Dezin problem analog for a parabolic-hyperbolic type equation with periodicity condition

Full Text

Введение. В 1963 г. А. А. Дезин в работе [1] рассмотрел вопрос о разрешимых расширениях для дифференциальных операторов смешанного типа и тогда же для уравнения с оператором Лаврентьева – Бицадзе в прямоугольной области сформулировал задачу с условием $2\pi$-периодичности и нелокальным условием, связывающим значение искомой функции внутри области со значением ее производной на границе.

В [2, с. 18] приводится формулировка нелокальных краевых условий по терминологии Дезина. В работе [3] в специальной прямоугольной области для уравнения Лаврентьева – Бицадзе доказаны принцип экстремума, теоремы единственности и существования решения задачи Дезина.

В работах [4-7] для различных уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа в прямоугольной области изучены задачи с условием периодичности по переменной $x$и нелокальным условием Дезина. Установлены критерии единственности, решения задач построены в виде суммы ортогонального ряда по собственным функциям соответствующих одномерных спектральных задач. Исследована проблема малых знаменателей, возникающая при обосновании сходимости рядов, установлена оценка отделенности от нуля малых знаменателей с соответствующей асимптотикой.

Для уравнения параболо-гиперболического типа в [8, с. 174] доказана однозначная разрешимость аналога задачи Дезина в специальной прямоугольной области, исследован вопрос о спектре однородной задачи.

В данной работе исследуется аналог задачи Дезина в прямоугольной области $\left\{\left(x\mathrm{,}y\right): 0<x<r\mathrm{,}-\alpha <y<\beta \right\}$ для неоднородного уравнения смешанного параболо-гиперболического типа второго порядка с неоднородными нелокальными краевыми условиями, где $r$, $\alpha$, $\beta$ — вещественные положительные числа. Установлен критерий единственности решения исследуемой задачи. Решение построено в виде суммы ряда по ортонормированной системе собственных функций соответствующей одномерной спектральной задачи. При обосновании сходимости ряда возникает проблема малых знаменателей для отношения сторон $\alpha /r$ прямоугольника в части области, где рассматривается гиперболическое уравнение. При некоторых условиях относительно заданных функций и чисел $\lambda$, $\alpha$, $r$ показано, что сумма построенного ряда является решением задачи в искомом классе.

1. Постановка задачи. Пусть $\Omega =\left\{\left(x\mathrm{,}y\right):0<x<r\mathrm{,}-\alpha <y<\beta \right\}$ — область евклидовой плоскости точек $\left(x\mathrm{,}y\right)$; ${\Omega }^{+}=\Omega \cap \left\{\left(x\mathrm{,}y\right):y>0\right\}$; ${\Omega }^{-}=\left\{\Omega \cap \left(x\mathrm{,}y\right):y\right\}$; $r$, $\alpha$, $\beta$ — вещественные положительные числа. Обозначим через $C_x^k\left(\Omega \right)$ пространство функций $f\left(x\mathrm{,}y\right)$ таких, что $\frac{{\partial }^k}{\partial x^k}f\left(x\mathrm{,}y\right)\in C\left(\Omega \right)$.

В области  рассмотрим уравнение

$Lu=f\mathrm{,}$ (1)

где

$Lu=\left\{\begin{array}{ll}{u}_{xx}-u_y\mathrm{,}& y>0\\ u_{xx}-u_{yy}\mathrm{,}& y<0\end{array}\right.f=\left\{\begin{array}{ll}{f}^{+}\left(x\mathrm{,}y\right)& y>0,\\ f^{-}\left(x\mathrm{,}y\right)& y<0;\end{array}\right.$

$u=u\left(x\mathrm{,}y\right)$ — неизвестная функция, $f=f\left(x\mathrm{,}y\right)$ — заданная функция.

Исследуется следующая

Задача 1. Найти решение $u(x,y)$ уравнения (1) из класса

$C^1\left(\overline{\Omega }\right)\cap C_x^2\left(\Omega \right)\cap C_y^2\left({\Omega }^{-}\right),$                                     

удовлетворяющее условиям

$u\left(0,y\right)-u\left(r\mathrm{,}y\right)=\phi \left(y\right),u_x\left(0,y\right)-u_x\left(r\mathrm{,}y\right)=\psi \left(y\right),-\alpha ⩽y⩽\beta \mathrm{,}$ (2)

$u_y\left(x,-\alpha \right)=\lambda u\left(x,0\right)0⩽x⩽r\mathrm{,}$ (3)

где $\lambda =\text{const}\mathrm{,}$ $\phi \left(y\right)$, $\psi \left(y\right)$ — заданные достаточно гладкие функции, удовлетворяющие следующим условиям: ${\phi }^{\text{'}}\left(-\alpha \right)=\lambda \phi \left(0\right),$ ${\psi }^{\text{'}}\left(-\alpha \right)=\lambda \psi \left(0\right)$.   

С помощью подстановки

$v\left(x\mathrm{,}y\right)=u\left(x\mathrm{,}y\right)+w\left(x\mathrm{,}y\right),$                                     

где

$w\left(x\mathrm{,}y\right)=\frac{x}{r}\left(\phi \left(y\right)+\frac{x-r}{2}\psi \left(y\right)\right),$                                  

задачу 1 можно привести к эквивалентной задаче относительно новой функции $v\left(x,y\right)$ с однородными условиями вместо (2), при этом уравнение (1) примет вид $\tilde{f}\left(x\mathrm{,}y\right)=Lv\left(x\mathrm{,}y\right)$, где $\tilde{f}\left(x\mathrm{,}y\right)=f\left(x\mathrm{,}y\right)-Lw\left(x\mathrm{,}y\right)$. Поэтому, не нарушая общности, дальнейшие рассуждения будем проводить при $\phi \left(y\right)\equiv \psi \left(y\right)\equiv 0$.

2. Единственность решения. Пусть существует решение $u\left(x,y\right)$ задачи 1. По аналогии с работой [9] рассмотрим функции

$u_k\left(y\right)=\frac{1}{\sqrt{r}}{\int }_0^{r}u\left(x\mathrm{,}y\right)e^{i{\mu }_{k}x}dx\mathrm{,}$ (4)

где ${\mu }_k=\pi k/r$, $k\in \mathbb{Z}$.

На основании (4) введем функции

$u_{k\mathrm{,}\epsilon }\left(y\right)=\frac{1}{\sqrt{r}}{\int }_{\epsilon }^{r-\epsilon }u\left(x\mathrm{,}y\right)e^{i{\mu }_{k}x}dx\mathrm{,}$ (5)

где $\epsilon$ — достаточно малое положительное вещественное число.

Дифференцируя (5) по переменной $y$, с учетом уравнения (1) при $y>0$ получим

${u^{\text{'}}}_{k\mathrm{,}\epsilon }\left(y\right)+f_k^{+}\left(y\right)=\frac{1}{\sqrt{r}}{\int }_{\epsilon }^{r-\epsilon }\left\{u_y\left(x\mathrm{,}y\right)+f^{+}x\mathrm{,}y\right\}{e}^{i{\mu }_{k}x}dx=$

$=\frac{1}{\sqrt{r}}{\int }_{\epsilon }^{r-\epsilon }{u}_{xx}\left(x\mathrm{,}y\right)e^{i{\mu }_{k}x}dx\mathrm{.}$ (6)

Дифференцируя (5) дважды по переменной $y$, с учетом уравнения (1) при $y<0$ получим

${{u^{\text{'}}}^{\text{'}}}_{k\mathrm{,}\epsilon }\left(y\right)+f_k^{-}\left(y\right)=\frac{1}{\sqrt{r}}{\int }_{\epsilon }^{r-\epsilon }\left\{u_{yy}\left(x\mathrm{,}y\right)+f^{-}\left(x\mathrm{,}y\right)\right\}{e}^{i{\mu }_{k}x}dx=$

$=\frac{1}{\sqrt{r}}{\int }_{\epsilon }^{r-\epsilon }{u}_{xx}\left(x\mathrm{,}y\right)e^{i{\mu }_{k}x}dx\mathrm{.}$ (7)

В равенствах (6), (7), интегрируя два раза по частям интегралы, содержащие $u_{yy}\left(x,y\right)$, и переходя к пределу при $\epsilon \to 0$, с учетом граничных условий (2) получим

$\left\{\begin{array}{ll}{u^{\text{'}}}_k\left(y\right)+{\mu }_k^2{u}_k\left(y\right)+f_k^{+}\left(y\right)=0& y>0,\\ {{u^{\text{'}}}^{\text{'}}}_k\left(y\right)+{\mu }_k^2{u}_k\left(y\right)+f_k^{-}\left(y\right)=0& y<0,\end{array}\right.$ (8)

где

$f_k^{+}\left(y\right)=\frac{1}{\sqrt{r}}{\int }_0^r{f}^{+}\left(x\mathrm{,}y\right)e^{i{\mu }_{k}x}dx\mathrm{,}$ (9)

$f_k^{-}\left(y\right)=\frac{1}{\sqrt{r}}{\int }_0^r{f}^{-}\left(x\mathrm{,}y\right)e^{i{\mu }_{k}x}dx\mathrm{.}$ (10)

Общие решения дифференциальных уравнений (8) выписываются в следующем виде:

$u_k\left(y\right)=\left\{\begin{array}{ll}{c}_{k, }{e}^{-{\mu }_k^{2}y}-{\int }_0^y{f}_k^{+}\left(\eta \right)e^{-{\mu }_k^2\left(y-\eta \right)}d\eta \mathrm{,}& y>0,\\ a_{k, }\cos {\mu }_{k}y+b_k\sin {\mu }_{k}y-{\int }_y^0{f}_k^{-}\left(\eta \right)\frac{\sin {\mu }_k\left(\eta -y\right)}{{\mu }_k}d\eta \mathrm{,}& y<0,\end{array}\right.$ (11)

где $a_k$, $b_k$, $c_k$ — произвольные постоянные.

С учетом того, что $u\left(x\mathrm{,}y\right)\in C^1\overline{\left(\Omega \right)}$, (4) и полноты системы функций

${\left\{\frac{1}{\sqrt{r}}e\right\}}^{i{\mu }_{k}x}k\in \mathbb{Z}\mathrm{,}$ (12)

в пространстве $L_2\left[0,r\right]$ имеем

$u_k\left(0+0\right)=u_k\left(0-0\right),{u^{\text{'}}}_k\left(0+0\right)\text{=}{u^{\text{'}}}_k\left(0-0\right)\text{.}$ (13)

Удовлетворяя (11) условиям (13), находим

$b_k=-{\mu }_k{a}_k-f_k^{+}\left(0\right)\frac{1}{{\mu }_k}\mathrm{,}{c}_0=a_0\mathrm{,}{c}_k=a_k\mathrm{,}k\ne 0.$                    

Тогда функции (11) примут вид

$u_{k}y\left\{\begin{array}{ll}{a}_{k, }{e}^{-{\mu }_k^{2}y}-{\int }_0^y{f}_k^{+}\left(\eta \right)e^{-{\mu }_k^{2}y-\eta }d\eta \mathrm{,}& y>0,\\ a_{k, }\left(\cos {\mu }_{k}y-{\mu }_k\sin {\mu }_{k}y\right)-& \\ -f_k^{+}\left(0\right)\frac{\sin {\mu }_{k}y}{{\mu }_k}-{\int }_y^0{f}_k^{-}\left(\eta \right)\frac{\sin {\mu }_k\left(\eta -y\right)}{{\mu }_k}d\eta \mathrm{,}& y<0.\end{array}\right.$ (14)

Дифференцируя равенства (4) по переменной $y$, с учетом нелокального условия (3) получаем

${u^{\text{'}}}_k\left(-\alpha \right)=\frac{1}{\sqrt{r}}{\int }_0^r{u}_y\left(x\mathrm{,}-\alpha \right)e^{i{\mu }_{k}x}dx=\frac{1}{\sqrt{r}}{\int }_0^r\lambda u\left(x,0\right)e^{i{\mu }_{k}x}dx=\lambda u_k\left(0\right).$

Пусть

${\delta }_k\left(\alpha \mathrm{,}\lambda \right)={\mu }_k^2\cos {\mu }_k\alpha -{\mu }_k\sin {\mu }_k\alpha +\lambda \ne 0\forall k\in \mathbb{Z}\mathrm{,}$ (15)

тогда находим

$a_k=-f_k^{+}\left(0\right)\frac{\cos {\mu }_k\alpha }{{\delta }_k\left(\alpha \mathrm{,}\lambda \right)}+{\int }_{-\alpha }^0{f}_k^{-}\left(\eta \right)\frac{\cos {\mu }_k\left(\eta +\alpha \right)}{{\delta }_k\left(\alpha \mathrm{,}\lambda \right)}d\eta \mathrm{.}$ (16)

Выясним, при каких $\alpha$, $\lambda$, $r$ и $k$ выражение ${\delta }_k\left(\alpha \mathrm{,}\lambda \right)=0$. Представим ${\delta }_k\left(\alpha \mathrm{,}\lambda \right)$ в следующем виде:

${\delta }_k\left(\alpha \mathrm{,}\lambda \right)=\sqrt{{\mu }_k^4+{\mu }_k^2}\sin \left({\gamma }_k-{\mu }_k\alpha \right)+\lambda \mathrm{,}$ (17)

где

${\gamma }_k=\arcsin \frac{1}{\sqrt{1+1/{\mu }_k^2}}=\frac{\pi }{2}-\arcsin \frac{1}{\sqrt{1+{\mu }_k^2}}\to \frac{\pi }{2}\text{\hspace{1em}при\hspace{1em}}k\to +\infty \mathrm{.}$           

Из представления (17) видно, что ${\delta }_k\left(\alpha \mathrm{,}\lambda \right)=0$ только в том случае, когда

$\frac{\left|\lambda \right|}{\sqrt{{\mu }_k^4+{\mu }_k^2}}⩽\mathrm{1,}k\in \mathbb{Z}\mathrm{,}$                                        

и

$\alpha =\frac{1}{{\mu }_k}\left[{\left(-1\right)}^n\arcsin \frac{\lambda }{\sqrt{{\mu }_k^4+{\mu }_k^2}}+\pi n+{\gamma }_k\right]n\in \mathbb{N}\mathrm{.}$                     

Пусть при некоторых значениях $\alpha$, $\lambda$ и $k=p\in \mathbb{Z}\backslash \left\{0\right\}$ нарушено условие (15), тогда $a_p$ может принимать любое значение и однородная задача, соответствующая задаче 1 при $f\equiv 0$, имеет нетривиальное решение вида

$u_p\left(x\mathrm{,}y\right)=\left\{\begin{array}{ll}{a}_p{e}^{i{\mu }_{p}x}{e}^{-{\mu }_p^{2}y}\mathrm{,}& 0⩽y⩽\beta \mathrm{,}\\ a_p{e}^{i{\mu }_{p}x}\left(\cos {\mu }_{p}y-{\mu }_p\sin {\mu }_{p}y\right),& -\alpha ⩽y⩽\mathrm{0,}\end{array}\right.$                 

причем неоднородная задача 1 будет иметь решение только в том случае, когда для $f$ выполнено условие

$f_p^{+}\left(0\right) \cos {\mu }_p\alpha ={\int }_{-\alpha }^0{f}_p^{-}\left(\eta \right)\cos {\mu }_p\left(\eta +\alpha \right)d\eta \mathrm{.}$ (18)

Из (14) и (16) видно, что если $f^{+}\left(x\mathrm{,}y\right)\equiv 0$, $f^{-}\left(x\mathrm{,}y\right)\equiv 0$, то из (4) имеем

$u_k\left(y\right)=\frac{1}{\sqrt{r}}{\int }_0^{r}u\left(x\mathrm{,}y\right)e^{i{\mu }_{k}x}dx=0\forall k\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$

Отсюда в силу полноты системы функций (12) в пространстве $L_2\left[0,r\right]$ и непрерывности $u\left(x,y\right)$ в $\overline{\Omega }$ следует, что $u\left(x\mathrm{,}y\right)\equiv 0$ в $\overline{\Omega }$.

Таким образом, справедлива

Теорема 1. Если существует решение $u\left(x,y\right)$ задачи 1, то оно однозначно определяется только тогда, когда выполнено условие (15).

3. Существование решения. Решение задачи 1 при выполнении условий (15) будем искать формально в виде суммы ряда

$u\left(x\mathrm{,}y\right)=\frac{1}{\sqrt{r}}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{u}_k\left(y\right)e^{-i{\mu }_{k}x}\mathrm{,}$ (19)

где коэффициенты $u_k\left(y\right)$ определяются формулами (14), (16).

Поскольку ${\delta }_k\left(\alpha \mathrm{,}\lambda \right)$ входит в знаменатель ряда (19), для обоснования существования решения задачи 1 необходимо показать, что существуют числа $\alpha$, $\lambda$ и $r$ такие, что выражение ${\delta }_k\left(\alpha \mathrm{,}\lambda \right)$ отделено от нуля с соответствующей асимптотикой.

Оценим выражение

${\delta }_k\left(\alpha \mathrm{,}\lambda \right)={\mu }_k^2\cos {\mu }_k\alpha -{\mu }_k\sin {\mu }_k\alpha +\lambda \mathrm{,}{\mu }_k=\frac{2\pi k}{r}\mathrm{,}k\in \mathbb{N}\mathrm{,}$ (20)

и выясним, существуют ли $\alpha$, $\lambda$, $r$ и постоянная $C_0$ такие, что при всех $k\in \mathbb{N}$ справедлива оценка

$\underset{k}{inf}\left|{\delta }_k\left(\alpha \mathrm{,}\lambda \right)\right|⩾\frac{{\mu }_k^2}{C_0}>0.$ (21)

Лемма 1. Если $2\alpha /r=\tilde{\alpha }\in \mathbb{N}$ и $\left|\lambda \right|<{\left(2\pi /r\right)}^2\mathrm{,}$ то существует положительная ${\tilde{C}}_1\mathrm{,}$ зависящая от $\lambda$ и $r$ такая, что при всех $k\in \mathbb{N}$ справедлива оценка

$\left|{\delta }_k\left(\alpha \mathrm{,}\lambda \right)\right|⩾{\mu }_k^2{\tilde{C}}_1\text{>0}$

Доказательство. Пусть $2\alpha /r=\tilde{\alpha }\in \mathbb{N}$. Тогда (20) примет вид

${\delta }_k\left(\alpha \mathrm{,}\lambda \right){\mu }_k^2{\left(-1\right)}^{k\tilde{\alpha }}+\lambda \mathrm{.}$                                      

Если $\left|\lambda \right|<{\left(2\pi /r\right)}^2$, то из последнего заключаем

$\left|{\delta }_k\left(\alpha \mathrm{,}\lambda \right)\right|=\left|{\mu }_k^2{\left(-1\right)}^{k\tilde{\alpha }}+\lambda \right|⩾{\mu }_k^2\left|1-\frac{\left|\lambda \right|}{{\mu }_k^2}\right|⩾{\mu }_k^2{\tilde{C}}_1\mathrm{,}$                      

где

${\tilde{C}}_1=1-\frac{\left|\lambda \right|}{{\left(2\pi /r\right)}^2}>0.$                                        

Лемма 1 доказана. 

Лемма 2. Пусть $2\alpha /r=\widetilde{\alpha =}p/q\in \mathbb{Q}\mathrm{,}$ $p\mathrm{,}q\in \mathbb{N}\mathrm{,}$ $\left(p\mathrm{,}q\right)=1$, $q$ — нечетное число $\left|\lambda \right|⩽{\lambda }_0=\left(\sqrt{2-q^{-2}}-1\right),$ $r⩽r_0\frac{2\pi }{\sqrt{2}\sqrt{q^2-1}}\mathrm{.}$ Тогда существует положительная ${\tilde{C}}_2\mathrm{,}$ зависящая от  $\lambda$, $r$такая, что при всех $k\in \mathbb{N}$ справедлива оценка

${\delta }_k\left(\alpha \mathrm{,}\lambda \right)={\mu }_k^2{\tilde{C}}_2>0.$                                        

Доказательство. Пусть $2\alpha /r=\widetilde{\alpha =}p/q\in \mathbb{Q}$, $p\mathrm{,}q\in \mathbb{N}$, $\left(p\mathrm{,}q\right)=1$, $q$— нечетное число. Разделим $kp$ на $q$ с остатком:

$kp=sq+t\mathrm{,}s\mathrm{,}t\in \mathbb{N}\cup 0⩽t<q\mathrm{.}$                             

Тогда из (17) получим

$\left|{\delta }_k\left(\alpha \mathrm{,}\lambda \right)\right|=\left|\sqrt{{\mu }_k^4+{\mu }_k^2}{\left(-1\right)}^s\sin \left({\gamma }_k-\frac{\pi t}{q}\right)+\lambda \right|.$                        

Если $t=0$, то этот случай сводится к уже рассмотренному выше случаю $2\alpha /r=\tilde{\alpha }\in \mathbb{N}$.

Пусть $t>0$, $r⩽r_0=\frac{2\pi }{\sqrt{2}\sqrt{q^2-1}}$, $\left|\lambda \right|⩽{\lambda }_0=2\left(\sqrt{2-q^{-2}}-1\right)$. Тогда

$\left|\sin \left({\gamma }_k-{\mu }_k\alpha \right)\right|=\left|\sin \left(\frac{\pi }{2}-\arcsin \frac{1}{\sqrt{1+{\mu }_k^2}}-\frac{\pi t}{q}\right)\right|⩾$

$⩾\left|\sin \left(\frac{\pi }{2q}-\arcsin \frac{1}{\sqrt{1+{\mu }_k^2}}\right)\right|⩾\frac{2}{\pi }\left|\frac{\pi }{2q}-\arcsin \frac{1}{\sqrt{1+{\mu }_k^2}}\right|⩾$

$⩾\left|\frac{1}{q}-\frac{1}{\sqrt{1+{\mu }_k^2}}\right|>\frac{1}{q}\left(1-\frac{1}{\sqrt{2-q^{-2}}}\right)>\frac{1}{4q}\mathrm{.}$

При этом

$\left|{\delta }_k\left(\alpha \mathrm{,}\lambda \right)\right|>{\mu }_k^2\sqrt{1+{\mu }_k^{-2}}\frac{1}{4q}-\left|\lambda \right|={\mu }_k^2\sqrt{1+{\mu }_k^{-2}}\left[\frac{1}{4q}-\frac{\left|\lambda \right|}{\left|{\mu }_k\right|\sqrt{1+{\mu }_k^2}}\right]⩾$

$⩾{\mu }_k^2\left[\frac{1}{4q}-\frac{\left|\lambda \right|}{{\mu }_1\sqrt{1+{\mu }_1^2}}\right]⩾{\mu }_k^2\left[\frac{1}{4q}-\frac{{\displaystyle 2}\sqrt{2-q^{-2}}-1}{\sqrt{2}\sqrt{q^2-1}q\sqrt{2-q^{-2}}}\right]>{\mu }_k^2{\tilde{C}}_2>0,$           

где ${\tilde{C}}_2=1/\left(8q\right)>0$. Лемма 2 доказана.      

Лемма 3. Пусть $2\alpha /r=\tilde{\alpha }$ является иррациональным числом. Тогда существуют положительные постоянные ${\lambda }_0\mathrm{,}$ $r_0$ и ${\tilde{C}}_3\mathrm{,}$ для которых при всех $\left|\lambda \right|<{\lambda }_0$ и $r<r_0\mathrm{,}$ и $k\in \mathbb{N}$справедлива оценка

$\left|{\delta }_k\left(\alpha \mathrm{,}\lambda \right)>\right|{\mu }_k^2{\tilde{C}}_3\text{>0.}$

Доказательство. Пусть $2\alpha /r=\tilde{\alpha }$ является иррациональным числом. В силу известных неравенств

$\left|x\right|⩽\left|\arcsin x\right|⩽\frac{\pi }{2}\left|x\right|\left|x\right|⩽\mathrm{1,}$                                 

справедлива оценка

$0<\frac{1}{\sqrt{1+{\mu }_k^2}}⩽\arcsin \frac{1}{\sqrt{1+{\mu }_k^2}}⩽\frac{\pi }{2}\frac{1}{\sqrt{1+{\mu }_k^2}}\mathrm{.}$ (22)

Для всякого $k\in \mathbb{N}$ можно подобрать $n\in \mathbb{Z}$ такое, что имеет место неравенство [10, c. 37]

$\left|k\alpha -n\right|<\frac{1}{\sqrt{5}k}\mathrm{.}$

Пусть $n\in \mathbb{Z}$ такое, что выполнено последнее неравенство или равносильное ему

$\pi \left|k\tilde{\alpha }-n\right|<\frac{\pi }{\sqrt{5}k}\mathrm{.}$ (23)

Из (22) и (23) имеем

$\left|\arcsin \frac{1}{\sqrt{1+{\mu }_k^2}}+\pi \left(k\tilde{\alpha }-n\right)\right|⩽\arcsin \frac{1}{\sqrt{1+{\mu }_k^2}}+\pi k\left|\tilde{\alpha }-\frac{n}{k}\right|<$

$<\frac{\pi }{2}\frac{1}{\sqrt{1+{\mu }_k^2}}+\frac{\pi }{\sqrt{5}k}=\frac{\pi }{2}\left(\frac{1}{\sqrt{1+{\mu }_k^2}}+\frac{2}{\sqrt{5}k}\right)⩽\frac{\pi }{2}$                          

при условии

$r⩽r_0=\frac{\pi }{2}\sqrt{5\sqrt{5}-11}⩽\pi k\sqrt{\frac{2k^2-4\sqrt{5}k+4}{\sqrt{5}k-1}}\mathrm{.}$

С учетом этого и того, что $1-\frac{2}{\pi }\left|x\right|⩽\cos x$ при $\left|x\right|⩽\frac{\pi }{2}$, имеем

$\left|\sin \left({\gamma }_k-{\mu }_k\alpha \right)\right|=\left|\cos \left[\arcsin \frac{1}{\sqrt{1+{\mu }_k^2}}+\pi \left(k\tilde{\alpha }-n\right)\right]\right|>\cos \frac{\pi }{2}{r}_0⩾1-r_0\mathrm{.}$

Возвращаясь к ${\delta }_k\left(\alpha \mathrm{,}\lambda \right)$, из (17) при $r<r_0$, $\left|\lambda \right|<{\lambda }_0$ имеем

$\left|{\delta }_k\left(\alpha \mathrm{,}\lambda \right)\right|⩾\sqrt{{\mu }_k^4+{\mu }_k^2}\left(1-r_0\right)-\left|\lambda \right|⩾$

$⩾\sqrt{{\mu }_k^4+{\mu }_k^2}\left(1-r_0-\frac{\lambda }{\sqrt{{\left({\displaystyle 2}\pi /r\right)}^4+{\left(2\pi /r\right)}^2}}\right)=$

$=\sqrt{{\mu }_k^4+{\mu }_k^2}\left(1-r_0\right)\left(1-\frac{\left|\lambda \right|}{\left|{\lambda }_0\right|}\right)>{\mu }_k^2{\tilde{C}}_3>0,$                             

где ${\tilde{C}}_3=\left(1-r_0\right)\left(1-\left|\lambda \right|/{\lambda }_0\right)$, ${\lambda }_0=\left(1-r_0\right)\sqrt{{\left(2\pi /r\right)}^4+{\left(2\pi /r\right)}^2}$.

Лемма 3 доказана.

Теперь при определенных условиях на функцию $f\left(x,y\right)$ покажем, что функция $u\left(x,y\right)$, представимая в виде (19), где $u_k\left(y\right)$ определяются формулами (14) и (16), является решением задачи 1.

Формально из (19) почленным дифференцированием составим ряды:

$u_{xx}\left(x\mathrm{,}y\right)=\frac{1}{\sqrt{r}}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{\mu }_k^2{u}_k\left(y\right)e^{-i{\mu }_{k}x}\mathrm{,}\left(x\mathrm{,}y\right)\in \Omega \mathrm{,}$ (24)

$u_y\left(x\mathrm{,}y\right)=\frac{1}{\sqrt{r}}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{u^{\text{'}}}_k\left(y\right)e^{-i{\mu }_{k}x}\mathrm{,}\left(x\mathrm{,}y\right)\in {\Omega }^{+}\mathrm{,}$ (25)

$u_{yy}\left(x\mathrm{,}y\right)=\frac{1}{\sqrt{r}}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{{u^{\text{'}}}^{\text{'}}}_k\left(y\right)e^{-i{\mu }_{k}x}\mathrm{,}\left(x\mathrm{,}y\right)\in {\Omega }^{-}\mathrm{.}$ (26)

Из (14) и соответствующих производных при $k=0$ имеем

$u_0\left(y\right)⩽\frac{1}{\left|\lambda \right|}{f}_0^{+}\left(0\right)+\frac{\alpha }{\left|\lambda \right|}\parallel f_0^{-}{\parallel }_C^{-}+\left\{\begin{array}{cc}\beta \parallel f_0^{+}{\parallel }_C^{+}\mathrm{,}& y⩾\mathrm{0,}\\ \frac{{\alpha }^2}{2}\parallel f_0^{-}{\parallel }_C^{-}\mathrm{,}& y⩽\mathrm{0,}\end{array}\right.$

$\left|u_0\left(y\right)\right|⩽\left|f_0^{+}\left(y\right)\right|⩽\parallel f_0^{+}{\parallel }_C^{+}\mathrm{,}y>0,$

$u_0\text{'}\text{'}\left(y\right)⩽f_0^{-}\left(y\right)⩽\parallel f_0^{-}{\parallel }_C^{-}\mathrm{,}y<0,$

где

$\parallel f_0^{+}{\parallel }_C^{+}\underset{0⩽y⩽\beta }{max}{f}_0^{+}\left(y\right),\parallel f_0^{-}{\parallel }_C^{-}\underset{-\alpha ⩽y⩽0}{max}{f}_0^{-}\left(y\right).$

Теперь, для доказательства сходимости (19) и соответствующих производных (24), (25), (26), достаточно доказать сходимость сумм при $k\ne 0$.

Далее нам понадобится

Лемма 4. Если

$f^{-}\left(x\mathrm{,}y\right)\in C_{x\mathrm{,}y}^{\mathrm{1,0}}\left(\overline{\Omega }{}^{-}\right),f^{+}\left(x\mathrm{,}y\right)\in C_{x\mathrm{,}y}^{\mathrm{1,0}}\left(\overline{\Omega }{}^{+}\right),$

$f^{+}\left(x,0\right)\in C^2\left[0,r\right],f_x^{+}\left(0,0\right)=f_x^{+}\left(r,0\right),$

$f^{-}\left(0,y\right)=f^{-}\left(r\mathrm{,}y\right),-\alpha ⩽y⩽\mathrm{0,}$

$f^{+}\left(0,y\right)=f^{+}\left(r\mathrm{,}y\right)0⩽y⩽\beta \mathrm{,}$

то для коэффициентов $f_k^{-}\left(y\right)$ ряда Фурье (10) функции $f^{-}\left(x\mathrm{,}y\right)$ и коэффициентов $f_k^{+}\left(y\right)$ ряда Фурье (9) функции $f^{+}\left(x\mathrm{,}y\right)$ при всех $k\in \mathbb{Z}\backslash \left\{0\right\}$ справедливы оценки

$f_k^{-}\left(y\right)⩽\frac{C_1}{{\mu }_k^2}\mathrm{,}-\alpha ⩽y⩽\mathrm{0,}$ (27)

$\left|f_k^{+}\left(0\right)\right|⩽\frac{C_1}{{\left|{\mu }_k\right|}^3}\mathrm{,}\left|f_k^{+}\left(y\right)\right|⩽\frac{C_1}{{\mu }_k^2}\mathrm{,}\text{\hspace{1em}\hspace{1em}0<}y⩽\beta \mathrm{,}$ (28)

где $C_1$ — некоторая положительная постоянная.

Справедливость леммы 4 следует из теории рядов Фурье (см., напр., [11, гл. 11, §4, п. 2]).

Лемма 5. Пусть имеют место оценки (21), (27), (28). Тогда при всех $k\in \mathbb{Z}\backslash \left\{0\right\}$ справедливы оценки

$\left|u_k\left(y\right)\right|⩽\frac{C_2}{{\mu }_k^4}\mathrm{,}-\alpha ⩽y⩽\beta \mathrm{,}$

$\left|{u^{\text{'}}}_k\left(y\right)\right|⩽\frac{C_2}{{\mu }_k^2}\mathrm{,}\text{\hspace{1em}0<}y<\beta \mathrm{,}$

$\left|{{u^{\text{'}}}^{\text{'}}}_k\left(y\right)\right|⩽\frac{C_2}{{\mu }_k^2}\mathrm{,}-\alpha <y<0,$                                

где $C_2$ — некоторая положительная постоянная.

Доказательство. С учетом (21) и второй теоремы о среднем значении [12] имеют место следующие оценки:

$\left|e^{-{\mu }_k^{2}y}\right|⩽\mathrm{1,}\left|{\int }_0^y{f}_k^{+}\left(\eta \right)e^{-{\mu }_k^{2}y-\eta }d\eta \right|⩽\frac{1}{{\mu }_k^2}S\left(f_k^{+}\right)y>0,$

$\left|f_k^{+}\left(0\right)\frac{\cos {\mu }_k\alpha }{{\delta }_k\alpha \mathrm{,}\lambda }\right|⩽\frac{C_0}{{\mu }_k^2}\left|f_k^{+}\left(0\right)\right|,\left|{\int }_{-\alpha }^0{f}_k^{-}\left(\eta \right)\frac{\cos {\mu }_k\left(\eta +\alpha \right)}{{\delta }_k\left(\alpha \mathrm{,}\lambda \right)}d\eta \right|⩽\frac{2C_0}{{\left|{\mu }_k\right|}^3}S\left(f_k^{-}\right),$

$\left|\cos {\mu }_{k}y-{\mu }_k\sin {\mu }_{k}y\right|⩽1+\left|{\mu }_k\right|y<0,$

$\left|f_k^{+}\left(0\right)\frac{\sin {\mu }_{k}y}{{\mu }_k}\right|⩽\frac{1}{\left|{\mu }_k\right|}\left|f_k^{+}\left(0\right)\right|,y<0,$

${\int }_y^0{f}_k^{-}\left(\eta \right)\frac{\sin {\mu }_k\left(\eta -y\right)}{{\mu }_k}d\eta ⩽\frac{2}{{\mu }_k^2}S\left(f_k^{-}\right)y<0,$

где

$S\left(f_k^{+}\right)=\sum _{i=1}^m\left(\left|f_k^{+}\left(y_{i-1}\right)+f_k^{+}\left(y_i\right)\right|\right),S\left(f_k^{-}\right)=\sum _{i=1}^n\left(\left|f_k^{-}\left(y_{i-1}\right)+f_k^{-}\left(y_i\right)\right|\right),$        

$y_i$ разбивают область определения соответствующей функции на (наименьшее) конечное число частей, в каждой из которых данная функция монотонна.

Из оценок выше, а также (14), (16) находим:

$\left|u_k\left(y\right)\right|⩽\left\{\begin{array}{ll}\frac{C_0}{{\mu }_k^2}\left|f_k^{+}\left(0\right)\right|+\frac{2C_0}{{\left|{\mu }_k\right|}^3}S\left(f_k^{-}\right)+\frac{1}{{\mu }_k^2}S\left(f_k^{+}\right)& y⩾\mathrm{0,}\\ \left(\frac{2\pi +r}{2\pi }{C}_0+1\right)\frac{1}{\left|{\mu }_k\right|}{f}_k^{+}\left(0\right)+\frac{2}{{\mu }_k^2}S\left(f_k^{-}\right)& y⩽\mathrm{0,}\end{array}\right.$ (29)

$\left|{u^{\text{'}}}_k\left(y\right)\right|⩽C_0\left|f_k^{+}\left(0\right)\right|+\frac{2C_0}{\left|{\mu }_k\right|}S\left(f_k^{-}\right)+S\left(f_k^{+}\right)+\left|f_k^{+}\left(y\right)\right|,y>0$ (30)

$\left|{{u^{\text{'}}}^{\text{'}}}_k\left(y\right)\right|⩽\left(\frac{2\pi +r}{2\pi }{C}_0+1\right)\left(\left|{\mu }_k\right|\left|f_k^{+}\left(0\right)\right|+2S\left(f_k^{-}\right)\right)+\left|f_k^{-}\left(y\right)\right|y<0.$ (31)

Если положить

$C_2=C_1\left(1+\max \left\{\left(4n+1\right)C_0+2m\mathrm{,}\left(\frac{2\pi +r}{2\pi }{C}_0+1\right)\left(4n+1\right)\right\}\right),$                

то из (29), (30), (31) с учетом (27), (28) следует справедливость леммы 5.      

Из оценок леммы 5 по признаку Вейерштрасса следует абсолютная и равномерная сходимость рядов (24), (25), (26) и, значит, можно непосредственно показать, что (19) является решением $u\left(x,y\right)$ задачи 1.

Таким образом доказана

Теорема 2. Пусть выполнены условия одной из лемм 1–3 и $f(x,y)$ удовлетворяет условиям леммы 4. Тогда существует единственное решение задачи 1, причем решение $u(x,y)$полностью определяется равенством (19) с учетом (9), (10), (14), (16). Если при каких-то значениях $\alpha ,$ $\lambda ,$ и $k=p\in \mathbb{Z}$ нарушено условие (15), то задача 1 разрешима тогда и только тогда, когда выполнено условие (18).

Конкурирующие интересы. Конкурирующих интересов не имею.

Авторская ответственность. Я несу полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною одобрена.

Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.

About the authors

Romazan A. Kirzhinov

Institute of Applied Mathematics and Automation of Kabardin-Balkar Scientific Centre of RAS

Author for correspondence.
Email: kirzhinov.r@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-6645-7175
SPIN-code: 4454-4426
ResearcherId: K-2074-2018
http://www.mathnet.ru/person132548

Trainee Researcher Dept. of Mixed-Type Equatios

Russian Federation, 89 a, Shortanova st., Nal’chik, 360000

References

Supplementary files