One way of summing multidimensional series

Full Text

1. Рассмотрим положительный числовой ряд
\[ \begin{equation}
\sum^{\infty }_{i_1,i_2,\dots ,i_n=1}{a_{i_1i_2\dots i_n}},
\end{equation} \tag{1} \]
где $i_1$, $i_2$, $\dots$, $i_n\in \mathbb{N}$, $n\geqslant 2$, $a_{i_1 i_2\dots i_n}$ — неотрицательные действительные числа.

Как известно, теория одномерных числовых и функциональных рядов достаточно полно изложена в курсах по математическому анализу. Однако кратные ряды в них рассматриваются на понятийном уровне (см. например, [1, c. 359–376], [2, c. 59–66], [3, c. 665–671], [4, § 9.15] и др. авторов) и приводятся лишь их простейшие свойства. 
В монографиях [5, 6] предприняты попытки систематического изложения теории двойных числовых рядов и некоторых важных классов функциональных рядов.

При изучении краевых задач для дифференциальных уравнений смешанного типа и других в многомерных областях, например, прямоугольном параллелепипеде, цилиндре, эллипсоиде, возникают многомерные ряды по системе собственных функций соответствующей задачи на собственные значения. Решение таких краевых задач и определяется с помощью таких рядов с малыми знаменателями [7–11]. В связи с этим возникают вопросы по обоснованию сходимости многомерных числовых и функциональных рядов.

В данной работе предлагается новый способ обоснования сходимости положительного ряда (1) путем его сведения к одномерному ряду. 

Для числа $a_{i_1 i_2\dots i_n}$ через $M$ определим максимум конечного набора натуральных чисел $\{i_1, i_2, \dots, i_n\}$:
\[ \begin{equation*}
M=\max \{i_1, i_2, \dots, i_n \}=
\max\limits_{1\leqslant k\leqslant n} \{i_k \}.
\end{equation*} \]

Лемма 1. Число членов $a_{i_1 i_2 \dots i_n}$ ряда (1), у которых хотя бы один из индексов $i_k$, $k=\overline{1,n}$, равен $M$, определяется по формуле.
\[ \begin{equation}
M^n-(M-1)^n.
\end{equation} \tag{2} \]

Доказательство. При заданном натуральном $M\geqslant 1$ число всех членов $a_{i_1i_2\dots i_n}$ ряда (1), где индексы $i_k$ не превосходят $M$, т.е. $i_k\leqslant M$, $k=\overline{1,n}$, равно $M^n$ и их для наглядности можно изобразить изолированными точками (целочисленными индексами) многомерного куба, расположенного в первом поликвадранте $1\leqslant x_k$, $k=\overline{1,n}$, системы координат $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_n$. Тогда все точки $a_{i_1,i_2\dots i_n}$ такого куба с заданными $M$, т.е. хотя бы один из индексов $i_k$, $k=\overline{1,n}$, равен $M$, лежат только на гранях $x_k=M$, $k=\overline{1,n}$. Внутри куба $1\leqslant x_k\leqslant M-1$, $k=\overline{1,n}$, не содержится ни одна такая точка. Следовательно, чтобы найти число членов ряда (1) с заданным $M$, надо из числа $M^n$ вычесть число ${(M-1)}^n$. $\square$

Лемма 2. При любом $N\in \mathbb{N}$ справедливо равенство¹
\[ \begin{equation}
\sum^N_{i_1, i_2,\dots , i_n=1}{a_{i_1i_2\dots i_n}}=\sum^N_{M=1}{a_{i_1i_2\dots i_n}}.
\end{equation} \tag{3} \]

Доказательство. В левой части соотношения (3) всего $N^n$ членов. Найдем число членов из правой части (3), используя формулу (2):
\[ \begin{equation*}
\sum_{M=1}^N (M^n-(M-1)^n) =
1+2^n- (2-1)^n+3^n- (3-1 )^n+\dots + (N-1)^n- (N-2)^n+N^n-(N-1)^n=N^n.
\end{equation*} \]
Это означает, что соотношение (3) является верным равенством. $\square$

Теорема 1. Пусть при больших $M$ коэффициенты ряда (1) имеют оценку $a_{i_1 i_2 \dots i_n}=O (M^{-p} )$, $p=n+h$, $0<h<1$. Тогда ряд (1) сходится.

Доказательство. В силу формулы (2) число членов ряда (1) с заданным $M$ имеет порядок $M^{n-1}$. Тогда ряд (1) мажорируется сходящимся рядом
\[ \begin{equation*}
\sum^{\infty }_{i_1,i_2,\dots ,i_n=1}{a_{i_1i_2\dots i_n}=
\sum^{\infty }_{M=1}{a_{i_1i_2\dots i_n }}}\leqslant
C_1\sum^{\infty }_{M=1} \frac{1}{M^{1+h}} < +\infty ,
\end{equation*} \]
где $C_i$ — здесь и далее положительные постоянные, не зависящие от $n$. $\square$

В качестве использования теоремы 1 рассмотрим следующие примеры.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд
\[ \begin{equation}
\sum^{\infty }_{i_1,i_2\dots i_n=1} \frac{1}{(i_1+i_2+\dots +i_n)^{\alpha }},\quad \alpha >0.
\end{equation} \tag{4} \]

Для этого общий член ряда (4) оценим следующим образом:
\[ \begin{equation}
\frac{1}{n^{\alpha }M^{\alpha }}<\frac{1}{(i_1+i_2+\dots +i_n)^{\alpha }}=
\frac{1}{M^{\alpha}}\frac{1}{\bigl(\frac{i_1}{M}+\frac{i_2}{M}+\dots
+\frac{i_n}{M}\bigr)^{\alpha}}<\frac{1}{M^{\alpha }}.
\end{equation} \tag{5} \]
Тогда ряд (4) оценивается рядом
\[ \begin{equation*}
\sum^{\infty }_{i_1,i_2\dots i_n=1} \frac{1}{(i_1+i_2+\dots+i_n)^{\alpha }}= 
\sum^{\infty}_{M=1}\frac{1}{ (i_1+i_2+\dots +i_n )^{\alpha }}
<C_2\sum^{\infty }_{M=1}{\frac{M^{n-1}}{M^{\alpha
}}}=C_2\sum^{\infty }_{M=1}{\frac{1}{M^{\alpha +1-n}}},
\end{equation*} \]
который сходится при $\alpha >n$. С другой стороны, в силу (5) ряд (4) снизу оценивается рядом
\[ \begin{equation*}
\sum^{\infty }_{i_1,i_2\dots i_n=1} \frac{1}{(i_1+i_2+\dots +i_n)^{\alpha }} >
C_3\sum^{\infty}_{M=1} \frac{1}{M^{\alpha-n+1}}.
\end{equation*} \]
Последний ряд при $\alpha \leqslant n$ расходится. Следовательно, ряд (4) сходится только при $\alpha >n$.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд
\[ \begin{equation}
\sum^{\infty }_{i_1,i_2,\dots ,i_n=1}
\frac{1}{(i^{\beta _1}_1+i^{\beta_2}_2+\dots +i^{\beta _n}_n)^{\alpha }},
\end{equation} \tag{6} \]
где $\alpha >0$, $\beta_i>0$, $i=\overline{1,n}$. 

Если все $\beta_i=\beta>0$, то ряд (6) сходится только при $\alpha \beta >n$.

Если не все $\beta_i$ равны между собой, то ряд (6) сходится при $\alpha {\beta }_m>n$ и расходится, когда $\alpha \beta_M \leqslant n$; здесь $\beta_m=\min\limits_{1\leqslant i \leqslant n} \{\beta _i \}$, $\beta_M=\max\limits_{1\leqslant i \leqslant n} \{\beta _i \}$.

2. В этом пункте рассмотрим многомерный функциональный ряд
\[ \begin{equation}
\sum\limits_{i_1, i_2,\dots,i_n=1}^{\infty}u_{i_1 i_2 \dots i_n}(x),\quad 
x\in D\subset \mathbb{R}^m,
\end{equation} \tag{7} \]
где $n\geqslant 2$, $m\geqslant 1$, $D$ — ограниченная область.

В указанной выше литературе по математическому анализу и других публикациях отсутствует теория обоснования поточечной, или равномерной, сходимости ряда (7) в области $D$.

На основании леммы 2 рассмотрим $N$-ю частичную сумму ряда (7):
\[ \begin{equation}
S_N(x)=\sum\limits_{M=1}^{N}u_{i_1 i_2 \dots i_n}(x).
\end{equation} \tag{8} \]

Будем называть ряд (7) сходящимся в точке $x\in D$, если в этой точке существует конечный предел последовательности частичных сумм (8):
\[ \begin{equation}
\exists 
\lim\limits_{N \to \infty}S_N(x).
\end{equation} \tag{9} \]

Будем называть ряд (7) сходящимся поточечно в области $D$, если он сходится в каждой точке этой области в смысле сформулированного определения (9).

Будем называть ряд (7) сходящимся равномерно в области $D$, если последовательность частичных сумм $S_N(x)$ сходится равномерно в области $D$.

Для последовательности $S_N(x)$ справедливы все известные критерии и достаточные признаки равномерной сходимости.

В качестве применения указанного способа рассмотрим разложение непрерывной функции $f(x,y)$ в прямоугольнике $D=\{ (x,y) : 0<x<p, 0<y<q\}$ в тригонометрический ряд Фурье по синусам:
\[ \begin{equation}
v_{mn}(x,y)=\sqrt{\frac{2}{p q}}\sin\frac{m \pi x}{p} \sin\frac{n \pi y}{q},
\end{equation} \tag{10} \]
где $p$ и $q$ — заданные положительные числа. Этот ряд имеет вид
\[ \begin{equation}
f(x,y)=\sum\limits_{m,n=1}^{\infty} f_{m n} v_{mn}(x,y),
\end{equation} \tag{11} \]
где
\[ \begin{equation*}
f_{mn}=\iint _{D} f(x,y) v_{mn}(x,y),
\end{equation*} \]
при этом справедливо неравенство Бесселя
\[ \begin{equation}
\sum\limits_{m,n=1}^{\infty}f_{m n}^2\leqslant \|f\|^2_{L_{2}(D)}.
\end{equation} \tag{12} \]

Если $f(x,y)\in C^2(\overline{D})$ и $f(0,y)=f(p,y)=0$, $0\leqslant y \leqslant q$, $f(x, 0) ={f(x, q)=0}$, $0\leqslant x \leqslant p$, то аналогично [12, с. 370–377], [2, c. 335–336] можно показать справедливость представления
\[ \begin{equation}
|f_{mn}|=\bigl[
|f^{(2,0)}_{mn}|+2|f^{(1,1)}_{mn}|+f^{(0,2)}_{mn}|\bigr]
\frac{1}{\pi^2}\Bigl(\frac{m}{p}+\frac{n}{q}\Bigr)^{-2}=
\frac{1}{\pi^2}\Bigl(\frac{m}{p}+\frac{n}{q}\Bigr)^{-2}
\sum\limits_{
\begin{subarray}{c}
0\leqslant i,j\leqslant 2, \\ i+j=2
\end{subarray}
}|f^{(i,j)}_{mn}|,
\end{equation} \tag{13} \]
где $f_{mn}^{(i,j)}$ — коэффициенты Фурье производных при $\frac{\partial^{i+j}f(x,y)}{\partial x^{i} \partial y^j}$ по системе производных $\frac{\partial^{i+j}v(x,y)}{\partial x^{i} \partial y^j}$ функций (10).

При этом аналогично (12) справедливы неравенства
\[ \begin{equation}
\sum\limits_{m,n=1}^{+\infty}|f^{(i,j)}_{mn}|^2\leqslant
\biggl(
\iint_{D}\frac{\partial^{i+j}f(x,y)}{\partial x^{i} \partial y^j}\biggr)^2 dx dy=
\Bigl\| \frac{\partial^{i+j}f}{\partial x^{i} \partial y^j}\Bigr\|^2_{L_{2}(D)}.
\end{equation} \tag{14} \]

Пусть $d=\max\{p,q\}$. Тогда
\[ \begin{equation}
\frac{1}{\bigl(\frac{m}{p}+\frac{n}{q}\bigr)^{2}}=
\frac{d^2}{\bigl(\frac{d}{p}m+\frac{d}{q}n\bigr)^{2}}\leqslant
\frac{d^2}{(m+n)^2}.
\end{equation} \tag{15} \]

С учетом оценки (15) из (13) в силу неравенства $ab\leqslant \frac{1}{2}(a^2+b^2)$ имеем
\[ \begin{equation}
|f_{mn}| \leqslant \Bigl(\frac{d}{\pi}\Bigr)^2 \frac{1}{(m+n)^2}
\sum\limits_{\begin{subarray}{c} 0\leqslant i, j\leqslant 2, \\
i+j=2 
\end{subarray}} |f^{(i,j)}_{mn}|
\leqslant \Bigl(\frac{d}{\pi}\Bigr)^2
\frac{1}{2} \biggl(
\frac{1}{(m+n)^4}+\biggl(
\sum\limits_{
\begin{subarray}{c}
0\leqslant i, j\leqslant 2, \\
i+j=2
\end{subarray} } |f^{(i,j)}_{mn}|\biggr)^2\biggr)\leqslant
\frac{1}{2} \Bigl(\frac{d}{\pi}\Bigr)^2
\biggl(
\frac{1}{(m+n)^4}+ 4\sum\limits_{i+j=2}|f^{(i,j)}_{mn}|^2\biggr).
\end{equation} \tag{16} \]

Тогда в силу оценок (16) и (14) ряд (11) мажорируется сходящимся числовым рядом
\[ \begin{equation*}
C_4\sum\limits_{m,n=1}^{\infty}|f_{mn}|\leqslant C_5
\biggl(\,
\sum\limits_{m,n=1}^{\infty}\frac{1}{(m+n)^4}+
4\sum\limits_{m,n=1}^{+\infty} \,
\sum\limits_{ \begin{subarray}{c} 0\leqslant i, j\leqslant 2, \\ i+j=2
\end{subarray}
}|f^{(i,j)}_{mn}|^2\biggr)\leqslant
C_7\biggl(\,
\sum\limits_{M=1}^{+\infty} \frac{1}{M^3}+
4\sum\limits_{ \begin{subarray}{c} 0\leqslant i, j\leqslant 2, \\
i+j=2 
\end{subarray}
} \, \sum\limits_{m,n=1}^{+\infty}|f^{(i,j)}_{mn}|^2\biggr),
\end{equation*} \]
так как в силу леммы 1 в ряде $\sum\limits_{m,n=1}^{+\infty}\frac{1}{(m+n)^4}$ число членов с заданным $M =\max\{m, n\}$ имеет порядок 1, поэтому
\[ \begin{equation*}
\sum\limits_{m,n=1}^{+\infty}\frac{1}{(m+n)^4}=
\sum\limits_{M=1}^{\infty}\frac{1}{M^4 \bigl(\frac{m}{M}+\frac{n}{M}\bigr)^4}\leqslant
C_6 \sum\limits_{M=1}^{\infty}\frac{1}{M^3}.
\end{equation*} \]
Следовательно, ряд (11) при указанных выше условиях относительно функции $f(x,y)$ сходится равномерно на $\overline{D}$.

Конкурирующие интересы. Конкурирующих интересов не имею.
Авторская ответственность. Я несу полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною одобрена.
Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.

---

¹Отметим, что в правой части равенства (3) и далее по тексту работы суммирование ведется по новому индексу $M$ и эту часть следует понимать как сумму членов $a_{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}$ ряда (1), у которых хотя бы один из индексов равен $M$.

About the authors

Kamil B. Sabitov

Sterlitamak Branch of the Ufa University of Science and Technology

Author for correspondence.
Email: sabitov_fmf@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-9516-2704
http://www.mathnet.ru/person11101

Dr. Phys. & Math. Sci., Professor; Senior Researcher; Sector of Basic Scientific Research

Russian Federation, 49, Lenin Ave., Sterlitamak, 453103, Russian Federation

References

Supplementary files