +
 \overset{[+1]}{\underset{\rm XI}{E}}{}^{(ik)}\theta ,
 \\
 &
 \mu^{(ik)}=
 2\overset{[-1]}{\underset{\rm II}{E}}{}^{(ik)(lm)}\overset{[+1]}{\kappa}{}_{\!\!(lm)}
 +
 {\underset{\rm III}{E}}{}^{(lm)(ik)}\epsilon_{(lm)}
 +
 \overset{[-1]}{\underset{\rm V}{E}}{}^{(ik)l}\overset{[+1]}{\varphi}{}^{l}
 +
 {\underset{\rm VII}{E}}{}^{(ik)l}{\kappa}{}_{l} 
 +
 {\underset{\rm XII}{E}}{}^{(ik)}\theta ,
 \\
 &
 \tau_{i}=
 2\overset{[-1]}{\underset{\rm VIII}{E}}{}_{(il)}\overset{[+1]}{\varphi}{}^{l}
 +
 {\underset{\rm X}{E}}{}^{\,\cdot l}_{\,i\cdot}\kappa_l
 +
 {\underset{\rm IV}{E}}{}^{(lm)\cdot}_{\,\,\cdot\, \cdot\, i}\epsilon_{(lm)}
 +
 {\underset{\rm V}{E}}{}^{(lm)\cdot}_{\,\,\cdot\, \cdot\, i}{\kappa}{}_{(lm)}
 +
 {\underset{\rm XIII}{E}}{}_{i}\,\theta ,
 \\
 &
 \overset{[+1]}{\mu}{}^{i}=
 2\overset{[+1]}{\underset{\rm IX}{E}}{}^{(il)}{\kappa}{}_{l}
 +
 {\underset{\rm X}{E}}{}^{\,\cdot i}_{\,l\cdot}\overset{[+1]}{\varphi}{}^{l}
 +
 \overset{[+1]}{\underset{\rm VI}{E}}{}^{(lm)i}\epsilon_{(lm)}
 +
 {\underset{\rm VII}{E}}{}^{(lm)i}\overset{[+1]}{\kappa}{}_{\!\!(lm)}
 +
 \overset{[+1]}{\underset{\rm XIII}{E}}{}^{i}\,\theta ,
 \\
 &
 \overset{[+1]}{{S}}=
 -
 \overset{[+1]}{\underset{\rm XI}{E}}{}^{(ik)}\epsilon_{(ik)}
 -
 {\underset{\rm XII}{E}}{}^{(ik)}\overset{[+1]}{\kappa}{}_{\!\!(ik)}
 -
 {\underset{\rm XIII}{E}}{}_{i}\overset{[+1]}{\varphi}{}^{i}
 -
 \overset{[+1]}{\underset{\rm XIV}{E}}{}^{i}\kappa_{i}
 -
 \overset{[+1]}{\underset{\rm XV}{E}}\theta
 .
 \end{aligned}
 \right.
\end{equation} \tag{28} \]

В качестве закона теплопроводности примем линейный закон Фурье
\[ \begin{equation}
\overset{[+1]}{h}{}^{k}=-\overset{[+1]}{\underset{\rm XVI}{E}}{}^{ki}\nabla_i \theta,
\end{equation} \tag{29} \]
где \(\overset{[+1]}{\underset{\rm XVI}{E}}{}^{ki}\) — псевдотензор коэффициентов теплопроводности. Отметим, что в (29) компоненты псевдотензора коэффициентов теплопроводности \(\overset{[+1]}{\underset{\rm XVI}{E}}{}^{ki}\), вообще говоря, проявляют чувствительность к зеркальным отражениям и инверсиям трехмерного пространства.

После линеаризации уравнения теплопроводности (26) с учетом (28) и (29) окончательно получим
\[ \begin{equation*}
 \overset{[+1]}{\underset{\rm XI}{E}}{}^{(ij)}\partial_{\boldsymbol{\cdot}}\epsilon_{(ij)}
 +
 {\underset{\rm XII}{E}}{}^{(ij)}\partial_{\boldsymbol{\cdot}} \overset{[+1]}{\kappa}{}_{(ij)}
 +
 {\underset{\rm XIII}{E}}{}_{i}\partial_{\boldsymbol{\cdot}}\overset{[+1]}{\varphi}{}^{i}
 +\overset{[+1]}{\underset{\rm XIV}{E}}{}^{i}\partial_{\boldsymbol{\cdot}}\kappa_i
 +
 \theta_0^{-1}\overset{[+1]}{C}\partial_{\boldsymbol{\cdot}}\theta
 =
 \theta_0^{-1}\overset{[+1]}{\underset{\rm XVI}{E}}{}^{js}\nabla_j\nabla_s\theta , 
\end{equation*} \]
где \(\overset{[+1]}{C}=\overset{[+1]}{\rho} c\), \(c\) — теплоемкость в расчете на единицу массы (specific heat).

Для гиротропного микрополярного термоупругого тела определяющие тензоры и псевдотензоры четвертого ранга примут вид [44]:
\[ \begin{equation}
 \begin{aligned}
 &
 \overset{[+1]}{\underset{\rm I}{E}}{}^{(ik)(lm)} =
 \overset{[+1]}{\underset{\rm I}{A}} g^{ik}g^{lm}
 +
 \overset{[+1]}{\underset{\rm I}{C}} g^{il}g^{km} ,
 \\
 &
 \overset{[-1]}{\underset{\rm II}{E}}{}^{(ik)(lm)}= 
 \overset{[-1]}{\underset{\rm II}{A}} g^{ik}g^{lm}
 +
 \overset{[-1]}{\underset{\rm II}{C}} g^{il}g^{km} ,
 \\
 &
 {\underset{\rm III}{E}}{}^{(ik)(lm)}= 
 {\underset{\rm III}{A}} g^{ik}g^{lm}
 +
 {\underset{\rm III}{C}} g^{il}g^{km} ;
 \end{aligned}
\end{equation} \tag{30} \]
определяющие тензоры и псевдотензоры третьего и первого ранга равны нулю:
\begin{equation}\label{CoorAbsRepresentation0}
 {\underset{\rm IV}{E}}{}^{(ik)\cdot}_{\,\,\,\cdot l}=
\overset{[-1]}{\underset{\rm V}{E}}{}^{(ik)\cdot}_{\,\,\,\cdot l}=
\overset{[+1]}{\underset{\rm VI}{E}}{}^{(ik)l}=
{\underset{\rm VII}{E}}{}_{(ik)l}={\underset{\rm XIII}{E}}{}_{i}=\overset{[+1]}{\underset{\rm XIV}{E}}{}^{i}=0 ;
\end{equation}
определяющие тензоры и псевдотензоры второго ранга оказываются шаровыми:
\[ \begin{equation}
 \begin{aligned}
 &
 \overset{[-1]}{\underset{\rm VIII}{E}}{}_{(il)}=
 \overset{[-1]}{\underset{\rm VIII}{B}} g_{il}, 
 \qquad
 \overset{[+1]}{\underset{\rm IX}{E}}{}^{(il)}=
 \overset{[+1]}{\underset{\rm IX}{B}} g^{il}, 
 \qquad
 {\underset{\rm X}{E}}{}^{\,\cdot l}_{\,i\cdot}=
 \underset{\rm X}{B}g{}^{\,\cdot l}_{\,i\cdot}, 
 \\
 &
 \overset{[+1]}{\underset{\rm XI}{E}}{}^{(ik)}=
 \overset{[+1]}{\underset{\rm XI}{B}} g^{ik},
 \qquad
 {\underset{\rm XII}{E}}{}^{(ik)}=
 \underset{\rm XII}{B}g^{ik}.
 \end{aligned}
\end{equation} \tag{31} \]

Кроме того, для полуизотропного тела шаровым оказывается псевдотензор коэффициентов теплопроводности:
\[ \begin{equation*}
 \overset{[+1]}{\underset{\rm XVI}{E}}{}^{js}=\overset{[+1]}{\lambda}g{}^{js}.
\end{equation*} \]

Псевдоскаляры нечетного алгебраического веса в (30) и (31), как и коэффициент теплопроводности \(\overset{[+1]}{\lambda}\), реагируют на преобразования трехмерного пространства, меняющие его ориентацию на противоположную. То же самое касается и теплоемкости \(\overset{[+1]}{C}\).

Заключение

В настоящей статье рассмотрены вопросы моделирования процессов теплопроводности в микро- и наноструктурных телах, термомеханические состояния которых реагируют на преобразования трехмерного пространства, меняющие его ориентацию на противоположную. Построен новый вариант теории теплопроводности, в рамках которого тепловой поток оказывается псевдовектором алгебраического веса \(+1\), подобным псевдовектору спинорных перемещений.

1. Предложены элементарные тензорные площади и объемы, позволяющие представить вектор теплового потока в форме псевдовектора положительного веса \(+1\), что делает его алгебраически подобным псевдовектору спинорных перемещений в точности того же алгебраического веса. Точно такие же тензорные элементы площади и объема используются в стандартных физических теориях поля.
2. Сформулирован фундаментальный принцип абсолютной инвариантности абсолютной термодинамической температуры, обусловленный балансом алгебраических весов плотности внутренней энергии и плотности энтропии.
3. Предложена квадратичная форма для свободной энергии Гельмгольца, включающая XV определяющих псевдотензоров.
4. Получено нелинейное уравнение теплопроводности. Выполнена его линеаризация с учетом линейного закона теплопроводности Фурье. Показано, что коэффициент теплопроводности и теплоемкость являются псевдоскалярами веса \(+1\), реагирующими на преобразования, изменяющие ориентацию трехмерного пространства на противоположную.
5. Разработанный подход в перспективе может быть обобщен на дробные алгебраические веса.
6. Установлена принципиальная нереализуемость приписывания какого бы то ни было алгебраического веса абсолютной термодинамической температуре, обусловленная различной природой внутренней энергии (аддитивность) и температуры (неаддитивность).
7. Показано, что псевдовектор потока энтропии имеет тот же вес, что и псевдовектор потока тепла в силу абсолютной инвариантности абсолютной термодинамической температуры.

Конкурирующие интересы. Заявляем, что в отношении авторства и публикации этой статьи конфликта интересов не имеем.
Авторский вклад и ответственность. Все авторы принимали участие в разработке концепции статьи и в написании рукописи. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами.
Финансирование. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект № 23-21-00262).

---

¹В работах Нейбера [5, 6] характерная микродлина обозначалась \(l\).
²В классической термомеханике континуума абсолютная термодинамическая температура \(\theta\) — всегда абсолютный инвариант, не зависящий ни от поворотов ни от зеркальных отражений пространства.
³Положительность абсолютной температуры может быть доказана исходя из канонического распределения Гиббса для ансамбля элементарных термодинамических систем.
⁴В данном контексте подразумевается, что плотности берутся в расчете на единицу объема.

About the authors

Evgenii V. Murashkin

Ishlinsky Institite for Problems in Mechanics, Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: evmurashkin@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-3267-4742
https://www.mathnet.ru/person53045

Cand. Phys. & Math. Sci., PhD, MD; Senior Researcher; Lab. of Modeling in Solid Mechanics

Russian Federation, 101–1, pr. Vernadskogo, Moscow, 119526, Russian Federation

Yuri N. Radayev

Ishlinsky Institite for Problems in Mechanics, Russian Academy of Sciences

Email: y.radayev@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-0866-2151
https://www.mathnet.ru/person39479

D.Sc. (Phys. & Math. Sci.), Ph.D., M.Sc., Professor; Leading Researcher; Lab. of Modeling in Solid Mechanics

Russian Federation, 101–1, pr. Vernadskogo, Moscow, 119526, Russian Federation

References

Supplementary files