Evaluation of influence of turbulence models on the vortex formation processes modeling in wind power
- Authors: Solomin E.V.1, Terekhin A.A.1, Martyanov A.S.1, Kovalyov A.A.1, Ismagilov D.R.1, Ryavkin G.N.1, Kulganatov A.Z.1, Pogorelov B.T.1
-
Affiliations:
- South Ural State University (National Research University)
- Issue: Vol 26, No 2 (2022)
- Pages: 339-354
- Section: Mathematical Modeling, Numerical Methods and Software Complexes
- Submitted: 18.09.2021
- Accepted: 25.12.2021
- Published: 30.06.2022
- URL: https://journals.eco-vector.com/1991-8615/article/view/80456
- DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1885
- ID: 80456
Cite item
Full Text
Abstract
The paper studies the results of mathematical modeling of the external flow of Siemens 3D model SWT–3.6–120 (B52 air foil) horizontal axis wind turbine (HAWT), using the Navier–Stokes equations averaged by Reynolds (RANS) closed by k−ε, k−ω Shear Stress Transport (SST) and Eddy Viscosity Transport (EVT) turbulence models. The task of correct determination of the wind speed vector deviation angle over the nacelle of the HAWT is required by operation of the yawing system, which determines in turn the efficiency of the entire turbine. The Struhal number was chosen as a comparison criterion, defined for the transverse flow around the cylinder, describing the frequency of the formation of vortex structure behind the butt part of the blade of the HAWT. The calculated area consists of 3 million tetrahedral volumes with prismatic layer on the surface of the nacelle, using local grinding. The place of flow direction parameters registration is located at a height of 3 m above the nacelle and at a distance of 8 m from the blade shank, which corresponds to the standard location of the weather vane. The analysis of the obtained results showed that the k−ε and EVT turbulence models describe the flow parameters over the HAWT nacelle in almost the same way, but the EVT model represents just one differential equation, thereby it is preferable by the computational cost criterion. Also, one of the advantages of one-parameter turbulence model (EVT model) is a smaller number of closing semi-empirical constants, the analysis of which allows the expanding of the engineering techniques scope for the modeling of turbulent processes in solving the practical problems related to the design of control systems for the wind turbines, increasing their efficiency.
Full Text
Введение. Ориентация анеморумбометра горизонтально-осевых ветроэнергетических установок (ГО ВЭУ) по направлению потока ветра влияет на эффективность управления положением установки и на ее коэффициент полезного действия. При прохождении через комлевую часть лопасти вектор скорости потока деформируется, что влияет на показания анеморумбометра и приводит к некорректной работе системы управления ориентацией ВЭУ. Математическое моделирование движения газа в области установки анеморумбометра позволяет проводить анализ влияющих факторов на показания анеморумбометра и прогнозировать работу системы управления ориентацией таких установок не проводя дорогостоящих натурных или модельных экспериментов.
Для точного разрешения пространственно-временных масштабов турбулентности, соответствующих процессам течения вблизи ГО ВЭУ, наиболее подходящими для моделирования турбулентных течений являются метод крупных вихрей (Large Eddy Simulation, LES) и метод прямого численного моделирования (Direct Numerical Simulation, DES) [1, 2]. Однако практическое использование этих методов связано с крайней вычислительной трудоемкостью, что затрудняет их широкое распространение. Математические модели турбулентности, базирующиеся на осредненных по Рейнольдсу уравнениях Навье – Стокса (Reynolds Averaged Navier–Stokes, RANS), получили более широкое распространение, но они не всегда позволяют учесть все эффекты турбулентного течения. Поэтому задача оценки влияния математических моделей турбулентности (RANS) на описание процессов вихреобразования для задач обтекания ГО ВЭУ является актуальной.
Для правильной работы системы управления ориентацией ГО ВЭУ необходимо знать фактическое направление ветра. Направление ветра измеряется анеморумбометром, устанавливаемым на корпусе гондолы ВЭУ. Неправильное определение оптимального расположения анеморумбометра влияет на работу системы ориентации установки, что ведет к снижению ее коэффициента полезного действия. Решить задачу определения оптимального местоположения анеморумбометра на корпусе гондолы ВЭУ можно только методами численного моделирования внешнего обтекания. Процессы вихреобразования над корпусом гондолы являются достаточно сложными для моделирования из-за наличия крупновихревых структур, сопоставимых с размерами самой гондолы. В таких случаях необходимо применять методы моделирования крупных вихрей (LES) или методы моделирования отсоединенного вихря (DES) [1, 2]. Однако их практическое применение связано c большой затратой вычислительных ресурсов, что затрудняет их широкое распространение. Применение математических моделей турбулентности, базирующихся на осредненных по Рейнольдсу уравнениях Навье – Стокса (RANS), получило более широкое распространение, но не всегда позволяет учесть все эффекты турбулентного течения, связанного с наличием крупновихревых структур. Оценка влияния математических моделей, основанных на подходе RANS к описанию процессов вихреобразования, позволяет расширить область применения инженерных методик описания турбулентных процессов для решения практических задач, связанных с проектированием систем управления ГО ВЭУ, повышающих коэффициент полезного действия ВЭУ.
1. Математическая модель. В качестве математической модели описания движения вязкого турбулентного газа выбрана система уравнений, усредненная по Рейнольдсу (RANS) [3–10]. Неизвестные компоненты пульсации определяются на основе теории Буссинеска [3] о дифференциальных моделях турбулентности , Shear Stress Transport ( SST) и Eddy Viscosity Transport (EVT) [4, 11–15]. В расчете используется неструктурированная тетраэдрическая сетка с локальным измельчением (параметры пристеночного слоя по критерию Y+ не более 100) в области анализа параметров. Размер сетки составляет 3 миллиона ячеек.
Уравнения турбулентности имеют ряд эмпирических констант, влияющих непосредственно на отклонение вектора скорости в области расположения анеморумбометра, которые выводятся из дифференциальных уравнений турбулентности.
1.1. Модель содержит два дифференциальных уравнения [1] с пятью модельными константами (см. табл. 1):
- уравнение кинетической энергии турбулентности:
,
- уравнение скорости рассеивания:
где — кинетическая энергия турбулентных пульсаций, м2 /с2 ; — скорость рассеивания энергии турбулентности, м2 /с3 ; — плотность воздуха, кг/м3 ; — время, с; , — средние значения скоростей ветра в направлениях , , м/с; — сила трения, Па; — коэффициент динамической вязкости, Па с; — турбулентная динамическая вязкость, Па с; , —турбулентные числа Прандтля (константы стандартной модели турбулентности ); , — константы стандартной модели турбулентности ; — эмпирическая константа замыкания.
Таблица 1: Численные значения модельных констант [Numerical values of model constants]
| SST (basic) | SST (additional) | EVT |
|
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2. Модель SST является продвинутой версией модели и имеет два дифференциальных уравнения [16, 17], содержащих семь основных констант и десять дополнительных (они же — основные константы для стандартной модели , см. табл. 1):
- уравнение кинетической энергии турбулентности пульсаций:
- уравнение производной затухающей поперечной диффузии:
где — выработка кинетической энергии турбулентности пульсаций за счет средних градиентов скорости; , — рассеивания и из-за турбулентности; — выработка производной затухающей поперечной диффузии; — перекрестная диффузия; , — определяемые пользователем исходные показатели; , — эффективные диффузивности и ; , — турбулентные числа Прандтля.
Для модели SST турбулентные числа Прандтля , представлены уравнениями, а не константами, как в стандартной модели :
где — первая функция смешивания; , , , — константы модели SST.
Уравнение турбулентной динамической вязкости имеет вид
где — коэффициент гашения турбулентной вязкости; — модуль тензора средней скорости деформации; — вторая функция смешивания; — константа модели SST.
Коэффициент гашения турбулентной вязкости вычисляется по формуле
где , — константы стандартной модели ; — число Рейнольдса.
Выработка производной затухающей поперечной диффузии вычисляется по формулам
где — кинематическая турбулентная вязкость, м2 /с; , , — константы стандартной модели (при больших числах Рейнольдса ).
Для модели турбулентности SST
где
Здесь , — константы модели SST; — константа стандартной модели ; .
Уравнение производной затухающей поперечной диффузии имеет вид
где — коэффициент рассеивания; , — константы стандартной модели ; — коэффициент сжимаемости (при высоких числах Рейнольдса , а в несжимаемой форме );
— функция сжимаемости; — переменная функции сжимаемости; — константа стандартной модели .
Коэффициент сжимаемости задается формулой
где — константа стандартной модели .
1.3. Модель EVT состоит из уравнения турбулентности (для больших чисел Рейнольдса) [15]:
где
и содержит 4 модельные константы , , , .
Численные значения модельных констант представлены в табл. 1.
2. Настройки модели ГО ВЭУ. Исходная геометрия ГО ВЭУ [18] приведена на рис. 1, a. Так как на вихревой след влияет только комлевая часть лопасти, в расчетной области рассматривается усеченный вариант ВЭУ (рис. 1, b).
Рисунок 1. Геометрические параметры ГО ВЭУ (a); геометрия расчетной области (b); место расположения анеморумбометра (c)
[Figure 1. Geometric parameters of the HAWT (a); Geometry of the computational domain (b); Location of the anemorumbometer (c)]
Рисунок 2. Сеточное разбиение (общий вид и в разрезе)
[Figure 2. Grid partitioning (general view and cross-section)]
Локальное измельчение расчетной области позволяет сократить количество контрольных объемов для более рационального использования ресурса ЭВМ. В области наличия градиента скорости, на комлевом участке лопасти и в части объема над поверхностью гондолы необходимо добавление призматического слоя для приведения критерия применяемости моделей турбулентности (число Рейнольдса) к значениям до 150 (рис. 2). Место установки анеморумбометра находится на расстоянии 8 м от комлевой части лопасти на высоте 3 м от гондолы [18] (рис. 1, c).
Технические характеристики ГО ВЭУ Siemens SWT-3.6-120 [18, 19] сведены в табл. 2.
Таблица 2: Значения параметров ГО ВЭУ SWT-3.6-120 [The parameter values of the horizontal-axis wind turbine SWT-3.6-120]
Parameter names | Values |
Nominal power , kW | 3 600 |
Lower limit of wind speed , m/s | 3 |
Upper limit of wind speed , m/s | 25 |
Nominal wind speed , m/s | 12.5 |
Circumferential speed of the rotor , rad/s | 1 |
Rotor diameter , m | 120 |
Swept area of rotor , m2 | 11 300 |
3. Расчет временного шага интегрирования. Число Рейнольдса определяется через поперечный диаметр комлевой части лопасти на уровне рассматриваемой точки:
где — плотность воздуха при температуре 20 °C [20], кг/м3; — поперечный диаметр комлевой части лопасти на уровне регистрации параметров потока, м; — коэффициент динамической вязкости для воздуха при температуре 20 °С [20], Пас.
Число Струхаля S определяет частоту пульсации параметров скорости в вихревом следе при поперечном обтекании цилиндра:
где — номинальная скорость ветра, м/с (см. табл. 2).
В соответствии с измерениями А. Рошко [21] для чисел число Струхаля приближается к постоянному значению, равному 0.21 (см. рис. 3). Частота пульсации параметров скорости для числа Рейнольдса, равного , и числа Струхаля, равного 0.21, соответствует
c-1 .
Рисунок 3. Зависимость числа Струхаля от числа Рейнольдса для течения около круглого цилиндра [19]
[Figure 3. Dependence of the Strouhal number on the Reynolds number for a flow near a round cylinder [19]]
Период пульсаций условно разбивается на 10 равных частей, что определяет шаг интегрирования основной системы уравнений, описывающих движение вязкого турбулентного газа: c.
4. Критерии сравнения результатов. В качестве критерия оценки полученных результатов численного моделирования служат значения углов отклонения прибора по осям и , которые вычисляются через вертикальную , поперечную и продольную составляющие вектора скорости:
5. Результаты численного моделирования. В процессе нестационарного расчета параметров наблюдается зона установления расчета относительно начальных условий (рис. 4, a и b). Зона устойчивого счета начинается примерно с восьмой секунды.
Рисунок 4. Зависимость угла вертикальной составляющей скорости от времени (a); зависимость угла поперечной составляющей скорости от времени (b); зависимость угла вертикальной составляющей скорости от времени при использовании модели турбулентности SST (c); зависимость угла вертикальной составляющей скорости от времени при использовании модели турбулентности k−ε (d); зависимость угла вертикальной составляющей скорости от времени при использовании модели турбулентности EVT (e)
[Figure 4. Dependence of the angle of the vertical component of the velocity on the time (a); dependence of the angle of the transverse component of the velocity on the time (b); dependence of the angle of the vertical velocity component of the velocity on the time when using the SST turbulence model (c); dependence of the angle of the vertical velocity component of the velocity on the time when using the turbulence model (d); dependence of the angle of the vertical velocity component of the velocity on the time when using the EVT turbulence model (e)]
Наиболее четко периодическое изменение вектора скорости выражено на вертикальной составляющей профиля скорости (рис. 4, c – e). Из периодического процесса по характерным точкам выделяется частота изменения параметров скорости в вихревом следе.
Для сравнения параметров используется среднеарифметическое значение частоты изменения параметров. Сравниваются полученные результаты с результатами пульсации параметров вихревого следа (1.089 с-1) при поперечном обтекании цилиндра (табл. 3) [22].
Таблица 3: Сравнительный анализ частоты пульсации вертикальной составляющей вектора скорости и турбулентной вязкости [Comparative analysis of the pulsation frequency of the vertical component of the velocity vector and turbulent viscosity]
Parameters | Values | Values, % |
0.84 | 12.2 | |
0.61 | 41 | |
0.7 | 26.8 | |
, Pas | 0.00158 | — |
, Pas | 0.00237 | — |
, Pas | 0.00778 | — |
Наиболее близкий к частоте пульсации результат показали две модели турбулентности: и EVT, причем различия численного моделирования течения в области вихревого следа между ними менее 15 %. У модели турбулентности SST значительно завышен период изменения параметров из-за высокой турбулентной вязкости в следе (табл. 3, рис. 5), что приводит к более выраженной картине вихреобразования и более устойчивому счету.
Сила трения, Па:
Тензор напряжения Рейнольдса, Па:
где — турбулентная вязкость, обусловленная моделью турбулентности , Пас; — турбулентная вязкость, обусловленная моделью турбулентности SST, Пас; — турбулентная вязкость, обусловленная моделью турбулентности EVT, Пас; — функция демпфирования [4–7]; — безразмерная функция [8].
Рисунок 5. Поле турбулентной вязкости для модели турбулентности (a) k−ε (b) k−ω SST (c) EVT
[Figure 5. The field of turbulent viscosity for the turbulence model (a) k−ε (b) k−ω SST (c) EVT]
Выводы. Для моделирования параметров вихревого следа предпочтительны модели турбулентности и EVT, дающие почти одинаковые результаты. Данные модели достаточно точно спрогнозировали частоту изменения параметров в вихревом следе. Модель EVT использует одно дифференциальное уравнение и имеет шесть констант замыкания, в результате чего она более предпочтительна по затратам машинного времени. Модели и SST имеют два дифференциальных уравнения и не менее десяти констант замыкания, а также дополнительные функциональные и логические зависимости, которые необходимо учитывать при их использовании. Моделирование крупномасштабной турбулентности выходит за рамки применимости RANS-подхода со стандартными параметрами замыкания критериев турбулентности, но проделанный численный эксперимент показал, что для инженерного применения RANS-подход в совокупности со стандартными моделями турбулентности вполне применим при моделировании параметров вихревого следа.
Найдены константы замыкания (коэффициенты замыкания турбулентности модели EVT) для оптимального применения модели в широком диапазоне случаев. Определены изменения вектора скорости за хвостовой частью лопасти ГО ВЭУ для частного случая. Интересным и перспективным является формирование моделей турбулентности (в частности модели EVT) путем определения констант замыкания в зависимости от изменения вектора скорости за хвостовой частью лопасти ГО ВЭУ. Одним из вариантов для дальнейшего исследования является изменение значений констант замыкания с использованием более сложных методов моделирования крупновихревых структур, таких как модели DES и LES, а также сравнение экспериментальных значений результатов измерений. Анализ вихревых структур за хвостовой частью лопастей ГО ВЭУ может помочь в разработке упрощенной модели турбулентности, основанной на едином дифференциальном уравнении переноса, с помощью которого можно было бы определить параметры отклонения вектора скорости ветра за лопастями ГО ВЭУ. Это может повысить эффективность моделирования процессов для ГО ВЭУ.
Конкурирующие интересы. Заявляем, что в отношении авторства и публикации этой статьи конфликта интересов не имеем.
Авторский вклад и ответственность. Е. В. Соломин — общие корректировки статьи, написание введения и заключения, перевод на английский язык. А.А. Терехин — написание основной части статьи. А.С. Мартьянов — обработка, анализ и описание полученных результатов моделирования. А.А. Ковалёв — приведение и описание уравнений моделей турбулентности и их составляющих для определения количества эмпирических констант замыкания, оформление статьи в LaTeX. Д.Р. Исмагилов — консультации по теме моделирования и моделей турбулентности, помощь с описанием уравнений. Г.Н. Рявкин — выполнение моделирования в ANSYS® CFX. А.З. Кулганатов — построение геометрии ветроэнергетической установки в SolidWorks. Б.Т. Погорелов — работа с источниками, библиографическим списком и графиками. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами.
Финансирование. Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 22–19–20011.
About the authors
Evgeny V. Solomin
South Ural State University (National Research University)
Email: solominev@susu.ru
ORCID iD: 0000-0002-4694-0490
SPIN-code: 7191-4503
Scopus Author ID: 56497029400
ResearcherId: A-2409-2014
http://www.mathnet.ru/person105233
Dr. Tech. Sci., Professor, Dept. of Power Stations, Networks and Power Supply Systems
Russian Federation, 76, Lenin pr., Chelyabinsk, 454080Alexandr A. Terekhin
South Ural State University (National Research University)
Email: aleksandr.terekhin@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-5744-2104
SPIN-code: 6161-8358
Scopus Author ID: 26536627100
http://www.mathnet.ru/person171764
Cand. Techn. Sci., Associate Professor, Dept. of Flying Apparatus
Russian Federation, 76, Lenin pr., Chelyabinsk, 454080Andrey S. Martyanov
South Ural State University (National Research University)
Email: martianovas@susu.ru
ORCID iD: 0000-0002-9997-9989
SPIN-code: 7745-3958
Scopus Author ID: 57170580600
ResearcherId: AAU-6241-2020
http://www.mathnet.ru/person117729
Cand. Techn. Sci., Associate Professor, Dept. of Power Stations, Networks and Power Supply Systems
Russian Federation, 76, Lenin pr., Chelyabinsk, 454080Anton A. Kovalyov
South Ural State University (National Research University)
Email: alpenglow305@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0001-6952-277X
SPIN-code: 7477-6832
Scopus Author ID: 57209801438
http://www.mathnet.ru/person164305
Postgraduate Student, Dept. of Power Stations, Networks and Power Supply Systems
Russian Federation, 76, Lenin pr., Chelyabinsk, 454080Denis R. Ismagilov
South Ural State University (National Research University)
Email: drismagilov@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-9312-295X
SPIN-code: 8488-6020
Scopus Author ID: 57226504955
http://www.mathnet.ru/person171765
Research Engineer, Aerospace Technologies Research and Educational Center
Russian Federation, 76, Lenin pr., Chelyabinsk, 454080Gleb N. Ryavkin
South Ural State University (National Research University)
Email: amdx3@bk.ru
ORCID iD: 0000-0002-7637-0310
SPIN-code: 9303-6629
Scopus Author ID: 57219672086
ResearcherId: AAZ-3852-2021
http://www.mathnet.ru/person171768
Master’s Degree Student, Dept. of Power Stations, Networks and Power Supply Systems
Russian Federation, 76, Lenin pr., Chelyabinsk, 454080Askar Z. Kulganatov
South Ural State University (National Research University)
Email: kulganatov97@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-7576-7949
http://www.mathnet.ru/person181008
Postgraduate Student, Dept. of Power Stations, Networks and Power Supply Systems
Russian Federation, 76, Lenin pr., Chelyabinsk, 454080Bogdan T. Pogorelov
South Ural State University (National Research University)
Author for correspondence.
Email: boga-rap@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-2922-6615
http://www.mathnet.ru/person181009
Master’s Degree Student, Dept. of Power Stations, Networks and Power Supply Systems
Russian Federation, 76, Lenin pr., Chelyabinsk, 454080References
- Ahmadi M. H. B., Yang Z. The evolution of turbulence characteristics in the wake of a horizontal axis tidal stream turbine, Renewable Energy, 2020, vol. 151, pp. 1008–1015. DOI: https://doi.org/10.1016/j.renene.2019.11.092.
- Posa A., Broglia R., Balaras E. Instability of the tip vortices shed by an axial-flow turbine in uniform flow, J. Fluid Mech., 2021, vol. 920, 920A19-1. DOI: https://doi.org/10.1017/JFM.2021.433.
- Wilcox D. C. Turbulence Modeling for CFD. California, DCW Industries, 1994, 460 pp.
- Menter F. R. Two-equation eddy-viscosity turbulence models for engineering applications, AIAA J., 1994, vol. 32, no. 8, pp. 1598–1605. DOI: https://doi.org/10.2514/3.12149.
- Chung T. J. Computational Fluid Dynamics. London, Cambridge Univ. Press, 2010, xxii+1034 pp. DOI: https://doi.org/10.1017/CBO9780511780066.
- Versteeg H., Malalasekra W. An Introduction to Computational Fluid Dynamics. The Finite Volume Method. London, Prentice Hall, 2007, xiii+503 pp.
- Ferziger J. H., Peric M. Computational Methods for Fluid Dynamics. Berlin, Springer-Verlag, 2002, xiv+426 pp. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-56026-2.
- ANSYS® CFX – Solver Theory Guide, Release 16.0. Canonsburg, PA, Ansys ANSYS, Inc., 2016.
- Anderson J. D. Computional Fluid Dynamics: The Basics with Applications, McGraw-Hill Series in Aeronautical and Aerospace Engineering. New York, Mcgraw-Hill, Inc., 1995, xxv+547 pp.
- Wesseling P. Principles of Computational Fluid Dynamics, Springer Series in Computational Mathematics, vol. 29. Berlin, Heidelberg, Springer-Verlag, 2001, xii+644 pp. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-05146-3.
- Belov I. A. Modelirovanie turbulentnykh techenii [Simulation of Turbulent Flows]. St. Petersburg, Baltic State Techn. Univ., 2001, 108 pp. (In Russian)
- El Tahry S. H. k−ε equation for compressible reciprocating engine flows, J. Energy, 1983, vol. 7, no. 4, pp. 345–353. DOI: https://doi.org/10.2514/3.48086.
- Troshko A. A, Hassan Y. A. A two-equation turbulence model of turbulent bubbly flows, Int. J. Multiphase Flow, 2001, vol. 27, no. 11, pp. 1965–2000. DOI: https://doi.org/10.1016/s0301-9322(01)00043-x.
- Menter F. R. Eddy viscosity transport equations and their relation to the k−ε model, NASA Technical Memorandum 108854, 1994.
- Menter F. R. Eddy viscosity transport equations and their relation to the k−ε model, J. Fluids Eng., 1997, vol. 119, no. 4, pp. 876–884. DOI: https://doi.org/10.1115/1.2819511.
- Ansys Fluent 12.0 Theory Guide – 4.5.2 Shear-Stress Transport (SST) k−ω Model, Technical Documentation, 2009. https://www.afs.enea.it/project/neptunius/docs/fluent/html/th/node67.htm.
- Snegirev A. Yu. Vysokoproizvoditel’nye vychisleniia v tekhnicheskoi fizike. Chislennoe modelirovanie turbulentnykh techenii [Computer-Intensive Simulations in Technical Physics. Modeling and Simulations of Turbulent Flows]. St. Petersburg, Politechn. Univ., 2009, 143 pp. (In Russian)
- Wind power plant Siemens: SWT–3.6–120, Technical documentation, 2021. https://pdf.archiexpo.com/pdf/siemens-gamesa/swt-36-120/88089-134487.html.
- Solomin E. V., Terekhin A. A., Martyanov A. S., Kovalyov A. A., Ismagilov D. R., Miroshnichenko A. A., Yang Yu., Ryavkin G. N. Horizontal-axis wind turbine weathervane yaw differential error, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2021, vol. 25, no. 2, pp. 365–380 (In Russian). DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1839.
- Bogdanov S. N., Burtsev S. I., Ivanov O. P., Kupriianova A. V. Kholodil’naia tekhnika. Konditsionirovanie vozdukha [Refrigeration Equipment. Air Conditioning]. St. Petersburg, SPbGAKhPT, 1999, 320 pp. (In Russian)
- Roshko A. On the development of turbulent wakes from vortex streets, Technical Report no. 1191. Washington, D.C., National Advisory Committee for Aeronautics, 1954, 25 pp. https://resolver.caltech.edu/CaltechAUTHORS:ROSnacarpt1191.
- Shlikhting G. Boundary-Layer Theory. Berlin, Heidelberg, Springer-Verlag, 2000, xxiii+799 pp. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-85829-1.