A modified Cauchy problem for an inhomogeneous equation of degenerate hyperbolic type of the second kind

Full Text

Введение

Известно, что задача Коши для вырождающихся гиперболических уравнений с начальными данными на линии параболического вырождения не всегда бывает корректно поставленной. В том случае, когда задача Коши поставлена некорректно, необходимо рассмотреть видоизмененную задачу Коши (см., напр., [1–3]). На корректность таких задач существенно влияют коэффициенты и показатель вырождения рассматриваемого уравнения. Естественно, что эта проблема связана и с вопросом о корректной постановке и исследовании краевых задач для уравнений смешанного типа, содержащих такие уравнения (см., напр., [4–12]).

В конечной односвязной области $D$, ограниченной его характеристиками $OB:x-2\sqrt{-y}=0$, $AB:x+2\sqrt{-y}=1$ и $OA:y=0$, рассматривается вырождающееся гиперболическое уравнение второго рода
$$\begin{array}{}\text{(1)}& L_{\alpha ,\lambda }(u)\equiv u_{xx}+y{u}_{yy}+\alpha u_y-{\lambda }^{2}u=f(x,y),y<0,\end{array}$$
где $\alpha$ и $\lambda$ — заданные числа, причем $\alpha <1$, $\lambda \in \mathbb{R}$ или $i\lambda \in \mathbb{R}$, $f(x,y)$ — заданная функция.

Отметим, что М. Чибрарио одним из первых провела углубленный анализ уравнения (1) при $\alpha =0$ и $\lambda =0$ [13]. С. А. Терсенов [2], И. Л. Кароль [14], М. С. Салахитдинов, С. С. Исамухаммедов [6], В. А. Елеев [3], J. W. Reyn [15], Ю. М. Крикунов [16], Р. С. Хайруллин [4], Н. К. Мамадалиев [5] и многие другие исследовали различные задачи для уравнения (1) при различных значениях $\alpha$, когда $\lambda =0$ и $f(x,y)=0$. Следует отметить, что М. В. Капилевич исследовал задачу Коши для уравнения (1) при $\alpha \in (1/2,1)$ и $f(x,y)=0$ [17]. При $\alpha =1/2$ и $f(x,y)=0$ уравнение (1) сводится к телеграфному уравнению задачи Коши, которая была изучена в [18]. Задачу Коши для уравнения (1) при $\alpha \in (0,1/2)$ и $f(x,y)=0$ исследовал Ф. Ф. Евдокимов [19]. В работе [20] для уравнения (1) при $\alpha \in \mathbb{R}\mathrm{\setminus }(0,1)$ и $f(x,y)=0$ сформулирована видоизмененная задача Коши, аналогичная предложенной задаче в [2], и получена формула единственного решения поставленной задачи. В работе [21] поставлена и изучена задача типа Коши с производными высокого порядка в начальных условиях для уравнения (1) при $f(x,y)=0$ в характеристическом треугольнике.

В этой работе исследуется следующая видоизмененная задача Коши для уравнения (1).

Задача Коши. Найти функцию $u(x,y)\in C(\bar{D})\cap C^2(D)$, удовлетворяющую в области $D$ уравнению (1) и следующим начальным условиям:
$$\begin{array}{}\text{(2)}& \{\begin{array}{ll}u(x,0)=\tau (x),& x\in [0,1];\\ \underset{y\to -0}{lim}(-y{)}^{\alpha }(\partial /\partial y)[u-A_{\alpha }^{-}(\tau ,\lambda )]=\nu (x),& x\in (0,1),\end{array}\end{array}$$
где $\tau (x)$, $\nu (x)$ и $f(x,y)$ — заданные функции, $A_{\alpha }^{-}(\tau ,\lambda )$ — оператор вида
$$\begin{array}{}\text{(3)}& \begin{array}{c}{A}_{\alpha }^{-}(\tau ,\lambda )=\sum _{k=0}^n\frac{\mathrm{\Gamma }(2n+2\beta )(4y{)}^k{C}_n^k}{{\mathrm{\Gamma }}^2(n+\beta )(\beta +1/2{)}_k(\beta +n{)}_k}\times \hfill \\ \hfill \times {\int }_0^1{\mathrm{\Psi }}_k(\tau ,\lambda )[z(1-z){]}^{k+n+\beta -1}{\overline{J}}_{k+n+\beta -1}(\sigma )dz\end{array}\end{array}$$
при $\alpha \ne -n$, $\alpha \ne 1/2-n$, $n=0,1,2,\dots$; вида
$$\begin{array}{}\text{(4)}& A_{-n+1/2}^{-}(\tau ,\lambda )=\sum _{k=0}^{n+1}\frac{C_{n+1}^k(4y{)}^k}{k!(-n+1/2{)}_k}{\int }_0^1{\mathrm{\Psi }}_k(\tau ,\lambda )[z(1-z){]}^k{\overline{J}}_k(\sigma )dz\end{array}$$
при $\alpha =1/2-n$, $n=0,1,2,\dots$; вида
$$\begin{array}{}\text{(5)}& \begin{array}{c}{A}_{-n}^{-}(\tau ,\lambda )=\frac{1}{\pi }\sum _{k=0}^n\frac{(4y{)}^k{C}_{n+1}^k}{(-n{)}_k(1/2{)}_k}{\int }_0^1{\mathrm{\Psi }}_k(\tau ,\lambda )[z(1-z){]}^{k-1/2}{\overline{J}}_{k-1/2}(\sigma )dz+\hfill \\ +\frac{4(4y{)}^{n+1}}{\pi (-n{)}_n(3/2{)}_n}{\int }_0^1{\mathrm{\Psi }}_{n+1}(\tau ,\lambda )[z(1-z){]}^{n+1/2}\times \\ \hfill \times \{\ln [\sqrt{-y}z(1-z)]{\overline{J}}_{n+1/2}(\sigma )-{\mathrm{\Omega }}_{n+1/2}(\sigma )\}dz\end{array}\end{array}$$
при $\alpha =-n$, $n=0,1,2,\dots$;
$${\mathrm{\Omega }}_{\gamma }(\sigma )=\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^m(\sigma /2{)}^{2m}}{m!(\gamma +1{)}_m}\sum _{j=1}^m\frac{1}{\gamma +j};$$
${\mathrm{\Psi }}_k(\tau ,\lambda )=({\lambda }^2-d^2/d{x}^2{)}^k\tau (x)$, $\sigma =4\lambda \sqrt{-yz(1-z)}$, $\beta =\alpha -1/2$, $\mathrm{\Gamma }(\delta )$ — гамма-функция Эйлера, $(a{)}_m=a(a+1)\cdots (a+m-1)$ — символ Похгаммера, $J_{\gamma }(z)$ — функция Бесселя первого рода, ${\overline{J}}_{\gamma }(z)=\mathrm{\Gamma }(\gamma +1)(z/2{)}^{-\gamma }{J}_{\gamma }(z)$, т.е.
$${\overline{J}}_{\gamma }(z)=\mathrm{\Gamma }(\gamma +1)\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^m(z/2{)}^{2m}}{m!\mathrm{\Gamma }(m+\gamma +1)},\gamma \ne -1,-2,-3,\dots .$$

1. Исследование видоизмененной задачи Коши

Решение задачи (1), (2) будем искать в виде
$$\begin{array}{}\text{(6)}& u(x,y)=v(x,y)+\omega (x,y),\end{array}$$
где $v(x,y)$ — решение задачи
$$L_{\alpha ,\lambda }(v)\equiv v_{xx}+y{v}_{yy}+\alpha v_y-{\lambda }^{2}v=0,y<0;$$
$$\{\begin{array}{ll}v(x,0)=\tau (x),& x\in [0,1];\\ \underset{y\to -0}{lim}(-y{)}^{\alpha }(\partial /\partial y)[v-A_{\alpha }^{-}(\tau ,\lambda )]=\nu (x),& x\in (0,1),\end{array}$$
которое определяется формулой [20]
$$\begin{array}{}\text{(7)}& \begin{array}{c}v(x,y)=A_{\alpha }^{-}(\tau ,\lambda )-\hfill \\ \hfill -{\gamma }_1(-y{)}^{1-\alpha }{\int }_0^1\nu (x-2\sqrt{-y}(1-2z))[z(1-z){]}^{-\beta }{\overline{J}}_{-\beta }(\sigma )dz.\end{array}\end{array}$$
Здесь ${\gamma }_1=\mathrm{\Gamma }(2-2\beta )/[(1-\alpha ){\mathrm{\Gamma }}^2(1-\beta )]$, $\sigma =4\lambda \sqrt{-yz(1-z)}$, $A_{\alpha }^{-}(\tau ,\lambda )$ — определяется по формулам (3)–(5), $\omega (x,y)$ — решение задачи
$$\begin{array}{}\text{(8)}& L_{\alpha ,\lambda }(\omega )=f(x,y),y<0;\end{array}$$
$$\begin{array}{}\text{(9)}& \{\begin{array}{ll}\omega (x,0)=0,& x\in [0,1];\\ \underset{y\to -0}{lim}(-y{)}^{\alpha }(\partial /\partial y)\omega (x,y)=0,& x\in (0,1).\end{array}\end{array}$$
Из (9) вытекает, что [21]
$$\begin{array}{}\text{(10)}& \underset{y\to -0}{lim}(-y{)}^{\alpha -1}\omega (x,y)=0.\end{array}$$

Исследуем задачу (8), (9) методом Римана. Уравнение (8) и условия (9) в характеристических координатах $\xi =x-2\sqrt{-y}$, $\eta =x+2\sqrt{-y}$ имеют вид
$$E_{\lambda }(W)\equiv W_{\xi \eta }+\frac{\beta }{\eta -\xi }(W_{\xi }-W_{\eta })-\frac{{\lambda }^2}{4}W=F(\xi ,\eta ),$$
$$\begin{array}{}\text{(11)}& W(\xi ,\xi )=0,\underset{\eta -\xi \to 0}{lim}\frac{(\eta -\xi {)}^{2\beta }}{4^{\beta -1/2}}[W_{\xi }(\xi ,\eta )-W_{\eta }(\xi ,\eta )]=0,\end{array}$$
где $W(\xi ,\eta )=\omega (x,y)$, $F(x,y)=f(\xi ,\eta )/4$. В координатах $\xi$, $\eta$ равенство (10) имеет вид
$$\begin{array}{}\text{(12)}& \underset{\eta -\xi \to 0}{lim}(\frac{\eta -\xi }{4}{)}^{2\beta -1}W(\xi ,\eta )=0.\end{array}$$

В характеристическом треугольнике ${\mathrm{\Delta }}_0$, ограниченном прямыми $\xi =\eta$, $\xi ={\xi }_0$, $\eta ={\eta }_0$, рассмотрим функцию Римана [22]:
$$R(\xi ,\eta ;{\xi }_0,{\eta }_0)=\frac{(\eta -\xi {)}^{2\beta }}{(\eta -{\xi }_0{)}^{\beta }({\eta }_0-\xi {)}^{\beta }}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\rho }^k}{(k!{)}^2}F(\beta ,\beta +k,1+k;\theta ),$$
где $\rho ={\lambda }^2({\eta }_0-\eta )(\xi -{\xi }_0)/4$, $\theta =({\eta }_0-\eta )(\xi -{\xi }_0)/[(\eta -{\xi }_0)({\eta }_0-\xi )]$. Легко видеть, что
$$E_{\lambda }^{\ast }(R)\equiv R_{\xi \eta }-\frac{\beta }{\eta -\xi }(R_{\xi }-R_{\eta })-\frac{2\beta }{(\eta -\xi {)}^2}R-\frac{{\lambda }^2}{4}R=0;$$
$$\begin{array}{}\text{(13)}& \frac{\partial }{\partial \xi }R(\xi ,\eta ;{\xi }_0,{\eta }_0){|}_{\eta ={\eta }_0}+\frac{\beta }{\eta -\xi }R(\xi ,\eta ;{\xi }_0,{\eta }_0){|}_{\eta ={\eta }_0}=0;\end{array}$$
$$\begin{array}{}\text{(14)}& \frac{\partial }{\partial \eta }R(\xi ,\eta ;{\xi }_0,{\eta }_0){|}_{\xi ={\xi }_0}-\frac{\beta }{\eta -\xi }R(\xi ,\eta ;{\xi }_0,{\eta }_0){|}_{\xi ={\xi }_0}=0;\end{array}$$
$$\begin{array}{}\text{(15)}& \frac{\partial }{\partial {\xi }_0}R(\xi ,\eta ;{\xi }_0,{\eta }_0){|}_{\eta ={\eta }_0}-\frac{\beta }{{\eta }_0-{\xi }_0}R(\xi ,\eta ;{\xi }_0,{\eta }_0){|}_{\eta ={\eta }_0}=0;\end{array}$$
$$\begin{array}{}\text{(16)}& \frac{\partial }{\partial {\eta }_0}R(\xi ,\eta ;{\xi }_0,{\eta }_0){|}_{\xi ={\xi }_0}+\frac{\beta }{{\eta }_0-{\xi }_0}R(\xi ,\eta ;{\xi }_0,{\eta }_0){|}_{\xi ={\xi }_0}=0;\end{array}$$
$$\begin{array}{}\text{(17)}& R({\xi }_0,{\eta }_0;{\xi }_0,{\eta }_0)=1.\end{array}$$
Имеет место тождество
$$\begin{array}{}\text{(18)}& 2R{E}_{\lambda }(W)-2W{E}_{\lambda }^{\ast }(R)=2RF(\xi ,\eta )=\frac{\partial }{\partial \eta }M+\frac{\partial }{\partial \xi }N,\end{array}$$
где
$$M=(\frac{\partial W}{\partial \xi }R-W\frac{\partial R}{\partial \xi }-\frac{2\beta }{\eta -\xi }WR),N=(\frac{\partial W}{\partial \eta }R-W\frac{\partial R}{\partial \eta }+\frac{2\beta }{\eta -\xi }WR).$$
Проинтегрируем тождество (18) по треугольнику, ограниченному прямыми$\xi ={\xi }_0$, $\eta ={\eta }_0$, $\eta -\xi =\epsilon$, $\epsilon >0$:
$$\begin{array}{}\text{(19)}& 2{\int }_{{\xi }_0}^{{\eta }_0-\epsilon }d\xi {\int }_{\xi +\epsilon }^{{\eta }_0}F(\xi ,\eta )Rd\eta ={\int }_{{\xi }_0}^{{\eta }_0-\epsilon }d\xi {\int }_{\xi +\epsilon }^{{\eta }_0}\frac{\partial }{\partial \eta }Md\eta +{\int }_{{\xi }_0+\epsilon }^{{\eta }_0}d\eta {\int }_{{\xi }_0}^{\eta -\epsilon }\frac{\partial }{\partial \xi }Nd\xi .\end{array}$$
Вычислив внутренние интегралы, имеем
$$2{\int }_{{\xi }_0}^{{\eta }_0-\epsilon }d\xi {\int }_{\xi +\epsilon }^{{\eta }_0}F(\xi ,\eta )Rd\eta ={\int }_{{\xi }_0}^{{\eta }_0-\epsilon }M{|}_{\eta =\xi +\epsilon }^{\eta ={\eta }_0}d\xi +{\int }_{{\xi }_0+\epsilon }^{{\eta }_0}N{|}_{\xi ={\xi }_0}^{\xi =\eta -\epsilon }d\eta .$$
Отсюда, принимая во внимание свойства (13), (14) и (17), получим
$$\begin{array}{}\text{(20)}& {\int }_{{\xi }_0}^{{\eta }_0-\epsilon }M{|}_{\eta =\xi +\epsilon }^{\eta ={\eta }_0}d\xi =W({\eta }_0-\epsilon ,{\eta }_0)R({\eta }_0-\epsilon ,{\eta }_0;{\xi }_0,{\eta }_0)-W({\xi }_0,{\eta }_0)-J_1,\end{array}$$
$$\begin{array}{}\text{(21)}& {\int }_{{\xi }_0+\epsilon }^{{\eta }_0}N{|}_{\xi ={\xi }_0}^{\xi =\eta -\epsilon }d\eta =J_2-W({\xi }_0,{\eta }_0)+W({\xi }_0,{\xi }_0+\epsilon )R({\xi }_0,{\xi }_0+\epsilon ;{\xi }_0,{\eta }_0),\end{array}$$
где
$$\begin{array}{}\text{(22)}& J_1={\int }_{{\xi }_0}^{{\eta }_0-\epsilon }(\frac{\partial W}{\partial \xi }R-W\frac{\partial R}{\partial \xi }-\frac{2\beta }{\eta -\xi }WR){|}_{\eta =\xi +\epsilon }d\xi ,\end{array}$$
$$\begin{array}{}\text{(23)}& J_2={\int }_{{\xi }_0+\epsilon }^{{\eta }_0}(\frac{\partial W}{\partial \eta }R-W\frac{\partial R}{\partial \eta }+\frac{2\beta }{\eta -\xi }WR){|}_{\xi =\eta -\epsilon }d\eta .\end{array}$$
Теперь, вычисляем
$$\begin{array}{}\text{(24)}& \begin{array}{c}{J}_2-J_1={\int }_{{\xi }_0}^{{\eta }_0-\epsilon }(\frac{\partial W}{\partial \eta }-\frac{\partial W}{\partial \xi })R{|}_{\eta =\xi +\epsilon }d\xi +\hfill \\ \hfill +{\int }_{{\xi }_0}^{{\eta }_0-\epsilon }W(\frac{\partial R}{\partial \xi }-\frac{\partial R}{\partial \eta }+\frac{4\beta }{\eta -\xi }R){|}_{\eta =\xi +\epsilon }d\xi .\end{array}\end{array}$$
Учитывая (11) и (12), имеем
$$\underset{\epsilon \to 0}{lim}(\frac{\partial W}{\partial \eta }-\frac{\partial W}{\partial \xi })R{|}_{\eta =\xi +\epsilon }=0,\underset{\epsilon \to 0}{lim}W(\frac{\partial R}{\partial \xi }-\frac{\partial R}{\partial \eta }+\frac{4\beta }{\eta -\xi }R){|}_{\eta =\xi +\epsilon }=0.$$
Принимая во внимание (20)–(24), из формулы (19) в пределе при $\epsilon \to 0$ получаем
$$W({\xi }_0,{\eta }_0)={\int }_{{\xi }_0}^{{\eta }_0}d\xi {\int }_{\xi }^{{\eta }_0}F(\xi ,\eta )R(\xi ,\eta ;{\xi }_0,{\eta }_0)d\eta .$$
Возвращаясь к переменным $x$ и $y$, получим
$$\begin{array}{}\text{(25)}& \begin{array}{c}\omega (x,y)=\frac{1}{4}{\int }_{x-2\sqrt{-y}}^{x+2\sqrt{-y}}d\xi {\int }_{\xi }^{x+2\sqrt{-y}}f(\frac{\xi +\eta }{2},-\frac{(\eta -\xi {)}^2}{16})\times \hfill \\ \hfill \times R(\xi ,\eta ;x-2\sqrt{-y},x+2\sqrt{-y})d\eta .\end{array}\end{array}$$

Теорема 1. Если $f(x,y)=(-y{)}^{\alpha }{f}_1(x,y)$, $f_1(x,y)\in C^1(\overline{D})$, то функция (25) является единственным решением задачи (8), (9).

Доказательство. Сначала докажем, что функция (25) удовлетворяет уравнению (1). Для этого вычислим следующие производные:
$$\begin{array}{c}{\omega }_{xx}(x,y)=\frac{1}{2}f(x,y)+\hfill \\ +\frac{1}{4}{\int }_{x-2\sqrt{-y}}^{x+2\sqrt{-y}}\frac{\partial }{\partial x}f(\frac{x-2\sqrt{-y}+\eta }{2},-\frac{(\eta -x+2\sqrt{-y}{)}^2}{16})\times \\ \times R(x-2\sqrt{-y},\eta ;x-2\sqrt{-y},x+2\sqrt{-y})d\eta +\\ +\frac{1}{4}{\int }_{x-2\sqrt{-y}}^{x+2\sqrt{-y}}f(\frac{x-2\sqrt{-y}+\eta }{2},-\frac{(\eta -x+2\sqrt{-y}{)}^2}{16})\times \\ \times \frac{\partial }{\partial x}R(x-2\sqrt{-y},\eta ;x-2\sqrt{-y},x+2\sqrt{-y})d\eta -\\ -\frac{1}{4}{\int }_{x-2\sqrt{-y}}^{x+2\sqrt{-y}}\frac{\partial }{\partial x}f(\frac{\xi +x+2\sqrt{-y}}{2},-\frac{(x+2\sqrt{-y}-\xi {)}^2}{16})\times \\ \times R(\xi ,x+2\sqrt{-y};x-2\sqrt{-y},x+2\sqrt{-y})d\xi -\\ -\frac{1}{4}{\int }_{x-2\sqrt{-y}}^{x+2\sqrt{-y}}f(\frac{\xi +x+2\sqrt{-y}}{2},-\frac{(x+2\sqrt{-y}-\xi {)}^2}{16})\times \\ \times \frac{\partial }{\partial x}R(\xi ,x+2\sqrt{-y};x-2\sqrt{-y},x+2\sqrt{-y})d\xi -\\ -\frac{1}{4}{\int }_{x-2\sqrt{-y}}^{x+2\sqrt{-y}}f(\frac{\xi +\eta }{2},-\frac{(\eta -\xi {)}^2}{16})\times \\ \times \frac{\partial }{\partial x}R(\xi ,\eta ;x-2\sqrt{-y},x+2\sqrt{-y}){|}_{\xi =x-2\sqrt{-y}}d\eta -\\ -\frac{1}{4}{\int }_{x-2\sqrt{-y}}^{x+2\sqrt{-y}}f(\frac{\xi +\eta }{2},-\frac{(\eta -\xi {)}^2}{16})\times \\ \times \frac{\partial }{\partial x}R(\xi ,\eta ;x-2\sqrt{-y},x+2\sqrt{-y}){|}_{\eta =x+2\sqrt{-y}}d\xi -\\ -\frac{1}{4}{\int }_{x-2\sqrt{-y}}^{x+2\sqrt{-y}}d\xi {\int }_{\xi }^{x+2\sqrt{-y}}f(\frac{\xi +\eta }{2}-\frac{(\eta -\xi {)}^2}{16})\times \\ \hfill \times \frac{{\partial }^2}{\partial x^2}R(\xi ,\eta ;x-2\sqrt{-y},x+2\sqrt{-y})d\eta ;\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(26)}& \begin{array}{c}{\omega }_y(x,y)=\frac{1}{4\sqrt{-y}}{\int }_{x-2\sqrt{-y}}^{x+2\sqrt{-y}}f(\frac{\xi +\eta }{2},-\frac{{(\eta -\xi )}^2}{16})\times \hfill \\ \times R(\xi ,\eta ;x-2\sqrt{-y},x+2\sqrt{-y}){|}_{\xi =x-2\sqrt{-y}}d\eta +\\ +\frac{1}{4\sqrt{-y}}{\int }_{x-2\sqrt{-y}}^{x+2\sqrt{-y}}f(\frac{\xi +\eta }{2},-\frac{(\eta -\xi {)}^2}{16})\times \\ \times R(\xi ,\eta ;x-2\sqrt{-y},x+2\sqrt{-y}){|}_{\eta =x+2\sqrt{-y}}d\xi -\\ -\frac{1}{4}{\int }_{x-2\sqrt{-y}}^{x+2\sqrt{-y}}d\xi {\int }_{\xi }^{x+2\sqrt{-y}}f(\frac{\xi +\eta }{2},-\frac{(\eta -\xi {)}^2}{16})\times \\ \hfill \times \frac{\partial }{\partial y}R(\xi ,\eta ;x-2\sqrt{-y},x+2\sqrt{-y})d\eta .\end{array}\end{array}$$

$$\begin{array}{c}{\omega }_{yy}(x,y)=\frac{1}{8\sqrt{-y^3}}{\int }_{x-2\sqrt{-y}}^{x+2\sqrt{-y}}f(\frac{\xi +\eta }{2},-\frac{(\eta -\xi {)}^2}{16})\times \hfill \\ \times R(\xi ,\eta ;x-2\sqrt{-y},x+2\sqrt{-y}){|}_{\xi =x-2\sqrt{-y}}d\eta +\\ +\frac{1}{2y}f(x,y)+\frac{1}{4\sqrt{-y}}{\int }_{x-2\sqrt{-y}}^{x+2\sqrt{-y}}\frac{\partial }{\partial y}f(\frac{x-2\sqrt{-y}+\eta }{2},-\frac{(\eta -x+2\sqrt{-y}{)}^2}{16})\times \\ \times R(x-2\sqrt{-y},\eta ;x-2\sqrt{-y},x+2\sqrt{-y})d\eta +\\ +\frac{1}{4\sqrt{-y}}{\int }_{x-2\sqrt{-y}}^{x+2\sqrt{-y}}f(\frac{x-2\sqrt{-y}+\eta }{2},-\frac{(\eta -x+2\sqrt{-y}{)}^2}{16})\times \\ \times \frac{\partial }{\partial y}R(x-2\sqrt{-y},\eta ;x-2\sqrt{-y},x+2\sqrt{-y})d\eta +\\ +\frac{1}{8\sqrt{-y^3}}{\int }_{x-2\sqrt{-y}}^{x+2\sqrt{-y}}f(\frac{\xi +\eta }{2},-\frac{(\eta -\xi {)}^2}{16})\times \\ \times R(\xi ,\eta ;x-2\sqrt{-y},x+2\sqrt{-y})d\xi {|}_{\eta =x+2\sqrt{-y}}+\\ +\frac{1}{4\sqrt{-y}}{\int }_{x-2\sqrt{-y}}^{x+2\sqrt{-y}}\frac{\partial }{\partial y}f(\frac{\xi +x+2\sqrt{-y}}{2},-\frac{(x+2\sqrt{-y}-\xi {)}^2}{16})\times \\ \times R(\xi ,x+2\sqrt{-y};x-2\sqrt{-y},x+2\sqrt{-y})d\xi +\\ +\frac{1}{4\sqrt{-y}}{\int }_{x-2\sqrt{-y}}^{x+2\sqrt{-y}}f(\frac{\xi +x+2\sqrt{-y}}{2},-\frac{{(x+2\sqrt{-y}-\xi )}^2}{16})\times \\ \times \frac{\partial }{\partial y}R(\xi ,x+2\sqrt{-y};x-2\sqrt{-y},x+2\sqrt{-y})d\xi +\\ +\frac{1}{4\sqrt{-y}}{\int }_{x-2\sqrt{-y}}^{x+2\sqrt{-y}}f(\frac{\xi +\eta }{2},-\frac{(\eta -\xi {)}^2}{16})\times \\ \times \frac{\partial }{\partial y}R(\xi ,\eta ;x-2\sqrt{-y},x+2\sqrt{-y}){|}_{\xi =x-2\sqrt{-y}}d\eta +\\ +\frac{1}{4\sqrt{-y}}{\int }_{x-2\sqrt{-y}}^{x+2\sqrt{-y}}f(\frac{\xi +\eta }{2},-\frac{(\eta -\xi {)}^2}{16})\times \\ \times \frac{\partial }{\partial y}R(\xi ,\eta ;x-2\sqrt{-y},x+2\sqrt{-y}){|}_{\eta =x+2\sqrt{-y}}d\xi -\\ -\frac{1}{4}{\int }_{x-2\sqrt{-y}}^{x+2\sqrt{-y}}d\xi {\int }_{\xi }^{x+2\sqrt{-y}}f(\frac{\xi +\eta }{2},-\frac{(\eta -\xi {)}^2}{16})\times \\ \hfill \times \frac{{\partial }^2}{\partial y^2}R(\xi ,\eta ;x-2\sqrt{-y},x+2\sqrt{-y})d\eta .\end{array}$$

Подставляя $\omega (x,y)$, ${\omega }_{xx}(x,y)$, ${\omega }_{yy}(x,y)$, ${\omega }_y(x,y)$ в $L_{\alpha ,\lambda }(\omega )$, имеем 
$$L_{\alpha ,\lambda }(\omega )=\sum _{j=1}^6{p}_j,$$
где $p_1=f(x,y)$,
$$p_2={\int }_{x-2\sqrt{-y}}^{x+2\sqrt{-y}}f(\frac{\xi +\eta }{2},-\frac{(\eta -\xi {)}^2}{16})\frac{\partial }{\partial {\eta }_0}R(\xi ,\eta ;{\xi }_0,{\eta }_0){|}_{\xi =x-2\sqrt{-y}}d\eta ,$$
$$p_3=-{\int }_{x-2\sqrt{-y}}^{x+2\sqrt{-y}}f(\frac{\xi +\eta }{2},-\frac{(\eta -\xi {)}^2}{16})\frac{\partial }{\partial {\xi }_0}R(\xi ,\eta ;{\xi }_0,{\eta }_0){|}_{\eta =x+2\sqrt{-y}}d\xi ,$$
$$p_4=\frac{\beta }{{\eta }_0-{\xi }_0}{\int }_{x-2\sqrt{-y}}^{x+2\sqrt{-y}}f(\frac{\xi +\eta }{2},-\frac{(\eta -\xi {)}^2}{16})R(\xi ,\eta ;{\xi }_0,{\eta }_0){|}_{\eta =x+2\sqrt{-y}}d\xi ,$$
$$p_5=\frac{\beta }{{\eta }_0-{\xi }_0}{\int }_{x-2\sqrt{-y}}^{x+2\sqrt{-y}}f(\frac{\xi +\eta }{2},-\frac{(\eta -\xi {)}^2}{16})R(\xi ,\eta ;{\xi }_0,{\eta }_0){|}_{\xi =x-2\sqrt{-y}}d\eta ,$$
$$p_6=-{\int }_{x-2\sqrt{-y}}^{x+2\sqrt{-y}}d\xi {\int }_{\xi }^{x+2\sqrt{-y}}f(\frac{\xi +\eta }{2},-\frac{(\eta -\xi {)}^2}{16})\cdot [\frac{{\partial }^2}{\partial {\xi }_0\partial {\eta }_0}+\frac{\beta }{{\eta }_0-{\xi }_0}(\frac{\partial }{\partial {\xi }_0}-\frac{\partial }{\partial {\eta }_0})-\frac{{\lambda }^2}{4}]R(\xi ,\eta ;{\xi }_0,{\eta }_0)d\eta ,$$
$${\xi }_0=x-2\sqrt{-y},{\eta }_0=x+2\sqrt{-y}.$$

Принимая во внимание (15) и (16), имеем $p_3+p_4=0$, $p_2+p_5=0$, $p_6=0$. Из полученных равенств вытекает, что $L_{\alpha ,\lambda }(\omega )=f(x,y)$. Теперь проверим, удовлетворяет ли функция $\omega (x,y)$ первому из условий (2). Для этого запишем $\omega (x,y)$ в виде
$$\begin{array}{c}\omega (x,y)=4y{\int }_0^1(1-t)dt\times \hfill \\ \times {\int }_0^{1}f(x-2\sqrt{-y}+4\sqrt{-y}t+2\sqrt{-y}(1-t)z,y(1-t{)}^2{z}^2)\times \\ \hfill \times R({\xi }_0+4\sqrt{-y}t,{\xi }_0+4\sqrt{-y}(t+(1-t)z);{\xi }_0,{\eta }_0)dz.\end{array}$$

Отсюда $\omega (x,0)=0$. Проверим, удовлетворяет ли функция $\omega (x,y)$ второму из условий (2). Для этого запишем функцию (26) в виде
$$\begin{array}{c}{\omega }_y(x,y)={\int }_0^{1}f(x-2\sqrt{-y}(1-s),y{s}^2)R({\xi }_0,{\xi }_0+4\sqrt{-y}s;{\xi }_0,{\eta }_0)ds+\hfill \\ +{\int }_0^{1}f(x+2\sqrt{-y}s,y(1-s{)}^2)R({\xi }_0+4\sqrt{-y}s,{\eta }_0;{\xi }_0,{\eta }_0)ds-\\ \hfill -{\int }_0^1(1-t)dt{\int }_0^{1}f({\xi }_0+4\sqrt{-y}t+2\sqrt{-y}(1-t)s,y(1-t{)}^2{s}^2)G({\xi }_0,{\eta }_0;t,s)ds,\end{array}$$
где
$$\begin{array}{c}G({\xi }_0,{\eta }_0;t,s)=\frac{\beta (1-t{)}^{\beta }{s}^{2\beta }}{[t+(1-t)s{]}^{\beta }}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\rho }^k}{(k!{)}^2}F(\beta ,\beta +k;1+k;\theta )+\hfill \\ +\frac{4{\lambda }^2(1-t{)}^{\beta +1}{s}^{2\beta }(1-s)y}{[t+(1-t)s{]}^{\beta }}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{k{\rho }^{k-1}}{(k!{)}^2}F(\beta ,\beta +k;1+k;\theta )-\\ -\frac{(1-t{)}^{\beta +1}{s}^{2\beta +1}(1-s)}{[t+(1-t)s{]}^{\beta +2}}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\beta (\beta +1){\rho }^k}{(k!{)}^2(k+1)}F(1+\beta ,1+\beta +k;2+k;\theta )+\\ +\frac{\beta (1-t{)}^{\beta -1}{s}^{2\beta }}{[t+(1-t)s{]}^{\beta }}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\rho }^k}{(k!{)}^2}F(\beta ,\beta +k;1+k;\theta )+\\ +\frac{4y{\lambda }^2(1-t{)}^{\beta }{s}^{2\beta }t}{[t+(1-t)s{]}^{\beta +1}}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{k{\rho }^{k-1}}{(k!{)}^2}F(\beta ,\beta +k;1+k;\theta )+\\ \hfill +\frac{64y\sqrt{-y}(1-t{)}^{\beta +1}{s}^{2\beta +1}t}{[t+(1-t)s{]}^{\beta +1}}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\beta (\beta +k){\rho }^k}{(k!{)}^2(1+k)}F(1+\beta ,1+\beta +k;2+k;\theta ),\end{array}$$
$\rho =-4{\lambda }^2(1-t)sty$, $\theta =t(1-s)/[t+(1-t)s]$. Отсюда из условий $f(x,y)=(-y{)}^{\alpha }{f}_1(x,y)$, $f_1(x,y)\in C^1(D)$ легко вытекает, что
$$\underset{y\to -0}{lim}(-y{)}^{\alpha }(\partial /\partial y)\omega (x,y)=0.$$

Единственность решения задачи (8), (9) следует из метода получения решения (25). $◻$

Подставляя (7) и (25) в (6), имеем
$$\begin{array}{}\text{(27)}& \begin{array}{c}u(x,y)=A_{\alpha }^{-}(\tau ,\lambda )-\hfill \\ -{\gamma }_1(-y{)}^{1-\alpha }{\int }_0^1\nu (x-2\sqrt{-y}(1-2z))[z(1-z){]}^{-\beta }{\overline{J}}_{-\beta }(4\lambda \sqrt{-yz(-z)})dz+\\ +\frac{1}{4}{\int }_{x-2\sqrt{-y}}^{x+2\sqrt{-y}}d\xi {\int }_{\xi }^{x+2\sqrt{-y}}f(\frac{\xi +\eta }{2},-\frac{(\eta -\xi {)}^2}{16})\times \\ \hfill \times R(\xi ,\eta ;x-2\sqrt{-y},x+2\sqrt{-y})d\eta .\end{array}\end{array}$$

Таким образом, мы доказали следующие теоремы.

Теорема 2. Если $\tau (x)\in C^{2(n+1)}[0,1]$, $\nu (x)\in C^2[0,1]$ и $f(x,y)=(-y{)}^{1-\alpha }\times f_1(x,y)$, $f_1(x,y)\in C^1(\overline{D})$, то функция $v(x,y)$, определяемая формулой (27), является решением задачи (1), (2) при $\alpha \ne -n$, $\alpha \ne 1/2-n$, $n=0,1,2,\dots$, $\alpha <1$, где $A_{\alpha }^{-}(\tau ,\lambda )$ — определяется по (3).

Теорема 3. Если $\tau (x)\in C^{2(n+2)}[0,1]$, $\nu (x)\in C^2[0,1]$ и $f(x,y)=(-y{)}^{1-\alpha }\times f_1(x,y)$, $f_1(x,y)\in C^1(\overline{D})$, то функция $u(x,y)$, определяемая формулой (27), является решением задачи (1), (2) при $\alpha =1/2-n$, $n=0,1,2,\dots$, где $A_{\alpha }^{-}(\tau ,\lambda )$ — определяется по (4).