Начально-граничная задача для уравнения в частных производных высшего четного порядка с оператором Бесселя

Обложка


Цитировать

Полный текст

Аннотация

В данной статье для дифференциального уравнения в частных производных высокого четного порядка с оператором Бесселя в прямоугольнике сформулирована начально-граничная задача. На основе метода разделения переменных к поставленной задаче получена спектральная задача для обыкновенного дифференциального уравнения высокого четного порядка. Доказана самосопряженность последней задачи, откуда следует существование системы ее собственных функций, а также ортонормированность и полнота этой системы. Далее исследованы равномерная сходимость некоторых билинейных рядов и порядок коэффициентов Фурье, зависящих от найденных собственных функций. Решение изучаемой задачи найдено в виде суммы ряда Фурье по системе собственных функций спектральной задачи. Доказана равномерная сходимость этого ряда, а также рядов, полученных из него почленным дифференцированием. Методом спектрального анализа доказана единственность решения задачи. Получена оценка для решения задачи, откуда следует его непрерывная зависимость от заданных функций.

Полный текст

Введение. Известно, что дифференциальные уравнения в частных производных имеют многочисленные приложения в науке и технике [1, 2]. В настоящее время эта теория развивается быстрыми темпами в различных направлениях. Особое место занимают дифференциальные уравнения в частных производных высокого четного порядка. Имеются многочисленные научные работы, в которых сформулированы и изучены начальные и начально-граничные задачи для таких уравнений. Например, в работе [3] в области Δ=x,t;0<x<p; 0<t<T для уравнения uttuxxxx=fx,t поставлена и исследована задача с условиями

ux,0=ux,T=00xp,

u0,t=uxx0,t=up,t=uxxp,t=0,0tT, (1)

а в работе [4] — с условиями

ux,0=utx,T=0,0xp,

ux0,t=uxxx0,t=uxp,t=uxxxp,t=00tT. (2)

В работах [5, 6] в области  аналогичные задачи изучены для уравнений uxxxxuttλu=fx,t и uxxxxuttcx,tu=fx,t соответственно, а в работах [7-9] — для уравнения uxxxx+uttfx,t. В работе [10] для уравнения utt+α2uxxxx=0 в верхней полуплоскости изучена задача Коши, а в работах [11-13] в области  исследованы начально-граничные задачи для уравнения utt+α2uxxxx=fx,t c начальными условиями ux,0=φxutx,0=ψx,  0xp и различными граничными условиями, в том числе с условиями  u0,t=ux0,t=uxxp,t=uxxxp,t=0, 0tT. Начально-граничная задача в области  для уравнения uxxxx+utt+2γ/tut=fx,t, где γ(0,1/2) — const, с начальными ux,0=φ1xlimt0t2γutx,t=φ2x и граничными условиями (1), (2) исследована в работах [14, 15] соответственно.

В работе [16] в области  рассмотрена задача об определении решения уравнения

2kux2k2ut2fx,t (3)

удовлетворяющего условиям

2mx2mu0,t=2mx2mup,t=0m0,k1¯,0tT,k2 (4)

и одной из следующих пар условий:

ux,0=ux,T=0,0xp;

ux,0=utx,T=00xp; (5)

ux,0=ux,T,utx,0=utx,T0xp,                       

причем здесь подробно исследована задача (3)–(5). В [16] также поставлена задача для уравнения (3) с условиями (5) и

2m+1x2m+1ut,0=2m+1x2m+1up,t=0m0,k1¯,0tT,k2.         

В работе [17] для уравнения (3) в области исследована задача с условиями (4) и

ux,0=utx,0=0,0xp.                                 

В работе [18] в области D=x,t:0<x<π; 0<t<2π для уравнения (3) при fx,t0, k=2n+1, n исследована некорректная задача с условиями

2mx2mu0,t=2mx2muπ,t=0m=0,1,k1,

uαπ,t=ft,0t2π,                     

а в [19] для квазилинейного уравнения

2ut2a22kux2kft,x,ut,x,k                            

в области DT=t,x:0<t<T;0<x<π рассмотрена задача с начальными

u0,x=φx,utT,x=ψx,0xπ

и периодическими условиями вида

juxjx=0=juxjx=π,j=0,1,2k1,0tT.                      

В работе [20] в области  для уравнения

2kux2k+2ut2=fx,t                                          

исследованы задачи с условиями (4), (5) и (4), ux,0=utx,0=0.

В работе [21] изучены начально-краевые задачи для уравнения вида

utt+Ax,Dux,t=fx,t,                                     

где Ax,D=αmaαxDα — произвольный положительный формально самосопряженный эллиптический дифференциальный оператор порядка m=2l с достаточно гладкими коэффциентами aαx, где α=α1,α2,,αN — мультииндекс и D=D1,D2,,DN, Dj=/xj, а в [22] — задачи для уравнения

tρux,t+Ax,Dux,t=fx,t,                                 

где tρux,t — дифференциальный оператор Римана – Лиувилля дробного порядка ρ(0,1].

Кроме приведенного выше, в [23-27] исследована задача Коши в верхней полуплоскости для уравнений высокого четного порядка с оператором Бесселя.

1. Постановка задачи. Исследование спектральной задачи. В области Ω=x,t:0<x<1;0<t<T рассмотрим уравнение

Bγ1/2tu+1k2kux2k=fx,t (6)

где γT — заданные действительные числа, причем , 0<γ<1/2, fx,t— заданная функция, а Bωt2/t2+1+2ω/t/t — оператор Бесселя.

Исследуем следующую начально-граничную задачу.

Задача 1. Найти функцию ux,tCx,t2k1,0Ω¯Cx,t2k,2Ω, удовлетворяющую в области Ω уравнению (6), а на границе области Ω следующим начальным и граничным условиям

ux,0=φ1x,0x1;limt+0t2γutx,tφ2x 0<x<1; (7)

u0,txu0,t==k1xk1u0,t0tT,kxku1,tk+1xk+1u1,t==2k1x2k1u1,t0tT, (8)

где φ1x и φ2x — заданные непрерывные функции.

Исследуем существование, единственность и устойчивость решения задачи 1. Нетривиальные решения однородного уравнения

Bγ1/2tu+1k2kux2k=0,                                        

удовлетворяющего условиям (8), ищем в виде ux,t=vxTt. В результате относительно функции Tt получим уравнение

Bγ1/2tTt+λTt 0<t<T,                                

а относительно функции vx получим следующую спектральную задачу:

Mv1kv2kx=λvx 0<x<1, (9)

v0=v'0==vk10=0vk1=vk+11==v2k11=0. (10)

Рассмотрим задачу (9), (10). Пусть vx, wxC2k10,1C2k0,1 и v2kx, w2kxC0,1L0,1. Тогда интегрированием по частям нетрудно убедиться, что справедливо равенство

01wMvdx=01vMwdx+1k[wv2k1w'vk2++

+1k1wk1vk+1kwkvk1++12k1w2k1v]x=0x=1.

Отсюда следует, что если функции vx и wx удовлетворяют условиям (10), то имеет место равенство 01wMvdx=01vLwdx, откуда следует, что задача Mv=0, (10) самосопряженная. Теперь выясним, при каких λ задача (9), (10) имеет нетривиальные решения. С этой целью сначала умножим уравнение (9) на функцию vx, а затем проинтегрируем по x на отрезке [0, 1]:

1k01v2kxvxdx=λ01v2xdx.                               

Применим правило интегрирования по частям k раз к первому интегралу:

λ01v2xdx=01vkx2dx+

+1kv2k1xvxv2k2xvx++1k1vkxvk1x01.

В силу условия (10) из последнего соотношения следует равенство

λ01v2xdx=01vkx2dx.                                     

Отсюда следует, что λ0.

Рассмотрим случай λ=0. Здесь уравнение (9) принимает вид v2kx. Общее решение этого уравнения определяется равенством

vx=c1x2k12k1+c2x2k22k2++c2k2x2!2+c2k1x1!+c2k,                

где cjj=1,2k¯ — произвольные постоянные. Подчиняя эту функцию условиям (10), получим cj=0, j=1,2k¯. Тогда vx0, x0,1.

Следовательно, задача (9), (10) может иметь нетривиальные решения только при λ>0.

Предполагая λ>0, приведем задачу (9), (10) к эквивалентному интегральному уравнению. С этой целью построим функцию Грина:

1k1x2k12k1!0!+1k2x2k2s2k2!1!++xksk1k!k1,0x<s,1k1s2k12k1!0!+1k2s2k2x2k2!1!++skxk1k!k1,s<x1. (11)

Функция Грина (11) по переменной x удовлетворяет условиям (9), ее производные по x до порядка 2k-2 включительно непрерывны при x(0,1), производная порядка 2k-1при x=s0,1 имеет скачок вида

2k1x2k1Gx,s|x=s+02k1x2k1Gx,s|x=s01k, (12)

а производная порядка 2k удовлетворяет уравнению 2k/x2kGx,s=0 при xs0,1.

Пользуясь этими свойствами функции Gx,s, нетрудно убедиться, что решение уравнения Mvx=gx, удовлетворяющее условиям (10), определяется формулой

vx=01Gx,sgsds, (13)

где g(x) — заданная непрерывная функция.

Докажем, что при (13) выполняется равенство Mvx=gx.

В силу свойств функции Gx,s из (13) сразу следует выполнение условий (10). Перепишем (13) в виде

vx=0xGx,sgsds+x1Gx,sgsds.                           

Это равенство последовательно продифференцируем 2k раз. Тогда, принимая во внимание непрерывность функции gx и производных функции Gx,s до 2k-2 порядка включительно, получим

v2kx=0xGx2kx,sgsds+x1Gx2kx,sgsds+

+Gx2k1x,x0Gx2k1x,x+0gx0+

+gx0gx+0Gx2k1x,x+0.

Отсюда в силу равенств (12) и 2k/x2kGx,s=0, xs, а также непрерывности функции gx следует, что v2kx=1kgx, т. е. Mvx=gx.

Из доказанного выше следует, что задача (9), (10) эквивалентна следующему интегральному уравнению:

vx=λ01Gx,svsds. (14)

Так как λ>0 и ядро Gx,s симметрично и непрерывно, согласно теории интегральных уравнений [28], уравнение (14) и, следовательно, задача (9), (10) имеет счетное число собственных значений

λ1<λ2<λ3<<λn<,λn+,                      

а соответствующие им собственные функции

v1x,v2x,v3x,,vnx                         

образуют ортонормированную систему в пространстве L20,1; при этом любая функция gxL20,1 разлагается в сходящийся в среднем ряд Фурье по этим собственным функциям. Так как задача Mv=0, (10) самосопряженная, система функций vnxn+ полна в пространстве L20,1 [29].

2. Сходимость основных билинейных рядов. Сформулируем и докажем следующую лемму.

Лемма 1. Следующие ряды равномерно сходятся на  [0, 1]:

n=1+vn2xλn,n=1+vnjx2λn2,j1,2k1¯n=1+vn2kx2λn3. (15)

Доказательство. Так как ядро Gx,s интегрального уравнения (14) симметрично, непрерывно и положительно, согласно теореме Мерсера [28] справедливо равенство

Gx,s=n=1+vnxvnsλn.                                        

Отсюда в силу непрерывности ядра Gx,s при x=s следует неравенство

Gx,x=n=1+vn2xλnK, (16)

где K — некоторое действительное положительное число. Следовательно, первый ряд в (15) сходится равномерно.

Далее согласно (14) справедливы следующие равенства:

vnjx=λn01jxjGx,svnsds,j=1,2k1¯                        

или

vnjxλn=01jxjGx,svnsds,j=1,2k1¯.                          

Так как vnxn=1+ ортонормированная система, из последнего равенства следует, что vnjx/λn являются коэффициентами Фурье функции j​/​xjGx,s по аргументу s. Тогда, учитывая, что j/xjGx,s, j=1,2k1¯, x0,1 квадратично суммируемы, согласно неравенству Бесселя имеем

n=1+vnjxλn201jxjGx,s2dsKj,j=1,2k1¯,             

где Kj — некоторые действительные положительные числа. Следовательно, вторые ряды в (15) равномерно сходятся.

Далее, учитывая уравнение (9) и неравенство (16), имеем

n=1+vn2kx2λn3n=1+λn1kvnx2λn3n=1+vnx2λnK,                  

откуда следует, что последний ряд в (15) сходится равномерно.     

3. Порядок коэффициентов Фурье. Сформулируем и докажем следующие леммы.

Лемма 2. Пусть gxCk10,1, gkxL20,1 и g0=g'0==gk20=gk10=0. Тогда справедливо неравенство

n=1λngn201gkx2dx, (17)

где gn — коэффициенты Фурье функции gx по системе собственных функций  vnxn=1+.

Доказательство. Рассмотрим следующее выражение:

J=01gkxn=1m1gnvnkx2dx0.                               

Имеют место следующие равенства:

J=01gkx2dx+01n=1m1gnvnkx2dx201​​gkxn=1m1gnvnkxdx=

=01gkx2dx+01n=1m1gnvnkx2dx+2n,lnlm1gngl01vnkxvlkxdx

2n=1m1gn01gkxvnkxdx. (18)

Применяя правило интегрирования по частям k раз, имеем

01vnkxvlkxdx=[vnkxvlk1xvnk+1xvlk2x+

++1k1vn2k1xvlx]01+1k01vn2kxvlxdx.

Отсюда в силу равенств (10) и 1kvn2kx=λvnx следует, что

01vnkxvlkxdx=λn01vnxvlxdx=0,nl,λn,n=l. (19)

Аналогично, принимая во внимание условия леммы 2, получим

01gkxvnkxdx=[gk1xvnkxgk2xvnk+1x+

+1k1gxvn2k1x]01+1k01vn2kxgxdx=

λn01gxvnxdx=λngn,n. (20)

Учитывая равенства (19), (20) и J0, из равенства (18) получим

J=01gkx2dxn=1m1λngn20.                                 

Так как это неравенство имеет место m, справедливо неравенство (17).

Лемма 3. Пусть gxC2k10,1gkxL20,1 и g0=g'0==gk20=gk10=0, gk1=gk+11==g2k11=0. Тогда справедливо неравенство

n=1+λn2gn201g2kx2dx. (21)

Доказательство. Применяя правило интегрирования по частям 2k раз, имеем

01g2kxvnxdx=[g2k1xvnxg2k2xv'nx+

++12k1gxvn2k1x]01+12k01gxvn2kxdx=

=1kλn01gxvnxdx=1kλngn,n.                     

Следовательно, 1kλngn — коэффициенты Фурье функции g2kx по системе функций vnxn=1+. Так как g2kxL20,1, согласно неравенству Бесселя справедливо неравенство (21).     

Лемма 4. Пусть gxC3k10,1, gkxL20,1 и g0=g'0==gk20=gk10=0gk1=gk+11==g2k11=0, g2k0=g2k+10==g3k10=0. Тогда справедливо неравенство

n=1+λn3gn201g3kx2dx. (22)

Доказательство. Функция g2kx удовлетворяет условиям леммы 2 и, как доказано выше, 1kλngn — ее коэффициенты Фурье. Тогда согласно (17) получаем справедливость неравенства (22). 

4. Существование решения задачи 1. Сформулируем и докажем следующую теорему.

Теорема 1. Пусть функции φ1x и φ2x удовлетворяют условиям леммы 4, а функция fx,t удовлетворяет этим условиям по аргументу x равномерно по t. Тогда функция

ux,t=n=1+{ant1/2γJ1/2γλnt+bnt1/2γJγ1/2λnt+

+π2cosγπ[0tJ1/2γλntJγ1/2λnτtτ1/2γτfnτdτ

0tJγ1/2λntJ1/2γλnτtτ1/2γτfnτdτ]}vnx (23)

определяет решение задачи 1, где λn и vnx — собственные значения и собственные функции задачи (9), (10);

an=12λn2γ1/2Γ1/2γφ2n,bn=λn21/2γΓ1/2+γφ1n (24)

φ1n=01φ1xvnxdx,φ2n=01φ2xvnxdx;

fnt=01fx,tvnxdx,n;

Jvxфункция Бесселя первого рода, Γz — гамма-функция Эйлера.

Доказательство. Решение задачи 1 ищем в виде

ux,t=n=1+untvnx, (25)

где unt — неизвестные функции, которые подлежат определению. Разложим функцию fx,t в ряд по системе vnxn=1+:

fx,t=n=1+fntvnx. (26)

Подставив (25) и (26) в уравнение (6), а (5) "— в условие (7), имеем

n=1+1kuntvn2kx+Bγ1/2tuntvnx=n=1+fntvnx,

limt+0n=1+untvnx=n=1+φ1nvnx,

limt+0t2γn=1+u'ntvnx=n=1+φ2nvnx.

Из этих равенств, учитывая равенства 1kvn2k=λnvn и ортонормированность системы функций vnxn=1+, относительно неизвестных функций unt, n, получим следующую задачу:

Bγ1/2tunt+λnunt=fntt0,T,n; (27)

un0=φ1n,limt+0t2γu'nt=φ2n,n. (28)

Применяя метод Лагранжа, легко убедиться, что решение задачи (27), (28) существует, единственно и определяется равенством

unt=ant1/2γJ1/2γλnt+bnt1/2γJγ1/2λnt+

+π2cosγπ0tJ1/2γλntJγ1/2λnτtτ1/2γτfnτdτ

π2cosγπ0tJγ1/2λntJ1/2γλnτtτ1/2γτfnτdτ,n, (29)

где an и bn — постоянные, определенные равенствами (24). Подставляя (29) в (25), получим формальное решение задачи 1 в виде (23).

Докажем, что ряд (23) и ряды 2k/x2ku, t2γ/tu, Bγ1/2tu, полученные из (23) почленным дифференцированием, сходятся равномерно в Ω¯. При этом воспользуемся следующей леммой.

Лемма 5. Для функций unt определяемых равенствами (29), справедливы неравенства

untφ1n+T12γ12γφ2n+|2TT12γfntL20,T,n. (30)

Доказательство. Функции (29) с помощью функции Бесселя – Клиффорда J¯wz=Γw+1z/2wJwz перепишем в виде

unt=ant12γλn1/2γΓ3/2γJ¯1/2γλnt+bnλn/2γΓγ+1/2J¯γ1/2λnt+

+112γ0tJ¯1/2γλntJ¯γ1/2λnτtτ12γτfnτdτ

112γ0tJ¯γ1/2λntJ¯1/2γλnττfnτdτ,n.               

Отсюда, принимая во внимание J¯νx1 при ν>1/2, получим

untant12γλn/21/2γΓ3/2γ+bnλn/2γΓγ+1/2+

+t12γ12γ0tτ2γfnτdτ+112γ0tτfnτdτ,n.

Теперь, учитывая 0τtT и применяя неравенство Коши – Буняковского, имеем

untanT2λn/21/2γΓ3/2γ+bnλn/2γ1/2Γγ+1/2+

+2T12γ0Tdτ0Tfn2τdτ1/2

anT2λn/21/2γΓ3/2γ+bnλn/2γΓγ+1/2+2TT12γfnL20,T,n.      

Отсюда, принимая во внимание (24), получим неравенства (30).

Лемма 5 доказана.     

Переходим к доказательству равномерной сходимости рядов (23) и

j/xjux,t=n=1+untvnjx,j=1,2k1¯,

2k/x2kux,t=n=1+untvn2kx. (31)

t2γutx,t=n=1+t2γu'ntvnx,Bγ1/2tux,t=n=1+Bγ1/2tuntvnx.              

Рассмотрим ряд (31). Согласно (30), из (31) следует, что для доказательства равномерной сходимости этого ряда достаточно доказать абсолютную и равномерную сходимость рядов

n=1+φ1nvn2kx,n=1+φ2nvn2kx,n=1+0Tfn2τdτ1/2vn2kx.                 

К каждому из этих рядов применяем неравенство Коши – Буняковского:

n=1+φjnvn2kxn=1+φjnvn2kxn=1+|λn3φjnvn2kxλn3|

n=1+λn3φjn2n=1+vn2kx2λn31/2,j=1,2¯,

n=1+0Tfn2τdτ1/2vn2kx|n=1+0Tfn2τdτ1/2vn2kx|

|n=1+λn30Tfn2τdτ1/2vn2kxλn3|

0Tn=1+λn3fn2τdτn=1+vn2kx2λn31/2.                          

Ряды, стоящие в правых частях этих неравенств, в силу условий теоремы 1 согласно леммам 1 и 4 равномерно сходятся. Следовательно, ряды, стоящие в левых частях, сходятся абсолютно и равномерно в Ω¯.

Аналогично доказывается абсолютная и равномерная сходимость в Ω¯ и остальных рядов.

Из доказанного выше следует, что все ряды, соответствующие каждым членам уравнения (6) и условиям (7), (8), сходятся абсолютно и равномерно в Ω¯. Тогда сумма этих рядов удовлетворяет уравнению (6 и условиям (7), (8). Следовательно, сумма ряда (23) является решением задачи 1.     

5. Единственность решения задачи. Сформулируем и докажем следующие теоремы.

Теорема 2. Задача (6)–(8) не может иметь более одного решения.

Доказательство. Предположим, что задача (6)–(8) имеет два решения: u1(x,t) и u2x,t. Введем обозначение

u1x,tu2x,t=u0x,t (32)

Тогда функция u0x,t является решением однородной задачи, соответствующей задаче 1.

Рассмотрим следующие функции:

wnt=01u0x,tvnxdx,n, (33)

где vnx — собственные функции задачи (9), (10).

Согласно (33) введем функции

wnt=01u0x,tvnxdx,n, (34)

где ε,1ε. Очевидно, что limε0wn,εt=wnt.

Вычислим первые и вторые производные функций (34):

w'n,εt=ε1εtu0x,tvnxdx,  w''n,εt=ε1ε2t2u0x,tvnxdx,  n.       

Из этих равенств следует, что

Bγ1/2twn,εt=ε1εBγ1/2tu0x,tvnxdx,n.

В силу Bγ1/2tu0x,t=1k+12k/x2ku0x,t последнее равенство переписывается в виде

Bγ1/2twn,εt=1k+1ε1ε2kx2ku0x,tvnxdx,n.

Отсюда, применяя правило интегрирования по частям 2k раз, имеем

Bγ1/2twn,εt=1k+1[2k1x2k1u0x,tvnx2k2x2k2u0x,tv'nx+

++1k1kxku0x,tvnk1x+1kk1xk1u0x,tvnkx+

+12k1u0x,tvn2k1x]ε1ε+12k1k+1ε1εu0x,tvn2kxdx.           

В этом равенстве перейдем к пределу при ε0. В результате, учитывая условия (8) и (10), а также уравнение (9) и обозначение (33), получим

Bγ1/2twnt+λnwnt=0n. (35)

Согласно однородным начальным условиям, соответствующим (7), из (33) находим

wn0=0,limt0t2γw'nt=0 (36)

Общее решение уравнения (35) согласно формуле (29) имеет вид

wnt=α1nt1/2γJ1/2γλnt+α2nt1/2γJγ1/2λnt,n, (37)

где αjn — произвольные постоянные, j=1,2¯, n.

Подчиняя функции (37) условиям (36), находим αjn=0, j=1,2¯, n. Следовательно, wnt0, n. Тогда из (33) следует, что

01u0x,tvnxdx=0n.                   

Так как система функций vnxn=1+ полна в L20,1, из последнего равенства следует, что u0x,t0, x,tΩ¯. Тогда на основании (32) u1x,t=u2x,t, x,tΩ¯.     

Теорема 3. Пусть функции φ1x и φ2x удовлетворяют условиям леммы 4, а функция fx,t удовлетворяет этим условиям по x равномерно по t. Тогда для решения задачи 1 справедлива оценка

ux,tL20,12K0φ1xL20,12+φ2xL20,12+fx,tL2Ω2, (38)

где K0 — некоторое действительное положительное число.

Доказательство. Так как vnxn=1+ — ортонормированная система, из (23) согласно обозначениям (29) и оценкам (30) следует такое неравенство:

ux,tL20,12=01n=1+untvnx2dx=

=01n=1+un2tvn2x+2n,k=1nk+uktuktvnxvkxdx=

=n=1+un2tK~n=1+φ1n+φ2n+fntL20,T2

K~n=1+[φ1n2+φ2n2+fnL20,T2+

+φ1nφ2n+2φ1nfnL20,T+2φ2nfnL20,T],              

где K=~supT12γ12γ,2T3/2/12γ. Заменяя последние три слагаемых по неравенству a2+b22ab, а затем применяя неравенство Бесселя и обозначая 3K~ через K0, получим

ux,tL2(0,1)2K0φ2xL2(0,1)2+φ1xL2(0,1)2+n=1+fntL20,T2. (39)

Оценим последнее слагаемое правой части (39).

Принимая во внимание первое из равенств (26) и ортонормированность системы vnxn=1+, находим

fx,tL2Ω2=fx,tfx,tL2Ω=

=n=1+fntvnx,n=1+fntvnxL2Ω=

=0T01n=1+fntvnxm=1+fmtvmxdxdt=

=n=1+0Tfnt2dt=n=1+fnL20,T2.                            

Следовательно,

n+fntL20,T2=fx,tL2Ω2. (40)

Подставляя (40) в (39), получим (38).     

Заключение. В данной работе в прямоугольной области рассмотрена начально-граничная задача для дифференциального уравнения в частных производных высокого четного порядка с оператором Бесселя. Методом разделения переменных найдено решение задачи в виде ряда, который сходится абсолютно и равномерно в замыкании области рассмотрения уравнения. Доказаны единственность решения задачи и непрерывная зависимость его от заданных функций.

Конкурирующие интересы. Мы не имеем конкурирующих интересов.

Авторский вклад и ответственность. Все авторы принимали участие в разработке концепции статьи и в написании рукописи. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами.

Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.

×

Об авторах

Ахмаджон Кушакович Уринов

Ферганский государственный университет; Институт математики имени В. И. Романовского АН Республики Узбекистан

Email: urinovak@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-9586-1799
Scopus Author ID: 19639412400
http://www.mathnet.ru/person30024

доктор физико-математических наук, профессор; профессор каф. математического анализа и дифференциальных уравнений, ведущий научный сотрудник

Узбекистан, 150100, Фергана, ул. Мураббийлар, 19; 100174, Ташкент, ул. Университетская, 46

Музаффар Сулаймонович Азизов

Ферганский государственный университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: muzaffar.azizov.1988@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-2091-9300

докторант каф. математического анализа и дифференциальных уравнений

Узбекистан, 150100, Фергана, ул. Мураббийлар, 19

Список литературы

  1. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. 736 с.
  2. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. М.: Высш. шк., 1995. 301 с. EDN: PDBBNB.
  3. Салахитдинов М. С., Аманов Д. Разрешимость и спектральные свойства самосопряженной задачи для уравнения четвертого порядка // Узб. мат. ж., 2005. № 3. С. 72–77.
  4. Аманов Д., Юлдашева А. В. Разрешимость и спектральные свойства самосопряженной задачи для уравнения четвертого порядка // Узб. мат. ж., 2007. № 4. С. 3–8.
  5. Аманов Д., Мурзамбетова М. Б. Краевые задачи для уравнения четвертого порядка со спектральным параметром // Узб. мат. ж., 2012. № 3. С. 22–30.
  6. Аманов Д., Мурзамбетова М. Б. Краевая задача для уравнения четвертого порядка с младшим членом // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 2013. № 1. С. 3–10. EDN: PXPCOF.
  7. Отарова Ж. А. Разрешимость и спектральные свойства самосопряженных задач для уравнения четвертого порядка // Узб. мат. ж., 2008. № 2. С. 74–80.
  8. Отарова Ж. А. Разрешимость и спектральные свойства самосопряженной задачи для уравнения четвертого порядка // Докл. АН РУз, 2008. № 1. С. 10–14.
  9. Отарова Ж. А. Вольтеррова краевая задача для уравнения четвертого порядка // Докл. АН РУз., 2008. № 6. С. 18–22.
  10. Сабитов К. Б. Начальная задача для уравнения колебаний балки // Диффер. уравн., 2017. Т. 53, № 5. С. 665–671. EDN: YSXNEH. DOI: https://doi.org/10.1134/S0374064117050090.
  11. Сабитов К. Б. Колебания балки с заделанными концами // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2015. Т. 19, № 2. С. 311–324. EDN: UGXNZR. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1406.
  12. Сабитов К. Б. К теории начально-граничных задач для уравнения стержней и балок // Диффер. уравн., 2017. Т. 53, № 1. С. 89–100. EDN: XRBXOV. DOI: https://doi.org/10.1134/S0374064117010083.
  13. Сабитов К. Б., Фадеева О. В. Начально-граничная задача для уравнения вынужденных колебаний консольной балки // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2021. Т. 25, № 1. С. 51–66. EDN: SXRWIP. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1845.
  14. Azizov M. S. A boundary problem for the fourth order equation with a singular coefficient in a rectangular region // Lobachevskii J. Math., 2020. vol. 41, no. 6. pp. 1043–1050. EDN: HDCKMU. DOI: https://doi.org/10.1134/S1995080220060050.
  15. Азизов М. С. Смешанная задача для неоднородного уравнения четвертого порядка с сингулярным коэффициентом в прямоугольнике // Бюл. инст. мат., 2020. № 4. С. 50–59.
  16. Amanov D., Yuldasheva A. V. Solvability and spectral properties of boundary value problems for equations of even order // Malays. J. Math. Sci., 2009. vol. 3, no. 2. pp. 227–248. https://mjms.upm.edu.my/lihatmakalah.php?kod=2009/July/3/2/227-248.
  17. Amanov D. About correctness of boundary value problems for equation of even order // Uzbek Math. J., 2011. no. 4. pp. 20–35.
  18. Юлдашева А. В. Об одной задаче для уравнения высокого порядка // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки, 2014. № 2(9). С. 17–22. EDN: TBECFX. DOI: https://doi.org/10.18454/2079-6641-2014-9-2-17-22.
  19. Юлдашева А. В. Об одной задаче для квазилинейного уравнения четного порядка / Дифференциальные уравнения. Математическая физика / Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., Т. 140. М.: ВИНИТИ РАН, 2017. С. 43–49.
  20. Amanov D., Ashyralyev A. Well-posedness of boundary value problems for partial differential equations of even order // AIP Conference Proceedings, 2012. vol. 1470, no. 1, 3. DOI: https://doi.org/10.1063/1.4747625.
  21. Ашуров Р. Р., Мухиддинова А. Т. Начально-краевые задачи для гиперболических уравнений с эллиптическим оператором произвольного порядка // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки, 2020. Т. 30, № 1. С. 8–19. EDN: UDRGAX. DOI: https://doi.org/10.26117/2079-6641-2020-30-1-8-19.
  22. Ashurov R. R., Muhiddinova O. T. Initial-boundary value problem for a time-fractional subdiffusion equation with an arbitrary elliptic differential operator // Lobachevskii J. Math., 2021. vol. 42, no. 2. pp. 517–525. EDN: WSMCML. DOI: https://doi.org/10.1134/S1995080221030070.
  23. Каримов Ш. Т. Об одном методе решения задачи Коши для одномерного поливолнового уравнения с сингулярным оператором Бесселя // Изв. вузов. Матем., 2017. № 8. С. 27–41. EDN: YNLHGN.
  24. Karimov Sh. T. On some generalizations of properties of the Lowndes operator and their applications to partial differential equations of high order // Filomat, 2018. vol. 32, no. 3. pp. 873–883. EDN: YBVBZJ. DOI: https://doi.org/10.2298/FIL1803873K.
  25. Karimov Sh. T. The Cauchy problem for the degenerated partial differential equation of the high even order // Sib. Elektron. Mat. Izv., 2018. no. 15. pp. 853–862. EDN: VUTMHO. DOI: https://doi.org/10.17377/semi.2018.15.073.
  26. Каримов Ш. Т., Уринов А. К. Решение задачи Коши для четырехмерного гиперболического уравнения с оператором Бесселя // Владикавк. матем. журн., 2018. Т. 20, № 3. С. 57–68. EDN: VKJWUR. DOI: https://doi.org/10.23671/VNC.2018.3.17991.
  27. Urinov A. K., Karimov Sh. T. On the Cauchy problem for the iterated generalized two-axially symmetric equation of hyperbolic type // Lobachevskii J. Math., 2020. vol. 41, no. 1. pp. 102–110. EDN: FNVWZQ. DOI: https://doi.org/10.1134/S199508022001014X.
  28. Михлин С. Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М.: Физматлит, 1959. 234 с.
  29. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Физматлит, 1969. 528 с.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML

© Авторский коллектив; Самарский государственный технический университет (составление, дизайн, макет), 2022

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License.