Poiseuille-type flow in a channel with permeable walls

Full Text

Введение. Около полувека назад появилась проблема верификации численных программ расчета течений. Сравнение численного и точного решений является одним из таких методов верификации. При использовании этого метода условия на любой границе берутся исходя из точного решения, а техническая сторона реализации этих условий в натурном эксперименте перестала иметь значение. Поэтому любые точные решения в настоящее время имеют практическое значение для верификации. Кроме верификации, точные решения используются для отладки программ. Для этого необходимо иметь набор различных точных решений, среди которых должны быть и достаточно простые, например двумерные, которые используются на начальной стадии отладки. Если в программе используется метод установления, то для начальной стадии ее отладки будут полезны двумерные стационарные точные решения (и даже одномерные, например, равномерный поток). Кроме того, как замечено в [1], на точных решениях «апробируются подходы к обоснованию приближенных моделей». Очевидно, что и в этом случае целесообразно начинать с простых точных решений. В научных публикациях последних двух десятилетий рассмотрены различные обобщения течения Пуазейля [1–6], описывающие слоистые и сдвиговые потоки, в которых нет протекания жидкости через проницаемые границы (нет вдува или отсоса жидкости). Обобщений для течений с протеканием мало, так как они очень сложны и труднообозримы. Например, в [7] представлено существенно трехмерное нестационарное точное решение, выраженное через интеграл Дюамеля. Автору настоящей статьи известно только одно относительно простое точное решение — течение вязкой жидкости между двумя вращающимися цилиндрами с проницаемыми стенками [8]. Таким образом, имеет место недостаток «простых» точных решений с проницаемыми стенками, которые можно было бы применять как для отладки программ, так и для качественного анализа влияния вдува или отсоса погранслоя на картину течения (т.е. для качественного анализа физических процессов на основе точных решений). Поэтому в данной статье предпринята попытка найти точное решение для двумерного течения между проницаемым стенками.

Эффективным методом получения точных решений является задание вида зависимости компонент скорости или функции тока от координат и времени [9–20]. Однако при этом может оказаться, что попытка найти решение будет безуспешной, как в [21], или что удается доказать, что решения при выбранном виде зависимости не существует [22]. Поэтому выбор зависимости, приводящий в итоге к новым решениям, является ключевым моментом исследования. В данной статье также предложен новый вид зависимости (формула (2)) для описания течения пуазейлевского типа между проницаемыми пластинами, в котором из-за протекания жидкости через пластины скорость имеет ненулевые как продольную, так и поперечную к пластинам компоненты. В результате удалось получить ряд новых точных решений. Эти решения относятся к классу задач с уравнениями Навье–Стокса в области между двумя параллельными (плоскими) границами, на которых заданы ненулевые значения скорости. Однако найденные ниже решения имеют одну специфическую особенность на границах течения. В отличие от общего случая упомянутых задач, ниже рассматриваются только такие, в которых на границе продольная к границе компонента скорости равна нулю, а поперечная — отлична от нуля. Такие условия соответствуют неподвижным горизонтальным проницаемым пластинам. Трение на неподвижных проницаемых пластинах обеспечивает нулевые значения горизонтальной компоненты скорости на этих стенках, а проницаемость — отличие от нуля поперечной компоненты скорости. Поэтому представляется естественным назвать рассматриваемые течения «течениями между горизонтальными проницаемыми пластинами (или стенками)».

1. Уравнения движения и общий вид решения. В безразмерных переменных система уравнений Навье–Стокса для вязкой несжимаемой жидкости представляется следующим образом:

$\partial \mathit{V}/\partial t+\mathit{\Omega }\times \mathit{V}+\mathbf{rot}\mathit{\Omega }/\mathrm{Re}=-\mathbf{\nabla }[p+{\mathit{V}}^2/2],\mathrm{div} \mathit{V}=\mathrm{0,}$ (1)

где $\mathit{V}$ и $p$ — безразмерные скорость и давление, отнесенное к плотности, соответственно; $\mathit{\Omega }=\mathbf{\text{rot }}\mathit{V}$; $\text{Re}$ — число Рейнольдса.

Рассмотрим плоское течение между двумя неподвижными горизонтальными пластинами с протеканием жидкости через пластины, в котором поперечная компонента скорости постоянна во времени и пространстве. При обезразмеривании системы (1) в качестве характерной длины возьмем расстояние между пластинами, а в качестве характерной скорости — поперечную компоненту скорости. Тогда в безразмерных переменных расстояние между пластинами и поперечная компонента скорости будут равны единице. Начало декартовой прямоугольной системы координат $Oxy$ расположим на нижней пластине, а ось $Ox$ — горизонтально. Пусть $\mathbf{\text{i}}$ и $\mathbf{\text{j}}$ — базисные векторы этой системы координат. Будем искать скорость решения (1) в виде

$\mathit{V}=\left(TY\text{}\right)\mathbf{i}+\mathbf{j},$ (2)

 где $T=T\left(t\right)$, $Y=Y\left(y\right)$ (последнее уравнение (1) выполняется "автоматически").

При протекании жидкости через пластины условие прилипания заменяется на условие равенства нулю горизонтальной скорости, т.е. $Y\left(0\right)=Y\left(1\right)=0$. Получим выражение для левой части первого уравнения (1). Имеем

$\frac{\partial \mathit{V}}{\partial t}=T^{\text{'}}Y\mathbf{i},$

$\mathit{\Omega }=\mathbf{rot}\mathbf{ }\mathit{V}=-T{Y}^{\text{'}}\mathbf{k},\text{ где }\mathbf{k}=\mathbf{i}\times \mathbf{j},$

$\mathit{\Omega }\times \mathit{V}=T{Y}^{\text{'}}\mathbf{i}-Y^{\text{'}}{T}^{2}Y\mathbf{j},$

$\mathbf{rot}\mathbf{ }\mathit{\Omega }/\mathrm{Re}=-T{Y}^{\text{'}\text{'}}\mathbf{i}/\mathrm{Re}.$

Поэтому левая часть первого уравнения (1) принимает вид

$[T^{\text{'}}Y+T{Y}^{\text{'}}-T{Y^{\text{'}}}^{\text{'}}/\mathrm{Re}]i+[-Y^{\text{'}}{T}^{2}Y]j.$ (3)

Для существования решения (1) необходимо и достаточно, чтобы выражение (3) представляло собой градиент некоторой функции, что для односвязной области (каковой является пространство между пластинами) равносильно условию

$\frac{\partial }{\partial y}[T^{\text{'}}Y+T{Y}^{\text{'}}-T{Y^{\text{'}}}^{\text{'}}/\mathrm{Re}]=\frac{\partial }{\partial x}[-Y^{\text{'}}{T}^{2}Y].$

Поскольку правая часть равна нулю, это условие окажется выполненным, если и левая часть будет равна нулю:

$\frac{\partial }{\partial y}[T^{\text{'}}Y+T{Y}^{\text{'}}-T{Y^{\text{'}}}^{\text{'}}/\mathrm{Re}]=0$ (4)

или

$[T^{\text{'}}{Y}^{\text{'}}+T{Y^{\text{'}}}^{\text{'}}-T{{Y^{\text{'}}}^{\text{'}}}^{\text{'}}/\mathrm{Re}]=0.$

 Отбрасывая тривиальные случаи $T=0$ и $Y^{\text{'}}=0$, получаем

$\mathrm{Re}{T}^{\text{'}}/T={{Y^{\text{'}}}^{\text{'}}}^{\text{'}}/Y^{\text{'}}-\mathrm{Re}{Y^{\text{'}}}^{\text{'}}/Y^{\text{'}}=\beta =const.$

Поэтому

$T=T\left(t\right)=\exp (\beta t/\mathrm{Re}),$ (5)

а функция $Y=Y\left(y\right)$ определяется как решение однопараметрической (параметр $\beta$ при фиксированном числе $\text{Re}$) задачи

${{Y^{\text{'}}}^{\text{'}}}^{\text{'}}-\mathrm{Re}{Y^{\text{'}}}^{\text{'}}-\beta Y^{\text{'}}=\mathrm{0,}Y\left(0\right)=Y\left(1\right)=0.$ (6)

(Случаю $\beta =0$ соответствует стационарное течение $T\left(t\right)\equiv 1$.)

Итак, для функций $T=T\left(t\right)$, $Y=Y\left(y\right)$, определяемых по формулам (5) и (6), скорость (2) обеспечивает равенство левой части первого уравнения (1) градиенту некоторой функции (функции Бернулли $p+V^2/2$). Чтобы получить выражение для давления, найдем сначала эту функцию. Из уравнения (4) следует, что величина $[T^{\text{'}}Y+T{Y}^{\text{'}}-T{Y^{\text{'}}}^{\text{'}}/\mathrm{Re}]$ не зависит от $y$. Поэтому искомая функция с точностью до аддитивной константы есть

$p+V^2/2=-[T^{\text{'}}Y+T{Y}^{\text{'}}-T{Y^{\text{'}}}^{\text{'}}/\mathrm{Re}]x+T^2{Y}^2/2.$

Отсюда, поскольку $V^2/2=T^2{Y}^2/2+1/2$, получаем

$p=-[T^{\text{'}}Y+T{Y}^{\text{'}}-T{Y^{\text{'}}}^{\text{'}}/\mathrm{Re}]x+p_0.$ (7)

Формулы (5)–(7) задают общий вид решения, в котором скорость имеет вид (2).

Заметим, что, как и в классическом течении Пуазейля, давление не зависит от поперечной координаты и линейно меняется вдоль горизонтальной координаты.

2. Случай нулевого градиента давления. С учетом (5) из (7) следует, что давление не будет зависеть от только для одного частного случая задачи (6). Это случай, когда ${Y^{\text{'}}}^{\text{'}}-\mathrm{Re}{Y}^{\text{'}}-\beta Y=0$, $Y\left(0\right)=Y\left(1\right)=0$. Если исключить решение $Y\left(y\right)\equiv 0$, такая задача (с такими краевым условиями) имеет решения только при ${\mathrm{Re}}^2+4\beta =-{\left(2\pi k\right)}^2$, $k=\mathrm{1,2,3,}\dots$. При заданном натуральном $k$ имеем $Y\left(y\right)=\exp (\mathrm{Re}y/2)\sin k\pi y$, а горизонтальная скорость стационарного течения определяется с точностью произвольного постоянного множителя $C_0=const$:

$V=C_0\exp (-({\left(2\pi k\right)}^2+{\mathrm{Re}}^2)t/(4\mathrm{Re})+\mathrm{Re}y/2)\sin \left(k\pi y\right)i+j,p=p_0.$

Поскольку в выражении для скорости множитель $\exp (-({\left(2\pi k\right)}^2+{\mathrm{Re}}^2)t/(4\mathrm{Re}\left)\right)$ стремится к нулю при $t\to +\infty$, с ростом времени течение устанавливается и скорость стремится к предельному значению $V=j$.

3. Стационарное течение. Стационарное течение имеет место при $\beta =0$. Задача (6) принимает вид ${{Y^{\text{'}}}^{\text{'}}}^{\text{'}}-\mathrm{Re}{Y^{\text{'}}}^{\text{'}}=0$, $Y\left(0\right)=Y\left(1\right)=0$. Она имеет решение при любом значении $\text{Re}$. При $\beta =0$ горизонтальная скорость стационарного течения (1) определяется с точностью до произвольного постоянного множителя $C_0=const$:

$V=C_0\left[\exp \right(\mathrm{Re}y)-(\exp \left(\mathrm{Re}\right)-1)y-1]i+j,p=C_0\left(\exp \right(\mathrm{Re})-1)x+p_0.$ (8)

При очень малых значениях числа Рейнольдса $(\mathrm{Re}\le 1)$ профиль горизонтальной скорости "похож" на симметричный квадратичный профиль классического течения Пуазейля. С ростом числа Рейнольдса профиль становится несимметричным и почти прямолинейным всюду, кроме тонкого пограничного слоя вблизи верхней пластины (рис. 1). (Для удобства сравнения формы профилей с помощью рис. 1 произвольная константа $C_0$ при различных числах Рейнольдса подбиралась так, чтобы максимальное значение горизонтальной скорости было одинаково на всех профилях, изображенных на рис. 1.)

 

Рис. 1. Профиль горизонтальной скорости в стационарном течении Пуазейля с проницаемыми стенками для различных чисел Рейнольдса

 

Сравним горизонтальные расходы жидкости в этом течении и в классическом (стационарном) течении Пуазейля (здесь его приводить не будем). Непосредственной проверкой (интегрированием горизонтальной компоненты скорости по $y$ от 0 до 1) можно убедиться, что при одинаковом (горизонтальном) градиенте давления суммарные расходы $Q$ и $Q_P$ жидкости через поперечное сечение между пластинами (т.е. расход в горизонтальном направлении) для течения (8) и для классического решения Пуазейля соответственно связаны соотношением

$Q/Q_P=12[0.5{\mathrm{Re}}^{-1}+{\mathrm{Re}}^{-1}{\left(\exp \right(\mathrm{Re})-1)}^{-1}-{\mathrm{Re}}^{-2}].$ (9)

График зависимости (9) изображен на рис. 2. Отношение $Q/Q_P$ стремится к единице при $\mathrm{Re}\to 0$ и, убывая, стремится к нулю с ростом $\text{Re}$.

 

Рис. 2. График зависимости (9)

 

Отсюда следует вывод, что вынос погранслоя в глубь течения от одной пластины при одновременном всасывании погранслоя на другой пластине приводит к росту сопротивления потоку в горизонтальном направлении.

4. Нестационарное течение с ненулевым (горизонтальным) градиентом давления. В этом случае ${\mathrm{Re}}^2+4\beta \ne -{\left(2\pi k\right)}^2$, $k=\mathrm{1,2,3,}\dots$. Если величина ${\mathrm{Re}}^2+4\beta <0$, то выражения для скорости и давления имеют вид

$V=C_0\exp (\beta t/\mathrm{Re})\left[\exp \right(\mathrm{Re}y/2\left)\right(\frac{\cos \gamma -\exp (-\mathrm{Re}/2)}{\sin \gamma }\sin \left(\gamma y\right)-\cos \left(\gamma y\right))+1]i+j,$

где $\gamma =\sqrt{|{\mathrm{Re}}^2+4\beta |}/2;$ $p=-C_0\beta \exp (\beta t/\mathrm{Re})x/\mathrm{Re}+p_0$, $C_0=const$.

Если же ${\mathrm{Re}}^2+4\beta >0$, то

$V=C_0\exp (\beta t/\mathrm{Re})\left[A\exp \right({\nu }_{1}y)+B\exp ({\nu }_{2}y)+1]i+j,$

$p=-C_0\beta \exp (\beta t/\mathrm{Re})x/\mathrm{Re}+p_0,$

где

$A=(1-\exp ({\nu }_2\left)\right)/\left(\exp \right({\nu }_2)-\exp ({\nu }_1\left)\right),$

$B=\left(\exp \right({\nu }_1)-1)/\left(\exp \right({\nu }_2)-\exp ({\nu }_1\left)\right),$

${\nu }_1=(\mathrm{Re}-\sqrt{{\mathrm{Re}}^2+4\beta })/\mathrm{2,}{\nu }_2=(\mathrm{Re}+\sqrt{{\mathrm{Re}}^2+4\beta })/\mathrm{2,}{C}_0=const.$

5. Нестационарное течение Пуазейля (непроницаемые пластины). В таком течении будем искать скорость не в виде (2), а в виде $V=\left(TY\text{}\right)i$. Повторяя выкладки первого раздела, получим ${{Y^{\text{'}}}^{\text{'}}}^{\text{'}}-\beta Y^{\text{'}}=0$, $Y\left(0\right)=Y\left(1\right)=0$. Ограничимся случаем $\beta =-4k^2{\pi }^2$, $k=\mathrm{1,2,3,}\dots$. Решение имеет вид

$V=C_0\exp (-4k^2{\pi }^{2}t/\mathrm{Re})[1-\cos (2k\pi y\left)\right]i,$

$p=C_{0}4k^2{\pi }^2\exp (-4k^2{\pi }^{2}t/\mathrm{Re})x/\mathrm{Re}+p_0,C_0=const.$

Интересно, что профиль нестационарного течения Пуазейля отличается от (квадратичного) профиля стационарного течения.

6. Течение Куэтта. Для течения Куэтта ограничимся стационарным случаем. Как видно из (5), в стационарном течении $\beta =0$. В течении Куэтта верхняя пластина движется в горизонтальном направлении. Поэтому в задаче (6) нужно изменить второе краевое условие, и она примет вид

${{Y^{\text{'}}}^{\text{'}}}^{\text{'}}-\mathrm{Re}{Y^{\text{'}}}^{\text{'}}=\mathrm{0,}Y\left(0\right)=\mathrm{0,}Y\left(1\right)=1.$ (10)

Такая задача имеет решение при любом значении $\text{Re}$. Однако могут получаться решения, в которых давление не постоянно, а меняется в горизонтальном направлении. Потребуем, чтобы давление было постоянно. Из формулы (7) для стационарного случая $(T\equiv 1)$ получаем условие постоянства давления $Y^{\text{'}}\mathrm{Re}-{Y^{\text{'}}}^{\text{'}}=0$. Это условие будет выполнено для следующего решения задачи (10), которое определяется с точностью до произвольного постоянного множителя $C_0=const$:

$V=C_0\left[\exp \right(\mathrm{Re}y)-1]i+j,p=p_0=const.$

Эта простая формула позволяет проиллюстрировать влияние выноса погранслоя в глубь течения от одной пластины и при одновременном всасывании погранслоя на другой пластине. В частности, видно (см. рис. 3), что вертикальный градиент скорости больше на верхней пластине (где происходит всасывание), и поэтому сила, которая требуется для движения верхней пластины, больше силы, которая требуется для удержания на месте нижней пластины (в классическом течении Куэтта эти силы равны по величине). Интересно также отметить, что при стремлении числа Рейнольдса к нулю профиль горизонтальной скорости приближается к линейному профилю классического течения Куэтта. А при числах Рейнольдса $\mathrm{Re}\ge 20$ горизонтальная скорость почти везде равна нулю, кроме узкого пограничного слоя вблизи верхней пластины.

 

Рис. 3. Профиль горизонтальной скорости в стационарном течении Куэтта с проницаемыми стенками для различных чисел Рейнольдса

 

Заключение. В результате предположения о специальном виде зависимости (2) компонент скорости от координат получено новое семейство точных решений, описывающих плоскопараллельное течение вязкой несжимаемой жидкости между двумя неподвижными параллельными проницаемыми пластинами (течение пуазейлевского типа). При отсутствии протекания через пластины получено точное решение для нестационарного течения Пуазейля. Полученное однопараметрическое семейство решений включает в себя классическое решение Пуазейля и потому обобщает его. Для стационарных течений показано, что протекание приводит к росту сопротивления по сравнению с классическим течением Пуазейля.

Конкурирующие интересы. В публикации статьи отсутствуют конкурирующие финансовые или нефинансовые интересы.

Авторский вклад и ответственность. Я несу полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною одобрена.

Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.

Благодарность. Автор благодарен рецензентам за тщательное прочтение статьи и ценные предложения и комментарии.

About the authors

Grigory B. Sizykh

Moscow Aviation Institute (National Research University)

Author for correspondence.
Email: o1o2o3@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0001-5821-8596
SPIN-code: 5348-6492
Scopus Author ID: 6508163390
ResearcherId: ABI-3162-2020
http://www.mathnet.ru/person112378

Cand. Phys. & Math. Sci; Associate Professor; Dept. of Applied Mathematics

Russian Federation, 4, Volokolamskoe shosse, Moscow, 125993

References

Supplementary files