Triply periodic surface description using Laplace–Beltrami operator and a statistical machine learning model

Full Text

Введение

В последнее десятилетие трижды периодические поверхности (ТПП) и их минимальные аналоги (ТПМП) стали объектом интенсивных исследований в различных областях науки и техники. ТПП разбивают трехмерное пространство на системы непересекающихся пор, а ТПМП помимо этого обладают в каждой точке нулевой средней кривизной, то есть характеризуются минимальной энергией поверхностного натяжения. Благодаря этому на основе ТПП и ТПМП, например, методами аддитивных технологий могут быть изготовлены пористые структуры, которые находят широкое применение благодаря своим нетривиальным физическим свойствам: механическим [1–4], виброакустическим [5], теплопроводным [4]. Такие структуры могут служить основой для создания композиционных материалов [6, 7], а также метаматериалов [4, 8]. Особый интерес представляют процессы дифракции электромагнитных волн на подобных структурах, изготовленных из различных материалов [9, 10].

В предыдущей работе [11] с участием автора была предложена программная реализация нового способа генерации ТПП на основе анализа топологии и геометрии атомных каркасов природных соединений — цеолитов [12]. В работе [13] были построены новые ТПМП, а также численно и экспериментально исследованы механические свойства образцов новых пористых структур, основанных на этих ТПМП. Образцы для экспериментального изучения изготавливались методами 3D-печати. В работе показана сильная зависимость механических свойств структур от тополого-геометрических характеристик поверхностей. Таким образом, в работе [13] была подтверждена необходимость установления корреляций между тополого-геометрическими и физическими свойствами пористых структур.

При построении поверхностей в работах [11, 12] они характеризовались следующим набором признаков: тип тайлинга, то есть разбиение сеточного пространства, построенного на кристаллической решетке цеолита, на элементарные строительные единицы; род поверхности (genus); типы колец — все несимметричные кольца периодической сетки (фасеты натурального тайлинга) в ТПП; пространственная группа — группа симметрии повторяющегося тайлинга в пространстве, совпадающая с пространственной группой кристаллической решетки; топология HRN — топология сетки Хопфа [14]; топология лабиринтных сеток согласно общепринятым номенклатурам [15]; сбалансированность — свойство изоморфности системы двух пор, на которые тайлинг разбивает пространство. В ходе исследования было выявлено, что набор перечисленных признаков пористых структур не является независимым и полным, а физические, в частности механические, свойства пористых структур зависят от неочевидных комбинаций указанных выше признаков. Отметим, что эти признаки влияют на механические свойства (модуль Юнга, модуль сдвига, коэффициент Пуассона и др.) неявным образом с некоторым неизвестным весом. Таким образом, возникает задача введения более тонких дескрипторов, которые бы более полно интегрировали тополого-геометрические признаки поверхностей и позволяли отличать поверхности друг от друга по некоторому расстоянию в пространстве этих дескрипторов.

Заметим, что аналогичная задача возникает при обработке изображений, например, при идентификации фотографии некоторого лица среди большого числа фотографий [16]. Одним из развитых методов обработки изображений в задачах такого рода является метод вычисления собственных функций и собственных значений оператора Лапласа–Бельтрами (ОЛБ). Данный подход использовался также на двумерном многообразии в трехмерном пространстве [16] с привлечением совместной байесовской модели машинного обучения [16, 17], что позволило ввести вероятностную метрику в пространстве дескрипторов и определять близость поверхностей по расстоянию в этом пространстве. В настоящей работе этот подход развивается для распознавания (сравнения) поверхностей на множестве так называемых P-поверхностей по А. Шоену [18]: MAPO-39 (ATN), Mg-BCCT (BCT), Brewsterite (BRE), Cobalt-Gallium-Phosphate-5 (CGF), Edingtonite (EDI), Heulandite (HEU), ITQ-12 (ITW), CoAPO-CJ62 (JSW), Laumontite (LAU), Linde Type A (LTA), Merlinoite (MER), Rhodenite (RHO), STA-6 (SAS), Sodalite (SOD), Mu-18 (UEI). Эти поверхности характеризуются различным набором колец и различными пространственными группами, но все являются сбалансированными поверхностями 3-го рода (genus 3) с топологией лабиринтовых сеток — pcu и топологией колец Хопфа — nbo.

В качестве примера работы развитого метода был произведен расчет расстояния для всех перечисленных выше поверхностей и двух D-поверхностей по отношению к поверхности LTA.

1. Создание дескриптора ТПП на основе оператора Лапласа–Бельтрами

Предложенный в работе [16] метод расчета собственных векторов и собственных значений оператора ОЛБ позволяет создать дескриптор поверхности. Метод включает в себя следующие шаги:

1. построение ОЛБ для каждой поверхности;
2. расчет собственных векторов и собственных значений ОЛБ для каждой поверхности;
3. уменьшение размерности пространства дескрипторов при помощи разложения по некоторой системе мульти-вейвлетов.

Рассмотрим каждый шаг более подробно на примере используемых в нашем исследовании моделей ТПМП. Для любой действительной функции $f\in C^2$, заданной на римановом многообразии $M$, ОЛБ ${\mathrm{\Delta }}_M$ определяется следующим образом:
$$\begin{array}{}\text{(1)}& {\mathrm{\Delta }}_{M}f=-\frac{1}{\sqrt{|g|}}\sum _{i,j}{\partial }_i(\sqrt{|g|}{g}^{ij}{\partial }_{j}f),\end{array}$$
где $g$ — метрический тензор $M$ [19].

Одной из сложностей для решения задачи на собственные функции и собственные значения для оператора ОЛБ (1) является отсутствие аналитического представления рассматриваемых поверхностей. Например, в разработанном нами подходе [11–13] ТПП и ТПМП задаются набором точек в трехмерном пространстве (рис. 1). Функция $f$ определяется в узлах сетки поверхности, то есть на несвязном многообразии $L$. Соответствующий дискретный аналог ОЛБ выражается следующей формулой [19]:
$$\begin{array}{}\text{(2)}& \mathrm{\Delta }f(p_i)=\frac{1}{s_i}\sum _{p_j\in N(i)}{w}_{ij}(f(p_i)-f(p_j)),\end{array}$$
где $N(i)$ — однокольцевая окрестность точки $p_i\in L$; $w_{ij}$ — весовые коэффициенты; $s_i$ — коэффициенты нормализации, равные площади полиэдра Вороного, построенного в окрестности точки $p_i$. Весовые коэффициенты определяются следующей формулой:
$$w_{ij}=\frac{\mathrm{ctg}{\alpha }_{ij}+\mathrm{ctg}{\beta }_{ij}}{2},$$
где ${\alpha }_{ij}$ и ${\beta }_{ij}$ — два угла, противоположные ребру между вершинами $p_i$ и $p_j$, $i\ne j$.

В матричной записи формула (2)
$$\begin{array}{}\text{(3)}& \mathrm{\Delta }f=S^{-1}Wf,\end{array}$$
где $S=\mathrm{diag}(s_j)$, $W=\mathrm{diag}(t_i)-(w_{ij})$, $t_i=\sum _k{w}_{ik}$.

В терминах (3) расчет собственных значений, соответствующих дискретному набору собственных векторов ОЛБ, эквивалентен следующей матричной задаче:
$$W\varphi =\lambda S\varphi ,$$
где $\lambda$ — собственное значение ОЛБ, а $\varphi$ — собственный вектор ОЛБ.

Рис. 1. Пример элементарной ячейки ТПП P-типа на основе цеолита Linde Type A (LTA)
[Figure 1. Example of P-type TPS unit cell based on Linde Type A (LTA) zeolite]

Рис. 2. Пример «опушенного покрытия»: a) поверхность несвязного многообразия; b) «опушенная» поверхность
[Figure 2. Example of "tufted cover": a) non- manifold surface; b) "tufted" surface]

Для расчета матриц $W$ и $S$ мы использовали алгоритм, представленный в [20]. Идея данного алгоритма заключается в преобразовании несвязного многообразия в связное путем создания двух логических копий каждого входного треугольника и склеивания их по ребрам, чтобы сформировать замкнутую реберно-связную сетку. Полученную сетку называют «опушенным покрытием», поскольку дублированные треугольники все еще разделяют те же самые вершины, подобно двум слоям обитой мебели, соединенным пуговицами (рис. 2).

Рис. 3. Пример изображения гистограммы $\mathrm{\Gamma }$ $64\times 64$ для ТПП P-типа на основе цеолита Linde Type A (LTA): a) исходная ТПП; b) ТПП, полученная сдвигом по осям $X$ и $Y$ на 40 % от длины ребра ограничивающего параллелепипеда; c) ТПП, полученная сдвигом по осям $Y$ и $Z$ на 40 % от длины ребра ограничивающего параллелепипеда
[Figure 3. Example of image histogram $\mathrm{\Gamma }$ $64\times 64$ for P-type TPS based on Linde Type A (LTA) zeolite: a) original TPS; b) TPS obtained by shifting along the $X$ and $Y$ axes by 40 % of the length of the edge of the bounding box; c) TPS obtained by shifting along the $Y$ and $Z$ axes by 40 % of the length of the edge of the bounding box]

Процедура решения задачи расчета собственных векторов и собственных значений реализована в пакете SciPy [21]. Для полученных $W$ и $S$ рассчитываются наборы $\lambda$ и $\varphi$. По данным наборам может быть построена частотная гистограмма поверхности. Собственные векторы и собственные значения оператора Лапласа–Бельтрами наследуют его внутреннюю природу, поэтому они улавливают геометрические и топологические свойства поверхностей [22] и остаются инвариантными относительно изометрических деформаций.

Опишем процедуру построения частотной гистограммы. Для обеспечения инвариантности собственных векторов к размеру поверхности [23] необходимо нормировать каждый вектор на его собственное значение:
$${\tilde{\varphi }}_i=\frac{{\varphi }_i}{\sqrt{{\lambda }_i}},$$
где ${\tilde{\varphi }}_i$ — $i$-й масштабно-инвариантный собственный вектор, $\dim {\tilde{\varphi }}_i=\dim L$.

Векторы ${\tilde{\varphi }}_i$ являются ключевыми для установления схожестей между ТПП, поэтому гистограмма каждой поверхности должна быть рассчитана на фиксированном для всех поверхностей интервале $[r_{min}^i,r_{max}^i]$:
$$r_{min}^i=\underset{p,l}{min}\{{\tilde{\varphi }}_l^i(p)\},r_{max}^i=\underset{p,l}{max}\{{\tilde{\varphi }}_l^i(p)\},$$
где ${\tilde{\varphi }}_l^i(p)$ — значение $i$-го масштабно-инвариантного собственного вектора поверхности номера $l$.

В таком случае форму поверхности описывает гистограмма (рис. 3) размерности $N\times N_E$, где $N_E$ — количество собственных векторов ОЛБ, а $N$ — количество интервалов для гистограммы каждого ${\tilde{\varphi }}_i$, $i\in [1,\dots ,N_E]$. Значения $N$, $N_E$ выбираются из соображений оптимизации точности вычислений и затрат машинного времени, в данной работе $N=N_E=64$. Далее будем называть данное представление изображением гистограммы $\mathrm{\Gamma }$. Фактически $\mathrm{\Gamma }$ является матрицей, элементы которой задаются количеством собственных векторов, попадающих в данный элемент гистограммы, нормированным на $[0,1]$. Изображение гистограммы позволяет учитывать глобальную структуру объекта при сохранении его формы относительно различных преобразований, например, изометрических трансформаций.

Изображение гистограммы может рассматриваться как дескриптор поверхности, однако оно описывается большим объемом данных, представляющим затруднение при сравнении. Для уменьшения размерности дескриптора произведем разложение $\mathrm{\Gamma }$ по некоторому мульти-вейвлетному базису, так называемой V-системе [24]. V-система представляет собой набор ортогональных базисных функций. В данной работе, по аналогии с работой [16], используется V-система третьего порядка. V-система определена на интервале $[0,1]$ и упорядочена по группам и классам следующим образом:

• первая группа ($n=1$):
  $$\begin{array}{l}{V}_{3,1}^1(x)=1,\\ V_{3,1}^2(x)=\sqrt{3}(1-2x),\\ V_{3,1}^3(x)=\sqrt{5}(6x^2-6x+1),\\ V_{3,1}^4(x)=\sqrt{7}(-20x^3+30x^2-12x+1);\end{array}$$
• вторая группа ($n=2$):
  $$V_{3,2}^1(x)=\{\begin{array}{ll}\sqrt{7}(-64x^3+66x^2-18x+1),& 0⩽x<1/2,\\ \sqrt{7}[-64(1-x{)}^3+66(1-x{)}^2-18(1-x)+1],& 1/2<x⩽1;\end{array}$$
  $$V_{3,2}^2(x)=\{\begin{array}{ll}\sqrt{5}(-140x^3+114x^2-24x+1),& 0⩽x<1/2,\\ \sqrt{5}[140(1-x{)}^3-114(1-x{)}^2+24(1-x)-1],& 1/2<x⩽1;\end{array}$$
  $$V_{3,2}^3(x)=\{\begin{array}{ll}\sqrt{3}(-224x^3+156x^2-28x+1),& 0⩽x<1/2,\\ \sqrt{3}[-224(1-x{)}^3+156(1-x{)}^2-28(1-x)+1],& 1/2<x⩽1;\end{array}$$
  $$V_{3,2}^4(x)=\{\begin{array}{ll}-280x^3+180x^2-30x+1,& 0⩽x<1/2,\\ 280(1-x{)}^3-180(1-x{)}^2+30(1-x)-1,& 1/2<x⩽1.\end{array}$$
• остальные группы рассчитываются по формуле ($n>2$):
  $$V_{3,n}^{i,j}(x)=\{\begin{array}{ll}\sqrt{2^{n-2}}{V}_{3,2}^i[2^{n-2}(x-\frac{j-1}{2^{n-2}})],& x\in (\frac{j-1}{2^{n-2}},\frac{j}{2^{n-2}}),\\ 0,& x\notin (\frac{j-1}{2^{n-2}},\frac{j}{2^{n-2}}),\end{array}$$

где $x$ — аргумент ортогональных базисных функций, $x\in {\mathbb{R}}^1$, $j=i$.

Согласно [25–27], V-система обладает свойством воспроизводимости, которое означает, что как непрерывные, так и дискретные сигналы могут быть достаточно точно восстановлены с использованием конечного числа базисных функций. Используя соотношение ортогональности V-системы, коэффициенты разложения $\mathrm{\Gamma }$ по первым 16 функциям V-базиса (т.е. по четырем группам функций V-системы, $V_{3,1}^1(x)=V_1$, $\dots$, $V_{3,4}^4=V_{16}$) можно вычислить по формулам
$$\begin{array}{}\text{(4)}& a_{ij}=\sum _{m=1}^N\sum _{k=1}^{N_E}{\mathrm{\Gamma }}_{mk}{\tilde{V}}_i^m{\tilde{V}}_j^k,\end{array}$$
$$\begin{array}{}\text{(5)}& \mathrm{\Lambda }=(a_{11},\dots ,a_{n1},a_{12},\dots ,a_{nn}),\end{array}$$
где $a_{ij}$ — коэффициенты разложения $\mathrm{\Gamma }$ по V-базису; ${\mathrm{\Gamma }}_{mk}$ — элемент $\mathrm{\Gamma }$; ${\tilde{V}}_i^m=\{V_i({\mathrm{\Gamma }}_{m1}),\dots ,V_i({\mathrm{\Gamma }}_{mN})\}$; ${\tilde{V}}_j^k=\{V_j({\mathrm{\Gamma }}_{1k}),\dots ,V_j({\mathrm{\Gamma }}_{N_{E}k})\}$; $n$ — квадратный корень от числа функций, использованных для разложения $\mathrm{\Gamma }$, в нашем случае $n=4$; $\mathrm{\Lambda }$ — вектор дескрипторов, построенный из коэффициентов $a_{ij}$ разложения $\mathrm{\Gamma }$.

Именно набор коэффициентов разложения (4), (5) будем рассматривать как дескриптор поверхности. Полученный дескриптор будем называть V-спектром Лапласа–Бельтрами $\mathrm{\Lambda }$. Полученный вектор является многомерной случайной величиной, вероятностный характер которой определяется изоморфизмом поверхности, триангуляцией поверхности, процедурой сглаживания [12] и т.д. Будем считать, что $\mathrm{\Lambda }$ имеет нормальный закон распределения, максимум этого распределения соответствует набору дескрипторов, описывающих ТПП без изометрических преобразований, то есть в исходном виде. Поэтому естественным представляется введение расстояния как логарифма отношения правдоподобия построенных моделей поверхностей, описываемых байесовскими вероятностями V-спектра.

2. Метод максимального правдоподобия и совместная байесовская модель машинного обучения

Для получения метрики схожести в пространстве дескриптора $\mathrm{\Lambda }$ воспользуемся результатами работы [17]. Для этого перейдем от случайного вектора $\mathrm{\Lambda }$ к вектору с нулевым математическим ожиданием. Для $i$-й и $j$-й поверхностей $S_i$ и $S_j$ и соответствующих им дескрипторов $D_i$ и $D_j$ совместная байесовская модель описывает совместное распределение вероятностей $D_i$ и $D_j$ при двух различных гипотезах, а именно, что $D_i$ и $D_j$ принадлежат одному классу или разным классам. Логарифм отношения соответствующих условных вероятностей можно рассматривать как вероятностную меру сходства $S_i$ и $S_j$ в пространстве дескрипторов (5):
$$\begin{array}{}\text{(6)}& r(D_i,D_j)=\log \frac{P(D_i,D_j|H_I)}{P(D_i,D_j|H_E)},\end{array}$$
где $H_I$ — гипотеза, согласно которой $S_i$ и $S_j$ являются поверхностями одного и того же класса; $H_E$ — гипотеза, согласно которой две поверхности принадлежат к разным классам; $P(D_i,D_j|H_I)$ и $P(D_i,D_j|H_E)$ — условные вероятности.

Расстояние в пространстве дескрипторов определяется как
$$\begin{array}{}\text{(7)}& d(D_i,D_j)=-r(D_i,D_j).\end{array}$$

Далее будем следовать работе [17], в которой дескриптор представлен как сумма двух независимых случайных переменных с нормальным распределением:
$$\begin{array}{}\text{(8)}& D=\mu +\epsilon ,\end{array}$$
где $D$ — дескриптор с нулевым математическим ожиданием; $\mu$ представляет собой случайную величину, характеризующую поверхность; $\epsilon$ — величина, отражающая случайные деформации, неизометрические преобразования и шумы триангуляции поверхности. Величины $\mu$ и $\epsilon$ подчиняются нормальным распределениям $N(0,S_{\mu })$ и $N(0,S_{\epsilon })$, где $S_{\mu }$ и $S_{\epsilon }$ — две неизвестные матрицы ковариации.

Из изложенного следует, что совместные вероятности $P(D_i,D_j|H_I)$ и $P(D_i,D_j|H_E)$ имеют нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием. При гипотезе $H_I$ ${\mu }_i={\mu }_j$, а ${\epsilon }_i$ и ${\epsilon }_j$ независимы. При гипотезе $H_E$ как ${\mu }_i$ и ${\mu }_j$, так и ${\epsilon }_i$ и ${\epsilon }_j$ являются независимыми. Тогда их матрицы ковариации выражаются следующим образом:
$${\mathrm{\Sigma }}_I=\left[\begin{array}{cc}{S}_{\mu }+S_{\epsilon }& S_{\mu }\\ S_{\mu }& S_{\mu }+S_{\epsilon }\end{array}\right],{\mathrm{\Sigma }}_E=\left[\begin{array}{cc}{S}_{\mu }+S_{\epsilon }& 0\\ 0& S_{\mu }+S_{\epsilon }\end{array}\right].$$

Исходя из (6)–(8) логарифм отношения вероятностей может быть записан как
$$r(D_i,D_j)=\log \frac{P(D_i,D_j|H_I)}{P(D_i,D_j|H_E)}=D_i^{\mathrm{\top }}A{D}_i+D_j^{\mathrm{\top }}A{D}_j-2D_i^{\mathrm{\top }}G{D}_i,$$
где $A=(S_{\mu }+S_{\epsilon }{)}^{-1}-(F+G)$, $F=S_{\epsilon }^{-1}$, $G=-(2S_{\mu }+S_{\epsilon }{)}^{-1}{S}_{\mu }{S}_{\epsilon }^{-1}$, ${}^{\mathrm{\top }}$ — символ транспонирования матрицы.

Для нахождения матриц ковариации $S_{\mu }$ и $S_{\epsilon }$ введем совокупность матриц $\mathrm{\Theta }=\{S_{\mu },S_{\epsilon }\}$ и воспользуемся наиболее распространенным статистическим методом оценки параметров моделей — методом максимального правдоподобия (ММП). В его основе лежит идея выбора параметров модели таким образом, чтобы вероятность описания данных, наблюдаемых с их помощью, была максимальной:
$$\begin{array}{}\text{(9)}& \underset{S_{\mu },S_{\epsilon }}{max}\sum _i\log P({\overline{D}}_i|S_{\mu },S_{\epsilon }),\end{array}$$
где ${\overline{D}}_i=[D_{i1};\dots ;D_{i{m}_i}]=[{\mu }_i+{\epsilon }_{i1};\dots ;{\mu }_i+{\epsilon }_{i{m}_i}]$, $m_i$ — количество дескрипторов поверхности $i$-го класса.

Цель ММП заключается в нахождении наиболее вероятной совокупности матриц $\mathrm{\Theta }$ такой, чтобы дескрипторы соответствовали рассчитанным значениям $\mathrm{\Lambda }$ поверхностей. Для этого воспользуемся так называемым EM-алгоритмом (Expectation–Maximization) [17] оптимизации целевой функции. Этот алгоритм позволяет находить оптимальные параметры модели из условия максимума ожидаемого значения логарифма функции правдоподобия.

На первом шаге (Expectation) для каждой поверхности возьмем случайную переменную $h_i=[{\mu }_i;{\epsilon }_{i1},\dots ,{\epsilon }_{i{m}_i}]$. Пусть ${\mathrm{\Theta }}_t$ — совокупность матриц $\mathrm{\Theta }$, на которых целевая функция достигает максимума при распределении $h_i$, удовлетворяющем данным параметрам $Q(h_i)=P(h_i\mid {\overline{D}}_i,{\mathrm{\Theta }}_t)$:
$$\begin{array}{}\text{(10)}& \sum _i{E}_{P(h_i,{\overline{D}}_i\mid {\mathrm{\Theta }}_t)}\log P(h_i,{\overline{D}}_i\mid \mathrm{\Theta }).\end{array}$$

На втором шаге (Maximization) оцениваем $h_i$ как его математическое ожидание согласно апостериорной вероятности, поскольку $h_i$ и $D_i$ — случайные переменные, подчиняющиеся нормальному закону распределения:
$$\begin{array}{}\text{(11)}& E(h_i\mid {\overline{D}}_i)={\mathrm{\Sigma }}_h{M}^{\mathrm{\top }}{\mathrm{\Sigma }}_{{\overline{D}}_i}^{-1}{\overline{D}}_i,\end{array}$$
где $M^{\mathrm{\top }}$ — матрица, согласовывающая размерность $\mathrm{\Lambda }$ и $h_i$ [10]:
$$M=\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 0& \dots & 0\\ 1& 0& 1& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& 0& 0& \dots & 1\end{array}\right].$$

Из (9)–(11) получаем:
$${\mu }_i=S_{\mu }((n+1)G+F)\sum _{t=1}^n{\lambda }_{it},{\epsilon }_i=S_{\epsilon }G\sum _{t=1}^n{\lambda }_{it}+{\lambda }_{ij},$$
где $n$ — квадратный корень от числа функций, использованных для разложения $\mathrm{\Gamma }$, в нашем случае $n=4$.

Таким образом, мы можем для следующей итерации при возвращении к первому шагу (Expectation) рассчитать $\mathrm{\Theta }$ следующим образом:
$$\mathrm{\Theta }=\{S_{\mu }=\mathrm{cov}(\mu );S_{\epsilon }=\mathrm{cov}(\epsilon )\}.$$

Алгоритм EM итеративно сходится к наилучшим значениям $S_{\mu }$ и $S_{\epsilon }$. Итерационный процесс прекращается на $i$-м шаге, когда выполняется условие
$$\frac{\Vert S_{\epsilon (i)}-S_{\epsilon (i-1)}\Vert }{\Vert S_{\epsilon (i)}\Vert }<ϵ,$$
где $ϵ$ — заданное малое число, которое в данной работе выбиралось равным ${10}^{-5}$, $\Vert \cdot \Vert$ обозначает норму матрицы [21].

3. Результаты расчета подобия ТПМП типа P

Математические алгоритмы, описанные в разделах 1 и 2, реализованы в настоящей работе с помощью языка программирования Python и применены к описанному в разделе 1 набору поверхностей. Набор данных для обучения составил 51 экземпляр ТПМП типа P; 15 поверхностей из этого числа являются оригиналами поверхностей, полученных в работе [12]; 30 поверхностей представляют собой трансформированные версии этих оригиналов с помощью сдвига по осям $X$ и $Y$, $Y$ и $Z$ на 40 % длины ребра, ограничивающего их объемы (рис. 3). В набор входят также построенные аналогичным образом две и четыре поверхности класса D соответственно. В табл. 1 указаны расстояния всех перечисленных поверхностей по отношению к поверхности LTA (или мера сходства с поверхностью LTA).

Стандартное отклонение для поверхностей класса P составляет 0.622. Из табл. 1 видно, что нулевое расстояние для всех P-поверхностей содержится в интервале, определяемом одним стандартным отклонением, за исключением поверхностей BRE и UEI. В доверительный интервал с 99 % вероятностью попало 13 из 14 поверхностей, в таком случае точность обучения составляет 92.8 %. Расстояние между UEI и LTA отклоняется от нулевого фактически на два стандартных отклонения. Поверхность BRE (рис. 4) геометрически сильно отличается от поверхности LTA и в пространстве дескрипторов лежит ближе к PON, то есть является близкой к D-классу. Использованные в работе поверхности представлены на сайте Porous 3D (https://p3d.topcryst.com/software/).

Рис. 4. Визуальное сравнение поверхности LTA с поверхностями BRE и PON
[Figure 4. Visual comparison of the LTA surface with the BRE and PON surfaces]

Заключение

В работе для описания ТПП построен дескриптор на основе собственных векторов и собственных значений оператора Бельтрами–Лапласа и совместной байесовской модели. В пространстве дескрипторов введена метрика на основе вероятностной меры сходства поверхностей. Построенная метрика позволяет математически сформулировать понятие близости поверхности. Работоспособность данной метрики была проверена на 51 поверхности класса P. Точность предсказания типа поверхности составила 92.8 %. Созданная модель машинного обучения позволяет определить принадлежность изучаемой поверхности неизвестного класса к классу P-поверхностей. Полученные результаты в совокупности с ранее введенными признаками дают возможность создания системы автоматического определения класса поверхности.

В данной работе на языке программирования Python были реализованы: алгоритм расчета собственных векторов и собственных значений оператора Лапласа–Бельтрами, алгоритм расчета изображения гистограммы поверхности, расчета дескриптора, основанного на мультивейвлетном разложении изображения гистограммы поверхности по базису V-системы; модель машинного обучения, основанная на принципе максимального правдоподобия в совместной байесовской модели.

Построенные и разработанные математические модели позволяют расширить список классов поверхностей для нахождения корреляций между тополого-геометрическими и некоторыми физическими свойствами поверхностей, в частности по отношению к рассеянию электромагнитных волн.

Конкурирующие интересы. Конкурирующих интересов не имею.
Авторская ответственность. Я несу полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною одобрена.
Финансирование. Работа выполнена без финансирования.
Благодарность. Автор благодарит своего научного руководителя А. Ф. Крутова за неоценимую помощь в ходе выполнения данного исследования.

About the authors

Mikhail I. Smolkov

Author for correspondence.
Email: m.smolkov97@gmail.com
ORCID iD: 0000-0001-5573-662X
https://www.mathnet.ru/person227410

Postgraduate Research Student; Junior Researcher; International Research Center for Theoretical Materials Science

References

Supplementary files

Supplementary Files

Action

1. JATS XML

Download

2. Figure 1. Example of P-type TPS unit cell based on Linde Type A (LTA) zeolite

Download (164KB)

Indexing metadata

3. Figure 2. Example of "tufted cover": a) nonmanifold surface; b) "tufted" surface

Download (150KB)

Indexing metadata

4. Figure 3. Example of image histogram $\mathrm{\Gamma }$ $64\times 64$ for P-type TPS based on Linde Type A (LTA) zeolite: a) original TPS; b) TPS obtained by shifting along the $X$ and $Y$ axes by 40 % of the length of the edge of the bounding box; c) TPS obtained by shifting along the $Y$ and $Z$ axes by 40 % of the length of the edge of the bounding box

Download (925KB)

Indexing metadata

5. Figure 4. Visual comparison of the LTA surface with the BRE and PON surfaces

Download (650KB)

Indexing metadata