The non-uniaxial creep under complex loading

Full Text

Введение

Практически все публикации, посвященные построению определяющих уравнений ползучести и длительной прочности металлических материалов, не учитывают обратимую компоненту деформации ползучести при полной разгрузке. Однако для многих материалов обратимая деформация является существенной и ее необходимо учитывать при решении соответствующих краевых задач [1, 2]. Поэтому необходима разработка реологических моделей с учетом частичной обратимости деформации ползучести после разгрузки. Одна из первых моделей такого типа в пределах первых двух стадий ползучести была предложена Ю. П. Самариным [1] и далее обобщена на случай третьей стадии ползучести в работах [2–4] и многих других. Отдельно эта проблема стоит в условиях сложного напряженного состояния применительно к условиям исходной анизотропии характеристик деформации ползучести и приобретенной деформационной анизотропии в процессе нагружения. Поэтому целью настоящей работы является построение моделей ползучести в пределах первых двух стадий для сталей ЗХВ4СФ и ЭИ437Б в условиях одноосного и сложного напряженных состояний, которые учитывают обратимость деформации ползучести при полной разгрузке образцов.

1. Определяющие соотношения для тел исходно изотропных

Простейшие феноменологические теории полагают, что материал исходно изотропен, интенсивность деформирования определяется критерием Мизеса. Упрочнение или разупрочнение изотропно, а тензоры скоростей деформации и напряжения соосны и их девиаторы подобны [5, 6]. В дальнейшем используется декартова система координат. Вводятся понятия интенсивности скоростей деформации ползучести
\[\begin{equation*}
\dot p_{\text{э}}  =\frac{\sqrt 2}{3}
\sqrt{ ( \dot p_x- \dot p_y )^{2}+ (  \dot p_y - \dot p_z )^{2}+
 ( \dot p_z - \dot p_x )^{2}+\frac{3}{2} (\dot{\gamma}^{2}_{xy}+ \dot{\gamma} ^{2}_{yz}+ \dot{\gamma} ^{2}_{zx} )}
\end{equation*}\]
и интенсивности напряжений
\[\begin{equation*}
\sigma_{\text{э}}=\frac{1}{\sqrt 2 }
\sqrt{ ( \sigma _{x}- \sigma _{y} )^{2}+  ( \sigma _{y}- \sigma _{z} )^{2}+
 ( \sigma _{z}- \sigma _{x} )^{2}+6 (\tau ^{2}_{xy}+ \tau ^{2}_{yz}+\tau ^{2}_{zx}   )},
\end{equation*}\]
где используются стандартные обозначения нормальных и диагональных компонент тензоров напряжений и деформаций.

Принимается гипотеза, что в стандартной индексной записи $\dot p_{\text{э}}$ c точностью до множителя совпадает со вторым инвариантом тензора скоростей деформации и является функцией только интенсивности напряжений $\sigma_{\text{э}}$, температуры и параметров, отображающих историю процесса деформирования. В предположении, что материал несжимаем, используется соотношение в индексной форме записи
\[\begin{equation}
\tag{1}
\dot{p_{ij}}=
\frac{3}{2}\frac{\dot p_{\text{э}}}{\sigma_{\text{э}}}\bar{\sigma }_{ij}=
\frac{3}{2}\frac{dA}{\sigma ^{2}_{\text{э}}}\sigma _{ij},
\end{equation}\]
где $\dot p_{ij}$ — тензор скоростей деформации; $\bar{\sigma }_{ij}$ — девиатор напряжений; $dA =\dot p_{ij} \sigma _{ij}$ — мощность рассеяния (смешанный инвариант тензоров скоростей деформации и напряжений). Подобный подход именуется техническими теориями ползучести (старения, течения, упрочнения и др.) [5–7].

Экспериментальные данные по ползучести металлов для сложного напряженного состояния и сложных путей нагружения отличаются от прогноза по (1) (см., например, [6, 8–11]). В то же время простота выражения (1) совместно с теорией неполной обратимости деформации ползучести [1] позволяет улучшить прогноз кинетики деформирования. Основные гипотезы модели неполной обратимости деформации ползучести [1, 3, 4, 8, 12]:

1.  тензор деформации ползучести $p_{ij}$ является аддитивной составляющей трех независимых тензоров: 
   \[\begin{equation*}
   p_{ij} =w_{ij}+v_{ij}+u_{ij},
   \end{equation*}\]
   где $w_{ij}$, $v_{ij}$ $u_{ij}$ — вязкопластическая, вязкая и вязкоупругая составляющие тензора ползучести соответственно;
2. тензор скоростей вязкой составляющей определяется текущим значением тензора напряжения
   \[\begin{equation*}
   \dot{w}_{ij}(t)=\varphi_{ij}(\sigma_{\alpha\beta}(t));
   \end{equation*}\]
3. вязкоупругая составляющая описывается нелинейным уравнением наследственности:
   \[\begin{equation}
   \tag{2}
   u_{ij}(t)=\int_{0}^{t}{h(t-\tau)d\psi_{ij}(\sigma_{\alpha\beta}(\tau))},
   \end{equation}\]
   где функция влияния $h(t)$ [5–7, 12] принята в экспоненциальном виде:
   \[\begin{equation}
   \tag{3}
   h(t)=\sum_{k=1}^{n}{a_{k}(1-e^{-\lambda_{k}t})}, \quad a_k>0, \quad \lambda_k>0;
   \end{equation}\]
   для (2) с учетом (3) можно записать следующую эквивалентную дифференциальную зависимость:
   \[
   u_{ij}(t)=\sum_{k=1}^{n}{u_{ij}^k(t)}, \quad 
   \dot{u}_{ij}^k(t)=\lambda _{k}[a_k\psi_{ij}(\sigma_{\alpha\beta}(t))-u_{ij}^k(t)],
   \]
   где $u_{ij}^k(0)=0$; 
4. тензор вязкопластической составляющей деформации ползучести при знакопостоянных напряжениях подчиняется принципу суперпозиции с запретом отрицательных скоростей:
   \[\begin{gather}
   v_{ij}(t)=\sum_{k=1}^{n} v_{ij}^k(t),
   \\
   \dot{v}_{ij}^k(t)=\begin{cases}
   \nu_k[b_k\Phi_{ij}(\sigma_{\alpha\beta}(t)-v_{ij}^k(t))], &  
   [b_k\Phi_{ij}(\sigma_{\alpha\beta}(t)-v_{ij}^k(t))]\geq 0,  
   \\ 
   \hspace{2cm} 0, & [b_k\Phi_{ij}(\sigma_{\alpha\beta}(t)-v_{ij}^k(t))]<0;
   \end{cases}
   \end{gather}\]
   для $v_{ij}(t)$ также можно записать аналогичные (2) и (3) уравнения с функцией влияния
   \[
   q(t)=\sum_{k=1}^{n}{b_{k}(1-e^{-\nu_{k}t})}, \quad b_k>0, \quad \nu_k>0,
   \]
   но с запретом на отрицательные скорости деформации ползучести.

Для исходно изотропных материалов  функции напряжений $\varphi_{ij}$, $\psi_{ij}$, $\Phi_{ij}$  соответствуют условию течения Мизеса, т.е. они являются функциями интенсивности напряжений для соответствующей компоненты деформации ползучести: $\varphi_{ij}(\sigma_{\alpha\beta})=\varphi(\sigma_{\text{э}})$, $\psi_{ij}(\sigma_{\alpha\beta})=\psi(\sigma_{\text{э}})$, $\Phi_{ij}(\sigma_{\alpha\beta})=\Phi(\sigma_{\text{э}})$.

Поскольку на первой стадии ползучести для большинства материалов кривые ползучести при различных постоянных напряжениях подобны, полагается, что $q(t)=h(t)$, т.е. $a_k=b_k$, $\lambda_k=\nu_k$. Для функций $\varphi(\sigma_{\text{э}})$, $\psi(\sigma_{\text{э}})$ и $\Phi(\sigma_{\text{э}})$ используются степенные аппроксимации:
\[
\varphi(\sigma_{\text{э}})=C\sigma_{\text{э}}^m, \quad 
\psi(\sigma_{\text{э}})=(1-K)B\sigma_{\text{э}}^n, \quad 
\Phi(\sigma_{\text{э}})=KB\sigma_{\text{э}}^n, \quad 0\le K\le 1,
\]
где $B$, $C$, $m$, $n$, $K$, а также $a_{k}$, $\lambda_{k}$ —  подлежащие определению параметры. Порядок и схема определения этих параметров по результатам испытаний на ползучесть при не менее чем двух уровнях начальных напряжений хорошо известен и приведен в работах [1, 3, 4, 12, 13].

При сложном нагружении, когда главные оси тензора напряжений поворачиваются, математическая модель не учитывает направленность деформационной анизотропии.

В настоящей работе тензор вязкопластической деформации рассматривается в направлении главных осей текущего тензора напряжений, также предполагается их соосность. Накопление деформации в направлении этих осей описывается следующими соотношениями:
\[\begin{gather}
\tag{4}
v_{j}(t)=\sum_{k=1}^{n}{v_j^k(t)}, \quad v_j^k(0)=0;
\\
\dot{v}_j^k(t)=\begin{cases}
\nu_k[b_k\Phi(\sigma_j(t)-v_j^k(t))], &  [b_k\Phi(\sigma_j(t)-v_j^k(t))]\geq 0,  
\\ 
\hspace{2cm} 0, &   [b_k\Phi(\sigma_j(t)-v_j^k(t))]<0, 
\end{cases}
\end{gather}\]
где индекс $j$ соответствует главным осям тензора напряжений.

Модель (4) позволяет объяснить следующие особенности деформирования при сложном характере нагружения тонкостенных трубчатых образцов (растяжение + кручение) [8]:

1. влияние предварительного растяжения на интенсивность последующего кручения;
2. укорочение при чистом кручении предварительно растянутого образца;
3. увеличение скорости осевой деформации при постоянном растяжении и реверсе кручения.

2. Адекватность модели (4) экспериментальным данным

Используя принцип суперпозиции компонент деформации ползучести, функции $\varphi$, $\psi$, $\Phi$ можно вводить независимо от того, является ли материал исходно изотропным или анизотропным. И если они определялись по кривым ползучести при различных видах напряженного состояния, то характер исходной анизотропии учитывается автоматически. 

В настоящей работе проведены исследования на ползучесть тонкостенных трубчатых образцов из инструментальной стали 3ХВ4СФ и жаропрочного сплава ЭИ437Б при действии на них растяжения ($\sigma$) и кручения ($\tau$), при этом, согласно критерию Мизеса, 
\[\begin{equation*}
\sigma _{\text{э}}=\sqrt{\sigma^2+3\tau^2}
\end{equation*}\]
— интенсивность напряжений, а 
\[
p_{\text{э}}=\sqrt{p^2+ {\gamma^2}/{3}}
\]
— интенсивность деформаций ползучести;
$p$ и $\gamma$ — осевая и угловая компоненты деформации.

Образцы из  стали 3ХВ4СФ испытывались при температуре 425$^{\circ}$C (это средняя температура в контейнерах для прессования алюминиевых сплавов), из сплава ЭИ437Б — при температуре 800$^{\circ}$C (эта температура соответствует условиям работы дисков и лопаток газотурбинных двигателей). Нагрузка выбиралась так, чтобы возникающие напряжения были ниже предела текучести. Длительность испытаний ограничивалась получением гарантированного участка установившейся ползучести. Изотропность и однородность образцов обеспечивалась их предварительным отжигом. 

Реологические параметры определялись на основе кривых ползучести, полученных при испытании образцов на одноосное растяжение ($\sigma _{\text{э}}=\sigma$ — напряжение при растяжении, $p _{\text{э}}=p$ — осевая деформация ползучести). 

Осредненные (экспериментальные) кривые ползучести по результатам испытаний 8 образцов представлены на рис. 1 сплошными линиями, а аппроксимирующие функции приведены в табл. 1. Расчетные кривые на рис. 1 изображены  штриховыми линиями. 

 

Рис. 1. Экспериментальные (сплошные линии) и расчетные (штриховые линии) кривые одноосной ползучести образцов из стали 3ХВ4СФ (a) и сплава ЭИ437Б (b) при заданных начальных напряжениях (a: 1 — $\sigma_\text{э}=200$ МПа, 2 — $\sigma_\text{э}=225$ МПа, 3 — $\sigma_\text{э}=250$ МПа, 4 — $\sigma_\text{э}=275$ МПа, 5 — $\sigma_\text{э}=300$ МПа, 6 — $\sigma_\text{э}=325$ МПа; b: 1 — $\sigma_\text{э}=120$ МПа; 2 — $\sigma_\text{э}=160$ МПа; 3 — $\sigma_\text{э}=200$ МПа)
[Figure 1. Experimental (solid lines) and calculated (dashed lines) uniaxial creep curves for samples made of 3KhV4SF steel (a) and EI437B alloy (b) at given initial stresses (a: 1 — $\sigma_{\text{э}}=200$ MPa, 2 — $\sigma_{\text{э}}=225$ MPa, 3 — $\sigma_{\text{э}}=250$ MPa, 4 — $\sigma_{\text{э}}=275$ MPa, 5 — $\sigma_{\text{э}}=300$ MPa, 6 — $\sigma_{\text{э}}=325$ MPa; b: 1 — $\sigma_{\text{э}}=120$ MPa; 2 — $\sigma_{\text{э}}=160$ MPa; 3 — $\sigma_{\text{э}}=200$ MPa). In all experiments, samples from 3KhV4SF steel  were tested at a temperature of 425$^{\circ}$C, from EI437B alloy were tested at a temperature of 800$^{\circ}$C]

 

Таблица 1. Вид аппроксимирующих функций [Structure of approximating functions]

Functions	3KhV4SF steel	EI437B  alloy
$h(t)$	$0.63(1-\exp({-0.08t}))+0.37(1-\exp({-0.8t}))$	$1-\exp({-0.4t})$
$\varphi(\sigma_{\text{э}})$	$0.0005 ( {\sigma_{\text{э}}}/{200} )^{5.55}$	$0.044894 ( {\sigma_{\text{э}}}/{200}  )^{3.6}$
$\psi(\sigma_{\text{э}})$	$0.0149 ( {\sigma_{\text{э}}}/{200} )^{2.85}$	$\phantom{0}0.068 ( {\sigma_{\text{э}}}/{200} )^{2.65}$
$\Phi(\sigma_{\text{э}})$	$0.1358 ( {\sigma_{\text{э}}}/{200}  )^{2.85}$	$0.0757 ( {\sigma_{\text{э}}}/{200} )^{2.65}$

 

Данные рис. 1 и табл. 1 показывают, что для стали 3ХВ4СФ неустановившийся первый участок ползучести состоит в основном из вязкопластической компоненты, а для сплава ЭИ437Б — из вязкоупругой.

Адекватность модели, построенной по теории неполной обратимости деформации ползучести,  оценивалась при одноосном ступенчатом нагружении. На рис. 2 сплошными линиями показаны усредненные деформации ползучести $p(t)$ по результатам испытаний трех образцов для стали 3ХВ4СФ и сплава ЭИ437Б, штриховыми линиями — расчет по предлагаемой модели. Приведенные экспериментальные и расчетные данные показывают, что построенная  модель удовлетворительно описывает ее первую и вторую стадию при переменных одноосных напряжениях.

 

Рис. 2. Экспериментальные (сплошные линии) и расчетные (штриховые линии) кривые ползучести образцов из стали 3ХВ4СФ (a) и сплава ЭИ437Б (b) при одноосном ступенчатом нагружении (a: 1 — $\sigma_\text{э}=200$ МПа, 2 — $\sigma_\text{э}=241$ МПа, 3 — $\sigma_\text{э}=282$ МПа, 4 — $\sigma_\text{э}=241$ МПа, 5 — $\sigma_\text{э}=200$ МПа; b: 1 — $\sigma_\text{э}=120$ МПа, 2 — $\sigma_\text{э}=145$ МПа, 3 — $\sigma_\text{э}=170$ МПа, 4 — $\sigma_\text{э}=145$ МПа, 5 — $\sigma_\text{э}=120$ МПа)
[Figure 2. Experimental (solid lines) and calculated (dashed lines) creep curves for samples made of 3KhV4SF steel (a) and EI437B alloy (b) under uniaxial stepped loading (a: 1 — $\sigma_{\text{э}}=200$ MPa, 2 — $\sigma_{\text{э}}=241$ MPa, 3 — $\sigma_{\text{э}}=282$ MPa, 4 — $\sigma_{\text{э}}=241$ MPa, 5 — $\sigma_{\text{э}}=200$ MPa; b: 1 — $\sigma_{\text{э}}=120$ MPa, 2 — $\sigma_{\text{э}}=145$ MPa, 3 — $\sigma_{\text{э}}=170$ MPa, 4 — $\sigma_{\text{э}}=145$ MPa, 5 — $\sigma_{\text{э}}=120$ MPa)]

 

На рис. 3 показаны усредненные углы закручивания $\gamma(t)$ при чистом кручении по результатам испытаний 5 образцов, сплошными линиями  — расчет по предлагаемой модели. Видим, что для рассматриваемых исходно изотропных материалов соблюдается условие течения Мизеса.

 

Рис. 3. Экспериментальные (сплошные линии) и расчетные (штриховые линии) кривые ползучести образцов (кривые угла закручивания) из стали 3ХВ4СФ (a) и сплава ЭИ437Б (b) при кручении: a — $\tau=144.5$ МПа, b — $\tau=92.5$ МПа
[Figure 3. Experimental (solid lines) and calculated (dashed lines) creep curves (torsion angle curves) for samples made of 3KhV4SF steel (a) and EI437B alloy (b)  during torsion: a — ${\tau=144{.}5}$ MPa, b — ${\tau=92{.}5}$ MPa]

 

В реальных конструкциях поле напряжений, как правило, является неоднородным. Картина может значительно усложняться при сложном нагружении, когда главные оси тензора напряжений поворачиваются.

Оценка характера деформирования при сложном неодноосном нагружении производилась по результатам испытаний образцов, нагруженных ступенчатыми осевой силой и крутящим моментом (см. рис. 4–7).

 

Рис. 4. Кривые ползучести (осевая деформация) образцов из стали 3ХВ4СФ при ступенчатом растяжении с кручением: 1 — $\sigma=200$ МПа, $\tau=0$ МПа; 2 — $\sigma=200$ МПа, $\tau=78$ МПа; 3 — $\sigma=200$ МПа, $\tau=115$ МПа; 4 — $\sigma=136$ МПа, $\tau=115$ МПа; 5 — $\sigma=0$ МПа, $\tau=115$ МПа; сплошная линия — эксперимент; штрих-пунктирная линия — расчет в предположении подобия девиаторов (1); штриховая линия — расчет по предложенной модели
[Figure 4. Creep curves (axial deformation) of samples made of 3KhV4SF steel  under step tension with torsion: 1 — $\sigma =200$ MPa,  $\tau=0$ MPa; 2 — $\sigma=200$ MPa, $\tau=78$ MPa; 3 — $\sigma=200$ MPa,  $\tau=115$ MPa; 4 — $\sigma=136$ MPa, $\tau=115$ MPa; 5 — $\sigma=0$ MPa,  $\tau=115$ MPa; solid line — experimental data; dash dotted line — calculation assuming similarity of deviators (1); dashed line — calculation according to the proposed model]

 

Рис. 5. Кривые ползучести (угол закручивания) образцов из стали 3ХВ4СФ при ступенчатом растяжении с кручением: 1 — $\sigma=200$ МПа, $\tau=0$ МПа; 2 — $\sigma=200$ МПа, $\tau=78$ МПа; 3 — $\sigma=200$ МПа, $\tau=115$ МПа; 4 — $\sigma=136$ МПа, $\tau=115$ МПа; 5 — $\sigma=0$ МПа, $\tau=115$ МПа; сплошная линия — эксперимент; штрих-пунктирная линия — расчет в предположении подобия девиаторов (1); штриховая линия — расчет по предложенной модели
[Figure 5. Creep curves (torsion angle) of samples made of 3KhV4SF steel  under step tension with torsion: 1 — $\sigma =200$ MPa,  $\tau=0$ MPa; 2 — $\sigma=200$ MPa, $\tau=78$ MPa; 3 — $\sigma=200$ MPa,  $\tau=115$ MPa; 4 — $\sigma=136$ MPa, $\tau=115$ MPa; 5 — $\sigma=0$ MPa,  $\tau=115$ MPa; solid line — experimental data; dash dotted line — calculation assuming similarity of deviators (1); dashed line — calculation according to the proposed model]

 

Рис. 6. Кривые ползучести (осевая деформация) образцов из сплава ЭИ437Б при ступенчатом растяжении с кручением: 1 — $\sigma=120$ МПа, $\tau=0$ МПа; 2 — $\sigma=120$ МПа, $\tau=47$ МПа; 3 — $\sigma=120$ МПа, $\tau=69.5$ МПа; 4 — $\sigma=81$ МПа, $\tau=69.5$ МПа; 5 — $\sigma=0$ МПа, $\tau=69.5$ МПа; сплошная линия — эксперимент; штриховая линия — расчет по предложенной модели
[Figure 6. Creep curves (axial deformation) of samples made of EI437B alloy  under step tension with torsion: 1 — $\sigma=120$ MPa, $\tau=0$ MPa; 2 — $\sigma=120$ MPa, $\tau=47$ MPa; 3 — $\sigma=120$ MPa, $\tau =69.5$ MPa; 4 — $\sigma=81$ MPa, $\tau=69.5$ MPa; 5 — $\sigma=0$ MPa,  $\tau=69.5$ MPa; solid line — experimental data; dashed line — calculation according to the proposed model]

 

Рис. 7. Кривые ползучести (угол закручивания) образцов из сплава ЭИ437Б при ступенчатом растяжении с кручением: 1 — $\sigma=120$ МПа, $\tau=0$ МПа; 2 — $\sigma=120$ МПа, $\tau=47$ МПа; 3 — $\sigma=120$ МПа, $\tau=69.5$ МПа; 4 — $\sigma=81$ МПа, $\tau=69.5$ МПа; 5 — $\sigma=0$ МПа, $\tau=69.5$ МПа; сплошная линия — эксперимент; штриховая линия — расчет по предложенной модели
[Figure 7. Creep curves (torsion angle) of samples made of EI437B alloy  under step tension with torsion: 1 — $\sigma=120$ MPa, $\tau=0$ MPa; 2 — $\sigma=120$ MPa, $\tau=47$ MPa; 3 — $\sigma=120$ MPa, $\tau =69.5$ MPa; 4 — $\sigma=81$ MPa, $\tau=69.5$ MPa; 5 — $\sigma=0$ MPa,  $\tau=69.5$ MPa; solid line — experimental data; dashed line — calculation according to the proposed model]

 

На рис. 4, 5 для стали 3ХВ4СФ, начальный участок которой в основном состоит из вязкопластической компоненты,  сплошной линией представлены результаты испытаний,  штрих-пунктирными линиями — результаты расчетов при условии подобия девиаторов (1), штриховыми линями — результаты по предложенной модели. Результаты расчетов показывают, что при условии подобия девиаторов (1) наблюдается значительное расхождение расчетных значений от экспериментальных, а расчеты по предложенной модели дают меньшую величину расхождения и их можно считать удовлетворительными.

Для сплава ЭИ437Б, у которого начальный участок состоит на $90\%$ из вязкоупругой компоненты деформации, также
наблюдается удовлетворительное совпадение результатов испытаний (сплошные линии, рис. 6, 7) с расчетами  по предложенной модели (штриховые линии, рис. 6, 7).

По представленной серии экспериментальных и расчетных данных можно сделать следующие выводы:

1. при одноосных ступенчатых напряжениях модель неполной обратимости деформации адекватно описывает ползучесть преимущественно с учетом вязкопластической компоненты (для стали 3ХВ4СФ) и вязкоупругой (для сплава ЭИ437Б);
2. для исходно изотропных материалов при плоском напряженном состоянии соблюдается условие течения Мизеса;
3. при сложном характере нагружения на исходное состояние материала накладывается деформационная анизотропия, зависящая от накопленной вязкопластической деформации в направлении главных осей тензора напряжений.

Заключение

1. Предлагаемая реологическая модель учитывает исходную и деформационную анизотропию металлов, полагая, что имеет место  их суперпозиция.
2. Параметры исходной анизотропии при решении краевых задач на первой итерации определяются по результатам механических испытаний.
3. Приведенные экспериментальные результаты ползучести тонкостенных трубчатых образцов  из материалов 3ХВ4СФ и ЭИ437Б при их сложном нагружении растяжением и кручением удовлетворительно согласуются с результатами расчетов по предлагаемой модели.

Авторский вклад и ответственность. Заявляем, что в отношении авторства и публикации этой статьи конфликта интересов не имеем.
Авторская ответственность. Все авторы принимали участие в разработке концепции статьи и в написании рукописи. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами.
Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.

About the authors

Evgeny K. Kichaev

Samara State Technical University

Email: mechanika01@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0003-0577-2889
SPIN-code: 4424-3922
Scopus Author ID: 6508206523
http://www.mathnet.ru/person193756

Cand. Tech. Sci., Associate Professor; Associate Professor; Dept.of Mechanics

Russian Federation, 443100, Samara, Molodogvardeyskaya st., 244

Peter E. Kichaev

Samara State Technical University

Author for correspondence.
Email: kichaevp@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0001-7321-389X
SPIN-code: 6827-8864
http://www.mathnet.ru/person39260

Cand. Phys. & Math. Sci., Associate Professor; Associate Professor; Dept. of Mechanics

Russian Federation, 443100, Samara, Molodogvardeyskaya st., 244

References

Supplementary files