A problem with nonlocal conditions for a one-dimensional parabolic equation

Full Text

Задачи с нелокальными условиями для уравнений с частными производными продолжают привлекать внимание исследователей. Интерес к этому классу задач подкреплен необходимостью построения математических моделей, отвечающих потребностям современного естествознания [1]. В статье [2], положившей начало систематическим исследованиям нелокальных задач с интегральными условиями, рассматривалось одномерное уравнение теплопроводности. Вскоре после выхода этой статьи, а также [3], появился ряд работ, в которых в том или ином качестве присутствуют нелокальные интегральные условия: либо вместо граничных [4-9], либо в качестве условий переопределения в обратных задачах [10-13]. Однако задолго до появления всех этих работ была опубликована статья В. А. Стеклова [14], в которой обосновано появление нелокальных граничных условий при исследовании задачи об охлаждении стержня:

$u_t=a^2{u}_{xx}\mathrm{,}u\left(x,0\right)=\phi \left(x\right),$

$a_{i1}{u}_x\left(0,t\right)+a_{i2}{u}_x\left(l\mathrm{,}t\right)+b_{i1}u\left(0,t\right)+b_{i2}u\left(l\mathrm{,}t\right)=g_i\left(t\right),i=1,2.\left(S\right)$

Через много лет после выхода этой статьи на волне возникшего интереса к нелокальным задачам обнаружена связь между условиями (S) и интегральными условиями по пространственным переменным [4, 15, 16]. Оказалось, что условия вида

${\int }_0^l{K}_i\left(x\right)u\left(x\mathrm{,}t\right)dx=E_i\left(t\right)$                                        

при выполнении условий согласования с начальными данными эквивалентны нелокальным условиям В. А. Стеклова (S), возмущенным интегральными слагаемыми [10].

В предлагаемой статье изучается задача с возмущенными условиями (S) в случае $a_{11}{a}_{22}-a_{21}{a}_{12}\ne 0.$ Задачи с нелокальными условиями, в том числе интегральными, продолжают привлекать внимание исследователей. Особо отметим работы [17-20].

В области $Q=\left(0,l\right)\times \left(0,T\right)$ рассмотрим следующую задачу: найти решение уравнения

$\mathcal{M}u\equiv u_t-{\left(a{u}_x\right)}_x+cu=f\left(x\mathrm{,}t\right),$ (1)

удовлетворяющее начальному условию $u\left(x,0\right)=\phi \left(x\right)$ и нелокальным условиям

$\begin{array}{r}a\left(0,t\right)u_x\left(0,t\right)+{\alpha }_1\left(t\right)u\left(0,t\right)+{\beta }_1\left(t\right)u\left(l\mathrm{,}t\right)+{\int }_0^l{H}_1\left(x\mathrm{,}t\right)u\left(x\mathrm{,}t\right)dx=g_1\left(t\right),\\ a\left(l\mathrm{,}t\right)u_x\left(l\mathrm{,}t\right)+{\alpha }_2\left(t\right)u\left(0,t\right)+{\beta }_2\left(t\right)u\left(l\mathrm{,}t\right)+{\int }_0^l{H}_2\left(x\mathrm{,}t\right)u\left(x\mathrm{,}t\right)dx=g_2\left(t\right).\end{array}$ (2)

Коэффициенты уравнения (1) суть функции переменных $x, t, a\left(x\mathrm{,}t\right)>0$ всюду в $Q$.

Условия вида (2) возникают при изучении процессов распространения тепла и массопереноса в среде с меняющимися свойствами, например, происходящими между твердым телом и жидкостью. В этом случае следует считать тепловой поток пропорциональным разности температур на границах сред, а коэффициенты ${\alpha }_i$, ${\beta }_i$ представляют собой коэффициенты пропорциональности [12, 14]. Заметим, что к условиям (2) можно прийти формальным путем, а именно, если даны интегральные условия

${\int }_0^l{K}_i\left(x\right)u\left(x\mathrm{,}t\right)dx=E_i\left(t\right),i=1,2,$                                 

которые представляют собой заданную тепловую энергию, то, интегрируя равенство (1), умноженное предварительно на $K_i\left(x\right)$ получим условия вида (2) [15]. Мы приведем подробности этой процедуры ниже. Заметим также, что мы рассматриваем в качестве коэффициентов как уравнения (1), так и условия (2) функций соответствующих переменных.

Прежде всего введем понятие решения поставленной задачи. Обозначим

$W_2^{\mathrm{1,0}}\left(Q\right)=\left\{u:u\in L_2\left(Q\right)u_x\in L_2\left(Q\right)\right\},$

${\widehat{W}}_2^1\left(Q\right)=\left\{v:v\in W_2^1\left(Q\right)v\left(x\mathrm{,}T\right)\right\}=0,$

где $W_2^1\left(Q\right)$ — пространство Соболева. Следуя известной процедуре [22], выведем из равенства

${\int }_0^T\text{}{\int }_0^{l}v\mathcal{M}udxdt={\int }_0^T\text{}{\int }_0^{l}fvdxdt\mathrm{,}$                                     

интегрируя по частям, равенство

${\int }_0^T\text{}\left({\int }_0^l-u{v}_t+a{u}_x{v}_x+cuv\right)dxdt-{\int }_0^l\phi \left(x\right)v\left(x,0\right)dx-$

$-{\int }_0^{T}v\left(0,t\right)\left[{\alpha }_1\left(t\right)u\left(0,t\right)+{\beta }_1\left(t\right)u\left(l\mathrm{,}t\right)+{\int }_0^l{H}_1\left(x\mathrm{,}t\right)u\left(x\mathrm{,}t\right)dx\right]dt+$

$+{\int }_0^{T}v\left(l\mathrm{,}t\right)\left[{\alpha }_2\left(t\right)u\left(0,t\right)+{\beta }_2\left(t\right)u\left(l\mathrm{,}t\right)+{\int }_0^l{H}_2\left(x\mathrm{,}t\right)u\left(x\mathrm{,}t\right)dx\right]dt$

$={\int }_0^T{\int }_0^{l}f\left(x\mathrm{,}t\right)v\left(x,t\right)dxdt-{\int }_0^{T}v\left(0,t\right)g_1\left(t\right)dt+{\int }_0^{T}v\left(l\mathrm{,}t\right)g_2\left(t\right)dt.$ (3)

Определение. Обобщенным решением задачи (1), (2) будем называть функцию $u\left(x\mathrm{,}t\right)$, принадлежащую $W_2^{\mathrm{1,0}}\left(Q\right)$, удовлетворяющую интегральному тождеству (3) при всех $v\in {\widehat{W}}_2^1\left(Q\right)$.

Теорема. Пусть выполняются следующие условия:

• $a, a_t, c\in C\left(\overline{Q}\right), f\in L_2\left(Q\right), \alpha \mathrm{,} \beta \in C^1\left(\left[0,T\right]\right), H_i\in C\left(\overline{Q}\right), \phi \in C\left(\left[0,l\right]\right);$              
• ${\alpha }_2+{\beta }_1=0$
• ${\alpha }_1\left(t\right){\xi }^2-2{\alpha }_2\left(t\right)\xi \eta -{\beta }_2\left(t\right){\eta }^2\le \mathrm{0,} t\in \left[0,T\right].$  

Тогда существует единственное обобщенное решение задачи (1), (2).

Доказательство. Единственность решения докажем, как обычно, от противного. Предположим, что существует два различных решения задачи $u_1\left(x\mathrm{,}t\right)$ и $u_2\left(x\mathrm{,}t\right)$. Тогда их разность, $u\left(x\mathrm{,}t\right)=u_1\left(x\mathrm{,}t\right)-u_2\left(x\mathrm{,}t\right)$, удовлетворяет соответствующей однородной задаче, т.е. в силу определения — тождеству

${\int }_0^T\text{}{\int }_0^l\left(-u{v}_t+a{u}_x{v}_x+cuv\right)dxdt-$

$-{\int }_0^{T}v\left(0,t\right)\left[{\alpha }_1\left(t\right)u\left(0,t\right)+{\beta }_1\left(t\right)u\left(l\mathrm{,}t\right)+{\int }_0^l{H}_1\left(x\mathrm{,}t\right)u\left(x\mathrm{,}t\right)dx\right]dt+$

$+{\int }_0^{T}v\left(l\mathrm{,}t\right)\left[{\alpha }_2\left(t\right)u\left(0,t\right)+{\beta }_2\left(t\right)u\left(l\mathrm{,}t\right)+{\int }_0^l{H}_2\left(x\mathrm{,}t\right)u\left(x\mathrm{,}t\right)dx\right]dt=0.$ (4)

Положим в (4)

$v\left(x\mathrm{,}t\right)=\left\{\begin{array}{cc}{\int }_t^{\tau }u\left(x\mathrm{,}\eta \right)d\eta \mathrm{,}& 0\le t\le \tau \mathrm{,}\\ \mathrm{0,}& \tau \le t\le T\mathrm{.}\end{array}\right.$                                

После интегрирования по частям и элементарных преобразований получим

${\int }_0^{\tau }\text{}{\int }_0^l{u}^{2}dxdt+\frac{1}{2}{\int }_0^{l}a\left(x,0\right)v_x^2\left(x,0\right)dx={\int }_0^{\tau }{\int }_0^{l}cv{v}_{t}dxdt-\frac{1}{2}{\int }_0^{\tau }\text{}{\int }_0^l{a}_t{v}_x^{2}dxdt+$

$+\frac{1}{2}{\int }_0^{\tau }{{\alpha }^{\text{'}}}_1\left(t\right)v^2\left(0,t\right)dt-\frac{1}{2}{\int }_0^{\tau }{{\beta }^{\text{'}}}_2\left(t\right)v^2\left(l\mathrm{,}t\right)dt-{\int }_0^{\tau }{\alpha }_{2^{\text{'}}}\left(t\right)v\left(0,t\right)v\left(l\mathrm{,}t\right)dt-$

$-{\int }_0^{\tau }\left({\alpha }_2\left(t\right)+{\beta }_1\left(t\right)\right)v\left(0,t\right)v_t\left(l\mathrm{,}t\right)dt+\frac{1}{2}{\alpha }_1\left(0\right)v^2\left(0,0\right)-$

$-{\alpha }_2\left(0\right)v\left(0,0\right)v\left(l,0\right)-\frac{1}{2}{\beta }_2\left(0\right)v^2\left(l,0\right)-$

$-{\int }_0^{\tau }v\left(0,t\right){\int }_0^l{H}_1\left(x\mathrm{,}t\right)v_t\left(x\mathrm{,}t\right)dxdt+{\int }_0^{\tau }v\left(l\mathrm{,}t\right){\int }_0^l{H}_2\left(x\mathrm{,}t\right)v_t\left(x\mathrm{,}t\right)dxdt\mathrm{.}$ (5)

Условия теоремы обеспечивают существование положительных чисел $a_0, c_0, \overline{\alpha }, h_i$ таких, что

$a\left(x\mathrm{,}t\right)\ge a_0\mathrm{,}\left|c\left(x\mathrm{,}t\right)\right|\le c_0\mathrm{,}\left|{{\alpha }^{\text{'}}}_1\mathrm{,}{{\alpha }^{\text{'}}}_2\mathrm{,}{{\beta }^{\text{'}}}_2\right|\le \overline{\alpha }\mathrm{,}\underset{\left[0,T\right]}{max}{\int }_0^l{H}_i^{2}dx\le h_i\mathrm{.}$              

Обозначим $h=\underset{i}{max}\left\{h_i\right\}$. Тогда из (5), применяя неравенства Коши, Коши – Буняковского и Коши с эпсилон, а также учитывая условия b ) и c ) теоремы, получим

${\int }_0^{\tau }\text{}{\int }_0^l{u}^{2}dxdt+\frac{1}{2}{\int }_0^l{a}_0{v}_x^2\left(x,0\right)dx\le \epsilon {\int }_0^{\tau }{\int }_0^l{v}_t^{2}dxdt+c\left(\epsilon \right){\int }_0^{\tau }{\int }_0^l{v}^{2}dxdt+$

$+\frac{a_1}{2}{\int }_0^{\tau }\text{}{\int }_0^l{v}_x^{2}dxdt+\overline{\alpha }{\int }_0^{\tau }{v}^2\left(0,t\right)dt+\overline{\alpha }{\int }_0^{\tau }{v}^2\left(l\mathrm{,}t\right)dt+$

$+c\left(\epsilon \right){\int }_0^{\tau }\left[v^2\left(0,t\right)+v^2\left(l\mathrm{,}t\right)\right]dt+h\epsilon {\int }_0^{\tau }\text{}{\int }_0^l{v}_t^{2}dxdt\mathrm{.}$                        

Выберем $\epsilon$ так, чтобы $\nu =a_0-\left(1+h\right)\epsilon >0$, например, $\epsilon =a_0/2\left(1+h\right).$ Тогда, перенеся интеграл от $v_t\left(x\mathrm{,}t\right)=u\left(x\mathrm{,}t\right)$ в силу выбора $v\left(x,t\right)$ в левую часть неравенства, получим

$\frac{1}{2}{\int }_0^{\tau }\text{}{\int }_0^l{u}^{2}dxdt+\frac{a_0}{2}{\int }_0^l{v}_x^2\left(x,0\right)dx\le c\epsilon {\int }_0^{\tau }\text{}{\int }_0^l{v}^{2}dxdt+\frac{a_1}{2}{\int }_0^{\tau }\text{}{\int }_0^l{v}_x^{2}dxdt+$

$+\overline{\alpha }{\int }_0^{\tau }{v}^2\left(0,t\right)dt+\overline{\alpha }{\int }_0^{\tau }{v}^2\left(l\mathrm{,}t\right)dt+c\left(\epsilon \right){\int }_0^{\tau }\left[v^2\left(0,t\right)+v^2\left(l\mathrm{,}t\right)\right]dt\mathrm{.}$

Продолжим оценку правой части неравенства. Прежде всего заметим, что из представления функции $v\left(x,t\right)$ следует, что для $t<\tau .$

$v^2\left(x\mathrm{,}t\right)\le \tau {\int }_0^{\tau }{u}^2\left(x\mathrm{,}\eta \right)d\eta \mathrm{,}$

поэтому

${\int }_0^{\tau }\text{}{\int }_0^l{v}^{2}dxdt\le {\tau }^2{\int }_0^{\tau }\text{}{\int }_0^l{u}^{2}dxdt\mathrm{.}$ (6)

Для оценки интегралов, содержащих следы функции $v\left(x,t\right)$ на боковых границах, применим неравенства [15]

$v^2\left(z_i\mathrm{,}t\right)\le 2l{\int }_0^l{v}_x^2\left(x\mathrm{,}t\right)dx+\frac{2}{l}{\int }_0^l{v}^2\left(x\mathrm{,}t\right)dx\mathrm{,}{z}_1=0z_2=l\mathrm{.}$                  

Получим, обозначив  $C_1=c\left(\epsilon \right)+\overline{\alpha }\mathrm{,}$

$C_1{\int }_0^{\tau }\left[v^2\left(0,t\right)+v^2\left(l\mathrm{,}t\right)\right]dt\le 4C_{1}l{\int }_0^{\tau }\text{}{\int }_0^l{v}_x^2\left(x\mathrm{,}t\right)dxdt+\frac{4C_1}{l}{\int }_0^{\tau }\text{}{\int }_0^l{v}^2\left(x\mathrm{,}t\right)dxdt\mathrm{.}$

В результате приходим к неравенству

$\frac{1}{2}{\int }_0^{\tau }\text{}{\int }_0^l{u}^{2}dxdt+\frac{a_0}{2}{\int }_0^l{v}_x^2\left(x,0\right)dx\le C_2{\int }_0^{\tau }\text{}{\int }_0^l{v}^{2}dxdt+C_3{\int }_0^{\tau }\text{}{\int }_0^l{v}_x^{2}dxdt\mathrm{,}$               

где мы обозначили $C_2=c\left(\epsilon \right)+4C_1/l$,  Теперь воспользуемся неравенством (6). Это приводит нас к неравенству

$\frac{1}{2}{\int }_0^{\tau }\text{}{\int }_0^l{u}^{2}dxdt+\frac{a_0}{2}{\int }_0^l{v}_x^2\left(x,0\right)dx\le C_2{\tau }^2{\int }_0^{\tau }\text{}{\int }_0^l{u}^{2}dxdt+C_3{\int }_0^{\tau }\text{}{\int }_0^l{v}_x^{2}dxdt\mathrm{.}$ (308)

Пользуясь произволом, выберем $\tau$ так, чтобы $\mu =1/2-C_2{\tau }^2>0$. Пусть $\tau \le \left(2\sqrt{C_2}\right)$. Тогда для всех  $\tau \in \left[0,1/\left(2\sqrt{C_2}\right)\right]$

$\mu {\int }_0^{\tau }\text{}{\int }_0^l{u}^{2}dxdt+\frac{a_0}{2}{\int }_0^l{v}_x^2\left(x,0\right)dx\le C_3{\int }_0^{\tau }\text{}{\int }_0^l{v}_x^2\left(x\mathrm{,}t\right)dxdt\mathrm{.}$ (7)

Из (7), в частности,

$\frac{a_0}{2}{\int }_0^l{v}_x^2\left(x,0\right)dx\le C_3{\int }_0^{\tau }\text{}{\int }_0^l{v}_x^2\left(x\mathrm{,}t\right)dxdt\mathrm{.}$ (8)

Введем функцию $w\left(x\mathrm{,}t\right)={\int }_0^{t}u\left(x\mathrm{,}\eta \right)d\eta \mathrm{.}$ Так как интеграл в правой части этой формулы можно представить как сумму

${\int }_0^{t}u\left(x\mathrm{,}\eta \right)d\eta ={\int }_0^{\tau }{u}_{x}d\eta +{\int }_{\tau }^t{u}_{x}d\eta \mathrm{,}$                                   

легко увидеть, что $v_x\left(x\mathrm{,}t\right)=w\left(x\mathrm{,}t\right)-w\left(x\mathrm{,}\tau \right), v_x\left(x,0\right)=w\left(x\mathrm{,}\tau \right).$ Тогда

${\int }_0^{\tau }\text{}{\int }_0^l{v}_x^2\left(x\mathrm{,}t\right)dxdt={\int }_0^{\tau }\text{}{\int }_0^l{\left(w\left(x\mathrm{,}t\right)-w\left(x\mathrm{,}\tau \right)\right)}^2\le$

$\le 2{\int }_0^{\tau }\text{}{\int }_0^l{w}^2\left(x\mathrm{,}t\right)dxdt+2{\int }_0^{\tau }\text{}{\int }_0^l{w}^2\left(x\mathrm{,}\tau \right)dxdt\mathrm{.}$                              

Заметив, что подынтегральная функция второго слагаемого правой части последнего соотношения не зависит от переменной интегрирования, получим

${\int }_0^{\tau }\text{}{\int }_0^l{w}^2\left(x\mathrm{,}\tau \right)dxdt=\tau {\int }_0^l{w}^2\left(x\mathrm{,}\tau \right)dx\mathrm{.}$                                  

С учетом проведенных рассуждений из (8) следует

${\int }_0^l{w}^2\left(x\mathrm{,}\tau \right)dx\le \frac{4C_3}{a_0}{\int }_0^{\tau }\text{}{\int }_0^l{w}^{2}dxdt+\frac{4C_3}{a_0}\tau {\int }_0^l{w}^2\left(x\mathrm{,}\tau \right)dx\mathrm{.}$                      

Выберем $\tau$ так, чтобы $\nu =a_0-4C_3\tau >0$ например $\tau \le a_0/\left(8C_3\right)$ и перенесем последний интеграл правой части последнего неравенства в левую его часть. Тогда

$\nu {\int }_0^l{w}^2\left(x\mathrm{,}\tau \right)dx\le \frac{4C_3}{a_0}{\int }_0^{\tau }\text{}{\int }_0^l{w}^{2}dxdt\mathrm{.}$                                  

К этому неравенству можно применить лемму Гронуолла, но прежде чем это сделать, вспомним, что мы уже выбирали $\tau .$ Поэтому теперь будем рассматривать те значения $\tau ,$ которые удовлетворяют как $\tau \le a_0/\left(8C_3\right)$ так и $\tau \le 1/\left(2\sqrt{C_2}\right)$. Обозначим $b_1=\min \left\{1/\left(2\sqrt{C_2}\right),a_0/\left(8C_3\right)\right\}$. Тогда для всех  $\tau \in \left[0, b_1\right]$

${\int }_0^l{w}^2\left(x\mathrm{,}\tau \right)dx\le 0$                                             

и, стало быть, $w\left(x\mathrm{,}t\right)=0$ для всех $t$ из $\left[0, b_1\right]$. А это значит, что $v_x\left(x,0\right)=0$. Возвращаясь к (7), получим

${\int }_0^{\tau }\text{}{\int }_0^l{u}^{2}dxdt\le \mathrm{0,}$                                            

откуда $u\left(x\mathrm{,}t\right)=0$ для всех $t\in \left[0, b_1\right]$ т.е. в $Q_{b_1}=\left(0,l\right)\times \left(0, b_1\right).$ Повторяя рассуждения и оценки для $\left(0, l\right)\times \left(b_1\mathrm{,2}{b}_1\right)$ и продолжая этот процесс, через конечное число шагов убедимся в том, что $u\left(x\mathrm{,}t\right)=0$ во всем цилиндре $Q$ а это означает, что существует не более одного обобщенного решения задачи (1), (2).

Существование решения. Пусть $\left\{w_k\left(x\right)\right\}$ — фундаментальная система в $W_2^1 \left(0, l\right)$. Будем искать приближенные решения задачи (1), (2) в виде $u^m\left(x\mathrm{,}t\right)=\sum _{k=1}^m{c}_{km}\left(t\right)w_k\left(x\right)$ из соотношений

${\int }_0^l\left(u_t^m{w}_i+a{u}_x^m{w}_{i^{\text{'}}}+c{u}^m{w}_i\right)dx-$

$-w_i\left(0\right)\left[{\alpha }_1{u}^m\left(0,t\right)+{\beta }_1{u}^m\left(l\mathrm{,}t\right)+{\int }_0^l{H}_1{u}^{m}dx\right]+$

$+w_i\left(l\right)\left[{\alpha }_2{u}^m\left(0,t\right)+{\beta }_2{u}^m\left(l\mathrm{,}t\right)+{\int }_0^l{H}_2{u}^{m}dx\right]=$

${\int }_0^{l}f{w}_{i}dx-w_i\left(0\right)g_1\left(t\right)+w_i\left(l\right)g_2\left(t\right).$ (9)

Нетрудно видеть, что соотношения (9) есть не что иное, как система обыкновенных дифференциальных уравнений относительно $c_{km}\left(t\right)$. Запишем ее в виде

$\sum _{k=1}^m{A}_{ki}{c^{\text{'}}}_{km}\left(t\right)+\sum _{k=1}^m{B}_{ki}{c}_{km}\left(t\right)=f_i\left(t\right)$ (10)

где обозначено

$A_{ki}={\int }_0^l{w}_k{w}_{i}dx\mathrm{,}$

$B_{ki}={\int }_0^l\left(a{w^{\text{'}}}_k{w^{\text{'}}}_i+c{w}_k{w}_i\right)dx-$

$-w_i\left(0\right)\left[{\alpha }_1{w}_k\left(0\right)+{\beta }_1{w}_k\left(l\right)+{\int }_0^l{H}_1{w}_{k}dx\right]+$

$+w_i\left(l\right)\left[{\alpha }_2{w}_k\left(0\right)+{\beta }_2{w}_k\left(l\right)+{\int }_0^l{H}_2{w}_{k}dx\right],$

$f_i\left(t\right)={\int }_0^{l}f\left(x\mathrm{,}t\right)w_i\left(x\right)dx-w_i\left(0\right)g_1\left(t\right)+w_i\left(l\right)g_2\left(t\right).$                    

Добавив равенства $c_{km}\left(0\right)=\left(\phi \mathrm{,}{w}_k\right),$ получим задачу Коши для системы (10). Так как функции $w_k\left(x\right)$ линейно независимы, матрица коэффициентов при ${c^{\text{'}}}_{km}\left(t\right)$ — матрица Грамма и, стало быть, ее определитель отличен от нуля и система (10) может быть записана в нормальной форме. Коэффициенты при $c_{km}\left(t\right)$ ограничены, а свободные члены суммируемы на $\left(0,T\right)$ что гарантировано условиями теоремы. Поэтому задача Коши для системы (10) однозначно разрешима и определяет абсолютно непрерывные на $\left[0,T\right]$функции $c_{km}\left(t\right).$ Это означает, что последовательность приближенных решений $u^m\left(x\mathrm{,}t\right)$ построена.

Перейдем к выводу оценок. Для этого умножим каждое из соотношений (9) на $c_{jm}\left(t\right)$ просуммируем полученные равенства по $j$ от 1 до $m$ а затем проинтегрируем по $t$ от 0 до $\tau \le T$:

${\int }_0^{\tau }\text{}\left[{\int }_0^l{u}_t^m{u}^m+a{\left(u_x^m\right)}^2+c{\left(u^m\right)}^2\right]dxdt-{\int }_0^{\tau }{u}^m\left(0,t\right)\left[{\alpha }_1{u}^m\left(0,t\right)+{\beta }_1{u}^m\left(l\mathrm{,}t\right)\right]dt-$

$-{\int }_0^{\tau }{u}^m\left(0,t\right){\int }_0^l{H}_1\left(x\mathrm{,}t\right)u^m\left(x\mathrm{,}t\right)dxdt+{\int }_0^{\tau }{u}^m\left(l\mathrm{,}t\right)\left[{\alpha }_2{u}^m\left(0,t\right)+{\beta }_2{u}^m\left(l\mathrm{,}t\right)\right]dt+$

$+{\int }_0^{\tau }{u}^m\left(l\mathrm{,}t\right){\int }_0^l{H}_2\left(x\mathrm{,}t\right)u^m\left(x\mathrm{,}t\right)dxdt+{\int }_0^{\tau }\left({\beta }_2-{\alpha }_1\right)u^m\left(0,t\right)u^m\left(l\mathrm{,}t\right)dt=$

$={\int }_0^{\tau }{\int }_0^{l}f{u}^{m}dxdt-{\int }_0^{\tau }{u}^m\left(0,t\right)g_1\left(t\right)dt+{\int }_0^{\tau }{u}^m\left(l\mathrm{,}t\right)g_2\left(t\right)dt\mathrm{.}$

Проинтегрировав по частям первое слагаемое этого равенства, сделав элементарные преобразования и учтя при этом условие ${\alpha }_2+{\beta }_1=0$ получим

$\frac{1}{2}{\int }_0^l{\left(u^m\left(x\mathrm{,}\tau \right)\right)}^{2}dx+{\int }_0^{\tau }\text{}{\int }_0^{l}a{\left(u_x^m\right)}^{2}dxdt=$

$=\frac{1}{2}{\int }_0^l{\left(u^m\left(x,0\right)\right)}^{2}dx-{\int }_0^{\tau }\text{}{\int }_0^{l}c{\left(u^m\right)}^{2}dxdt+$

$+{\int }_0^{\tau }{\alpha }_1{\left(u^m\left(0,t\right)\right)}^{2}dt-{\int }_0^{\tau }{\beta }_2{\left(u^m\left(l\mathrm{,}t\right)\right)}^{2}dt-2{\int }_0^{\tau }{\alpha }_2{u}^m\left(0,t\right)u^m\left(l\mathrm{,}t\right)dt-$

$-{\int }_0^{\tau }{u}^m\left(0,t\right){\int }_0^l{H}_1\left(x\mathrm{,}t\right)u^m\left(x\mathrm{,}t\right)dxdt+$

$+{\int }_0^{\tau }{u}^m\left(l\mathrm{,}t\right){\int }_0^l{H}_2\left(x\mathrm{,}t\right)u^m\left(x\mathrm{,}t\right)dxdt+$

$+{\int }_0^{\tau }\text{}{\int }_0^{l}f{u}^{m}dxdt-{\int }_0^{\tau }{u}^m\left(0,t\right)g_1\left(t\right)dt+{\int }_0^{\tau }{u}^m\left(l\mathrm{,}t\right)g_2\left(t\right)dt\mathrm{.}$ (11)

Из равенства (11) с учетом условия c ) теоремы вытекает неравенство

$\frac{1}{2}{\int }_0^l{\left(u^m\left(x\mathrm{,}\tau \right)\right)}^{2}dx+{\int }_0^{\tau }\text{}{\int }_0^l{a}_0{\left(u_x^m\right)}^{2}dxdt\le$

$\le \frac{1}{2}{\int }_0^l{\left(u^m\left(x,0\right)\right)}^{2}dx+{\int }_0^{\tau }\text{}{\int }_0^l\left|c\right|{\left(u^m\right)}^{2}dxdt+$

$+\left|{\int }_0^{\tau }{u}^m\left(0,t\right){\int }_0^l{H}_1\left(x\mathrm{,}t\right)u^m\left(x\mathrm{,}t\right)dxdt\right|+$

$+\left|{\int }_0^{\tau }{u}^m\left(l\mathrm{,}t\right){\int }_0^l{H}_2\left(x\mathrm{,}t\right)u^m\left(x\mathrm{,}t\right)dxdt\right|+$

$+\left|{\int }_0^{\tau }\text{}{\int }_0^{l}f{u}^{m}dxdt\right|+\left|{\int }_0^{\tau }{u}^m\left(0,t\right)g_1\left(t\right)dt\right|+\left|{\int }_0^{\tau }{u}^m\left(l\mathrm{,}t\right)g_2\left(t\right)dt\right|.$ (12)

Оценим правую часть (12) с помощью неравенств Коши и Коши – Буняковского:

$\left|{\int }_0^{\tau }{u}^m\left(0,t\right){\int }_0^l{H}_1\left(x\mathrm{,}t\right)u^m\left(x\mathrm{,}t\right)dxdt\right|\le$

$\le \frac{1}{2}{\int }_0^{\tau }{\left(u^m\left(0,t\right)\right)}^{2}dt+\frac{h_1}{2}{\int }_0^{\tau }\text{}{\int }_0^l{\left(u^m\left(x\mathrm{,}t\right)\right)}^{2}dxdt;$

$\left|{\int }_0^{\tau }{u}^m\left(l\mathrm{,}t\right){\int }_0^l{H}_2\left(x\mathrm{,}t\right)u^m\left(x\mathrm{,}t\right)dxdt\right|\le$

$\le \frac{1}{2}{\int }_0^{\tau }{\left(u^m\left(l\mathrm{,}t\right)\right)}^{2}dt+\frac{h_2}{2}{\int }_0^{\tau }\text{}{\int }_0^l{\left(u^m\left(x\mathrm{,}t\right)\right)}^{2}dxdt;$

$\left|{\int }_0^{\tau }\text{}{\int }_0^{l}f{u}^{m}dxdt\right|\le \frac{1}{2}{\int }_0^{\tau }\text{}{\int }_0^l{f}^2\left(x\mathrm{,}t\right)dxdt;$

$\left|{\int }_0^{\tau }{u}^m\left(0,t\right)g_1\left(t\right)dt\right|\le \frac{1}{2}{\int }_0^{\tau }{\left(u^m\left(0,t\right)\right)}^{2}dt+\frac{1}{2}{\int }_0^{\tau }{g}_1^2\left(t\right)dt;$

$\left|{\int }_0^{\tau }{u}^m\left(l\mathrm{,}t\right)g_2\left(t\right)dt\right|\le \frac{1}{2}{\int }_0^{\tau }{\left(u^m\left(l\mathrm{,}t\right)\right)}^{2}dt+\frac{1}{2}{\int }_0^{\tau }{g}_2^2\left(t\right)dt\mathrm{.}$

Следуя [22, с. 77], нетрудно получить неравенства

${\left(u^m\left(0,t\right)\right)}^2\le \epsilon {\int }_0^l{\left(u_x^m\left(x\mathrm{,}t\right)\right)}^{2}dx+\frac{1+\epsilon }{\epsilon l}{\int }_0^l{\left(u^m\left(x\mathrm{,}t\right)\right)}^{2}dx;$

${\left(u^m\left(l\mathrm{,}t\right)\right)}^2\le \epsilon {\int }_0^l{\left(u_x^m\left(x\mathrm{,}t\right)\right)}^{2}dx+\frac{1+\epsilon }{\epsilon l}{\int }_0^l{\left(u^m\left(x\mathrm{,}t\right)\right)}^{2}dx\mathrm{.}$                      

Тогда, продолжив оценку, получим

${\int }_0^{\tau }\left[{\left(u^m\left(0,t\right)\right)}^2+{\left(u^m\left(l\mathrm{,}t\right)\right)}^2\right]dt\le$

$\le 2\epsilon {\int }_0^{\tau }\text{}{\int }_0^l{\left(u_x^m\left(x,t\right)\right)}^{2}dxdt+2\frac{1+\epsilon }{\epsilon l}{\int }_0^{\tau }\text{}{\int }_0^l{\left(u^m\left(x\mathrm{,}t\right)\right)}^{2}dxdt\mathrm{.}$                     

Выберем $\epsilon$ так, чтобы $a_0-2\epsilon >0$. Пусть $\epsilon =a_0/4.$ Тогда неравенство (12) принимает вид

$\frac{1}{2}{\int }_0^l{\left(u^m\left(x\mathrm{,}\tau \right)\right)}^{2}dx+\frac{a_0}{2}{\int }_0^{\tau }\text{}{\int }_0^l{\left(u_x^m\right)}^{2}dxdt\le$

$\le \frac{1}{2}{\int }_0^l{\left(u^m\left(x,0\right)\right)}^{2}dx+C_4{\int }_0^{\tau }\text{}{\int }_0^l{\left(u^m\right)}^{2}dxdt+$

$+\frac{1}{2}{\int }_0^{\tau }\text{}{\int }_0^l{f}^2\left(x\mathrm{,}t\right)dxdt+\frac{1}{2}{\int }_0^{\tau }\left[g_1^2\left(t\right)+g_2^2\left(t\right)dt\right]\mathrm{,}$ (13)

где

$C_4=c_0+2\frac{1+\epsilon }{\epsilon l}+\frac{1}{2}\mathrm{.}$                                          

Из (13), в частности,

${\int }_0^l{\left(u^m\left(x\mathrm{,}\tau \right)\right)}^{2}dx\le {\int }_0^l{\left(u^m\left(x,0\right)\right)}^{2}dx+2C_4{\int }_0^{\tau }\text{}{\int }_0^l{\left(u^m\left(x\mathrm{,}t\right)\right)}^{2}dxdt+$

$+{\int }_0^{\tau }\text{}{\int }_0^l{f}^2\left(x\mathrm{,}t\right)dxdt+{\int }_0^{\tau }\left[g_1^2\left(t\right)+g_2^2\left(t\right)\right]dt\mathrm{,}$

откуда в силу неравенства Гронуолла в дифференциальной форме [21, с. 536]

${\int }_0^{\tau }\text{}{\int }_0^l{\left(u^m\left(x\mathrm{,}t\right)\right)}^{2}dxdt\le e^{2C_4\tau }{\int }_0^{\tau }[{\int }_0^l{\left(u^m\left(x,0\right)\right)}^{2}dx+$

$+{\int }_0^{{\tau }^{\text{'}}}\text{}{\int }_0^l{f}^2\left(x\mathrm{,}t\right)dxdt+{\int }_0^{{\tau }^{\text{'}}}\left[g_1^2\left(t\right)+g_2^2\left(t\right)\right]dt]d{\tau }^{\text{'}}\mathrm{.}$                           

С учетом того, что

$f\in L_2\left(Q\right),g_i\in L_2\left(0,T\right),{\int }_0^l{\left(u^m\left(x,0\right)\right)}^{2}dx\le \parallel \phi {\parallel }_{L_2\left(0,l\right)}^2\mathrm{,}$                 

справедливо неравенство

${\int }_0^{\tau }\left[{\int }_0^l{\left(u^m\left(x,0\right)\right)}^{2}dx+{\int }_0^{{\tau }^{\text{'}}}\text{}{\int }_0^l{f}^2\left(x\mathrm{,}t\right)dxdt+{\int }_0^{{\tau }^{\text{'}}}\left[g_1^2\left(t\right)+g_2^2\left(t\right)\right]dt\right]d{\tau }^{\text{'}}\le N\left(\tau \right),$        

а функция $N\left(\tau \right)$ ограничена, что обеспечено условиями теоремы. Таким образом, мы получили следующую оценку:

$\parallel u^m{\parallel }_{L_2\left(Q_{\tau }\right)}^2\le C\left(\tau \right)N\left(\tau \right)$ (14)

справедливую для всех $\tau \in \left[0,T\right]$ причем правая часть (14) не зависит от  Возвращаясь к неравенству (13), получим оценку второго слагаемого в его левой части:

$\frac{a_0}{2}{\int }_0^{\tau }\text{}{\int }_0^l{\left(u_x^m\right)}^{2}dxdt\le C_{4}C\left(\tau \right)N\left(\tau \right)+\frac{1}{2}C\left(\tau \right)N^{\text{'}}\left(\tau \right).$                        

Отсюда

$\parallel u_x^m{\parallel }_{L_2\left(Q_{\tau }\right)}^2\le P\left(\tau \right),$ (15)

где функция $P\left(\tau \right)$ в силу условий теоремы ограничена. Так как (14) и (15) выполняются для всех $\tau \in \left[0,T\right]$ для $u^m\left(x\mathrm{,}t\right)$ имеем оценку

$\parallel u^m{\parallel }_{W_2^{\mathrm{1,0}}\left(Q\right)}\le R$ (16)

с постоянной $R$ не зависящей от $m$.

Благодаря (16) из последовательности $\left\{u^m\right\}$ можно выделить подпоследовательность, за которой сохраним прежнее обозначение во избежание громоздкости, слабо сходящуюся вместе с производными $u_x^m$ к некоторому элементу $u\in W_2^{\mathrm{1,0}}\left(Q_T\right).$ Покажем, что этот элемент является искомым решением задачи (1), (2). Для этого умножим (9) на произвольную абсолютно непрерывную функцию $d_i\left(t\right)$ такую, что $d^{\text{'}}\left(t\right)\in L_2\left(0,T\right)$ и $d_i\left(T\right)=0.$ Полученные равенства сложим по всем $i$ от 1 до $m$ а затем проинтегрируем по $t$ от 0 до $T.$ После интегрирования по частям в первом слагаемом приходим к тождеству

${\int }_0^T\text{}{\int }_0^l\left(-u^m{\eta }_t+a{u}_x^m{\eta }_x+c{u}^m\eta \right)dxdt-{\int }_0^l{u}^m\left(x,0\right)\eta \left(x,0\right)dx-$

$-{\int }_0^T\eta \left(0,t\right)\left[{\alpha }_1\left(t\right)u^m\left(0,t\right)+{\beta }_1\left(t\right)u^m\left(l\mathrm{,}t\right)+{\int }_0^l{H}_1\left(x\mathrm{,}t\right)u^m\left(x\mathrm{,}t\right)dx\right]dt+$

$+{\int }_0^T\eta \left(l\mathrm{,}t\right)\left[{\alpha }_2\left(t\right)u^m\left(0,t\right)+{\beta }_2\left(t\right)u^m\left(l\mathrm{,}t\right)+{\int }_0^l{H}_2\left(x\mathrm{,}t\right)u^m\left(x\mathrm{,}t\right)dx\right]dt=$

$={\int }_0^T\text{}{\int }_0^{l}f\left(x\mathrm{,}t\right)\eta \left(x\mathrm{,}t\right)dxdt-{\int }_0^T\eta \left(0,t\right)g_1\left(t\right)dt+{\int }_0^T\eta \left(l\mathrm{,}t\right)g_2\left(t\right)dt\mathrm{,}$ (17)

которое очень похоже на тождество 3, но пока можно утверждать его выполнимость для функций $\eta \left(x\mathrm{,}t\right)\underset{ i=1}{\overset{m}{=\sum }}{d}_i\left(t\right)w_i\left(x\right)$ а не для любых $v\in {\widehat{W}}_2^1\left(Q_T\right).$ Обозначим через ${\Theta }_m$множество функций $\eta \left(x\mathrm{,}t\right)$ с указанными свойствами. Как показано в [22, с. 169], совокупность $\underset{j=1}{\overset{\infty }{\cup }}{\Theta }_j$ плотна в ${\widehat{W}}_2^1\left(Q_T\right),$ поэтому, перейдя к пределу в (17) при $m\to \infty$ и фиксированной $\eta \left(x\mathrm{,}t\right)$ можем утверждать, что полученное при этом тождество

${\int }_0^T\text{}{\int }_0^l\left(-u{\eta }_t+a{u}_x{\eta }_x+cu\eta \right)dxdt-{\int }_0^l\phi \left(x\right)\eta \left(x,0\right)dx-$

$-{\int }_0^T\eta \left(0,t\right)\left[{\alpha }_1\left(t\right)u\left(0,t\right)+{\beta }_1\left(t\right)u\left(l\mathrm{,}t\right)+{\int }_0^l{H}_1\left(x\mathrm{,}t\right)u\left(x\mathrm{,}t\right)dx\right]dt+$

$+{\int }_0^T\eta \left(l\mathrm{,}t\right)\left[{\alpha }_2\left(t\right)u\left(0,t\right)+{\beta }_2\left(t\right)u\left(l\mathrm{,}t\right)+{\int }_0^l{H}_2\left(x\mathrm{,}t\right)u\left(x\mathrm{,}t\right)dx\right]dt=$

$={\int }_0^T\text{}{\int }_0^{l}f\left(x\mathrm{,}t\right)\eta \left(x\mathrm{,}t\right)dxdt-{\int }_0^T\eta \left(0,t\right)g_1\left(t\right)dt+{\int }_0^T\eta \left(l\mathrm{,}t\right)g_2\left(t\right)dt$              

выполняется для любой $v\in {\widehat{W}}_2^1\left(Q_T\right).$ А это и означает, что функция $u\left(x\mathrm{,}t\right)=\underset{m\to \infty }{lim}{u}^m\left(x\mathrm{,}t\right)$ есть искомое решение задачи (1), (2).

Теорема полностью доказана. 

Замечания и дополнения

В качестве дополнения приведем некоторые вычисления, иллюстрирующие сделанное во введении замечание о связи условий (2), интегральных условий первого рода и условий Стеклова. Действительно, пусть заданы условия первого рода

${\int }_0^l{K}_i\left(x\right)u\left(x\mathrm{,}t\right)dx=0,i=1,2.$                                    

Проинтегрировав умноженное на $K_i\left(x\right)$ уравнение (1), получим

$-K_i\left(l\right)a\left(l\mathrm{,}t\right)u_x\left(l\mathrm{,}t\right)+K_i\left(0\right)a\left(0,t\right)u_x\left(0,t\right)+{K^{\text{'}}}_i\left(l\right)a\left(l\mathrm{,}t\right)u\left(l\mathrm{,}t\right)-{K^{\text{'}}}_i\left(0\right)a\left(0,t\right)u\left(0,t\right)+$

$+{\int }_0^l\left[c\left(x\mathrm{,}t\right)K_i\left(x\right)-{\left({K^{\text{'}}}_i\left(x\right)a\left(x\mathrm{,}t\right)\right)}_x\right]u\left(x\mathrm{,}t\right)dx={\int }_0^l{K}_i\left(x\right)f\left(x\mathrm{,}t\right)dx\mathrm{,}i=1,2.$        

Если в уравнении (1) $c=0, a=const,$ а именно такое уравнение рассмотрено в [14], и, кроме того, ${{K^{\text{'}}}^{\text{'}}}_i\left(x\right)=0$ то интегралы в этих соотношениях обращаются в нуль и мы приходим к условиям Стеклова.

Считая выполненным естественное условие $\Delta =K_1\left(0\right)K_2\left(l\right)-K_1\left(l\right)K_2\left(0\right)\ne \mathrm{0,}$ получим соотношения (2), где

${\alpha }_1\left(t\right)=\frac{{K^{\text{'}}}_1{\displaystyle \left(0\right)}{K}_2\left(l\right)-{K^{\text{'}}}_2\left(0\right)K_1\left(l\right)}{\Delta }\mathrm{,}{\alpha }_2\left(t\right)=\frac{\left[{K^{\text{'}}}_2{\displaystyle \left(0\right)}{K}_1\left(0\right)-{K^{\text{'}}}_1\left(0\right)K_2\left(0\right)\right]a\left(0,t\right)}{a\left(l\mathrm{,}t\right)\Delta };$

${\beta }_1\left(t\right)=\frac{\left({K^{\text{'}}}_1{\displaystyle \left(0\right)}{K}_2\left(0\right)-{K^{\text{'}}}_2\left(0\right)K_1\left(0\right)\right)a\left(l\mathrm{,}t\right)}{a\left(0,t\right)\Delta }\mathrm{,}{\beta }_2\left(t\right)=\frac{{K^{\text{'}}}_1\left(l\right)K_2\left(0\right)-{K^{\text{'}}}_2\left(l\right)K_1\left(0\right)}{\Delta };$

$H_1\left(x\mathrm{,}t\right)=\frac{\left[c{K}_1-{\left({K^{\text{'}}}_{1}a\right)}_x\right]K_2\left(l\right)-\left[c{K}_2-{\left({K^{\text{'}}}_{2}a\right)}_x\right]K_1\left(l\right)}{a\left(l\mathrm{,}t\right)\Delta }\mathrm{,}$

$H_2\left(x\mathrm{,}t\right)=\frac{\left[c{K}_1-{\left({K^{\text{'}}}_{1}a\right)}_x\right]K_2\left(0\right)-\left[c{K}_2-{\left({K^{\text{'}}}_{2}a\right)}_x\right]K_1\left(0\right)}{a\left(0,t\right)\Delta }\mathrm{.}$

Авторский вклад и ответственность. Все авторы принимали участие в разработке концепции статьи и в написании рукописи. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами.

Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.

Благодарности. Авторы благодарят анонимных рецензентов за их комментарии, которые помогли улучшить эту статью, а также редакционную коллегию журнала за четкую координацию.

About the authors

Alexander B. Beylin

Email: abeilin@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-4042-2860
SPIN-code: 8390-6910
http://www.mathnet.ru/person100342

Cand. of Techn. Sci., Associate Professor, Dept. Mechanical Engineering, Machine Tools and Tools

Andrey V. Bogatov

Email: andrebogato@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-5797-1930
http://www.mathnet.ru/person152395

Postgraduate Student

Ludmila S. Pulkina

Author for correspondence.
Email: louise@samdiff.ru
ORCID iD: 0000-0001-7947-6121
SPIN-code: 9768-0196
Scopus Author ID: 6506395220
ResearcherId: C-1180-2017
http://www.mathnet.ru/person17853

Dr. Phys. & Math. Sci., Professor, Dept. of Differential Equations and Control Theory

References

Supplementary files