The Riemann matrix for some systems of the differential hyperbolic-type equations of the high order

Full Text

Введение

Известно, что краевые задачи для дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений в частных производных с некратными характеристиками могут быть решены методом Римана [1, гл. 1, п. 4$^\circ$]. Метод Римана предполагает существование вспомогательной функции, так называемой функции Римана, обладающей известными свойствами [2–4]. Функция Римана играет фундаментальную роль в теории линейных уравнений гиперболического типа, и с ее помощью удается, как правило, записать решение задач Коши и Гурса в явном виде [5–8].

Решение краевых задач для ряда систем гиперболического типа также можно получить в явном виде с помощью матрицы Римана [9, 10]. Поэтому особый интерес представляют исследования, посвященные построению в явном виде матрицы Римана для некоторых видов систем дифференциальных уравнений. При построении матрицы Римана важно, что с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа–Сильвестра [11, гл. 5, § 1] можно определить значение аналитической функции на множестве постоянных квадратных матриц. Если ограничиться множеством матриц, являющихся значениями некоторых аналитических функций от одной матрицы, то определение легко обобщается на случай аналитических функций многих комплексных переменных, что позволяет, в свою очередь, доопределять целый ряд специальных функций на матричные значения входящих в них параметров.

1. Построение матрицы Римана для системы дифференциальных уравнений гиперболического типа третьего и четвертого порядка

В пространстве $\mathbb R^3 $ рассмотрим систему дифференциальных уравнений в частных производных, не содержащую производные порядка меньше третьего,
\[ \begin{equation}
MU\equiv U_{x_1 x_2 x_3 }+\Omega U=0,
\end{equation} \tag{1} \]
где $U (x_1 , x_2 , x_3 )$ — искомая $m$-мерная вектор-функция, $\Omega$ — постоянная действительная $(m {\times} m)$-матрица.

Оператор $ M^{*}V\equiv - V_{x_1 x_2 x_3 } + V\Omega$, где $V (x_1 , x_2 , x_3 , \xi_1 , \xi_2 , \xi_3 )$ — квадратная матрица порядка $m$, является сопряженным оператором по Лагранжу для $MU\equiv U_{x_1 x_2 x_3 }+\Omega U$.

Матрицей Римана $V=V(x_1 , x_2 , x_3 , \xi_1 , \xi_2 , \xi_3 )$ для системы уравнений (1) называется решение задачи
\[ \begin{equation*}
\begin{array}{c}
M^{*}V=0,
\\
V(\xi_1 , x_2 , x_3 , \xi_1 , \xi_2 , \xi_3 )=E,
\\
V(x_1 , \xi_2 , x_3 , \xi_1 , \xi_2 , \xi_3 )=E,
\\
V(x_1 , x_2 , \xi_3 , \xi_1 , \xi_2 , \xi_3 )=E,
\end{array}
\end{equation*} \]
где $ (\xi_1 , \xi_2 , \xi_3 )$ — произвольная точка пространства $\mathbb R^3 $, $E$ — единичная матрица порядка $m$.

Очевидно, что матрица Римана удовлетворяет интегральному уравнению Вольтерра [6], [7, с. 26]
\[ \begin{equation}
V(x_1 , x_2 , x_3 , \xi_1 , \xi_2 , \xi_3 )-
\int _{\xi_1 }^{x_1 } \int _{\xi_2 }^{x_2 } \int _{\xi_3 }^{x_3 }
V (\alpha, \beta, \gamma) \Omega d\alpha d\beta d\gamma=E.
\end{equation} \tag{2} \]

При этом следует отметить, что два определения матрицы Римана — посредством интегрального уравнения и как решение задачи Гурса для сопряженного уравнения эквивалентны.

Введем новые переменные $t=x_1 -\xi_1 $, $s=x_2 -\xi_2 $, $p=x_3 -\xi_3 $. Тогда матрица Римана $V (t, s, p )$ удовлетворяет уравнению
\[ \begin{equation}
V_{tsp}-V\Omega=0
\end{equation} \tag{3} \]
и условиям
\[ \begin{equation}
V(t, 0, 0)=E, \quad V(0, s, 0)=E, \quad V(0, 0, p)=E.
\end{equation} \tag{4} \]

Решение задачи (3), (4) будем искать в следующем виде:
\[ \begin{equation*}
V=W(\sigma),
\end{equation*} \]
где $\sigma= tsp$.

Матричное уравнение $M^{*}V=0$ при этом преобразуется к виду
\[ \begin{equation}
\sigma^2 W'''(\sigma)+3\sigma W''+W'-W\Omega=0
\end{equation} \tag{5} \]
при $W(0)=E$.

Пусть $\delta\equiv\sigma\dfrac{d}{d\sigma}$, тогда $\sigma^2 \dfrac{d^2 }{d\sigma^2 }\equiv\delta^2 -\delta$, откуда
\[ \begin{equation}
\sigma^3 \frac{d^3 }{d\sigma^3 }\equiv\delta^3 -3\delta^2 +2\delta.
\end{equation} \tag{6} \]
Подставляя (6) в (5), получим матричное уравнение
\[ \begin{equation}
\delta^3 W=\sigma W\Omega.
\end{equation} \tag{7} \]

Ищем решение матричного уравнения в виде $W(\sigma)=\sum\limits_{k=0}^\infty A_k \sigma^k $, где $A_k $ — постоянные квадратные матрицы порядка $m$.

Так как
\[ \begin{equation*}
k^3 A_k =A_{k-1}, \quad A_0 =E,
\end{equation*} \]
используя символ Похгаммера, получим следующую формулу:
\[ \begin{equation*}
A_k =\frac{1}{(1)_k (1)_k k!}\Omega^k .
\end{equation*} \]
Следовательно,
\[ \begin{equation*}
W(\sigma)=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{1}{(1)_k (1)_k k!}\sigma^k \Omega^k .
\end{equation*} \]

Пользуясь определением обобщенной гипергеометрической функции [13, гл. 4.], получим, что матрица Римана для системы уравнений (1) имеет вид
\[ \begin{equation}
V(x_1 , x_2 , x_3 , \xi_1 , \xi_2 , \xi_3 )= {}_{0}F_2
\bigl(1; 1; (x_1 -\xi_1 )(x_2 -\xi_2 )(x_3 -\xi_3 )\Omega\bigr),
\end{equation} \tag{8} \]
где ${}_{0}F_2 \bigl(1; 1; (x_1 -\xi_1 )(x_2 -\xi_2 )(x_3 -\xi_3 ) \Omega\bigr)$ — обобщенная гипергеометрическая функция матричного аргумента.

Для системы дифференциальных уравнений гиперболического типа четвертого порядка матрица Римана, выраженная через обобщенную гипергеометрическую функцию, имеет аналогичный вид.

Действительно, для системы дифференциальных уравнений в частных производных, не содержащей производные порядка меньше четвертого,
\[ \begin{equation}
MU\equiv U_{x_1 x_2 x_3 x_4 }+\Omega U=0,
\end{equation} \tag{9} \]
где $U (x_1 , x_2 , x_3 , x_4 )$ — искомая $m$-мерная вектор-функция, $x_1 $, $x_2 $, $x_3 $, ${x_4 \in \mathbb{R}}$, $\Omega$ — постоянная действительная $(m {\times} m)$-матрица, матрица Римана может быть найдена как решение специальной задачи Гурса:
\[ \begin{equation*}
\begin{array}{c}
M^{*}V=0,
\\
V(\xi_1 , x_2 , x_3 , x_4 , \xi_1 , \xi_2 , \xi_3 , \xi_4 )=E,
\\
V(x_1 , \xi_2 , x_3 , x_4 , \xi_1 , \xi_2 , \xi_3 , \xi_4 )=E,
\\
V(x_1 , x_2 , \xi_3 , x_4 , \xi_1 , \xi_2 , \xi_3 , \xi_4 )=E,
\\
V(x_1 , x_2 , x_3 , \xi_4 , \xi_1 , \xi_2 , \xi_3 , \xi_4 )=E,
\end{array}
\end{equation*} \]
где $x_1$, $x_2$, $x_3$, ${x_4 \in \mathbb{R}}$, $E$ — единичная матрица порядка $m$.

Также матрица Римана для системы (9) удовлетворяет следующему интегральному уравнению:
\[ \begin{equation*}
V(x_1 , x_2 , x_3 , x_4 ; \xi_1 , \xi_2 , \xi_3 , \xi_4 )+\int_{\xi_1 }^{x_1 }\int_{\xi_2 }^{x_2 }\int _{\xi_3 }^{x_3 }\int _{\xi_4 }^{x_4 }V (\alpha,\beta,\gamma,\sigma)\Omega d\alpha d\beta d\gamma d\sigma=E.
\end{equation*} \]

Выполняя преобразования и построения, аналогичные тем, что были сделаны для системы третьего порядка (1), легко получить матрицу Римана для системы дифференциальных уравнений в частных производных, не содержащей производные порядка меньше четвертого (9), в следующем виде:
\[ \begin{multline*}
V(x_1 , x_2 , x_3 , x_4 ; \xi_1 , \xi_2 , \xi_3 , \xi_4 )= {}
\\
{}= {}_{0}F_3 \bigl(1; 1; 1; - (x_1 -\xi_1 )(x_2 -\xi_2 )(x_3 -\xi_3 )(x_4 -\xi_4 )\Omega\bigr),
\end{multline*} \]
где ${}_{0}F_3 \bigl(1; 1; 1; -(x_1 -\xi_1 )(x_2 -\xi_2 )(x_3 -\xi_3 )(x_4 -\xi_4 )\Omega\bigr)$ — обобщенная гипергеометрическая функция.

В работах [9, 10] функция Римана определяется как решение специальной задачи Гурса и доказаны ее существование и единственность. Опираясь на представление матрицы Римана как решения интегрального уравнения Вольтерра, можно утверждать, что матрица Римана существует и единственна в классе непрерывных матриц.

2. Задача Гурса для системы дифференциальных уравнений гиперболического типа третьего порядка

Для системы уравнений
\[ \begin{equation*}
MU\equiv U_{x_1 x_2 x_3 }+\Omega U=0
\end{equation*} \]
рассмотрим задачу Гурса.

Задача Гурса. В односвязной области $\Delta=\{ (x_1 , x_2 , x_3 ): 0<x_1 <1$, ${0<x_2 <1}$, $0<x_3 <1\}$ независимых переменных $(x_1 , x_2 , x_3 )$ найти регулярное решение $U (x_1 , x_2 , x_3 )$ системы уравнений (1), удовлетворяющее условиям
\[ \begin{equation}
\begin{array}{c}
U(0, x_2 , x_3 )= \Lambda_1 (x_2 , x_3 ),\quad 0\leqslant x_2 \leqslant1, \; 0\leqslant x_3 \leqslant1,
\\
U(x_1 , 0, x_3 )= \Lambda_2 (x_1 , x_3 ),\quad 0\leqslant x_1 \leqslant1, \; 0\leqslant x_3 \leqslant1,
\\
U(x_1 , x_2 , 0 )= \Lambda_3 (x_1 , x_2 ),\quad 0\leqslant x_1 \leqslant1, \; 0\leqslant x_2 \leqslant1,
\end{array}
\end{equation} \tag{10} \]
где $\Lambda_1 (x_2 , x_3 )$, $\Lambda_2 (x_1 , x_3 )$, $ \Lambda_3 (x_1 , x_2 )$ — заданные вектор-функции.

Матрица Римана $V=V(x_1 , x_2 , x_3 , \xi_1 , \xi_2 , \xi_3 )$ удовлетворяет интегральному уравнению Вольтерра (2). Будем писать $V=R(x_1 , x_2 , x_3 , \xi_1 , \xi_2 , \xi_3 )$ [7, с. 27], тогда справедливо тождество
\[ \begin{multline*}
(RU)_{x_1 x_2 x_3 }= RMU + (R_{x_3}U )_{x_1 x_2 }+ (R_{x_1}U )_{x_2 x_3 }+
(R_{x_2 }U)_{x_1 x_3 }-{}
\\
{}- (R_{x_2 x_3 } U)_{x_1 }- (R_{x_1 x_3 } U)_{x_2 }- (R_{x_1 x_2 }U )_{x_3 }.
\end{multline*} \]

При этом
\[ \begin{equation*}
R_{x_3 }|_{x_1 =\xi_1 , x_2 =\xi_2 }=0,\; \;
R_{x_1 x_2 }|_{x_3 =\xi_3 }=0,\; \;
R_{x_2 x_3 }|_{x_1 =\xi_1 }=0,\; \;
R_{x_1 x_3 }|_{x_2 =\xi_2 }=0,
\end{equation*} \]
где $R=R(x_1 , x_2 , x_3 , \xi_1 , \xi_2 , \xi_3 )$.

Формула решения задачи Гурса (10) принимает вид [7, с. 28]
\[ \begin{multline*}
U(x_1 , x_2 , x_3 ) =
R(x_1 , x_2 , 0)\Lambda_3 (x_1 , x_2 )+R(x_1 , 0, x_3 )\Lambda_2 (x_1 , x_3 )+{}
\\
{}+
R(0, x_2 , x_3)\Lambda_3 (x_2 , x_3 )-R(x_1 , 0, 0)\Lambda_3 (x_1 , 0)-
R(0, x_2 , 0)\Lambda_3 (0, x_2 )- {}
\\
{}-
R(0, 0, x_3)\Lambda_2 (0, x_3 )+R(0, 0, 0)\Lambda_1 (0, 0)+{}
\\
{}+\int _{0}^{x_1 } \bigl(
R_{x_1 } (\alpha, 0, 0 ) \Lambda_3 (\alpha, 0)-
R_{x_1 } (\alpha, x_2, 0 ) \Lambda_3 (\alpha, x_2 )-
R_{x_1 } (\alpha, 0, x_3 ) \Lambda_2 (\alpha, x_3 )\bigr)d\alpha+{}
\\
{}+\int_{0}^{x_2 }\bigl(
R_{x_2 } (0, \beta, 0 ) \Lambda_3 (0, \beta)-
R_{x_2 } (x_1, \beta, 0 ) \Lambda_3 (x_1, \beta)-
R_{x_2 } (0, \beta, x_3 ) \Lambda_1 (\beta, x_3 )\bigr)d\beta+{}
\\
{}+\int_{0}^{x_3 }\bigl(
R_{x_3 } (0, 0, \gamma ) \Lambda_2 (0, \gamma)-
R_{x_3 } (x_1 , 0, \gamma ) \Lambda_2 (x_1 , \gamma)-
R_{x_3 } (0, x_2 , \gamma )\Lambda_1 (x_2 ,\gamma)\bigr)d\gamma.
\end{multline*} \]

Поскольку матрица Римана для системы (1) получена в явном виде (8), регулярное решение задачи Гурса (10) также записывается в явном виде через гипергеометрическую функцию матричного аргумента.

3. Матрица Римана для системы дифференциальных уравнений гиперболического типа порядка $\boldsymbol n$

Построим матрицу Римана для системы дифференциальных уравнений в частных производных, не содержащей производные порядка меньше $n$, 
\[ \begin{equation}
MU\equiv U_{x_1 x_2 x_3 \cdots x_n }+\Omega U=0,
\end{equation} \tag{11} \]
где $U(x_1, x_2 , x_3 , \ldots x_n )$ — искомая $m$-мерная вектор-функция, $x_1$, $x_2$, $x_3$, $\ldots$, ${x_n \in \mathbb{R}}$, $\Omega$ — постоянная действительная $(m {\times} m)$-матрица. Для системы (11) сопряженным по Лагранжу оператором является оператор
\[ \begin{equation*}
M^{*}V\equiv (-1)^{n}V_{x_1 x_2 x_3 \cdots x_n }+V \Omega,
\end{equation*} \]
где $V (x_1 , x_2 , x_3 , \ldots, x_n ; \xi_1 , \xi_2 , \xi_3 , \ldots, \xi_n )$ — квадратная матрица порядка $m$.

Матрица Римана для системы (11) удовлетворяет следующей задаче:
\[ \begin{equation*}
\begin{array}{c}
M^{*}V=0, \\
V(\xi_1 , x_2 , x_3 , \ldots, x_n , \xi_1 , \xi_2 , \xi_3 , \ldots, \xi_n )|_{x_1 =\xi_1 }=E, \\
V(x_1, \xi_2 , x_3 , \ldots, x_n , \xi_1 , \xi_2 , \xi_3 , \ldots, \xi_n )|_{x_2 =\xi_2 }=E, \\
V(x_1, x_2, \xi_3 , \ldots, x_n, \xi_1 , \xi_2 , \xi_3 , \ldots, \xi_n )|_{x_3 =\xi_3 }=E, \\
\ldots, \\
V(x_1 , x_2 , x_3 , \ldots, \xi_n , \xi_1 , \xi_2 , \xi_3 , \ldots, \xi_n )|_{x_n =\xi_n }=E,
\end{array}
\end{equation*} \]
где $ x_{i} \in \mathbb{R},\,i=1,2,3,\ldots n$, $E$ — единичная матрица порядка $m$.

Ясно, что матрица Римана удовлетворяет интегральному уравнению Вольтерра:
\[ \begin{multline*}
V(x_1 , x_2 , x_3 , \ldots, x_n , \xi_1 , \xi_2 , \xi_3 , \ldots, \xi_n )+{}
\\
{}+(-1)^n \int _{\xi_1 }^{x_1 }\int _{\xi_2 }^{x_2 } \int _{\xi_3 }^{x_3 }\cdots\int_{\xi_n }^{x_n }
V (\alpha_1 , \alpha_2 , \alpha_3 , \ldots, \alpha_n )\Omega d\alpha_1 d\alpha_2 d\alpha_3 \cdots d\alpha_n =E.
\end{multline*} \]
Следовательно, матрица Римана существует и единственна в классе непрерывных матриц.

Пусть $t_1 =x_1 -\xi_1$, $t_2 =x_2 -\xi_2$, $\ldots$, $t_n =x_4 -\xi_n $, тогда матрицей Римана $V (t_1 , t_2 , \ldots, t_n )$ является решение матричного уравнения
\[ \begin{equation}
(-1)^{n}V_{t_1 ,t_2 ,\ldots, t_n }+V\Omega=0,
\end{equation} \tag{12} \]
удовлетворяющее условиям
\[ \begin{equation}
V(t_1 , 0, \ldots, 0)=E, \quad
V(0, t_2, \ldots, 0)=E, \quad
\ldots,\quad
V(0, 0, \ldots, t_n )=E.
\end{equation} \tag{13} \]

Тогда решение задачи (12), (13) можно найти в виде
\[ \begin{equation*}
V=W(\sigma),
\end{equation*} \]
где $\sigma= t_1 t_2 \cdots t_n $.

Аналогично предыдущему пункту получим
\[ \begin{equation*}
k^{n}A_k =(-1)^{n-1}A_{k-1}, \quad A_{0}=E.
\end{equation*} \]
Справедливы формулы
\[ \begin{equation*}
A_k =\frac{(-1)^k }{(1)_k ^{n-1}k!}\Omega^k ,
\end{equation*} \]
если $n$ — четное число, и
\[ \begin{equation*}
A_k =\frac{1}{(1)_k ^{n-1}k!}\Omega^k ,
\end{equation*} \]
если $n$ — нечетное число.

В итоге получаем, что
\[ \begin{equation*}
W(\sigma)=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k }{(1)_k ^{n-1}k!}\sigma^k \Omega^k ,
\end{equation*} \]
если $n$ — четное число, и
\[ \begin{equation*}
W(\sigma)=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{1}{(1)_k ^{n-1}k!}\sigma^k \Omega^k ,
\end{equation*} \]
если $n$ — нечетное число.

Таким образом, матрица Римана для системы уравнений (11) имеет вид
\[ \begin{multline*}
V(x_1 , x_2 , x_3 ,\ldots, x_n , \xi_1 , \xi_2 , \xi_3 , \ldots, \xi_n )={}
\\
{}
={}_{0}F_{n-1}\bigl(1; 1; 1;\ldots; 1; (-1)^{n-1} (x_1 -\xi_1 )(x_2 -\xi_2 )(x_3 -\xi_3 )\cdots (x_n -\xi_n )\Omega\bigr),
\end{multline*} \]
где ${}_{0}F_{n-1}\bigl(1; 1; 1; \ldots; 1; (-1)^{n-1} (x_1 -\xi_1 )(x_2 -\xi_2 )(x_3 -\xi_3 ) \cdots (x_n -\xi_n )\Omega\bigr)$ — обобщенная гипергеометрическая функция матричного аргумента.

Существование матрицы Римана для системы дифференциальных уравнений гиперболического типа порядка $n$ (11) доказано конструктивным путем. Единственность матрицы Римана как функции матричного аргумента следует из единственности функции Римана, определенной как решение специальной задачи Гурса [2, 9]. И, опираясь на представление матрицы Римана как решения интегрального уравнения Вольтерра, можно утверждать, что матрица Римана существует и единственна в классе непрерывных матриц.

Заключение

Таким образом, в данной работе для систем гиперболических уравнений высокого порядка построены матрицы Римана как функции матричного аргумента в терминах обобщенных гипергеометрических функций. Матрицы Римана построены как решение специальной задачи Гурса. Особый интерес представляет тот факт, что матрицы получены в явном виде, что позволяет с их помощью найти решение краевых задач для систем дифференциальных уравнений гиперболического типа высокого порядка также в явном виде. В качестве примера приведена задача Гурса для системы гиперболических уравнений третьего порядка, регулярное решение которой получено в явном виде.

About the authors

Julia O. Яковлева

Samara State Technical University

Author for correspondence.
Email: julia.yakovleva@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-9839-3740
http://www.mathnet.ru/person55013

Cand. Phys. & Math. Sci., Associate Professor; Associate Professor; Dept. of Higher Mathematics

Russian Federation, 443100, Samara, Molodogvardeyskaya st., 244

References

Supplementary files