Modelling one-dimensional elastic diffusion processes in an orthotropic solid cylinder under unsteady volumetric perturbations

Full Text

Введение. В работе исследуются явления, обусловленные взаимодействием нестационарных механических и диффузионных полей в сплошных средах. Исследования в этой области были начаты еще в начале 20-го века и носили преимущественно экспериментальный характер. Первые модели, описывающие связанные механодиффузионные процессы, появились уже во второй половине 20-го века. В настоящее время вопрос о взаимодействии полей различной физической природы по-прежнему остается актуальным. Рассматриваются модели, в которых описывается взаимодействие механических, диффузионных, тепловых и электромагнитных полей с учетом конечной скорости распространения диффузионных потоков [1-5].

В плане решения соответствующих начально-краевых задач наиболее полно изучены модели в прямоугольной декартовой системе координат. При решении нестационарных задач в различных криволинейных системах координат основной проблемой является нахождение системы собственных функций, являющихся решением соответствующей задачи Штурма–Лиувилля. Среди публикаций, посвященных данной проблеме, можно выделить [6-20]. В работах [6-15] рассматриваются одномерные задачи для сплошных и полых цилиндрических тел (а также для полостей в пространстве). Двумерным и осесимметричным задачам посвящены публикации [11, 16-20].

При решении указанных нестационарных и квазистационарных задач использовались как численные методы, основанные на применении методов конечных разностей [16] и конечных элементов [11], так и аналитические методы, основанные на интегральных преобразованиях Лапласа и Ганкеля [6-15, 17-20]. В последнем случае обращение преобразования Лапласа осуществлялось преимущественно методом Дурбина [8, 9, 13, 14] и его модификациями [17, 18], а также с помощью алгоритма Gaver–Stehfast [20] и представления в виде ортогональных полиномов Лежандра [10]. Во всех случаях вычисление интеграла Меллина основано на использовании специальных квадратурных формул. Не вдаваясь в обсуждение достоинств и недостатков данных подходов, отметим только, что такие алгоритмы подходят лишь для определенного класса функций. При этом изображения, получающиеся при решении конкретных задач, являются настолько громоздкими, что практически проверить возможность применения того или иного метода для нахождения их оригиналов не всегда представляется возможным.

Достаточно основательный анализ существующих на сегодняшний день методов обращения преобразования Лапласа дан в работе [21]. Выводы, полученные авторами, позволяют утверждать, что универсального алгоритма обращения преобразования Лапласа не существует. Таким образом, вопросы, связанные с разработкой аналитических методов решения нестационарных задач, в частности задач механодиффузии, также являются актуальными.

В заключение отметим, что в известных на сегодняшний день публикациях рассматривались нестационарные задачи только для бинарных систем. Таким образом, постановка данной задачи является новой. Предложенный алгоритм позволяет получить решение задачи в явном виде, что также является отличительной особенностью данной работы.

1. Постановка задачи. Рассматривается одномерный сплошной ортотропный $(N+1)$-компонентный цилиндр, на который действуют радиальные нестационарные объемные возмущения. Дифференциальные уравнения, описывающие связанные механодиффузионные процессы с учетом релаксации диффузионных потоков, имеют следующий вид (здесь и далее точка обозначает производную по времени, штрих — производную по радиальной координате) [22-24]:

$\begin{array}{l}\ddot{u}={u^{\text{'}}}^{\text{'}}+\frac{u^{\text{'}}}{r}-\frac{u}{r^2}-\sum _{j=1}^N{\alpha }_1^{\left(j\right)}{{\eta }^{\text{'}}}^{\left(j\right)}+F_1,{\eta }^{\left(N+1\right)}=-\sum _{j=1}^N{\eta }^{\left(j\right)},\\ {\dot{\eta }}^{\left(q\right)}+{\tau }_q{\ddot{\eta }}^{\left(q\right)}=-{\Lambda }_{11}^{\left(q\right)}({{u^{\text{'}}}^{\text{'}}}^{\text{'}}+\frac{2{u^{\text{'}}}^{\text{'}}}{r}-\frac{u^{\text{'}}}{r^2}+\frac{u}{r^3})+\\ +D_1^{\left(q\right)}({{{\eta }^{\text{'}}}^{\text{'}}}^{\left(q\right)}+\frac{{{\eta }^{\text{'}}}^{\left(q\right)}}{r})+F_{q+1}.\end{array}$ (1)

Исходя из того, что изначально цилиндр находится в невозмущенном состоянии, начальные условия в задаче полагаются нулевыми. Краевые условия, выражающие постоянный уровень концентрации диффузантов и отсутствие механических нагрузок на поверхности цилиндра, записываются в следующем виде:

$\begin{array}{c}{[u^{\text{'}}+\frac{u}{r}-\sum _{j=1}^N{\alpha }_1^{\left(j\right)}{\eta }^{\left(j\right)}]}_{r=1}=\mathrm{0,}{\eta }^{\left(q\right)}{|}_{r=1}=\mathrm{0,}\\ u=O\left(1\right),{\eta }^{\left(q\right)}=O\left(1\right)(r\to 0).\end{array}$ (2)

Здесь последние два равенства задают естественное условие ограниченности искомых величин в рассматриваемой области, в частности, в окрестности точки $r=0$. В дальнейшем изложении указанные порядковые равенства будут опущены ввиду отсутствия в явной необходимости их постоянного упоминания.

В формулах (1) и (2) все величины безразмерные. Со своими размерными аналогами они связаны с помощью следующих соотношений:

$\begin{array}{c}r=\frac{r^{*}}{R_0},u=\frac{u_r}{R_0},\tau =\frac{Ct}{R_0},C^2=\frac{C_{1111}}{\rho },{\tau }_q=\frac{C{\tau }^{\left(q\right)}}{R_0},\\ C_{\alpha \beta }=\frac{C_{\alpha \alpha \beta \beta }}{C_{1111}},C_{66}=\frac{C_{1212}}{C_{1111}},{\alpha }_1^{\left(q\right)}=\frac{{\alpha }_{11}^{\left(q\right)}}{C_{1111}},D_1^{\left(q\right)}=\frac{D_{11}^{\left(q\right)}}{C{R}_0},\\ {\Lambda }_{11}^{\left(q\right)}=\frac{m^{\left(q\right)}{\alpha }_{11}^{\left(q\right)}{D}_{11}^{\left(q\right)}{n}_0^{\left(q\right)}}{\rho C{R}_{0}R{T}_0},F_i=\frac{\rho R_0{F}_i^{*}}{C_{1111}},F_{q+1}=\frac{R_0{F}^{\left(q\right)}}{C},\end{array}$ (3)

где $t$ — время; $u_r$ — компонента вектора механических перемещений; $r^{*}$ — радиальная координата; ${\eta }^{\left(q\right)}=n^{\left(q\right)}-n_0^{\left(q\right)}$ — приращение концентрации вещества; $n^{\left(q\right)}$ и $n_0^{\left(q\right)}$ — начальная и текущая концентрации $q$-го вещества в составе $(N+1)$-компонентной сплошной среды; $m^{\left(q\right)}$ — молярная масса $q$-го вещества в составе -$(N+1)$компонентной сплошной среды; $C_{ijkl}$ — компоненты тензора упругих постоянных; $\rho$ — плотность среды; ${\alpha }_{ij}^{\left(q\right)}$ — компоненты тензора диффузионных постоянных, характеризующие деформации, возникающие вследствие диффузии; $D_{ij}^{\left(q\right)}$ — компоненты тензора самодиффузии; $R$ — универсальная газовая постоянная; $T_0$ — температура сплошной среды; $F_1^{*}$ — удельная плотность объемных сил; $F^{\left(q\right)}$ — объемная плотность источников массопереноса; ${\tau }^{\left(q\right)}$ — время релаксации диффузионных потоков; $R_0$ — радиус цилиндра.

2. Алгоритм решения. Решение поставленной задачи ищется в интегральной форме [22-24]:

$\begin{array}{l}u(r,\tau )=\sum _{m=1}^{N+1}{\int }_0^{\tau }{\int }_0^1{G}_{1m}(r,\xi ,t)F_m(\xi ,\tau -t)dtd\xi ,\\ {\eta }_q(r,\tau )=\sum _{m=1}^{N+1}{\int }_0^{\tau }{\int }_0^1{G}_{q+\mathrm{1,}m}(r,\xi ,t)F_m(\xi ,\tau -t)dtd\xi ,\end{array}$ (4)

где $G_{km}(r,\xi ,\tau )$, $k,m=\overline{\mathrm{1,}N+1}$, $0\le \xi \le 1$, — объемные функции Грина рассматриваемой задачи, т.е. решения следующих начально-краевых задач:

$\begin{array}{l}({{G^{\text{'}}}^{\text{'}}}_{1m}+\frac{{G^{\text{'}}}_{1m}}{r}-\frac{G_{1m}}{r^2})-\sum _{j=1}^N{\alpha }_1^{\left(j\right)}{G^{\text{'}}}_{j+\mathrm{1,}m}+{\delta }_{1m}\delta (r-\xi )\delta \left(\tau \right)={\ddot{G}}_{1m},\\ -{\Lambda }_{11}^{\left(q\right)}({{{G^{\text{'}}}^{\text{'}}}^{\text{'}}}_{1m}+\frac{2{{G^{\text{'}}}^{\text{'}}}_{1m}}{r}-\frac{{G^{\text{'}}}_{1m}}{r^2}+\frac{G_{1m}}{r^3})+D_1^{\left(q\right)}({{G^{\text{'}}}^{\text{'}}}_{q+\mathrm{1,}m}+\frac{{G^{\text{'}}}_{q+\mathrm{1,}m}}{r})+\\ +{\delta }_{q+\mathrm{1,}m}\delta (r-\xi )\delta \left(\tau \right)={\dot{G}}_{q+\mathrm{1,}m}+{\tau }_q{\ddot{G}}_{q+\mathrm{1,}m},\end{array}$(5)

$\begin{array}{c}{[{G^{\text{'}}}_{1m}+\frac{G_{1m}}{r}-\sum _{j=1}^N{\alpha }_1^{\left(j\right)}{G}_{j+\mathrm{1,}m}]}_{r=1}=\mathrm{0,}{G}_{q+\mathrm{1,}m}{|}_{r=1}=\mathrm{0,}\\ G_{1m}{|}_{\tau =0}={\dot{G}}_{1m}{|}_{\tau =0}=G_{q+\mathrm{1,}m}{|}_{\tau =0}={\dot{G}}_{q+\mathrm{1,}m}{|}_{\tau =0}=0.\end{array}$(6)

Для нахождения функций Грина применяем к (5) и (6) преобразование Лапласа. Затем первое уравнение (5) домножаем на $r{J}_1\left({\lambda }_{n}r\right)$, а второе — на $r{J}_0\left({\lambda }_{n}r\right)$ и интегрируем по $r$ в промежутке $\left[\mathrm{0,1}\right]$. Получаем (верхний индекс «$L$» обозначает трансформанту Лапласа, $s$ — параметр преобразования Лапласа):

$\begin{array}{l}{\int }_0^1({{G^{\text{'}}}^{\text{'}}}_{1m}^L+\frac{{G^{\text{'}}}_{1m}^L}{r}-\frac{G_{1m}^L}{r^2})J_1\left(r{\lambda }_n\right)rdr-\sum _{j=1}^N{\alpha }_1^{\left(j\right)}{\int }_0^1{G^{\text{'}}}_{j+\mathrm{1,}m}^L{J}_1\left(r{\lambda }_n\right)rdr+\\ +{\delta }_{1m}{\int }_0^1\delta (r-\xi )J_1\left(r{\lambda }_n\right)rdr=s^2{\int }_0^1{G}_{1m}^L{J}_1\left(r{\lambda }_n\right)rdr,\end{array}$

$\begin{array}{l}-{\Lambda }_{11}^{\left(q\right)}{\int }_0^1({{{G^{\text{'}}}^{\text{'}}}^{\text{'}}}_{1m}^L+\frac{2{{G^{\text{'}}}^{\text{'}}}_{1m}^L}{r}-\frac{{G^{\text{'}}}_{1m}^L}{r^2}+\frac{G_{1m}^L}{r^3})J_0\left(r{\lambda }_n\right)rdr+\\ +D_1^{\left(q\right)}{\int }_0^1({{G^{\text{'}}}^{\text{'}}}_{q+\mathrm{1,}m}^L+\frac{{G^{\text{'}}}_{q+\mathrm{1,}m}^L}{r})J_0\left(r{\lambda }_n\right)rdr+\\ +{\delta }_{q+\mathrm{1,}m}{\int }_0^1\delta (r-\xi )J_0\left(r{\lambda }_n\right)rdr=(s+{\tau }_q{s}^2){\int }_0^1{G}_{q+\mathrm{1,}m}^L{J}_0\left(r{\lambda }_n\right)rdr.\end{array}$ (7)

${[{G^{\text{'}}}_{1m}^L+\frac{G_{1m}^L}{r}-\sum _{j=1}^N{\alpha }_1^{\left(j\right)}{G}_{j+\mathrm{1,}m}^L]}_{r=1}=\mathrm{0,}{G}_{q+\mathrm{1,}m}^L{|}_{r=1}=0.$ (8)

Здесь $J_{\nu }\left(z\right)$ — функции Бесселя первого рода порядка $\nu$; ${\lambda }_n$ — корни уравнения $J_0\left({\lambda }_n\right)=0$. В работе [26] показано, что ${\lambda }_n$ удовлетворяют также уравнению $J_1\left({\lambda }_n\right)+{\lambda }_n{J^{\text{'}}}_1\left({\lambda }_n\right)=0$.

Для вычисления интегралов в (7) используем формулы, полученные в работах [22-25]:

${\int }_0^1{G^{\text{'}}}_{q+\mathrm{1,}m}^L(r,\xi ,s)J_1\left(r{\lambda }_n\right)rdr=-{\lambda }_n\frac{J_1^2\left({\lambda }_n\right)}{2}{G}_{q+\mathrm{1,}m}^{L{H}_0}({\lambda }_n,\xi ,s),$

$\begin{array}{l}{\int }_0^1\left[{{G^{\text{'}}}^{\text{'}}}_{q+\mathrm{1,}m}^L\right(r,\xi ,s)+\frac{{G^{\text{'}}}_{q+\mathrm{1,}m}^L(r,\xi ,s)}{r}]J_0\left(r{\lambda }_n\right)rdr=\\ =-{\lambda }_n^2\frac{J_1^2\left({\lambda }_n\right)}{2}{G}_{q+\mathrm{1,}m}^{L{H}_0}({\lambda }_n,\xi ,s),\end{array}$

$\begin{array}{l}{\int }_0^1\left[{{G^{\text{'}}}^{\text{'}}}_{1m}^L\right(r,\xi ,s)+\frac{{G^{\text{'}}}_{1m}^L(r,\xi ,s)}{r}-\frac{G_{1m}^L(r,\xi ,s)}{r^2}]J_1\left(r{\lambda }_n\right)rdr=\\ =-{\lambda }_n^2\frac{J_1^2\left({\lambda }_n\right)}{2}{G}_{1m}^{L{H}_1}({\lambda }_n,\xi ,s),\end{array}$

$\begin{array}{r}{\int }_0^1\left[{{{G^{\text{'}}}^{\text{'}}}^{\text{'}}}_{1m}^L\right(r,\xi ,s)+\frac{2{{G^{\text{'}}}^{\text{'}}}_{1m}^L(r,\xi ,s)}{r}-\frac{{G^{\text{'}}}_{1m}^L(r,\xi ,s)}{r^2}+\frac{G_{1m}^L(r,\xi ,s)}{r^3}]J_0\left(r{\lambda }_n\right)rdr=\\ =-{\lambda }_n^3\frac{J_1^2\left({\lambda }_n\right)}{2}{G}_{1m}^{L{H}_1}({\lambda }_n,\xi ,s).\end{array}$

где

$\begin{array}{l}{G}_{1m}^L(r,\xi ,s)=\sum _{n=1}^{\infty }{G}_{1m}^{L{H}_1}({\lambda }_n,\xi ,s)J_1\left({\lambda }_{n}r\right),\\ G_{1m}^{L{H}_1}({\lambda }_n,\xi ,s)=\frac{2}{J_1^2\left({\lambda }_n\right)}{\int }_0^{1}r{G}_{1m}^L(r,\xi ,s)J_1\left({\lambda }_{n}r\right)dr,\\ G_{q+\mathrm{1,}m}^L(r,\xi ,s)=\sum _{n=1}^{\infty }{G}_{q+\mathrm{1,}m}^{L{H}_0}({\lambda }_n,\xi ,s)J_0\left({\lambda }_{n}r\right),\\ G_{q+\mathrm{1,}m}^{L{H}_0}({\lambda }_n,\xi ,s)=\frac{2}{J_1^2\left({\lambda }_n\right)}{\int }_0^{1}r{G}_{q+\mathrm{1,}m}^L(r,\xi ,s)J_0\left({\lambda }_{n}r\right)dr.\end{array}$ (9)

С учетом этих равенств задача (7), (8) преобразуется к следующей системе линейных алгебраических уравнений:

$\begin{array}{l}{k}_1({\lambda }_n,s)G_{1m}^{L{H}_1}({\lambda }_n,\xi ,s)-{\lambda }_n\sum _{j=1}^N{\alpha }_1^{\left(j\right)}{G}_{j+\mathrm{1,}m}^{L{H}_0}({\lambda }_n,\xi ,s)=F_1({\lambda }_n,\xi ),\\ {\Lambda }_{11}^{\left(q\right)}{\lambda }_n^3{G}_{1m}^{L{H}_1}({\lambda }_n,\xi ,s)-k_{q+1}({\lambda }_n,s)G_{q+\mathrm{1,}m}^{L{H}_0}({\lambda }_n,\xi ,s)=F_{q+1}({\lambda }_n,\xi ),\\ F_1({\lambda }_n,\xi )=\frac{2{\delta }_{1m}}{J_1^2\left({\lambda }_n\right)}{J}_1\left({\lambda }_n\xi \right)\xi ,F_{q+1}({\lambda }_n,\xi )=-\frac{2{\delta }_{q+\mathrm{1,}m}}{J_1^2\left({\lambda }_n\right)}{J}_0\left({\lambda }_n\xi \right)\xi ,\\ k_1({\lambda }_n,s)={\lambda }_n^2+s^2,k_{q+1}({\lambda }_n,s)=D_1^{\left(q\right)}{\lambda }_n^2+{\tau }_q{s}^2+s,\end{array}$

решение которой имеет вид

$\begin{array}{l}{G}_{11}^{L{H}_1}({\lambda }_n,\xi ,s)=\frac{2\xi J_1\left({\lambda }_n\xi \right)P_{11}({\lambda }_n,s)}{J_1^2\left({\lambda }_n\right)P({\lambda }_n,s)},\\ G_{\mathrm{1,}q+1}^{L{H}_1}({\lambda }_n,\xi ,s)=\frac{2\xi J_0\left({\lambda }_n\xi \right)P_{\mathrm{1,}q+1}({\lambda }_n,s)}{J_1^2\left({\lambda }_n\right)P({\lambda }_n,s)},\\ G_{q+\mathrm{1,1}}^{L{H}_0}({\lambda }_n,\xi ,s)=\frac{2\xi J_1\left({\lambda }_n\xi \right)P_{q+\mathrm{1,1}}({\lambda }_n,s)}{J_1^2\left({\lambda }_n\right)Q_q({\lambda }_n,s)},\\ G_{q+\mathrm{1,}p+1}^{L{H}_0}({\lambda }_n,\xi ,s)=\frac{2\xi J_0\left({\lambda }_n\xi \right)}{J_1^2\left({\lambda }_n\right)}[\frac{{\delta }_{qp}}{k_{q+1}({\lambda }_n,s)}+\frac{P_{q+\mathrm{1,}p+1}({\lambda }_n,s)}{Q_q({\lambda }_n,s)}].\end{array}$ (10)

В формулах (10) приняты следующие обозначения:

$\begin{array}{l}P({\lambda }_n,s)=k_1({\lambda }_n,s)\Pi ({\lambda }_n,s)-{\lambda }_n^4\sum _{j=1}^N{\alpha }_1^{\left(j\right)}{\Lambda }_{11}^{\left(j\right)}{\Pi }_j({\lambda }_n,s),\\ Q_q({\lambda }_n,s)=P({\lambda }_n,s)k_{q+1}({\lambda }_n,s),P_{11}({\lambda }_n,s)=\Pi ({\lambda }_n,s),\\ P_{\mathrm{1,}q+1}({\lambda }_n,s)=-{\lambda }_n\sum _{j=1}^N{\alpha }_1^{\left(j\right)}{\Pi }_j({\lambda }_n,s),P_{q+\mathrm{1,}k}({\lambda }_n,s)={\Lambda }_{11}^{\left(q\right)}{\lambda }_n^3{P}_{1k}({\lambda }_n,s),\\ {\Pi }_j({\lambda }_n,s)=\prod _{k=\mathrm{1,}k\ne j}^N{k}_{k+1}({\lambda }_n,s),\Pi ({\lambda }_n,s)=\prod _{j=1}^N{k}_{j+1}({\lambda }_n,s).\end{array}$ (11)

Так как все функции в (10) и (11) являются рациональными функциями параметра $s\in ℂ$, то оригиналы функций влияния находятся аналитически с помощью теории вычетов и стандартных таблиц операционного исчисления (штрих означает производную по параметру $s$) [22-24, 26]:

$\begin{array}{l}{G}_{11}^{H_1}({\lambda }_n,\xi ,\tau )=\frac{2\xi J_1\left({\lambda }_n\xi \right)}{J_1^2\left({\lambda }_n\right)}\sum _{k=1}^{2N+2}{A}_{11}^{\left(k\right)}({\lambda }_n,s_k)\exp \left(s_k\tau \right),\\ G_{\mathrm{1,}q+1}^{H_1}({\lambda }_n,\xi ,\tau )=\frac{2\xi J_0\left({\lambda }_n\xi \right)}{J_1^2\left({\lambda }_n\right)}\sum _{k=1}^{2N+2}{A}_{\mathrm{1,}q+1}^{\left(k\right)}({\lambda }_n,s_k)\exp \left(s_k\tau \right),\end{array}$

$\begin{array}{l}{G}_{q+\mathrm{1,}p+1}^{H_0}({\lambda }_n,\xi ,\tau )=\frac{2\xi J_1\left({\lambda }_n\xi \right)}{J_1^2\left({\lambda }_n\right)}\sum _{k=1}^{2N+4}{A}_{q+\mathrm{1,1}}^{\left(k\right)}({\lambda }_n,s_k)\exp \left(s_k\tau \right),\\ G_{q+\mathrm{1,}p+1}^{H_0}({\lambda }_n,\xi ,\tau )=\frac{2\xi J_0\left({\lambda }_n\xi \right)}{J_1^2\left({\lambda }_n\right)}[\sum _{l=1}^2\frac{{\delta }_{qp}\exp \left({\chi }_l\tau \right)}{k_{q+1}({\lambda }_n,{\chi }_l)}+\\ +\sum _{k=1}^{2N+4}{A}_{q+\mathrm{1,}p+1}^{\left(k\right)}({\lambda }_n,s_k)\exp \left(s_k\tau \right)],\end{array}$

$A_{1m}^{\left(k\right)}({\lambda }_n,s_k)=\frac{P_{1m}({\lambda }_n,s_k)}{P^{\text{'}}({\lambda }_n,s_k)},A_{q+\mathrm{1,}m}^{\left(k\right)}({\lambda }_n,s_k)=\frac{P_{q+\mathrm{1,}m}({\lambda }_n,s_k)}{{Q^{\text{'}}}_q({\lambda }_n,s_k)},$

$\begin{array}{l}{G}_{1m}(r,\xi ,\tau )=\sum _{n=1}^{\infty }{G}_{1m}^{H_1}({\lambda }_n,\xi ,\tau )J_1\left({\lambda }_{n}r\right),\\ G_{q+\mathrm{1,}m}(r,\xi ,\tau )=\sum _{n=1}^{\infty }{G}_{q+\mathrm{1,}m}^{H_0}({\lambda }_n,\xi ,\tau )J_0\left({\lambda }_{n}r\right),\end{array}$

где $s_k\left({\lambda }_n\right)$ $(k=\overline{\mathrm{1,2}N+2})$ — нули полинома $P({\lambda }_n,s)$, а ${\chi }_j\left({\lambda }_n\right)$ — дополнительные нули полинома $Q_q({\lambda }_n,s)$,

$\begin{array}{l}{\chi }_1\left({\lambda }_n\right)=s_{2N+3}\left({\lambda }_n\right)=\frac{-1+\sqrt{1-4{\tau }_q{D}_1^{\left(q\right)}{\lambda }_n^2}}{2{\tau }_q},\\ {\chi }_2\left({\lambda }_n\right)=s_{2N+4}\left({\lambda }_n\right)=\frac{-1-\sqrt{1-4{\tau }_q{D}_1^{\left(q\right)}{\lambda }_n^2}}{2{\tau }_q}.\end{array}$

Полагая ${\tau }_q=0$, получаем классическую модель механодиффузии с бесконечной скоростью распространения диффузионных потоков. При ${\tau }_q\to 0$ степень многочлена $P({\lambda }_n,s)$ изменяется с $2N+2$ до $N+2$, а для дополнительных нулей имеют место следующие предельные переходы:

${\chi }_1\left({\lambda }_n\right)\to -D_1^{\left(q\right)}{\lambda }_n^2,{\chi }_2\left({\lambda }_n\right)\to -\infty ({\tau }_q\to 0).$

Тогда

$\exp \left({\chi }_1\tau \right)\to \exp (-D_1^{\left(q\right)}{\lambda }_n^2\tau ),\exp \left({\chi }_2\tau \right)\to 0({\tau }_q\to 0).$

Полагая далее ${\alpha }_1^{\left(q\right)}=0$, переходим к классическим моделям упругости и массопереноса для сплошного цилиндра. Соответствующие им функции Грина будем обозначать через ${\tilde{G}}_{11}(r,\xi ,\tau )$, ${\tilde{G}}_{q+\mathrm{1,}p+1}(r,\xi ,\tau )$ и представлять в виде следующих рядов:

$\begin{array}{c}{\tilde{G}}_{11}(r,\xi ,\tau )=\sum _{n=1}^{\infty }{\tilde{G}}_{11}^{H_1}({\lambda }_n,\xi ,\tau )J_1\left({\lambda }_{n}r\right),\\ {\tilde{G}}_{q+\mathrm{1,}p+1}(r,\xi ,\tau )=\sum _{n=1}^{\infty }{\tilde{G}}_{q+\mathrm{1,}p+1}^{H_0}({\lambda }_n,\xi ,\tau )J_0\left({\lambda }_{n}r\right).\end{array}$

Коэффициенты этих рядов находятся из равенств (9) путем предельного перехода при ${\alpha }_1^{\left(q\right)}\to 0$. Имеем (здесь учтено, что ${\Lambda }_{11}^{\left(q\right)}\to 0$ при ${\alpha }_1^{\left(q\right)}\to 0$)

$\begin{array}{c}\underset{{\alpha }_1^{\left(j\right)}\to 0}{\lim }{P}_{11}({\lambda }_n,s)=\Pi ({\lambda }_n,s),\underset{{\alpha }_1^{\left(j\right)}\to 0}{\lim }{P}_{\mathrm{1,}q+1}({\lambda }_n,s)=\mathrm{0,}\\ \underset{{\alpha }_1^{\left(j\right)}\to 0}{\lim }{P}_{q+\mathrm{1,}k}({\lambda }_n,s)=\mathrm{0,}\underset{{\alpha }_1^{\left(j\right)}\to 0}{\lim }P({\lambda }_n,s)=k_1({\lambda }_n,s)\Pi ({\lambda }_n,s),\\ \underset{{\alpha }_1^{\left(j\right)}\to 0}{\lim }{Q}_q({\lambda }_n,s)=k_{q+1}({\lambda }_n,s)k_1({\lambda }_n,s)\Pi ({\lambda }_n,s).\end{array}$

Тогда в пространстве преобразования Лапласа функции Грина для несвязанных задач упругости и диффузии запишутся так:

$\begin{array}{l}{\tilde{G}}_{11}^{L{H}_1}({\lambda }_n,\xi ,s)=\frac{2\xi J_1\left({\lambda }_n\xi \right)}{J_1^2\left({\lambda }_n\right)k_1({\lambda }_n,s)},\\ {\tilde{G}}_{q+\mathrm{1,}p+1}^{L{H}_0}({\lambda }_n,\xi ,s)=\frac{2\xi J_0\left({\lambda }_n\xi \right){\delta }_{pq}}{J_1^2\left({\lambda }_n\right)k_{q+1}({\lambda }_n,s)}.\end{array}$

Здесь переход в пространство оригиналов осуществляется непосредственно с помощью таблиц операционного исчисления [26]:

$\begin{array}{c}{\tilde{G}}_{11}^{H_1}({\lambda }_n,\xi ,\tau )=\frac{2\xi J_1\left({\lambda }_n\xi \right)\sin {\lambda }_n\tau }{J_1^2\left({\lambda }_n\right){\lambda }_n}H\left(\tau \right)\\ {\tilde{G}}_{q+\mathrm{1,}p+1}^{H_0}({\lambda }_n,\xi ,\tau )=\frac{2\xi J_0\left({\lambda }_n\xi \right){\delta }_{pq}}{J_1^2\left({\lambda }_n\right)}\sum _{r=1}^2\frac{\exp \left(s_r\tau \right)}{{k^{\text{'}}}_{q+1}({\lambda }_n,s_r)}.\end{array}$ (12)

3. Расчетный пример. В качестве примера рассмотрим цилиндр радиуса 0.5 мм из трехкомпонентного сплава ( $N=2$, независимые компоненты [27] цинк 1.0 % и медь 4.5 % диффундируют в дюралюминии), физические характеристики которого после применения процедуры перехода к безразмерным величинам (3) следующие:

$\begin{array}{c}{C}_{12}=4.92\cdot {10}^{-1},C_{66}=2.54\cdot {10}^{-1},\\ {\alpha }_1^{\left(1\right)}={\alpha }_2^{\left(1\right)}=6.32\cdot {10}^{-4},{\alpha }_1^{\left(2\right)}={\alpha }_2^{\left(2\right)}=5.92\cdot {10}^{-4},\\ D_1^{\left(1\right)}=D_2^{\left(1\right)}=4.17\cdot {10}^{-13},D_1^{\left(2\right)}=D_2^{\left(2\right)}=4.60\cdot {10}^{-16},\\ {\Lambda }_{11}^{\left(1\right)}={\Lambda }_{12}^{\left(1\right)}={\Lambda }_{21}^{\left(1\right)}={\Lambda }_{22}^{\left(1\right)}=1.13\cdot {10}^{-15},\\ {\Lambda }_{11}^{\left(2\right)}={\Lambda }_{12}^{\left(2\right)}={\Lambda }_{21}^{\left(2\right)}={\Lambda }_{22}^{\left(2\right)}=5.18\cdot {10}^{-18}.\end{array}$

Задаем объемные возмущения в следующем виде:

$F_1(r,\tau )=r{J}_1\left({\lambda }_{1}r\right)H\left(\tau \right),F_{q+1}(r,\tau )=\mathrm{0,}$

где $H\left(\tau \right)$ — функция Хевисайда.

Тогда, вычисляя свертки (4), получаем

$\begin{array}{l}u(r,\tau )={\int }_0^{\tau }{\int }_0^1{G}_{11}(r,\xi ,t)F_1(\xi ,\tau -t)dtd\xi =\\ =J_1\left({\lambda }_{1}r\right)\sum _{l=1}^{2N+2}{A}_{11}^{\left(l\right)}\left({\lambda }_1\right)\frac{\exp \left(s_l\tau \right)-1}{s_l},\\ {\eta }_q(r,\tau )={\int }_0^{\tau }{\int }_0^1{G}_{q+\mathrm{1,1}}(r,\xi ,t)F_1(\xi ,\tau -t)dtd\xi =\\ =J_0\left({\lambda }_{1}r\right)\sum _{l=1}^{2N+4}{A}_{q+\mathrm{1,1}}^{\left(l\right)}\left({\lambda }_1\right)\frac{\exp \left(s_l\tau \right)-1}{s_l}.\end{array}$ (13)

Для вычисления рядов (13) использовалось $N_{\lambda }=100$ членов. Дальнейшее увеличение членов ряда не приводит к видимому изменению результатов.

Результаты вычислений по формулам (13) представлены на рис. 1-5. Здесь одна безразмерная единица времени соответствует $1.24\cdot {10}^7$ сек.

 

Рис. 1. Зависимость перемещения $u$ от времени $\tau$ и от координаты $r$

 

Рис. 2. Зависимость приращения концентрации ${\eta }_1$ (цинк) от времени $\tau$ и от координаты $r$

 

Рис. 3. Зависимость приращения концентрации ${\eta }_2$ (медь) от времени $\tau$ и от координаты $r$

 

Рис. 4. Зависимость перемещения $u$ от времени $\tau$ при $r=1$. Сплошная линия соответствует решению упругодиффузионной задачи, пунктирная — упругой

 

Рис. 5. Зависимость приращения концентрации ${\eta }_1$ (цинк) от времени $\tau$ при $r=0.1$. Сплошная линия соответствует времени релаксации ${\tau }^{\left(q\right)}=200$ сек, пунктирная ${\tau }^{\left(q\right)}=100$ — сек, штриховая — ${\tau }^{\left(q\right)}=0$

 

Диффузионные поля, изображенные на рис. 2 и 3, инициируются механическими нагрузками, что демонстрирует влияние механического поля на кинетику массопереноса в сплошных средах. Компоненты сплава цинк и медь диффундируют с различной скоростью, величина которой определяется значением коэффициента диффузии. Для цинка по рис. 2 можно примерно оценить момент выхода диффузионного процесса на статический режим ($\tau \approx {10}^{13}$, около 9.5 суток).

При этом видно, что механические воздействия очень незначительно влияют на массоперенос. Даже по истечении достаточно большого промежутка времени (9.5 суток для цинка и 95 суток для меди) приращения концентраций имеют порядок ${10}^{-5}$. Такой результат в общем и целом подтверждается результатами экспериментальных исследований, согласно которым упругие деформации действительно слабо влияют на диффузионные процессы в твердых телах [28, 29].

Решение упругой задачи с учетом (12) будет иметь вид

$u^{\left(el\right)}(r,\tau )={\int }_0^{\tau }{\int }_0^1{\tilde{G}}_{11}(r,\xi ,t)F_1(\xi ,\tau -t)dtd\xi =J_1\left({\lambda }_{1}r\right)\frac{1-\cos \left({\lambda }_1\tau \right)}{{\lambda }_1^2}.$

Сравнение решений упругой и упругодиффузионных задач показано на рис. 4. Показано, что начиная с некоторого момента времени ($\tau ~{10}^9$, примерно 80 сек) механические процессы с учетом влияния диффузии начинают сдвигаться относительно чисто упругих.

На рис. 5 на примере первого компонента вещества (цинк) показано влияние релаксации на кинетику массопереноса. Видно, что релаксационные эффекты существенно проявляются на ограниченном промежутке времени и с течением времени затухают.

Заключение. Предложена модель, описывающая связанные нестационарные механодиффузионные процессы в сплошных средах. Модель содержит линеаризованные уравнения движения сплошной среды и массопереноса. Связь между физическими полями учитывается с помощью обобщенного закона Гука и выражений для диффузионных потоков с учетом их конечной скорости распространения. Несмотря на то, что речь идет о диффузии в многокомпонентных твердых телах, данная модель может описывать также диффузию газов и жидкостей в твердых телах, так как все указанные процессы в линейном приближении описываются одинаковыми уравнениями и фактическое отличие этих явлений в данном случае определяется только величиной коэффициента диффузии.

Изложен алгоритм решения одномерной полярно-симметричной нестационарной задачи упругой диффузии для ортотропного сплошного многокомпонентного цилиндра с учетом релаксации диффузионных потоков. Найдены функции влияния, позволяющие определять поля механических перемещений и приращения концентраций компонент сплошной среды по заданным нестационарным объемным возмущениям. Важно отметить, что предложенный алгоритм, основанный, по сути, на использовании интегрального преобразования Лапласа и метода разделения переменных Фурье, позволяет получить решение рассматриваемой задачи в аналитической форме, что дает широкие возможности для проведения различного рода численных экспериментов. Результаты вычислений представлены в виде графиков зависимости искомых полей от времени в различных точках цилиндра.

На примере трехкомпонентного сплошного цилиндра, находящегося под действием нестационарных объемных сил, исследованы эффекты связанности механического и диффузионных полей, а также влияние релаксационных процессов на кинетику массопереноса. Показано, что, с одной стороны, нестационарные деформации инициируют процесс массопереноса. С другой стороны, диффузия влияет на поле перемещений, что проявляется в виде фазового сдвига механодиффузионных колебаний относительно чисто механических. Отмечено также, что релаксационные эффекты, обуславливающие конечную скорость распространения диффузионных возмущений, проявляются только на конечном промежутке времени, соизмеримом с временем релаксации диффузионных потоков.

Результаты выполненных расчетов на качественном уровне совпадают с результатами экспериментальных исследований, которые, с одной стороны, подтверждают эффекты взаимной связанности механического и диффузионного полей, а с другой стороны, показывают, что эта взаимосвязь существенно проявляется в основном при пластических деформациях и совсем незначительно — при упругих. Поэтому полученные в работе результаты можно рассматривать как начальный этап моделирования механодиффузионных процессов в сплошных средах.

Конкурирующие интересы. Заявляем, что в отношении авторства и публикации этой статьи конфликта интересов не имеем.

Авторский вклад и ответственность. Все авторы принимали участие в разработке концепции статьи и в написании рукописи. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами.

Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.

About the authors

Nikolay A. Zverev

Moscow Aviation Institute (National Research University)

Email: nik.zvereff2010@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-0813-2863
SPIN-code: 3700-2228
Scopus Author ID: 57205149580
ResearcherId: AAK-5918-2021
http://www.mathnet.ru/person157541

Postgraduate Student; Dept. of Strength of Materials, Dynamics and Strength of Machines

Russian Federation, 4, Volokolamskoe shosse, Moscow, 125993

Andrei V. Zemskov

Moscow Aviation Institute (National Research University); Lomonosov Moscow State University, Institute of Mechanics

Author for correspondence.
Email: azemskov1975@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-2653-6378
SPIN-code: 9082-9823
Scopus Author ID: 56770970200
ResearcherId: J-3893-2013
http://www.mathnet.ru/person75409

Dr. Phys. & Math. Sci., Associate Professor; Professor; Dept. of Applied Software and Mathematical Methods¹; Leading Researcher; Lab. of Dynamic Testing²

4, Volokolamskoe shosse, Moscow, 125993; 1, Michurinsky prospekt, Moscow, 119192

Dmitrii V. Tarlakovskii

Moscow Aviation Institute (National Research University); Lomonosov Moscow State University, Institute of Mechanics

Email: tdv902@mai.ru
ORCID iD: 0000-0002-5694-9253
SPIN-code: 1028-7474
Scopus Author ID: 6506535524
http://www.mathnet.ru/person89032

Dr. Phys. & Math. Sci., Professor; Head of Dept.; Dept. of Strength of Materials, Dynamics and Strength of Machines¹; Head of Lab.; Lab. of Dynamic Testing²

Russian Federation, 4, Volokolamskoe shosse, Moscow, 125993; 1, Michurinsky prospekt, Moscow, 119192

References

Supplementary files