Том 28, № 4 (2024)

В статье исследуется модель оптимального динамического измерения с мультипликативным воздействием, рассматриваемая как задача оптимального управления для нестационарной системы леонтьевского типа. Установлено существование решения данной задачи в стохастической постановке. Основная цель заключается в нахождении восстанавливаемого сигнала (управляющего воздействия), максимально приближающего состояние системы к наблюдаемым показателям, при наличии дополнительного входного процесса, моделирующего помеху. Решения системы требуется искать в пространствах случайных процессов. Для этого предварительно анализируется задача оптимального управления в пространствах дифференцируемых «шумов». Линейность модели преобразователя, описываемой нестационарной системой леонтьевского типа, позволяет декомпозировать исходную систему на детерминированную и стохастическую подсистемы. На основе результатов о разрешимости задач оптимального управления для каждой из подсистем получено решение исходной задачи.
В первой части статьи приведены условия разрешимости стохастической нестационарной системы леонтьевского типа. Во второй части исследуется задача оптимального управления в стохастическом случае, а также выводятся оценки для минимизируемых функционалов с использованием результатов, полученных ранее для детерминированного аналога. В заключении представлен алгоритм исследования задачи оптимального динамического измерения с мультипликативным воздействием в пространствах «шумов».

Работа посвящена расчету геометрии равнопрочного кольцевого диска с учетом эффектов анизотропии и разной прочности при растяжении и сжатии. Диск находится под действием центробежных сил и усилий на внутреннем и внешнем контуре. Постановка задачи основана на уравнениях теории упругости анизотропного тела и гипотезе о плоском напряженном состоянии. В качестве критерия прочности применяется общее квадратичное условие, единственным требованием к которому является его эллиптичность. Используемое условие в частных случаях сводится ко многим известным критериям прочности (Цая–Ву, Хилла, Друкера–Прагера, Мизеса и т.д.).
Определяющая система уравнений состоит из уравнения совместности деформаций, уравнения равновесия и условия постоянства эквивалентного напряжения. Указанное условие удовлетворяется с помощью тригонометрической замены и введенной вспомогательной функции. Два оставшихся уравнения решаются последовательно в неявном виде, в котором вспомогательная функция выступает в качестве независимой переменной. Полученное аналитическое решение позволяет построить геометрию диска (профиль и внутренний радиус диска) равной прочности, а также определить распределение напряжений в таком диске. Установлено, что решение может не существовать и быть не единственным. В частных случаях решение сводится к решениям для многих известных критериев прочности, а также к классическому решению Ю. Н. Работнова. Сравнение расчетов, полученных для критериев Цая–Ву и Мизеса, показало, что анизотропия и разная прочность при растяжении и сжатии могут оказывать существенное влияние на геометрию диска равной прочности и напряженное состояние в нем.

В работе представлено аналитическое решение задачи об осесимметричном антиплоском сдвиге. Деформируемый материал заключен между двумя цилиндрическими поверхностями, одна из которых неподвижна, а другая испытывает смещение вдоль образующей. Эта задача моделирует схему испытания материалов на срез. Мы используем геометрически нелинейную постановку упругопластической задачи, принимая мультипликативное разделение тензора градиента деформации на упругую и пластическую составляющие. Упругие свойства среды описываются законом Муни–Ривлина. Материал образца изотропно упрочняющийся, закон упрочнения есть произвольная монотонная функция накопленной пластической деформации. Использовано условие пластичности Треска. Исходная нелинейная связанная система дифференциальных уравнений в частных производных сведена к обыкновенным линейным дифференциальным уравнениям, для решения которых нужно вычислить определенные интегралы. Полученное решение включает в себя деформирование в упругом диапазоне, зарождение пластического течения, распространение области пластического течения на всю область деформирования и последующее деформирование при развитом пластическом течении. Решение проиллюстрировано примерами мате- риалов с линейным упрочнением, квадратичным упрочнением и упрочнением с насыщением по типу Восе. Для этих материалов приведены расчетные данные «сила – перемещение», распределение накопленной пластической деформации по сечению образца и данные об искривлении материальных волокон, которые до деформирования располагались в радиальном направлении.

Разработана математическая модель колебаний газа, возникающих под действием внешней гармонической нагрузки, с учетом пространственно-временной нелокальности. Модель построена на основе уравнения равновесия (движения) и модифицированного закона Гука, в который включены релаксационные члены, учитывающие длину и время свободного пробега микрочастиц (электронов, атомов, молекул, ионов и др.).
Численное исследование модели показало, что при совпадении собственной частоты колебаний газа с частотой внешней нагрузки возникает резонанс, характеризующийся резким увеличением амплитуды колебаний, величина которой ограничивается коэффициентом трения газа. В случае, когда частота внешней нагрузки близка к собственной частоте колебаний газа, наблюдаются бифуркационно-флаттерные колебания (биения), сопровождающиеся периодическим увеличением и уменьшением амплитуды колебаний в каждой точке пространственной переменной. При этом колебания газа характеризуются бесконечным множеством амплитуд и частот.
Периодические изменения перемещений и давления газа, варьирующиеся от нуля до некоторого максимального значения и распространяющиеся вдоль реактора пиролиза метана, способствуют очистке его внутренних поверхностей от рыхлых углеродных отложений. Удаленный со стенок реактора углерод скапливается в нижней части между двумя газоплотными задвижками, что позволяет удалять его без остановки процесса пиролиза.
Данная модель может быть полезна для оптимизации процессов очистки реакторов и повышения эффективности пиролиза метана.

Решение некоторых краевых задач для систем дифференциальных уравнений гиперболического типа может быть построено в явном виде в терминах матрицы Римана. В связи с этим актуален вопрос о построении матрицы Римана в явном виде для систем гиперболических уравнений высокого порядка.
Рассматривается система дифференциальных уравнений гиперболического типа третьего порядка от трех независимых переменных. Для указанной системы построена матрица Римана как решение специальной задачи Гурса. Кроме того, матрица Римана удовлетворяет интегральному уравнению Вольтерра. Матрица Римана выражена в явном виде через гипергеометрическую функцию матричного аргумента. Аналогично рассматривается система дифференциальных уравнений гиперболического типа четвертого порядка от четырех независимых переменных. Данные результаты обобщены для системы дифференциальных уравнений гиперболического типа порядка $n$, не содержащей производные порядка меньше $n$.