Confluent hypergeometric functions and their application to the solution of Dirichlet problem for the Helmholtz equation with three singular coefficients

Full Text

1. Введение

Начиная с работы И. Н. Векуа [1, гл. 1] исследуются краевые задачи для уравнения Гельмгольца 
\[
u_{xx} + u_{yy} + \lambda^2 u = 0,
\]
где $\lambda$ — вообще говоря, комплексная постоянная. Это уравнение встречается во многих разделах математической физики (теория упругости, теория электромагнитных волн и др.); его иногда называют метагармоническим уравнением, а его решения — метагармоническими функциями; постоянную $\lambda$ называют параметром метагармонической функции [2].    

Ввиду наличия многочисленных приложений в современной теории дифференциальных уравнений в частных производных значительное место занимают исследования вырождающихся уравнений, особый класс которых составляют уравнения с сингулярными коэффициентами. 

Впервые в 1952 году М. Б. Капилевичем [3] была решена задача Дирихле для многомерного уравнения Гельмгольца с одним сингулярным коэффициентом
\[\begin{equation}
\sum\limits_{j=1}^n \frac{\partial^2 u}{\partial x_j^2} + \frac{2\alpha}{x_n}\frac{\partial u}{\partial x_n} - b^2 u = 0, \quad 0 < 2\alpha < 1,
\end{equation}\]
в полупространстве $x_n > 0$.

Краевые задачи для обобщенного двуосесимметрического уравнения Гельмгольца 
\[\begin{equation}
u_{xx} + u_{yy} + \frac{2\alpha}{x}u_x + \frac{2\beta}{y}u_y + \lambda^2 u = 0, 
\quad 0 < 2\alpha, \quad 2\beta < 1,
\tag{1}
\end{equation}\]
были предметом интереса многих математиков. 

Уравнение (1) связано с уравнением смешанного типа 
\[\begin{equation}
\eta^m u_{\xi\xi} + \xi^n u_{\eta\eta} + \lambda^2 u = 0,
\tag{2}
\end{equation}\]
а именно, если в области эллиптичности привести уравнение (2) к канонической форме, то получится уравнение (1). При $n = \lambda = 0$ уравнение (2) называется уравнением Геллерстедта, а в случае $n = \lambda = 0$, $m = 1$ — уравнением Трикоми и имеет важное прикладное значение в газовой динамике [4].

Теория краевых задач для различных частных случаев уравнения (1) активно разрабатывалась во второй половине XX века. С. П. Пулькиным [5] исследованы краевые задачи типа Е для уравнения (1) при $\beta = \lambda = 0$. Краевыми задачами для частных случаев уравнения (1), а также уравнения (2), занимались Д. Аманов [6], М. Е. Лернер и О. А. Репин [7], Е. И. Моисеев [8], Н. Б. Плещинский и Д. Н. Тумаков [9], Н. Р. Раджабов [10], М. С. Салахитдинов и А. Хасанов [11].    

В 1969 году R. P. Gilbert [12] построил интегральное представление решений уравнения (1) через аналитические функции. Выведенная там формула обращения этого представления содержит весьма громоздкие ряды и неудобна в приложениях, в частности при решении вопросов о сведении краевых задач для уравнения (1) к хорошо изученным краевым задачам теории аналитических функций [13]. В работе А. Хасанова [14] фундаментальные решения уравнения (1) построены в явных формах.

В монографии [15] получены различные интегральные представления решений и некоторые частные формулы их обращений для обобщенного двуосесимметрического уравнения Гельмгольца (1) и соответствующего ему гиперболического уравнения
\[
u_{xx} - u_{yy} + \frac{2\alpha}{x}u_x - \frac{2\beta}{y}u_y + \lambda^2 u = 0, \quad 0 < 2\alpha, \quad 2\beta < 1,
\]
получаемого из (1) заменой $y$ на $-iy$.

Для уравнения (1) при $\lambda = \mu i$ в работе О. А. Репина и М. Е. Лернера [16] доказана однозначная разрешимость и найдена формула решения задачи Дирихле в первом квадранте. А. А. Абашкиным [17] поставлены и исследованы новые краевые задачи для двуосесимметрического уравнения Гельмгольца (1) в прямоугольнике, полуполосе и полосе. Отличительной особенностью исследованных краевых задач [17] является то, что на параметры $\alpha$, $\beta$ и $\lambda$ уравнения (1) накладываются минимальные ограничения. 

В настоящей работе исследуется задача Дирихле для трехмерного уравнения Гельмгольца с тремя сингулярными коэффициентами
\[\begin{equation}
u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} + \frac{2\alpha}{x}u_x + \frac{2\beta}{y}u_y + \frac{2\gamma}{z}u_z - \lambda^2 u = 0
\tag{3}
\end{equation}\]
в первом октанте, где $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ и $\lambda$ — действительные числа, причем $0 < 2\alpha$, $2\beta$, $2\gamma < 1$. Единственность решения поставленной задачи доказывается с помощью принципа экстремума для эллиптических уравнений. С использованием известного решения уравнения (3), построенного в [18], решение рассматриваемой задачи строится в явной форме. При доказательстве теоремы существования применяются свойства конфлюэнтной гипергеометрической функции от трех переменных $A_2$, впервые введенной и исследованной в [14].

Исследованию краевых задач для уравнения (3) посвящено сравнительно малое количество работ. Отметим работы А. Хасанова [19] и Э. Т. Каримова [20], в которых решения основных краевых задач для уравнения (3) при $\lambda = 0$ в бесконечной (первом октанте) и конечной (первом октанте шара) областях соответственно найдены в явных формах. В работе [21] для уравнения (3) при $\beta = \gamma = \lambda = 0$ построена теория потенциала и решена задача Хольмгрена с помощью метода потенциала.

2. Конфлюэнтные гипергеометрические функции многих переменных

Известно [22, 23], что решение самых разных задач, относящихся к теплопроводности и динамике, электромагнитным колебаниям и аэродинамике, квантовой механике и теории потенциала, приводит к специальным функциям. Чаще всего они появляются при решении дифференциальных уравнений в частных производных методом разделения переменных. Разнообразие задач, приводящих к специальным функциям, вызвало быстрый рост числа функций, применяемых в приложениях.

Символ Похгаммера $(z)_n$ при целых $n$ определяется равенством
\[
(z)_n = z(z+1)\cdots(z+n-1), \quad n=1,2,\dots; \quad (z)_0 = 1.
\]

Справедливы равенства $(z)_n = (-1)^n(1-n-z)_n$, $(1)_n = n!$ и
\[\begin{equation} 
(z)_n = \frac{\Gamma(z+n)}{\Gamma(z)}.
\tag{4}
\end{equation}\]

Равенство (4) можно использовать для введения символа $(z)_n$ при действительных (комплексных) $n$.

Большие успехи в изучении теории гипергеометрической функции Гаусса
\[\begin{equation}
F (a, b; c; x ) = \sum\limits_{m=0}^\infty \frac{(a)_m (b)_m}{(c)_m} \frac{x^m}{m!}, \quad |x| < 1
\tag{5}
\end{equation}\]
стимулировали развитие соответствующих теорий для функций от двух или многих переменных.

Аппель [24] определил в 1880 г. гипергеометрическую функцию
\[\begin{equation} 
F_2 (a, b_1, b_2; c_1, c_2; x, y ) = \sum\limits_{m,n=0}^\infty \frac{(a)_{m+n} (b_1)_m (b_2)_n}{(c_1)_m (c_2)_n} \frac{x^m}{m!} \frac{y^n}{n!}, \quad |x| + |y| < 1,
\tag{6}
\end{equation}\]
которая аналогична функции Гаусса. 

Гипергеометрическая функция Лауричелла [25] 
\[\begin{equation}
\begin{aligned}
F_{A}^{(n)}\left[\begin{array}{c}
  a,\mathbf{b}; \\
 \mathbf{c};
\end{array} \mathbf{x}\right]
= \sum\limits_{|\mathbf{k}|=0}^{\infty} (a)_{|\mathbf{k}|} \prod\limits_{i=1}^{n} \frac{(b_i)_{k_i}}{(c_i)_{k_i}} \frac{x_i^{k_i}}{k_i!}, \quad |x_1| + \dots + |x_n| < 1,
\end{aligned}
\tag{7}
\end{equation}\]
является естественным обобщением классической гипергеометрической функции Гаусса (5) и функции Аппеля (6) на случай многих комплексных переменных и соответствующих им комплексных параметров. Здесь и далее
\[
\mathbf{b} := (b_1,\dots,b_n), \quad \mathbf{c} := (c_1,\dots,c_n), \quad \mathbf{x} := (x_1,\dots,x_n),
\]
\[
\mathbf{k} := (k_1, \dots, k_n), \quad |\mathbf{k}| := k_1 + \cdots + k_n, \quad k_1 \geqslant 0, \dots, k_n \geqslant 0.
\]

В приложениях функций Лауричелла $F_{A}^{(n)}$ важна следующая

Теорема 1 [26]. Пусть $a,$ $b_k,$ $c_k$ — действительные числа, $a > |\mathbf{b}| > 0$ и $c_k > b_k.$ Тогда для $n=1,2,\dots$ справедливо следующее предельное соотношение:
\[\begin{multline*}
\lim_{\varepsilon \to 0} \left\{ \varepsilon^{-|\mathbf{b}|}
F_{A}^{(n)}\left[\begin{array}{c}
  a,\mathbf{b}; \\
 \mathbf{c};
\end{array} 1-\frac{f_1(\varepsilon)}{\varepsilon},\dots, 1-\frac{f_n(\varepsilon)}{\varepsilon}\right] \right\} = {}
\\
{} = \frac{\Gamma (a - |\mathbf{b}| )}{\Gamma(a)} \prod\limits_{k=1}^{n} \frac{|f_k(0)|^{-b_k} \Gamma(c_k)}{\Gamma(c_k - b_k)},
\end{multline*}\]
где $|\mathbf{b}| := b_1 + \cdots + b_n;$ $f_k(\varepsilon)$ — произвольные функции, причем $f_k(0) \neq 0$.

Отметим, что явные решения основных краевых задач для многомерных сингулярных эллиптических уравнений выражаются через гипергеометрическую функцию Лауричелла $F_{A}^{(n)}$, число переменных которой равно числу сингулярных коэффициентов рассматриваемого эллиптического уравнения [27, 28].

Рассмотрим следующую конфлюэнтную гипергеометрическую функцию от $n+1$ переменных [29]:
\[\begin{equation} 
\mathrm{H}^{(n,1)}_A\left[\begin{array}{c}
  a,\mathbf{b}; \\
 \mathbf{c};
\end{array} \mathbf{x}; y\right]
= \sum\limits_{|\mathbf{k}|+l=0}^\infty (a)_{|\mathbf{k}|-l} \prod\limits_{j=1}^n 
\frac{(b_j)_{k_j}}{(c_j)_{k_j}} \frac{x_j^{k_j}}{k_j!} \cdot \frac{y^l}{l!}, \quad 
\sum\limits_{j=1}^n |x_j| < 1.
\tag{8}
\end{equation}\]

Для функции $\mathrm{H}_{A}^{(n,1)}$ справедлива формула преобразования
\[\begin{equation}
\mathrm{H}_{A}^{(n,1)}\left[\begin{array}{c}
  a,\mathbf{b}; \\
 \mathbf{c};
\end{array} \mathbf{x}; y\right] = Z^{-a} \mathrm{H}_{A}^{(n,1)}\left[\begin{array}{c}
  a, \mathbf{c}-\mathbf{b}; \\
 \mathbf{c};
\end{array} -\frac{\mathbf{x}}{Z}; Zy\right],
\tag{9}
\end{equation}\]
где
\[
Z := 1 - x_1 - \cdots - x_n.
\]

В приложениях конфлюэнтной гипергеометрической функции $\mathrm{H}_{A}^{(n,1)}$ к решению краевых задач используется следующая

Теорема 2. Пусть $a,$ $b_k,$ $c_k$ — действительные числа, $a > |\mathbf{b}| > 0$ и ${c_k > b_k}.$ Тогда для $n=1,2,\dots$ справедливо следующее предельное соотношение:
\[\begin{multline}
\lim_{\varepsilon \to 0} \left\{ \varepsilon^{-|\mathbf{b}|}
\mathrm{H}_{A}^{(n,1)}\left[\begin{array}{c}
  a,\mathbf{b}; \\
 \mathbf{c};
\end{array} 1-\frac{f_1(\varepsilon)}{\varepsilon},\dots, 1-\frac{f_n(\varepsilon)}{\varepsilon}, \varepsilon y \right]
\right\} = {}
\\
{} = \frac{\Gamma\left(a - |\mathbf{b}|\right)}{\Gamma(a)} \prod\limits_{k=1}^{n} \frac{|f_k(0)|^{-b_k} \Gamma(c_k)}{\Gamma(c_k - b_k)},
\tag{10}
\end{multline}\]
где $|\mathbf{b}| := b_1 + \cdots + b_n;$ $f_k(\varepsilon)$ — произвольные функции, причем $f_k(0) \neq 0;$ $y$ — действительная переменная.

Доказательство. Из определения (8) конфлюэнтной гипергеометрической функции $\mathrm{H}_{A}^{(n,1)}$ следует
\[\begin{equation}
\mathrm{H}_{A}^{(n,1)}\left[\begin{array}{c}
  a,\mathbf{b}; \\
 \mathbf{c};
\end{array} \mathbf{x}; y\right] = \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(1-a)_k} \frac{y^k}{k!} F_{A}^{(n)}\left[\begin{array}{c}
  a-k,\mathbf{b}; \\
 \mathbf{c};
\end{array} \mathbf{x}\right],
\tag{11}
\end{equation}\]
где $F_{A}^{(n)}$ — гипергеометрическая функция Лауричелла, определенная в (7). Положив в (11) $y=0$, придем к равенству
\[\begin{equation}
\mathrm{H}_{A}^{(n,1)}\left[\begin{array}{c}
  a,\mathbf{b}; \\
 \mathbf{c};
\end{array} \mathbf{x}; 0\right] = F_{A}^{(n)}\left[\begin{array}{c}
  a,\mathbf{b}; \\
 \mathbf{c};
\end{array} \mathbf{x}\right].
\tag{12}
\end{equation}\]

Далее доказательство теоремы 2 непосредственно следует из теоремы 1 и формулы (12). $\square$

Частные случаи конфлюэнтной гипергеометрической функции $\mathrm{H}_{A}^{(n,1)}$ были известны: в случае $n=1$ — конфлюэнтная функция Горна $\mathrm{H}_3$, определяемая равенством
\[\begin{equation}
\mathrm{H}_3(a,b;c;x,y) = \sum\limits_{m,n=0}^\infty \frac{(a)_{m-n}(b)_m}{(c)_m} \frac{x^m}{m!} \frac{y^n}{n!}, \quad |x| < 1;
\tag{13}
\end{equation}\]
в случае $n=2$ — конфлюэнтная функция, введенная в [14]:
\[\begin{equation*}
\mathrm{A}_2\left[\begin{array}{c}
  a, b_1, b_2; \\
 c_1, c_2;
\end{array} x, y, z\right]
= \sum\limits_{m,n,k=0}^{\infty} \frac{(a)_{m+n-k} (b_1)_m (b_2)_n}{(c_1)_m (c_2)_n} \frac{x^m}{m!} \frac{y^n}{n!} \frac{z^k}{k!}, \quad |x| + |y| < 1;
\end{equation*}\]
в случае $n=3$ конфлюэнтная гипергеометрическая функция $\mathrm{H}_{A}^{(3,1)}$ была определена впервые в [18] через функцию Лауричелла $F_A^{(3)}$:
\[\begin{multline*}
\mathrm{H}_{A}^{(3,1)}\left[\begin{array}{c}
  a, b_1, b_2, b_3; \\
 c_1, c_2, c_3;
\end{array} x, y, z, t\right] = {}
\\
{}
= \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(1-a)_k} \frac{t^k}{k!} F_{A}^{(3)}
\left[\begin{array}{c}
  a-k, b_1, b_2, b_3; \\
 c_1, c_2, c_3;
\end{array} x, y, z \right], \quad |x| + |y| + |z| < 1.
\end{multline*}\]

В приложениях любой гипергеометрической функции важна система дифференциальных уравнений в частных производных, которой удовлетворяет данная гипергеометрическая функция. Такая система для конфлюэнтной функции двух переменных $\mathrm{H}_3$ была известна. Однако Волкодавов и Быстрова [30] впервые обратили внимание на то, что в известной справочной литературе по специальным функциям [31, гл. 5, фор. 5.9(34)] приведена ошибочно система дифференциальных уравнений, которой якобы удовлетворяет
функция (13), и ими получена истинная система дифференциальных уравнений, которой удовлетворяет конфлюэнтная функция $\mathrm{H}_3(a,b;c;x,y)$.

Конфлюэнтная функция $u = \mathrm{A}_2\left[\begin{array}{c}
  a, b_1, b_2; \\
 c_1, c_2;
\end{array} x, y, z\right]$ удовлетворяет следующей системе дифференциальных уравнений в частных производных [14]:
\[\begin{equation}\left\{
\begin{aligned}
&x(1-x)u_{xx} - xy u_{xy} + x z u_{xz} + {}\\
& \hspace{3cm} {} +  [c_1 - (a + b_1 + 1)x ]u_x - b_1 y u_y + b_1 z u_z - a b_1 u = 0, \\ 
&y(1-y)u_{yy} - xy u_{xy} + y z u_{yz} -{} \\
& \hspace{3cm} {} - b_2 x u_x + [c_2 - (a + b_2 + 1)y ]u_y + b_2 z u_z - a b_2 u = 0, \\
&z u_{zz} - x u_{xz} - y u_{yz} + (1-a)u_z + u = 0.
\end{aligned}
\right.
\tag{14}
\end{equation}\]

Вообще говоря, конфлюэнтная функция $\mathrm{H}^{(n,1)}_A\left[\begin{array}{c}
  a,\mathbf{b}; \\
 \mathbf{c};
\end{array} \mathbf{x}; y\right]$ удовлетворяет системе из $n+1$ уравнений гипергеометрического типа, которая в окрестности начала координат имеет $2^n$ линейно независимых решений (за подробностями см. [29]).

3. Фундаментальные решения обобщенного трехмерного уравнения Гельмгольца с тремя сингулярными коэффициентами

Первую октанту трехмерного евклидова пространства $\mathbb{R}^3$ обозначим через
\[\begin{equation*} 
\Omega = \{(x,y,z): x > 0,\ y > 0,\ z > 0\}.
\end{equation*}\]

Пусть $(x,y,z)$ и $(\xi,\eta,\zeta)$ — две точки области $\Omega$. Обозначим
\[
r = \sqrt{(x-\xi)^2 + (y-\eta)^2 + (z-\zeta)^2}.
\]

В области $\Omega$ рассмотрим обобщенное трехмерное уравнение Гельмгольца с тремя сингулярными коэффициентами
\[\begin{equation} 
Lu \equiv \Delta u + \frac{2\alpha}{x}u_x + \frac{2\beta}{y}u_y + \frac{2\gamma}{z}u_z - \lambda^2 u = 0,
\tag{15}
\end{equation}\]
где $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ и $\lambda$ — действительные числа, причем $0 < 2\alpha$, $2\beta$, $2\gamma < 1$.

Уравнение вида
\[\begin{equation}
L^*u \equiv \Delta u - \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{2\alpha u}{x}\right) - \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{2\beta u}{y}\right) - \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{2\gamma u}{z}\right) - \lambda^2 u = 0
\tag{16}
\end{equation}\]
называется сопряженным уравнением к уравнению $Lu=0$.

Определение 1. Функция $q(x,y,z;\xi,\eta,\zeta)$ называется фундаментальным решением уравнения (15) с особенностью в точке $(\xi,\eta,\zeta) \in \Omega$, если она

1. является решением уравнения (15) по переменным $\xi$, $\eta$, $\zeta$ во всех точках $\Omega$, за исключением точки $(x,y,z)$;
2. является решением сопряженного уравнения (16) по переменным $x$, $y$, $z$ во всех точках $\Omega$, за исключением точки $(\xi,\eta,\zeta)$;
3. при $(x,y,z) \to (\xi,\eta,\zeta)$ имеет особенность порядка $ {1}/{r}$.

Как известно [18], уравнение (15) имеет 8 линейно независимых решений:
\[\begin{align}
u_0 &= k_0 r^{-2a} \mathrm{H}_A^{(3,1)}\left[\begin{array}{c}
a, \alpha, \beta, \gamma; \\
2\alpha, 2\beta, 2\gamma;
\end{array} X\right],   \\
u_{11} &= k_{11} (x\xi)^{1-2\alpha} r^{4\alpha-2a-2} \mathrm{H}_A^{(3,1)}\left[\begin{array}{c}
a+1-2\alpha, 1-\alpha, \beta, \gamma; \\
2-2\alpha, 2\beta, 2\gamma;
\end{array} X\right],   \\
u_{12} &= k_{12} (y\eta)^{1-2\beta} r^{4\beta-2a-2} \mathrm{H}_A^{(3,1)}\left[\begin{array}{c}
a+1-2\beta, \alpha, 1-\beta, \gamma; \\
2\alpha, 2-2\beta, 2\gamma;
\end{array} X\right],  \\
u_{13} &= k_{13} (z\zeta)^{1-2\gamma} r^{4\gamma-2a-2} \mathrm{H}_A^{(3,1)}\left[\begin{array}{c}
a+1-2\gamma, \alpha, \beta, 1-\gamma; \\
2\alpha, 2\beta, 2-2\gamma;
\end{array} X\right],  \\
u_{21} &= k_{21} (x\xi)^{1-2\alpha} (y\eta)^{1-2\beta} r^{4\alpha+4\beta-2a-4} \times   \\
& \hspace{2cm}\times \mathrm{H}_A^{(3,1)}\left[\begin{array}{c}
a+2-2\alpha-2\beta, 1-\alpha, 1-\beta, \gamma; \\
2-2\alpha, 2-2\beta, 2\gamma;
\end{array} X\right],  \\
u_{22} &= k_{22} (x\xi)^{1-2\alpha} (z\zeta)^{1-2\gamma} r^{4\alpha+4\gamma-2a-4} \times  \\
&\hspace{2cm} \times \mathrm{H}_A^{(3,1)}\left[\begin{array}{c}
a+2-2\alpha-2\gamma, 1-\alpha, \beta, 1-\gamma; \\
2-2\alpha, 2\beta, 2-2\gamma;
\end{array} X\right],  \\
u_{23} &= k_{23} (y\eta)^{1-2\beta} (z\zeta)^{1-2\gamma} r^{4\beta+4\gamma-2a-4} \times   \\
& \hspace{2cm}\times \mathrm{H}_A^{(3,1)}\left[\begin{array}{c}
a+2-2\beta-2\gamma, \alpha, 1-\beta, 1-\gamma; \\
2\alpha, 2-2\beta, 2-2\gamma;
\end{array} X\right],  \\
u_3 &= k_3 (x\xi)^{1-2\alpha} (y\eta)^{1-2\beta} (z\zeta)^{1-2\gamma} r^{4\alpha+4\beta+4\gamma-2a-6} \times   \\
& \hspace{2cm}\times \mathrm{H}_A^{(3,1)}\left[\begin{array}{c}
a+3-2\alpha-2\beta-2\gamma, 1-\alpha, 1-\beta, 1-\gamma; \\
2-2\alpha, 2-2\beta, 2-2\gamma;
\end{array} X\right],  
\end{align}\]
где $a := \alpha + \beta + \gamma +  {1}/{2}$; $k_0$, $\dots$, $k_3$ — известные постоянные. Здесь для краткости совокупность переменных обозначена через $X$:
\[
X := \Bigl(-\frac{4x\xi}{r^2}, -\frac{4y\eta}{r^2}, -\frac{4z\zeta}{r^2}, -\frac{1}{4}\lambda^2 r^2\Bigr).
\]

Очевидно, каждое из этих решений симметрично относительно переменных $x$, $y$, $z$ и $\xi$, $\eta$, $\zeta$, следовательно, они удовлетворяют уравнению (15) как по переменным $x$, $y$, $z$, так и по $\xi$, $\eta$, $\zeta$. Однако эти функции не удовлетворяют сопряженному уравнению (16) по переменным $x$, $y$, $z$.

Справедлива следующая

Лемма 1. Если функция $w(x,y,z;\xi,\eta,\zeta)$ удовлетворяет уравнению (15) по переменным $\xi,$ $\eta,$ $\zeta,$ то функция
\[\begin{equation} 
q(x,y,z;\xi,\eta,\zeta) = x^{2\alpha} y^{2\beta} z^{2\gamma} w(x,y,z;\xi,\eta,\zeta)
\end{equation}\]
удовлетворяет сопряженному уравнению (16) по переменным $x,$ $y,$ $z.$

Доказательство. Пусть некоторая функция $w(x,y,z;\xi,\eta,\zeta)$ удовлетворяет уравнению (15) по переменным $\xi$, $\eta$, $\zeta$, тогда в силу симметричности она удовлетворяет этому же уравнению по переменным $x$, $y$, $z$, т.е. $L(w)=0$. Теперь подставим функцию $q(x,y,z;\xi,\eta,\zeta)$ в сопряженное уравнение (16). С этой целью вычислим необходимые производные:
\[\begin{align*}
\frac{\partial q}{\partial x} &= 2\alpha x^{2\alpha-1} y^{2\beta} z^{2\gamma} w + x^{2\alpha} y^{2\beta} z^{2\gamma} w_x, \\
\frac{\partial^2 q}{\partial x^2} &= 2\alpha(2\alpha-1)x^{2\alpha-2} y^{2\beta} z^{2\gamma} w + 4\alpha x^{2\alpha-1} y^{2\beta} z^{2\gamma} w_x + x^{2\alpha} y^{2\beta} z^{2\gamma} w_{xx}, 
\\
\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{2\alpha q}{x}\Bigr) &= 2\alpha(2\alpha-1)x^{2\alpha-2} y^{2\beta} z^{2\gamma} w + 2\alpha x^{2\alpha-1} y^{2\beta} z^{2\gamma} w_x
\end{align*}\]
и аналогично по переменным $y$ и $z$. 

Подставив вычисленные производные в сопряженное уравнение (16), получим
\[
L^*(q) = x^{2\alpha} y^{2\beta} z^{2\gamma} L(w) = 0.
\]
Последнее равенство доказывает лемму 1. $\square$

Таким образом, следующие функции удовлетворяют первым двум условиям определения 1:
\[\begin{align}
q_0 = x^{2\alpha} y^{2\beta} z^{2\gamma} r^{-2a} \mathrm{H}_A^{(3,1)}\left[\begin{array}{c}
a, \alpha, \beta, \gamma; \\
2\alpha, 2\beta, 2\gamma;
\end{array} X\right],  
\tag{17}
\end{align}\]
\[\begin{align}
q_{11} &= x y^{2\beta} z^{2\gamma} \xi^{1-2\alpha} r^{4\alpha-2a-2} \mathrm{H}_A^{(3,1)}\left[\begin{array}{c}
a+1-2\alpha, 1-\alpha, \beta, \gamma; \\
2-2\alpha, 2\beta, 2\gamma;
\end{array} X\right], 
\tag{18}
\end{align}\]
\[\begin{align}
q_{12} &= x^{2\alpha} y z^{2\gamma} \eta^{1-2\beta} r^{4\beta-2a-2} \mathrm{H}_A^{(3,1)}\left[\begin{array}{c}
a+1-2\beta, \alpha, 1-\beta, \gamma; \\
2\alpha, 2-2\beta, 2\gamma;
\end{array} X\right], 
\tag{19}
\end{align}\]
\[\begin{align}
q_{13} &= x^{2\alpha} y^{2\beta} z \zeta^{1-2\gamma} r^{4\gamma-2a-2} \mathrm{H}_A^{(3,1)}\left[\begin{array}{c}
a+1-2\gamma, \alpha, \beta, 1-\gamma; \\
2\alpha, 2\beta, 2-2\gamma;
\end{array} X\right], 
\tag{20}
\end{align}\]
\[\begin{align}
q_{21} &= x y z^{2\gamma} \xi^{1-2\alpha} \eta^{1-2\beta} r^{4\alpha+4\beta-2a-4} \times \nonumber \\
& \hspace{2cm} \times \mathrm{H}_A^{(3,1)}\left[\begin{array}{c}
a+2-2\alpha-2\beta, 1-\alpha, 1-\beta, \gamma; \\
2-2\alpha, 2-2\beta, 2\gamma;
\end{array} X\right], 
\tag{21}
\end{align}\]
\[\begin{align}
q_{22} = x y^{2\beta} z \xi^{1-2\alpha} \zeta^{1-2\gamma} r^{4\alpha+4\gamma-2a-4} \times \nonumber \\
& \hspace{2cm} \times \mathrm{H}_A^{(3,1)}\left[\begin{array}{c}
a+2-2\alpha-2\gamma, 1-\alpha, \beta, 1-\gamma; \\
2-2\alpha, 2\beta, 2-2\gamma;
\end{array} X\right],  
\tag{22}
\end{align}\]
\[\begin{align}
q_{23} = x^{2\alpha} y z \eta^{1-2\beta} \zeta^{1-2\gamma} r^{4\beta+4\gamma-2a-4} \times \nonumber \\
& \hspace{2cm}\times \mathrm{H}_A^{(3,1)}\left[\begin{array}{c}
a+2-2\beta-2\gamma, \alpha, 1-\beta, 1-\gamma; \\
2\alpha, 2-2\beta, 2-2\gamma;
\end{array} X\right],  
\tag{23}
\end{align}\]
\[\begin{align}
q_3 = k_3 x y z \xi^{1-2\alpha} \eta^{1-2\beta} \zeta^{1-2\gamma} r^{4\alpha+4\beta+4\gamma-2a-6} \times \nonumber \\
& \hspace{2cm} \times \mathrm{H}_A^{(3,1)}\left[\begin{array}{c}
a+3-2\alpha-2\beta-2\gamma, 1-\alpha, 1-\beta, 1-\gamma; \\
2-2\alpha, 2-2\beta, 2-2\gamma;
\end{array} X\right]. 
\tag{24}
\end{align}\]

Лемма 2. Если $0 < 2\alpha,$ $2\beta,$ $2\gamma < 1,$ то каждая из функций, определенных равенствами (17)–(24), имеет особенность порядка $ {1}/{r}$ при $r \to 0.$

Доказательство. Рассмотрим в качестве примера функцию $q_3$, определенную в (24). Для остальных функций утверждение устанавливается аналогично.

Функцию $q_3$ можно представить в виде
\[\begin{equation} 
q_3(x,y,z;\xi,\eta,\zeta;\lambda) = \frac{1}{r} \cdot \tilde{q}_3(x,y,z;\xi,\eta,\zeta;\lambda),
\tag{25}
\end{equation}\]
где
\[\begin{align}
\tilde{q}_3 &= k_3 x y z \xi^{1-2\alpha} \eta^{1-2\beta} \zeta^{1-2\gamma} r^{2\alpha+2\beta+2\gamma-6} \times \\
& \hspace{2cm} \times \mathrm{H}_A^{(3,1)}\left[\begin{array}{c}
7/2-\alpha-\beta-\gamma, 1-\alpha, 1-\beta, 1-\gamma; \\
2-2\alpha, 2-2\beta, 2-2\gamma;
\end{array} X\right],
\end{align}\]
\[\begin{align} 
k_3 & = \frac{\Gamma(7/2-\alpha-\beta-\gamma)\Gamma(1-\alpha)\Gamma(1-\beta)\Gamma(1-\gamma)}{\pi^{3/2}4^{\alpha+\beta+\gamma-2}\Gamma(2-2\alpha)\Gamma(2-2\beta)\Gamma(2-2\gamma)}.
\tag{26}
\end{align}\]

Покажем, что функция $\tilde{q}_3$ ограничена при $r \to 0$. С этой целью в правой части (25) произведем замену переменных:
\[
\xi = x + \varepsilon t, \quad \eta = y + \varepsilon s, \quad \zeta = z + \varepsilon v,
\]
где $t$, $s$, $v$ — новые переменные и $\varepsilon \geq 0$, тогда получим
\[\begin{multline*}
\tilde{q}_3(x,y,z; x+\varepsilon t, y+\varepsilon s, z+\varepsilon v) = {} 
\\
{}= k_3 x y z (x+\varepsilon t)^{1-2\alpha} (y+\varepsilon s)^{1-2\beta} (z+\varepsilon v)^{1-2\gamma}   \left[\varepsilon^2 (t^2 + s^2 + v^2)\right]^{\alpha+\beta+\gamma-3} \times \\
\times \mathrm{H}_A^{(3,1)}\left[\begin{array}{c}
7/2-\alpha-\beta-\gamma, 1-\alpha, 1-\beta, 1-\gamma; \\
2-2\alpha, 2-2\beta, 2-2\gamma;
\end{array} \right. \\
\left. -\frac{4x(x+\varepsilon t)}{\varepsilon^2 (t^2+s^2+v^2)}, -\frac{4y(y+\varepsilon s)}{\varepsilon^2 (t^2+s^2+v^2)}, -\frac{4z(z+\varepsilon v)}{\varepsilon^2 (t^2+s^2+v^2)}\right].
\end{multline*}\]

Переходя к пределу при $\varepsilon \to 0$ и используя теорему 2 о предельных значениях конфлюэнтной гипергеометрической функции (см. формулу (10)), получим
\[
\lim_{\varepsilon \to 0} \tilde{q}_3 = \frac{1}{4\pi} < \infty.
\]
Лемма 2 доказана. $\square$

Следовательно, функции, определенные равенствами (17)–(24), являются фундаментальными решениями трехмерного сингулярного уравнения Гельмгольца (15).

4. Постановка задачи Дирихле и теорема единственности

Задача Дирихле. Найти регулярное решение $u(x,y,z)$ сингулярного уравнения Гельмгольца (15) из класса функций $C(\overline{\Omega}) \cap C^2(\Omega)$, удовлетворяющее условиям
\[\begin{equation}
u(x,y,0) = \tau_1(x,y), \quad 0 \leqslant x, y < \infty,
\tag{27}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
u(x,0,z) = \tau_2(x,z), \quad 0 \leqslant x, z < \infty,
\tag{28}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
u(0,y,z) = \tau_3(y,z), \quad 0 \leqslant y, z < \infty,
\tag{29}
\end{equation}\]
и условию исчезновения на бесконечности
\[\begin{equation} 
\lim_{R \to \infty} u(x,y,z) = 0, \quad R = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2},
\tag{30}
\end{equation}\]
где $\tau_{1}(t,s)$, $\tau_{2}(t,s)$, $\tau_{3}(t,s)$ — заданные функции вида
\[\begin{equation}
\tau_1(x,y) = \frac{\tilde{\tau}_1(x,y)}{(1 + x^2 + y^2)^{\varepsilon_1} e^{|\lambda|\sqrt{R^2 + x^2 + y^2}}}, \quad \tilde{\tau}_1(x,y) \in C( 0 \leqslant x, y < \infty),
\tag{31}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
\tau_2(x,z) = \frac{\tilde{\tau}_2(x,z)}{(1 + x^2 + z^2)^{\varepsilon_2} e^{|\lambda|\sqrt{R^2 + x^2 + z^2}}}, \quad \tilde{\tau}_2(x,z) \in C( 0 \leqslant x, z < \infty),
\tag{32}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
\tau_3(y,z) = \frac{\tilde{\tau}_3(y,z)}{(1 + y^2 + z^2)^{\varepsilon_3} e^{|\lambda|\sqrt{R^2 + y^2 + z^2}}}, \quad \tilde{\tau}_3(y,z) \in C( 0 \leqslant y, z < \infty),
\tag{33}
\end{equation}\]
причем $\frac{3 - \alpha - \beta - \gamma}{2} < \varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3 < 2$.

Кроме того, функции $\tau_1(x,y)$, $\tau_2(x,z)$ и $\tau_3(y,z)$ удовлетворяют условиям согласования в начале координат:
\[
\tau_1(0, 0) = \tau_2(0, 0) = \tau_3(0, 0)
\]
и на границах области $\Omega$:
\[
\tau_1(x,0) = \tau_2(x,0), \quad \tau_1(0,y) = \tau_3(y,0), \quad \tau_2(0,z) = \tau_3(0,z), \quad x, y, z \in \overline{\Omega}.
\]

Здесь $\overline{\Omega}$ обозначает замыкание области $\Omega$:
\[
\overline{\Omega} = \{(x,y,z): x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0\}.
\]

Теорема 3. Задача Дирихле для сингулярного уравнения Гельмгольца (3) в бесконечной области $\Omega$ может иметь не более одного решения.

Доказательство. Достаточно показать, что соответствующая однородная задача имеет только тривиальное решение. Рассмотрим конечную подобласть $\Omega_R \subset \Omega$, ограниченную координатными плоскостями $x=0$, $y=0$, $z=0$ и октантом сферы радиуса $R$:
\[
\sigma_R := \{(x,y,z): x^2 + y^2 + z^2 = R^2, x > 0, y > 0, z > 0\}.
\]

В случае однородных граничных условий
\[
\tau_1(x,y) = 0, \quad \tau_2(x,z) = 0, \quad \tau_3(y,z) = 0,
\]
согласно принципу экстремума для эллиптических уравнений [32, гл. 1], функция $u(x,y,z)$ достигает своих экстремальных значений в $\overline{\Omega}_R$ только на $\sigma_R$.

Для произвольной точки $(x,y,z) \in \Omega_R$ и любого $\varepsilon > 0$ выберем $R$ достаточно большим, чтобы $|u(x,y,z)| < \varepsilon$ на $\sigma_R$. Тогда в силу принципа максимума $|u(x,y,z)| < \varepsilon$ во всей области $\Omega_R$. Поскольку $\varepsilon$ произвольно мало, заключаем, что $u(x,y,z) \equiv 0$ в $\overline{\Omega}$. Теорема 3 доказана. $\square$

5. Существование решения задачи Дирихле

Пусть $(\xi, \eta, \zeta) \in \Omega_R$. Вырежем из области $\Omega_R$ шар  достаточно малого радиуса $\varepsilon$  с центром в точке $(\xi, \eta, \zeta)$ и оставшуюся часть области $\Omega_R$  обозначим через $\Omega_\varepsilon$,  а через $C_\varepsilon$ — сферу вырезанного шара.  Используя известную формулу Грина, получим 
\[\begin{multline}
\int _{C_\varepsilon}\Bigl(u\frac{\partial q_3}{\partial {\boldsymbol{N}}}-q_3\frac{\partial u}{\partial {\boldsymbol{N}}}\Bigr)dC_\varepsilon =
- \int_{\sigma_R}u\frac{\partial q_3}{\partial {\boldsymbol{M}}}d\sigma_R
+\int_{D_1} u(x,y,0)  \frac{\partial q_3}{\partial z}\Bigr|_{z=0}dxdy +{}
\\
{} +\int_{D_2} u(x,0, z) \frac{\partial q_3}{\partial y}\Bigr|_{y=0}dxdz+ 
\int_{D_3} u(0,y,z)  \frac{\partial q_3}{\partial x}\Bigr|_{x=0}dydz, 
\tag{34}
\end{multline}\]
где $u(x,y,z)$ — искомое решение уравнения (15); $q_3(x,y,z; \xi, \eta, \zeta)$ — фундаментальное решение уравнения (15), определенное в (24); ${\boldsymbol{N}}$ и  ${\boldsymbol{M}}$ — внешние нормали к $C_\varepsilon$ и $\sigma_R$ соответственно; $D_1$, $D_2$ и $D_3$ — боковые грани области $\Omega_R$: 
\[\begin{align*}
D_1 &:= \{(x,y,z): x^2+y^2<R^2, x>0, y>0, z=0 \},
\\
D_2 &:= \{(x,y,z): x^2+z^2<R^2, x>0, y=0, z>0 \},
\\
D_3 &:= \{(x,y,z): y^2+z^2<R^2, x=0, y>0, z>0 \}.
\end{align*}\]

Следуя работе [18], будем иметь  
\[
\lim \limits_{ \varepsilon \to 0} \int _{C_\varepsilon}
\Bigl(u\frac{\partial q_3}{\partial {\boldsymbol{N}}}-q_3\frac{\partial u}{\partial {\boldsymbol{N}}}\Bigr) dC_\varepsilon = u(\xi, \eta, \zeta).
\]
Далее, переходя к пределу в правой части (34) при $R \to \infty$ и учитывая при этом условия задачи Дирихле, после некоторых преобразований получим 
\[\begin{equation} 
u ( x,y,z )=u_1 ( x,y,z )+ u_2 ( x,y,z  )+ u_3 ( x,y,z ),
\tag{35}
\end{equation}\]
где 
\[\begin{align}
u_1( x,y,z ) &= (1-2\gamma ) k_3x^{1-2\alpha}y^{1-2\beta}z^{1-2\gamma}
\int_{0}^{\infty }\int_{0}^{\infty }\frac{{{{{\tau }_1 }(t, s){t}{s}}}}{r_1 ^{2a}}\times 
\\
&\hspace{1cm}\times \textrm{A}_2  \left[{\begin{array}{*{20}c}
 {a, \,1-\alpha,  1-\beta;} \hfill \\
 { 2-2\alpha,\, 2-2\beta;}
\end{array}} -\frac{4xt}{r_1 ^2},-\frac{4ys}{r_1 ^2},-\frac{1}{4}\lambda^2 r_1 ^2\right]dtds ,
\tag{36}
\end{align}\]
\[\begin{align}
u_2( x,y,z ) &= (1-2\beta ) k_3x^{1-2\alpha}y^{1-2\beta}z^{1-2\gamma}\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\frac{{{{{\tau }_2 } ( t, s ){t}{s}}}}{r_2 ^{2a}}\times 
\\
&\hspace{1cm}
\times \textrm{A}_2 \left[{\begin{array}{*{20}c}
 {a, \,1-\alpha,  1-\gamma;} \hfill \\
 { 2-2\alpha,\, 2-\gamma;}
\end{array}} -\frac{4xt}{r_2 ^2},-\frac{4zs}{r_2 ^2},-\frac{1}{4}\lambda^2 r_2 ^2\right]dtds,
\tag{37}
\end{align}\]
\[\begin{align}
u_3 ( x,y,z ) &= (1-2\alpha )k_3x^{1-2\alpha}y^{1-2\beta}z^{1-2\gamma}\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\frac{{{{{\tau }_3 } ( t,s){t}{s}}}}{r_3 ^{2a}}\times
\\
 &\hspace{1cm}
\times \textrm{A}_2 \left[{\begin{array}{*{20}c}
 {a, \,1-\gamma,  1-\beta;} \hfill \\
 {2-2\gamma,\, 2-2\beta;}
\end{array}} -\frac{4yt}{r_3 ^2},-\frac{4zs}{r_3 ^2},-\frac{1}{4}\lambda^2 r_3 ^2\right]dtds,
\tag{38}
\end{align}\]
\[\begin{align}
a &= 7/2 -\alpha-\beta-\gamma, \quad \quad \quad  \quad\, r_1^2 = ( x-t )^2 + ( y-s )^2 + z^2 ,
\\
r_2^2 &= ( x-t )^2 + y^2 + (z-s )^2 , \quad r_3^2 =   x^2 + ( y-t )^2 + (z-s)^2 .
\end{align}\]

Лемма 3. Если функцию $\tau_1(x,y)$ можно представить в виде (31), то функция $u_1(x,y,z)$, определенная равенством (36), является регулярным решением уравнения (15) в области $\Omega,$ удовлетворяющим граничным условиям
\[\begin{equation} 
u_1(x,y,0)=\tau_1(x,y),\quad u_1(x,0,z)=0,\quad u_1(0,y,z) =0,
\tag{39}
\end{equation}\]
и условию исчезновения  на бесконечности (30).

Доказательство. Прежде всего мы должны убедиться в том, что функция (36) удовлетворяет сингулярному уравнению Гельмгольца (15). 

С этой целью рассмотрим вспомогательную  функцию
\[\begin{equation}
W ( x,y,z; t,s  )  =x^{1-2\alpha}y^{1-2\beta}z^{1-2\gamma}r_1^{-2a}\omega(\xi, \eta, \theta),
\tag{40}
\end{equation}\]
где
\[
\omega(\xi, \eta, \theta): 
= \textrm{A}_2 \left[ {\begin{array}{*{20}c}
 {a, 1-\alpha,  1-\beta, 1-\gamma;} \hfill \\
 { 2-2\alpha,\, 2-2\beta, \,\, 2-2\gamma;}
\end{array}} \xi, \eta, \theta \right],
\]
\[ 
\xi =-\frac{4xt}{r_1^2},\quad 
\eta =-\frac{4ys}{r_1^2},\quad  
\theta =-\frac{\lambda  ^2 }{4}r_1^2. 
\]

Вычислим необходимые производные от вспомогательной функции $W$ по переменным $x$, $y$, $z $ и подставим их в сингулярное уравнение Гельмгольца. В результате получим соотношение
\[\begin{multline*}
{W}_{xx}+{W}_{yy}+{W}_{zz}+\frac{2\alpha }{x}{W}_{x}+ \frac{2\beta }{y}{W}_{y}+\frac{2\gamma }{z}{{W}_{z}}-\lambda ^2 W= {}
\\
{}
=\Lambda\frac{\xi}{x}\bigl\{\xi(1-\xi)\omega_{\xi\xi}-\xi\eta \omega_{\xi \eta}+\xi\theta \omega_{\xi \theta}+
{} \hspace{4cm}
\\
\hspace{4cm} 
{}+ 
[2(1-\alpha)- (2-\alpha +a )\xi ]\omega_\xi-a(1-\alpha)\omega\bigr\} +{}
\\
{}+\Lambda\frac{\eta}{y}
\bigl\{\eta(1-\eta)\omega_{\eta \eta}-\xi\eta \omega_{\xi \eta}+\eta\theta \omega_{\eta \theta}+ {}
\hspace{4cm}
\\
\hspace{4cm}
{}+ [2(1-\beta)-(2-\beta+a)\eta ]\omega_\eta-a(1-\beta)\omega\bigr\} +{}
\\
{}+\theta\bigl\{\theta \omega_{\theta\theta}- \xi \omega_{\xi \theta}-\eta \omega_{\eta \theta} + (1-a) \omega_\theta-\omega\bigr\}=0, 
\end{multline*}\]
где $\Lambda =x^{1-2\alpha}y^{1-2\beta}z^{1-2\gamma}r_1^{-2a}$, которое равносильно  следующей системе уравнений гипергеометрического типа:
\[
\left\{
\begin{aligned}
&\xi(1-\xi)\omega_{\xi\xi}-\xi\eta \omega_{\xi \eta}+\xi\theta \omega_{\xi \theta}+ [2(1-\alpha)-(2-\alpha+a)\xi ]\omega_\xi-a(1-\alpha)\omega=0,\\&
\eta(1-\eta)\omega_{\eta \eta}-\xi\eta \omega_{\xi \eta}+\eta\theta \omega_{\eta \theta}+ [2(1-\beta)-(2-\beta+a)\eta ] \omega_\eta-a(1-\beta)\omega=0,\\&
\theta \omega_{\theta\theta}- \xi \omega_{\xi \theta}-\eta \omega_{\eta \theta} + (1-a) \omega_\theta-\omega=0.
\end{aligned}
\right.
\]

Сопоставляя последнюю систему уравнений с системой уравнений (14) для конфлюэнтной функции $\textrm{A}_2 $, можно заключить, что функция (40) является решением сингулярного уравнения Гельмгольца. Следовательно, функция $u_1(x, y, z)$, определенная равенством (36),  удовлетворяет сингулярному  уравнению Гельмгольца (15).

Теперь докажем, что функция  $u_1(x,y,z)$ удовлетворяет граничным  условиям (39). Действительно, введя в подынтегральной функции в (36) вместо  $t$ и $s$ новые переменные $\mu=(t-x)/z$  и $\nu=(s-y)/z$, получим
\[\begin{multline} 
u_1=(1-2\gamma){k}_3\frac{x^{1-2\alpha}y^{1-2\beta}}{z^{4-2\alpha-2\beta}}
\int _{-{x}/{z}}^{\infty }\int _{-{y}/{z}}^{\infty }\frac{{{{{\tau }_1 }\left( x+\mu z, y+\nu z;\lambda \right){(x+z\mu)}{(y+z\nu)}}}}{K^{a}}\times{}
\\
{}
\times \textrm{A}_2 \left[{\begin{array}{*{20}c}
 {a, \,1-\alpha,  1-\beta;} \hfill \\
 { 2-2\alpha,\, 2-2\beta;}
\end{array}} \frac{4x(x+z\mu)}{z^2 K}, \frac{4y(y+\nu z)}{z^2 K},  -\frac{1}{4}\lambda^2 z^2 K \right]d\mu d\nu,
\tag{41}
\end{multline}\]
где $ K:= 1+{\mu}^2 +{\nu}^2  $.

Используя теорему 2 о предельных значениях конфлюэнтной гипергеометрической функции (см. формулу (10)), в правой части (41) переходим к пределу при $z \to 0$. Учитывая  выражение (26) для коэффициента $k_3$, известную формулу для вычисления двукратного несобственного интеграла [33, стр. 633, фор. 4.623]
\[\begin{equation}  
\int _{0}^{\infty }\int _{0 }^{\infty }\varphi (a^2x^2+b^2y^2 )dxdy =\frac{\pi }{4ab}\int _0^\infty\varphi(x)dx
\end{equation}\]
 и формулу Лежандра для удвоения аргумента гамма-функции [31, стр. 19, фор. (15)]
 \[\begin{equation} 
{\Gamma(2z)}=\frac{2^{2z-1} }{\sqrt{\pi } } {\Gamma(z)}\Gamma\Bigl(z+\frac{1}{2}\Bigr),
\end{equation}\]
получим
\[\begin{equation}
\lim _{z\to 0} u_1  ( x,y,z )= \tau _1  ( x, y ).
\tag{42}
\end{equation}\]
Совершив аналогичные преобразования, имеем
\[\begin{equation}
\lim _ {x\to 0} u_1  ( x,y,z )=0, \quad 
\lim _ {y\to 0} u_1 (x,y,z)=0.
\tag{43}
\end{equation}\]
Следовательно, на основании равенств (42) и (43) заключаем, что функция  $u_1(x,y,z)$, определенная равенством (36), удовлетворяет условиям (39).

Остается показать исчезновение  функции  $u_1(x,y,z)$ на бесконечности. Воспользовавшись формулой преобразования (см. фор. (9))
\[\begin{multline} 
\textrm{A}_2 \left[ {\begin{array}{*{20}c}
 {a, b_1,b_2;} \hfill \\
 {\,\,\,\,\,\,c_1, c_2;}
\end{array}} x,y,z \right]
={(1-x-y)^{-a}}\times {}
\\
{}
\times \textrm{A}_2 \left[ {\begin{array}{*{20}c}
 {a, c_1-b_1, c_2-b_2;} \hfill \\
 {\,\,\,\,\,\,c_1, c_2;}
\end{array}} -\frac{x}{1-x-y},-\frac{y}{1-x-y}, (1-x-y)z\right],
\end{multline}\]
функцию (36) запишем в виде
\[\begin{multline} 
u_1(x,y,z)= (1/2-\gamma )k_3x^{1-2\alpha}y^{1-2\beta}z^{1-2\gamma}\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\frac{{{{{\tau }_1 } ( t, s ){t}{s}}}}{\rho^{2a}}\times {}
\\
{}
\times
\textrm{A}_2 \left[ {\begin{array}{*{20}c}
 {a, \,1-\alpha,  1-\beta;} \hfill \\
 {2-2\alpha,\, 2-2\beta;}
\end{array}} \frac{4xt}{\rho^2}, \frac{4ys}{\rho^2},-\frac{1}{4}\lambda^2 {\rho^2} \right]d{t}d{s},
\tag{44}
\end{multline}\]
где $\rho^2=(x+t)^2+(y+s)^2+z^2$.

Нетрудно заметить, что в (44) справедливо неравенство
\[
 \frac{4xt}{\rho^2}+ \frac{4ys}{\rho^2}<1, \quad  x>0, \quad  y>0, \quad  z>0, \quad  t>0, \quad  s>0.
\]

Докажем,  что при стремлении точки $(x,y,z)$ к бесконечности, т.е. при $R \to \infty$, функция (44) стремится к нулю.  С этой целью  конфлюэнтную гипергеометрическую функцию $\textrm{A}_2 $ представим виде
\[\begin{equation}
\textrm{A}_2 \left[ {\begin{array}{*{20}c}
 {a, b_1,b_2;} \hfill \\
 { c_1, c_2;}
\end{array}} x,y,z \right]
=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k z^k}{(1-a)_k k!}F_2  (a-k, b_1, b_2; c_1, c_2; x,y ),
\end{equation}\]
где $F_2$  —  гипергеометрическая функция Аппеля (6).

Из теории функций Аппеля [24] известно, что если $|x|+|y|<1$, то при любых значениях числовых параметров гипергеометрическая функция Аппеля $F_2$  ограничена:
\[
|F_2  (a, b_1, b_2; c_1, c_2; x,y )|\leqslant C_1, \quad |x|+|y|<1,
\]
следовательно, имеем оценку 
\[\begin{equation}  
|u_1|\leqslant C_2 x^{1-2\alpha}y^{1-2\beta}z^{1-2\gamma}
\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }
\frac{|\tau _1  (t,s )|ts}{\rho^{7-2\alpha-2\beta-2\gamma}} {}_{0}{F_1 }\Bigl(b;\frac{\lambda^2}{4}\rho^2 \Bigr)dtds, 
\tag{45}
\end{equation}\]
где $ b= \alpha+\beta+\gamma-{5}/{2}$.

Здесь под интегралом  ${}_{0}{{F}_1 }$ обозначает  обобщенную гипергеометрическую функцию [34, стр. 437, фор. 7.2.3(1)], для которой справедлива следующая формула связи [34, стр. 594, фор. 7.13.1(1)]:
\[\begin{equation}  
{}_0F_1(b;z)=\Gamma(b)z^{(1-b)/2}I_{b-1} (2\sqrt{z} ),
\tag{46}
\end{equation}\]
где
\[
I_{\alpha}\left(z\right)=\sum\limits_{m=0}^{\infty}\frac{1}{m!\Gamma (m+\alpha+1 )}\Bigl(\frac{z}{2}\Bigr)^{2m+\alpha}
\]
— модифицированная функция Бесселя [15, гл. 1, фор. (1.84)]. Далее, применяя последовательно к правой части (45) формулу связи (46), асимптотическое представление [35, стр. 93]
\[\begin{equation}
I_\alpha(z) \sim \frac{1}{\sqrt{2\pi z}}e^z, \quad -\frac{\pi}{2} < \arg z < \frac{3 \pi}{2}
\end{equation}\]
и представление (31) для заданной функции ${\tau }_1 $, получим
\[\begin{equation*}
| u_1  |\leqslant C_3  {{x}^{1-2\alpha }}{{y}^{1-2\beta }}{{z}^{1-2\gamma }}
\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }
\frac{e^{|\lambda|{\rho}}tsdtds}{e^{|\lambda|\sqrt{R^2+t^2+s^2}}{\left( 1+{{t}^2 }+{{s}^2 } \right)}^{\varepsilon _1 }\rho^{4-\alpha-\beta-\gamma}}.
\end{equation*}\]
Выполнив замену  $t=R\mu$, $s=R\nu$ в последнем  двойном несобственном  интеграле, получим
\[\begin{equation}
\tag{47}
|u_1 |\leqslant C_3\Bigl(\frac{x}{R} \Bigr)^{1-2\alpha}\Bigl(\frac{y}{R} \Bigr)^{1-2\beta} 
\Bigl(\frac{z}{R} \Bigr)^{1-2\gamma}\frac{K (x, y )}{R^{2\varepsilon_1-3+\alpha+\beta+\gamma}}, 
\end{equation}\]
где
\[
\varepsilon_1>\frac{3}{2}-\frac{\alpha+\beta+\gamma}{2},
\]
\[\begin{equation}\tag{48}
 K(x, y )=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\frac{e^{|\lambda|{R}\bigl(\sqrt{1+\mu^2+\nu^2+\frac{2x}{R}+\frac{2y}{R}}-\sqrt{1+\mu^2+\nu^2}\bigr)}\mu\nu d\mu d\nu}{ (\mu^2+\nu^2 )^{\varepsilon _1 } ( 1+\mu^2+\nu^2 )^{(4-\alpha-\beta-\gamma)/2}}.
 \end{equation}\]

Покажем, что  двойной несобственный интеграл в правой части (48) ограничен при  $R\to\infty$. Действительно, используя формулу [36]
\[\begin{multline*}
\underbrace { \int _{0}^{ + \infty}  \cdots \int _{0}^{ + \infty } } _{n}
\frac{x_1 ^{p_1  - 1} \cdots x_n^{p_n - 1} dx_1 \cdots dx_n} 
{ 
[ ( r_1  x_1 )^{q_1 }  + \cdots + ( r_n x_n)^{q_n}  ]^t 
[ 1 + ( r_1  x_1 )^{q_1 }  + \cdots + ( r_n x_n )^{q_n} ]^s}= {}
\\
{} = \frac{\Gamma (p_1/q_1) \cdots \Gamma (p_n/q_n) \Gamma (P- t)\Gamma (s + t - P)}
{q_1  q_2  \cdots q_{n} r_1 ^{p_1  q_1 }  \cdots r_n^{p_n q_n} \Gamma (P)\Gamma (s)},  
\end{multline*}\]
где $P:= p_1 /q_1   + \cdots + p_n / q_n$;  $p_k $, $q_k $, $r_k $ и $s$ — положительные числа  ($k=\overline{1,n}$), $0 < P - t < s$, и переходя к пределу при $R\to\infty$, будем иметь  соотношение
\[\begin{equation} \tag{49}
\lim_{R\to \infty } K ( x, y )=
\dfrac{\Gamma (2-\varepsilon_1 ) \Gamma \bigl( ( 2 \varepsilon _1 -\alpha-\beta-\gamma)/2\bigr)} 
{4\Gamma  \bigl( (  4-\alpha -\beta -\gamma )/2 \bigr)}, \quad \varepsilon_1<2.
\end{equation}\]

Таким образом, в силу (47) и (49) справедлива оценка
\[\begin{equation*} 
| u_1| \leqslant \frac{C_3}{R^{2\varepsilon_1-3+\alpha+\beta+\gamma}}, \quad 
\frac{3}{2}-\frac{\alpha+\beta+\gamma}{2}<\varepsilon_1<2,\quad R\to\infty,
\end{equation*}\]
учитывая которую, заключаем, что функция (41) обращается в нуль на бесконечности. Лемма 3 доказана. $\square$

Замечание 1. Повторяя рассуждения, проведенные в лемме 3, можно доказать еще две леммы относительно функций $u_2(x,y,z)$ и $u_3(x,y,z)$,  определенных, соответственно,  равенствами (37) и (38). Так что если для заданных функций $\tau_2(x,z)$ и $\tau_3(y,z)$  справедливы представления (32) и (33), то каждая из функций $u_2(x,y,z)$ и $u_3(x,y,z)$ является решением сингулярного уравнения Гельмгольца (3), изчезающим на бесконечности и удовлетворяющим совокупности  условий
\[
u_2(x,y,0)=0, \quad  u_2(x,0,z)=\tau_2(x,z),\quad u_2(0,y,z) =0,
\]
\[
u_3(x,y,0)=0, \quad  u_3(x,0,z)=0,\quad  u_3(0,y,z)=\tau_3(y,z)
\]
соответственно.

Теорема 4. Если функции $\tau_1(x,y),$ $\tau_2(x,z)$ и $\tau_3(y,z)$ удовлетворяют условиям (31), (32) и (33) соответственно, то функция $u(x,y,z),$ определенная в (35), является регулярным решением уравнения (15) в области $\Omega,$ удовлетворяющим условиям (27)–(30).

Доказательство теоремы 4 следует из леммы 3 и замечания 1.

Заключение

Установлены новые  свойства  конфлюэнтных гипергеометрических функций многих переменных и доказана теорема о значениях гипергеометрической функции при предельных значениях переменных, имеющая важное приложение при решении краевых задач для эллиптических уравнений с сингулярными коэффициентами. 

На основе известных линейно независимых решений трехмерного сингулярного уравнения Гельмгольца построены фундаментальные решения данного уравнения, выражаемые через конфлюэнтную функцию от четырех переменных и с использованием доказанной  предельной теоремы определен порядок особенности этих решений. 

Впервые  решена задача Дирихле для трехмерного уравнения Гельмгольца с тремя сингулярными коэффициентами в бесконечной области. Единственность решения задачи доказана известным методом принципа экстремума для эллиптических уравнений. Благодаря доказанным свойствам конфлюэнтных гипергеометрических функций многих переменных решение поставленной задачи удалось выписать в явном виде через конфлюэнтную функцию от трех переменных. В дальнейшем  полученное решение задачи Дирихле может быть использовано при решении краевых задач для трехмерных сингулярных уравнений смешанного типа в качестве решения, принесенного из эллиптической части смешанной области. 

Результаты настоящей работы открывают путь к исследованию краевых задач для сингулярных эллиптических уравнений. Используя построенные фундаментальные решения, можно поставить и решить задачу Неймана и еще несколько задач со смешанными условиями Дирихле и Неймана для трехмерного уравнения Гельмгольца с тремя сингулярными коэффициентами в первом октанте или в других областях. 

В настоящее время известны [29] все линейно независимые решения обобщенного многомерного сингулярного уравнения Гельмгольца вида 
\[\begin{equation} 
\tag{50}
\sum\limits_{k=1}^m\frac{\partial^2 u}{\partial x_k^2}+\sum\limits_{k=1}^n\frac{2\alpha_k}{x_k}\frac{\partial u}{\partial x_k}-\lambda^2u=0, \quad m\geqslant 2,   n\geqslant 1,   m\geqslant n,   0<2\alpha_k<1,
\end{equation}\]
которые выражаются через конфлюэнтную функцию ${\rm{H}}^{(n,1)}_A$ от $n+1$ переменных. Предлагается распространить результаты данной работы к многомерному уравнению Гельмгольца с $n$ сингулярными коэффициентами (50). 

Поэтому полученные в работе результаты можно рассматривать как начальный этап исследования конфлюэнтных гипергеометрических функций многих переменных и  решения краевых задач для уравнения Гельмгольца с тремя и более сингулярными коэффициентами. 

Конкурирующие интересы. Заявляем, что в отношении авторства и публикации этой статьи конфликта интересов не имеем.
Авторский вклад и ответственность. Все авторы принимали участие в разработке концепции статьи и в написании рукописи. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами.
Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.

About the authors

Zafarjon O. Arzikulov

Fergana State Technical University

Email: zafarbekarzikulov1984@gmail.com
ORCID iD: 0009-0004-2965-4566
https://www.mathnet.ru/rus/person214007

PhD; Senior Lecturer; Dept. of Higher Mathematics

Uzbekistan, 150107, Fergana, Fergana st., 86

Anvardjan Hasanov

V. I. Romanovskiy Institute of Mathematics, Uzbekistan Academy of Science; Ghent University

Email: anvarhasanov@yahoo.com
ORCID iD: 0000-0002-9849-4103
https://www.mathnet.ru/eng/person41932

Dr. Phys. & Math. Sci., Professor; Chief Research Fellow, Dept. of Differential Equations and Their Applications; Research Associate, Dept. of Mathematics, Analysis, Logic and Discrete Mathematics

Uzbekistan, 100174, Tashkent, Universitetskaya st., 9; Belgium, 9000, Ghent, Sint-Pietersnieuwstraat, 33

Tuhtasin G. Ergashev

V. I. Romanovskiy Institute of Mathematics, Uzbekistan Academy of Science; Tashkent Institute of Irrigation and Agricultural Mechanization Engineers; Ghent University

Author for correspondence.
Email: ergashev.tukhtasin@gmail.com
ORCID iD: 0000-0003-3542-8309
ResearcherId: ABG-9381-2020
https://www.mathnet.ru/rus/person37309

Dr. Phys. & Math. Sci., Professor; Research Associate, Dept. of Differential Equations and Their Applications; Professor, Dept. of Higher Mathematics; Research Associate, Dept. of Mathematics, Analysis, Logic and Discrete Mathematics

Uzbekistan, 100174, Tashkent, Universitetskaya st., 9; 100000, Tashkent, Kari-Niyazi st., 39; Belgium, 9000, Ghent, Sint-Pietersnieuwstraat, 33

References

Supplementary files